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专题十三 应用与创新
应用创新篇
应用创新 一 数学与实际生活 第一题是测量海岛的高.如图 点 Ｅ Ｈ Ｇ 在水
ꎬ ꎬ ꎬ
平线 ＡＣ 上 ＤＥ 和 ＦＧ 是两个垂直于水平面且
解决实际应用问题的关键在于建立数学 ꎬ
等高的测量标杆的高度 称为 表高 ❸ ＥＧ 称为
模型和目标函数 把 问题情境 译为数学语 ꎬ “ ” ꎬ
ꎬ “ ”
表距 ❺ ＧＣ 和ＥＨ都称为 表目距 ＧＣ 与 ＥＨ
言 找出问题的主要关系 并把问题的主要关 “ ” ꎬ “ ”ꎬ
ꎬ ꎬ
的差称为 表目距的差 ❹ 则海岛的高ＡＢ ❷
系近似化 形式化 抽象成数学问题 再化为常 “ ” ꎬ ＝
ꎬ ꎬ ꎬ
规问题 选择合适的数学方法求解. ( )
ꎬ
1.
解答应用题的基本思想
从熟悉的生活 生产和其他学科的实际问题
、
出发 进行观察 比较 分析 综合 抽象 概括
ꎬ 、 、 、 、 、
和必要的逻辑推理 得出数学概念和规律 通 表高 表距 表高 表距
ꎬ ꎬ × 表高 × 表高
过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰 Ａ.表目距的差＋ Ｂ.表目距的差－
化 具体化 找到有效的解题途径 构建数 表高 表距 表高 表距
、 ꎬ ——— × 表距 × 表距❶
Ｃ.表目距的差＋ Ｄ.表目距的差－
学模型 将实际生活问题抽象为数学问题.用
ꎬ
信息提取
框图表示如下
:
❶由四个选项结构形式可知 将所求的海岛高
ꎬ
度用已知的线段长表示出来 由图可知此题使
ꎬ
用解三角形知识解决 重新读题 在题中寻找
ꎬ ꎬ
包含这些量的三角形
ꎻ
❷ 海岛的高 ＡＢ 意思是将海岛的高 ＡＢ 放
“ ＝”
在可解的三角形中 在 ＡＢＨ 或 ＡＢＣ 中虽有
ꎬ △ △
ＡＢ 但由选项可知 这两个三角形中均未有给
ꎬ ꎬ
出的量 表高 表距 表目距 表目距的
“ ”“ ”“ ”“
2.
解决实际问题的步骤 差 故应通过作辅助线 将所给的各量包含在
”ꎬ ꎬ
审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量 所作的三角形中
１) : ꎬ ꎬ ꎻ
关系 初步选择数学模型 ❸ ＤＥ ＦＧ 表高 为两个直角三角形的直角
ꎬ ꎻ “ ＝ ＝ ”
建模 将自然语言转化为数学语言 将文字 边长
２) : ꎬ ꎻ
语言转化为符号语言 利用数学知识 建立 ❹ ＧＣ 与 ＥＨ 的差称为 表目距的差 即表目
ꎬ ꎬ “ ” “ ”
相应的数学模型 距的差 ＧＣ ＥＨ
ꎻ ＝ － ꎻ 专
题
解模 求解数学模型 得出数学结论 ❺线段 ＥＧ 的长度称为 表距 . 十
３) : ꎬ ꎻ “ ”
三
还原 将数学问题还原为实际问题. 解题导引 题目的实际背景为«海岛算经»中测
４) : 应
例1 ( 全国乙ꎬ ꎬ 分)魏晋时期刘徽撰 海岛的高的方法.读题时要抓住本题中的三个 用
２０２１ ９ ５ 与
创
写的 海岛算经 是关于测量的数学著作 其中 关键词———“表高”“表距”“表目距的差”ꎬ由 新
« » ꎬ
３３９
选项可知ꎬ将海岛的高用给出的这几个量表示 2. 理解新定义的概念 法则 对新定义所提取的
、 ꎬ
出.明确考查的内容与解三角形相关后ꎬ再确定 信息进行加工 探求解决方法 有时可以寻求
ꎬ ꎬ
要解的三角形是哪几个ꎬ则需寻找这些量间的 相近知识点 明确它们的共同点和不同点.
