北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
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§12.4 统计与统计案例
— 五年高考 —
考点1 抽样方法与总体分布的估计
1.(2021全国甲理,2,5分)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将
农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是 ( )
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
答案 C
2.(多选题)(2021新高考Ⅰ,9,5分)有一组样本数据x,x,…,x,由这组数据得到新样本数据
1 2 n
y,y,…,y,其中y=x+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则 ( )
1 2 n i i
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
答案 CD
3.(2020新高考Ⅰ,5,5分)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,
60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校
学生总数的比例是 ( )
A.62% B.56% C.46% D.42%
答案 C
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4.(2020课标Ⅱ,文4,理3,5分)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完
成1 200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报
名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1 600份
的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订
单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者 ( )
A.10名 B.18名
C.24名 D.32名
答案 B
5.(2020课标Ⅲ文,3,5分)设一组样本数据x,x,…,x 的方差为0.01,则数据10x,10x,…,10x 的方
1 2 n 1 2 n
差为 ( )
A.0.01 B.0.1 C.1 D.10
答案 C
6.(2020天津,4,5分)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:
[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的
零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为 ( )
A.10 B.18 C.20 D.36
答案 B
7.(2019课标Ⅱ理,5,5分)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成
绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9
个原始评分相比,不变的数字特征是 ( )
A.中位数 B.平均数
C.方差 D.极差
答案 A
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8.(多选题)(2020新高考Ⅱ,9,5分)我国新冠肺炎疫情防控进入常态化,各地有序推动复工复产,
下面是某地连续11天的复工、复产指数折线图.
根据该折线图, ( )
A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B.在这11天期间,复产指数的增量大于复工指数的增量
C.第3天至第11天,复工指数和复产指数都超过80%
D.第9天至第11天,复产指数的增量大于复工指数的增量
答案 CD
9.(2020江苏,3,5分)已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是 .
答案 2
10.(2021全国乙文,17,12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的
某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标
数据如下:
旧设备 9.8 10.310.010.2 9.9 9.8 10.010.110.2 9.7
新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x和 y,样本方差分别记为s2 和
1
s2
.
2
(1)求x,y,s2 ,s2
;
1 2
√s2+s2
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 如果y-x≥2 1 2,则
10
认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高 .
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1
解析 (1)x= ×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.
10
1
y= ×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3.
10
1
s2 = ×(0.22+0.32+02+0.22+0.12+0.22+02+0.12+0.22+0.32)=0.036.
1 10
1
s2 = ×(0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+02+0.32+0.22+0.12+0.22)=0.04.
2 10
3 15 √s2+s2 √0.036+0.04 √76 15
(2)∵y-x=10.3-10=0.3= = ,2 1 2=2 =2×√0.007 6= ,且 =
10 50 10 10 50 50
√225 √76 √s2+s2
> ,∴y-x≥2 1 2成立,∴认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显
50 50 10
著提高.
易错警示 1.要牢记数据方差的计算公式;2.注意数据计算的准确性.
11.(2020课标Ⅰ文,17,12分)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为
A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90
元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接
加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分
厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个
分厂承接加工业务?
解析 (1)由试加工产品等级的频数分布表知,
40
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 =0.4;
100
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28
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 =0.28.
100
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 65 25 -5 -75
频数 40 20 20 20
65×40+25×20-5×20-75×20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为 =15元.
100
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 70 30 0 -70
频数 28 17 34 21
70×28+30×17+0×34-70×21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为 =10元.
100
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.
12.(2019课标Ⅱ文,19,12分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了
100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
y的分组 [-0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80)
企业数 2 24 53 14 7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值
为代表).(精确到0.01)
附:√74≈8.602.
解析 (1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企
14+7
业频率为 =0.21.
100
2
产值负增长的企业频率为 =0.02.
100
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值
负增长的企业比例为2%.
1
(2)y= ×(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,
100
1 5 1
s2= ∑n(y-y)2= ×[2×(-0.40)2+24×(-0.20)2+53×02+14×0.202+7×0.402]=0.029 6,
100 i i 100
i=1
s=√0.029 6=0.02×√74≈0.17.
所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.
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方法总结 利用频数分布表求平均数估计值的方法:各组区间中点值乘该组频数,并求和,再
除以样本容量.利用频数分布表求标准差估计值的方法:用各组区间中点值代表该组,代入标
准差公式即可.
13.(2018课标Ⅰ文,19,12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和
使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
[0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7)
水量
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
[0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6)
水量
频数 1 5 13 10 16 5
(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水.(一年按365天计算,同一组中的数据以这
组数据所在区间中点的值作代表)
解析 (1)
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(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为
0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
1
x = ×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.
1 50
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
1
x = ×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.
2 50
估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).
以下为教师用书专用(1—46)
1.(2019课标Ⅰ文,6,5分)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1
000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则
下面4名学生中被抽到的是 ( )
A.8号学生 B.200号学生
C.616号学生 D.815号学生
答案 C 本题考查系统抽样;考查了数据处理能力;考查的核心素养为数据分析.
将1 000名学生分成100组,每组10人,则每组抽取的号码构成公差为10的等差数列{a},由
n
题意知a=46,则a=a+(n-5)×10=10n-4,n∈N*,易知只有C选项满足题意.故选C.
5 n 5
解题关键 明确系统抽样的方法是解决本题的关键.
