§12.4　统计与统计案例_2022版教学资源包_五年高考三年模拟_2022版新高考版高考总复习数学53B版_第十二章　概率与统计_§124　统计与统计案例_12_14　统计与统计案例_专题电子书

６ ７０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§１２．４ 统计与统计案例
为 ． 则数据 ｘ ｘ ｘ 的方差为
抽样方法与总体分布的估计 学生用书Ｐ２２８ ００１， １０ １，１０ ２，…，１０ ｎ （ ）
． ．
Ａ．００１ Ｂ．０１ Ｃ．１ Ｄ．１０
１．（２０２１全国甲理，２，５分）为了解某地农村经济情况 对该地农 ５． 答案 Ｃ
，
户家庭年收入进行抽样调查 将农户家庭年收入的调查数据 ６．（２０２０天津，４，５分）从一批零件中抽取 个 测量其直径 单位
， ８０ ， （ ：
整理得到如下频率分布直方图 将所得数据分为 组 ． ． ． ． ．
： ｍｍ）， ９ ：［５３１，５３３），［５３３，５３５），…，［５４５，
． ． ． 并整理得到如下频率分布直方图 则在被抽取
５４７），［５４７，５４９］， ，
的零件中 直径落在区间 ． ． 内的个数为
， ［５４３，５４７） （ ）
根据此频率分布直方图 下面结论中不正确的是
， （ ）
该地农户家庭年收入低于 ． 万元的农户比率估计为 ％
Ａ． ４５ ６
该地农户家庭年收入不低于 ． 万元的农户比率估计
Ｂ． １０ ５
Ａ．１０ Ｂ．１８ Ｃ．２０ Ｄ．３６
为 １０ ％ ６． 答案 Ｂ
估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 ． 万元 ７．（２０１９课标 理，５，５分）演讲比赛共有 位评委分别给出某
Ｃ． ６５
Ⅱ ９
估计该地有一半以上的农户 其家庭年收入介于 ． 万元至 选手的原始评分 评定该选手的成绩时 从 个原始评分中去
Ｄ． ， ４５ ， ， ９
． 万元之间 掉 个最高分 个最低分 得到 个有效评分． 个有效评分
８５ １ 、１ ， ７ ７
１． 答案 Ｃ 与 个原始评分相比 不变的数字特征是
９ ， （ ）
２．（多选题）（２０２１新高考 ，９，５分）有一组样本数据ｘ ｘ 中位数 平均数
Ⅰ １， ２，…， Ａ． Ｂ．
ｘ ｎ， 由这组数据得到新样本数据ｙ １， ｙ ２，…， ｙ ｎ， 其中ｙ ｉ＝ ｘ ｉ＋ ｃ （ ｉ ＝ Ｃ． 方差 Ｄ． 极差
ｎ ｃ为非零常数 则 ７． 答案 Ａ
１，２，…， ）， ， （ ）
两组样本数据的样本平均数相同 ８．（多选题）（２０２０新高考 ，９，５分）我国新冠肺炎疫情防控进
Ａ． Ⅱ
两组样本数据的样本中位数相同 入常态化 各地有序推动复工复产 下面是某地连续 天的复
Ｂ． ， ， １１
两组样本数据的样本标准差相同 工 复产指数折线图．
Ｃ． 、
两组样本数据的样本极差相同
Ｄ．
２． 答案 ＣＤ
３．（２０２０新高考 ，５，５分）某中学的学生积极参加体育锻炼 其
Ⅰ ，
中有 ％的学生喜欢足球或游泳 ％的学生喜欢足球 ％
９６ ，６０ ，８２
的学生喜欢游泳 则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数
，
占该校学生总数的比例是
（ ）
％ ％ ％ ％
Ａ．６２ Ｂ．５６ Ｃ．４６ Ｄ．４２
３． 答案 Ｃ
４．（２０２０课标 ，文４，理３，５分）在新冠肺炎疫情防控期间 某
根据该折线图
Ⅱ ，
， （ ）
超市开通网上销售业务 每天能完成 份订单的配货 由
这 天复工指数和复产指数均逐日增加
， １ ２００ ，
Ａ． １１
于订单量大幅增加 导致订单积压．为解决困难 许多志愿者踊
在这 天期间 复产指数的增量大于复工指数的增量
， ，
Ｂ． １１ ，
跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压 份订单未配 第 天至第 天 复工指数和复产指数都超过 ％
５００ Ｃ． ３ １１ ， ８０
货 预计第二天的新订单超过 份的概率为 ． ．志愿者每 第 天至第 天 复产指数的增量大于复工指数的增量
， １６００ ００５ Ｄ． ９ １１ ，
人每天能完成 份订单的配货 为使第二天完成积压订单及 ８． 答案 ＣＤ
５０ ，
当日订单的配货的概率不小于 ． 则至少需要志愿者 ９．（２０２０江苏，３，５分）已知一组数据 ａ ａ 的平均数为
０９５， ４，２ ，３－ ，５，６
则ａ的值是 ．
（ ） ４，
名 名 ９． 答案
Ａ．１０ Ｂ．１８ ２
名 名 １０．（２０２１全国乙文，１７，１２分）某厂研制了一种生产高精产品的
Ｃ．２４ Ｄ．３２
４． 答案 Ｂ 设备 为检验新设备生产产品的某项指标有无提高 用一台
， ，
５．（２０２０课标 文，３，５分）设一组样本数据ｘ ｘ ｘ 的方差 旧设备和一台新设备各生产了 件产品 得到各件产品该项
Ⅲ １， ２，…， ｎ １０ ，
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第十二章 概率与统计 ６ ７１
指标数据如下 １１． 解析 由试加工产品等级的频数分布表知
： （１） ，
旧设备 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． 甲分厂加工出来的一件产品为 级品的概率的估计值为４０
９８ １０３ １００ １０２ ９９ ９８ １００ １０１ １０２ ９７ Ａ
新设备 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． １００
１０１ １０４ １０１ １００ １０１ １０３ １０６ １０５ １０４ １０５ ．
＝０４；
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记
乙分厂加工出来的一件产品为 级品的概率的估计值为２８
为 ｘ和 ｙ 样本方差分别记为ｓ２ 和ｓ２． Ａ
， １ ２ １００
求ｘ ｙ ｓ２ ｓ２ ． ．
（１） ， ， １， ２； ＝０２８
判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有 由数据知甲分厂加工出来的 件产品利润的频数分布
（２） （２） １００
( ｓ２ ｓ２ 表为
显著提高 如果ｙ ｘ １＋ ２ 则认为新设备生产产品
－ ≥２ ， 利润
１０ ６５ ２５ －５ －７５
的该项指标的均值较旧设备有显著提高 否则不认为有
) ， 频数
４０ ２０ ２０ ２０
显著提高 ．
因此甲分厂加工出来的 件产品的平均利润为
１００
１０． 解析 ｘ １ ． ． ． ． ． ． ． ６５×４０＋２５×２０－５×２０－７５×２０ 元．
（１） ＝ ×（９ ８＋１０ ３＋１０ ０＋１０ ２＋９ ９＋９ ８＋１０ ０＋ ＝１５
１０ １００
． ． ． ． 由数据知乙分厂加工出来的 件产品利润的频数分布表为
１０１＋１０２＋９７）＝１０ １００
ｙ １ ． ． ． ． ． ． ． ． ．
＝ ×（１０１＋１０４＋１０１＋１０ ０＋１０ １＋１０ ３＋１０ ６＋１０ ５＋１０ ４＋ 利润 ７０ ３０ ０ －７０
１０
． ． ．
１０５）＝１０３ 频数
２８ １７ ３４ ２１
ｓ２ １ ． ２ ． ２ ２ ． ２ ． ２ ． ２ ２ ． ２ ． ２
１＝ ×（０ ２ ＋０ ３ ＋０ ＋０ ２ ＋０ １ ＋０ ２ ＋０ ＋０ １ ＋０ ２ ＋ 因此乙分厂加工出来的 件产品的平均利润为
１０ １００
． ２ ． ．
０３ ）＝００３６ ７０×２８＋３０×１７＋０×３４－７０×２１ 元．
＝１０
ｓ２ １ ． ２ ． ２ ． ２ ． ２ ． ２ ２ ． ２ ． ２ ． ２ ． １００
２＝ ×（０２ ＋０ １ ＋０ ２ ＋０ ３ ＋０ ２ ＋０ ＋０ ３ ＋０ ２ ＋０ １ ＋０ 比较甲 乙两分厂加工的产品的平均利润 应选甲分厂承接
１０ 、 ，
２ ． ． 加工业务．
２ ）＝００４
ｓ２ ｓ２ １２．（２０１９课标 文，１９，１２分）某行业主管部门为了解本行业中
ｙ ｘ ． ． ３ １５ １＋ ２ Ⅱ
（２）∵ － ＝ １０ ３ － １０ ＝ ０ ３ ＝ ＝ ，２ ＝ 小企业的生产情况 随机调查了 个企业 得到这些企业第
１０ ５０ １０ ， １００ ，
一季度相对于前一年第一季度产值增长率ｙ的频数分布表．
． ．
００３６＋００４ ． ７６ 且１５ ２２５ ７６
２ ＝２× ０００７６ ＝ ， ＝ ＞ ， ｙ的分组 ． ． ． ． ． ． ． ．
１０ ５０ ５０ ５０ ５０ ［－０２０，０）［０，０２０） ［０２０，０４０） ［０４０，０６０） ［０６０，０８０）
ｙ ｘ
ｓ２
１＋
ｓ２
２成立 认为新设备生产产品的该项指标的
企业数
２ ２４ ５３ １４ ７
∴ － ≥２ ，∴ 分别估计这类企业中产值增长率不低于 ％的企业比
１０ （１） ４０
均值较旧设备有显著提高． 例 产值负增长的企业比例
、 ；
易错警示 ．要牢记数据方差的计算公式； ．注意数据计 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值 同
１ ２ （２） （
算的准确性． 一组中的数据用该组区间的中点值为代表 ． 精确到
） （
１１．（２０２０课标 文，１７，１２分）某厂接受了一项加工业务 加工 ．
Ⅰ ， ００１）
出来的产品 单位 件 按标准分为 四个等级．加工 附 ． ．
（ ： ） Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ ： ７４≈８６０２
业务约定 对于 级品 级品 级品 厂家每件分别收取加 １２． 解析 根据产值增长率频数分布表得 所调查的
： Ａ 、Ｂ 、Ｃ ， （１） ， １００
工费 元 元 元 对于 级品 厂家每件要赔偿原料
９０ ，５０ ，２０ ； Ｄ ， 个企业中产值增长率不低于 ％的企业频率为１４＋７ ． ．
损失费 元．该厂有甲 乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂 ４０ ＝０２１
５０ 、 １００
加工成本费为 元／件 乙分厂加工成本费为 元／件．厂家
２５ ， ２０ 产值负增长的企业频率为 ２ ． ．
为决定由哪个分厂承接加工业务 在两个分厂各试加工了 ＝００２
， １００
件这种产品 并统计了这些产品的等级 整理如下 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不
１００ ， ， ：
甲分厂产品等级的频数分布表 低于 ％的企业比例为 ％ 产值负增长的企业比例为 ％．
４０ ２１ ， ２
等级 ｙ １ ． ． ． ． ．
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ （２） ＝ ×（－０１０×２＋０１０×２４＋０３０×５３＋０５０×１４＋０ ７０×７）
１００
频数 ．
４０ ２０ ２０ ２０ ＝０３０，
乙分厂产品等级的频数分布表 ５
等级
ｓ２ ＝
１０
１
０
∑ｉ＝
１
ｎ ｉ（ ｙ ｉ－ ｙ ） ２ ＝
１０
１
０
×［２×（－０ ． ４０） ２ ＋２４×（－０ ． ２０） ２ ＋５３
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ２ ． ２ ． ２ ．
×０ ＋１４×０２０ ＋７×０４０ ］＝００２９６，
频数
２８ １７ ３４ ２１ ｓ ． ． ． ．
＝ ００２９６＝００２× ７４≈０１７
分别估计甲 乙两分厂加工出来的一件产品为 级品的 所以 这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别
（１） 、 Ａ ，
概率 为 ％ ％．
； ３０ ，１７
分别求甲 乙两分厂加工出来的 件产品的平均利润 方法总结 利用频数分布表求平均数估计值的方法：各组
（２） 、 １００ ，
以平均利润为依据 厂家应选哪个分厂承接加工业务 区间中点值乘该组频数，并求和，再除以样本容量．利用频数
， ？
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋６ ７２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
分布表求标准差估计值的方法：用各组区间中点值代表该
ｘ １ ． ． ． ． ． ．
组，代入标准差公式即可． １＝ ×（００５×１＋０１５×３＋０２５×２＋０３５×４＋０４５×９＋０５５×２６＋
５０
１３．（２０１８课标 文，１９，１２分）某家庭记录了未使用节水龙头 ． ． ．
Ⅰ ５０ ０６５×５）＝０４８
天的日用水量数据 单位 ３ 和使用了节水龙头 天的日 该家庭使用了节水龙头后 天日用水量的平均数为
（ ：ｍ ） ５０ ５０
用水量数据 得到频数分布表如下
， ： ｘ １ ． ． ． ． ．
未使用节水龙头 天的日用水量频数分布表 ２＝ ×（０ ０５×１＋０ １５×５＋０ ２５×１３＋０ ３５×１０＋０ ４５×１６＋
５０ ５０
． ． ．
日用 ０５５×５）＝０３５
水量［０，０ ． １） ［０ ． １，０ ． ２） ［０ ． ２，０ ． ３） ［０ ． ３，０ ． ４） ［０ ． ４，０ ． ５）［０ ． ５，０ ． ６）［０ ． ６，０ ． ７） 估计使用节水龙头后 一年可节省水 ． ．
， （０ ４８－０ ３５）×３６５
频数 ． ３ ．
１ ３ ２ ４ ９ ２６ ５ ＝４７４５（ｍ ）
使用了节水龙头 天的日用水量频数分布表 以下为教师用书专用（１—４６）
５０
日用 １．（２０１９课标 文，６，５分）某学校为了解 名新生的身体素
． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． Ⅰ １０００
水量 ［０，０１） ［０１，０２）［０２，０３）［０３，０４）［０４，０５）［０５，０６） 质 将这些学生编号为 从这些新生中用系统抽
， １，２，…，１ ０００，
频数 样方法等距抽取 名学生进行体质测验．若 号学生被抽
１ ５ １３ １０ １６ ５ １００ ４６
作出使用了节水龙头 天的日用水量数据的频率分布 到 则下面 名学生中被抽到的是
（１） ５０ ， ４ （ ）
直方图 号学生 号学生
； Ａ．８ Ｂ．２００
号学生 号学生
Ｃ．６１６ Ｄ．８１５
答案 Ｃ 本题考查系统抽样 考查了数据处理能力 考查
； ；
的核心素养为数据分析．
将 名学生分成 组 每组 人 则每组抽取的号码构
１０００ １００ ， １０ ，
成公差为 的等差数列 ａ 由题意知ａ 则ａ ａ ｎ
１０ ｛ ｎ｝， ５＝４６， ｎ＝ ５＋（
ｎ ｎ Ｎ∗ 易知只有 选项满足题意．故选 ．
－５）×１０＝１０ －４， ∈ ， Ｃ Ｃ
解题关键 明确系统抽样的方法是解决本题的关键．
２．（２０１５湖南文，２，５分）在一次马拉松比赛中 名运动员的成
，３５
绩 单位 分钟 的茎叶图如图所示．
（ ： ）
若将运动员按成绩由好到差编为 号 再用系统抽样方法
１～３５ ，
从中抽取 人 则其中成绩在区间 上的运动员人
７ ， ［１３９，１５１］
（２）
估计该家庭使用节水龙头后
，
日用水量小于
０
．
３５ｍ
３的概率
； 数是
估计该家庭使用节水龙头后 一年能节省多少水． 一年 （ ）
（３） ， （
按 天计算 同一组中的数据以这组数据所在区间中 Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６
３６５ ， 答案 Ｂ 从 人中用系统抽样方法抽取 人 则可将这
点的值作代表 ３５ ７ ，
） 人分成 组 每组 人 从每一组中抽取 人 而成绩在
１３． 解析 ３５ ７ ， ５ ， １ ，
（１） 上的有 组 所以抽取 人 故选 ．
［１３９，１５１］ ４ ， ４ ， Ｂ
３．（２０１５北京文，４，５分）某校老年 中年和青年教师的人数见下
、
表．采用分层抽样的方法调查教师的身体状况 在抽取的样本
，
中 青年教师有 人 则该样本中的老年教师人数为
， ３２０ ， （ ）
类别 人数
老年教师
９００
中年教师
１８００
青年教师
１６００
合计
４３００
Ａ．９０ Ｂ．１００ Ｃ．１８０ Ｄ．３００
答案 Ｃ 本题考查分层抽样 根据样本中的青年教师有
，
人 且青年教师与老年教师人数的比为
３２０ ， １ ６００ ∶ ９００＝１６ ∶
可以得到样本中的老年教师的人数为 ９ 故选 ．
根据以上数据 该家庭使用节水龙头后 天日用水量小于 ９， ×３２０＝１８０， Ｃ
（２） ， ５０ １６
． ３的频率为 ． ． ． ． ． ． ． ４．（２０１４重庆文，３，５分）某中学有高中生 人 初中生
０３５ｍ ０２×０１＋１×０１＋２６×０１＋２×００５＝０４８， ３ ５００ ， １５００
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 ． ３ 的概率的 人．为了解学生的学习情况 用分层抽样的方法从该校学生中
０ ３５ ｍ ，
估计值为 ． ． 抽取一个容量为ｎ的样本 已知从高中生中抽取 人 则ｎ为
０４８ ， ７０ ，
该家庭未使用节水龙头 天日用水量的平均数为
（３） ５０ （ ）
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第十二章 概率与统计 ６ ７３
Ａ．１００ Ｂ．１５０ Ｃ．２００ Ｄ．２５０
ｎ
答案 Ａ 由分层抽样的特点可知 ７０ 解
＝ ，
３５００ ３５００＋１５００
之得ｎ ．
＝１００
５． （２０１４湖南文，３，５分）对一个容量为Ｎ的总体抽取容
量为ｎ的样本 当选取简单随机抽样 系统抽样和分层抽样三
， 、
种不同方法抽取样本时 总体中每个个体被抽中的概率分别
， Ａ．３，５ Ｂ．５，５ Ｃ．３，７ Ｄ．５，７
为ｐ ｐ ｐ 则 答案 Ａ 由茎叶图 可得甲组数据的中位数为 从而乙
１， ２， ３， （ ）
组数据的 中 位数也是
，
所以ｙ ．
６５，
ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ６５， ＝５
Ａ． １＝ ２＜ ３ Ｂ． ２＝ ３＜ １ Ｃ． １＝ ３＜ ２ Ｄ． １＝ ２＝ ３ 由乙组数据 可得乙组数据的平均值为
答案 Ｄ 在简单随机抽样 系统抽样和分层抽样中 每个 ５９，６１，６７，６５，７８， ６６，
、 ，
ｘ
ｎ 故甲组数据的平均值也为 从而有５６＋６２＋６５＋７４＋７０＋
个体被抽中的概率均为 所以ｐ ｐ ｐ 故选 ． ６６， ＝
Ｎ， １＝ ２＝ ３， Ｄ ５
解得ｘ ．故选 ．
评析 随机抽样的要求是每个个体被抽中的概率相等，与具 ６６， ＝３ Ａ
１１．（２０１６山东，理３文３，５分）某高校调查了 名学生每周的
体的方法无关． ２００
自习时间 单位 小时 制成了如图所示的频率分布直方图
６． （２０１４广东文，６，５ 分）为了解 名学生的学习情 （ ： ）， ，
１ ０００ 其中自习时间的范围是 ． 样本数据分组为 ．
况 采用系统抽样的方法 从中抽取容量为 的样本 则分段 ［１７ ５，３０］， ［１７ ５，
， ， ４０ ， ． ． ． ． ．根据直方
的间隔为 ２０），［２０，２２５），［２２５，２５），［２５，２７５），［２７５，３０］
（ ） 图 这 名学生中每周的自习时间不少于 ． 小时的人数是
， ２００ ２２５
Ａ．５０ Ｂ．４０ Ｃ．２５ Ｄ．２０
（ ）
答案 Ｃ 由系统抽样的定义知 分段间隔为１０００ ．故
， ＝２５
４０
答案为 ．
Ｃ
７． （２０１３课标 理，３，５ 分）为了解某地区的中小学生的
Ⅰ
视力情况 拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查
， ，
事先已了解到该地区小学 初中 高中三个学段学生的视力情
、 、
况有较大差异 而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方
，
法中 最合理的抽样方法是
， （ ）
简单随机抽样 按性别分层抽样
Ａ． Ｂ． Ａ．５６ Ｂ．６０ Ｃ．１２０ Ｄ．１４０
按学段分层抽样 系统抽样 答案 Ｄ 由频率分布直方图知这 名学生每周的自习
Ｃ． Ｄ． ２００
答案 Ｃ 因为男女生视力情况差异不大 而各学段学生的 时间不少于 ． 小时的频率为 ． ． ． ． 则
， ２２５ １－（００２＋０１０）×２ ５＝０ ７，
视力情况有较大差异 所以应按学段分层抽样 故选 ． 这 名学生中每周的自习时间不少于 ． 小时的人数为
， ， Ｃ ２００ ２２ ５
评析 本题考查了分层抽样，准确理解分层抽样的意义是解 ． 故选 ．
２００×０７＝１４０， Ｄ
题关键． １２．（２０１６课标 理，４，５分）某旅游城市为向游客介绍本地的气
Ⅲ
８．（２０１３江西理，４，５分）总体由编号为 的 个 温情况 绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的
０１，０２，…，１９，２０ ２０ ，
个体组成．利用下面的随机数表选取 个个体 选取方法是从 雷达图．图中 点表示十月的平均最高气温约为 点
５ ， Ａ １５ ℃，Ｂ
随机数表第 行的第 列和第 列数字开始由左到右依次选 表示四月的平均最低气温约为 ．下面叙述不正确的是
１ ５ ６ ５ ℃
取两个数字 则选出来的第 个个体的编号为
， ５ （ ） （ ）
７８１６ ６５７２ ０８０２ ６３１４ ０７０２ ４３６９ ９７２８ ０１９８
３２０４ ９２３４ ４９３５ ８２００ ３６２３ ４８６９ ６９３８ ７４８１
Ａ．０８ Ｂ．０７ Ｃ．０２ Ｄ．０１
答案 Ｄ 由题意知依次选取的编号为
０８，０２，１４，０７，０１，…
第 个 需剔除 所以选出来的第 个个体的编号为
（ ２ ０２ ）， ５ ０１，
选 ．
Ｄ
９．（２０１３陕西理，４，５分）某单位有 名职工 现采用系统抽样
８４０ ，
方法抽取 人做问卷调查 将 人按 随机编
４２ ， ８４０ １，２，…，８４０
号 则抽取的 人中 编号落入区间 的人数为
， ４２ ， ［４８１，７２０］
（ ）
各月的平均最低气温都在 以上
Ａ．１１ Ｂ．１２ Ｃ．１３ Ｄ．１４ Ａ． ０ ℃
答案 Ｂ 因为 故编号在 内的 七月的平均温差比一月的平均温差大
８４０ ∶ ４２＝２０ ∶ １， ［４８１，７２０］ Ｂ．
人数为 ． 三月和十一月的平均最高气温基本相同
２４０÷２０＝１２ Ｃ．
１０．（２０１７山东文，８，５分）如图所示的茎叶图记录了甲 乙两组 平均最高气温高于 的月份有 个
、 Ｄ． ２０ ℃ ５
各 名工人某日的产量数据 单位 件 ．若这两组数据的中位 答案 Ｄ 由雷达图易知 正确 七月的平均最高气温
５ （ ： ） Ａ、Ｃ ；
数相等 且平均值也相等 则ｘ和ｙ的值分别为 超过 平均最低气温约为 一月的平均最高气温约
， ， （ ） ２０℃， １２℃，
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋６ ７４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
为 平均最低气温约为 所以七月的平均温差比一月 ．
６ ℃， ２ ℃，
的平均温差大 故 正确 由雷达图知平均最高气温超过 答案 分层抽样
， Ｂ ； ２０
的月份有 个月．故选 ． 解析 本题考查抽样方法．
℃ ３ Ｄ
１３．（２０１５课标 理，３，５分）根据下面给出的 年至 年 因为不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异 所以根据
Ⅱ ２００４ ２０１３ ，
我国二氧化硫年排放量 单位 万吨 柱形图 以下结论中不 三种抽样方法的特点可知最合适的抽样方法是分层抽样．
（ ： ） ，
正确的是 １８．（２０１５福建文，１３，４分）某校高一年级有 名学生 其中女
（ ） ９００ ，
生 名．按男女比例用分层抽样的方法 从该年级学生中抽
４００ ，
取一个容量为 的样本 则应抽取的男生人数为 ．
４５ ，
答案
２５
解析 男生人数为 ．设应抽取男生ｘ人 则由
９００－４００＝５００ ，
ｘ
４５ 得ｘ ．即应抽取男生 人．
＝ ＝２５ ２５
９００ ５００
１９．（２０１４天津理，９，５分）某大学为了解在校本科生对参加某项
逐年比较 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 社会实践活动的意向 拟采用分层抽样的方法 从该校四个
Ａ． ，２００８ ， ，
年我国治理二氧化硫排放显现成效 年级的本科生中抽取一个容量为 的样本进行调查．已知
Ｂ．２００７ ３００
年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 该校一年级 二年级 三年级 四年级的本科生人数之比为
Ｃ．２００６ 、 、 、
年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 则应从一年级本科生中抽取 名学生．
Ｄ．２００６ ４ ∶ ５ ∶ ５ ∶ ６，
答案
答案 Ｄ 由柱形图可知 均正确 年以来我
６０
：Ａ、Ｂ、Ｃ ，２００６
国二氧化硫年排放量在逐渐减少 ， 所以排放量与年份负相 解析 ４ ×３００＝６０（ 名 ） ．
关 不正确． ２０
，∴ Ｄ ２０．（２０１２天津理，９，５ 分）某地区有小学 所 中学 所 大
１４．（２０１５陕西理，２，５分）某中学初中部共有 名教师 高中 １５０ ， ７５ ，
１１０ ， 学 所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 所学
部共有 名教师 其性别比例如图所示 则该校女教师的人 ２５ ３０
１５０ ， ， 校对学生进行视力调查 应从小学中抽取 所学校
数为 ， ，
（ ） 中学中抽取 所学校．
答案
１８；９
解析 应从小学中抽取 １５０ 所 ．
×３０＝１８（ ）
１５０＋７５＋２５
应从中学中抽取 ７５ 所 ．
Ａ．１６７ Ｂ．１３７ Ｃ．１２３ Ｄ．９３ ×３０＝９（ ）
答案 Ｂ 初中部女教师的人数为 ％ 高中部 １５０＋７５＋２５
１１０×７０ ＝７７， 评析 本题考查分层抽样及数据处理能力．
女教师的人数为 ％ 则该校女教师的人数为
１５０×（１－６０ ）＝６０， ２１．（２０１１江苏，６，５分）某老师从星期一到星期五收到的信件数
故选 ．
７７＋６０＝１３７， Ｂ 分别为 则该组数据的方差ｓ２ ．
１５．（２０１５安徽理，６，５分）若样本数据ｘ ｘ ｘ 的标准差为 １０，６，８，５，６， ＝
则数据 ｘ ｘ ｘ 的 １ 标 ， 准 ２， 差 … 为 ， １０ 答案 １６
８， ２ １－１，２ ２－１，…，２ １０－１ （ ）
５
Ａ．８ Ｂ．１５ Ｃ．１６ Ｄ．３２ 解析 记星期一到星期五收到的信件数分别为ｘ ｘ ｘ
答案 Ｃ 设样本数据ｘ ｘ ｘ 的标准差为ｓ 则ｓ １， ２， ３，
可知数据 ｘ ｘ １， ｘ ２，…， 的 １ 标 ０ 准差为 ｓ ， ． ＝８， ｘ ｘ 则ｘ ｘ １＋ ｘ ２＋ ｘ ３＋ ｘ ４＋ ｘ ５ １０＋６＋８＋５＋６ ．
１６．（２０１４陕西
２
文
１－
，
１
９
，
，
２
５分
２－
）
１
某
，…
公
，
司
２ １０－１
位员工的月工
２
资
＝１
单
６
位 元
４， ５， ＝
５
＝
５
＝７
１０ （ ： ）
为ｘ
１，
ｘ
２，…，
ｘ
１０，
其均值和方差分别为ｘ和ｓ２
，
若从下月起每位 ∴ ｓ２ ＝
５
１ ［（ ｘ １－ ｘ ） ２ ＋（ ｘ ２－ ｘ ） ２ ＋（ ｘ ３－ ｘ ） ２ ＋（ ｘ ４－ ｘ ） ２ ＋（ ｘ ５－ ｘ ） ２ ］＝
员工的月工资增加 元 则这 位员工下月工资的均值和
方差分别为 １００ ， １０ １ ［（１０－７） ２ ＋（６－７） ２ ＋（８－７） ２ ＋（５－７） ２ ＋（６－７） ２ ］＝ １６．
（ ） ５ ５
ｘ ｓ２ ２ ｘ ｓ２ ２ 评析 本题主要考查方差的公式，考查学生的运算求解能力．
Ａ． ， ＋１００ Ｂ． ＋１００， ＋１００
ｘ ｓ２ ｘ ｓ２ 公式记忆准确，运算无误是解答本题的关键，属中等难度题．
Ｃ． ， Ｄ． ＋１００，
答案 Ｄ 设增加工资后 位员工下月工资均值为ｘ′ 方 ２２．（２０１２福建文，１４，４分）一支田径队有男女运动员 人 其
１０ ， ９８ ，
中男运动员有 人．按男女比例用分层抽样的方法 从全体
差为ｓ′２ 则ｘ′ １ ｘ ｘ ｘ ５６ ，
， ＝ ［（ １＋１００）＋（ ２＋１００）＋…＋（ １０＋１００）］＝ 运动员中抽出一个容量为 的样本 那么应抽取女运动员人
１０ ２８ ，
数是 ．
１ ｘ ｘ ｘ ｘ 方差ｓ′２ １ ｘ ｘ′ ２
（ １＋ ２＋…＋ １０）＋１００＝ ＋１００； ＝ ［（ １＋１００－ ） 答案
１０ １０
１２
＋（ ｘ ２＋１００－ ｘ′ ） ２ ＋…＋（ ｘ １０＋１００－ ｘ′ ） ２ ］＝ １ １ ０ ［（ ｘ １－ ｘ ） ２ ＋（ ｘ ２－ ｘ ） ２ 解析 男女运动员人数比例为 ９８ ５ － ６ ５６ ＝ ３ ４ ，
