文档文本内容
专
题
十
一
概
率
与
统
计
／
１３３
１１．４ 抽样方法与总体分布的估计
§
３．用样本的数字特征估计总体的数字特征
数字特征 样本数据 频率分布直方图
出现 次数最多 的 取最高的小长方形底边中点的
考点一 随机抽样 众数 ⑤
数据 横坐标
１．简单随机抽样 将数据按大小依次排
把频率分布直方图划分为左右
定义 一般地 设一个总体含有Ｎ Ｎ为正整数 个个体 列 处在最中间位置的
（１） ： ， （ ） ， 中位数 ， 两个面积相等的部分 分界线与
从中逐个 不放回 地抽取ｎ ｎ Ｎ 个个体作为样本 如果 一个数据 或最中间两 ，
① （１≤ ＜ ） ， （ ｘ轴交点的横坐标
每次∙抽∙取时各个个体被抽到的机会都相等 就把这种抽样方法 个数据的 平均数
， ⑥ ）
叫做简单随机抽样． ∙∙∙∙∙ 样本数据的算术平 每个小长方形的面积乘小长方
平均数
最常用的简单随机抽样方法有两种 随机数法和抽签法． 均数 形底边中点的横坐标之和
（２） ：
２．分层抽样 方差和标准差反映了数据波动程度的大小．
定义 一般地 在抽样时 将总体分成 互不交叉 的
层 然 （ 后 １） 按照一 ： 定的比 ， 例 从各层 ， 独立地抽取一 ② 定 数量的个体 方差 ： ｓ２ ＝ ｎ １ ［（ ｘ １－ ｘ ） ２ ＋（ ｘ ２－ ｘ ） ２ ＋…＋（ ｘ ｎ－ ｘ ） ２ ］；
， ， ，
将各层取出的个体合在一起作为样本 这种抽样方法是分层
抽样． ， 标准差 ： ｓ ＝ ｎ １ ［（ ｘ １－ ｘ ） ２ ＋（ ｘ ２－ ｘ ） ２ ＋…＋（ ｘ ｎ－ ｘ ） ２ ］ ．
应用范围 总体是由 差异明显 的几个部分组成的． 注意 方差和标准差描述了一组数据与平均数的离散程
（２） ： ③
分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层 实质 度 反映了一组数据相对于平均数的波动情况 标准差和方差越
（３） ， ， ，
样本容量 各层所抽取的个体数 大 说明这组数据的波动性越大．
是等比例抽样 抽样比 ． ，
， ＝总体容量＝ 各层个体数 ４．茎叶图
茎叶图是统计中用来表示数据的一种图 茎是指中间的
考点二 用样本估计总体 （１） ，
一列数 叶就是从茎的旁边生长出来的数．
，
１．频率分布表与频率分布直方图 茎叶图的画法步骤
（２）
频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤如下 第一步 将每个数据分为茎 高位 和叶 低位 两部分
： ： （ ） （ ） ；
求极差 即求一组数据中最大值与最小值的差 第二步 将最小茎与最大茎之间的数按大小顺序排成一列．
（１） ， ； ：
决定组距与组数 ５．百分位数
（２） ；
将数据分组 把 个样本数据按从小到大排序 得到第ｐ个和第ｐ
（３） ； （１） １００ ， ＋１
列频率分布表 落在各小组内的数据的个数叫做频数 个数据分别为ａ ｂ．可以发现 区间 ａ ｂ 内的任意一个数 都能把样
（４） ， ， ， ， （ ， ） ，
每小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率 计算各 本数据分成符合要求的两部分．一般地 我们取这两个数的平均数
， ，
小组的频率 列出频率分布表 ａ ｂ
， ； ＋ ｃ 并称此数为这组数据的第ｐ百分位数 或ｐ％分位数．
画频率分布直方图 依据频率分布表画出频率分布直方 ＝ ， ，
（５） ， ２
图 其中纵坐标 小长方形的高 表示频率与组距的比值 其相应 一般地 一组数据的第ｐ百分位数是这样一个值 它使
， （ ） ， （２） ， ，
组距上的频率等于该组上的小长方形的面积 即每个小长方形 得这组数据中至少有 ｐ％的数据小于或等于这个值 且至少有