2.(2015湖南文,2,5分)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.
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若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区
间[139,151]上的运动员人数是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 B 从35人中用系统抽样方法抽取7人,则可将这35人分成7组,每组5人,从每一组
中抽取1人,而成绩在[139,151]上的有4组,所以抽取4人,故选B.
3.(2015北京文,4,5分)某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查教
师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为 ( )
类别 人数
老年教师 900
中年教师 1 800
青年教师 1 600
合计 4 300
A.90 B.100 C.180 D.300
答案 C 本题考查分层抽样,根据样本中的青年教师有320人,且青年教师与老年教师人数
9
的比为1 600∶900=16∶9,可以得到样本中的老年教师的人数为 ×320=180,故选C.
16
4.(2014重庆文,3,5分)某中学有高中生3 500人,初中生1 500人.为了解学生的学习情况,用
分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为
( )
A.100 B.150 C.200 D.250
70 n
答案 A 由分层抽样的特点可知 = ,解之得n=100.
3 500 3 500+1 500
5. (2014湖南文,3,5分)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽
样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为
p,p,p,则 ( )
1 2 3
A.p=p<p B.p=p<p C.p=p<p D.p=p=p
1 2 3 2 3 1 1 3 2 1 2 3
n
答案 D 在简单随机抽样、系统抽样和分层抽样中,每个个体被抽中的概率均为 ,所以
N
p=p=p,故选D.
1 2 3
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评析 随机抽样的要求是每个个体被抽中的概率相等,与具体的方法无关.
6. (2014广东文,6,5分)为了解1 000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取
容量为40的样本,则分段的间隔为 ( )
A.50 B.40 C.25 D.20
1 000
答案 C 由系统抽样的定义知,分段间隔为 =25.故答案为C.
40
7. (2013课标Ⅰ理,3,5分)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生
中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况
有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( )
A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样 D.系统抽样
答案 C 因为男女生视力情况差异不大,而各学段学生的视力情况有较大差异,所以应按学
段分层抽样,故选C.
评析 本题考查了分层抽样,准确理解分层抽样的意义是解题关键.
8.(2013江西理,4,5分)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选
取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两
个数字,则选出来的第5个个体的编号为 ( )
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.08 B.07 C.02 D.01
答案 D 由题意知依次选取的编号为08,02,14,07,01,…(第2个02需剔除),所以选出来的第
5个个体的编号为01,选D.
9.(2013陕西理,4,5分)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将
840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为 ( )
A.11 B.12 C.13 D.14
答案 B 因为840∶42=20∶1,故编号在[481,720]内的人数为240÷20=12.
10.(2017山东文,8,5分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单
位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为 ( )
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A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7
答案 A 由茎叶图,可得甲组数据的中位数为65,从而乙组数据的中位数也是65,所以y=5.
由乙组数据59,61,67,65,78,可得乙组数据的平均值为66,
56+62+65+74+70+x
故甲组数据的平均值也为66,从而有 =66,解得x=3.故选A.
5
11.(2016山东,理3文3,5分)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如
图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),
[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的
人数是 ( )
A.56 B.60 C.120 D.140
答案 D 由频率分布直方图知这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1-
(0.02+0.10)×2.5=0.7,则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为
200×0.7=140,故选D.
12.(2016课标Ⅲ理,4,5分)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均
最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示
四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是 ( )
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A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
答案 D 由雷达图易知A、C正确;七月的平均最高气温超过20 ℃,平均最低气温约为12
℃,一月的平均最高气温约为6 ℃,平均最低气温约为2 ℃,所以七月的平均温差比一月的平
均温差大,故B正确;由雷达图知平均最高气温超过20 ℃的月份有3个月.故选D.
13.(2015课标Ⅱ理,3,5分)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万
吨)柱形图,以下结论中不正确的是 ( )
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
答案 D 由柱形图可知:A、B、C均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少,
所以排放量与年份负相关,∴D不正确.
14.(2015陕西理,2,5分)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如
图所示,则该校女教师的人数为 ( )
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A.167 B.137 C.123 D.93
答案 B 初中部女教师的人数为110×70%=77,高中部女教师的人数为150×(1-60%)=60,则
该校女教师的人数为77+60=137,故选B.
15.(2015安徽理,6,5分)若样本数据x,x,…,x 的标准差为8,则数据2x-1,2x-1,…,2x -1的标准
1 2 10 1 2 10
差为 ( )
A.8 B.15 C.16 D.32
答案 C 设样本数据x,x,…,x 的标准差为s,则s=8,可知数据2x-1,2x-1,…,2x -1的标准差
1 2 10 1 2 10
为2s=16.
16.(2014陕西文,9,5分)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x,x,…,x ,其均值和方差分别为
1 2 10
x和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别
为 ( )
A.x,s2+1002 B.x+100,s2+1002
C.x,s2 D.x+100,s2
1
答案 D 设增加工资后10位员工下月工资均值为x',方差为s'2,则x'= [(x+100)+
10 1
1 1
(x+100)+…+(x +100)]= (x+x+…+x )+100=x+100;方差s'2= [(x+100-x')2+(x+100-x')2+…
2 10 10 1 2 10 10 1 2
1
+(x +100-x')2]= [(x-x)2+(x-x)2+…+(x -x)2]=s2.故选D.
10 10 1 2 10
17. (2018课标Ⅲ文,14,5分)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较
大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、
分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是 .
