文档文本内容
专
题
十
二
数
系
的
扩
充
与
复
数
的
引
入
／
１４１
专题十二 数系的扩充与复数的引入
考点二 复数的运算
１．复数的加、减、乘、除运算法则
考点一 复数的概念及几何意义 设ｚ ａ ｂ ｚ ｃ ｄ ａ ｂ ｃ ｄ Ｒ 则
１＝ ＋ ｉ， ２＝ ＋ ｉ（ ， ， ， ∈ ），
１．复数的有关概念 加法 ｚ ｚ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ
（１） ：１＋２＝（ ＋ ｉ）＋（ ＋ ｉ）＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）ｉ；
复数相等 ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ且ｂ ｄ ａ ｂ ｃ ｄ Ｒ ． 减法 ｚ ｚ ａ ｂ ｃ ｄ （ａ ｃ） （ｂ ｄ）
（１） ： ＋ ｉ＝ ＋ ｉ⇔① ＝ ＝ （ ， ， ， ∈ ） （２） ：１－２＝（ ＋ ｉ）－（ ＋ ｉ）＝④ － ＋ － ｉ ；
共轭复数 ａ ｂ 与ｃ ｄ 共轭 ａ ｃ，ｂ ｄ ａ ｂ ｃ ｄ 乘 法 ｚ ｚ ａ ｂ ｃ ｄ
（２） ： ＋ ｉ ＋ ｉ ⇔② ＝ ＝－ （ ， ， ， ∈ （３） ： １ · ２ ＝ （ ＋ ｉ） · （ ＋ ｉ） ＝
Ｒ ． （ａｃ ｂｄ） （ｂｃ ａｄ）
） ⑤ － ＋ ＋ ｉ ；
复数的模 ｚ ａ ｂ ａ ｂ ｃ ｄ ａｃ ｂｄ ｂｃ ａｄ
（３） 除法 １ ＋ ｉ （ ＋ ｉ）（ － ｉ） ＋ － ｃ ｄ ．
（ｉ） 概念 ： 复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂ ｉ（ ａ ， ｂ ∈ Ｒ ） 对应的向量Ｏ→Ｚ的模叫做ｚ （４） ：ｚ ２ ＝ｃ ＋ ｄ ｉ ＝ （ ｃ ＋ ｄ ｉ）（ ｃ － ｄ ｉ） ＝⑥ ｃ２ ＋ ｄ２ ＋ｃ２ ＋ ｄ２ｉ （ ＋ ｉ≠０）
２．复数加法的运算律
的模 记作 ｚ 或 ａ ｂ 即 ｚ ａ ｂ ａ２ ｂ２ ．
， ｜ ｜ ｜ ＋ ｉ｜， ｜ ｜＝｜ ＋ ｉ｜＝③ ＋ 复数的加法满足交换律 结合律 即对任何ｚ ｚ ｚ Ｃ 有
ｚ 、 ， １， ２， ３∈ ，
性质 若ｚ ｚ 为复数 则 ｚ ｚ ｚ ｚ １ ｚ ｚ ｚ ｚ ｚ ｚ ｚ ｚ ｚ ｚ ．
（ｉｉ） ： １， ２ ， ｜ １· ２｜＝｜ １｜·｜ ２｜， ｚ ＝ １＋ ２＝ ２＋ １，（ １＋ ２）＋ ３＝ １＋（ ２＋ ３）
２ ３．复数加、减法的几何意义
ｚ
｜ １｜ ｚ ． 复数加法的几何意义
ｚ （｜ ２｜≠０） （１）
｜ ２｜
２．复数的几何意义 若复数ｚ
１、
ｚ
２
对应的向量Ｏ→Ｚ
１、
Ｏ→Ｚ
２
不共线
，
则复数ｚ
１＋
ｚ
２
是以
一一对应 Ｏ→Ｚ Ｏ→Ｚ 为两邻边的平行四边形的对角线Ｏ→Ｚ所对应的复数．
（１） 复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂ ｉ（ ａ ， ｂ ∈ Ｒ ） 复平面内的点Ｚ （ ａ ， ｂ ） ． １、 ２ 复数减法的几何意义
一一对应 （２）