＋…＋（ ｘ １０－ ｘ ） ２ ］＝ ｓ２．故选 Ｄ ． 分层抽样中男女人数比例不变
，
则女运动员人数为
１７． （２０１８课标 文，１４，５分）某公司有大量客户 且不同
Ⅲ ， ３ ．故应抽取女运动员人数是 ．
年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价 ２８× ＝１２ １２
， ７
该公司准备进行抽样调查 可供选择的抽样方法有简单随机 评析 本题考查分层抽样方法．考查学生运算求解能力．
，
抽样 分层抽样和系统抽样 则最合适的抽样方法是 ２３．（２０１８江苏，３，５分）已知 位裁判给某运动员打出的分数的
、 ， ５
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第十二章 概率与统计 ６ ７５
茎叶图如图所示 那么这 位裁判打出的分数的平均数为 括能力和运算求解能力 考查的核心素养为数学抽象和数学
， ５ ；
． 运算．
设经停该站高铁列车所有车次中正点率为 ． 的事件为Ａ 正
０９７ ，
８ ９ ９ 点率为 ． 的事件为Ｂ 正点率为 ． 的事件为Ｃ 则用频率
０９８ ， ０９９ ，
９ ０ １ １
估计概率有 Ｐ Ａ １０ １ Ｐ Ｂ ２０ １
答案 （ ）＝ ＝ ， （ ）＝ ＝ ，
９０ １０＋２０＋１０ ４ １０＋２０＋１０ ２
解析 本题考查茎叶图 平均数．
、 Ｐ Ｃ １０ １ 所以经停该站高铁列车所有车次的平
位裁判打出的分数分别为 （ ）＝ ＝ ，
１０＋２０＋１０ ４
５ ８９，８９，９０，９１，９１，
则这 ５ 位裁判打出的分数的平均数为 １ ×（８９＋８９＋９０＋９１＋ 均正点率的估计值为 ０ ． ９７× ４ １ ＋０ ． ９８× ２ １ ＋０ ． ９９× ４ １ ＝０ ． ９８ ．
５
２７．（２０１９课标 文，１９，１２分）某行业主管部门为了解本行业中
． Ⅱ
９１）＝９０
小企业的生产情况 随机调查了 个企业 得到这些企业第
方法总结 要明确“茎”处数字是十位数字，“叶”处数字 ， １００ ，
一季度相对于前一年第一季度产值增长率ｙ的频数分布表．
是个位数字，正确写出所有数据，再根据平均数的概念进行
计算． ｙ的分组 ［－０ ． ２０，０） ［０，０ ． ２０） ［０ ． ２０，０ ． ４０） ［０ ． ４０，０ ． ６０） ［０ ． ６０，０ ． ８０）
２４．（２０１５湖北文，１４，５分）某电子商务公司对 名网络购 企业数
２ ２４ ５３ １４ ７
１０ ０００
物者 年度的消费情况进行统计 发现消费金额 单位 分别估计这类企业中产值增长率不低于 ％的企业比
２０１４ ， （ ： （１） ４０
万元 都在区间 ． ． 内 其频率分布直方图如图所示． 例 产值负增长的企业比例
） ［０３，０９］ ， 、 ；
直方图中的ａ 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值 同
（１） ＝ ； （２） （
在这些购物者中 消费金额在区间 ． ． 内的购物者 一组中的数据用该组区间的中点值为代表 ． 精确到
（２） ， ［０ ５，０ ９］ ） （
的人数为 ． ．
００１）
附 ． ．
： ７４≈８６０２
解析 本题考查了统计的基础知识 基本思想和方法 考
、 ，
查学生对频数分布表的理解与应用 考查样本的平均数 标
， ，
准差等数字特征的计算方法 以及对现实社会中实际数据的
，
分析处理能力．
根据产值增长率频数分布表得 所调查的 个企业中
（１） ， １００
答案 产值增长率不低于 ％的企业频率为１４＋７ ． ．
（１）３ （２）６０００ ４０ ＝０２１
１００
解析 由频率分布直方图可知
（１） ： 产值负增长的企业频率为 ２ ． ．
． ． ． ． ． ． ａ 解得ａ ． ＝００２
０１×（０２＋０８＋１５＋２０＋２５＋ ）＝１， ＝３ １００
消费金额在区间 ． ． 内的购物者的频率为 ． 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不
（２） ［０ ５，０ ９］ ０ １
． ． ． ． ． 所以所求购物者的人数为 ． 低于 ％的企业比例为 ％ 产值负增长的企业比例为 ％．
×（３０＋２０＋０ ８＋０ ２）＝ ０ ６， ０ ６ ４０ ２１ ， ２
．
×１００００＝６０００ ｙ １ ． ． ． ． ．
２５．（２０１４江苏文，６，５分）为了了解一片经济林的生长情况 随 （２） ＝ （－０１０×２＋０１０×２４＋０３０×５３＋０５０×１４＋０７０×７）＝
， １００
机抽测了其中 株树木的底部周长 单位 所得数据均 ．
６０ （ ：ｃｍ）， ０３０，
在区间 上 其频率分布直方图如图所示 则在抽测 ５
的
６０
株 ［ 树 ８０ 木 ，１ 中 ３０
，
］ 有 ， 株树木的底部周长小于 ，
１００ ｃｍ
． ｓ２ ＝
１０
１
０
∑ｉ＝
１
ｎ ｉ（ ｙ ｉ－ ｙ ） ２
１ ． ２ ． ２ ２ ． ２
＝ ［２×（－０ ４０） ＋２４×（－０ ２０） ＋５３×０ ＋１４×０ ２０ ＋７×
１００
． ２ ．
０４０ ］＝００２９６，
ｓ ． ． ． ．
＝ ００２９６＝００２× ７４≈０１７
所以 这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别
，
为 ％ ％．
３０ ，１７
方法总结 利用频数分布表求平均数估计值的方法：各组
区间中点值乘该组频数，并求和，再除以样本容量．利用频数
答案 分布表求标准差估计值的方法：用各组区间中点值代表该
２４
解析 ． ． 株 ． 组，代入标准差公式即可．
６０×（００１５＋００２５）×１０＝２４（ ）
２６．（２０１９课标 ，理１３文１４，５分）我国高铁发展迅速 技术先 ２８．（２０１８课标 文，１９，１２分）某家庭记录了未使用节水龙头
Ⅱ ， Ⅰ ５０
进．经统计 在经停某站的高铁列车中 有 个车次的正点率 天的日用水量数据 单位 ３ 和使用了节水龙头 天的日
， ， １０ （ ：ｍ ） ５０
为 ． 有 个车次的正点率为 ． 有 个车次的正点率 用水量数据 得到频数分布表如下
０９７， ２０ ０９８， １０ ， ：
为 ． 则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计 未使用节水龙头 天的日用水量频数分布表
０９９， ５０
值为 ． 日用水量 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
［０，０１） ［０１，０２）［０２，０３）［０３，０４）［０４，０５）［０５，０６）［０６，０７）
答案 ． 频数
０９８ １ ３ ２ ４ ９ ２６ ５
解析 本题考查离散型随机变量的均值计算 考查抽象概 使用了节水龙头 天的日用水量频数分布表
； ５０
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋６ ７６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
日用水量 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
时，应注意区分这三者，在频率分布直方图中：
［０，０１） ［０１，０２） ［０２，０３） ［０３，０４） ［０４，０５） ［０５，０６）
频数 （ ）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；
１ ５ １３ １０ １６ ５ １
（ ）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
作出使用了节水龙头 天的日用水量数据的频率分布
２
（１） ５０
（ ）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方
直方图
３
；
图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标
之和．
２９．（２０１６四川理，１６，１２分）我国是世界上严重缺水的国家 某
，
市政府为了鼓励居民节约用水 计划调整居民生活用水收费
，
方案 拟确定一个合理的月用水量标准ｘ 吨 一位居民的月
， （ ），
用水量不超过ｘ的部分按平价收费 超出ｘ的部分按议价收
，
费．为了了解居民用水情况 通过抽样 获得了某年 位居
， ， １００
民每人的月均用水量 单位 吨 将数据按照 ． ．
（ ： ）， ［０，０ ５），［０ ５，
． 分成 组 制成了如图所示的频率分布直
１），…，［４，４ ５］ ９ ，
方图．
求直方图中ａ的值
（１） ；
设该市有 万居民 估计全市居民中月均用水量不低于
（２） ３０ ，
吨的人数 并说明理由
３ ， ；
若该市政府希望使 ％的居民每月的用水量不超过标准
（３） ８５
ｘ 吨 估计ｘ的值 并说明理由．
估计该家庭使用节水龙头后 日用水量小于 ． ３ 的 （ ）， ，
（２） ， ０ ３５ ｍ
概率
；
估计该家庭使用节水龙头后 一年能节省多少水． 一年
（３） ， （
按 天计算 同一组中的数据以这组数据所在区间中
３６５ ，
点的值作代表
）
解析
（１）
解析 由频率分布直方图知 月均用水量在 ． 中
（１） ， ［０，０ ５）
的频率为 ． ． ．
００８×０５＝００４，
同理 在 ． ． ． ． ． ． 中的
， ［０５，１），［１５，２），［２，２５），［３，３５），［３５，４），［４，４５］
频率分别为 ． ． ． ． ． ． ．
００８，０２０，０２６，００６，００４，００２
由 ． ． ． ａ ． ． ． ａ ． ． ．
００４＋００８＋０５× ＋０２０＋０２６＋０５× ＋００６＋００４＋００２＝１，
解得ａ ． ．
＝０３０
由 位居民每人月均用水量不低于 吨的频率为
（２） （１），１００ ３
． ． ． ． ．
００６＋００４＋００２＝０１２
由以上样本的频率分布 可以估计全市 万居民中月均用水
， ３０
量不低于 吨的人数为 ． ．
３ ３０００００×０１２＝３６０００
因为前 组的频率之和为 ． ． ． ． ．
（３） ６ ０ ０４＋０ ０８＋０ １５＋０ ２０＋０ ２６＋
根据以上数据 该家庭使用节水龙头后 天日用水量小 ． ． ．
（２） ， ５０ ０１５＝０８８＞０８５，
于 ０ ． ３５ ｍ ３ 的频率为 ０ ． ２×０ ． １＋１×０ ． １＋２ ． ６×０ ． １＋２×０ ． ０５＝０ ． ４８， 而前 ５ 组的频率之和为 ０ ． ０４＋０ ． ０８＋０ ． １５＋０ ． ２０＋０ ． ２６＝０ ． ７３＜
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 ． ３ 的概率的 ． 所以 ． ｘ ．
０ ３５ ｍ ０８５， ２５≤ ＜３
估计值为 ． ． 由 ． ｘ ． ． ． 解得ｘ ． ．
０４８ ０３×（ －２５）＝０８５－０７３， ＝２９
该家庭未使用节水龙头 天日用水量的平均数为 所以 估计月用水量标准为 ． 吨时 ％的居民每月的用水
（３） ５０ ， ２９ ，８５
量不超过标准．
ｘ １ ． ． ． ． ． ．
１＝ ×（００５×１＋０１５×３＋０２５×２＋０３５×４＋０４５×９＋０５５×２６＋ 思路分析 由图易知组距为 ． ，再由频率之和等于 即
５０ ０ ５ １
． ． ． 可求出ａ；由图可知前 组的频率之和为 ． ． ，前 组
０６５×５）＝０４８ ６ ０ ８８＞０ ８５ ５
该家庭使用了节水龙头后 天日用水量的平均数为 的频率之和为 ． ． ，说明ｘ ［ ． ， ），再由 ． （ｘ ．
５０ ０７３＜０ ８５ ∈ ２ ５ ３ ０ ３× －２
） ． ． 即可求出ｘ．
ｘ １ ． ． ． ． ． ． ５ ＝０８５－０７３
２＝ ×（００５×１＋０１５×５＋０２５×１３＋０３５×１０＋０４５×１６＋０５５× 评析 本题中求ａ值的关键是抓住频率之和为 ，确定ｘ在
５０ １
． ． 哪个区间内是解题的关键．
５）＝０３５
估计使用节水龙头后 一年可节省水 ． ． ３０．（２０１６北京文，１７，１３分）某市居民用水拟实行阶梯水价．每人
， （０ ４８－０ ３５）×３６５
． ３ ． 月用水量中不超过ｗ立方米的部分按 元／立方米收费 超
＝４７４５（ｍ ） ４ ，
易错警示 利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数 出ｗ立方米的部分按 元／立方米收费．从该市随机调查了
１０
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第十二章 概率与统计 ６ ７７
位居民 获得了他们某月的用水量数据 整理得到如
１００００ ， ，
８
下频率分布直方图
：
９
根据用户满意度评分 将用户的满意度从低到高分为三
（２） ，
个等级
：
满意度评分 低于 分 分到 分 不低于 分
７０ ７０ ８９ ９０
满意度等级 不满意 满意 非常满意
记事件Ｃ 地区用户的满意度等级高于 地区用户的
：“Ａ Ｂ
满意度等级 ．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据
”
如果ｗ为整数 那么根据此次调查 为使 ％以上居民在 所给数据 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率
（１） ， ， ８０ ， ，
该月的用水价格为 元／立方米 ｗ至少定为多少 求Ｃ的概率．
４ ， ？
假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当ｗ 解析 两地区用户满意度评分的茎叶图如下
（２） （１） ：
时 估计该市居民该月的人均水费．
＝３ ， 地区 地区
解析 由用水量的频率分布直方图知 Ａ Ｂ
（１） ，
该市居民该月用水量在区间 ． ． ．
［０ ５，１］，（１，１ ５］，（１ ５，２］， ４ ６ ８
． ． 内的频率依次为 ． ． ． ． ． ．
（２，２５］，（２５，３］ ０１，０１５，０２，０２５，０１５ ３ ５ １ ３ ６ ４
分
（３ ）
所以该月用水量不超过 立方米的居民占 ％ 用水量不超 ６ ４ ２ ６ ２ ４ ５ ５
３ ８５ ，
过 立方米的居民占 ％． 分
２ ４５ （５ ） ６ ８ ８ ６ ４ ３ ７ ３ ３ ４ ６ ９
依题意 ｗ至少定为 ． 分
， ３ （６ ） ９ ２ ８ ６ ５ １ ８ ３ ２ １
由用水量的频率分布直方图及题意 得居民该月用水费
（２） ，
用的数据分组与频率分布表 ７ ５ ５ ２ ９ １ ３
：
通过茎叶图可以看出 地区用户满意度评分的平均值高于
组号 ，Ａ
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 地区用户满意度评分的平均值 地区用户满意度评分比
分组 Ｂ ；Ａ
［２，４］ （４，６］ （６，８］ （８，１０］ （１０，１２］ （１２，１７］ （１７，２２］ （２２，２７］ 较集中 地区用户满意度评分比较分散．
频率 ． ． ． ． ． ． ． ． ，Ｂ
０１ ０１５ ０２ ０２５ ０１５ ００５ ００５ ００５ 记Ｃ 表示事件 地区用户的满意度等级为满意或非
分 （２） Ａ１ ：“Ａ
（１０ ） 常满意
根据题意 该市居民该月的人均水费估计为 ”；
， ： Ｃ 表示事件 地区用户的满意度等级为非常满意
． ． ． ． ． ． ． Ａ２ ：“Ａ ”；
４×０１＋６×０１５＋８×０２＋１０×０２５＋１２×０１５＋１７×００５＋２２×００５＋ Ｃ 表示事件 地区用户的满意度等级为不满意
． ． 元 ． 分 Ｂ１ ：“Ｂ ”；
２７×００５＝１０５（ ） （１３ ） Ｃ 表示事件 地区用户的满意度等级为满意
思路分析 第（ ）问，需要计算该市居民月用水量在各区 Ｂ２ ：“Ｂ ”，
１ 则Ｃ 与Ｃ 独立 Ｃ 与Ｃ 独立 Ｃ 与Ｃ 互斥 Ｃ Ｃ Ｃ
间上的频率，根据样本的频率分布直方图即可获解． Ａ１ Ｂ１ ， Ａ２ Ｂ２ ， Ｂ１ Ｂ２ ， ＝ Ｂ１ Ａ１∪
Ｃ Ｃ ．
第（ ）问，由月用水量的频率分布直方图和ｗ 可计算居民 Ｂ２ Ａ２
２ ＝３ Ｐ Ｃ Ｐ Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ
该月用水费用的数据的分组与频率分布表，由此可估计该市 （ ）＝ （ Ｂ１ Ａ１∪ Ｂ２ Ａ２）
Ｐ Ｃ Ｃ Ｐ Ｃ Ｃ
居民该月的人均水费． ＝ （ Ｂ１ Ａ１）＋ （ Ｂ２ Ａ２）
Ｐ Ｃ Ｐ Ｃ Ｐ Ｃ Ｐ Ｃ ．
评析 本题考查了频率分布直方图及用样本估计总体，属中 ＝ （ Ｂ１） （ Ａ１）＋ （ Ｂ２） （ Ａ２）
档题． 由所给数据得 Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ 发生的频率分别为１６ ４
Ａ１， Ａ２， Ｂ１， Ｂ２ ， ，
２０ ２０
３１．（２０１５课标 理，１８，１２分）某公司为了解用户对其产品的满
Ⅱ
１０ ８ 故Ｐ Ｃ １６ Ｐ Ｃ ４ Ｐ Ｃ １０ Ｐ Ｃ
意度
，
从
Ａ，Ｂ
两地区分别随机调查了
２０
个用户
，
得到用户对
２０
，
２０
， （ Ａ１）＝
２０
， （ Ａ２）＝
２０
， （ Ｂ１）＝
２０
， （ Ｂ２）＝
产品的满意度评分如下
： ８ Ｐ Ｃ １０ １６ ８ ４ ． ．
地区 ， （ ）＝ × ＋ × ＝０４８
Ａ ：６２ ７３ ８１ ９２ ９５ ８５ ７４ ６４ ５３ ７６ ２０ ２０ ２０ ２０ ２０
３２．（２０１５课标 文，１８，１２分）某公司为了解用户对其产品的满
７８ ８６ ９５ ６６ ９７ ７８ ８８ ８２ ７６ ８９ Ⅱ
地区 意度 从 两地区分别随机调查了 个用户 根据用户对
Ｂ ：７３ ８３ ６２ ５１ ９１ ４６ ５３ ７３ ６４ ８２ ， Ａ，Ｂ ４０ ，
产品的满意度评分 得到 地区用户满意度评分的频率分布
９３ ４８ ６５ ８１ ７４ ５６ ５４ ７６ ６５ ７９ ， Ａ
根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图 并 直方图和 地区用户满意度评分的频数分布表．
（１） ， Ｂ
通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度
不要求计算出具体值 给出结论即可
（ ， ）；
地区 地区
Ａ Ｂ
４
５
６
地区用户满意度评分的频数分布表
７ Ｂ
满意度评分分组
［５０，６０） ［６０，７０） ［７０，８０） ［８０，９０） ［９０，１００］
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋６ ７８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
解析 由已知得 ． ． ． ． ｘ
频 数 （１） ，２０×（０００２＋０００９５＋００１１＋００１２５＋
２ ８ １４ １０ ６
． ． 解得ｘ ． ．
作出 地区用户满意度评分的频率分布直方图 并通过 ＋０００５＋０００２５）＝１， ＝０００７５
（１） Ｂ ， 由题图可知 面积最大的矩形对应的月平均用电量区间
直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度 不 （２） ，
（ 为 所以月平均用电量的众数的估计值为
要求计算出具体值 给出结论即可 ［２２０，２４０）， ２３０；
， ）； 因为 ． ． ． ． ．
２０×（０００２＋０００９５＋００１１）＝０４５＜０５，
． ． ． ． ． ． 所以中位数在
２０×（０００２＋０００９５＋００１１＋００１２５）＝０７＞０５，
区间 内．
［２２０，２４０）
设中位数为ｍ 则 ． ． ． ． ｍ
， ２０×（０００２＋０００９ ５＋００１１）＋００１２ ５×（ －
． 解得ｍ ．
２２０）＝０５， ＝２２４
所以月平均用电量的中位数为 ．
２２４
由题图知 月平均用电量为 的用户数为
（３） ， ［２２０，２４０） （２４０－
． 同理可得 月平均用电量为
２２０）×００１２ ５×１００＝２５， ， ［２４０，
根据用户满意度评分 将用户的满意度分为三个等级 的用户数分别为 ．
（２） ， ： ２６０），［２６０，２８０），［２８０，３００］ １５，１０，５
满意度评分 低于 分 分到 分 不低于 分 故用分层抽样的方式抽取 户居民 月平均用电量在
７０ ７０ ８９ ９０ １１ ， ［２２０，
满意度等级 不满意 满意 非常满意 的用户中应抽取 ２５ 户 ．
２４０） １１× ＝５（ ）
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大 说 ２５＋１５＋１０＋５
， ３４．（２０１４课标 文，１８，１２分）从某企业生产的某种产品中抽取
明理由． Ⅰ
件 测量这些产品的一项质量指标值 由测量结果得如下
解析 １００ ， ，
（１） 频数分布表
：
质量指标值分组
［７５，８５） ［８５，９５） ［９５，１０５） ［１０５，１１５） ［１１５，１２５）
频数
６ ２６ ３８ ２２ ８
作出这些数据的频率分布直方图
（１） ；
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出
，Ｂ
地区用户满意度评分的平均值高于 地区用户满意度评分
Ａ
的平均值 地区用户满意度评分比较集中 而 地区用户
；Ｂ ， Ａ
满意度评分比较分散．
地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
（２）Ａ
记Ｃ 表示事件 地区用户的满意度等级为不满意 Ｃ
Ａ ：“Ａ ”； Ｂ
表示事件 地区用户的满意度等级为不满意 ．
：“Ｂ ”
由直方图得Ｐ Ｃ 的估计值为 ． ． ． ．
（ Ａ） （００１＋００２＋００３）×１０＝０６，
Ｐ Ｃ 的估计值为 ． ． ． ． 估计这种产品质量指标值的平均数及方差 同一组中的
（ Ｂ） （０００５＋００２）×１０＝０２５ （２） （
所以 地区用户的满意度等级为不满意的概率大． 数据用该组区间的中点值作代表
Ａ ）；
３３．（２０１５广东文，１７，１２分）某城市 户居民的月平均用电量 根据以上抽样调查数据 能否认为该企业生产的这种产
１００ （３） ，
单位 度 以 品符合 质量指标值不低于 的产品至少要占全部产品
（ ： ）， ［１６０，１８０），［１８０，２００），［２００，２２０），［２２０， “ ９５
分组的频率分布直 ％ 的规定
２４０），［２４０，２６０），［２６０，２８０），［２８０，３００］ ８０ ” ？
方图如图． 解析
（１）
求直方图中ｘ的值
（１） ；
求月平均用电量的众数和中位数
（２） ；
在月平均用电量为 质量指标值的样本平均数为
（３） ［２２０，２４０），［２４０，２６０），［２６０，２８０）， （２）
的四组用户中 用分层抽样的方法抽取 户 ｘ ． ． ． ． ． ．
［２８０，３００］ ， １１ ＝８０×００６＋９０×０２６＋１００×０３８＋１１０×０２２＋１２０×００８＝１００
居民 则月平均用电量在 的用户中应抽取多 质量指标值的样本方差为
， ［２２０，２４０）
少户 ｓ２ ２ ． ２ ． ． ２ ． ２ ．
？ ＝（－２０） ×００６＋（－１０） ×０２６＋０×０３８＋１０ ×０２２＋２０ ×００８
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第十二章 概率与统计 ６ ７９
＝１０４．
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 方差的
１００，
估计值为 ．
１０４
质量指标值不低于 的产品所占比例的估计值为
（３） ９５
． ． ． ． ．
０３８＋０２２＋００８＝０６８
由于该估计值小于 ． 故不能认为该企业生产的这种产品
０ ８，
符合 质量指标值不低于 的产品至少要占全部产品的
“ ９５
％ 的规定．
８０ ”
评析 本题考查绘制频率分布直方图，计算样本的数字特
组号 分组 频数
征，及用样本估计总体等知识，同时考查统计的思想方法．
３５．（２０１４课标 文，１９，１２分）某市为了考核甲 乙两部门的工 １ ［０，２） ６
Ⅱ 、 ２ ［２，４） ８
作情况 随机访问了 位市民．根据这 位市民对这两部门
， ５０ ５０ ３ ［４，６） １７
的评分 评分越高表明市民的评价越高 绘制茎叶图如下
（ ）， ： ４ ［６，８） ２２
甲部门 乙部门 ５ ［８，１０） ２５
６ ［１０，１２） １２
３ ５９
７ ［１２，１４） ６
４ ４ ０４４８
９ ７ ５ １２２４５６６７７７８９ ８ ［１４，１６） ２
９ ７ ６ ６ ５ ３ ３ ２ １ １ ０ ６ ０１１２３４６８８ ９ ［１６，１８） ２
９ ８ ８ ７ ７ ７ ６ ６ ５ ５ ５ ５ ５ ４ ４ ４ ３ ３ ３ ２ １ ０ ０ ７ ００１１３４４９ 合计
１００
６ ６ ５ ５ ２ ０ ０ ８ １２３３４５
从该校随机选取一名学生 试估计这名学生该周课外阅
６ ３ ２ ２ ２ ０ ９ ０１１４５６ （１） ，
１０ ０００ 读时间少于 小时的概率
１２ ；
分别估计该市的市民对甲 乙两部门评分的中位数
求频率分布直方图中的ａ ｂ的值
（２） ， ；
（１） 、 ；
分别估计该市的市民对甲 乙两部门的评分高于 的 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替
（２） 、 ９０ （３） ，
概率 试估计样本中的 名学生该周课外阅读时间的平均数
； １００
根据茎叶图分析该市的市民对甲 乙两部门的评价． 在第几组． 只需写出结论
（３） 、 （ ）
解析 由所给茎叶图知 位市民对甲部门的评分由 解析 根据频数分布表知 名学生中一周课外阅读
（１） ，５０ （１） ，１００
小到大排序 排在第 位的是 故样本中位数为 时间不少于 小时的学生共有 名 所以样本中
， ２５，２６ ７５，７５， １２ ６＋２＋２＝１０ ，
所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 ．
７５， ７５５０ 的学生一周课外阅读时间少于 小时的频率是 １０ ． ．
位市民对乙部门的评分由小到大排序 排在第 位的是 １２ １－ ＝０９
， ２５，２６ １００
故从该校随机选取一名学生 估计其该周课外阅读时间少于
故样本中位数为６６＋６８ 所以该市的市民对乙部门 ，
６６，６８， ＝６７， 小时的概率为 ． ．
２ １２ ０９
评分的中位数的估计值是 ． 课外阅读时间落在组 内的有 人 频率为 ． 所
６７ （２） ［４，６） １７ ， ０１７，
由所给茎叶图知 位市民对甲 乙部门的评分高于 频率 ．
（２） ，５０ 、 ９０ 以ａ ０１７ ． ．
＝组距＝ ＝００８５
的比率分别为 ５ ． ８ ． 故该市的市民对甲 乙部门 ２
＝０１， ＝０１６， 、 课外阅读时间落在组 内的有 人 频率为 ． 所以
５０ ５０ ［８，１０） ２５ ， ０２５，
的评分高于 的概率的估计值分别为 ． ． ． 频率 ．
９０ ０１，０１６ ｂ ０２５ ． ．
由所给茎叶图知 市民对甲部门的评分的中位数高于对 ＝组距＝ ＝０１２５
（３） ， ２
乙部门的评分的中位数 而且由茎叶图可以大致看出对甲部 样本中的 名学生该周课外阅读时间的平均数在第
， （３） １００
门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差 说明该 组．
， ４
市市民对甲部门的评价较高 评价较为一致 对乙部门的评 ３７．（２０１３课标 文，１８，１２ 分）为了比较两种治疗失眠症的药
、 ， Ⅰ
价较低 评价差异较大． 分别称为 药 药 的疗效 随机地选取 位患者服用
、 （ Ａ ，Ｂ ） ， ２０ Ａ
评析 本题考查利用茎叶图进行中位数，概率的相关计算，
药 位患者服用 药 这 位患者在服用一段时间后 记
，２０ Ｂ ， ４０ ，
考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，运用统计与概
录他们日平均增加的睡眠时间 单位 ．试验的观测结果
（ ：ｈ）
率的知识与方法解决实际问题的能力，考查数据处理能力及
如下
：
应用意识．
服用 药的 位患者日平均增加的睡眠时间
３６．（２０１４北京文，１８，１３ 分）从某校随机抽取 名学生 获得 Ａ ２０ ：
１００ ， ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
０６ １２ ２７ １５ ２８ １８ ２２ ２３ ３２ ３５
了他们一周课外阅读时间 单位 小时 的数据 整理得到数
（ ： ） ， ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
据分组及频数分布表和频率分布直方图 ２５ ２６ １２ ２７ １５ ２９ ３０ ３１ ２３ ２４
： 服用 药的 位患者日平均增加的睡眠时间