答案 分层抽样
解析 本题考查抽样方法.
因为不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,所以根据三种抽样方法的特点可知最合适
的抽样方法是分层抽样.
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18.(2015福建文,13,4分)某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样
的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为 .
答案 25
45 x
解析 男生人数为900-400=500.设应抽取男生x人,则由 = 得x=25.即应抽取男生25
900 500
人.
19.(2014天津理,9,5分)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分
层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一
年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取
名学生.
答案 60
4
解析 ×300=60(名).
20
20.(2012天津理,9,5分)某地区有小学150所,中学75所,大学25所.现采用分层抽样的方法从
这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取 所学校,中学中抽
取 所学校.
答案 18;9
150
解析 应从小学中抽取 ×30=18(所).
150+75+25
75
应从中学中抽取 ×30=9(所).
150+75+25
评析 本题考查分层抽样及数据处理能力.
21.(2011江苏,6,5分)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6,则该组数据的
方差s2= .
16
答案
5
x +x +x +x +x
解析 记星期一到星期五收到的信件数分别为x,x,x,x,x,则x= 1 2 3 4 5=
1 2 3 4 5
5
10+6+8+5+6
=7.
5
1 1 16
∴s2= [(x-x)2+(x-x)2+(x-x)2+(x-x)2+(x-x)2]= [(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]= .
5 1 2 3 4 5 5 5
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评析 本题主要考查方差的公式,考查学生的运算求解能力.公式记忆准确,运算无误是解答
本题的关键,属中等难度题.
22.(2012福建文,14,4分)一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人.按男女比例用
分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员人数是
.
答案 12
56 4
解析 男女运动员人数比例为 = ,
98-56 3
分层抽样中男女人数比例不变,则女运动员人数为
3
28× =12.故应抽取女运动员人数是12.
7
评析 本题考查分层抽样方法.考查学生运算求解能力.
23.(2018江苏,3,5分)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁
判打出的分数的平均数为 .
8 9 9
9 0 1 1
答案 90
解析 本题考查茎叶图、平均数.
5位裁判打出的分数分别为89,89,90,91,91,
1
则这5位裁判打出的分数的平均数为 ×(89+89+90+91+91)=90.
5
方法总结 要明确“茎”处数字是十位数字,“叶”处数字是个位数字,正确写出所有数据,
再根据平均数的概念进行计算.
24.(2015湖北文,14,5分)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行
统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中的a= ;
(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 .
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答案 (1)3 (2)6 000
解析 (1)由频率分布直方图可知:
0.1×(0.2+0.8+1.5+2.0+2.5+a)=1,解得a=3.
(2)消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的频率为0.1×(3.0+2.0+0.8+0.2)=0.6,所以所求购物者
的人数为0.6×10 000=6 000.
25.(2014江苏文,6,5分)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周
长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木
中,有 株树木的底部周长小于100 cm.
答案 24
解析 60×(0.015+0.025)×10=24(株).
26.(2019课标Ⅱ,理13文14,5分)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车
中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,
则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .
答案 0.98
解析 本题考查离散型随机变量的均值计算;考查抽象概括能力和运算求解能力;考查的核心
素养为数学抽象和数学运算.
设经停该站高铁列车所有车次中正点率为0.97的事件为A,正点率为0.98的事件为B,正点率
10 1 20 1
为0.99的事件为C,则用频率估计概率有P(A)= = ,P(B)= = ,P(C)=
10+20+10 4 10+20+10 2
10 1 1 1
= ,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.97× +0.98×
10+20+10 4 4 2
1
+0.99× =0.98.
4
27.(2019课标Ⅱ文,19,12分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了
100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
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y的分组 [-0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80)
企业数 2 24 53 14 7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值
为代表).(精确到0.01)
附:√74≈8.602.
解析 本题考查了统计的基础知识、基本思想和方法,考查学生对频数分布表的理解与应用,
考查样本的平均数,标准差等数字特征的计算方法,以及对现实社会中实际数据的分析处理能
力.
(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率
14+7
为 =0.21.
100
2
产值负增长的企业频率为 =0.02.
100
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值
负增长的企业比例为2%.
1
(2)y= (-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,
100
1 5
s2= ∑n(y-y)2
100 i i
i=1
1
= [2×(-0.40)2+24×(-0.20)2+53×02+14×0.202+7×0.402]=0.029 6,
100
s=√0.029 6=0.02×√74≈0.17.
所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.
方法总结 利用频数分布表求平均数估计值的方法:各组区间中点值乘该组频数,并求和,再
除以样本容量.利用频数分布表求标准差估计值的方法:用各组区间中点值代表该组,代入标
准差公式即可.
28.(2018课标Ⅰ文,19,12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和
使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水
[0,0.1) [0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)
量
频数 1 3 2 4 9 26 5
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使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6)
频数 1 5 13 10 16 5
(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水.(一年按365天计算,同一组中的数据以这
组数据所在区间中点的值作代表)
解析 (1)
(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为
0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
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1
x = ×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.
1 50
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
1
x = ×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.
2 50
估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).
易错警示 利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时,应注意区分这三者,在频率分布
直方图中:
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数;
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长
方形底边中点的横坐标之和.
29.(2016四川理,16,12分)我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计
划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量
不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获
得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,
制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.
解析 (1)由频率分布直方图知,月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04,
同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,
解得a=0.30.