复数ｚ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 平面向量 Ｏ→Ｚ Ｏ
（２） ＝ ＋ ｉ（ ， ∈ ） （ （０， 复数ｚ ｚ 是Ｏ→Ｚ Ｏ→Ｚ Ｚ→Ｚ 所对应的复数．
Ｚ ａ ｂ ． １－ ２ １－ ２＝ ２ １
０）， （ ， ））
确定实部和虚部．
经典例题教师用书
例 （２０１９广东六校联考）已知 是虚数单位 复数 ２ 的
考法一 复数有关概念的解题方法 ｉ ， （１＋２ｉ）
共轭复数的虚部为
（ ）
例１ （２０２１届江苏泰州中学第一次月度检测，２）若复
Ａ．４ｉ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．－４
数ｚ １＋ｉ为纯虚数 则实数ａ的值为
解析 复数ｚ
＝
（
１＋２ｉ
）２
＝１＋４ｉ＋
（
２ｉ
）２
＝－３＋４ｉ
，所以ｚ
＝－３－
＝ ａ ， （ ）
１＋ ｉ ，所以复数ｚ的虚部为 ．故选 ．
４ｉ －４ Ｄ
１ 答案 Ｄ
Ａ．１ Ｂ．０ Ｃ．－ Ｄ．－１
２
（ ）（ ａ） ａ ａ ａ （ ａ）
解析 ｚ １＋ｉ １＋ｉ １－ ｉ １－ ｉ＋ｉ＋ １＋ ＋ １－ ｉ 考法二 复数四则运算问题的解法
＝
１＋
ａ
ｉ
＝（
１＋
ａ
ｉ
）（
１－
ａ
ｉ
）＝
１＋
ａ２ ＝
１＋
ａ２ ＝
ì ａ 例２ （２０２１届广东深圳外国语学校第一次月考，１）
ï１＋ ， （１）
ａ ａ ï ａ２ ＝０ 若 ｚ 则 ｚ
＋１ １－ ． ｚ为纯虚数， í１＋ ａ ，故选 ． （２－ｉ） ＝３＋４ｉ， ｜ ｜＝ （ ）
ａ２ ＋ ａ２ｉ∵ ∴ ï ａ ∴ ＝－１ Ｄ
１＋ １＋
î
ï１－
ａ２≠０
，
Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ．２ ３ Ｄ． ５
１＋ ２
（１－２ｉ） 在复平面内对应的点位于
答案 Ｄ （２） （ ）
ｉ
方法总结 １．解决与复数的基本概念和性质有关的问题 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
时 应注意复数和实数的区别与联系 把复数问题实数化是解决
， ， 解析 （ ） ｚ ｚ ３＋４ｉ ｜３＋４ｉ｜ ．
复数问题的关键． １ ｜ ｜＝｜ ｜＝ ２－ｉ ＝ ｜２－ｉ｜ ＝ ５
２．复数的分类及所对应的点的位置问题都可以转化为复数 （ ） （ １－２ｉ ）２ －３－４ｉ （ －３－４ｉ ）（ －ｉ ） ．该复数在复平
２ ＝ ＝ （ ） ＝－４＋３ｉ
的实部与虚部应该满足的条件的问题 只需把复数化为ａ ｂ ａ ｉ ｉ ｉ× －ｉ
， ＋ ｉ（ ， 面内对应的点为（ ， ），此点在第二象限，故选 ．
ｂ Ｒ 的形式 列出实部和虚部满足的关系式即可． －４ ３ Ｂ
∈ ） ，
３．解题时一定要先看复数是不是ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 的形式 以 答案 （ ）Ｄ （ ）Ｂ
＋ ｉ（ ， ∈ ） ， １ ２
A
版
高
考
数
学
／
１４２
方法总结 １．复数的乘法 （ ）由 ４ ｎ ， ４ ｎ ＋１ ， ４ ｎ ＋２ ， ４ ｎ ＋３ 知 ｎ（ｎ Ｎ∗）的周
２ ｉ ＝１ ｉ ＝ｉ ｉ ＝－１ ｉ ＝－ｉ ｉ ∈