Ｂ ２０ ：
． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
３２ １７ １９ ０８ ０９ ２４ １２ ２６ １３ １４
． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
１６ ０５ １８ ０６ ２１ １１ ２５ １２ ２７ ０５
分别计算两组数据的平均数 从计算结果看 哪种药的疗
（１） ， ，
效更好
？
根据两组数据完成下面茎叶图 从茎叶图看 哪种药的疗
（２） ， ，
效更好
？
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋６ ８０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 ． 求甲校
（１） ０ ０５，
高三年级学生总人数 并估计甲校高三年级这次联考数
，
学成绩的及格率 分及 分以上为及格
（６０ ６０ ）；
设甲 乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别
解析 设 药观测数据的平均数为ｘ 药观测数据的 （２） 、
（１） Ａ ，Ｂ 为ｘ ｘ 估计ｘ ｘ 的值．
１、 ２， １－ ２
平均数为ｙ 由观测结果可得ｘ １ ． ． ． ． ．
， ＝ ×（０６＋１２＋１２＋１５＋１５＋ 解析 设甲校高三年级学生总人数为ｎ．由题意知 ３０
２０ （１） ， ｎ
． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
１８＋２２＋２３＋２３＋２４＋２ ５＋２ ６＋２ ７＋２ ７＋２ ８＋２ ９＋３ ０＋３ １＋ ． 即ｎ ．
． ． ． ＝００５， ＝６００
３２＋３５）＝２３， 样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为 据此估
５，
ｙ １ ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
＝ ×（０５＋０５＋０６＋０８＋０９＋１１＋１２＋１２＋１３＋１４＋１６＋１ 计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为 ５ ５ ．
２０ １－ ＝
． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ３０ ６
７＋１８＋１９＋２１＋２４＋２５＋２６＋２７＋３２）＝１６ 设甲 乙两校样本平均数分别为ｘ′ ｘ′ 根据样本茎叶图
由以上计算结果可得ｘ ｙ 因此可看出 药的疗效更好． （２） 、 １、 ２，
＞ ， Ａ 可知
由观测结果可绘制如下茎叶图 ，
（２） ： ｘ′ ｘ′ ｘ′ ｘ′
３０（ １－ ２）＝３０ １－３０ ２
＝（７－５）＋（５５＋８－１４）＋（２４－１２－６５）＋（２６－２４－７９）＋（２２－２０）
＋９２
＝２＋４９－５３－７７＋２＋９２
从以上茎叶图可以看出 药疗效的试验结果有 ７ 的叶集中 ＝１５ ．
，Ａ
１０ 因此ｘ′ ｘ′ ． ．故ｘ ｘ 的估计值为 ． 分．
１－ ２＝０５ １－ ２ ０５
在茎 上 而 药疗效的试验结果有 ７ 的叶集中在茎 评析 本题考查随机抽样与茎叶图等统计学的基本知识，考
２，３ ， Ｂ ０，１
１０ 查学生用样本估计总体的思想以及数据分析处理能力．
上 由此可看出 药的疗效更好．
， Ａ ４０．（２０１７课标 文，１９，１２分）为了监控某种零件的一条生产线
评析 本题考查数据的平均数和茎叶图，考查数据的分析处 Ⅰ
的生产过程 检验员每隔 从该生产线上随机抽取一个
理能力和应用意识． ， ３０ ｍｉｎ
零件 并测量其尺寸 单位 ．下面是检验员在一天内依次
３８．（２０１３课标 文，１９，１２分）经销商经销某种农产品 在一个 ， （ ：ｃｍ）
Ⅱ ， 抽取的 个零件的尺寸
销售季度内 每售出 该产品获利润 元 未售出的产品 １６ ：
， １ｔ ５００ ， ，
每 亏损 元．根据历史资料 得到销售季度内市场需求 抽取次序
１ ｔ ３００ ， １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
量的频率分布直方图 如图所示．经销商为下一个销售季度购 零件尺寸 ． ． ． ． ． ． ． ．
， ９９５ １０１２ ９９６ ９９６ １００１ ９９２ ９９８ １００４
进了 该农产品 以Ｘ 单位 Ｘ 表示下一个
１３０ｔ ， （ ：ｔ，１００≤ ≤１５０） 抽取次序
销售季度内的市场需求量 Ｔ 单位 元 表示下一个销售季度 ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ １６
， （ ： ）
内经销该农产品的利润． 零件尺寸 １０ ． ２６ ９ ． ９１ １０ ． １３ １０ ． ０２ ９ ． ２２ １０ ． ０４ １０ ． ０５ ９ ． ９５
将Ｔ表示为Ｘ的函数
（ （ １ ２ ） ） 根据直方图估计利润 ； Ｔ不少于 ５７０００ 元的概率． 经计算得ｘ ＝ １ １ ６ ∑ｉ １ ＝ ６ １ ｘ ｉ＝９ ． ９７， ｓ ＝ １ １ ６ ∑ｉ １ ＝ ６ １ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２
( )
１６ １６
＝
１
１
６
∑ｉ＝
１
ｘ２ｉ －
１６
ｘ２
≈０
．
２１２， ∑ｉ＝
１
（
ｉ －
８
．
５）
２
１６
． ｘ ｘ ｉ ． ． 其中ｘ 为抽取的第ｉ
≈１８４３９，∑ｉ＝ （ ｉ－ ）（ －８ ５）＝－２ ７８， ｉ
１
个零件的尺寸 ｉ ．
， ＝１，２，…，１６
求 ｘ ｉ ｉ 的相关系数ｒ 并回答是否可以
（１） （ ｉ，）（ ＝１，２，…，１６） ，
解析 当Ｘ 时 认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统
（１） ∈［１００，１３０） ，
Ｔ Ｘ Ｘ 地变大或变小 若 ｒ ． 则可以认为零件的尺寸不随
＝５００ －３００（１３０－ ） （ ｜ ｜＜０２５，
Ｘ ．当Ｘ 时 Ｔ ． 生产过程的进行而系统地变大或变小
＝８００ －３９０００ ∈［１３０，１５０］ ， ＝５００×１３０＝６５０００ ）；
{ Ｘ Ｘ 一天内抽检零件中 如果出现了尺寸在 ｘ ｓ ｘ ｓ 之外
所以Ｔ ８００ －３９０００，１００≤ ＜１３０， （２） ， （ －３ ， ＋３ ）
＝ Ｘ ． 的零件 就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出
６５０００， １３０≤ ≤１５０ ，
由 知利润Ｔ不少于 元当且仅当 Ｘ ． 现了异常情况 需对当天的生产过程进行检查．
（２） （１） ５７０００ １２０≤ ≤１５０ ，
由直方图知需求量Ｘ 的频率为 ． 所以下一个销售 从这一天抽检的结果看 是否需对当天的生产过程进
∈［１２０，１５０］ ０７， （ｉ） ，
季度内的利润Ｔ不少于 元的概率的估计值为 ． ． 行检查
５７０００ ０７ ？
３９．（２０１３安徽文，１７，１２分）为调查甲 乙两校高三年级学生某 在 ｘ ｓ ｘ ｓ 之外的数据称为离群值 试剔除离群
、 （ｉｉ） （ －３ ， ＋３ ） ，
次联考数学成绩情况 用简单随机抽样 从这两校中各抽取 值 估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准
， ， ，
名高三年级学生 以他们的数学成绩 百分制 作为样本 差． 精确到 ．
３０ ， （ ） ， （ ００１）
样本数据的茎叶图如下 附 样本 ｘ ｙ ｉ ｎ 的相关系数
： ： （ ｉ， ｉ）（ ＝１，２，…， ）
ｎ
ｘ － ｘ ｙ － ｙ
ｒ
∑ｉ＝
１
（ ｉ ）（ ｉ ）
．
＝ ｎ ｎ
∑ｉ＝ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ＝ （ ｙ ｉ － ｙ ） ２
１ １
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第十二章 概率与统计 ６ ８１
． ． ． 这种酸奶一天的需求量不超过 瓶 当且仅当最高气
０００８≈００９ （１） ３００ ，
解析 本题考查统计问题中的相关系数及样本数据的均 温低于 由表格数据知 最高气温低于 的频率为
２５， ， ２５
值与方差．
２＋１６＋３６ ． 所以这种酸奶一天的需求量不超过 瓶的
（１） 由样本数据得 （ ｘ ｉ， ｉ ）（ ｉ ＝１，２，…，１６） 的相关系数为 ｒ ＝ ９０ ＝０６， ３００
概率的估计值为 ． ．
１６ ｘ － ｘ ｉ － ． ０６
∑ｉ＝ （ ｉ ）（ ８５） （２） 当这种酸奶一天的进货量为 ４５０ 瓶时 ，
１
若最高气温不低于 则Ｙ
１６ １６ ２５， ＝６×４５０－４×４５０＝９００；
∑ｉ＝ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ＝ （ ｉ － ８ ． ５） ２ 若最高气温位于区间 ［２０，２５）， 则Ｙ ＝６×３００＋２×（４５０－３００）－
１ １
．
－２７８ ． ． ４×４５０＝３００；
＝ ． ． ≈－０１８ 若最高气温低于 则 Ｙ
０２１２× １６×１８４３９ ２０， ＝６×２００＋２×（４５０－２００）－４×４５０＝
由于 ｒ ． 因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生 ．
｜ ｜＜０２５， －１００
产过程的进行而系统地变大或变小． 所以 Ｙ的所有可能值为 ．
， ９００，３００，－１００
由于ｘ ． ｓ ． 由样本数据可以看出抽取的第 Ｙ大于零当且仅当最高气温不低于 由表格数据知 最高
（２）（ｉ） ＝９９７， ≈０２１２， ２０， ，
个零件的尺寸在 ｘ ｓ ｘ ｓ 以外 因此需对当天的生产
１３ （ －３ ， ＋３ ） ， 气温不低于 的频率为３６＋２５＋７＋４ ． 因此 Ｙ大于零的
过程进行检查． ２０ ＝０ ８，
９０
剔除离群值 即第 个数据 剩下数据的平均数为 概率的估计值为 ． ．
（ｉｉ） ， １３ ， ０８
４２．（２０１６课标 文，１９，１２分）某公司计划购买 台机器 该种
１ ． ． ． Ⅰ １ ，
×（１６×９９７－９２２）＝１００２， 机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件 在购进机器
１５ ，
这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为 ． ． 时 可以额外购买这种零件作为备件 每个 元．在机器使
１００２ ， ， ２００
用期间 如果备件不足再购买 则每个 元．现需决策在购
∑ｉ
１
＝
６
１
ｘ２ｉ
＝１６×０
．
２１２
２
＋１６×９
．
９７
２
≈１５９１
．
１３４， 买机器
，
时应同时购买几个易损
，
零件 ， 为
５
此
００
搜集并整理了 １００
剔除第 个数据 剩下数据的样本方差为 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 得下面柱
１３ ， ，
状图
１ ． ． ２ ． ２ ． ：
×（１５９１１３４－９２２ －１５×１００２ ）≈０００８，
１５
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为
． ． ．
０００８≈００９
方法总结 样本的数字特征．
（ ）样本数据的相关系数ｒ，
１
ｎ
（ｘ － ｘ）（ｙ － ｙ）
ｉ ｉ
ｒ
∑ｉ＝
１ ，
＝ ｎ ｎ
（ｘ
ｉ
－ ｘ）２ （ｙ
ｉ
－ ｙ）２
∑ｉ＝ ∑ｉ＝
反映样本 １ 数据的相关程度 １ ， ｒ 越大，则相关性越强． 记ｘ表示 １ 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数 ， ｙ
｜ ｜
（ ）样本数据的均值反映样本数据的平均水平；样本数据的 表示 １ 台机器在购买易损零件上所需的费用 （ 单位 ： 元 ）， ｎ表
２
方差反映样本数据的稳定性，方差越小，数据越稳定；样本数 示购机的同时购买的易损零件数．
据的标准差为方差的算术平方根．
（１）
若ｎ
＝１９，
求ｙ与ｘ的函数解析式
；
４１．（２０１７课标 文，１８，１２分）某超市计划按月订购一种酸奶
（２）
若要求
“
需更换的易损零件数不大于ｎ
”
的频率不小于
０
．
Ⅲ ，
每天进货量相同 进货成本每瓶 元 售价每瓶 元 未售出
求ｎ的最小值
５， ；
， ４ ， ６ ，
假设这 台机器在购机的同时每台都购买 个易损
的酸奶降价处理 以每瓶 元的价格当天全部处理完．根据往
（３） １００ １９
， ２
零件 或每台都购买 个易损零件 分别计算这 台
年销售经验 每天需求量与当天最高气温 单位 有关．如
， ２０ ， １００
， （ ：℃）
机器在购买易损零件上所需费用的平均数 以此作为决
果最高气温不低于 需求量为 瓶 如果最高气温位于
，
２５， ５００ ；
策依据 购买 台机器的同时应购买 个还是 个易
区间 需求量为 瓶 如果最高气温低于 需求
， １ １９ ２０
［２０，２５）， ３００ ； ２０，
量为 瓶．为了确定六月份的订购计划 统计了前三年六月 损零件
２００ ， ？
份各天的最高气温数据 得下面的频数分布表 解析 当ｘ 时 ｙ
， ： （１） ≤１９ ， ＝３８００；
当ｘ 时 ｙ ｘ ｘ
最高气温 ＞１９ ， ＝３８００＋５００（ －１９）＝５００ －５７００，
［１０，１５） ［１５，２０） ［２０，２５） ［２５，３０） ［３０，３５） ［３５，４０） 所以ｙ与ｘ的函数解析式为
天数 ２ １６ ３６ ２５ ７ ４ { ｘ
ｙ ３８００， ≤１９， ｘ Ｎ ． 分
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的 ＝ ｘ ｘ （ ∈ ） （４ ）
５００ －５７００， ＞１９
概率． 由柱状图知 需更换的零件数不大于 的频率为 ．
（２） ， １８ ０ ４６，
估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 瓶的 不大于 的频率为 ． 故ｎ的最小值为 ． 分
（１） ３００ １９ ０７， １９ （５ ）
概率 若每台机器在购机同时都购买 个易损零件 则这
； （３） １９ ， １００
设六月份一天销售这种酸奶的利润为Ｙ 单位 元 ．当六 台机器中有 台在购买易损零件上的费用为 元 台
（２） （ ： ） ７０ ３８００ ，２０
月份这种酸奶一天的进货量为 瓶时 写出Ｙ的所有 的费用为 元 台的费用为 元 因此这 台机
４５０ ， ４３００ ，１０ ４ ８００ ， １００
可能值 并估计Ｙ大于零的概率．
， 器在购买易损零件上所需费用的平均数为 １
解析 本题考查概率的计算． （３ ８００×７０＋
１００
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋６ ８２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
元 ． 分
４３００×２０＋４８００×１０）＝４０００（ ） （７ ） ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ
（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），
若每台机器在购机同时都购买 个易损零件 则这 台机
２０ ， １００ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ
器中有 台在购买易损零件上的费用为 元 台的费 （ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），
９０ ４０００ ，１０
用为 元 因此这 台机器在购买易损零件上所需费 其中ａ ａ分别表示甲组研发成功和失败 ｂ ｂ分别表示乙组研
４５００ ， １００ ， ； ，
发成功和失败．
用的平均数为 １ 元 ．
（４０００×９０＋４５００×１０）＝４０５０（ ） 若某组成功研发一种新产品 则给该组记 分 否则记
１００ （１） ， １ ， ０
分 分．试计算甲 乙两组研发新产品的成绩的平均数和方
（１０ ） 、
比较两个平均数可知 购买 台机器的同时应购买 个易损 差 并比较甲 乙两组的研发水平
， １ １９ ， 、 ；
零件． 分 若该企业安排甲 乙两组各自研发一种新产品 试估计恰
（１２ ） （２） 、 ，
思路分析 先写出ｙ与ｘ的函数关系式（分段函数），然后 有一组研发成功的概率．
分别求所需费用的平均数，通过比较两个平均数的大小可得 解析 甲组研发新产品的成绩为
（１） １，１，１，０，０，１，１，１，０，
所求结果．
１，０，１，１，０，１，
评析 本题以条形图为载体，考查了函数的综合应用，对考
其平均数为ｘ
甲＝
１０
＝
２
；
生用图、识图的能力进行了考查，同时体现了数学源于生活
１５ ３
[( ) ( ) ]
又服务于生活的特点． 方差为ｓ２甲＝ １
１－
２ ２
×１０＋ ０－
２ ２
×５ ＝
２ ．
４３．（２０１６课标 文，１８，１２ 分）某险种的基本保费为 ａ 单位 １５ ３ ３ ９
Ⅱ （ ： 乙组研发新产品的成绩为
元 继续购买该险种的投保人称为续保人 续保人本年度的 １，０，１，１，０，１，１，０，１，０，０，１，０，１，
）， ，
保费与其上年度出险次数的关联如下 其平均数为ｘ ９ ３
： １， 乙＝ ＝ ；
１５ ５
上年度出险次数 [( ) ( ) ]
０ １ ２ ３ ４ ≥５ ２ ２
保费 ． ａ ａ ． ａ ． ａ ． ａ ａ
方差为ｓ２乙＝ １
１－
３
×９＋ ０－
３
×６ ＝
６ ．
０８５ １２５ １５ １７５ ２ １５ ５ ５ ２５
随机调查了该险种的
２００
名续保人在一年内的出险情况
，
得 因为ｘ 甲＞ ｘ 乙， ｓ２甲＜ ｓ２乙， 所以甲组的研发水平优于乙组．
到如下统计表 记Ｅ 恰有一组研发成功 ．
： （２） ＝｛ ｝
在所抽得的 个结果中 恰有一组研发成功的结果是 ａ
出险次数 １５ ， （ ，
０ １ ２ ３ ４ ≥５
ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ 共 个 故
频数 ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）， ７ ，
６０ ５０ ３０ ３０ ２０ １０
记Ａ为事件 一续保人本年度的保费不高于基本保费 ． 事件Ｅ发生的频率为 ７ ．将频率视为概率 即得所求概率为Ｐ
（１） ：“ ” ，
１５
求Ｐ Ａ 的估计值
（ ） ；
记Ｂ为事件 一续保人本年度的保费高于基本保费但不 （ Ｅ ）＝ ７ ．
（２） ：“
１５
高于基本保费的 ％ ．求Ｐ Ｂ 的估计值 评析 本题考查样本的数字特征及用样本的频率估计概率，
１６０ ” （ ） ；
（３）
求续保人本年度平均保费的估计值． 同时考查分析问题、解决问题及运用统计思想的能力．
解析
（１）
事件Ａ发生当且仅当一年内出险次数小于
２
． ４５．（２０１２课标文，１８，１２分）某花店每天以每枝 元的价格从农
５
由所给数据知 一年内出险次数小于 的频率为６０＋５０ 场购进若干枝玫瑰花 然后以每枝 元的价格出售．如果当
， ２ ＝ ， １０
２００ 天卖不完 剩下的玫瑰花作垃圾处理．
． ，
０５５， 若花店一天购进 枝玫瑰花 求当天的利润 ｙ 单位
故Ｐ Ａ 的估计值为 ． ． 分 （１） １７ ， （ ：
（ ） ０５５ （３ ） 元 关于当天需求量ｎ 单位 枝 ｎ Ｎ 的函数解析式
事件Ｂ发生当且仅当一年内出险次数大于 且小于 ． ） （ ： ， ∈ ） ；
（２） １ ４ 花店记录了 天玫瑰花的日需求量 单位 枝 整理得
由所给数据知 一年内出险次数大于 且小于 的频率为 （２） １００ （ ： ），
， １ ４ 下表
：
３０＋３０ ． 日需求量ｎ
＝０３， １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２０
２００ 频数
故Ｐ Ｂ 的估计值为 ． ． 分 １０ ２０ １６ １６ １５ １３ １０
（ ） ０３ （６ ）
假设花店在这 天内每天购进 枝玫瑰花 求这
由所给数据得
（ｉ） １００ １７ ，
（３）
天的日利润 单位 元 的平均数
保费 ． ａ ａ ． ａ ． ａ ． ａ ａ １００ （ ： ） ；
０８５ １２５ １５ １７５ ２ 若花店一天购进 枝玫瑰花 以 天记录的各需
（ｉｉ） １７ ， １００
频率 ． ． ． ． ． ．
０３０ ０２５ ０１５ ０１５ ０１０ ００５ 求量的频率作为各需求量发生的概率 求当天的利润不
，
分 少于 元的概率．
（１０ ） ７５
调查的 名续保人的平均保费为 解析 当日需求量ｎ 时 利润ｙ ．
２００ （１） ≥１７ ， ＝８５
． ａ ． ａ ． ． ａ ． ． ａ ． ． ａ ． ａ 当日需求量ｎ 时 利润ｙ ｎ ．
０８５ ×０３０＋ ×０２５＋１２５ ×０１５＋１ ５ ×０ １５＋１ ７５ ×０ １０＋２ ＜１７ ， ＝１０ －８５
． ． ａ． 所以ｙ关于ｎ的函数解析式为
×００５＝１１９２５
因此 续保人本年度平均保费的估计值为 ． ａ． 分 { ｎ ｎ
， １１９２５ （１２ ） ｙ １０ －８５， ＜１７， ｎ Ｎ ．
评析 本题考查了频率的求解方法，同时对考生的应用意识 ＝ ｎ （ ∈ ）
８５， ≥１７
及数据处理能力进行了巧妙的考查，属中档题． 这 天中有 天的日利润为 元 天的日利润
（２）（ｉ） １００ １０ ５５ ，２０
４４．（２０１４湖南文，１７，１２分）某企业有甲 乙两个研发小组 为了 为 元 天的日利润为 元 天的日利润为 元 所
、 ， ６５ ，１６ ７５ ，５４ ８５ ，
比较他们的研发水平 现随机抽取这两个小组往年研发新产
， 以这 天的日利润的平均数为 １
品的结果如下 １００ （５５×１０＋６５×２０＋７５×１６＋
： １００
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第十二章 概率与统计 ６ ８３
８５×５４ ． ． 最适宜作为发芽率ｙ和温度ｘ的回归方程类型的是
）＝７６４ （ ）
利润不低于 元当且仅当日需求量不少于 枝．故当天 ｙ ａ ｂｘ ｙ ａ ｂｘ２ ｙ ａ ｂ ｘ ｙ ａ ｂ ｘ
（ｉｉ） ７５ １６ Ａ． ＝ ＋ Ｂ． ＝ ＋ Ｃ． ＝ ＋ ｅ Ｄ． ＝ ＋ ｌｎ
的利润不少于 元的概率为Ｐ ． ． ． ． ． １． 答案 Ｄ
７５ ＝０１６＋０１６＋０１５＋０１３＋０１＝
． ． ２．（２０１７山东理，５，５ 分）为了研究某班学生的脚长 ｘ 单位 厘
０７ （ ：
评析 本题考查概率统计，考查运用样本频率估计总体概率 米 和身高ｙ 单位 厘米 的关系 从该班随机抽取 名学生
） （ ： ） ， １０ ，
及运算求解能力． 根据测量数据的散点图可以看出ｙ与ｘ之间有线性相关关系
，
４６．（２０１１课标文，１９，１２分）某种产品的质量以其质量指标值衡
１０ １０
量 质量指标值越大表明质量越好 且质量指标值大于或等
设其回归直线方程为ｙ
＾＝
ｂ＾ｘ
＋
ａ
＾
．已知
∑ｉ＝
ｘ
ｉ＝２２５，∑ｉ＝
ｙ
ｉ＝１６００，
， ， １ １
于
１０２
的产品为优质品．现用两种新配方
（
分别称为
Ａ
配方和 ｂ＾
＝４
．该班某学生的脚长为
２４，
据此估计其身高为
（ ）
配方 做试验 各生产了 件这种产品 并测量了每件产 ． ． ． ．
Ｂ ） ， １００ ， Ａ１６０ Ｂ１６３ Ｃ１６６ Ｄ１７０
品的质量指标值 得到下面试验结果 ２． 答案 Ｃ
， ：
配方的频数分布表 ３．（２０２１全国甲，文１７，理１７，１２分）甲 乙两台机床生产同种产
Ａ 、
指标值 品 产品按质量分为一级品和二级品 为了比较两台机床产品
， ，
分组 ［９０，９４） ［９４，９８） ［９８，１０２） ［１０２，１０６） ［１０６，１１０］ 的质量 分别用两台机床各生产了 件产品 产品的质量情
， ２００ ，
频数 况统计如下表
８ ２０ ４２ ２２ ８ ：
配方的频数分布表
Ｂ 一级品 二级品 合计
指标值
甲机床
分组 ［９０，９４） ［９４，９８） ［９８，１０２） ［１０２，１０６） ［１０６，１１０］ １５０ ５０ ２００
频数 乙机床
４ １２ ４２ ３２ １０ １２０ ８０ ２００
分别估计用 配方 配方生产的产品的优质品率 合计
（１） Ａ ，Ｂ ； ２７０ １３０ ４００
已知用 配方生产的一件产品的利润ｙ 单位 元 与其 甲机床 乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少
（２） Ｂ { （ ｔ ： ） （１） 能否有 、 ％的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的 ？ 产
－２， ＜９４， （２） ９９
质量指标值ｔ的关系式为ｙ ｔ 品质量有差异
＝ ２， ９４≤ ＜１０２， ？
估计用 配方生产的一件产品
４
的
，
利润大于
ｔ ≥１０
的
２ ．
概率 并
附
：
Ｋ２
＝ ａ ｂ
ｎ
ｃ
（ ａ
ｄ
ｄ － ｂ
ａ
ｃ ）
ｃ
２
ｂ ｄ ，
Ｂ ０ ， （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
求用 配方生产的上述 件产品平均一件的利润．
Ｂ １００ Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ．
解析 由试验结果知 用 配方生产的产品中优质品 （ ≥ ） ００５０ ００１０ ０００１ ．
（１） ， Ａ
ｋ ． ． ．
的频率为２２＋８ ． 所以用 配方生产的产品的优质品率的 ３８４１ ６６３５ １０８２８
＝０３， Ａ
１００ ３． 解题指导 （ ）根据表中数据分别计算甲、乙两台机床所
估计值为 ． ． １
０３ 生产的产品中一级品的数量，进而得出结论；（ ）根据 列
由试验结果知 用 配方生产的产品中优质品的频率为 ２ ２×２
， Ｂ 联表中的数据计算Ｋ２，然后对照临界值表作出判断．
３２＋１０ ． 所以用 配方生产的产品的优质品率的估计值 解析 因为甲机床生产的 件产品中有 件一级
＝０４２， Ｂ （１） ２００ １５０
１００
为 ． ． 品 所以甲机床生产的产品中一级品的频率为１５０ ３ 因为乙
０４２ ， ＝ ，
由条件知 用 配方生产的一件产品的利润大于 当且 ２００ ４
（２） ， Ｂ ０ 机床生产的 件产品中有 件一级品 所以乙机床生产的
仅当其质量指标值ｔ 由试验结果知 质量指标值ｔ ２００ １２０ ，
≥９４， ， ≥９４
的频率为 ． ．所以用 配方生产的一件产品的利润大于 产品中一级品的频率为１２０ ３ ．
０９６ Ｂ ０ ＝
的概率估计值为 ． ． ２００ ５
０９６ 根 据 列 联 表 中 的 数 据 得 Ｋ２
（２ ） ２ × ２ ，
用 配方生产的产品平均一件的利润为
Ｂ ｎ ａｄ ｂｃ ２
（ － ）
＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ
１ ． 元 ． （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
×［４×（－２）＋５４×２＋４２×４］＝２６８（ ）
１００ ２
４００×（１５０×８０－１２０×５０） ４００ ． 因为 ． ．
＝ ＝ ≈１０２５６， １０２５６＞６６３５，
２７０×１３０×２００×２００ ３９
变量间的相关关系、统计案例 学生用书Ｐ２３０ 所以有 ％的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质
９９
量有差异．
１．（２０２０课标 ，文５，理５，５分）某校一个课外学习小组为研究
Ⅰ 方法总结 解决独立性检验问题的一般步骤：
某作物种子的发芽率ｙ和温度ｘ 单位 的关系 在 个不
（ ：℃） ， ２０
同的温度条件下进行种子发芽实验 由实验数据 ｘ ｙ ｉ
， （ ｉ， ｉ）（ ＝１，
得到下面的散点图
２，…，２０） ：
４．（２０２０课标 ，文１８，理１８，１２分）某沙漠地区经过治理 生态
Ⅱ ，
系统得到很大改善 野生动物数量有所增加．为调查该地区某
，
种野生动物的数量 将其分成面积相近的 个地块 从这些
， ２００ ，
由此散点图 在 至 之间 下面四个回归方程类型中 地块中用简单随机抽样的方法抽取 个作为样区 调查得到
， １０ ℃ ４０ ℃ ， ２０ ，
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋６ ８４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
样本数据 ｘ ｙ ｉ 其中 ｘ 和 ｙ 分别表示第 ｉ 续表