(2)由(1),100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
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由以上样本的频率分布,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300
000×0.12=36 000.
(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85,
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,所以2.5≤x<3.
由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.
所以,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.
思路分析 由图易知组距为0.5,再由频率之和等于1即可求出a;由图可知前6组的频率之和
为0.88>0.85,前5组的频率之和为0.73<0.85,说明x∈[2.5,3),再由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73即可求
出x.
评析 本题中求a值的关键是抓住频率之和为1,确定x在哪个区间内是解题的关键.
30.(2016北京文,17,13分)某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的
部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10
000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:
(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w
至少定为多少?
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计该市居民该月的人均
水费.
解析 (1)由用水量的频率分布直方图知,
该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频率依次为
0.1,0.15,0.2,0.25,0.15. (3分)
所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%. (5
分)
依题意,w至少定为3. (6分)
(2)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
分组 [2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,17] (17,22] (22,27]
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频率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05
(10分)
根据题意,该市居民该月的人均水费估计为:
4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5(元). (13分)
思路分析 第(1)问,需要计算该市居民月用水量在各区间上的频率,根据样本的频率分布直方
图即可获解.
第(2)问,由月用水量的频率分布直方图和w=3可计算居民该月用水费用的数据的分组与频率
分布表,由此可估计该市居民该月的人均水费.
评析 本题考查了频率分布直方图及用样本估计总体,属中档题.
31.(2015课标Ⅱ理,18,12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调
查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:
A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区: 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分
的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
A地区 B地区
4
5
6
7
8
9
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评
价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.
解析 (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:
A地区 B地区
4 6 8
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3 5 1 3 6 4
6 4 2 6 2 4 5 5
6 8 8 6 4
7 3 3 4 6 9
3
9 2 8 6 5
8 3 2 1
1
7 5 5 2 9 1 3
通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;
A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.
(2)记C 表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;
A1
C 表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;
A2
C 表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;
B1
C 表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,
B2
则C 与C 独立,C 与C 独立,C 与C 互斥,C=C C ∪C C .
A1 B1 A2 B2 B1 B2 B1 A1 B2 A2
P(C)=P(C C ∪C C )
B1 A1 B2 A2
=P(C C )+P(C C )
B1 A1 B2 A2
=P(C )P(C )+P(C )P(C ).
B1 A1 B2 A2
16 4 10 8 16 4
由所给数据得C ,C ,C ,C 发生的频率分别为 , , , ,故P(C )= ,P(C )=
A1 A2 B1 B2 20 20 20 20 A1 20 A2 20
10 8 10 16 8 4
,P(C )= ,P(C )= ,P(C)= × + × =0.48.
B1 20 B2 20 20 20 20 20
32.(2015课标Ⅱ文,18,12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调
查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方
图和B地区用户满意度评分的频数分布表.
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频 数 2 8 14 10 6
(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平
均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
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(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级:
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.
解析 (1)
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高
于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评
分比较分散.
(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
记C 表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”;C 表示事件:“B地区用户的满意度
A B
等级为不满意”.
由直方图得P(C )的估计值为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6,
A
P(C )的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25.
B
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
33.(2015广东文,17,12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),
[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.
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(1)求直方图中x的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法
抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?
解析 (1)由已知得,20×(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)=1,解得x=0.007 5.
(2)由题图可知,面积最大的矩形对应的月平均用电量区间为[220,240),所以月平均用电量的众
数的估计值为230;
因为20×(0.002+0.009 5+0.011)=0.45<0.5,
20×(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)=0.7>0.5,所以中位数在区间[220,240)内.
设中位数为m,则20×(0.002+0.009 5+0.011)+0.012 5×(m-220)=0.5,解得m=224.
所以月平均用电量的中位数为224.
(3)由题图知,月平均用电量为[220,240)的用户数为(240-220)×0.012 5×100=25,同理可得,月平
均用电量为[240,260),[260,280),[280,300]的用户数分别为15,10,5.
故用分层抽样的方式抽取11户居民,月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取11×
25
=5(户).
25+15+10+5
34.(2014课标Ⅰ文,18,12分)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质
量指标值,由测量结果得如下频数分布表:
质量指标值分
[75,85) [85,95) [95,105) [105,115)[115,125)
组
频数 6 26 38 22 8
(1)作出这些数据的频率分布直方图;
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
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(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的
产品至少要占全部产品80%”的规定?
解析 (1)
(2)质量指标值的样本平均数为
x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.
质量指标值的样本方差为
s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为
0.38+0.22+0.08=0.68.
由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产
品至少要占全部产品的80%”的规定.
评析 本题考查绘制频率分布直方图,计算样本的数字特征,及用样本估计总体等知识,同时
考查统计的思想方法.
35.(2014课标Ⅱ文,19,12分)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民.根
据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高),绘制茎叶图如下:
甲部门 乙部门
3 59
4 4 0448
97 5 122456677789
97665332110 6 011234688
98877766555554443332100 7 00113449
6655200 8 123345
632220 9 011456
10 000
(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数;
(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率;
(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.
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版》
解析 (1)由所给茎叶图知,50位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第25,26位的是
75,75,故样本中位数为75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对
66+68
乙部门的评分由小到大排序,排在第25,26位的是66,68,故样本中位数为 =67,所以该
2
市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.
5 8
(2)由所给茎叶图知,50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为 =0.1, =0.16,故
50 50
该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.