ꎬ
关系.从实际背景的描述中通过添加辅助线构 3. 对新定义中提取的知识进行转换 有效的输
ꎬ
造出含有已知量的三角形ꎬ通过求解这几个三 出 其中对新定义信息的提取和化归是解题
ꎬ
角形ꎬ把岛高表示出来即可ꎬ最后还原回用给 的关键 也是解题的难点.如果是新定义的运
ꎬ
定的这几个量表示. 算 法则 直接按照运算法则计算即可 如果
、 ꎬ ꎻ
解析 连接ＦＤ 并延长交ＡＢ 于点Ｍꎬ则ＡＢ 是新定义的性质 一般就要判断性质的适用
＝ ꎬ
ＡＭ ＢＭꎬＭＦ ＡＣ.设 ＢＤＭ αꎬ ＢＦＭ βꎬ则 性 能否利用定义的外延 有时也用特值排除
＋ ∥ ∠ ＝ ∠ ＝ ꎬ ꎬ
ＭＢ ＭＢ ＧＦ 等方法解决.
ＭＦ ＭＤ ＤＦ.又 β ꎬ α
β－ α＝ － ＝ ｔａｎ ＝ＧＣ ｔａｎ 例2 (多选)( 新高考 ꎬ ꎬ 分)信息
ｔａｎ ｔａｎ
２０２０ Ⅰ １２ ５
ＥＤ ＭＢ ＭＢ æ ö
ꎬ所以 ＭＢç １ １ ÷ ＭＢ 熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 Ｘ
＝ＥＨ β－ α＝ è β－ αø ＝
ｔａｎ ｔａｎ ｔａｎ ｔａｎ 所有可能的取值为 ｎ❶ 且Ｐ Ｘ ｉ ｐ
æＧＣ ＥＨö ＧＣ ＥＨ １ꎬ２ꎬꎬ ꎬ ( ＝ )＝ ｉ
ç ÷ꎬ因为 ＧＦ ＥＤꎬ所以 ｎ
èＧＦ－ＥＤø ＝ ＧＦ －ＥＤ ＝ ｉ ｎ ｐ ❷ 定义 Ｘ 的信息
>０( ＝１ꎬ２ꎬꎬ )ꎬ ∑ ｉ＝ ｉ ＝１ ꎬ
１
ＧＣ ＥＨ ＭＢ ＭＢ ＧＣ ＥＨ
ｎ
Ｅ － Ｄ ꎬ所以 ｔａｎ β－ ｔａｎ α＝ ＭＢ Ｅ － Ｄ ＝ ＤＦꎬ 熵 Ｈ ( Ｘ )＝ － ∑ ｉ＝ ｐ ｉｌｏｇ２ ｐ ｉ ❸. ( )
１
ＥＤＤＦ ＥＤＥＧ 若 ｎ 则 Ｈ Ｘ
又易知 ＤＦ ＥＧꎬ所以 ＭＢ Ａ. ＝１ꎬ ( )＝ ０
＝ ＝ ＧＣ ＥＨ ＝ ＧＣ ＥＨ
－ － 若 ｎ 则 Ｈ Ｘ 随着 ｐ 的增大而增大
Ｂ. ＝２ꎬ ( ) １
表高 表距 表高 表距
× ꎬ所以海岛的高 ＡＢ ×
＝表目距的差 ＝表目距的差 若 ｐ １ ｉ ｎ 则 Ｈ Ｘ 随着 ｎ 的
Ｃ. ｉ＝ ｎ( ＝１ꎬ２ꎬꎬ )ꎬ ( )
表高(注意将各线段用专用的术语表示出
增大而增大
＋
来)ꎬ故选 .