（ ｉ， ｉ）（ ＝１，２，…，２０）， ｉ ｉ
个样区的植物覆盖面积 单位 公顷 和这种野生动物的数量 人次 人次
（ ： ） ， ≤４００ ＞４００
并计算得 ∑ｉ ２ ＝ ０ ｘ ｉ＝６０，∑ｉ ２ ＝ ０ ｙ ｉ＝１２００，∑ｉ ２ ＝ ０ （ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ ＝８０，∑ｉ ２ ＝ ０ （ ｙ ｉ 空气质量不好
１ １ １ １ ｎ ａｄ ｂｃ ２
－ ｙ ） ２ ＝９０００，∑ｉ
２
＝
０
（ ｘ ｉ－ ｘ ）（ ｙ ｉ－ ｙ ）＝８００ ．
附
：
Ｋ２
＝ （ ａ ＋ ｂ ）（ ｃ
（
＋ ｄ ）
－
（ ａ ＋
）
ｃ ）（ ｂ ＋ ｄ ） ，
１
（１）
求该地区这种野生动物数量的估计值
（
这种野生动物数量 Ｐ
（
Ｋ２
≥
ｋ
） ０
．
０５０ ０
．
０１０ ０
．
００１ ．
的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘地块
ｋ ． ． ．
３８４１ ６６３５ １０８２８
数
）； ５． 解析 由所给数据 该市一天的空气质量等级为
求样本 ｘ ｙ ｉ 的相关系数 精确到 ． （１） ， １，２，３，
（２） （ ｉ， ｉ）（ ＝１，２，…，２０） （ ００１）； 的概率的估计值如下表
根据现有统计资料 各地块间植物覆盖面积差异很大．为 ４ ：
（３） ， 空气质量等级
提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准 １ ２ ３ ４
确的估计 请给出一种你认为更合理的抽样方法 并说明 概率的估计值 ． ． ． ．
， ， ０４３ ０２７ ０２１ ００９
理由．
一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 １
ｎ （２） ×（１００×２０
ｘ － ｘ ｙ － ｙ １００
附 相关系数ｒ
∑ｉ＝
１
（ ｉ ）（ ｉ ）
． ． ＋３００×３５＋５００×４５）＝３５０
．
： ＝ ｎ ｎ ， ２≈１４１４ 根据所给数据 可得 列联表
∑ｉ＝ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ＝ （ ｙ ｉ － ｙ ） ２ （３） ， ２×２ 人次 ： 人次
１ １ ≤４００ ＞４００
２０
４． 解析 由已知得样本平均数ｙ １ ｙ 从而该地 空气质量好
（１） ＝
２０
∑ｉ＝
１
ｉ＝６０， ３３ ３７
区这种野生动物数量的估计值为 ６０×２００＝１２０００ ． 空气质量不好 ２２ ８
（２） 样本 （ ｘ ｉ， ｙ ｉ）（ ｉ ＝１，２，…，２０） 的相关系数 根据列联表得Ｋ２ １００×（３３×８－２２×３７） ２ ． ．
＝ ≈５８２０
２０ ｘ － ｘ ｙ － ｙ ５５×４５×７０×３０
ｒ
∑ｉ＝
１
（ ｉ ）（ ｉ ）
８００ ２ ２ ． ．
由于
５
．
８２０＞３
．
８４１，
故有
９５
％的把握认为一天中到该公园锻炼
＝ ＝ ＝ ≈０９４ 的人次与该市当天的空气质量有关．
∑ｉ ２ ＝ ０ １ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ ２ ＝ ０ １ （ ｙ ｉ － ｙ ） ２ ８０×９０００ ３ ６．（２０２０新高考 Ⅰ ，１９，１２ 分）为加强环境保护 ， 治理空气污染 ，
分层抽样 根据植物覆盖面积的大小对地块分层 再对 环境监测部门对某市空气质量进行调研 随机抽查了 天空
（３） ： ， ２００ ， １００
个地块进行分层抽样． 气中的 ． 和 浓度 单位 ３ 得下表
ＰＭ２５ ＳＯ２ （ ：μｇ／ｍ ）， ：
理由如下 由 知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面
： （２）
积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大
，
从
．
ＳＯ２
［０，５０］ （５０，１５０］ （１５０，４７５］
ＰＭ２５
而各地块间这种野生动物数量差异也很大 采用分层抽样的
，
方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性 提高了样 ［０，３５］ ３２ １８ ４
， （３５，７５］ ６ ８ １２
本的代表性 从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确
， （７５，１１５］ ３ ７ １０
的估计． 估计事件 该市一天空气中 ． 浓度不超过 且
５．（２０２０课标 ，文１８，理１８，１２ 分）某学生兴趣小组随机调查
（１）
浓度不超
“
过 的概率
ＰＭ２ ５ ７５， ＳＯ２
Ⅲ １５０” ；
了某市 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的 根据所给数据 完成下面的 列联表
１００ （２） ， ２×２ ：
人次 整理数据得到下表 单位 天
， （ ： ）：
ＳＯ２
锻炼人次 ． ［０，１５０］ （１５０，４７５］
ＰＭ２５
空气质量等级 ［０，２００］ （２００，４００］ （４００，６００］
［０，７５］
优
１（ ） ２ １６ ２５ （７５，１１５］
良 根据 中的列联表 判断是否有 ％的把握认为该市一
２（ ） ５ １０ １２ （３） （２） ， ９９
天空气中 ． 浓度与 浓度有关．
３（
轻度污染
） ６ ７ ８
ＰＭ２５ ＳＯ２
ｎ ａｄ ｂｃ ２
中度污染 附 Ｋ２ （ － ）
４（ ） ７ ２ ０ ： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ，
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
分别估计该市一天的空气质量等级为 的概率
（１） １，２，３，４ ； Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ．
求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值 同一组中的 （ ≥ ） ００５０ ００１０ ０００１ ．
（２） （ ｋ ． ． ．
数据用该组区间的中点值为代表 ３８４１ ６６３５ １０８２８
）； ６． 解析 根据抽查数据 该市 天的空气中 ． 浓度
若某天的空气质量等级为 或 则称这天 空气质量 （１） ， １００ ＰＭ２５
（３） １ ２， “ 不超过 且 浓度不超过 的天数为
好 若某天的空气质量等级为 或 则称这天 空气质 ７５， ＳＯ２ １５０ ３２＋１８＋６＋８＝６４，
”； ３ ４， “ 因此 该市一天空气中 ． 浓度不超过 且 浓度不超
量不好 ．根据所给数据 完成下面的 列联表 并根据 ， ＰＭ２５ ７５， ＳＯ２
” ， ２×２ ，
列联表 判断是否有 ％的把握认为一天中到该公园锻炼 过 的概率的估计值为６４ ． ．
， ９５ １５０ ＝０６４
的人次与该市当天的空气质量有关． １００
根据抽查数据 可得 列联表
（２） ， ２×２ ：
人次 人次
≤４００ ＞４００
ＳＯ２
空气质量好 ． ［０，１５０］ （１５０，４７５］
ＰＭ２５
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第十二章 概率与统计 ６ ８５
单位 绘制了如下茎叶图
（ ：ｍｉｎ） ：
［０，７５］ ６４ １６
（７５，１１５］ １０ １０
根据 的列联表得
（３） （２）
２
Ｋ２ １００×（６４×１０－１６×１０） ． ．
＝ ≈７４８４
８０×２０×７４×２６ 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高 并说明理由
由于 ． ． 故有 ％的把握认为该市一天空气中 ． （１） ， ；
７４８４＞６６３５， ９９ ＰＭ２ 求 名工人完成生产任务所需时间的中位数ｍ 并将完
浓度与 浓度有关． （２） ４０ ，
５ ＳＯ２ 成生产任务所需时间超过ｍ和不超过ｍ的工人数填入下
７．（２０１８课标 ，文 １８，理 １８，１２ 分）下图是某地区 年至
Ⅱ ２０００ 面的列联表
年环境基础设施投资额ｙ 单位 亿元 的折线图． ；
２０１６ （ ： ）
超过ｍ 不超过ｍ
第一种生产方式
第二种生产方式
根据 中的列联表 能否有 ％的把握认为两种生产方
（３） （２） ， ９９
式的效率有差异
？
ｎ ａｄ ｂｃ ２
附 Ｋ２ （ － ）
： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ，
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ．
（ ≥ ） ００５０ ００１０ ０００１ ．
为了预测该地区 年的环境基础设施投资额 建立了ｙ与
２０１８ ， ｋ ． ． ．
３８４１ ６６３５ １０８２８
时间变量ｔ的两个线性回归模型．根据 年至 年的数
２０００ ２０１６ ８． 解析 第二种生产方式的效率更高．
据 时间变量ｔ的值依次为 建立模型 ｙ ． （１）
（ １，２，…，１７） ①：＾＝－３０４＋ 理由如下
． ｔ 根据 年至 年的数据 时间变量ｔ的值依次为 ：
１３５； ２０１０ ２０１６ （ 由茎叶图可知 用第一种生产方式的工人中 有 ％的工人
① ： ， ７５
１，２，…，７） 建立模型 ②： ｙ ＾＝９９＋１７ ． ５ ｔ． 完成生产任务所需时间至少 ８０ 分钟 ， 用第二种生产方式的工
分别利用这两个模型 求该地区 年的环境基础设施 人中 有 ％的工人完成生产任务所需时间至多 分钟．因此
（１） ， ２０１８ ， ７５ ７９
投资额的预测值 第二种生产方式的效率更高．
；
你认为用哪个模型得到的预测值更可靠 并说明理由． 由茎叶图可知 用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时
（２） ？ ② ：
７． 解析 利用模型 该地区 年的环境基础设施投资额 间的中位数为 ． 分钟 用第二种生产方式的工人完成生产任务
（１） ①， ２０１８ ８５５ ，
的预测值为ｙ ． ． ． 亿元 ． 所需时间的中位数为 ． 分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
＾＝－３０４＋１３５×１９＝２２６１（ ） ７３５
利用模型 该地区 年的环境基础设施投资额的预测值 由茎叶图可知 用第一种生产方式的工人完成生产任务平
②， ２０１８ ③ ：
均所需时间高于 分钟 用第二种生产方式的工人完成生产
为ｙ ＾＝９９＋１７ ． ５×９＝２５６ ． ５（ 亿元 ） ． 任务平均所需时间 ８０ 低于 ； 分钟．因此第二种生产方式的效率
利用模型 得到的预测值更可靠． ８０
（２） ② 更高．
理由如下
： 由茎叶图可知 用第一种生产方式的工人完成生产任务所
从折线图可以看出 年至 年的数据对应的点没 ④ ：
（ｉ） ，２０００ ２０１６ 需时间分布在茎 上的最多 关于茎 大致呈对称分布 用第
有随机散布在直线ｙ ． ． ｔ上下 这说明利用 年 ８ ， ８ ；
＝－３０ ４＋１３ ５ ， ２０００ 二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 上的
至 年的数据建立的线性模型 不能很好地描述环境基础 ７
２０１６ ① 最多 关于茎 大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完
设施投资额的变化趋势． 年相对 年的环境基础设施 ， ７
２０１０ ２００９ 成生产任务所需时间分布的区间相同 故可以认为用第二种
投资额有明显增加 年至 年的数据对应的点位于一 ，
，２０１０ ２０１６ 生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成
条直线的附近 这说明从 年开始环境基础设施投资额的
， ２０１０ 生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高．
变化规律呈线性增长趋势 利用 年至 年的数据建立
， ２０１０ ２０１６ 以上给出了 种理由，答出其中任意一种或其他合理理由
的线性模型ｙ ． ｔ可以较好地描述 年以后的环境 ４
＾＝９９＋１７ ５ ２０１０ 均可．
基础设施投资额的变化趋势 因此利用模型 得到的预测值
， ②
更可靠． （２） 由茎叶图知ｍ ＝ ７９＋８１ ＝８０ ．
２
从计算结果看 相对于 年的环境基础设施投资额 列联表如下
（ｉｉ） ， ２０１６ ２２０ ：
亿元 由模型 得到的预测值 ． 亿元的增幅明显偏低 而
， ① ２２６ １ ， 超过ｍ 不超过ｍ
利用模型 得到的预测值的增幅比较合理 说明利用模型
② ， ② 第一种生产方式
得到的预测值更可靠． １５ ５
以上给出了 种理由，答出其中任意一种或其他合理理由 第二种生产方式
５ １５
２
均可．
２
由于 Ｋ２ ４０×（１５×１５－５×５） ． 所以有 ％的把
８．（２０１８课标 ，文１８，理１８，１２分）某工厂为提高生产效率 开 （３） ＝ ＝１０＞６６３５， ９９
Ⅲ ， ２０×２０×２０×２０
展技术创新活动 提出了完成某项生产任务的两种新的生产 握认为两种生产方式的效率有差异．
，
方式．为比较两种生产方式的效率 选取 名工人 将他们随 思路分析 （ ）根据茎叶图中的数据大致集中在哪个茎，
， ４０ ， １
机分成两组 每组 人．第一组工人用第一种生产方式 第二 作出判断；
， ２０ ，
组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间 （ ）通过茎叶图确定数据的中位数，按要求完成 列联表；
２ ２×２
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋６ ８６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
（ ）根据（ ）中 列联表，将有关数据代入公式计算得Ｋ２ 的
３ ２ ２×２ １ ． ． ．
值，借助临界值表作出统计推断． ×（１６×９９７－９２２）＝１００２，
１５
方法总结 解决此类问题的步骤： 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为 ． ．
１００２
（ （ １ ） ） 审 找 清 数 题 量 意 关 ： 系 弄 ： 清 把 题 图 意 形 ， 语 理 言 顺 转 条 化 件 为 和 数 结 字 论 ， ； 找关键数量关系； ∑ｉ １ ＝ ６ １ ｘ２ｉ ＝１６×０ ． ２１２ ２ ＋１６×９ ． ９７ ２ ≈１５９１ ． １３４，
２ 剔除第 个数据 剩下数据的样本方差为
（ ）建立解决方案：找准公式，将 列联表中的数值代入公 １３ ，
３ ２×２
式计算； １ ． ． ２ ． ２ ． 这条生产线当天生
×（１５９１１３４－９２２ －１５×１００２ ）≈０００８，
（ ）作出结论：依据数据，借助临界值表作出正确判断． １５
４ 产的零件尺寸的标准差的估计值为 ． ． ．
９．（２０１７课标 文，１９，１２分）为了监控某种零件的一条生产线 ０００８≈００９
Ⅰ 方法总结 样本数据的相关系数ｒ，
的生产过程 检验员每隔 从该生产线上随机抽取一个
ｎ
， ３０ ｍｉｎ
（ｘ － ｘ）（ｙ － ｙ）
零件 并测量其尺寸 单位 ．下面是检验员在一天内依次 ｉ ｉ
， （ ：ｃｍ） ｒ ∑ｉ＝ １ ，
抽取的 个零件的尺寸 ＝ ｎ ｎ
１６ ：
抽取次序
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
∑ｉ＝
１
（ｘ
ｉ
－ ｘ）２
∑ｉ＝
１
（ｙ
ｉ
－ ｙ）２
反映样本数据的相关程度， ｒ 越大相关性越强．
零件尺寸 ． ． ． ． ． ． ． ． ｜ ｜
９９５ １０１２ ９９６ ９９６ １００１ ９９２ ９９８ １００４
以下为教师用书专用（１—３）
抽取次序
９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ １６ １．（２０１５课标 ，理１９，文１９，１２ 分）某公司为确定下一年度投
零件尺寸 ． ． ． ． ． ． ． ． Ⅰ
１０２６ ９９１ １０１３ １００２ ９２２ １００４ １００５ ９９５ 入某种产品的宣传费 需了解年宣传费ｘ 单位 千元 对年销
， （ ： ）
１６ １６ 售量ｙ 单位 和年利润ｚ 单位 千元 的影响．对近 年的年
经计算得ｘ ＝
１
１
６
∑ｉ＝
１
ｘ ｉ＝９ ． ９７， ｓ ＝
１
１
６
∑ｉ＝
１
（ ｘ ｉ － ｘ ） ２ 宣传费 （ ｘ
ｉ
和年 ：ｔ） 销售量ｙ
ｉ（
ｉ
＝
（
１，２，
：
…，８）
） 数据作了初步 ８ 处理
，
得
( ) 到下面的散点图及一些统计量的值．
１６ １６
＝
１
１
６
∑ｉ＝
１
ｘ２ｉ －
１６
ｘ２
≈０
．
２１２， ∑ｉ＝
１
（
ｉ －
８
．
５）
２
１６
． ｘ ｘ ｉ ． ． 其中ｘ 为抽取的第ｉ个
≈１８４３９，∑ｉ＝ （ ｉ－ ）（ －８５）＝－２７８， ｉ
１
零件的尺寸 ｉ ．
， ＝１，２，…，１６
求 ｘ ｉ ｉ 的相关系数ｒ 并回答是否可以认
（１） （ ｉ，）（ ＝１，２，…，１６） ，
为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地
变大或变小 若 ｒ ． 则可以认为零件的尺寸不随生
（ ｜ ｜＜０ ２５，
产过程的进行而系统地变大或变小
（２）
一天内抽检零件中
，
如果出现了尺寸 ）； 在
（
ｘ
－３
ｓ
，
ｘ
＋３
ｓ
）
之外 ｘ ｙ ｗ ∑ｉ＝ ８
１
（ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ ∑ｉ＝ ８
１
（ ｗ ｉ－ ｗ ） ２ ∑ｉ＝ ８
１
（ ｘ ｉ－ ｘ ）（ ｙ ｉ－ ｙ ） ∑ｉ＝ ８
１
（ ｗ ｉ－ ｗ ）（ ｙ ｉ－ ｙ ）
的零件 就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现 ． ． ． ． ．
４６６５６３ ６８ ２８９８ １６ １４６９ １０８８
，
了异常情况 需对当天的生产过程进行检查． ８
（ｉ）
从这一天
，
抽检的结果看
，
是否需对当天的生产过程进
表中ｗ ｉ ＝ ｘ ｉ， ｗ ＝
８
１
∑ｉ＝
１
ｗ ｉ ．
行检查 根据散点图判断 ｙ ａ ｂｘ与ｙ ｃ ｄ ｘ哪一个适宜作为年
？ （１） ， ＝ ＋ ＝ ＋
在 ｘ ｓ ｘ ｓ 之外的数据称为离群值 试剔除离群 销售量ｙ关于年宣传费ｘ的回归方程类型 给出判断即
（ｉｉ） （ －３ ， ＋３ ） ， ？ （
可 不必说明理由
值 估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准
， ）
，
根据 的判断结果及表中数据 建立 ｙ 关于 ｘ 的回归
差． 精确到 ． （２） （１） ，
（ ００１）
方程
附 ： 样本 （ ｘ ｉ， ｙ ｉ）（ ｉ ＝１，２，…， ｎ ） 的相关系数 已知这 ； 种产品的年利润ｚ与ｘ ｙ的关系为ｚ ． ｙ ｘ．根据
ｎ （３） ， ＝０ ２ －
ｘ － ｘ ｙ － ｙ 的结果回答下列问题
ｒ
∑ｉ＝
１
（ ｉ ）（ ｉ ）
．
（２）
年宣传费ｘ 时 年销
：
售量及年利润的预报值是多少
＝ ｎ ｎ （ｉ） ＝４９ ， ？
∑ｉ＝
１
（ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ＝
１
（ ｙ ｉ － ｙ ） ２ （
附
ｉｉ
：
）
对
年
于
宣
一
传
组
费
数
ｘ
据
为
（
何
ｕ
值
，ｖ
时
）
，
，
年
（ｕ
利
，
润
ｖ ）
的
，
预
…
报
，（
值
ｕ
最
，ｖ
大
），
？
其回归直
． ． ． １ １ ２ ２ ｎ ｎ
０００８≈００９ 线ｖ α βｕ的斜率和截距的最小二乘估计分别为
９． 解析 由样本数据得 ｘ ｉ ｉ 的相关系数 ＝ ＋
（１） （ ｉ，）（ ＝１，２，…，１６） ｎ
（ｕ － ｕ）（ｖ － ｖ）
为ｒ ＝ ∑ｉ １ ＝ ６ ∑ （ ｉ
１
＝ ｘ
６
１ ｉ （ －
ｘ
ｉ ｘ
－
）
ｘ
２ ）（ ∑
ｉ
ｉ １ ＝ ６
－
（ ８ ｉ
．
５ － ） ８ ． ５） ２ ＝ ０ ． ２１２× －２ １ ． ６ ７８ ×１８ ． ４３９ 解 β＾ 析 ＝
∑ｉ＝
１ ∑ｉ＝ ｎ 由 １
ｉ
（ 散 ｕ ｉ 点 － 图 ｕ）
ｉ
可 ２ 以判 ， 断 α＾＝ ｖ ｙ － β＾ ｃ ｕ． ｄ ｘ适宜作为年销售量
１ １ （１） ， ＝ ＋
≈－０ ． １８ ．由于 ｜ ｒ ｜＜０ ． ２５， 因此可以认为这一天生产的零件尺寸 ｙ关于年宣传费ｘ的回归方程类型． 分
（２ ）
不随生产过程的进行而系统地变大或变小．
令ｗ ｘ 先建立ｙ关于ｗ的线性回归方程．由于
由于ｘ ． ｓ ． 由样本数据可以看出抽取的第 （２） ＝ ，
（２）（ｉ） ＝９ ９７， ≈０ ２１２， ８
ｗ － ｗ ｙ － ｙ
１ 程 ３ 进 个 行 零 检 件 查 的 ． 尺寸在 （ ｘ －３ ｓ ， ｘ ＋３ ｓ ） 以外 ， 因此需对当天的生产过 ｄ ＾＝ ∑ｉ＝ １ （ ８ ｉ ）（ ｉ ） ＝ １０ ． ８ ． ８ ＝６８，
（ｉｉ）
剔除离群值
，
即第
１３
个数据
，
剩下数据的平均数为 ∑ｉ＝
１
（ ｗ ｉ － ｗ ） ２ １６
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第十二章 概率与统计 ６ ８７
故所求回归方程为ｙ ． ｔ ． ．
ｃ ＾＝ ｙ － ｄ ＾ ｗ ＝５６３－６８×６ ． ８＝１００ ． ６， ＾＝１２ ＋３６
将ｔ 代入回归方程可预测该地区 年的人民币储蓄
所以ｙ关于ｗ的线性回归方程为ｙ ． ｗ 因此ｙ关于ｘ （２） ＝６ ２０１５
＾＝１００６＋６８ ， 存款为ｙ ． ． ． 千亿元 ．
的回归方程为ｙ ． ｘ． 分 ＾＝１２×６＋３６＝１０８（ ）
＾＝１００６＋６８ （６ ） ３．（２０１４课标 理，１９，１２分）某地区 年至 年农村居民
由 知 当ｘ 时 年销售量ｙ的预报值 Ⅱ ２００７ ２０１３
（３）（ｉ） （２） ， ＝４９ ， 家庭人均纯收入ｙ 单位 千元 的数据如下表
（ ： ） ：
ｙ ． ．
＾＝１００６＋６８ ４９＝５７６６， 年 份
２００７ ２００８ ２００９ ２０１０ ２０１１ ２０１２ ２０１３
年利润ｚ的预报值ｚ ． ． ． ． 分
＾＝５７６６×０２－４９＝６６３２ （９ ） 年份代号ｔ
根据 的结果知 年利润ｚ的预报值 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
（ｉｉ） （２） ， 人均纯收入ｙ ． ． ． ． ． ． ．
ｚ ． ． ｘ ｘ ｘ ． ｘ ． ． ２９ ３３ ３６ ４４ ４８ ５２ ５９
＾＝０２（１００６＋６８ ）－ ＝－ ＋１３６ ＋２０１２
求ｙ关于ｔ的线性回归方程
．
所以当 ｘ １３６ ． 即ｘ ． 时 ｚ取得最大值． （１） ；
＝ ＝６８， ＝４６２４ ，＾ 利用 中的回归方程 分析 年至 年该地区农
２ （２） （１） ， ２００７ ２０１３
故年宣传费为 ． 千元时 年利润的预报值最大． 分 村居民家庭人均纯收入的变化情况 并预测该地区
４６２４ ， （１２ ） ， ２０１５
２．（２０１５重庆文，１７，１３分）随着我国经济的发展 居民的储蓄存 年农村居民家庭人均纯收入．
，
款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款 年底余额 附 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
（ ） ： ：
如下表 ｎ
：
年份 ２０１０ ２０１１ ２０１２ ２０１３ ２０１４ ｂ＾ ＝
∑ｉ＝
１
（ ｔ
ｎ
ｉ － ｔ ）（ ｙ ｉ － ｙ ）
， ａ ＾＝ ｙ － ｂ＾ ｔ．
时间代号ｔ １ ２ ３ ４ ５ ∑ｉ＝ （ ｔ ｉ － ｔ ） ２
１
储蓄存款ｙ 千亿元 解析 由所给数据计算得
（ ） ５ ６ ７ ８ １０ （１）
（１）
求ｙ关于ｔ的回归方程ｙ
＾＝
ｂ＾ｔ
＋
ａ
＾；
ｔ
＝
１
×（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７）＝４，
７
用所求回归方程预测该地区 年 ｔ 的人民币储蓄
（２） ２０１５ （ ＝６）
ｙ １ ． ． ． ． ． ． ． ．
存款． ＝ ×（２９＋３３＋３６＋４４＋４８＋５２＋５９）＝４３，
７
附：回 ｎ 归方程ｙ ＾＝ ｂ＾ｔ ＋ ａ ＾ 中， ∑ｉ＝ ７ （ ｔ ｉ－ ｔ ） ２ ＝９＋４＋１＋０＋１＋４＋９＝２８，
ｔｙ － ｎｔｙ １
ｂ＾ ＝
∑ｉ＝
１ ｎ
ｉ ｉ
，ａ ＾ ＝ ｙ － ｂ＾ｔ． ∑ｉ＝
７
（
ｔ
ｉ－
ｔ
）（
ｙ
ｉ－
ｙ
）＝ （－３）×（－１
．
４）＋（－２）×（－１）＋（－１）×
∑ｉ＝
ｔ２ｉ － ｎｔ２
（－
１
０
．
７）＋０×０
．
１＋１×０
．
５＋２×０
．
９＋３×１
．
６＝１４，
１
解析 列表计算如下 ７
（
ｉ
１）
ｔ
ｉ
：
ｙ
ｉ
ｔ２ｉ ｔ
ｉ
ｙ
ｉ
ｂ＾
＝
∑ｉ＝
１
（ ｔ
７
ｉ － ｔ ）（ ｙ ｉ － ｙ ）
＝
１４
＝０
．
５，
１ １ ５ １ ５ ∑ｉ＝ （ ｔ ｉ － ｔ ） ２ ２８
１
２ ２ ６ ４ １２
ａ
＾＝
ｙ
－
ｂ＾ ｔ
＝４
．
３－０
．
５×４＝２
．
３，
所求回归方程为ｙ ． ｔ ． ．
３ ３ ７ ９ ２１ ＾＝０５ ＋２３
由 知 ｂ ． 故 年至 年该地区农村居民
４ ４ ８ １６ ３２ （２） （１） ，＾＝０５＞０， ２００７ ２０１３
家庭人均纯收入逐年增加 平均每年增加 ． 千元．
５ ５ １０ ２５ ５０ ， ０５
将 年的年份代号ｔ 代入 中的回归方程 得ｙ ．
∑ １５ ３６ ５５ １２０ ２０１５ ＝９ （１） ， ＾＝０５×
． ．
ｎ ｎ ９＋２３＝６８，
这里ｎ ｔ １ ｔ １５ ｙ １ ｙ ３６ ． ． 故预测该地区 年农村居民家庭人均纯收入为 ． 千元．
＝５， ＝ ｎ ∑ｉ＝
１
ｉ＝
５
＝３， ＝ ｎ ∑ｉ＝
１
ｉ＝
５
＝７２
评析 本题考查
２０
了
１５
回归直线方程的求解，注意回归
６
直
８
线恒过
ｎ ｎ
又ｌ ｔｔ＝ ∑ｉ＝ ｔ２ｉ － ｎｔ２ ＝５５－５×３ ２ ＝１０， ｌ ｔｙ＝ ∑ｉ＝ ｔ ｉ ｙ ｉ－ ｎｔ ｙ ＝１２０－５×３ 点（ｔ，ｙ）是关键，考查了回归系数ｂ＾ 的几何意义．考查了学生的
１ １
． 计算求解能力．
×７２＝１２，
ｌ
从而ｂ＾
＝ ｌ
ｔｙ
＝
１２
＝１
．
２，
ａ
＾＝
ｙ
－
ｂ＾ｔ
＝７
．
２－１
．
２×３＝３
．
６，
ｔｔ １０
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋
学生用书Ｐ２３２
1 的机会都相等 那么就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
，
考点 抽样方法与总体分布的估计 最常用的简单随机抽样的方法有两种 抽签法和随机数法．
：
２．分层抽样
１．简单随机抽样
一般地 在抽样时 将总体分成互不交叉的层 然后按照一
， ， ，
一般地 设一个总体含有Ｎ个个体 从中逐个不放回地抽取ｎ
， ， 定的比例 从各层独立地抽取一定数量的个体 将各层取出的个
， ，
个个体作为样本 ｎ Ｎ 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到
（ ≤ ）， 体合在一起作为样本 这种抽样方法是分层抽样．
，
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋６ ８８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
３．系统抽样 一类是相关关系．与函数关系不同 相关关系是一种非确定性
，
当总体中的个体比较多时 首先把总体分成均衡的若干部 关系．
，
分 然后按照事先确定的规则 从每一部分中抽取一个个体 得 利用平面直角坐标系中的点表示关于两个变量的一组
， ， ， （２）
到所需要的样本 这种抽样方法叫做系统抽样． 数据的图形叫做散点图 由此可直观地判断两变量的关系是否
， ，
４．统计图表 可以用线性关系表示．在散点图中 点散布在从左下角到右上角
，
的区域内 两个变量的这种相关关系称为正相关 点散布在左上
频率分布表与频率分布直方图 ， ，
（１）
角到右下角的区域内 两个变量的相关关系称为负相关．
频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤如下 ，