， ，
频率 ｐ ％的数据大于或等于这个值．
的面积 组距 频率． （１００－ ）
＝ ×组距 ＝ 四分位数
（３）
各个小长方形面积的总和等于 ． 常用的分位数有第 百分位数 第 百分位数 即中位
④ １ ２５ ， ５０ （
２．频率分布折线图和总体密度曲线 数 第 百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数
）， ７５
频率分布折线图 连接频率分布直方图中各小长方形上 据分成四等份 因此称为四分位数．其中第 百分位数也称为第
（１） ： ， ２５
端的中点 就得到频率分布折线图． 一四分位数或下四分位数等 第 百分位数也称为第三四分位
， ， ７５
总体密度曲线 随着样本容量的增加 作频率分布直方图时 数或上四分位数等．
（２） ： ，
所分的组数增加 组距减小 相应的频率分布折线图会越来越接近
， ，
于一条光滑曲线 统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．
，
A
版
高
考
数
学
／
１３４
２．用频率分布直方图估计样本的数字特征
ｎ
平均数 ｘ ｘＳ ｘ 表示第ｉ个小矩形底边中点的横
（１） ： ＝ ∑ｉ＝ ｉ ｉ（ ｉ
１
考法一 频率分布直方图的应用 坐标 Ｓ 表示第ｉ个小矩形的面积 ．
， ｉ ）
ｎ
司规 定
例
招
１
聘 的
（２
职
０
工
２１
须
届
参
山
加
东
不
师
少
范
于
大学附
小
属
时
中
的
学
某
一
种
模
技
，
能
１９
培
）
训
某
才
新
能
建公
上
（２） 方差 ： ｓ２ ＝ ∑ｉ＝
１
（ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ · Ｓ ｉ ．
， ８０ 众数 最高小矩形底边中点的横坐标．
班 公司人事部门在招聘的职工中随机抽取 名参加这种技能培 （３） ：
， ２００ 中位数 把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的
训的职工的数据 按时间段 （４） ：
， ［７５，８０），［８０，８５），［８５，９０），［９０，９５）， 部分时 分界线与横轴交点的横坐标．
单位 小时 进行统计 其频率分布直方图如图所示． ，
［９５，１００］（ ： ） ， 经典例题教师用书
例 某大学艺术专业的 名学生参加某次测评 根据男女学
４００ ，
生人数比例 使用分层抽样的方法从中随机抽取了 名学生
， １００ ，
记录他们的分数 将数据按 分成
， ［２０，３０），［３０，４０），…，［８０，９０］
组 并整理得到如图所示的频率分布直方图．
７ ，
求抽取的 名职工中 参加这种技能培训时间不少于
（１） ２００ ，
小时的人数 并估计从招聘职工中任意选取一人 其参加这种
９０ ， ，
技能培训时间不少于 小时的概率
９０ ；
从招聘职工 人数很多 中任意选取 人 记 Ｘ 为这
（２） （ ） ３ ， ３
名职工中参加这种技能培训时间不少于 小时的人数 试求Ｘ
９０ ，
的分布列及数学期望Ｅ Ｘ 和方差Ｄ Ｘ ． 估计总体的众数
（ ） （ ） （１） ；
解题导引 利用频率分布直方图求 的人数 已知样本中分数小于 的学生有 人 试估计总体中
（１） ［９０，１００］ ， （２） ４０ ５ ，
求得概率． 分数在区间 内的人数
［４０，５０） ；
确定Ｘ的所有值 Ｘ Ｂ ｎ ｐ 利用二项分布求解． 已知样本中有一半男生的分数不小于 且样本中分
（２） ， ～ （ ， ）， （３） ７０，
解析 （ ）依题意，培训时间在［ ， ）小时的人数为
数不小于
７０