若 ｎ ｍ 随机变量 Ｙ 所有可能的取值为
Ａ
Ｄ. ＝２ ꎬ １ꎬ
ｍ 且 Ｐ Ｙ ｊ ｐ ｐ ｊ
２ꎬꎬ ꎬ ( ＝ )＝ ｊ＋ ２ ｍ ＋１－ ｊ( ＝１ꎬ２ꎬꎬ
ｍ 则 Ｈ Ｘ Ｈ Ｙ
)ꎬ ( )≤ ( )
信息提取
答案 ❶ 设随机变量 Ｘ 所有可能的取值为
Ａ “ １ꎬ２ꎬꎬ
ｎ 意味着题目给出一个随机变量可以取到的
”
应用创新 二 数学中的新定义问题
值 形式上是一个概率问题
ꎬ ꎻ
新定义问题是相对于高中教材而言的 指 ｎ
ꎬ ❷ Ｐ Ｘ ｉ ｐ ｉ ｎ ｐ
在高中教材中不曾出现过的概念 定义 定理 “ ( ＝ )＝ ｉ>０( ＝１ꎬ２ꎬꎬ )ꎬ ∑ ｉ＝ ｉ＝１”
5 、 、 意思是随机变量取每一个值时的概率 １ 这实际
年 以及性质.它的一般形式是由命题者先给出一 ꎬ
高
上是给出了一个分布列
考
个新的概念 新的运算法则或者给出一个抽象 ꎻ
3 ꎬ
ｎ
年
函数的性质等 然后让学生按照这种 新定义 ❸ 定义 Ｘ 的信息熵 Ｈ Ｘ ｐ ｐ 是
模 拟 ꎬ “ ” “ ( )＝ － ∑ ｉ＝ ｉｌｏｇ２ ｉ”
去解决相关的问题. １
一个用求和符号给出的新定义 可以依据求和
A
ꎬ
版 新定义问题的解题步骤
ｎ
:
高 1. 符号的意义 将其展开为 Ｈ Ｘ ｐ
考 数 对新定义进行信息提取 ꎬ 明确新定义的名称 ꎬ ( )＝ － ∑ ｉ＝ １ ｉ
学 和符号. ｌｏｇ２ ｐ ｉ＝ －( ｐ １ｌｏｇ２ ｐ １ ＋ ｐ ２ｌｏｇ２ ｐ ２ ＋＋ ｐ ｎ －１
３４０
ｐ ｐ ｐ 通过展开式找到 Ｈ Ｘ 与
ｌｏｇ２ ｎ －１ ＋ ｎｌｏｇ２ ｎ)ꎬ ( ) 对于 ꎬ由 ｐ １(ｉ ꎬ ꎬꎬｎ)可知ꎬＨ(Ｘ)
Ｃ ｉ ＝ ｎ ＝１ ２ ＝
Ｈ Ｙ 之间的联系.
( )
ｎ ｎ
解题导引 题目的实际背景虽然为概率问题ꎬ
ｐ ｐ １ １ ｎꎬ
但实际上是给出一个新定义“信息熵”.由所给 － ∑ ｉ＝ １ ｉｌｏｇ２ ｉ＝－ ∑ ｉ＝ １ ｎｌｏｇ２ ｎ ＝ｌｏｇ２
Ｈ(Ｘ)随着 ｎ 的增大而增大ꎬ 正确.
出的四个选项可知ꎬ本题实质上考查对数的运 ∴ Ｃ
对于 ꎬ解法一(特例法):不妨设ｍ ꎬｎ ꎬ
算、对数型函数的单调性及对数式的大小比较 Ｄ ＝１ ＝２
２
等内容ꎬ四个选项引导学生由浅入深ꎬ层层深 则Ｈ(Ｘ) ｐ ｐ (ｐ ｐ ｐ ｐ )ꎬ
＝－∑ ｉ＝ ｉｌｏｇ２ ｉ＝－ １ｌｏｇ２ １ ＋ ２ｌｏｇ２ ２
入考查对数的运算及转化思想ꎻ其中 选项需 １
Ｂ
由于ｐ ｐ ꎬ不妨设 ｐ ｐ １ꎬ则 Ｈ(Ｘ)
要构造一个函数ꎬ通过导数的符号来判断函数
１
＋
２
＝１
１
＝
２
＝ ＝
２
的单调性ꎬ从而进行选择ꎬ对于 选项ꎬ需明确 æ ö
Ｄ ç １ １ １ １÷ ꎬＨ(Ｙ)
给出的式子“Ｐ(Ｙ ｊ) ｐ ｐ ”的含义ꎬ由特 －è ｌｏｇ２ ＋ ｌｏｇ２ ø ＝ｌｏｇ２２＝１ ＝ －１×ｌｏｇ２１
＝ ＝ ｊ＋ ２ ｍ ＋１－ ｊ ２ ２ ２ ２
殊到一般的思想归纳出其意义ꎬ从而得到 ꎬ故Ｈ(Ｘ) Ｈ(Ｙ)ꎬ 不正确.