：
求 极差 即求一组数据中最大值与最小值的差
２．线性回归方程
（ｉ） ① ， ；
从散点图上看 如果这些点从整体上看大致分布在通过
决定组距与组数
（１） ，
（ｉｉ） ；
散点图中心的一条直线附近 称这两个变量之间具有线性相关
将数据分组
，
（ｉｉｉ） ；
列频率分布表 落在各小组内的数据的个数叫做频数
关系 这条直线叫做回归直线．
，
（ｉｖ） ， ，
回归直线方程
每小组的频数与样本容量的 比值 叫做这一小组的频率 计算 （２）
② ，
ｎ
各小组的 画 频 频 率 率 ， 列 分 出 布 频 直 率 方 分 图 布 依 表 据 ； 频率分布表画出频率分布直方 （ｉ） 最小二乘法 ： 通过求Ｑ ＝ ∑ｉ＝ １ （ ｙ ｉ－ ｂｘ ｉ－ ａ ） ２ 的最小值而得
（ｖ） ， 到回归直线的方法 即使得样本数据的点到回归直线的距离的
图 其中纵坐标 小长方形的高 表示频率与组距的比值 其相应 ，
， （ ） ， 平方和最小的方法叫做最小二乘法．
组距上的频率等于该组上的小长方形的 面积 即每个小长方
③ ， 回归方程 方程ｙ ｂｘ ａ是两个具有线性相关关系的变
频率 （ｉｉ） ： ＾＝＾ ＋＾
形的面积
＝
组距
×组距＝
频率．
量的一组数据 （ ｘ １， ｙ １），（ ｘ ２， ｙ ２），……，（ ｘ ｎ， ｙ ｎ） 的回归方程 ， 其中
各个小长方形面积的总和等于 ． ａ ｂ是待定参数．
④ １
＾，＾
茎叶图 ｎ ｎ
列数 （ 茎 ， 叶 ２ 叶 ） 就 频 图 是 率 是 从 分 统 茎 布 计 的 折 中 旁 线 用 边 图 来 生 和 表 长 总 示 出 体 数 来 密 据 的 度 的 数 曲 一 ． 线 种图 ， 茎是指中间的一 ì í ï ïï ï ｂ ＾ ＝ ∑ｉ＝ １ （ ∑ｉ ｘ ＝ ｎ ｉ （ － ｘ ｘ ｉ ） － （ ｘ ｙ ） ｉ ２ － ｙ ） ＝ ∑ｉ ∑ ＝ ｉ １ ＝ ｎ ｘ ｘ ｉ ｙ ２ｉ ｉ － － ｎ ｎ ｘ ｘ ２ ｙ ，
（３） ïï １ １
频率分布折线图 连接频率分布直方图中各小长方形上 îａ ＝ ｙ － ｂｘ．
＾ ＾
（ｉ） ：
端的 中点 就得到频率分布折线图． ｎ ｎ
⑤ ， 其中ｘ １ ｘ ｙ ＝ １ ｙ ｘ ｙ 称为样本点的中心．
总体密度曲线 随着样本容量的增加 作频率分布直方 ＝ ｎ ∑ｉ＝ ｉ， ｎ ∑ｉ＝ ｉ，（ ， ）
（ｉｉ） ： ， １ １
图时所分的组数增加 组距减小 相应的频率分布折线图会越来 ３．相关系数ｒ
， ，
越接近于一条光滑曲线 统计中称这条光滑曲线为总体密度 ｎ
， ｘ － ｘ ｙ － ｙ
曲线．
ｒ ＝
∑ｉ＝
１
（ ｉ ）（ ｉ ）
５．用样本的数字特征估计总体的数字特征 （１） ｎ ｎ ；
数 字特征 样本数据 频率分布直方图
∑ｉ＝
１
（ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ＝
１
（ ｙ ｉ － ｙ ） ２
当ｒ 时 表明两个变量正相关
取最高的小长方形下底边 （２） ＞０ ， ；
众数 出现次数最多的数据 当ｒ 时 表明两个变量负相关．
中点的横坐标 ＜０ ，
ｒ的绝对值越接近 表明两个变量的线性相关性越强 ｒ的绝
将数据按从小到大 或从大 把频率分布直方图划分为 １， ；
（ 对值越接近 表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．当ｒ的
到小 的顺序依次排列 处在 左右两个面积相等的部分 ０，
中位数 ） ， 绝对值大于 ． 时 认为两个变量有很强的线性相关关系．
最中间位置的一个数据 （ 或 时 ， 分界线与 ｘ 轴交点的 ０７５ ，
中间两个数据的平均数 横坐标 ４．独立性检验
）
每个小长方形的面积乘小 分类变量 变量的不同 值 表示个体所属的不同类别
（１） ： “ ” ，
平均数 样本数据的算术平均数 长方形下底边中点的横坐 像这样的变量称为分类变量．
标之和 列联表 列出两个分类变量的频数表 称为列联表．假设
（２） ： ，
方差和标准差反映了数据波动程度的大小． 有两个分类变量Ｘ和Ｙ 它们的可能取值分别为 ｘ ｘ 和 ｙ
， ｛ １， ２｝ ｛ １，
ｙ 其样本频数列联表 称为 列联表 如下
方差 ： ｓ２ ＝ ｎ １ ［（ ｘ １－ ｘ ） ２ ＋（ ｘ ２－ ｘ ） ２ ＋…＋（ ｘ ｎ－ ｘ ） ２ ］； ２｝， ｙ （ ２×２ ｙ ） ： 总计
１ ２
标准差 ： ｓ ＝ ｎ １ ［（ ｘ １－ ｘ ） ２ ＋（ ｘ ２－ ｘ ） ２ ＋…＋（ ｘ ｎ－ ｘ ） ２ ］ ． ｘ １ ａ ｂ ａ ＋ ｂ
ｘ ｃ ｄ ｃ ｄ
注意 方差和标准差描述了一组数据与平均数的离散程度 ２ ＋
： ， 总计 ａ ｃ ｂ ｄ ａ ｂ ｃ ｄ
反映了一组数据相对于平均数的波动情况 标准差和方差越大 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
， ，
说明这组数据的波动性越大． ｎ ａｄ ｂｃ ２
可构造一个随机变量Ｋ２ （ － ） 其中ｎ
＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ，
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
ａ ｂ ｃ ｄ为样本容量．
2 ＝ ＋ ＋ ＋
考点 变量间的相关关系、统计案例 独立性检验
（３）
利用独立性假设 随机变量Ｋ２来确定是否有一定把握认为 两
、 “
１．变量间的相关关系 个分类变量有关系 的方法称为两个分类变量的独立性检验．
”
常见的两变量之间的关系有两类 一类是函数关系 另 两个分类变量Ｘ和Ｙ是否有关系的判断标准
（１） ： ， ：
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第十二章 概率与统计 ６ ８９
当Ｋ２ ． 时 认为没有充分证据显示Ｘ与Ｙ有关系 当Ｋ２ ． 时 有 ％的把握说Ｘ与Ｙ有关
≤２７０６ ， ； ＞６６３５ ， ９９ ；
当Ｋ２ ． 时 有 ％的把握说Ｘ与Ｙ有关 当Ｋ２ ． 时 有 ． ％的把握说Ｘ与Ｙ有关．
＞３８４１ ， ９５ ； ＞１０８２８ ， ９９９
􀪋􀪋
学生用书Ｐ２３４
一、频率分布直方图的应用 比九月人均生活支出增加量 记为Ｐ元 的情况 并根据统计数
（ ） ，
１．用频率分布直方图解决相关问题时 应正确理解图中各 据制成如图所示的频率分布直方图．
，
个量的意义 识图掌握信息是解决该类问题的关键．频率分布直 根据频率分布直方图估算Ｐ的平均值Ｐ
， （１） ；
方图有以下几个特点 纵轴表示频率／组距 频率分布直 若该市城区有 户市民十月人均生活支出比九月人均
：（１） ；（２） （２） ４
方图中各个小矩形高的比就是相应各组的频率之比 频率分 生活支出分别增加了 元 元 元 元 从这 户中随机
；（３） ４２ ，５０ ，５２ ，６０ ， ４
布直方图中各小矩形的面积是相应各组的频率 所有小矩形的 抽取 户 求这 户Ｐ值的和超过 元的概率．
， ２ ， ２ １００
面积之和等于 即频率之和为 ．
１， １
２．用频率分布直方图估计样本的数字特征
ｎ
平均数 ｘ ｘＳ ｘ 表示第ｉ个小矩形下底边中点的
（１） ： ＝ ∑ｉ＝ ｉ ｉ（ ｉ
１
横坐标 Ｓ 表示第ｉ个小矩形的面积 ．
， ｉ ）
ｎ
（２） 方差 ： ｓ２ ＝ ∑ｉ＝ （ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ · Ｓ ｉ ．
１
众数 最高小矩形下底边中点的横坐标．
（３） ：
中位数 把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的 １－１． 解析 根据频率分布直方图估算Ｐ的平均值
（４） ： （１） ：
部分时 分界线与横轴交点的横坐标．
， Ｐ ． ． ． ．
例１ （２０１９课标 ，文１７，理１７，１２分）为了解甲 乙两种离 ＝３０×００１４×１０＋４０×０ ０２６×１０＋５０×０ ０３６×１０＋６０×０ ０１４×
Ⅲ 、 ． ．
子在小鼠体内的残留程度 进行如下试验 将 只小鼠随机分 １０＋７０×００１０×１０＝４８
， ： ２００ 该市城区有 户市民十月人均生活支出比九月人均生
成 两组 每组 只 其中 组小鼠给服甲离子溶液 组 （２） ４
Ａ，Ｂ ， １００ ， Ａ ，Ｂ 活支出分别增加了 元 元 元 元 从这 户中随机抽
小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同 摩尔浓度 ４２ ，５０ ，５２ ，６０ ， ４
、 取 户
相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离 ２ ，
基本事件总数为 ２
子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图 Ｃ４＝６，
： 这 户Ｐ值的和超过 元包含的基本事件有
２ １００ （４２，６０），
共 个．
（５０，５２），（５０，６０），（５２，６０）， ４
这 户Ｐ值的和超过 元的概率为 ４ ２ ．
∴ ２ １００ ＝
６ ３
二、样本的数字特征及其应用
１．平均数 中位数 众数与方差 标准差都是重要的数字特
、 、 、
征 可对总体进行一种简明的描述 它们所反映的情况有着重要
， ，
的实际意义 平均数 中位数 众数描述总体的集中趋势 方差和
， 、 、 ，
标准差描述波动大小．
２．有关平均数、方差的一些结论
若数据 ｘ ｘ ｘ 的平均数为 ｘ 则 ｍｘ ａ ｍｘ ａ
（１） １， ２，…， ｎ ， １＋ ， ２＋ ，
ｍｘ ａ ｍｘ ａ的平均数是ｍｘ ａ．
３＋ ，…， ｎ＋ ＋
（２）
设数据ｘ
１，
ｘ
２，…，
ｘ
ｎ
的方差为ｓ２
，
则
记Ｃ为事件 ：“ 乙离子残留在体内的百分比不低于 ５ ． ５”， 根 ① 数据ｘ １＋ ａ ， ｘ ２＋ ａ ，…， ｘ ｎ＋ ａ的方差为ｓ２ ；
据直方图得到Ｐ
（
Ｃ
）
的估计值为
０
．
７０
．
②
数据ａｘ
１，
ａｘ
２，…，
ａｘ
ｎ
的方差为ａ２ｓ２．
求乙离子残留百分比直方图中ａ ｂ的值 刻画一组数据的 集中趋势 的数字特征 中位数 众数 平
（１） ， ； “ ” ： 、 、
分别估计甲 乙离子残留百分比的平均值 同一组中的 均数 刻画一组数据的 离散程度 的数字特征 极差 方差 标准
（２） 、 （ ； “ ” ： 、 、
数据用该组区间的中点值为代表 ． 差．平均数容易掩盖一些极端情况 使我们作出对总体的片面判
） ，
解析 由已知得 ． ａ ． ． 故ａ ． ． 断 而标准差较好地避免了极端情况 因此 往往结合平均数和
（１） ０７０＝ ＋０２０＋０１５， ＝０３５ ， ， ，
ｂ ． ． ． ． ． 标准差对总体作出较好的估计．
＝１－００５－０１５－０７０＝０１０
甲离子残留百分比的平均值的估计值为 例２ 党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成
（２）
． ． ． ． ． ． ． ． 小康社会必须打好的三大攻坚战之一 为坚决打赢脱贫攻坚战
２×０１５＋３×０２０＋４×０３０＋５×０２０＋６×０１０＋７×００５＝４０５ ， ，
乙离子残留百分比的平均值的估计值为 某帮扶单位帮助定点扶贫村脱贫．此帮扶单位为了了解某地区贫
． ． ． ． ． ． ． ． 困户对其所提供的帮扶的满意度 随机调查了 个贫困户 得
３×００５＋４×０１０＋５×０１５＋６×０３５＋７×０２０＋８×０１５＝６００ ， ４０ ，
１－１ 某市随机统计了城区若干户市民十月人均生活支出 到贫困户的满意度评分如下
：
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋６ ９０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
２－１ （多选题）对甲 乙两名大学生一周内每天的消费额进
贫困户 贫困户 贫困户 贫困户 、
评分 评分 评分 评分 行统计 得到两组样本数据 甲 乙
编号 编号 编号 编号 ， ， ：４０，５３，５７，６２，６３，５７，６０； ：４７，
．则下列判断正确的是
６３，５２，５９，４５，５６，６３ （ ）
１ ７８ １１ ８８ ２１ ７９ ３１ ９３ 甲消费额的众数是 乙消费额的众数是
Ａ． ５７， ６３
２ ７３ １２ ８６ ２２ ８３ ３２ ７８ 甲消费额的中位数是 乙消费额的中位数是
Ｂ． ５７， ５６
甲消费额的平均数大于乙消费额的平均数
３ ８１ １３ ９５ ２３ ７２ ３３ ７５ Ｃ．
甲消费额的方差小于乙消费额的方差
４ ９２ １４ ７６ ２４ ７４ ３４ ８１ Ｄ．
２－１． 答案 ＡＢＣ
５ ８６ １５ ８０ ２５ ９３ ３５ ８９
２－２ 已知某 个数的平均数为 方差为 现加入一个新
７ ４， ２，
６ ８５ １６ ７８ ２６ ６６ ３６ ７７ 数据 此时这 个数的平均数为ｘ 方差为ｓ２ 则
４， ８ ， ， （ ）
７ ７９ １７ ８８ ２７ ８０ ３７ ８１ ｘ ｓ２ ｘ ｓ２
Ａ． ＝４， ＜２ Ｂ． ＝４， ＞２
８ ８４ １８ ８２ ２８ ８３ ３８ ７６ ｘ ｓ２ ｘ ｓ２
Ｃ． ＞４， ＜２ Ｄ． ＞４， ＞２
９ ６３ １９ ７６ ２９ ７４ ３９ ８５ ２－２． 答案 Ａ
２－３ 某地气象局把当地某月 共 天 每一天的最低气温
１０ ８５ ２０ ８７ ３０ ８２ ４０ ７８ （ ３０ ）
用系统抽样法从 个贫困户中抽取容量为 的样本 且在 作了统计 并绘制了如图所示的统计图 假设该月温度的中位数
４０ ８ ， ， ，
第一分段区间里随机抽到的评分数据为 ． 为ｍ 众数为ｍ 平均数为ｘ 则
８６ ｃ， ０， ， （ ）
请你列出抽到的 个样本的评分数据
（１） ８ ；
求出所抽到的 个样本的评分数据的均值ｘ和方差ｓ２
（２） ８ ；
在 的条件下 若贫困户的满意度评分在 ｘ ｓ ｘ ｓ
（３） （２） ， （ － ， ＋ ）
之间 则满意度等级为 级 ．运用样本估计总体的思想 现从
， “Ａ ” ，
中抽到的 个样本的满意度为 级 贫困户中随机地抽取
（１） ８ “Ａ ”
户 求所抽到 户的满意度评分均 超过 的概率．
２ ， ２ “ ８５”
（ 参考数据 ： ２０≈４ ． ４７， ２１≈４ ． ５８， ２６≈５ ． １０） Ａ． ｍ ｃ＝ ｍ ０＝ ｘ Ｂ． ｍ ｃ＝ ｍ ０＜ ｘ
解题思路 ｍ ｍ ｘ ｍ ｍ ｘ
Ｃ． ｃ＜ ０＜ Ｄ． ０＜ ｃ＜
２－３． 答案 Ｄ
欲列出抽到的 个样本的评分数据 需理解系统抽样为
（１） ８ ， 三、回归直线方程的求解与运用
等间距抽样 需用系统抽样法从 个贫困户中抽取容量为
“ ”， ４０ ８
的样本计算抽样间隔 找出第一分段区间里评分数据 对应的 １．求线性回归直线方程的步骤
， ８６
序号
，
写出对应的样本评分数据
；（２）
欲计算所抽到的
８
个样本
（１）
计算出ｘ
、
ｙ
、
ｘ２
１＋
ｘ２
２＋…＋
ｘ２ｎ、 ｘ
１
ｙ
１＋
ｘ
２
ｙ
２＋…＋
ｘ
ｎ
ｙ
ｎ；
的评分数据的均值和方差 只需代入均值和方差公式计算即可
欲计算所抽到 户的满 ， 意度评分均 超过 的概率 需计 ； （２） 计算ａ ＾、 ｂ＾ ；
（
算
３）
ｘ ｓ和ｘ ｓ 得出
２
满意度评分在 ｘ ｓ ｘ
“
ｓ 之间
８５
的
”
样本数
，
据 然 （３）
写出线性回归方程ｙ
＾＝
ｂ＾ｘ
＋
ａ
＾
．
－ ＋ ， （ － ， ＋ ） ，
２． 当已知回归直线方程 方程中无参数 进行预测时
后利用列举法求出基本事件 计算所求的概率．
（１） （ ） ，
，
解析 由题意 计算抽样间隔为 且在第一分 把自变量代入回归直线方程即可对因变量进行估计．
（１） ， ４０÷８＝５，
段区间里随机抽到的评分数据为 它对应的序号为 若回归直线方程中有参数 则根据回归直线一定经过点
８６， ５， （２） ，
则这 个样本的评分数据依次为 ｘ ｙ 求出参数值 得到回归直线方程 进而完成预测．
８ （ ， ） ， ，
． 例３ 已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关．现收集了一
８６，８５，８０，８７，９３，８２，８９，７８
只该品种昆虫的产卵数ｙ 个 和温度ｘ 的 组观测数据 其
计算所抽到的 个样本的评分数据的均值ｘ １ （ ） （℃） ７ ，
（２） ８ ＝ ×（８６＋ 散点图如图所示
８ ：
８５＋８０＋８７＋９３＋８２＋８９＋７８）＝８５，
方差ｓ２ １ ２ ２ ２ ２
＝ ×［（８６－８５） ＋（８５－８５） ＋（８０－８５） ＋（８７－８５） ＋
８
２ ２ ２ ２ ．
（９３－８５） ＋（８２－８５） ＋（８９－８５） ＋（７８－８５） ］＝２１
在 的条件下 ｓ ． 则 ｘ ｓ ．
（３） （２） ， ＝ ２１≈４ ５８， － ＝８５－４ ５８＝
． ｘ ｓ ． ． ．
８０４２， ＋ ＝８５＋４５８＝８９５８
贫困户的满意度评分在 ． ． 之间的样本数据为
（８０ ４２，８９ ５８）
共 个．
８６，８５，８７，８２，８９， ５ 根据散点图 结合函数知识 可以发现产卵数ｙ和温度ｘ可
从这 个数据中随机抽取 个 基本事件有 ， ，
５ ２ ， （８６，８５），（８６， 用方程ｙ ｂｘ ＋ ａ来拟合 令ｚ ｙ 结合样本数据可知ｚ与温度ｘ
＝ｅ ， ＝ｌｎ ，
８７），（８６，８２），（８６，８９），（８５，８７），（８５，８２），（８５，８９），（８７，８２）， 可用线性回归方程来拟合．
共 个．
（８７，８９），（８２，８９）， １０ 根据收集到的数据 计算得到如下值
所抽到 户的满意度评分均 超过 的基本事件是 ， ：
２ “ ８５” （８６，
共 个．
８７），（８６，８９），（８７，８９）， ３ ７ ７ ７
故所求的概率Ｐ ３ ． ｘ ｙ ｚ ∑ｉ＝ １ （ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ ∑ｉ＝ １ （ ｚ ｉ－ ｚ ） ２ ∑ｉ＝ １ （ ｘ ｉ－ ｘ ）（ ｚ ｉ－ ｚ ）
＝
１０
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第十二章 概率与统计 ６ ９１
２７ ７４ ３ ． ５３７ １８２ １１ ． ９ ４６ ． ４１８ （２） 根据散点图相应数据计算得 ∑ｉ＝ ７ ｙ ｉ＝１ ０７４，∑ｉ＝ ７ ｘ ｉ ｙ ｉ＝
１ １
表中ｚ ｙ ｚ １ ７ ｚ． 求ｙ关于ｘ的线性回归方程 精确到 ．
ｉ＝ｌｎ ｉ， ＝ ７ ∑ｉ＝ １ ｉ ４５１７， 根据线性回归方程的残差图 ；（ 分析线 ０ 性 ０ 回 １） 归方程的拟合
求 ｚ 和温度 ｘ 的回归方程 回归系数结果精确 （３） ，
（１） （ 效果．
到 ．
０００１）； 附 回归方程ｙ ａ ｂｘ中斜率和截距的最小二乘估计公式分
求产卵数ｙ关于温度ｘ的回归方程 若该地区一段时间 ： ＾＝＾＋＾
（２） ； 别为
内的气温在 之间 包括 与 估计该品种 ：
２６℃～３６℃ （ ２６℃ ３６℃）， ｎ
一只昆虫的产卵数的范围． 参考数据 ３ ． ２８２ ３ ． ７９２ ５ ． ８３２ ｘ － ｘ ｙ － ｙ
≈３４１，ｅ ６ ． ０８７ ≈４４０，ｅ ６ ． ３４２ ≈５６
（
８）
：ｅ ≈２７，ｅ ≈４４，ｅ
ｂ ＾＝
∑ｉ＝
１
（
ｎ
ｉ ）（ ｉ ）
， ａ ＾＝ ｙ － ｂ ＾ ｘ．
附 ： 对于一组数据 （ ω １， ｖ １），（ ω ２， ｖ ２），……，（ ω ｎ， ｖ ｎ）， 其回归 ∑ｉ＝ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２
１
直线ｖ
＾＝
α
＾＋
β＾ω 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 β＾
＝
３－１． 解析
（１）
根据散点图可知ｙ与ｘ正线性相关．
ｎ 由所给数据计算得
ω － ω ｖ － ｖ （２）
∑ｉ＝
１
（
∑ｉ＝
ｎ
１
ｉ
（ ω ｉ －
）（
ω ）
ｉ
２
）
， α ＾＝ ｖ － β＾ ω． ｘ ＝
７ ７
１
ｘ
×（１
ｘ
＋２＋
ｙ
…＋
ｙ
７）＝４，
７
∑ｉ＝
７
ｘ
１
ｙ
（ ｘ ｉ－
ｘ
ｘ ）
７
２ ＝
ｙ
２８，
解题思路 ∑ｉ＝
１
（ ｉ－ ）（ ｉ－ ）＝ ∑ｉ＝
１
ｉ ｉ－ ∑ｉ＝
１
ｉ ＝４ ５１７－４×１ ０７４
由题意 ｚ和温度ｘ可以用线性回归方程拟合 欲求ｚ和 ＝２２１，
（１） ， ，
７
温
ａ ＾ 的
度
值 （
ｘ
２ ，
的
） 则 欲
回
ｚ 求
归
关 该
方
于 品
程
ｘ 种
，
的
只
一 线
需
只 性
设
昆 回 虫
ｚ
＾
归
＝
的
ｂ＾
方
ｘ
产
＋
程
ａ
＾
卵
，
可
利
数 求
用
的 ；
题
范
中
围
所
， 只
给
需
公
把
式求
ｔ ＝
得
２６
ｂ＾
和
与
ｔ ｂ ＾＝
∑ｉ＝
１
（
∑ｉ
ｘ
＝ ７ １
ｉ
（
－
ｘ
ｘ
ｉ
）
－
（
ｘ
ｙ
）
ｉ
２
－ ｙ
）
＝ ２ ２ ２ ８ １ ≈７ ． ８９ ．
代入由 得到的回归方程 求得相应的ｙ值 进而可得气
温 ＝３ 在 ６ （１） 之间时 该品种 ， 一只昆虫的产卵数 ， 的范围． ａ ＾＝ ｙ － ｂ ＾ ｘ ＝ １０７４ －７ ． ８９×４≈１２１ ． ８７ ．
７
２６ ℃～３６ ℃ ，
解析 由题意 ｚ和温度ｘ可以用线性回归方程拟合 设 所以所求线性回归方程为ｙ ． ｘ ． ．
（１） ， ， ＾＝７８９ ＋１２１８７
由题中给出的残差图知历年数据的残差均在 到 之
ｚ ＾＝ ｂ＾ｘ ＋ ａ ＾， （３） －２ ２
间 说明线性回归方程的拟合效果较好．
７ ，
则ｂ＾
＝
∑ｉ＝ １ （
∑ｉ＝
ｘ
７
ｉ
（
－
ｘ
ｘ
ｉ
）
－
（
ｘ
ｚ
）
ｉ
２
－ ｚ ）
＝
４６
１
．
８
４
２
１８
≈０
．
２５５０， 学 化 家 种 李 植
３－
时 已
２
珍 经
（２
故 成
０２
乡 为
１
该 黄
湖
县 冈
北
脱 市
八
贫 蕲
市
攻 春
３
坚 县
月
的 大
联
主 力
考
要
，
发
２
产
０
展
）
业 大
近
之 健
年
一 康
来
．已
，
产
明
知 业
代
蕲 ，
著
蕲 艾
名
艾 的
医
产 株
药
业 高
１
ａ
＾＝
ｚ
－
ｂ＾ｘ
＝３
．
５３７－０
．
２５５０×２７＝－３
．
３４８，
ｙ
（
单位
：ｃｍ）
与一定范围内的温度ｘ
（
单位
：℃）
有关
，
现收集了蕲
艾的 组观测数据 得到如下的散点图
故ｚ关于ｘ的线性回归方程为ｚ ＾＝０ ． ２５５ ｘ －３ ． ３４８ ． １３ ， ：
由 可得 ｙ ． ｘ ．
（２） （１） ，ｌｎ ＝０２５５ －３３４８，
于是产卵数ｙ关于温度ｘ的回归方程为ｙ ０ ． ２５５ ｘ －３ ． ３４８．
＝ｅ
当ｘ 时 ｙ ０ ． ２５５×２６－３ ． ３４８ ３ ． ２８２
＝２６ ， ＝ｅ ＝ｅ ≈２７；
当ｘ 时 ｙ ０ ． ２５５×３６－３ ． ３４８ ５ ． ８３２ ．
＝３６ ， ＝ｅ ＝ｅ ≈３４１
函数ｙ ０ ． ２５５ ｘ －３ ． ３４８为增函数
∵ ＝ｅ ，
气温在 之间时 估计该品种一只昆虫的产卵
∴ ２６ ℃～３６ ℃ ，
数的范围是 的正整数．
［２７，３４１］
３－１ 下面给出了根据我国 年 年水果人均占有
２０１２ —２０１８
量ｙ 单位 和年份代码ｘ绘制的散点图和线性回归方程的残 ｄ
（ ：ｋｇ） 现根据散点图利用ｙ ａ ｂ ｘ或ｙ ｃ 建立ｙ关于ｘ的回归方
差图 年 年的年份代码ｘ分别为 ． ＝ ＋ ＝ ＋ ｘ
（２０１２ —２０１８ １—７）
程 令ｓ ｘ ｔ １ 得到如下数据
， ＝ ， ＝ ｘ ：
ｘ ｙ ｓ ｔ
． ． ． ．
１０１５ １０９９４ ３０４ ０１６
１３ １３ １３ １３ １３
∑ｉ＝１
ｓ
ｉ
ｙ
ｉ－１３
ｓ
·
ｙ
∑ｉ＝１
ｔ
ｉ
ｙ
ｉ－１３
ｔ
·
ｙ
∑ｉ＝１
ｓ２ｉ－１３ ｓ２
∑ｉ＝１
ｔ２ｉ－１３ ｔ２
∑ｉ＝１
ｙ２ｉ－１３ ｙ２
． ． ． ． ．
１３９４ －２１ １１６７ ０２１ ２１２２
且 ｓ ｙ 与 ｔ ｙ ｉ 的相关系数分别为ｒ ｒ
（ ｉ， ｉ） （ ｉ， ｉ）（ ＝１，２，３，…，１３） １， ２，
且ｒ ． ．
２＝－０９９５３
用相关系数说明哪种模型建立 ｙ 与 ｘ 的回归方程更
（１）
根据散点图分析ｙ与ｘ之间的相关关系 合适
（１） ； ；
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋６ ９２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
如下
根据 的结果及表中数据 建立ｙ＾ 关于ｘ的回归方程
：
（２） （１） ， ；
喜爱 不喜爱 合计
已知蕲艾的利润ｚ与ｘ ｙ的关系为ｚ ｙ １ ｘ 当ｘ为
（３） ， ＝２０ － ， 年龄不大于 岁
２ ４０ ２４
年龄大于 岁
何值时 ｚ的预报值最大 ４０ ２０
， ？ 合计
附 参考数据和公式 ． ． ． ． ． ２２ ５０
： ：０ ２１×２１ ２２＝４ ４５６ ２，１１ ６７×２１ ２２＝
根据已有数据 把表格填写完整 判断能否在犯错误的
． ． ． 对于一组数据 ｕ ｖ ｉ （１） ， ，
２４７６３７４， ２４７６３７４＝１５ ７３６ ５， （ ｉ， ｉ）（ ＝１， 概率不超过 ％的前提下认为对纪念币的喜爱与年龄有关
２，３，…，
ｎ
），
其回归直线方程ｖ＾＝ α＾＋ β＾ｕ的斜率和截距的最小二乘
已知
１
在被调查的年龄不大于 岁的喜爱者中有
；
位男
ｎ （２） ４０ ５
ｕｖ － ｎｕ ｖ 性 其中 位是学生 现从这 位男性中随机抽取 位 求至多有
估计公式分别为β＾＝ ∑ｉ＝ １
ｎ
ｉ ｉ ·
，
α＾＝ ｖ
－
β＾ ｕ
， １
位 ， 学生 ３ 的概率． ， ５ ２ ，
∑ｉ＝
１
ｕ２ｉ － ｎｕ２
附
：
Ｋ２
＝ ａ ｂ
ｎ
ｃ
（
ａ
ｄ
ｄ
－
ｂ
ａ
ｃ
）
ｃ
２
ｂ ｄ ，
ｎ
＝
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ
＋
ｄ．
ｎ （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
ｕｖ － ｎｕ ｖ
相关系数ｒ ∑ｉ＝ １ ｉ ｉ · ． Ｐ （ Ｋ２ ≥ ｋ ） ０ ． １００ ０ ． ０５０ ０ ． ０２５ ０ ． ０１０
＝ ｎ ｎ ｋ ． ． ． ．
∑ｉ＝
ｕ２ｉ － ｎｕ２
· ∑ｉ＝
ｖ２ｉ － ｎｖ２
解题思路
２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５
１ １
３－２． 解析 由题意知ｒ ．
（１） ２＝－０９９５３， 欲给出最后的判断 需完善列联表 然后依据公式计算
． ． ． （１） ， ，
ｒ
１＝ ．
１３９４
． ＝
１３
．
９４
＝
１
．
３９４
≈０
．
８８５８，
Ｋ２ 的值
，
利用独立性检验的方法给出最后的结论
；
１１６７ ２１２２ ２４７６３７４ １５７３６５ 欲计算至多有 位学生的概率 只需由列举法分析 从
ｄ （２） １ ， “
因为 ｒ ｒ 所以用ｙ ｃ 模型建立ｙ与ｘ的回归方 这 位男性中随机抽取 位 和 至多有 位学生 的情况数目
｜ １｜＜｜ ２｜＜１， ＝ ＋ ｘ ５ ２ ” “ １ ” ，
由古典概型公式计算可得答案．
程更合适．
解析 根据题意 设表中数据为
（１） ，
（２）
因为ｔ
＝
１
ｘ ，
所以ｙ＾＝ ｃ＾＋ ｄ＾ｔ．
喜爱 不喜爱 合计
年龄不大于 岁 ａ ｂ
１３ ４０ ２４
因为ｄ＾＝
∑ｉ＝
１
１
３
ｔ ｉ ｙ ｉ － １３ ｔｙ
＝
－
．
２
．
１
＝－１０，
年龄大
合
于
计
４０ 岁 ２
ｅ
０
２
ｃ
２ ５
ｄ
０
∑ｉ＝
ｔ２ｉ －
１３
ｔ２ ０２１
则有ｅ ＋２２＝５０， 则ｅ ＝２８；２４＋ ｄ ＝５０， 则ｄ ＝２６； ａ ＋２０＝ ｅ ＝２８，
１
则ａ ａ ｂ 则ｂ ｂ ｃ 则ｃ ．
ｃ＾＝ ｙ
－
ｄ＾ ｔ
＝１０９
．
９４＋１０×０
．
１６＝１１１
．
５４，
＝
故
８
列
；
联
＋
表
＝２
如
４，
下
＝１６； ＋ ＝２２， ＝６
：
所以ｙ＾ 关于ｘ的回归方程为ｙ＾＝１１１ ．
５４－
１
ｘ
０．
喜爱 不喜爱 合计
( ) 年龄不大于 岁
（３）
由题意知ｚ＾＝２０ ｙ＾－ １ ｘ
＝２０ １１１
．
５４－
１
ｘ
０
－
１ ｘ
＝２ ２３０
．
８－
年龄大于
４０
４０ 岁
２
８
０
１
６
６ ２
２
４
６
２ ２ 合计
( ) ２８ ２２ ５０
２０
ｘ
０
＋
１ ｘ
≤２２３０
．
８－２０＝２２１０
．
８，
所以ｚ＾
≤２ ２１０
．
８，
当且仅当ｘ
２
２ 则有Ｋ２ ５０×（８×６－１６×２０） ３６９９２００ ． ． ．
＝２０ 时等号成立 ， ＝ ２４×２６×２８×２２ ＝ ３８４３８４ ≈９６２４＞６６３５
所以当ｘ
＝２０
时这种草药的利润最大．
故能在犯错误的概率不超过
１
％的前提下认为对纪念币的