(3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数,而且由茎叶
图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差,说明该市市民对
甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大.
评析 本题考查利用茎叶图进行中位数,概率的相关计算,考查用样本的数字特征估计总体的
数字特征,运用统计与概率的知识与方法解决实际问题的能力,考查数据处理能力及应用意识.
36.(2014北京文,18,13分)从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小
时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:
组号 分组 频数
1 [0,2) 6
2 [2,4) 8
3 [4,6) 17
4 [6,8) 22
5 [8,10) 25
6 [10,12) 12
7 [12,14) 6
8 [14,16) 2
9 [16,18) 2
合计 100
(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;
(2)求频率分布直方图中的a,b的值;
25 / 66北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
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(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课
外阅读时间的平均数在第几组.(只需写出结论)
解析 (1)根据频数分布表知,100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有
10
6+2+2=10名,所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1- =0.9.
100
故从该校随机选取一名学生,估计其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.
频率 0.17
(2)课外阅读时间落在组[4,6)内的有17人,频率为0.17,所以a= = =0.085.
组距 2
频率 0.25
课外阅读时间落在组[8,10)内的有25人,频率为0.25,所以b= = =0.125.
组距 2
(3)样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组.
37.(2013课标Ⅰ文,18,12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机
地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日
平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下:
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?
(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?
1
解析 (1)设A药观测数据的平均数为x,B药观测数据的平均数为y,由观测结果可得x=
20
×(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3,
1
y= ×(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)
20
=1.6.
由以上计算结果可得x>y,因此可看出A药的疗效更好.
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(2)由观测结果可绘制如下茎叶图:
7
从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有 的叶集中在茎2,3上,而B药疗效的试验结
10
7
果有 的叶集中在茎0,1上,由此可看出A药的疗效更好.
10
评析 本题考查数据的平均数和茎叶图,考查数据的分析处理能力和应用意识.
38.(2013课标Ⅱ文,19,12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获
利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频
率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:
t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该
农产品的利润.
(1)将T表示为X的函数;
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率.
解析 (1)当X∈[100,130)时,
T=500X-300(130-X)
=800X-39 000.当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.
{800X-39 000,100≤X<130,
所以T=
65 000, 130≤X≤150.
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000
元的概率的估计值为0.7.
39.(2013安徽文,17,12分)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随
机抽样,从这两校中各抽取30名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数
据的茎叶图如下:
27 / 66北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
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(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高
三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格);
(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x 、x ,估计x -x 的值.
1 2 1 2
30
解析 (1)设甲校高三年级学生总人数为n.由题意知, =0.05,即n=600.
n
样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5,据此估计甲校高三年级此次联考数学成
5 5
绩及格率为1- = .
30 6
(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x'、x',根据样本茎叶图可知,
1 2
30(x'-x')=30x'-30x'
1 2 1 2
=(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92
=2+49-53-77+2+92
=15.
因此x'-x'=0.5.故x -x 的估计值为0.5分.
1 2 1 2
评析 本题考查随机抽样与茎叶图等统计学的基本知识,考查学生用样本估计总体的思想以
及数据分析处理能力.
40.(2017课标Ⅰ文,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min
从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的
16个零件的尺寸:
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
1 16 √ 1 16
经计算得x= ∑x=9.97,s= ∑(x -x)2
16 i=1 i 16 i=1 i
√ 1 16 √ 16
= (∑x2-16x2 )≈0.212, ∑(i-8.5)2
16 i
i=1 i=1
28 / 66北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
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16
≈18.439,∑(x-x)(i-8.5)=-2.78,其中x为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
i i
i=1
(1)求(x,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程
i
的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统
地变大或变小);
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(x-3s,x+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天
的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?
(ii)在(x-3s,x+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸
的均值与标准差.(精确到0.01)
附:样本(x,y)(i=1,2,…,n)的相关系数
i i
n
∑(x -x)(y - y)
i i
i=1
r= .
√ n √ n
∑(x -x)2 ∑(y - y)2
i i
i=1 i=1
√0.008≈0.09.
解析 本题考查统计问题中的相关系数及样本数据的均值与方差.
16
∑(x -x)(i-8.5)
i
i=1
(1)由样本数据得(x,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为r=
i √ 16 √ 16
∑(x -x)2 ∑(i-8.5)2
i
i=1 i=1
-2.78
= ≈-0.18.
0.212×√16×18.439
由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.
(2)(i)由于x=9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x-3s,x+3s)以外,
因此需对当天的生产过程进行检查.
1
(ii)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为 ×(16×9.97-9.22)=10.02,
15
这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.
16
∑x2=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,
i
i=1
剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为
1
×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,
15
29 / 66北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
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这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为√0.008≈0.09.
方法总结 样本的数字特征.
(1)样本数据的相关系数r,
n
∑(x -x)(y - y)
i i
i=1 ,
r=
√ n √ n
∑(x -x)2 ∑(y - y)2
i i
i=1 i=1
反映样本数据的相关程度,|r|越大,则相关性越强.
(2)样本数据的均值反映样本数据的平均水平;样本数据的方差反映样本数据的稳定性,方差
越小,数据越稳定;样本数据的标准差为方差的算术平方根.
41.(2017课标Ⅲ文,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4
元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售
经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如
果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确
定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450
瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
解析 本题考查概率的计算.