＝０ > Ｄ
解法二:由 Ｐ(Ｙ ｊ) ｐ ｐ (ｊ ꎬ ꎬꎬｍ)ꎬ
Ｈ(Ｙ) ＝ － [(ｐ １ ＋ ｐ ２ ｍ ) ｌｏｇ２ (ｐ １ ＋ ｐ ２ ｍ ) ＋ (ｐ ２ ＋ ｐ ２ ｍ －１ ) ＝ ＝ ｊ＋ ２ ｍ ＋１－ ｊ ＝１ ２
得 Ｐ(Ｙ ) ｐ ｐ ꎬＰ(Ｙ ) ｐ ｐ ꎬꎬ
ｌｏｇ２ (ｐ ２ ＋ ｐ ２ ｍ －１ ) ＋ ＋ (ｐ ｍ＋ ｐ ｍ ＋１ ) ｌｏｇ２ (ｐ ｍ＋ ＝１ ＝ １ ＋ ２ ｍ ＝２ ＝ ２ ＋ ２ ｍ －１
Ｐ(Ｙ ｍ) ｐ ｐ ꎬ Ｈ(Ｙ) [(ｐ ｐ )
ｐ ｍ ＋１ )]ꎬＨ(Ｘ) ＝ － (ｐ １ ｌｏｇ２ ｐ １ ＋ ｐ ２ ｌｏｇ２ ｐ ２ ＋ ＋ ＝ ＝ ｍ＋ ｍ ＋１ ∴ ＝ － １ ＋ ２ ｍ
(ｐ ｐ ) (ｐ ｐ ) (ｐ ｐ )
ｐ ２ ｍ －１ ｌｏｇ２ ｐ ２ ｍ －１ ＋ ｐ ２ ｍ ｌｏｇ２ ｐ ２ ｍ )ꎬ然后再比较 Ｈ ｌｏｇ２ １ ＋ ２ ｍ ＋ ２ ＋ ２ ｍ －１ ｌｏｇ２ ２ ＋ ２ ｍ －１ ＋ ＋
(ｐ ｐ ) (ｐ ｐ )]ꎬ
(Ｘ)、Ｈ(Ｙ)的大小(也可用特例法). ｍ＋ ｍ ＋１ ｌｏｇ２ ｍ＋ ｍ ＋１
ｍ
解析 对于 ꎬ若 ｎ ꎬ则 ｐ ꎬ Ｈ(Ｘ) ２
由 ｎ ｍꎬ得 Ｈ(Ｘ) ｐ ｐ (ｐ ｐ
ꎬ Ａ 正确. ＝１ １ ＝１ ∴ ＝ ＝２ ＝ － ∑ ｉ＝ １ ｉｌｏｇ２ ｉ＝－ １ｌｏｇ２ １
－１×ｌｏｇ２１＝０ Ａ ｐ ｐ ｐ ｐ )ꎬ不妨设 ａ ꎬ ｂ
对于 ꎬ若 ｎ ꎬ则 ｐ ｐ ꎬ ＋ ２ｌｏｇ２ ２ ＋ ＋ ２ ｍｌｏｇ２ ２ ｍ ０< <１ ０< <
Ｂ ＝２ １ ＋ ２ ＝１ ꎬ且 ａ ｂ ꎬ
１ ０< ＋ ≤１
２
Ｈ ( Ｘ) ｐ ｐ ( ｐ ｐ 则 ａ (ａ ｂ)ꎬａ ａ ａ (ａ ｂ)ꎬ同理ꎬ