四、独立性检验的解题策略
喜爱与年龄有关．
根据题意 将不大于 岁的 位男性喜爱者中的 位
１．根据实际问题的需要确定容许推断 两个分类变量有关 （２） ， ４０ ５ ３
“ 学生记为ａ ｂ ｃ 非学生记为Ａ Ｂ 则从 位男性中任取 位 有
系 犯错误概率的上界α 然后查临界值表确定临界值ｋ ． ， ， ， ， ， ５ ２ ，
” ， ０ ａ ｂ ａ ｃ ａ Ａ ａ Ｂ ｂ ｃ ｂ Ａ ｂ Ｂ ｃ Ａ ｃ
２．利用公式Ｋ２
＝ ａ ｂ
ｎ
ｃ
（ ａ
ｄ
ｄ － ｂ
ａ
ｃ ）
ｃ
２
ｂ ｄ
计算随机变量Ｋ２ （ Ｂ
）
，
，（
） Ａ ，
，
（ Ｂ
）
，
，
共 ），（
１０
， 种 ） 结 ，（ 果 ， ．其 ） 中 ，（ 至 ， 多 ） 有 ，（
１
， 位 ） 学 ，（ 生 ， 的 ） 情 ，（ 况 ， 有 ）
７
， 种 （
，
，
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
的观测值ｋ． 至多有 位学生的概率Ｐ ７ ．
∴ １ ＝
３．如果ｋ ｋ 就推断 Ｘ与Ｙ有关系 这种推断犯错误的 １０
概率不超过α ≥ 否 ０ 则 ， 就认为 “ 在犯错误的概 ” 率 ， 不超过α的前提下 ４－１ 某高校为调查学生喜欢 “ 应用统计 ” 课程是否与性别
； ， 有关 随机抽取了选修课程的 名学生 得到数据如下表
不能推断 Ｘ与Ｙ有关系 或者在样本数据中没有发现足够证 ， ５５ ， ：
“ ”， 喜欢应用统计课程 不喜欢应用统计课程
据支持结论 Ｘ与Ｙ有关系 ．
“ ” 男生
例４ 纪念币是一个国家为纪念国际或本国的政治 历史 文
女生
２０ ５
、 、 １０ ２０
化等方面的重大事件 杰出人物 名胜古迹 珍稀动植物 体育赛
、 、 、 、 附表
事等而发行的法定货币．我国在 年首次发行流通纪念币 目 ：
前已发行了 套纪念币 这些
１
纪
９８
念
４
币深受邮币爱好者的喜
，
爱
Ｐ
（
Ｋ２
≥
ｋ
） ０
．
１０ ０
．
０５ ０
．
０２５ ０
．
０１０ ０
．
００５ ０
．
００１
１１５ ，
与收藏． 年发行的第 套纪念币 双遗产之泰山币 是目 ｋ ． ． ． ． ． ．
２０１９ １１５ “ ” ２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５ ７８７９ １０８２８
前为止发行的第一套异形币 因为这套纪念币的多种特质 更加 ｎ ａｄ ｂｃ ２
， ， 参考公式 Ｋ２ （ － ） 其中ｎ ａ ｂ ｃ ｄ．
受到爱好者的追捧．某机构为调查我国公民对纪念币的喜爱态 ： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ， ＝ ＋ ＋ ＋
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
度 随机选了某城市某小区的 位居民调查 调查结果统计 参照附表 得到的正确结论是
， ５０ ， ， （ ）
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第十二章 概率与统计 ６ ９３
在犯错误的概率不超过 ． ％的前提下 认为喜欢 应用 有 ． ％以上的把握认为喜欢 应用统计 课程与性别有关
Ａ． ０ １ ， “ Ｃ． ９９９９ “ ”
统计 课程与性别有关 有 ． ％以上的把握认为喜欢 应用统计 课程与性别无关
” Ｄ． ９９９９ “ ”
在犯错误的概率不超过 ． ％的前提下 认为喜欢 应用 ４－１． 答案 Ａ
Ｂ． ０ １ ， “
统计 课程与性别无关
”
􀪋􀪋􀪋􀪋
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ２３７
训队考试成绩的众数与中位数分别为
抽样方法与总体分布的估计 （ ）
１．（２０２１河北唐山二模，７）劳动力调查是一项抽样调查． 年
２０２１
的劳动力调查以第七次人口普查的最新数据为基础抽取相关
Ａ．８５，７５ Ｂ．８５，７６
住户进入样本 并且采用样本轮换模式．劳动力调查的轮换是
， Ｃ．７４，７６ Ｄ．７５，７７
按照 模式进行的 即一个住户连续 个月接受调 ３． 答案 Ｂ
“２—１０—２” ， ２
查 在接下来的 个月中不接受调查 然后再接受连续 个月 ４．（多选题）（２０２１广东肇庆二模，９）某大学生暑假到工厂参加
， １０ ， ２
的调查 经历四次调查之后退出样本．调查进行时保持每月进 生产劳动 生产了 件产品 质检人员测量其长度 单位 厘
， ， １００ ， （ ：
入样本接受第一次调查的新住户数量相同．若从第 ｋ 个月开 米 将所得数据分成 组
）， ６ ：［９０，９１），［９１，９２），［９２，９３），［９３，
得到如图所示的频率分布直方图 则
始 每个月都有 １ 的样本接受第一次调查 １ 的样本接受第二 ９４），［９４，９５），［９５，９６］， ，
， ，
４ ４ 对这 件产品 下列说法中正确的是
１００ ， （ ）
次调查 １ 的样本接受第三次调查 １ 的样本接受第四次调
， ，
４ ４
查 则ｋ的值为
， （ ）
Ａ．１２ Ｂ．１３
Ｃ．１４ Ｄ．１５
１． 答案 Ｃ
２．（２０２１辽宁沈阳市郊联体一模，５）构建德智体美劳全面培养的
教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党
ｂ ．
的号召 开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所 Ａ． ＝０２５
， 长度落在区间 内的个数为
示的是该校高三 班两个班级在某次活动中的德智体美 Ｂ． ［９３，９４） ３５
（１）（２） 长度的众数一定落在区间 内
劳的评价得分对照图 得分越高 说明该项教育越好 ．下列说 Ｃ． ［９３，９４）
（ ， ） 长度的中位数一定落在区间 内
法正确的是 Ｄ． ［９３，９４）
（ ） ４． 答案 ＡＢＤ
５．（多选题）（２０２１湖南岳阳一模，９） 年 月 在疫情防控阻
２０２０ ４ ，
击战之外 另一条战线也日渐清晰 那就是复工复产 恢复经
， ， 、
济正常运行．某企业对本企业 名职工关于复工的态度进
１６４４
行调查 调查结果如图所示 则下列说法错误的是
， ， （ ）
高三 班五项评价得分的极差为 ．
Ａ． （２） １５
除体育外 高三 班的各项评价得分均高于高三 班对
Ｂ． ， （１） （２）
应的得分 ｘ ．
Ａ． ＝０３４８
高三 班五项评价得分的平均数比高三 班五项评价得 从该企业中任取一名职工 该职工倾向于在家办公的概率为
Ｃ． （１） （２） Ｂ． ，
分的平均数要高 ．
０１７８
各项评价得分中 这两班的体育得分相差最大 不到 名职工倾向于继续申请休假
Ｄ． ， Ｃ． ８０
２． 答案 Ｃ 倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过 名
Ｄ． ９８６
３．（２０２１广东湛江一模，２）中国数学奥林匹克由中国数学会主 ５． 答案 ＡＣ
办 是全国中学生级别最高 规模最大 最具影响力的数学竞 ６．（２０２０湖北随州调研） 年初新冠肺炎疫情袭击全国 口罩
， 、 、 ２０２０ ，
赛．某重点高中为参加中国数学奥林匹克做准备 对该校数学 成为重要的抗疫物资 为了确保口罩供应 某工厂口罩生产线
， ， ，
集训队进行一次选拔赛 所得分数的茎叶图如图所示 则该集 高速运转 工人加班加点生产 设该工厂连续 天生产的口罩
， ， ， ， ５
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋６ ９４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
数依次为ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 单位 十万只 若这组数据 ｘ ｘ 护群众生命安全具有重要作用． 年 月 一盔一带 安全
１， ２， ３， ４， ５（ ： ）， １， ２， ２０２０ ４ ，“ ”
ｘ ｘ ｘ 的方差为 ． 且ｘ２ ｘ２ ｘ２ ｘ２ ｘ２ 的平均数为 则该 守护行动在全国各地开展 行动期间 公安交管部门将加强执
３， ４， ５ １４４， １， ２， ３， ４， ５ ４， ， ，
工厂这 天平均每天生产口罩 十万只． 法管理 依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全
５ ，
６． 答案 ． 头盔 汽车驾乘人员不使用安全带的行为 助推养成安全习
１６ ， ，
惯 该行动开展一段时间后 某市针对电动自行车骑乘人员是
， ，
变量间的相关关系、统计案例 否佩戴安全头盔问题进行调查 在随机调查的 名骑行人
， １ ０００
员中 记录其年龄和是否佩戴头盔情况 得到统计图如图所示．
１．（２０２１河北沧州模拟，６）在一组样本数据 ｘ ｙ ｘ ｙ ， ，
（ １， １），（ ２， ２），
ｘ ｙ ｎ ｘ ｘ ｘ 不全相等 的散点图中 若所有
…，（ ｎ， ｎ）（ ≥２， １， ２，…， ｎ ） ，
样本点 ｘ ｙ ｉ ｎ 都在直线ｙ １ ｘ 上 则这组样
（ ｉ， ｉ）（ ＝１，２，…， ） ＝ ＋１ ，
２
本数据的样本相关系数为
（ ）
１
Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ． Ｄ．１
２
１． 答案 Ｄ
２．（２０２１山东临沂４月联考，５） 网络是一种先进的高频传输
５Ｇ
技术 我国的 技术发展迅速 已位居世界前列．华为公司
， ５Ｇ ，
年 月初推出了一款 手机 现调查得到该款 手机
２０１９ ８ ５Ｇ ， ５Ｇ
上市时间ｘ和市场占有率ｙ 单位 ％ 的几组相关对应数据．如
（ ： ）
图所示的折线图中 横轴 代表 年 月 代表 年
， １ ２０１９ ８ ，２ ２０１９ ９
月 代表 年 月 根据数据得出ｙ关于ｘ的线性
，……，５ ２０１９ １２ ，
回归方程为ｙ＾＝０ ．
０４２
ｘ
＋
ａ＾．若用此方程分析并预测该款手机市
估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄
场占有率的变化趋势 则最早何时该款 手机市场占有率能
（１） ；
， ５Ｇ
超过 ． ％ 精确到月 根据所给的数据 完成列联表
０５ （ ） （ ） （２） ， ：
是否佩戴头盔
是 否
年龄
［２０，４０）
［４０，７０］
根据 中的列联表 判断是否有 ％的把握认为佩戴安
（３） （２） ， ９９
年 月 年 月
全头盔与年龄有关．
Ａ．２０２０ ６ Ｂ．２０２０ ７
年 月 年 月 ｎ ａｄ ｂｃ ２
Ｃ．２０２０ ８ Ｄ．２０２０ ９ 附 ： Ｋ２ ＝ ａ ｂ ｃ （ ｄ － ａ ） ｃ ｂ ｄ ．
２． 答案 Ｃ （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
３．（２０２１黑龙江哈尔滨六中期末，５）下列说法 Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ．
： （ ≥ ） ０５０ ００１０ ０００１
残差可用来判断模型拟合的效果
① ； ｋ ． ． ．
３８４１ ６６３５ １０８２８
②
设有一个回归方程
：
ｙ＾＝３－５ ｘ
，
变量ｘ增加一个单位时
，
ｙ平
均增加 个单位
５ ； ５． 解析 该市电动自行车骑乘人员平均年龄为
（１） ２５×
③
线性回归直线
：
ｙ＾＝ ｂ＾ｘ
＋
ａ＾ 必过点
（
ｘ
，
ｙ
）； ０
．
２５＋３５×０
．
３５＋４５×０
．
２＋５５×０
．
１５＋６５×０
．
０５＝３９（
周岁
）
．
在一个 列联表中 由计算得Ｋ２ ． 则有 ％的把 完成 列联表如下
④ ２×２ ， ＝１３ ０７９， ９９ （２） ２×２ ：
握确认这两个变量间有关系
（
其中Ｐ
（
Ｋ２
≥１０
．
８２８）＝０
．
００１）， 是否佩戴头盔
其中错误的个数是 是 否
（ ） 年龄
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３
３． 答案 Ｂ ［２０，４０） ５４０ ６０
４．（２０２１广州一模，１４）若某商品的广告费支出ｘ 单位 万元 与 ［４０，７０］ ３４０ ６０
（ ： ）
销售额ｙ 单位 万元 之间有如下表所示的对应数据 ２
（ ： ） ： Ｋ２ １０００×（６０×５４０－６０×３４０） １２５ ． ． ．
（３） ＝ ＝ ≈５６８２＜６６３５
ｘ ６００×４００×８８０×１２０ ２２
２ ４ ５ ６ ８ 故没有 ％的把握认为佩戴安全头盔与年龄有关．
ｙ ９９
２０ ４０ ６０ ７０ ８０ ６．（２０２０福建福清“线上教学”质量检测） 年 月 日国家
２０１９ ９ ２４
根据表中数据 利用最小二乘法求得ｙ关于ｘ的回归直线方程 统计局在庆祝中华人民共和国成立 周年活动新闻中心举办
， ７０
为ｙ＾＝ ｂ＾ｘ
＋１
．
５，
据此预测
，
当投入
１０
万元时
，
销售额的估计值为 的新闻发布会指出
，１９５２
年
—２０１８
年
，
我国
ＧＤＰ
由
６７９
．
１
亿
万元． 元跃升至 ． 万亿元 实际增长 倍 人均 从 元
９００３ ， １７４ ； ＧＤＰ １１９
４． 答案 ． 提高到 ． 万元 实际增长 倍．全国各族人民 砥砺奋进 顽
１０６５ ６４６ ， ７０ ， ，
５．（２０２１湖北武汉三月质检，２０）有关研究表明 正确佩戴安全头 强拼搏 实现了经济社会的跨越式发展．如图是全国 年至
， ， ２０１０
盔 规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低 对保 年 总量ｙ 万亿元 的折线图．
， ， ２０１８ ＧＤＰ （ ）
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第十二章 概率与统计 ６ ９５
６． 解析 由折线图中的数据和附注中的参考数据得
（１）
ｔ １＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９
＝ ＝５，
９
９
∑ｉ＝ （ ｔ ｉ－ ｔ ） ２ ＝６０，
１
９ ９ ９
ｔ ｔ ｙ ｙ ｔｙ ｔ ｙ ． ．
∑ｉ＝ （ ｉ－ ）（ ｉ－ ）＝ ∑ｉ＝ ｉ ｉ－ ∑ｉ＝ ｉ ＝３ ２５４ ８０－５×５８２０１＝
１ １ １
．
３４４７５，
．
所以ｒ ３４４７５ ．
＝ ． ≈０９９７，
注 年份代码 分别对应年份 ． ３４５９００
： １～９ ２０１０—２０１８ 因为ｙ与ｔ的相关系数近似为 ． 说明ｙ与ｔ的线性相关程
由折线图看出 可用线性回归模型拟合ｙ与年份代码ｔ的 ０９９７，
（１） ， 度相当高
关系 请用相关系数加以说明 ，
， ； 从而可以用线性回归模型拟合ｙ与ｔ的关系．
建立ｙ关于ｔ的回归方程 系数精确到 ． 并预测
（２） （ ００１）， ２０２１ ｎ
年全国 的总量． ｔ － ｔ ｙ － ｙ
附注 ：
ＧＤＰ
（２） 由已知及 （１） 得ｂ ＾＝
∑ｉ＝
１
（
ｎ
ｉ ）（ ｉ ）
＝ ３４４
．
７５ ≈５ ． ７４６，
参考数据 ９ ｙ ． ｙ ． ９ ｔｙ ． ∑ｉ＝ （ ｔ ｉ － ｔ ） ２ ６０
： ∑ｉ＝ １ ｉ ＝５８２ ０１， ≈６４ ６６８， ∑ｉ＝ １ ｉ ｉ ＝３ ２５４ ８０， 则ａ ＾＝ ｙ － ｂ ＾ ｔ ≈６４ ． ６６８－５ ． ７４６×５≈ １ ３５ ． ９４，
９ ９
∑ｉ＝ （ ｔ ｉ － ｔ ） ２ ∑ｉ＝ （ ｙ ｉ － ｙ ） ２ ≈３４５ ． ９００ ． 所以ｙ关于ｔ的回归方程为ｙ ＾＝３５ ． ９４＋５ ． ７５ ｔ．
１ １
ｎ
将
２０２１
年对应的年份代码ｔ
＝１２
代入回归方程
，
ｔ － ｔ ｙ － ｙ
参考公式 相关系数ｒ ∑ｉ＝ １ （ ｉ ）（ ｉ ） 得ｙ ＾＝３５ ． ９４＋５ ． ７５×１２＝１０４ ． ９４，
： ＝ ｎ ｎ ； 所以预测 年全国 总量为 ． 万亿元．
∑ｉ＝ （ ｔ ｉ － ｔ ） ２ ∑ｉ＝ （ ｙ ｉ － ｙ ） ２ ２０２１ ＧＤＰ １０４９４
１ １
回归方程ｙ ａ ｂｔ中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别
＾＝＾＋＾
ｎ
ｔ － ｔ ｙ － ｙ
为ｂ ＾＝
∑ｉ＝
１
（
ｎ
ｉ ）（ ｉ ）
， ａ ＾＝ ｙ － ｂ ＾ ｔ．
∑ｉ＝ （ ｔ ｉ － ｔ ） ２
１
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ２４０ ７０分钟 １００分
一、单项选择题（每小题５分，共３０分）
Ｃ．
ｙ＾＝１ ．
０５
ｘ
＋１
．
１５ Ｄ．
ｙ＾＝１ ．
１５
ｘ
＋１
．
０５
１．（２０２１重庆二模，６）已知一组数据 ａ ｂ 的平均数和中 ３． 答案 Ｄ
１，２， ， ，５，８
位数均为 其中ａ ｂ Ｎ∗ 在去掉其中的一个最大数后 该组 ４．（２０２１湖北九师联盟２月联考，６）下表是关于某设备的使用年
４， ， ∈ ， ，
数据的 限ｘ 单位 年 和所支出的维修费用ｙ 单位 万元 的统计表
（ ） （ ： ） （ ： ） ：
平均数不变 中位数不变
Ａ． Ｂ． ｘ
众数不变 标准差不变 ２ ３ ４ ５ ６
Ｃ． Ｄ． ｙ ． ． ． ． ．
１． 答案 Ｃ ３４ ４２ ５１ ５５ ６８
２．（２０２１山东德州二模，４）
２０２１
年我国推进新冠疫苗全人群免 由表可得线性回归方程ｙ＾＝０ ．
８１
ｘ
＋
ａ＾
，
若规定
：
维修费用ｙ不超
费接种 某小区年龄分布如图所示 现用分层抽样的方法从该 过 万元 一旦大于 万元时 该设备必须报废．据此模型预
， ， １０ ， １０ ，
小区所有人中抽取 人进行抗体检测 则从 岁至 岁之 测 该设备使用年限的最大值约为
６０ ， ４０ ５０ ， （ ）
间的人群中抽取的人数为
（ ） Ａ．７ Ｂ．８ Ｃ．９ Ｄ．１０
４． 答案 Ｄ
５．（２０２１湖北武汉武昌１月质检，４）甲 乙 丙 丁四位同学组成
、 、 、
的数学学习小组进行了一次小组竞赛 共测试了 道题 每位
， ５ ，
同学各题得分情况如下表所示
：
题目
第 题 第 题 第 题 第 题 第 题
学生 １ ２ ３ ４ ５
Ａ．１８ Ｂ．２４ Ｃ．５ Ｄ．９ 甲
２． 答案 Ａ １０ １０ １０ ２０ ０
乙
３．（２０２１河北张家口宣化一中二模，６）如果在一次试验中 测得 １０ １０ ５ １５ １０
，
ｘ ｙ 的四组数值分别是 ． ． ． 丙 １０ １０ １５ １５ １０
（ ， ） （１，２ ２），（２，３ ３），（４，５ ８），（５，
． 则ｙ对ｘ的线性回归方程是 丁
６７）， （ ） ０ １０ １０ ２０ ２０
Ａ．
ｙ＾＝０ ．
１５
ｘ
＋４
．
０５ Ｂ．
ｙ＾＝ ｘ
＋１
．
４５
下列说法正确的是
（ ）
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋６ ９６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
甲的平均得分比丙的平均得分高 手机的销量逐月增加 平均每个月增加约 部
Ａ． Ａ．５Ｇ ， １０
乙的得分极差比丁的得分极差大 ａ
Ｂ． Ｂ． ＝１５１
对于这 位同学 因为第 题的平均得分比第 题的平均得 ｙ与ｘ正相关
Ｃ． ４ ， ４ ２ Ｃ．
分高 所以第 题相关知识一定比第 题相关知识掌握好 预计 月份该手机商场的 手机销量约为 部
， ４ ２ Ｄ． １２ ５Ｇ ３１８
对于这 位同学 第 题得分的方差比第 题得分的方差小 ９． 答案 ＢＣＤ
Ｄ． ４ ， ３ ５
５． 答案 Ｄ １０．（２０２０山东济宁一中质量检测，１０） 科技引领 布局未来 科技
“ ， ”
６． （２０２０辽宁葫芦岛一模，４）某地区甲 乙 丙 丁四所高 研发是企业发展的驱动力量． 年 某企业连续 年
， ， ， ２００７—２０１８ ， １２
累计研发投入达 亿元 我们将研发投入与经营投入的比
中分别有 名高三学生参加某次数学调研考
４１００ ，
１２０，１５０，１８０，１５０
值记为研发投入占营收比 这 年间的研发投入 单位 十亿
试 为了解学生能力水平 现制订以下两种卷面分析方案 方 ， １２ （ ：
， ， ：
元 用图中的条形图表示 研发投入占营收比用图中的折线图
案 从这 名学生的试卷中抽取一个容量为 的样本进 ） ，
①： ６００ ２００
表示．根据折线图和条形图 下列结论正确的有
行分析 方案 丙校参加调研考试的学生中有 名数学培优 ， （ ）
； ②： ３０
生 从这些培优生的试卷中抽取 份进行分析 完成这两种方
， １０ ，
案宜采用的抽样方法依次是
（ ）
分层抽样法 系统抽样法
Ａ． 、
分层抽样法 简单随机抽样法
Ｂ． 、
系统抽样法 分层抽样法
Ｃ． 、
简单随机抽样法 分层抽样法
Ｄ． 、
６． 答案 Ｂ
二、多项选择题（每小题５分，共２０分）
７． （２０２１重庆育才中学４月联考，１０）给出下列命题 其中
，
真命题为
（ ） 年至 年研发投入占营收比增量相比 年至
在匀速传递的产品生产流水线上 质检员每 分钟从中抽 Ａ．２０１２ ２０１３ ２０１７
Ａ． ， ２０ 年研发投入占营收比增量大
取一件产品进行某项指标检测 这样的抽样是分层抽样 ２０１８
， 年至 年研发投入增量相比 年至 年研
随机变量 Ｘ 服从正态分布 Ｎ σ２ Ｐ Ｘ ． ． Ｂ．２０１３ ２０１４ ２０１５ ２０１６
Ｂ． （１， ）， （ ＞１ ５）＝ ０ ３４， 发投入增量小
则Ｐ ． Ｘ ． ．
（０５≤ ≤１５）＝０３２ 该企业连续 年来研发投入逐年增加
Ｅ Ｘ Ｅ Ｘ Ｄ Ｘ Ｄ Ｘ Ｃ． １２
Ｃ． （２ ＋１）＝２ （ ）＋１， （２ ＋１）＝４ （ ）＋１ 该企业连续 年来研发投入占营收比逐年增加
Ａ与Ｂ是互斥事件 是 Ａ与Ｂ互为对立事件 的必要不充 Ｄ． １２
Ｄ．“ ” “ ” １０． 答案 ＡＢＣ
分条件
７． 答案 ＢＤ
三、填空题（每小题５分，共１０分）
８．（２０２１重庆一模，９）某生活超市 年第四季度各区域营业 １１．（２０２１广东广州一模，１４）某车间为了提高工作效率 需要测
２０２０ ，
试加工零件所花费的时间 为此进行了 次试验 这 次试验
收入占比和净利润占比如下表所示
， ５ ， ５
：
的数据如下表
生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其他类 ：
零件数ｘ 个
营业收入占比 ． ％ ． ％ ． ％ ． ％ ． ％ （ ） １０ ２０ ３０ ４０ ５０
４８６ １５８ ２０１ １０８ ４７
加工时间ｙ ａ
净利润占比 ． ％ ． ％ ． ％ ． ％ ． ％ （ｍｉｎ） ６２ ７５ ８１ ８９
６５８ －４３ １６５ ２０２ １８
该生活超市本季度的总营业利润率为 ． ％ 营业利润率是净 若用最小二乘法求得回归直线方程为ｙ＾＝０ ． ６７ ｘ ＋５４ ． ９， 则ａ的
３２５ （
值为 ．
利润占营业收入的百分比 则
）， （ ） １１． 答案
本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区 ６８
Ａ． １２．（２０２１山东烟台一模，１４） 年 月 日 全国脱贫攻坚
本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区 ２０２１ ２ ２５ ，
Ｂ． 总结表彰大会在北京举行 习近平总书记庄严宣告我国脱贫
本季度此生活超市营业利润最高的是日用品区 ，
Ｃ． 攻坚战取得了全面胜利．已知在党委政府精准扶贫政策下 自
本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过 ％ ，
Ｄ． ５０ 年起某地区贫困户第ｘ年的年人均收入ｙ 单位 万元
８． 答案 ＢＣ ２０１７ （ ： ）
的统计数据如下表
９．（２０２１湖南衡阳联考（一），９） 技术的运营不仅仅提高了传 ：
５Ｇ
输速度 更拓宽了网络资源的服务范围 目前 我国加速了 年份
， ， ， ５Ｇ ２０１７ ２０１８ ２０１９ ２０２０
技术的融合与创新 前景美好 某手机商场统计了 个月的 年份编号ｘ
， ！ ５ １ ２ ３ ４
手机销量 如下表所示
５Ｇ ， ： 年人均收入ｙ 万元 ． ． ． ．
（ ） ０６ ０８ １１ １５
年 年 年 年 年
月份 ２０２０
月
２０２０
月
２０２０
月
２０２０
月
２０２０
月
根据表格可得线性回归方程ｙ＾＝ ｂ＾ｘ
＋
ａ＾ 中的ｂ＾ 为
０
．
３，
据此模型
６ ７ ８ ９ １０ 预报该地区贫困户 年的年人均收入为 单位
月份编号ｘ ２０２１ （ ：
１ ２ ３ ４ ５ 万元 ．
）
销量ｙ／部 ａ １２． 答案 ．
５２ ９５ １８５ ２２７ １７５
若ｙ与ｘ线性相关
，
由表中数据求得线性回归方程为ｙ＾＝４４ ｘ
＋
四、解答题（共４０分）
则下列说法正确的是 １３．（２０２１江苏南通二模，１８）某班 名学生在一次数学测试中
１０， （ ） ５０ ，
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第十二章 概率与统计 ６ ９７
成绩全部介于 与 之间 将测试结果按如下方式分成五 叶图得到 记为ｘ 由频率分布直方图得到的估计值记为ｘ
５０ １００ ， ， ，
组 第一组 第二组 第五组 ． 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 ｘ与ｘ的
： ［５０，６０）， ［６０，７０），……， ［９０，１００］ （ ），
如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． (
误差值在 ． 以内 可由ｘ代替ｘ 能否由ｘ代替ｘ 提
由频率分布直方图估计 名学生数学成绩的中位数和 ０ ５ ， ； ？
（１） ５０
)
平均数 ３０
从测试成 ； 绩在 和 内的所有学生中随机抽 示 ：３０ 名员工的调查数据得分的和 ∑ｉ＝ ｘ ｉ＝２２８８
（２） ［５０，６０） ［９０，１００］ １
取两名同学 设其测试成绩分别为ｍ ｎ 求事件 ｍ ｎ 该企业人力资源部从 分以上的员工中任选 名员工
， ， ， “｜ － ｜＞ （３） ９０ ３
的概率． 进行座谈 则所选员工的分数超过 分的人数的数学期
１０” ， ９２
望是多少
？
ｎ ａｄ ｂｃ ２
附 Ｋ２ （ － ） 其中ｎ ａ ｂ ｃ ｄ．
： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ， ＝ ＋ ＋ ＋
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ． ． ． ．
（ ≥ ０） ０１０ ００５ ００２５ ００１０ ０００５ ０００１
ｋ ． ． ． ． ． ．
０ ２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５ ７８７９ １０８２８
１４． 解析 列联表如下
（１）２×２ ：
积极支持企业改革 不太赞成企业改革 总计
工作积极
１６ ２ １８
１３． 解析 由频率分布直方图知 成绩在 内的频率
（１） ， ［５０，７０） 工作一般
为 ． ． ． ． 成绩在 内的频率为 ４ ８ １２
（０００４＋００１８）×１０＝０２２＜０５， ［５０，８０） 总计
． ． ． ． ． 所以中位数在 ２０ １０ ３０
（０００４＋００１８＋００４）×１０＝０ ６２＞０ ５， ［７０，８０）
内 设中位数为ｘ 则 ． ． ． ｘ ． ２
， ， （０００４＋００１８）×１０＋０ ０４×（ －７０）＝０ ５， 因为Ｋ２ ３０×（１２８－８） ．
解得ｘ
＝７７，
所以中位数是
７７
．设平均数为ｘ
，
则ｘ
＝５５×０
．
０４＋６５
＝
１８×１２×２０×１０
＝１０＞６６３５，
． ． ． ． ． ．
所以有 ％的把握认为员工的工作积极性与 是否积极支持
×０１８＋７５×０４＋８５×０３２＋９５×００６＝７６８ ９９ “
由频率分布直方图知 成绩在 内的人数为 企业改革 是有关的 所以可以认为企业的全体员工对待企
（２） ， ［５０，６０） ５０×１０ ” ，
． 设成绩分别为ｘ ｙ 成绩在 的人数为 业改革的态度与其工作积极性是有关的．
×０００４＝２， ， ； ［９０，１００］ ５０×
． 设成绩分别为ａ ｂ ｃ．当ｍ ｎ 时 只有 由茎叶图可知 各组数据的频数分别为 ．
１０×０００６＝３， ， ， ， ∈［５０，６０） ， （２） ， ３，７，７，８，５
ｘｙ一种情况 当ｍ ｎ 时 有ａｂ ｂｃ ａｃ三种情况 当
； ， ∈［９０，１００］ ， ， ， ； 则ｘ ＝５５× ３ ＋６５× ７ ＋７５× ７ ＋８５× ８ ＋９５× ５ ＝ ２３０．
ｍ ｎ分别在 和 内时 有ｘａ ｘｂ ｘｃ ｙａ ｙｂ ｙｃ ３０ ３０ ３０ ３０ ３０ ３
， ［５０，６０） ［９０，１００］ ， ， ， ， ， ， ，
共有 种情况 所以基本事件总数为 事件 ｍ ｎ 所 所以ｘ ｘ ２３０ ２２８８ ． ． ．