(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温
2+16+36
低于25的频率为 =0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值
90
为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,
若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;
若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.
所以,Y的所有可能值为900,300,-100.
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Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为
36+25+7+4
=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
90
42.(2016课标Ⅰ文,19,12分)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有
一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如
果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜
集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所
需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.
(1)若n=19,求y与x的函数解析式;
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,
分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机
器的同时应购买19个还是20个易损零件?
解析 (1)当x≤19时,y=3 800;
当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,
所以y与x的函数解析式为
{ 3 800, x≤19,
y= (x∈N). (4分)
500x-5 700, x>19
(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小
值为19. (5分)
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件
上的费用为3 800元,20台的费用为4 300元,10台的费用为4 800元,因此这100台机器在
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1
购买易损零件上所需费用的平均数为 (3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元). (7
100
分)
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上
的费用为4 000元,10台的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的
1
平均数为 (4 000×90+4 500×10)=4 050(元). (10分)
100
比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.(12分)
思路分析 先写出y与x的函数关系式(分段函数),然后分别求所需费用的平均数,通过比较
两个平均数的大小可得所求结果.
评析 本题以条形图为载体,考查了函数的综合应用,对考生用图、识图的能力进行了考查,
同时体现了数学源于生活又服务于生活的特点.
43.(2016课标Ⅱ文,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续
保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;
(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)
的估计值;
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
解析 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
60+50
由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为 =0.55,
200
故P(A)的估计值为0.55. (3分)
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.
30+30
由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为 =0.3,
200
故P(B)的估计值为0.3.(6分)
(3)由所给数据得
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保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
(10分)
调查的200名续保人的平均保费为
0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.
因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a. (12分)
评析 本题考查了频率的求解方法,同时对考生的应用意识及数据处理能力进行了巧妙的考
查,属中档题.
44.(2014湖南文,17,12分)某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽
取这两个小组往年研发新产品的结果如下:
(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),
其中a,a分别表示甲组研发成功和失败;b,b分别表示乙组研发成功和失败.
(1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品
的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平;
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率.
解析 (1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,
10 2
其平均数为x = = ;
甲 15 3
方差为s2 = 1 [ ( 1- 2) 2 ×10+ ( 0- 2) 2 ×5 ] = 2 .
甲 15 3 3 9
9 3
乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均数为x = = ;
乙 15 5
1 [ ( 3) 2 ( 3) 2 ] 6
方差为s2 = 1- ×9+ 0- ×6 = .
乙 15 5 5 25
因为x >x ,s2 <s2 ,所以甲组的研发水平优于乙组.
甲 乙 甲 乙
(2)记E={恰有一组研发成功}.
在所抽得的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),共7
7 7
个,故事件E发生的频率为 .将频率视为概率,即得所求概率为P(E)= .
15 15
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评析 本题考查样本的数字特征及用样本的频率估计概率,同时考查分析问题、解决问题及
运用统计思想的能力.
45.(2012课标文,18,12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每
枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的
函数解析式;
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,
求当天的利润不少于75元的概率.
解析 (1)当日需求量n≥17时,利润y=85.
当日需求量n<17时,利润y=10n-85.
所以y关于n的函数解析式为
{10n-85, n<17,
y= (n∈N).
85, n≥17
(2)(i)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54
1
天的日利润为85元,所以这100天的日利润的平均数为
100
(55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4.
(ii)利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为
P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.
评析 本题考查概率统计,考查运用样本频率估计总体概率及运算求解能力.
46.(2011课标文,19,12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越
好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配
方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:
A配方的频数分布表
指标值
[90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]
分组
频数 8 20 42 22 8
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B配方的频数分布表
指标值
[90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]
分组
频数 4 12 42 32 10
(1)分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率;
(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标值t的关系式为y=
{
-2, t<94,
2, 94≤t<102,
4, t≥102.
估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率,并求用B配方生产的上述100件产品平
均一件的利润.
22+8
解析 (1)由试验结果知,用A配方生产的产品中优质品的频率为 =0.3,所以用A配方生
100
产的产品的优质品率的估计值为0.3.
32+10
由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为 =0.42,所以用B配方生产的产
100
品的优质品率的估计值为0.42.
(2)由条件知,用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94,由试验结
果知,质量指标值t≥94的频率为0.96.所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估
计值为0.96.
用B配方生产的产品平均一件的利润为
1
×[4×(-2)+54×2+42×4]=2.68(元).
100
考点2 变量间的相关关系、统计案例
1.(2020课标Ⅰ,文5,理5,5分)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度
x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(x,y)(i=1,2,…,20)
i i
得到下面的散点图:
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由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的
回归方程类型的是 ( )
A.y=a+bx B.y=a+bx2 C.y=a+bex D.y=a+bln x
答案 D
2.(2017山东理,5,5分)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该
班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归
^ ^ ^ 10 10 ^
直线方程为y=bx+a.已知∑x
i
=225,∑y
i
=1 600,b=4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高
i=1 i=1
为 ( )
A.160 B.163 C.166 D.170
答案 C
3.(2021全国甲,文17,理17,12分)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二
级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统
计如下表:
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
n(ad-bc)2
附:K2= ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
解题指导 (1)根据表中数据分别计算甲、乙两台机床所生产的产品中一级品的数量,进而得
出结论;(2)根据2×2列联表中的数据计算K2,然后对照临界值表作出判断.