的男女学生人数相等．试估计总体中男生和女生人
１ ９０ ９５ ２００× 数的比例．
． ，在［ ， ］小时的人数为 ． ，
００６×５＝６０ ９５ １００ ２００×００２×５＝２０ 解题导引
参加这种技能培训时间不少于 小时的频率为６０＋２０
∴ ９０ ＝
２００
． ，故参加这种技能培训时间不少于 小时的概率Ｐ ． ．
０４ ９０ ＝０４
( )
（ ）依题意，随机变量Ｘ服从二项分布Ｂ ，２ ，且随机变
２ ３
５
量Ｘ的可能取值为 ， ， ， ，
０ １ ２ ３
( ) ( )
３ ２
Ｐ（Ｘ ） ０ ３ ２７，Ｐ（Ｘ ） １ ２ ３ ５４，
＝０ ＝Ｃ３ ＝ ＝１ ＝Ｃ３ ＝
５ １２５ ５ ５ １２５
( ) ( )
２ ３
Ｐ（Ｘ ） ２ ２ ３ ３６，Ｐ（Ｘ ） ３ ２ ８ ，
＝２ ＝Ｃ３ ＝ ＝３ ＝Ｃ３ ＝
５ ５ １２５ ５ １２５
则随机变量Ｘ的分布列为
解析 （ ）由频率分布直方图可估计总体的众数为７０＋８０
１
Ｘ ２
０ １ ２ ３ ．
＝７５
Ｐ ２７ ５４ ３６ ８ （ ）由频率分布直方图可知，样本中分数在区间［ ， ］内
２ ５０ ９０
１２５ １２５ １２５ １２５ 的人数为（ ． ． ． ． ） ．
００１＋００２＋００４＋００２ ×１０×１００＝９０
Ｅ Ｘ ２ ６ Ｄ Ｘ ２ ３ １８． 因为样本中分数小于 的学生有 人，
∴ （ ）＝３× ＝ ， （ ）＝３× × ＝ ４０ ５
５ ５ ５ ５ ２５ 所以样本中分数在区间［ ， ）内的人数为 ．
方法总结 １．用频率分布直方图解决相关问题时 应正确 ４０ ５０ １００－９０－５＝５
， 设总体中分数在区间［ ， ）内的人数为ｘ，则 ５ ｘ ，解
理解图中各个量的意义 识图掌握信息是解决该类问题的关键． ４０ ５０ ＝
， １００ ４００
频率分布直方图有以下几个特点 纵轴表示频率／组距 得ｘ ，
：（１） ； ＝２０
频率分布直方图中各小长方形高的比就是相应各组的频率 故估计总体中分数在区间［ ， ）内的人数为 ．
（２） ４０ ５０ ２０
之比 直方图中各小长方形的面积是相应各组的频率 所有 （ ）由频率分布直方图可知，样本中分数不小于 的人数
；（３） ， ３ ７０
的小长方形的面积之和等于 即频率之和为 ． 为（ ． ． ） ．
１， １ ００４＋００２ ×１０×１００＝６０
专
题
十
一
概
率
与
统
计
／
１３５
因为样本中分数不小于 的男女学生人数相等，所以样本 随机抽取 件进行检测 结果统计如图
７０ １００ ， ：
中分数不小于 的男生人数为 ．
７０ ３０
因为样本中有一半男生的分数不小于 ，所以样本中男生
７０
的人数为 ，女生的人数为 ．由样本估计总体，得总体中男生
６０ ４０
和女生人数的比例约为 ．
３ ∶ ２
例 （２０１８安徽淮北一模，１９）下图为 届淮北师范大
２０１７
学数学与应用数学专业Ｎ名毕业生的综合测评成绩 百分制
（ ）
的频率分布直方图 已知 分数段的毕业生人数为 ．
， ８０～９０ ２１
根据已知数据 判断是否有 ％的把握认为一等级产品
（１） ， ９９
与生产线有关
；
分别计算两条生产线抽样产品获利的方差 以此作为判
（２） ，
断依据 说明哪条生产线的获利更稳定
， ；
估计该厂产量为 件产品时的利润以及一等级产
（３） ２ ０００
品的利润．
ｎ ａｄ ｂｃ ２
求该专业毕业总人数Ｎ和 分数段内的人数ｎ
附
：
Ｋ２
＝ ａ ｂ ｃ
（
ｄ
－
ａ
）
ｃ ｂ ｄ
．
（１） ９０～９５ ； （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
现欲将 分数段内的ｎ名毕业生随机地分配到Ａ
（２） ９０～９５ 、 Ｐ （ Ｋ２ ≥ ｋ ） ０ ． ０５０ ０ ． ０１０ ０ ． ００１