∴ ＝ － ∑ ｉ＝ ｉｌｏｇ２ ｉ ＝ － １ｌｏｇ２ １ ＋ ｌｏｇ２ <ｌｏｇ２ ＋ ｌｏｇ２ < ｌｏｇ２ ＋
１ ｂ ｂ ｂ (ａ ｂ)ꎬ ａ ａ ｂ ｂ (ａ ｂ)
ｐ
２ｌｏｇ２
ｐ
２
)ꎬ
∵
ｐ
１ ＋
ｐ
２ ＝１
ꎬ
∴
ｐ
２ ＝１－
ｐ
１
ꎬｐ
１∈
(
０
ꎬ
１
)ꎬ ｌｏｇ２ < ｌｏｇ２ ＋ ∴ ｌｏｇ２ ＋ ｌｏｇ２ < ＋
(ａ ｂ)ꎬ
∴
Ｈ(Ｘ)
＝ －
[ｐ
１ｌｏｇ２
ｐ
１ ＋
(
１－
ｐ
１
)
ｌｏｇ２
(
１－
ｐ
１
)]ꎬ ｌｏｇ２ ＋
ｐ ｐ ｐ ｐ (ｐ ｐ ) (ｐ ｐ )ꎬ
令 ｆ(ｐ １ ) ＝ － [ｐ １ｌｏｇ２ ｐ １ ＋ ( １－ ｐ １ ) ｌｏｇ２ ( １－ ｐ １ )]ꎬ ∴ １ｌｏｇ２ １ ＋ ２ ｍｌｏｇ２ ２ ｍ< １ ＋ ２ ｍ ｌｏｇ２ １ ＋ ２ ｍ
ｐ ｐ ｐ ｐ (ｐ ｐ ) (ｐ
é ê ２ｌｏｇ２ ２ ＋ ２ ｍ －１ ｌｏｇ２ ２ ｍ －１ < ２ ＋ ２ ｍ －１ ｌｏｇ２ ２ ＋
ｆ ′(ｐ ) êｐ １ ｐ ( ｐ )
∴ １ ＝ － ë １ ｐ ＋ｌｏｇ２ １ ＋ １－ １ ｐ ｍ )ꎬ
１ ｌｎ ２ ２ －１
ù
ú
－１ ( ｐ ) ú [ ｐ (
( ｐ ) －ｌｏｇ２ １－ １ û＝ － ｌｏｇ２ １ －ｌｏｇ２ １－ ｐ ｐ ｐ ｐ (ｐ ｐ ) (ｐ
１－ １ ｌｎ ２ ｍｌｏｇ２ ｍ＋ ｍ ＋１ ｌｏｇ２ ｍ ＋１ < ｍ ＋ ｍ ＋１ ｌｏｇ２ ｍ ＋
ｐ ｐ )ꎬ
ｐ )] １－ １ꎬ ｍ ＋１
１ ＝ｌｏｇ２ ｐ ｍ ｍ
２
１ ｐ ｐ ( ｐ ｐ ) ( ｐ
令 ｆ ′(ｐ ) ꎬ得 ｐ １ꎻ令 ｆ ′(ｐ ) ꎬ得１ ∴ ∑ ｉ＝ １ ｉｌｏｇ２ ｉ < ∑ ｊ＝ １ ｊ ＋ ２ ｍ ＋１－ ｊ ｌｏｇ２ ｊ ＋
１ >０ ０< １< １ <０ < ｐ )ꎬ Ｈ(Ｘ) Ｈ(Ｙ)ꎬ 不正确.