６ ， １０， “｜ － ｜＞１０” － ＝ － ＝０４＜０５
３ ３０
包含的基本事件个数为 Ｐ ｍ ｎ ６ ３ ． 因为ｘ与ｘ的误差值在 ． 以内 所以可以由ｘ代替ｘ．
６，∴ （｜ － ｜＞１０）＝ ＝ ０５ ，
１０ ５
１４．（２０２０湖南炎陵一中仿真考试，１８）某大型企业人力资源部为
（３）
由
（２）
可知
，９０
分以上的员工共有
５
名
，
设分数超过
９２
了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系 随 分的员工数为ξ 则ξ的可能取值为 ．
， １，２，３
，
机抽取了
３０
名员工进行问卷调查
，
其中
６０
％的员工工作积
则Ｐ ξ Ｃ
１
３Ｃ
２
２ ３ Ｐ ξ Ｃ
２
３Ｃ
１
２ ６
极 经汇总调查 这 名员工是否支持企业改革的调查得分 （ ＝１）＝ ３ ＝ ， （ ＝２）＝ ３ ＝ ，
， ， ３０ Ｃ５ １０ Ｃ５ １０
百分制 如茎叶图 图 所示 调查评价标准指出 调查得 ３ ０
（ ） （ １） ， ： Ｐ ξ Ｃ３Ｃ２ １ ．
分不低于 分者为积极支持企业改革 调查得分低于 分 （ ＝３）＝ ３ ＝
７０ ， ７０ Ｃ５ １０
者不太赞成企业改革． 所以ξ的分布列为
ξ
１ ２ ３
Ｐ ３ ６ １
１０ １０ １０
所以所选员工的分数超过 分的人数的数学期望Ｅ ξ
９２ （ ）＝１×
图 图
１ ２ ３ ６ １ ． ．
根据以上资料完成下面的 列联表 结合数据能否有 ＋２× ＋３× ＝１８
（１） ２×２ ， １０ １０ １０
％的把握认为员工的工作积极性与 是否积极支持企 １５．（２０２１广东珠海一模，２０）为了调查高中生的数学成绩与学生
９９ “
业改革 是有关的 自主学习时间之间的相关关系 某中学数学教师对新入学的
” ？ ，
名学生进行了跟踪调查 其中每周自主做数学题的时间
积极支持企业改革 不太赞成企业改革 总计 １８０ ，
不少于 小时的有 人 统计成绩后 得到 列联表
工作积极 １２ ７６ ， ， ２×２ ：
学生本学期检测 学生本学期检测
工作一般
数学标准分数大 数学标准分数不 合计
总计
于或等于 分 足 分
１２０ １２０
现将 名员工的调查得分分为如下 组
（２） ３０ ５ ：［５０，６０），［６０，
其频率分布直方图如
７０），［７０，８０），［８０，９０），［９０，１００］，
图 所示 这 名员工的调查数据得分的平均值可由茎
２ ， ３０
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋６ ９８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
续表
学生本学期检测 学生本学期检测 １５． 解析 由题中的数据可以直接填表如下
（１） ：
数学标准分数大 数学标准分数不 合计 学生本学期检测 学生本学期检测
于或等于 分 足 分 数学标准分数大 数学标准分数不 合计
１２０ １２０
每周自主做数 于或等于 分 足 分
１２０ １２０
学题的时间不 每周自主做数学题的
６０ ７６
少于 小时 时间不少于 小时 ６０ １６ ７６
１２ １２
每周自主做数 每周自主做数学题的
学题的时间不 时间不足 小时 ４０ ６４ １０４
６４ １２
足 小时
１２ 合计
１００ ８０ １８０
合计
１８０
２
请完成 列联表 并判断能否在犯错误的概率不超过 Ｋ２ １８０×（６０×６４－１６×４０） ． ．
（１） ２×２ ， ∴ ＝ ≈２９１５＞１０８２８，
． 的前提下认为 高中生的数学成绩与学生自主学习 ７６×１０４×８０×１００
０００１ “ 能在犯错误的概率不超过 ． 的前提下认为 高中生的
时间有关 ∴ ０ ００１ “
”； 数学成绩与学生自主学习时间有关 ．
若将频率视为概率 从全校本学期检测数学标准分数 ”
（２）（ｉ） ， 从全校本学期检测数学标准分数大于或等于 分
大于或等于 分的学生中随机抽取 人 求这些人中 （２）（ｉ） １２０
１２０ １２ ， 的学生中随机抽取一人 每周自主做数学题的时间不少于
每周自主做数学题的时间不少于 小时的人数的期望 ， １２
１２ ；
通过调查问卷发现 从全校本学期检测数学标准分数 小时的概率为６０ ． 设从 名学生中随机抽取 人
（ｉｉ） ， ＝０ ６， １００ １２ ，
１００
大于或等于 分的学生中随机抽取 人 这 人每周
这些人中每周自主做数学题的时间不少于 小时的人数为
１２０ １２ ， １２
１２
自主做数学题的时间的情况分三类 类 每周自主做数
，Ａ ：
随机变量Ｙ
，
学题的时间大于或等于 小时的有 人 类 每周自主
１６ ４ ；Ｂ ： ∴ Ｙ ～ Ｂ （１２，０ ． ６），∴ Ｅ （ Ｙ ）＝１２×０ ． ６＝７ ． ２ ．
做数学题的时间大于或等于 小时小于 小时的有
１２ １６ ５
Ｘ的所有可能取值为
（ｉｉ） ０，１，２，３，
人 类 每周自主做数学题的时间不足 小时的有
人 ； ．若 Ｃ 从这 ： 随机抽出的
１２
人中再随机抽取 １
３
２ 人进一步了 ３ Ｐ
（
Ｘ
＝ ０ ） ＝
Ｃ １ ３Ｃ １ ４Ｃ
３
１ ５＋Ｃ ３ ５
＝
７
，
Ｐ
（
Ｘ
＝ １ ） ＝
解情况 记Ｘ为抽取的这 名同学中 类人数和 类人 Ｃ１２ ２２
， ３ Ａ Ｃ ２ １ ２ １ ２ １ ２ １ １ ２ １ ２
数差的绝对值 求Ｘ的数学期望． Ｃ４Ｃ３＋Ｃ３Ｃ４＋Ｃ５Ｃ４＋Ｃ５Ｃ３ ５ Ｐ Ｘ Ｃ５Ｃ４＋Ｃ５Ｃ３ ９ Ｐ Ｘ
， ３ ＝ ， （ ＝２）＝ ３ ＝ ， （
ｎ ａｄ ｂｃ ２ Ｃ１２ １１ Ｃ１２ ４４
附 参考公式 Ｋ２ （ － ） ｎ ａ ｂ ｃ ｄ． ３ ３
： ： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ， ＝ ＋ ＋ ＋ Ｃ４＋Ｃ３ １ Ｅ Ｘ ７ ５ ９ １ ４１．
附表 （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ） ＝３）＝ Ｃ ３ １２ ＝ ４４ ，∴ （ ）＝０× ２２ ＋１× １１ ＋２× ４４ ＋３× ４４ ＝ ４４
：
Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ． ． ．
（ ≥ ０） ０１００ ００５０ ００１０ ０００５ ０００１
ｋ ． ． ． ． ．
０ ２７０６ ３８４１ ６６３５ ７８７９ １０８２８
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题 接种年龄在 内的频率为 ． ． 故估计该地接
［３６，４２） ００４０×６＝０２４，
１．（２０２１天津新华中学第７次统练，４） 年 月 日 国务 ． ．
２０２０ １２ ３１ ， 种年龄的中位数为 ０５－０４２ ．故选 ．
院联防联控机制发布 国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫 ３６＋ ． ×６＝３８ Ｃ
０２４
， ２．（２０２１天津南开中学第五次月考，３）棉花的纤维长度是棉花质量
苗已获药监局批准附条件上市 其保护效力达到世界卫生组
， 的重要指标．在一批棉花中随机抽测了 根棉花的纤维长度 单
织及药监局相关标准要求 现已对 至 岁的人提供．根据 ５０ （
， １８ ５９ 位 其频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图 估计
某地接种年龄样本的频率分布直方图 如图 估计该地接种年 ：ｍｍ）， ，
（ ） 事件 棉花的纤维长度大于 的概率为
龄的中位数为 “ ２７５ｍｍ” （ ）
（ ）
． ． ． ．
Ａ．４０ Ｂ．３９ Ｃ．３８ Ｄ．３７ Ａ．０３０ Ｂ．０４８ Ｃ．０５２ Ｄ．０７０
答案 Ｃ 由题中的频率分布直方图得接种年龄在 答案 Ｃ 棉花的纤维长度大于 的概率为
［１８，３６） “ ２７５ ｍｍ” ５０×
内的频率为 ． ． ． ． ． ． ． 故选 ．
（００１３＋００２３＋００３４）×６＝０４２， （０００４０＋０００６４）＝０５２， Ｃ
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第十二章 概率与统计 ６ ９９
３．（２０２１陕西宝鸡一模，５）为落实 国家学生体质健康标准 达 根据图中数据预测 年全国居民人均可支配收入一定
《 》 Ｄ． ，２０２１
标测试工作 全面提升学生的体质健康水平 某校高二年级体 大于 元
， ， ３００００
育组教师在高二年级随机抽取部分男生 测试了立定跳远项 答案 Ｄ 对于选项 由题图可知 年 全国居
， Ａ： ，２０１６—２０２０ ，
目 依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图．已知立 民人均可支配收入每年都超过 元 所以选项 正确．
， ２００００ ， Ａ
定跳远 以上成绩为及格 以上成绩为优秀 根 对于选项 由题图可知 年 全国居民人均可支
２００ ｃｍ ，２５５ ｃｍ ， Ｂ： ，２０１７—２０２０ ，
据图中的数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率 配收入均逐年增加 所以选项 正确．
， Ｂ
和优秀率分别是 对于选项 由题图可知 年全国居民人均可支配收入临
（ ） Ｃ： ，２０１６
近 元 上一年也就是 年全国居民人均可支配收入
２５０００ ， ２０１５
可能高于 元 所以选项 正确．
２００００ ， Ｃ
对于选项 由题图可知 年全国居民人均可支配收入高于
Ｄ： ，２０２０
元 下一年也就是 年全国居民人均可支配收入可能大
３００００ ， ２０２１
于 元 说一定大于 元太绝对 所以选项 错误．
３００００ ， ３００００ ， Ｄ
故选
Ｄ．
６．（２０２１江西上饶一模，６）根据如下样本数据 得到回归直线方
，
％ ％ ％ ％ 程ｙ ｂｘ ａ 则
Ａ．８７ ，３ Ｂ．８０ ，３ ＾＝＾ ＋＾， （ ）
％ ％ ％ ％
Ｃ．８７ ，６ Ｄ．８０ ，６ ｘ
答案 Ｃ 由频率分布直方图可得 优秀率为 ． ３ ４ ５ ６ ７ ８
， ０ ００３×２０× ｙ ． ． ． ． ． ．
( ) －３０ －２０ ０５ －０５ ２５ ４０
％ ％ ． ． ２００－１９５ ． 及格
１００ ＝６ ，∵ １－ ０００３＋００１４× ２０ ×２０＝０ ８７，∴ Ａ． ａ ＾＞０， ｂ ＾＞０ Ｂ． ａ ＾＞０， ｂ ＾＜０
率为 ８７ ％ ， 故选 Ｃ ． Ｃ． ａ ＾＜０， ｂ ＾＞０ Ｄ． ａ ＾＜０， ｂ ＾＜０
４．（２０２１北京东城一模，３）某中学高一 高二和高三各年级人数 答案 Ｃ 作出散点图 图略 由散点图可知 ａ ｂ
、 （ ）， ，＾＜０，＾＞０，
见下表．采用分层随机抽样的方法调查学生的健康状况 在抽 选 ．
， Ｃ
取的样本中 高二年级有 人 那么该样本中高三年级的人数 ７．（２０２１江西五市九校联考，７）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美
， ２０ ， 、
为 和谐的音乐 殊不知蟋蟀鸣叫的频率ｘ 每分钟鸣叫的次数 与
（ ） ， （ ）
气温ｙ 单位 存在着较强的线性相关关系．某地观测人员
年级 人数 （ ：℃）
根据下表的观测数据 建立了 ｙ 关于 ｘ 的线性回归方程ｙ
高一 ， ＾＝
５５０ ． ｘ ｋ．
高二 ０２５ ＋
５００ ｘ 次数／分钟
高三 （ ） ２０ ３０ ４０ ５０ ６０
４５０
ｙ ． ．
合计 （℃） ２５ ２７５ ２９ ３２５ ３６
１５００
则当蟋蟀每分钟鸣叫 次时 该地当时的气温预报值为
５２ ，
Ａ．１８ Ｂ．２２ Ｃ．４０ Ｄ．６０
答案 Ａ 本题考查分层随机抽样 考查学生运用分层随机 （ ）
， ．
抽样的方法解决实际问题的能力 渗透数据分析的核心素养 Ａ．３３ ℃ Ｂ．３４ ℃ Ｃ．３５ ℃ Ｄ．３５５ ℃
， ，
试题体现应用性． 答案 Ａ ｘ ２０＋３０＋４０＋５０＋６０
＝ ＝４０，
ｎ ５
设该样本中高三年级的人数为ｎ 则有２０ 解得ｎ ． ．
， ＝ ， ＝１８， ｙ ２５＋２７５＋２９＋３２５＋３６
５００ ４５０ ＝ ＝３０，
故选 ５
Ａ． 因为样本点的中心 ｘ ｙ 在回归直线上
５．（２０２１北京房山一模，５） 十三五 期间 我国大力实施就业优 （ ， ） ，
“ ” ， 所以将 代入ｙ ． ｘ ｋ得 ． ｋ 解得ｋ
先政策 促进居民人均收入持续增长．下面统计图反映了 （４０，３０） ＾＝０２５ ＋ ３０＝０２５×４０＋ ， ＝２０，
， 所以ｙ ． ｘ 当ｘ 时 ｙ ． ．故选 ．
年全国居民人均可支配收入 单位 元 情况．根据 ＾＝０２５ ＋２０， ＝５２ ，＾＝０２５×５２＋２０＝３３ Ａ
２０１６—２０２０ （ ： ）
图中提供的信息 下列判断不正确的是 二、多项选择题
， （ ）
８．（２０２１届辽宁锦州渤大附中、育明高中第二次月考，１０） ．
ＰＭ２５
是衡量空气质量的重要指标 如图是某地 月 日到 日的
， ７ １ １０
． 日均值 单位 ３ 的折线图 则下列关于这 天中
ＰＭ２５ （ ：μｇ／ｍ ） ， １０
． 日均值的说法正确的是
ＰＭ２５ （ ）
年 全国居民人均可支配收入每年都超过 元
Ａ．２０１６—２０２０ ， ２００００
年 全国居民人均可支配收入均逐年增加
Ｂ．２０１７—２０２０ ，
根据图中数据估计 年全国居民人均可支配收入可能
Ｃ． ，２０１５
高于 元
２００００
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋７ ００ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
众数为 消费支出将超过 年
Ａ． ３０ ２０１９
中位数是 随着疫情被有效控制 若 年下半年居民消费水平比上
Ｂ． ３１ Ｄ． ， ２０２０
平均数小于中位数 半年有所提高 则居民人均消费支出较 年减少不会超
Ｃ． ， ２０１９
后 天的方差小于前 天的方差 过 ％
Ｄ． ４ ４ １０
答案 ＡＤ 项 由题图可知 出现的次数最多 所以众 答案 ＢＤ 显然错误 元 因此
Ａ ， ３０ ， Ａ ；９７１８×２＝１９４３６（ ）， ，２０２０
数为 ．故 项正确． 年全年消费与 年基本一致 正确
３０ Ａ ２０１８ ，Ｂ ；
． ． 因此 年全年消费不会超
项 将日均值从小到大排列 所以中位数为３１＋３２ ． ．故 ９７１８×２２＝２１３７９６＜２１ ５５９， ，２０２０
Ｂ ， ， ＝３１５ Ｂ 过 年 错误
２ ２０１９ ，Ｃ ；
项错误．
２１５５９－９７１８×２ ％ ． ％ 不会超过 ％ 正确．
项 平均数为 ×１００ ≈９８ ， １０ ，Ｄ
Ｃ ， ２１５５９
１１．（２０２１届山东济南外国语学校月考，１０）下列说法正确的是
３８＋２５＋１７＋３０＋３４＋１２６＋４２＋３１＋３２＋３０ ． ．
＝４０５
１０ （ ）
因为 ． ． 所以平均数大于中位数．故 项错误． 将一组数据中的每个数据都乘同一个非零常数ａ后 方差
４０５＞３１５， Ｃ Ａ． ，
项 方差判断一组数据的稳定程度 方差越小数据越稳定 由 变为原来的ａ倍
Ｄ ， ， ，
题图可知前 天的数据没有后 天的数据稳定 所以前 天的
方差比后 天 ４ 的方差大．故 项 ４ 正确． ， ４ Ｂ． 设有一个回归方程ｙ ＾＝３－５ ｘ ， 变量ｘ增加 １ 个单位时 ， ｙ平
４ Ｄ 均减少 个单位
９．（２０２０山东夏季高考模拟，９）下图为某地区 年 年 ５
２００６ —２０１８ 线性相关系数ｒ越大 两个变量的线性相关性越强 反之
地方财政预算内收入 城乡居民储蓄年末余额折线图． Ｃ． ， ； ，
、 线性相关性越弱
在某项测量中 测量结果 ξ 服从正态分布 Ｎ σ２ σ
Ｄ． ， （１， ）（ ＞
则Ｐ ξ ．
０）， （ ＞１）＝０５
答案 ＢＤ 对于选项 将一组数据中的每个数据都乘同
Ａ：
一个非零常数ａ后 方差变为原来的ａ２倍 故 中说法错误．
， ， Ａ
对于选项 设有一个回归方程ｙ ｘ 变量ｘ增加 个单
根据该折线图可知 该地区 年 年 Ｂ： ＾＝３－５ ， １
， ２００６ —２０１８ （ ） 位时 ｙ平均减少 个单位 故 中说法正确．
财政预算内收入 城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势 ， ５ ， Ｂ
Ａ． 、 对于选项 线性相关系数 ｒ 越大 两个变量的线性相关性
财政预算内收入 城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度 Ｃ： ｜ ｜ ，
Ｂ． 、 越强 反之 线性相关性越弱 故 中说法错误．
相同 ； ， ， Ｃ
对于选项 在某项测量中 测量结果ξ服从正态分布Ｎ
财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额 Ｄ： ， （１，
Ｃ． σ２ σ 则正态曲线关于直线ｘ 对称 所以Ｐ ξ
年平均增长量 ）（ ＞０）， ＝１ ， （ ＞１）＝
． 故 中说法正确．故选 ．
城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大 ０５， Ｄ ＢＤ
Ｄ．
答案 ＡＤ 本题主要考查学生读图获取信息的能力 考查 三、填空题
，
学生识图能力 分析问题能力 同时考查数据分析的核心素养． １２．（２０２１江西南昌六校联考，１５）在某地区某高传染性病毒流行
， ，
由题图可知两条折线均在上升 因此 正确 图中两条折线中 期间 为了建立指标显示疫情已受控制 以便向该地区居民
， Ａ ； ， ，
每条小线段所在直线的斜率均不相同 且两折线间间隔呈现 显示可以过正常生活 有公共卫生专家建议的指标是 连续
， ， “ ７
逐渐增大趋势 差额逐年增长 故 不正确 正确．从图中可 天每天新增感染人数不超过 人 根据连续 天的新增病
， ， Ｂ ，Ｄ ５ ”， ７
以看出 地方财政预算内收入年平均增长量小于城乡居民储 例数计算 下列各个选项中 一定符合上述指标的是
， ， ，
蓄年末余额年平均增长量． ．
１０．（２０２１届五省新高考联合质量检测１２月联考，１０） 年上 平均数ｘ 标准差ｓ 平均数ｘ 且标准差ｓ
２０２０ ① ≤３；② ≤２；③ ≤３ ≤２；
半年受疫情影响 我国居民人均消费支出情况也受到了影 平均数ｘ 且极差小于或等于 众数等于 且极差小
， ④ ≤３ ２；⑤ １
响 现统计出 年上半年我国居民人均消费支出情 于或等于 ．
， ２０１５—２０２０ ４
况如图所示 则下列说法正确的是 答案
， （ ） ④⑤
解析 错 举反例 其平均数ｘ 但不
① ， ：０，０，０，０，０，０，７， ≤３，
符合指标
；
错 举反例 其标准差ｓ 但不符合指标
② ， ：７，７，７，７，７，７，７， ＝０≤２， ；
错 举反例 其平均数ｘ 且标准差ｓ
③ ， ：０，３，３，３，３，３，６， ≤３ ≤２，
但不符合指标
；
对 若极差小于或等于 有可能
④ ， ２， （１）０，１，２；（２）１，２，３；
（３）２，３，４；（４）３，４，５；（５）４，５，６，
在平均数ｘ 的条件下 只有 成立 符合指标
≤３ ， （１）（２）（３） ， ；
对 在众数等于 且极差小于或等于 则最大数不超过
⑤ ， １ ４， ５，
从 年到 年我国居民人均消费支出逐年减少 符合指标 所以填 ．
Ａ． ２０１５ ２０１９ ， ④⑤
若 年下半年居民消费水平与上半年相当 则全年消费 １３．（２０２１北京平谷质量监控，１５）从 年京津城际铁路通车运营
Ｂ． ２０２０ ， ２００８
与 年基本一致 开始 高铁在过去几年里快速发展 并在国民经济和日常生活中
２０１８ ， ，
若 年下半年居民消费水平比上半年提高 ％ 则全年 扮演着日益重要的角色．下图是 年至 年高铁运营总里
Ｃ． ２０２０ ２０ ， ２００９ ２０１６
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第十二章 概率与统计 ７ ０１
１５．（２０２１天津南开中学统练（２３），１０）从某小区抽取 户居
１００
程数的折线图 图中的数据均是每年 月 日的统计结果 ． 民进行月用电量调查 发现其用电量都在 到 度之间
（ １２ ３１ ） ， ５０ ３５０ ，
频率分布直方图如图所示 则用电量低于 度的户数为
， １５０
．
根据上述信息 有下列结论
， ：
年这一年 高铁运营里程数超过 ． 万公里
①２０１５ ， ０５ ；
年到 年高铁运营里程平均增长率大于 年 答案
②２０１３ ２０１６ ２０１０ ３０
到 年高铁运营里程平均增长率 解析 由频率分布直方图得 用电量低于 度的频率为
２０１３ ； ， １５０
从 年至 年 新增高铁运营里程数最多的一年是 ． ． ．
③ ２０１０ ２０１６ ， （０００２４＋０００３６）×５０＝０３，
年 用电量低于 度的户数为 ． ．
２０１４ ； ∴ １５０ １００×０３＝３０
从 年至 年 新增高铁运营里程数逐年递增．
④ ２０１０ ２０１６ ， 四、解答题
其中所有正确结论的序号是 ．
１６．（２０２１河南３月适应性测试，１９）直播带货是扶贫助农的一种
答案
②③ 新模式 这种模式是利用主流媒体的公信力 聚合销售主播
解析 本题考查折线统计图 考查学生运用统计的知识分 ， ，
， 的力量助力打通农产品产销链条 切实助力贫困地区农民脱
析与解决实际问题的能力 渗透数据分析的核心素养 试题 ，
， ， 贫增收．某贫困地区有统计数据显示． 年该地利用网络直
体现应用性． ２０２０
播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图 所示．一
对于 看 年 年对应的纵坐标之差 小于 ． １
①， ２０１４ ，２０１５ ， ２－１ ５＝ 周内使用直播销售的频率分布扇形图如图 所示．若将销售
． 错误 ２
０５，① ； 主播按照年龄分为 年轻人 岁 岁 和 非年轻人
对于 连线看斜率即可 年到 年两点连线斜率更 “ ”（２０ ～３９ ） “ ”
②， ，２０１３ ２０１６ 岁及以下或者 岁及以上 两类 将一周内使用的次数
大 正确 （１９ ４０ ） ，
，② ； 为 次或 次以上的称为 经常使用直播销售用户 使用次
对于 看哪两点纵坐标之差最大 正确 ６ ６ “ ”，
③， ，③ ； 数为 次或不足 次的称为 不常使用直播销售用户 则
对于 看相邻纵坐标之差是否逐年增加 显然不是 有增有 ５ ５ “ ”，
④， ， ，
减 错误． 经常使用直播销售用户 中有 ５ 是 年轻人 ．
，④ “ ” “ ”
故填 ． ６
②③ 直播销售主播年龄等级分布
１４．（２０２１安徽合肥质检，１４）在文明城市创建过程中 某市创建
，
办公室对市区内从事小吃 衣帽 果蔬 玩具等 类商户数进
、 、 、 ６
行了统计并绘成如图所示的条形统计图 对商户进行了文明
，
城市知识教育培训． 年年初 该市创建办公室计划从
２０２１ ， ２
户商户中 按照商户类型进行分层抽样 随机抽取 户
０００ ， ， １００
进行文明城市知识教育培训效果调查 则衣帽类和果蔬类商
，
户抽取的户数分别为 ．
图
１
直播销售使用频率分布
答案 图
２５，１５ ２
解析 共有 户 需要抽取 户 故抽取的比例为
现对该地相关居民进行 经常使用网络直播销售与年龄
２ ０００ ， １００ ，
（１） “
１００ １ 关系 的调查 采用随机抽样的方法 抽取一个容量为
＝ ， ” ， ，
２０００ ２０ 的样本 请你根据图中的数据 完成 列联表 并
由题中条形统计图可知 衣帽类有 户 果蔬类有 户 ２００ ， ， ２×２ ，
， ５００ ， ３００ ， 根据列联表判断是否有 ％的把握认为经常使用网络直
８５
则衣帽类抽取的户数为 １ 果蔬类抽取的户数为 播销售与年龄有关
５００× ＝２５， ；
２０ 使用直播销售情况与年龄列联表
１ ．
３００× ＝１５ 年轻人 非年轻人 合计
２０
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋７ ０２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
经常使用直播销售用户 Ｄ Ｘ ２ ３ ２ ３ ２ １
（ ２）＝（５００－２１０） × ＋（－３００－２１０） × ＋（０－２１０） ×
不常使用直播销售用户 ５ １０ １０
合计 ＝２９０ ２ × ３ ＋５１０ ２ × ３ ＋２１０ ２ × １ ＝１３２９００ ．
５ １０ １０
某投资公司在 年年初准备将 万元投资到 销 Ｘ 的期望Ｅ Ｘ 方差Ｄ Ｘ ．
（２） ２０２１ １ ０００ “ ∴ ２ （ ２）＝２１０， （ ２）＝１３２９００
售该地区农产品 的项目上 现有两种销售方案供选择． Ｅ Ｘ Ｅ Ｘ Ｄ Ｘ Ｄ Ｘ
” ， ∵ （ １）＝ １８０＜ （ ２）＝ ２１０， （ １）＝ ３５ １００＜ （ ２）＝
方案一 线下销售．根据市场调研 利用传统的线下销售
： ， ， １３２９００，
到年底可能获利 ％ 可能亏损 ％ 也可能不赔不赚 从获利的均值方面看方案二线上直播销售获得的利润更
３０ ， １５ ， ， ∴
多些 但是 方案二的方差要比方案一的方差大得多 从稳定
且这三种情况发生的概率分别为 ７ １ １ ， ， ，
， ， ； 性方面看方案一线下销售更稳妥．
１０ ５ １０
方案二 线上直播销售．根据市场调研 利用线上直播销 从获利角度考虑 应该选择方案二 从规避风险角度考虑
： ， ∴ ， ； ，
售 到年底可能获利 ％ 可能亏损 ％ 也可能不赔不 应该选择方案一．
， ５０ ， ３０ ，
１７．（２０２１安徽合肥质检，１９）人类已经进入大数据时代．目前 数
赚 且这三种情况发生的概率分别为 ３ ３ １ ． ，
， ， ， 据量级已经从 级别跃升到
５ １０ １０ ＴＢ（１ＴＢ＝１ ０２４ＧＢ） ＰＢ（１ＰＢ＝１
针对以上两种销售方案 请你从期望和方差的角度为投
乃至 级别国
， ０２４ＴＢ），ＥＢ（１ＥＢ＝１０２４ＰＢ） ＺＢ（１ＺＢ＝１０２４ＥＢ） ．
资公司选择一个合理的方案 并说明理由．
际数据公司 研究结果表明 年全球产生的数据量
，
（ＩＤＣ） ，２００８
参考数据 独立性检验临界值表
为 年数据量为 年增长到
：
０．４９ＺＢ，２００９ ０．８ＺＢ，２０１０ １．２ＺＢ，
Ｐ
（
Ｋ２
≥
ｋ
０） ０
．
１５ ０
．
１０ ０
．
０５０ ０
．
０２５ ０
．
０１０ ２０１１
年数据量更是高达
１．８２ＺＢ．
下表是国际数据公司
（ＩＤＣ）
研究的全球近 年每年产生的数据量 单位 及相关统计
ｋ ． ． ． ． ． ６ （ ：ＺＢ）
０ ２０７２ ２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５ 量的值
：
其中
，
Ｋ２
＝ ａ ｂ
ｎ
ｃ
（ ａ
ｄ
ｄ － ｂ
ａ
ｃ ）
ｃ
２
ｂ ｄ ，
ｎ
＝
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ
＋
ｄ． 年份
２０１４ ２０１５ ２０１６ ２０１７ ２０１８ ２０１９
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ） 序号ｘ
解析 由题图 知 年轻人 占比为 ％ 非年轻 １ ２ ３ ４ ５ ６
（１） １ ，“ ” ８０ ，“
人 占比为 ％． 年数据量ｙ ６ ． ６ ８ ． ６ １６ ． １ ２１ ． ６ ３３ ． ０ ４１ ． ０
” ２０
由题图 知 经常使用直播销售用户 占比为 ％ 不常使
用直播销 ２ 售 ， 用 “ 户
”
占比为
４０
％． ” ６０ ，“ ｘ ｙ ｚ ∑ｉ＝ ６
１
（ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ ∑ｉ＝ ６
１
（ ｚ ｉ－ ｚ ） ２ ∑ｉ＝ ６
１
（ ｘ ｉ－ ｘ ）（ ｙ ｉ－ ｙ ） ∑ｉ＝ ６
１
（ ｘ ｉ－ ｘ ）（ ｚ ｉ－ ｚ ）
补全的列联表如下 ． ． ． ． ． ． ．
３５ ２１１５ ２８５ １７５ １３８２ １２５３５ ６７３
∴ ：
年轻人 非年轻人 合计 表中ｚ ｙ ｚ １ ６ ｚ．
经常使用直播销售用户
ｉ＝ｌｎ ｉ， ＝
６
∑ｉ＝
１
ｉ
１００ ２０ １２０ 根据上表数据信息判断 方程ｙ ｃ ｃｘ 是自然对数的
不常使用直播销售用户 （１） ， ＝ １·ｅ ２ （ｅ
６０ ２０ ８０ 底数 更适宜作为该公司统计的年数据量ｙ关于年份序
）
合计 号ｘ的回归方程类型 试求此回归方程 ｃ 精确到 ．
１６０ ４０ ２００ ， （ ２ ００１）；
有人预计 年全世界产生的数据规模将超过 年
２
Ｋ２ ２００×（１００×２０－６０×２０） ２５ ． ． 即有 ％ （２） ２０２１ ２０１１
∴ ＝ ＝ ≈２ ０８３＞２ ０７２， ８５ 的 倍．根据 中的回归方程 说明这种判断是否准
１２０×８０×１６０×４０ １２ ５０ （１） ，
的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关． 确 并说明理由．