Ｂ Ｃ三所学校 每所学校至少分配两名毕业生． ｋ ． ． ．
、 ， ３８４１ ６６３５ １０８２８
若这ｎ名毕业生中甲 乙两人必须进同一所学校 共有多
① 、 ， 解析 （ ）根据已知数据可建立 列联表如下：
少种不同的分配方法 １ ２×２
？ 一等级产品 非一等级产品 合计
若这ｎ名毕业生中恰有两名女生 设随机变量ξ表示ｎ名
② ， 生产线
毕业生中分配往Ｂ学校的两名毕业生中女生的人数 求ξ的分 Ａ ２０ ８０ １００
， 生产线
布列和数学期望． Ｂ
合计
３５ ６５ １００
５５ １４５ ２００
解题导引
ｎ（ａｄ ｂｃ）２ （ ）２
Ｋ２ － ２００× ２０×６５－３５×８０
＝（ａ ｂ）（ｃ ｄ）（ａ ｃ）（ｂ ｄ）＝ ≈
＋ ＋ ＋ ＋ ５５×１４５×１００×１００
． ． ．
５６４３＜６６３５
所以没有 ％的把握认为一等级产品与生产线有关．
９９
（ ）从 生产线随机抽取的 件产品获利的平均数为
２ Ａ １００
ｘ １ （ ） （元），方差为 ｓ２ １
解析 （ ） 分数段的频率ｐ （ ． ． ） ． ， １＝ × １０×２０＋８×６０＋６×２０ ＝ ８ １＝ ×
１ ８０～９０ １＝ ００４＋００３ ×５＝０３５
［（ ）
１
２
００
（ ）２ （ ）２ ］ ． ，
１００
１０－８ ×２０＋ ８－８ ×６０＋ ６－８ ×２０ ＝１６
此分数段的毕业生人数为 ， 毕业生的总人数Ｎ ２１
２１ ∴ ＝ ． ＝ 从 生产线随机抽取的 件产品获利的平均数为ｘ １
， 分数段的频率ｐ （ ． ． ． ． ．
０３５
．
Ｂ １００ ２＝
１００
６０ ９０～９５ ２＝１－ ００１＋００４＋００５＋００４＋００３＋０ （ ） ． （元），
） ． ， × １０×３５＋８×４０＋６×２５ ＝８２
０１ ×５＝０１
∴９０～９５
分数段内的人数ｎ
＝６０×０
．
１＝６
． 方差为ｓ２
２＝
１
×
［（
１０－８
．
２
）２
×３５＋
（
８－８
．
２
）２
×４０＋
（
６－８
．
２
）２
×
（ ） 将 分数段内的 名毕业生随机地分配到Ａ、Ｂ、 １００
２ ① ９０～９５ ６ ］ ． ．所以ｓ２ ｓ２，则 生产线的获利更稳定．
Ｃ三所学校，每所学校至少分配两名毕业生，且甲、乙两人必须 ２５ ＝２３６ １＜ ２ Ａ
（ ）从 ， 生产线共随机抽取的 件产品获利的平均数
２ ２ ３ Ａ Ｂ ２００
进同一所学校，则共有Ｃ Ａ ４Ｃ ２ ２ ２· Ａ ３ ３＝１８ 种不同的分配方法． 为 １ × ［ １０× （ ２０＋３５ ） ＋８× （ ６０＋４０ ） ＋６× （ ２０＋２５ ）］ ＝８ ． １ （元），
ξ的所有可能取值为 ， ， ， ２００
② ０ １ ２ 由样本估计总体，当产量为 件产品时，估计该工厂获
２ ０００
Ｐ（ξ ＝０ ） ＝ Ｃ
Ｃ
０ ２Ｃ
２ ６
２ ４ ＝
１
６
５
， 利 ２
因
００
为
０×
从
８ ． １
Ａ
＝
，
１
Ｂ
６
生
２０
产
０ （
线
元
共
）．
随机抽取的 ２００ 件产品中， Ａ 生产线
Ｐ（ξ ） Ｃ
１
２Ｃ
１
４ ８ ，Ｐ（ξ ） Ｃ
２
２Ｃ
０
４ １ ，
生产的一等级产品有
２０
件，
Ｂ
生产线生产的一等级产品有
３５
＝１ ＝ ２ ＝ ＝２ ＝ ２ ＝ 件，由样本频率估计总体概率，
Ｃ６ １５ Ｃ６ １５
所以ξ的分布列为
得该工厂生产产品为一等级产品的概率估计值为２０＋３５
ξ ＝
０ １ ２ ２００
Ｐ ６ ８ １ １１，当产量为 件产品时，估计该工厂一等级产品获利
２０００ ２０００
１５ １５ １５ ４０
所以随机变量ξ的数学期望Ｅ ξ ６ ８ １ ２． １１ （元）．
（ ）＝０× ＋１× ＋２× ＝ × ×１０＝５５００
１５ １５ １５ ３ ４０