复数的乘法类似于多项式的乘法 可将含有虚数单位 的看 期为 ４ ，且 ｉ＋ｉ ２ ＋ｉ ３ ＋ｉ ４ ＝ｉ－１－ｉ＋１＝０ ，
， ｉ
作一类同类项 不含 的看作另一类同类项 分别合并即可． 又 ２０１９＝４×５０４＋３ ，所以原式 ＝ｉ＋ｉ ２ ＋ｉ ３ ＝ｉ－１－ｉ＝－１ ，故选 Ｄ ．
， ｉ ，
２．复数的除法 一题多解 由等比数列求和公式知，
ｉ＋ｉ
２
＋ｉ
３
＋
…
＋ｉ
２０１９
＝
除法的关键是分子 分母同乘分母的共轭复数 解题中要注 （ ２０１９） （ ）
、 ， ｉ １－ｉ ＝ ｉ １＋ｉ ＝－１ ．
意把 的幂写成最简形式． １－ｉ １－ｉ
ｉ
３．常用结论 ｚ １－ｉ （１－ｉ） ２ ｆ ２ ．
（３）∵ ＝ ＝ ＝－ｉ，∴ （－ｉ）＝（－ｉ） －（－ｉ）＋１＝ｉ
２ ａ ｂ ａ ｂ ａ２ ｂ２ ａ ｂ Ｒ ． １＋ｉ （１＋ｉ）（１－ｉ）
（１±ｉ） ＝±２ｉ，（ ＋ ｉ）（ － ｉ）＝ ＋ （ ， ∈ ） 故选 ．
经典例题教师用书 Ａ
答案 （ ）Ａ （ ）Ｄ （ ）Ａ
例 （２０１９贵州黔东南州一模，２）１－２ｉ １＋２ｉ １ ２ ３
（１） ＋ ＝ （ ）
１＋ｉ １－ｉ 例 （２０１９安徽马鞍山二模，３）已知复数ｚ １＋３ｉ 为
（１） ＝ （ｉ
Ａ．－１ Ｂ．－ｉ Ｃ．１ Ｄ．ｉ ２－ｉ
（２０１９辽宁沈阳质检（三），１）已知 为虚数单位 则 虚数单位 则 ｚ
（２） ｉ ， ｉ＋ ）， ｜ ｜＝ （ ）
ｉ ２ ＋ｉ ３ ＋…＋ｉ ２０１９等于 （ ） ３
Ａ． ２ Ｂ．２ Ｃ． ３ Ｄ．
Ａ．ｉ Ｂ．１ Ｃ．－ｉ Ｄ．－１ ２
（２０１９陕西西北工大附中第一次适应性考试，１）设复 （２０１９湖北武汉模拟，３）设复数ｚ满足１＋２ ｚ 则ｚ
（３） （２） ｚ ＝ｉ， ＝
１－
数ｚ １－ｉ ｆ ｘ ｘ２ ｘ 则ｆ ｚ
＝ １＋ｉ ， （ ）＝ － ＋１， （ ）＝ （ ） （ ）
Ａ．ｉ Ｂ．－ｉ Ｃ．－１＋ｉ Ｄ．１＋ｉ Ａ． １ ＋ ３ ｉ Ｂ． １ － ３ ｉ Ｃ．－ １ ＋ ３ ｉ Ｄ．－ １ － ３ ｉ
解题思路 ５ ５ ５ ５ ５ ５ ５ ５
（ ）（ ）
根据复数的除法运算法则 分别对两个式子化简 再相 解析 （ ） ｚ １＋３ｉ １＋３ｉ ２＋ｉ １ ７ ， ｚ
（１） ， ， １ ∵ ＝ ＝ （ ）（ ） ＝ － ＋ ｉ ∴ ｜ ｜ ＝
加．或者按多项式加法直接通分也可得到结果． ２－ｉ ２－ｉ ２＋ｉ ５ ５
( ) ( )
（２） 利用 ｉ ｎ （ ｎ ∈ Ｎ∗ ） 的周期性求解． １ ２ ７ ２ ．故选
－ ＋ ＝ ２ Ａ．
利用复数代数形式的乘除运算化简复数ｚ 再代入函数 ５ ５
（３） ，
ｚ （ ）（ ）
解析式求解． （ ）由１＋２ ，得 ｚ ｚ， ｚ －１＋ｉ －１＋ｉ ２－ｉ
２ ｚ ＝ｉ １＋２ ＝ｉ－ｉ ∴ ＝ ＝ （ ）（ ） ＝
（ ）（ ） （ ）（ ） １－ ２＋ｉ ２＋ｉ ２－ｉ
解析 （ ） １－２ｉ １＋２ｉ １－２ｉ １－ｉ ＋ １＋２ｉ １＋ｉ
１ ＋ ＝ （ ）（ ） ＝ １ ３ ．故选 ．
１＋ｉ １－ｉ １＋ｉ １－ｉ － ＋ ｉ Ｃ
５ ５
－１－３ｉ－１＋３ｉ ＝－１ ．故选 Ａ ． 答案 （ ）Ａ （ ）Ｃ
２ １ ２