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解析 (1)因为甲机床生产的200件产品中有150件一级品,所以甲机床生产的产品中一级品
150 3
的频率为 = ,因为乙机床生产的200件产品中有120件一级品,所以乙机床生产的产品
200 4
120 3
中一级品的频率为 = .
200 5
n(ad-bc)2
(2)根据2×2列联表中的数据,得K2=
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
400×(150×80-120×50)2 400
= = ≈10.256,因为10.256>6.635,所以有99%的把握认为甲
270×130×200×200 39
机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
方法总结 解决独立性检验问题的一般步骤:
4.(2020课标Ⅱ,文18,理18,12分)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量
有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块
中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(x,y)(i=1,2,…,20),其中x和y
i i i i
20 20
分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得∑x=60,∑
i
i=1 i=1
20 20 20
y=1 200,∑(x-x)2=80,∑(y-y)2=9 000,∑(x-x)(y-y)=800.
i i i i i
i=1 i=1 i=1
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物
数量的平均数乘地块数);
(2)求样本(x,y)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);
i i
(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区
这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.
n
∑(x -x)(y - y)
i i
i=1
附:相关系数r= ,√2≈1.414.
√ n n
∑(x -x)2∑(y - y)2
i i
i=1 i=1
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1 20
解析 (1)由已知得样本平均数y= ∑y=60,从而该地区这种野生动物数量的估计值为
20 i
i=1
60×200=12 000.
(2)样本(x,y)(i=1,2,…,20)的相关系数
i i
20
∑(x -x)(y - y)
i=1 i i 800 2√2
r= = = ≈0.94.
√ 20 20 √80×9 000 3
∑(x -x)2∑(y - y)2
i i
i=1 i=1
(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分层抽样.
理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块
间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的方法
较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种
野生动物数量更准确的估计.
5.(2020课标Ⅲ,文18,理18,12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量
等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):
锻炼人
次 [0,200] (200,400] (400,600]
空气质量等级
1(优) 2 16 25
2(良) 5 10 12
3(轻度污染) 6 7 8
4(中度污染) 7 2 0
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表);
(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或
4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是
否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
人次≤400 人次>400
空气质量好
空气质量不好
n(ad-bc)2
附:K2= ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
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k 3.841 6.635 10.828
.
解析 (1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:
空气质量等级 1 2 3 4
概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09
1
(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 ×(100×20+300×35+500×45)=350.
100
(3)根据所给数据,可得2×2列联表:
人次 人次
≤400 >400
空气质量好 33 37
空气质量不好 22 8
100×(33×8-22×37)2
根据列联表得K2= ≈5.820.
55×45×70×30
由于5.820>3.841,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有
关.
6.(2020新高考Ⅰ,19,12分)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进
行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO 浓度(单位:μg/m3),得下表:
2
SO
2
[0,50] (50,150] (150,475]
PM2.5
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO 浓度不超过150”的概率;
2
(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:
SO
2
[0,150] (150,475]
PM2.5
[0,75]
(75,115]
(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 浓度有
2
关.
n(ad-bc)2
附:K2= ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
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解析 (1)根据抽查数据,该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75,且SO 浓度不超过150的
2
天数为32+18+6+8=64,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO 浓度不超过150的
2
64
概率的估计值为 =0.64.
100
(2)根据抽查数据,可得2×2列联表:
SO
2
[0,150] (150,475]
PM2.5
[0,75] 64 16
(75,115] 10 10
(3)根据(2)的列联表得
100×(64×10-16×10)2
K2= ≈7.484.
80×20×74×26
由于7.484>6.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 浓度有关.
2
7.(2018课标Ⅱ,文18,理18,12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:
亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.
^
根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:y=-30.4+13.5t;根
^
据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y=99+17.5t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
^
解析 (1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y
=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).
^
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=99+17.5×9=256.5(亿元).
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(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t
上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施
投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016
年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化
^
规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地
描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值
226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得
到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可.
8.(2018课标Ⅲ,文18,理18,12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项
生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成
两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成
生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高,并说明理由;
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不
超过m的工人数填入下面的列联表;
超过m 不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
n(ad-bc)2
附:K2= ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
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P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
解析 (1)第二种生产方式的效率更高.
理由如下:
①由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80
分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第
二种生产方式的效率更高.
②由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用
第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的
效率更高.
③由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二
种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更
高.
④由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于
茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,
关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,
故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务
所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.
以上给出了4种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可.
79+81
(2)由茎叶图知m= =80.
2
列联表如下:
超过m 不超过m
第一种生产方
15 5
式
第二种生产方
5 15
式
40×(15×15-5×5)2
(3)由于 K2= =10>6.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率
20×20×20×20
有差异.
思路分析 (1)根据茎叶图中的数据大致集中在哪个茎,作出判断;
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(2)通过茎叶图确定数据的中位数,按要求完成2×2列联表;
(3)根据(2)中2×2列联表,将有关数据代入公式计算得K2的值,借助临界值表作出统计推断.
方法总结 解决此类问题的步骤:
(1)审清题意:弄清题意,理顺条件和结论;
(2)找数量关系:把图形语言转化为数字,找关键数量关系;
(3)建立解决方案:找准公式,将2×2列联表中的数值代入公式计算;
(4)作出结论:依据数据,借助临界值表作出正确判断.