２ ２ ２ ｍ ＋１－ ｊ ∴ > Ｄ
ｐ . 答案 专
１<１ ＡＣ 题
æ ö æ ö 十
ｙ ｆ(ｐ )在ç ꎬ１ ÷上为增函数ꎬ在ç１ꎬ ÷上为 三
应用创新 三 数学文化
∴ ＝ １ è０ ø è １ø
２ ２ 应
用
减函数ꎬ Ｈ(Ｘ)随着 ｐ 的增大先增大后减小ꎬ 高考对数学文化的考查主要有三个方面
与
∴ １ : 创
不正确. 一是利用古代数学文化为背景命制与核心考 新
Ｂ
３４１
点相结合的题目 二是利用相关数学知识直接 设 Ｓ 为{ａ }的前 ｎ 项和ꎬ则第一层、第二层、
ꎻ ｎ ｎ
解答古代数学问题 三是利用古代数学成果解 第三层的块数分别为 Ｓ ꎬＳ Ｓ ꎬＳ Ｓ (用等
ꎻ ｎ ２ ｎ－ ｎ ３ ｎ－ ２ ｎ
决实际问题.解决的关键是从中提取出数学问 差数列的前 ｎ 项和表示出“上、中、下”三层的
题 利用相关的数学知识进行求解. 每层石板总数)ꎬ
ꎬ
例3 ( 课标 理ꎬ ꎬ 分)北京天坛的圜 因为下层比中层多 块ꎬ
２０２０ Ⅱ ４ ５ ７２９
丘坛为古代祭天的场所 分上 中 下三层❷.上 所以 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ ꎬ
ꎬ 、 、 ３
ｎ－
２
ｎ＝
２
ｎ－ ｎ＋７２９
层中心有一块圆形石板 称为天心石 环绕天 ｎ( ｎ) ｎ( ｎ) ｎ( ｎ)
( )ꎬ 即 ３ ９＋２７ ２ ９＋１８ ２ ９＋１８
－ ＝ －
心石砌 块扇面形石板构成第一环❹ 向外每 ２ ２ ２
９ ꎬ
ｎ( ｎ)
环依次增加 块.下一层的第一环比上一层的 ９＋９ ꎬ即 ｎ２ ꎬ解得 ｎ ꎬ
９ ＋７２９ ９ ＝７２９ ＝９
最后一环多 块 向外每环依次也增加 块❸. ２
９ ꎬ ９ ( )
已知每层环数相同❶ ꎬ 且下层比中层多 ７２９ 所以 Ｓ ３ ｎ＝ Ｓ ２７ ＝ ２７× ９＋９×２７ ＝３ ４０２ .故选 Ｃ .
２
块❺ 则三层共有扇面形石板❻ 不含天心石 答案
ꎬ ( )
Ｃ
( )
应用创新 四 跨学科交汇
数学是研究数量关系和空间形式的科学
ꎬ
高度的抽象性 结论的确定性和广泛的应用性
、
块 块 是数学的特点.目前在高中数学教材中出现越
Ａ.３ ６９９ Ｂ.３ ４７４
块 块 来越多的跨学科融合试题 更多的体现了数学
Ｃ.３ ４０２ Ｄ.３ ３３９ ꎬ
信息提取 在其他学科中的应用 主要体现在平面向量
ꎬ 、
❶从题中体会 层 与 环 的区别与联系 导数与物理学的应用 立体几何在化学物质结
“ ” “ ” ꎻ ꎬ
❷结合图形 明确 三层且每层的环数相同 的 构的应用 排列组合在生物学中的应用等.