，
（２） 若按方案一 ， 设获利Ｘ １ 万元 ， 可取的值为 ３００，－１５０，０ ．Ｘ １ 参考数据 ：ｅ ４ ． ５６ ≈９５ ． ５８，ｅ ４ ． ５８ ≈９７ ． ５１， 回归方程ｙ ＾＝ ａ ＾＋ ｂ ＾ ｘ中 ， ｂ ＾＝
的分布列为 ｎ ｎ
ｘ － ｘ ｙ － ｙ ｘｙ － ｎｘｙ
Ｘ １ ３００ －１５０ ０ ∑ｉ＝ １ （ ｎ ｉ ）（ ｉ ） ＝ ∑ｉ＝ １ ｎ ｉ ｉ ， ａ ＾＝ ｙ － ｂ ＾ ｘ．
Ｐ ７ １ １ ∑ｉ＝ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ＝ ｘ２ｉ － ｎｘ２
１ １
１０ ５ １０ 解析 由ｙ ｃ ｃｘ得 ｙ ｃ ｘ ｃ 即ｚ ｃ ｘ ｃ
（１） ＝ １·ｅ ２ ｌｎ ＝ ２ ＋ｌｎ １， ＝ ２ ＋ｌｎ １，
Ｅ （ Ｘ １）＝３００× １ ７ ０ ＋（－１５０）× ５ １ ＋０× １ １ ０ ＝１８０，
ｃ
∑ｉ＝ ６
１
（ ｘ ｉ － ｘ ）（ ｚ ｉ － ｚ ）
６
．
７３ ． ．
Ｄ （ Ｘ １）＝（３００－１８０） ２ × １ ７ ０ ＋（－１５０－１８０） ２ × ５ １ ＋（０－１８０） ２ × １ １ ０ ∴ ２＝ ∑ｉ＝ ６ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ＝ １７ ． ５ ≈０３８
１
又 ｚ ｃ ｘ ｃ ． ． ｃ ． ｃ ． ．
＝１２０ ２ ×
１
７
０
＋３３０ ２ ×
５
１ ＋１８０ ２ ×
１
１
０
＝３５１００ ． ∵
ｙ
＝ ２
．
＋
ｘ
ｌｎ １
．
，０３
即
８×
ｙ
３５＋
０ ．
ｌ
３
ｎ
８ ｘ ＋１ ．
１
５２
＝
为
２
所
８５
求
，ｌｎ
的回
１＝
归
１
方
５２
程．
Ｘ 的期望Ｅ Ｘ 方差Ｄ Ｘ ． ∴ ｌｎ ＝０３８ ＋１５２， ＝ｅ
∴ 若按 １ 方案二 设 （ 获 １ 利 ）＝ Ｘ １８ 万 ０， 元 则Ｘ （ 可 １） 取 ＝３ 的 ５ 值 １０ 为 ０ ． （２） 根据 （１） 知回归方程为ｙ ＝ｅ ０ ． ３８ ｘ ＋１ ． ５２．当ｘ ＝８ 时 ， ｙ ＝ｅ ０ ． ３８×８＋１ ． ５２
， ２ ， ２ ５００，－３００，０ ．
Ｘ 的分布列为 ． ９５５８ ． ．
≈９５５８， ． ≈５２５２
２ １８２
Ｘ 据此可以判断 年全球产生的数据量超过 年的
２ ５００ －３００ ０ ２０２１ ２０１１ ５０
倍 因此 这种判断是准确的．
Ｐ ３ ３ １ ， ，
思路分析 （ ）将函数两边同时取自然对数，变形为 ｙ
５ １０ １０ １ ｌｎ ＝
ｃ ｘ ｃ ，即ｚ ｃ ｘ ｃ ，利用题中的数据以及公式进行求解
Ｅ Ｘ ３ ３ １ ２ ＋ｌｎ １ ＝ ２ ＋ｌｎ １
（ ２）＝５００× ＋（－３００）× ＋０× ＝２１０， 即可得到答案；
５ １０ １０
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第十二章 概率与统计 ７ ０３
（ ）由（ ）中的回归方程，令ｘ ，求出ｙ的值，然后进行判断
２ １ ＝８ 男性村民
１４０ ６０
即可．
女性村民
１８．（２０２１四川成都二诊，１８）某种机械设备随着使用年限的增 ４０
加 它的使用功能逐渐减退 使用价值逐年减少 通常把它使
作出散点图 判断土地使用面积ｘ与管理时间ｙ是否线
（１） ，
， ， ，
用价值逐年减少的 量 换算成费用 称之为 失效费 ．某种 性相关
；
并根据相关系数ｒ说明相关关系的强弱
；（
若
｜
ｒ
｜
“ ” ， “ ”
机械设备的使用年限ｘ 单位 年 与失效费ｙ 单位 万元 的 ． 则认为两个变量有很强的线性相关性 ｒ 的值精
≥０７５， ，
（ ： ） （ ： ）
统计数据如下表所示 确到 ．
： ０００１）
若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计该贫
使用年限ｘ 单位 年 （２）
（ ： ） １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
失效费ｙ 单位 万元 ． ． ． ． ． ． ． 困县的情况 且每位村民参与管理的意愿互不影响 则从
（ ： ） ２９０ ３３０ ３６０ ４４０ ４８０ ５２０ ５９０ ， ，
由上表数据可知 可用线性回归模型拟合ｙ与ｘ的关系 该贫困县村民中任取 人 记取到不愿意参与管理的女
（１） ， ， ３ ，
请用相关系数加以说明 精确到 ． 性村民的人数为Ｘ 求Ｘ的分布列及数学期望．
；（ ００１） ，
求出ｙ关于ｘ的线性回归方程 并估算该种机械设备使 ｎ
（２） ， ｘ － ｘ ｙ － ｙ
用
１０
年的失效费．
参考公式 ｒ
∑ｉ＝
１
（ ｉ ）（ ｉ ）
．
ｎ ： ＝ ｎ ｎ
参考公式 相关系数ｒ
∑ｉ＝
１
（ ｘ ｉ － ｘ ）（ ｙ ｉ － ｙ ）
．
∑ｉ＝
１
（ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ＝
１
（ ｙ ｉ － ｙ ） ２
： ＝ ∑ｉ＝ ｎ
１
（ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ＝ ｎ
１
（ ｙ ｉ － ｙ ） ２
解
参
析
考数据
散
： ｙ
点
＝１
图
６，
如
∑ｉ
图
＝ ５ １
．
（ ｙ ｉ－ ｙ ） ２ ＝２０６， ５１５≈２２ ． ７ ．
线性回归方程ｙ ｂｘ ａ中斜率和截距最小二乘估计计算 （１）
＾＝＾ ＋＾
ｎ
ｘ － ｘ ｙ － ｙ
公式 ｂ
∑ｉ＝
１
（ ｉ ）（ ｉ ）
ａ ｙ ｂｘ．
：＾＝ ｎ ，＾＝ －＾
∑ｉ＝ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２
１
７ ７
参考数据 ：∑ｉ＝ （ ｘ ｉ－ ｘ ）（ ｙ ｉ－ ｙ ）＝ １４ ． ００， ∑ｉ＝ （ ｙ ｉ－ ｙ ） ２ ＝７ ．
１ １
． ． ．
０８， １９８２４≈１４１０
解析 由题意 知ｘ １＋２＋３＋４＋５＋６＋７
（１） ， ＝ ＝４，
７
． ． ． ． ． ． ．
ｙ ２９０＋３３０＋３６０＋４４０＋４８０＋５２０＋５９０ ．
＝ ＝４３０， 由散点图可知 管理时间ｙ与土地使用面积ｘ线性相关．
７ ，
∑ｉ＝ ７ １ （ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ ＝（１－４） ２ ＋（２－４） ２ ＋（３－４） ２ ＋（４－４） ２ ＋（５－４） ２ ＋ 依题意得ｘ ＝ １＋２＋ ５ ３＋４＋５ ＝３， 又ｙ ＝１６，
２ ２ ５
（６－４） ＋（７－４） ＝２８， ｘ ｘ ｙ ｙ
ｒ １４
．
００ １４
．
００ １４
．
００ ． ．
∑ｉ＝
１
（ ｉ－ ）（ ｉ－ ）＝（－２）×（－８）＋（－１）×（－５）＋０×（－２）＋１×
∴ ＝ ２８×７ ． ０８ ＝ １９８ ． ２４ ≈ １４ ． １０ ≈０９９ ８＋２×７＝４３，
因为ｙ与ｘ的相关系数近似为 ． 所以ｙ与ｘ的线性相关 ５
程度相当大 从而可以用线性回 ０ 归 ９ 模 ９， 型拟合ｙ与ｘ的关系． ∑ｉ＝ （ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ ＝（－２） ２ ＋（－１） ２ ＋０ ２ ＋１ ２ ＋２ ２ ＝１０，
， １
５
ｂ
∑ｉ＝ ７
１
（ ｘ ｉ － ｘ ）（ ｙ ｉ － ｙ ）
１４ ．
∑ｉ＝ １ （ ｙ ｉ－ ｙ ） ２ ＝
ｎ
２０６，
（２）∵ ＾＝ ∑ｉ＝ ７
１
（ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ＝ ２８ ＝０５， 则ｒ
＝ ｎ
∑ｉ＝ １ （ ｘ ｉ － ｘ ）（
ｎ
ｙ ｉ － ｙ ）
＝
４３
＝
４３
≈
∴
∴
ａ
ｙ
＾＝
关
ｙ
于
－ ｂ ＾ ｘ
ｘ
＝
的
４ ．
线
３－
性
０ ．
回
５×
归
４＝
方
２
程
． ３ ．
为ｙ ＾＝０ ． ５ ｘ ＋２ ． ３ ．
∑ｉ＝
１
（ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ＝
１
（ ｙ ｉ － ｙ ） ２ １０×２０６ ２ ５１５
将ｘ 代入线性回归方程 得ｙ ． ． ． ． ４３ ４３ ．
＝１０ ， ＾＝０５×１０＋２３＝７３ ． ＝ ． ≈０９４７，
估算该种机械设备使用 年的失效费为 ． 万元． ２×２２７ ４５４
∴ １０ ７３ 由于 ． ． 故管理时间ｙ与土地使用面积ｘ线性相关
１９．（２０２１吉林调研测试，１８） 年是决胜全面建成小康社会 ０９４７＞０７５，
２０２０ 、 性较强．
决战脱贫攻坚之年 面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾害的考
， 由题知调查的 名村民中不愿意参与管理的女性村民
验 党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇 全党全 （２） ３００
， ， 人数为 ．
社会勠力同心真抓实干 取得了积极成效．某贫困县为了响应 ３００－（１４０＋４０＋６０）＝６０
， 该贫困县中任选一人 取到不愿意参与管理的女性村民的概
国家精准扶贫的号召 特地承包了一块土地 已知土地的使 ，
， ，
用面积ｘ与相应的管理时间ｙ的关系如下表所示 率为６０ １ Ｘ的所有可能取值为
： ＝ ， ０，１，２，３，
３００ ５
土地使用面积ｘ 单位 亩 ( ) ( )
（ ： ） １ ２ ３ ４ ５ Ｐ Ｘ ０ ４ ３ ６４ Ｐ Ｘ １ １ ４ ２ ４８
管理时间ｙ 单位 月 （ ＝０）＝Ｃ３× ＝ ， （ ＝１）＝Ｃ３× × ＝ ，
（ ： ） ８ １１ １４ ２４ ２３ ５ １２５ ５ ５ １２５
( ) ( )
并调查了某村 ３００ 名村民参与管理的意愿 ， 得到的部分数据 Ｐ （ Ｘ ＝２）＝Ｃ ２ ３× １ ２ × ４ ＝ １２ ， Ｐ （ Ｘ ＝３）＝Ｃ ３ ３× １ ３ ＝ １ ，
如下表所示 ５ ５ １２５ ５ １２５
： (
愿意参与管理 不愿意参与管理 也可以写如下形式
：
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋７ ０４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
Ｘ Ｂ
(
１
)
Ｐ Ｘ ｋ ｋ
(
１
)ｋ (
４
) ３－ ｋ
ｋ
)
（２）
遥控车开始在第
０
格为必然事件
，
所以Ｐ
０＝１，
～ ３， ， （ ＝ ）＝Ｃ３× × ， ＝０，１，２，３ 若第一次掷硬币正面朝上 则遥控车移到第一格 其概率为
５ ５ ５ ， ，
Ｘ的分布列为
１ 即Ｐ １ 遥控车移到第ｎ ｎ 格的情况有且只
Ｘ ２
， １＝
２
， （２≤ ≤１９）
０ １ ２ ３
有两种
：
Ｐ ６４ ４８ １２ １ 遥控车先移到第 ｎ 格 又掷出正面朝上 其概率为
１２５ １２５ １２５ １２５ ① （ －１） ， ，
１ Ｐ
Ｅ Ｘ ６４ ４８ １２ １ ３ ． ｎ －１；
（ ）＝０× ＋１× ＋２× ＋３× ＝ ２
１２５ １２５ １２５ １２５ ５ 遥控车先移到第 ｎ 格 又掷出反面朝上 其概率为
( ) ② （ －２） ， ，
或Ｅ Ｘ ｎｐ １ ３
（ ）＝ ＝３× ＝ １ Ｐ
５ ５ ｎ －２，
２０．（２０２１河南顶级名校联考，１９）某地的一个黄金楼盘售楼中心 ２
统计了 年 月到 月来本楼盘看楼的人数 得到如下的 所以Ｐ １ Ｐ １ Ｐ 所以Ｐ Ｐ １ Ｐ Ｐ
２０２０ １ ５ ， ｎ＝ ｎ －１＋ ｎ －２， ｎ－ ｎ －１＝－ （ ｎ －１－ ｎ －２），
相关数据．其中 ｘ 表示 月份 ｘ 表示 月份 依此 ２ ２ ２
“ ＝１” １ ，“ ＝２” ２ ，
类推 ｙ表示人数 又Ｐ Ｐ １
； ： １－ ０＝－ ，
２
ｘ
１ ２ ３ ４ ５ 所以当 ｎ 时 数列 Ｐ Ｐ 是首项为 １ 公比为
ｙ 百人 １≤ ≤１９ ， ｛ ｎ－ ｎ －１｝ － ，
（ ） ２０ ５０ １００ １５０ １８０ ２
( )ｎ
试根据表中的数据 求出ｙ关于ｘ的线性回归方程 并预 １ 的等比数列 所以Ｐ Ｐ １
（１） ， ， － ， ｎ－ ｎ －１＝ － ，
测从几月开始 来该楼盘看楼的人数能超过 ２ ２
， ３００００； 所以Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ
该楼盘为了吸引购楼者 特别推出 玩掷硬币游戏 送购 １９＝ ０＋（ １－ ０）＋（ ２－ １）＋（ ３－ ２）＋…＋（ １９－ １８）
（２） ， “ ， ( ) ( ) ( ) ( )
楼券 活动 购楼者可根据抛掷硬币的结果 操控微型遥 １ １ ２ １ ３ １ １９
” ， ， ＝ １ ＋ － ＋ － ＋ － ＋ … ＋ －
控车在方格图上行进 若遥控车最终停在 胜利大本营 ２ ２ ２ ２
， “ ”， [ ( ) ]
２０
则购楼者可获得购楼券 元 若遥控车最终停在 失 １
５ ０００ ； “ １× １－ －
败大本营 则购楼者可获得购楼券 元 已知抛掷 ２
”， ２ ０００ ， ＝ ( )
一枚均匀的硬币 出现正面 印有中国人民银行 朝上与 １
， （ ） １－ －
反面朝上的概率是相等的 方格图上标有第 格 第 ２
[ ( ) ] [ ( ) ]
， ０ 、 １ ２０ ２０
格
、
第
２
格
、……、
第
２０
格．遥控车开始在第
０
格
，
购楼者
＝
２
１－ －
１
＝
２
１－
１
，
３ ２ ３ ２
每抛掷一次硬币 遥控车向前移动一次．若正面朝上 遥
所以购楼者参与游戏一次获得购楼券 元的概率为
， ，
５ ０００
控车向前移动一格 从ｋ到ｋ 若反面朝上 遥控车向 [ ( ) ]
（ ＋１）， ， ２０
２ １ ．
前移动两格 从ｋ到ｋ 直到遥控车移到第 格 胜 １－
（ ＋２）， １９ （ ３ ２
利大本营 或第 格 失败大本营 时 游戏结束．设遥控 ２１．（２０２１北京房山一模，１８）单板滑雪Ｕ 形池比赛是冬奥会比
） ２０ （ ） ，
车移到第ｎ （１≤ ｎ ≤１９） 格的概率为Ｐ ｎ， 试证明 ｛ Ｐ ｎ－ Ｐ ｎ －１｝ 赛中的一个项目 ， 进入决赛阶段的 １２ 名运动员按照预赛成绩
是等比数列 并求购楼者参与游戏一次获得购楼券 由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行 裁判员根据运动员
， ５ ０００ ，
元的概率． 的腾空高度 完成的动作难度和效果进行评分 最终取单次
、 ，
附 线性回归方程中的斜率与截距的最小二乘估计公式 最高分作为比赛成绩．
：
ｎ 现有运动员甲 乙二人在 赛季单板滑雪Ｕ形池世界杯
ｘ ｉ ｙ ｉ － ｎｘｙ 、 ２０２１
分别为ｂ ＾＝
∑ｉ＝
１ ｎ ， ａ ＾＝ ｙ － ｂ ＾ ｘ．
分站比赛成绩如下表
：
ｘ２ｉ － ｎｘ２ 运动员甲的三次滑行成绩 运动员乙的三次滑行成绩
∑ｉ＝ 分站
１
第 次 第 次 第 次 第 次 第 次 第 次
解 析 由 题 意 知 ｘ １＋２＋３＋４＋５ ｙ １ ２ ３ １ ２ ３
（１） ＝ ＝ ３， ＝
５ 第 １ 站 ８０ ． ２０ ８６ ． ２０ ８４ ． ０３ ８０ ． １１ ８８ ． ４０ ０
２０＋５０＋１００＋１５０＋１８０ 第 站 ． ． ． ． ． ．
＝１００， ２ ９２８０ ８２１３ ８６３１ ７９３２ ８１２２ ８８６０
５ 第 站 ． ． ． ． ．
５ ３ ７９１０ ０ ８７５０ ８９１０ ７５３６ ８７１０
ｘｙ
∑ｉ＝ １ ｉ ｉ＝１×２０＋２×５０＋３×１００＋４×１５０＋５×１８０＝１９２０， 第 ４ 站 ８４ ． ０２ ８９ ． ５０ ８６ ． ７１ ７５ ． １３ ８８ ． ２０ ８１ ． ０１
５ 第 站 ． ． ． ． ． ．
∑ｉ＝
１
ｘ２ｉ
＝１
２
＋２
２
＋３
２
＋４
２
＋５
２
＝５５，
假设
５
甲 乙二
８
人
００
每
２
次比
７９
赛
３６
成绩
８
相
６０
互
０
独立
８５
．
４０ ８７０４ ８７７０
５ 、
则ｂ ＾＝ ∑ｉ ∑ ＝ ｉ １ ＝ ５ １ ｘ ｘ ｉ ｙ ２ｉ ｉ － － ５ ５ ｘ ｘ ２ ｙ ＝ １９２ ５ ０ ５ － － ５ ５ × × ３ ３ × ２ １００ ＝４２， 从而ａ ＾ ＝ ｙ － ｂ ＾ ｘ ＝ （ （ １ ２ ） ） 从 运 从 动 ５ ５ 站 站 员 中 中 乙 随 任 的 机 意 成绩 选 选 的 取 取 概 ２ １ 率 站 站 ； ， ， 用 求在 Ｘ 该 表 站 示 运 这 动 ２ 员 站 甲 中 的 甲 成 的 绩 成 高 绩 于 高
于乙的成绩的站数 求Ｘ的分布列和数学期望
１００－４２×３＝－２６， ， ；
所以所求线性回归方程为ｙ ｘ ． 假如从甲 乙二人中推荐 人参加 年北京冬奥会单
＾＝４２ －２６ （３） 、 １ ２０２２
令ｙ ｘ ｘ为正整数 所以ｘ 板滑雪Ｕ形池比赛 根据以上数据信息 你推荐谁参加
＾＝４２ －２６＞３００， ， ≥８， ， ， ？
故预计从 月份开始 来该楼盘看楼的人数能超过 ． 并说明理由．
８ ， ３００００
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第十二章 概率与统计 ７ ０５
注 ： 方差ｓ２ ＝ ｎ １ ［（ ｘ １－ ｘ ） ２ ＋（ ｘ ２－ ｘ ） ２ ＋…＋（ ｘ ｎ－ ｘ ） ２ ］， 其中ｘ为 数学期望为Ｅ （ Ｘ ）＝０× ３ ＋１× ３ ＋２× １ ＝ ４ ．
１０ ５ １０ ５
ｘ ｘ ｘ 的平均数． 由 可知
１， ２，…， ｎ （３） （１） ，
解析 本题考查古典概型的概率 随机变量的分布列 随 甲 ． ． ． ． ．
、 、 ：８６２０，９２８０，８７５０，８９５０，８６００；
机变量的期望 样本的方差 考查学生综合运用所学的概率 乙 ． ． ． ． ． ．
、 ， ：８８４０，８８６０，８９１０，８８２０，８７７０
与统计的知识分析与解决实际问题的能力 渗透数据分析的 所以甲的平均成绩为 ． 乙的平均成绩也为 ．
， ８８４， ８８４，
核心素养 试题体现应用性．
， 甲的方差为 １ ． ． ２ ． ． ２ ．
由题意可知 甲 乙二人在 站中最好的成绩依次为 ×［（８６２０－８８４０） ＋（９２ ８０－８８ ４０） ＋（８７ ５０－
（１） ， 、 ５ ５
甲 ． ． ． ． ． ． ２ ． ． ２ ． ． ２ ．
：８６２０，９２８０，８７５０，８９５０，８６００； ８８４０） ＋（８９５０－８８４０） ＋（８６００－８８４０） ］＝６３９６０，
乙 ． ． ． ． ． ．
：８８４０，８８６０，８９１０，８８２０，８７７０ 乙的方差为 １ ． ． ２ ． ． ２ ．
所以 站中随机选取 站 在该站运动员甲的成绩高于运动 ×［（８８４０－８８４０） ＋（８８ ６０－８８ ４０） ＋（８９ １０－
５ １ ， ５
员乙的成绩的概率为Ｃ １ ２ ＝ ２ ． 所 ８８ 以 ． ４０ 乙 ） ２ 的 ＋（ 成 ８８ 绩 ． ２ 更 ０－ 稳 ８８ 定 ． ４０ 故 ） ２ 推 ＋（ 荐 ８７ 乙 ． ７ 参 ０－ 加 ８８ ． ． ４０） ２ ］＝０ ． ２１２０，
由题意可得 Ｘ的 Ｃ 所 １ ５ 有可 ５ 能取值为 所以Ｐ Ｘ 解题方法 （ ）用 ， 古典概型概率公式求解；（ ）分别求出
（２） ， ０，１，２， （ ＝０） １ ２
Ｘ的所有可能取值所对应的概率，然后列出分布列并计算数
２ １ １ ２
＝ Ｃ Ｃ ３ ２ ５ ＝ １ ３ ０ ， Ｐ （ Ｘ ＝１）＝ Ｃ Ｃ ３Ｃ ２ ５ ２ ＝ ５ ３ ， Ｐ （ Ｘ ＝２）＝ Ｃ Ｃ ２ ２ ５ ＝ １ １ ０ ， 学期望；（ ３ ）计算平均数与方差，根据方差的性质进行回答．
所以Ｘ的分布列为
Ｘ
０ １ ２
Ｐ ３ ３ １
１０ ５ １０
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋
学生用书Ｐ２４２
１．（２０２１ ５·３原创题）毛绒玩具是由毛绒面料与其他纺织材料 续表
为主要面料 内部填塞各种填充物而制成的玩具 色差和色度 有效集中精
， ， ． ． ． ． ． ．
是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标之一 现抽检一批该产 力时间 分钟 ［７，７５） ［７５，８） ［８，８５） ［８５，９） ［９，９５） ［９５，１０］
， （ ）
品测得以下数据 人数
： １６０ １９０ ２００ １８０ １５０ １２０
色差Ｘ 求出第一星期这 名学生有效集中精力时间的中
２１ ２３ ２５ ２７ ２９ ３１ （１） １ ０００
色度Ｙ 位数
１５ １６ １７ ２１ ２２ ２３ ；
为了解学生们的学习有效集中精力状况 一次考试结束
由大量实验数据可知该产品的色差和色度之间满足线性相关 （２） ， ，
从全年级随机抽取 人根据有效集中精力时间的多少和
关系 且ｙ ． ｘ ｂ 现有一对测量数据为 ． 则该组 ５０
， ＾＝０２５ ＋＾， （３２，２１２５）， 成绩是否优秀列成以下列联表
数据的残差为 ：
（ ） 每周学习有效精力 每周学习有效
． ．
Ａ．０６５ Ｂ．０７５ 集中时间 小时以 精力集中时间 合计
． ． ９ ９
Ｃ．－０７５ Ｄ．０９５ 上 含 小时 小时以下
１． 答案 Ｂ （ ９ ）
总分 分以
２．（２０２１ ５·３原创题）经调查 在某市举办的马拉松比赛中 参加 ６００
， ， 上 含 分 ７ ３ １０
赛跑的青年人 中年人 老年人人数刚好构成一个公比为ｑ ｑ （ ６００ ）
、 、 （ ≠１）
的等比数列 现从中抽取了一个容量为 的样本进行调查 其中 总 分 分
６００
， １４０ ， 以下 １７ ２３ ４０
老年人人数为 则抽取的青年人有 人．
２０，
２． 答案 合计
８０ ２４ ２６ ５０
３．（２０２１ ５·３原创题）学习是一项高度复杂的脑力活动 只有大 问有没有 ％的把握认为总分 分以上和每周有效精
， ９０ ６００
脑所处的状态即大脑各部分的功能和相互间的协调达到一定 力集中时间超过 小时有关
９ ？
的
脑
水
处
平
在
，
一
学
个
习
最
才
适
能
宜
够
接
进
收
行
信
．而
息
欲达
理
到
解
高
信
质
息
量
掌
的
握
学
信
习
息
， 就
运
必
用
须
信
使大
息
附公式及表如下
：
Ｋ２
＝ ａ ｂ
ｎ
ｃ
（ ａ
ｄ
ｄ － ｂ
ａ
ｃ ）
ｃ
２
ｂ ｄ
．
、 、 、 （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
的状态 这就是通常所谓的学习状态．而有效集中精力则是衡
， Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ． ． ． ． ．
量学习质量优劣的指标之一．某科研小组通过抽样对某所学校 （ ≥ ０） ０１５ ０１０ ００５ ００２５ ００１０ ０００５ ０００１
ｋ ． ． ． ． ． ． ．
的高三 名学生的有效集中精力时间进行调查 得如下频 ０ ２０７２ ２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５ ７８７９ １０８２８
１０００ ，
数分布表
：
有效集中精 ３． 解析 因为有效集中精力时间在 ． 的频率为 １６０
． ． ． ． ． ．
力时间 分钟 ［７，７５） ［７５，８） ［８，８５） ［８５，９） ［９，９５） ［９５，１０］ （１） ［７，７５）
（ ） １０００
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋７ ０６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
的常数 哪一个适宜作为非原料总成本ｙ关于生产该疫苗
． 有效集中精力时间在 ． 的频率为 １９０ ． 有 ）
＝０１６， ［７ ５，８） ＝０１９， 的数量ｘ的回归方程类型 给出判断即可 不必说明理
１０００ ；（ ，
由
效集中精力时间在 ． 的频率为 ２００ ． ）
［８，８５） ＝０２， 根据 的判断结果及表中的数据 建立ｙ关于ｘ的回归
１０００ （２） （１） ，
ｘ 方程
所以中位数在 ． 中 设中位数为ｘ 则 ． ． －８ ；
［８，８５） ， ， ０１６＋０１９＋ ． ×
８５－８ 已知每件疫苗的原料成本为 元 若该疫苗的总成本不
（３） １０ ，
． ． 解得ｘ ． 所以中位数为 ． 小时．
０２＝０５， ＝８３７５， ８３７５ 得高于 元 请估计最多能生产多少千件疫苗．
１２３４７０ ，
（２）
Ｋ２
＝ ａ ｂ
ｎ
ｃ
（ ａ
ｄ
ｄ － ｂ
ａ
ｃ ）
ｃ
２
ｂ ｄ ＝
５０×（７×２３－３×１７） ２
≈
参考数据
：
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ） ２４×２６×４０×１０
２
故
． ４
没
２４
有
＜２ ． ７０
％
６
的
．
把握认为总分 分以上和每周有效精力集中
ｙ ｖ ∑ｉ＝ ７
１
ｘ ｉ ｙ ｉ ∑ｉ＝ ７
１
ｘ ｉ ｖ ｉ １０ ０ ． ５４
９０ ６００ ． ． ． ．
时间超过 小时有关． ６２１４ １５４ ２５３５ ５０１２ ３４７
９
４．（２０２１ ５·３原创题）新型冠状病毒疫苗是针对新型冠状病毒 ｎ
其中ｖ ｙ ｖ １ ｖ．
的疫苗．
２０２０
年
１
月
２４
日
，
中国疾控中心成功分离中国首株新 ｉ＝ｌｇ ｉ， ＝
７
∑ｉ＝
１
ｉ
型冠状病毒毒种． ３ 月 １６ 日 ２０ 时 １８ 分 ， 重组新冠疫苗获批启 参考公式 ： 对于一组数据 （ ｕ １， ｖ １），（ ｕ ２， ｖ ２），…，（ ｕ ｎ， ｖ ｎ）， 其回
动展开临床试验． 月 日 中国新冠病毒疫苗进入 期临床 归直线ｖ α βｕ的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
４ １３ ， Ⅱ ＾＝＾＋＾
试验． 月 日 国药集团旗下中国生物新冠灭活疫苗的临床 ｎ
８ ２０ ， ｕｖ － ｎｕｖ
试
签
验
署
在
协
秘
议
鲁
正
启
式
动
加 （ 入 Ⅲ
期
新 ） 冠
．
１０ 肺
月
炎 ８ 疫
日
苗 ， 实
中
施
国
计
同
划
全球
．截
疫
至
苗免疫联
年
盟
β ＾＝
∑ｉ＝
１ ｎ
ｉ ｉ
， α ＾＝ ｖ － β ＾ ｕ．
， “ ” ２０２１ ２ ｕ２ｉ － ｎｕ２
月 日 中国附条件上市的新冠疫苗已经达到 个 其中三个 ∑ｉ＝
灭活 ２５ 疫苗 ， 一个腺病毒载体疫苗． ４ ， ４． 解析 １ （１） 根据散点图判断 ， ｙ ＝ ｃ · ｄｘ 适宜作为非原料总成
，
疫苗的成本由原料成本及非原料成本组成．每批疫苗的非原料
本ｙ关于生产该疫苗的数量ｘ的回归方程类型．
总成本ｙ 元 与生产该疫苗的数量ｘ 千件 有关 经统计得到 （２） 由ｙ ＝ ｃ · ｄｘ ， 两边同时取常用对数得 ｌｇ ｙ ＝ｌｇ（ ｃ · ｄｘ ）＝ｌｇ ｃ ＋
（ ） （ ） ，
如下数据 ｘ ｌｇ ｄ ， 设 ｌｇ ｙ ＝ ｖ ， 所以ｖ ＝ｌｇ ｃ ＋ ｘ ｌｇ ｄ．
：
７
ｘ
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７
因为ｘ
＝４，
ｖ
＝１
．
５４，∑ｉ＝
ｘ２ｉ
＝１４０，
１
ｙ
６ １１ ２１ ３４ ６６ １０１ １９６ ７ ｘｖ － ｘｖ
根据以上数据
，
绘制如图所示的散点图．
所以 ｌｇ ｄ ＝
∑ｉ＝
１ ７
ｉ ｉ ７
＝ ５０
．
１２－７×４× ２ １
．
５４ ＝ ７ ＝０ ． ２５ ．
∑ｉ＝
ｘ２ｉ －
７
ｘ２ １４０－７×４ ２８
１
把 ． 代入ｖ ｃ ｘ ｄ 得 ｃ ．
（４，１５４） ＝ｌｇ ＋ ｌｇ ， ｌｇ ＝０５４，
所以ｖ ． ． ｘ ｙ ． ． ｘ
＾＝０５４＋０２５ ，∴ ｌｇ ＾＝０５４＋０２５ ，
所以ｙ ＾＝１０ ０ ． ５４＋０ ． ２５ ｘ ＝３ ． ４７×１０ ０ ． ２５ ｘ ，
即ｙ关于ｘ的回归方程为ｙ ＾＝３ ． ４７×１０ ０ ． ２５ ｘ．
设生产了ｘ千件该疫苗 生产总成本为ｇ ｘ 元 则ｇ ｘ
（３） ， （ ） ， （ ）＝
． ０ ． ２５ ｘ ｘ ． ０ ． ２５ ｘ ｘ 则ｇ ｘ 在其
３４７×１０ ＋ ×１０×１ ０００＝３ ４７×１０ ＋１０ ０００ ， （ ）
观察散点图 两个变量不具有线性相关关系 现考虑用对数函 定义域内单调递增
， ， ，
数模型ｙ ＝ ａ ＋ ｂ ｌｎ ｘ和指数函数模型ｙ ＝ ｃ · ｄｘ 分别对两个变量 且ｇ （１２）＝３ ． ４７×１０ ３ ＋１２００００＝１２３４７０，
的关系进行拟合． 故最多能生产 千件疫苗．
１２
根据散点图判断 ｙ ａ ｂ ｘ与ｙ ｃ ｄｘ ｃ ｄ均为大于零
（１） ， ＝ ＋ ｌｎ ＝ · （ ，
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