方法总结 １．平均数 中位数 众数与方差 标准差都是重
、 、 、
考法二 样本的数字特征及其应用
要的数字特征 利用它们可对总体进行一种简明的描述 它们所
， ，
例２ （２０２１届新教材地区第一次月考）某工厂 两 反映的情况有着重要的实际意义 平均数 中位数 众数可描述
Ａ，Ｂ ， 、 、
条生产线生产同款产品 若产品按照一 二 三等级分类 则每件 总体的集中趋势 方差和标准差可描述波动大小．
， 、 、 ， ，
可分别获利 元 元 元 现从 生产线生产的产品中各 ２．有关平均数 方差的一些结论
１０ 、８ 、６ ， Ａ，Ｂ 、 ：
A
版
高
考
数
学
／
１３６
若数据ｘ ｘ ｘ 的平均数为ｘ 那么ｍｘ ａ ｍｘ ａ 情况 判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好．
（１） １， ２，…， ｎ ， １＋ ， ２＋ ， ，
ｍｘ ａ ｍｘ ａ的平均数是ｍｘ ａ． 解析 （ ）甲厂 个轮胎宽度的平均值：
３＋ ，…， ｎ＋ ＋ １ １０
（２）
设数据ｘ
１，
ｘ
２，…，
ｘ
ｎ
的方差为ｓ２
，
则
ｘ １ （
甲＝ × １９５＋１９４＋１９６＋１９３＋１９４＋１９７＋１９６＋１９５＋１９３＋
① ｓ２ ＝ ｎ １ ［（ ｘ １－ ｘ ） ２ ＋（ ｘ ２－ ｘ ） ２ ＋…＋（ ｘ ｎ－ ｘ ） ２ ］； ） １ （ ０ ），
１９７ ＝１９５ ｍｍ
②
数据ｘ
１＋
ａ
，
ｘ
２＋
ａ
，…，
ｘ
ｎ＋
ａ的方差也为ｓ２
； 乙厂 个轮胎宽度的平均值：ｘ １ （
③
数据ａｘ
１，
ａｘ
２，…，
ａｘ
ｎ
的方差为ａ２ｓ２． １０ 乙＝
１０
× １９５＋１９６＋１９３＋１９２
经典例题教师用书 ） （ ）．
＋１９５＋１９４＋１９５＋１９２＋１９５＋１９３ ＝１９４ ｍｍ
例 （２０１８河南新乡一模，１９）为了了解甲 乙两个工厂生产的 （ ）甲厂 个轮胎中宽度在［ ， ］内的数据为 ，
、 ２ １０ １９４ １９６ １９５
轮胎的宽度是否达标 从两厂各随机选取了 个轮胎 将每个 ， ， ， ， ，
， １０ ， １９４ １９６ １９４ １９６ １９５
轮胎的宽度 单位 记录下来并绘制出如下的折线图
（ ：ｍｍ） ： 平均数：ｘ １ （ ） ，
１＝ × １９５＋１９４＋１９６＋１９４＋１９６＋１９５ ＝１９５
６
方差：ｓ２ １ ［（ ）２ （ ）２ （ ）２
１＝ × １９５－１９５ ＋ １９４－１９５ ＋ １９６－１９５ ＋
６
（ ）２ （ ）２ （ ）２］ ２ ，
１９４－１９５ ＋ １９６－１９５ ＋ １９５－１９５ ＝
３
乙厂 个轮胎中宽度在［ ， ］内的数据为 ， ，
１０ １９４ １９６ １９５ １９６
， ， ， ，
１９５ １９４ １９５ １９５
平均数：ｘ １ （ ） ，
２＝ × １９５＋１９６＋１９５＋１９４＋１９５＋１９５ ＝１９５
６
方差：ｓ２ １ ［（ ）２ （ ）２ （ ）２
２＝ × １９５－１９５ ＋ １９６－１９５ ＋ １９５－１９５ ＋
６
（ ）２ （ ）２ （ ）２］ １ ，
１９４－１９５ ＋ １９５－１９５ ＋ １９５－１９５ ＝
分别计算甲 乙两厂提供的 个轮胎宽度的平均值 ３
（１） 、 １０ ； 两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，
若轮胎的宽度在 内 则称这个轮胎是标准轮 ∵
（２） ［１９４，１９６］ ， 乙厂的轮胎相对更好．
胎．试比较甲 乙两厂分别提供的 个轮胎中所有标准轮胎宽度 ∴
、 １０
的方差的大小 根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动
，