ꎬ “ ” ꎬ
实际意义 例4 ( 新高考 ꎬ ꎬ 分)卫星导航系统
ꎻ ２０２１ Ⅱ ４ ５
❸自上而下的各环的石板数下一环均比上一 中 地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤
ꎬ
环多 块 意味着这道题使用等差数列的知识 道所在平面 轨道高度为 轨道高度
９ ꎬ ꎬ ３６ ０００ ｋｍ(
解决 且等差数列的公差为 指卫星到地球表面的最短距离 把地球看成
ꎬ ９ꎻ )ꎬ
❹等差数列的首项为 一个球心为 Ｏ 半径 ｒ 为 ❹ 的球 其上
９ꎻ ꎬ ６ ４００ ｋｍ ꎬ
❺若设第 ｎ 环扇面形石板块数为 ａ 第一层共 点 Ａ 的纬度是指 ＯＡ 与赤道所在平面❸所成角
ｎꎬ
有 ｎ 环 第二层为第 ｎ 环至第 ｎ 环 第三层 的度数 地球表面能直接观测到的一颗地球静
ꎬ ＋１ ２ ꎬ ꎬ
为第 ｎ 环至第 ｎ 环 并且设 Ｓ 为 ａ 的 止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为
２ ＋１ ３ ꎬ ｎ { ｎ}
前 ｎ 项和 也就是 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ α❷ 该卫星信号覆盖的地球表面面积Ｓ ｒ２
5 ꎬ ３ ｎ－ ２ ｎ＝ ２ ｎ－ ｎ＋７２９ꎻ ꎬ ＝２π
年 ❻求三层共有扇面形石板数 也就是求等差数 α 单位 ２ 则 Ｓ 占地球表面积的
高 ꎬ (１－ｃｏｓ )( :ｋｍ )ꎬ
考 列前 ｎ 项的和 Ｓ . 百分比❶约为
3 ３ ３ ｎ ( )
年 解析 设第 ｎ 环扇面形石板块数为 ａ ꎬ第一
模 ｎ
拟
层共有 ｎ 环ꎬ
A
版 则{ａ }是以 为首项ꎬ 为公差的等差数列ꎬ ％ ％ ％ ％
ｎ ９ ９ Ａ.２６ Ｂ.３４ Ｃ.４２ Ｄ.５０
高
(将题中的各量用字母表示出来)ａ (ｎ 信息提取
考 ｎ ＝９＋ －
数
学 ) ｎꎬ ❶题目背景新颖 出现较多 陌生词 可以考
１ ×９＝９ ꎬ “ ”ꎬ
３４２
虑从所求入手.
Ｓ
求 Ｓ 占 地 球 表 面 积 的 百 分 比 即
ꎬ Ｓ ＝
球
ｒ２ α α
２π (１－ｃｏｓ ) １－ｃｏｓ 求解 α 即可.
ｒ２ ＝ ꎬ
４π ２
❷α 为纬度的最大值 需在题中找 纬度 .
ꎬ “ ”
❸根据纬度定义画出图形 过 Ｂ 作球 Ｏ 竖截面
ꎬ
的切线 切点为 Ａ 则 Ａ 处的纬度即为 α 即 α
ꎬ ꎬ ꎬ
ＡＯＢ.
＝∠
ＯＡ
在 ＡＯＢ 中 α .
Ｒｔ△ ꎬｃｏｓ ＝ＯＢ
❹轨道高度 ＢＣ 则 ＯＢ ｒ ＢＣ
＝ ３６ ０００ ｋｍꎬ ＝ ＋ ＝
.
３６ ０００＋６ ４００＝４２ ４００ ｋｍ
解析 如图ꎬ由题意知
ＯＢ ＯＣ ＢＣ
＝ ＋ ＝ ３６ ０００＋
( )ꎬＯＡ
６ ４００＝ ４２ ４００ ｋｍ
ꎬＯＡ ＡＢꎬ
＝６ ４００ ｋｍ ⊥
(将题中所给的几何条件通过空间几何图形表
示出来ꎬ找到地球表面上 Ａ 点能观测到卫星点
Ｂ 的纬度最大值ꎬ为 α)
ＯＡ
在 ＡＯＢ 中ꎬ α ６ ４００ ８.
Ｒｔ△ ｃｏｓ ＝ＯＢ＝ ＝
４２ ４００ ５３
又 卫星信号覆盖的地球表面面积为 Ｓ ｒ２
∵ ＝２π
( α) ２ꎬ地球表面积为 ｒ２ ２ꎬ
１－ｃｏｓ ｋｍ ４π ｋｍ
ｒ２( α)
Ｓ 占地球表面积的百分比为２π １－ｃｏｓ
∴ ｒ２
４π
４５ . ％ꎬ故选 .
＝ ≈０ ４２＝４２ Ｃ
１０６
答案
Ｃ
专
题
十
三
应
用
与
创
新
３４３