9.(2017课标Ⅰ文,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min
从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的
16个零件的尺寸:
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸10.26 9.91 10.1310.02 9.22 10.0410.05 9.95
1 16 √ 1 16
经计算得x= ∑x=9.97,s= ∑(x -x)2
16 i=1 i 16 i=1 i
√ 1 16 √ 16
= (∑x2-16x2 )≈0.212, ∑(i-8.5)2
16 i
i=1 i=1
16
≈18.439,∑(x-x)(i-8.5)=-2.78,其中x为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
i i
i=1
(1)求(x,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程
i
的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统
地变大或变小);
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(x-3s,x+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天
的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?
(ii)在(x-3s,x+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸
的均值与标准差.(精确到0.01)
附:样本(x,y)(i=1,2,…,n)的相关系数
i i
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n
∑(x -x)(y - y)
i i
i=1
r= .
√ n √ n
∑(x -x)2 ∑(y - y)2
i i
i=1 i=1
√0.008≈0.09.
16
∑(x -x)(i-8.5)
i
i=1
解析 (1)由样本数据得(x,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为r= =
i √ 16 √ 16
∑(x -x)2 ∑(i-8.5)2
i
i=1 i=1
-2.78
≈-0.18.由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产
0.212×√16×18.439
过程的进行而系统地变大或变小.
(2)(i)由于x=9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x-3s,x+3s)以外,
因此需对当天的生产过程进行检查.
1
(ii)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为 ×(16×9.97-9.22)=10.02,
15
这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.
16
∑x2=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,
i
i=1
剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为
1
×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值
15
为√0.008≈0.09.
方法总结 样本数据的相关系数r,
n
∑(x -x)(y - y)
i i
i=1 ,
r=
√ n √ n
∑(x -x)2 ∑(y - y)2
i i
i=1 i=1
反映样本数据的相关程度,|r|越大相关性越强.
以下为教师用书专用(1—3)
1.(2015课标Ⅰ,理19,文19,12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣
传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x
i
和年销售量y(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
i
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8 8 8 8
x y w ∑ x ∑ w ∑ x y ∑ w y
(xi- )2 (wi- )2 (xi- )(yi- ) (wi- )(yi- )
i=1 i=1 i=1 i=1
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8
1 8
表中w =√x ,w= ∑w .
i i 8 i
i=1
(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d√x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方
程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:
(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据(u,v),(u,v),…,(u,v),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别
1 1 2 2 n n
为
n
∑(u -u)(v -v)
i i
β
^
=
i=1
,α
^
=v-β
^
u.
n
∑(u -u)2
i
i=1
解析 (1)由散点图可以判断,y=c+d√x适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.
(2分)
(2)令w=√x,先建立y关于w的线性回归方程.由于
8
∑(w -w)(y - y)
^ i=1
i i 108.8
d=
8
=
1.6
=68,
∑(w -w)2
i
i=1
^ ^
c=y-d w=563-68×6.8=100.6,
^ ^
所以y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为y=100.6+68√x.
(6分)
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(3)(i)由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值
^
y=100.6+68√49=576.6,
^
年利润z的预报值z=576.6×0.2-49=66.32. (9分)
(ii)根据(2)的结果知,年利润z的预报值
^
z=0.2(100.6+68√x)-x=-x+13.6√x+20.12.
13.6
^
所以当√x= =6.8,即x=46.24时,z取得最大值.
2
故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大. (12分)
2.(2015重庆文,17,13分)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民
人民币储蓄存款(年底余额)如下表:
年份 2010 2011 2012 2013 2014
时间代号t 1 2 3 4 5
储蓄存款y(千亿
5 6 7 8 10
元)
^ ^ ^
(1)求y关于t的回归方程y=bt+a;
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.
^ ^ ^
附:回归方程y=bt+a中,
n
∑t y -nt y
i i ^
b ^ = i=1 ,a=y-b ^ t.
n
∑t2-nt2
i
i=1
解析 (1)列表计算如下:
i t y
t2
ty
i i i i i
1 1 5 1 5
2 2 6 4 12
3 3 7 9 21
4 4 8 16 32
5 5 10 25 50
∑ 15 36 55 120
1 n 15 1 n 36
这里n=5,t= ∑t= =3,y= ∑y= =7.2.
n i 5 n i 5
i=1 i=1
46 / 66北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
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n n
又l =∑t2 -nt2=55-5×32=10,l =∑ty-nt y=120-5×3×7.2=12,
tt i ty i i
i=1 i=1
从而b ^ = l ty = 12 =1.2,a ^ =y-b ^ t=7.2-1.2×3=3.6,
l 10
tt
^
故所求回归方程为y=1.2t+3.6.
^
(2)将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y=1.2×6+3.6=10.8(千亿
元).
3.(2014课标Ⅱ理,19,12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的
数据如下表:
年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收
2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
入y
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,
并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
n
∑(t -t)(y - y)
i i
b
^
=
i=1
,a
^
=y-b
^
t.
n
∑(t -t)2
i
i=1
解析 (1)由所给数据计算得
1
t= ×(1+2+3+4+5+6+7)=4,
7
1
y= ×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,
7
7
∑(t-t)2=9+4+1+0+1+4+9=28,
i
i=1
7
∑(t-t)(y-y)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
i i
i=1
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7
∑(t -t)(y - y)
^ i=1 i i 14
b= = =0.5,
7 28
∑(t -t)2
i
i=1
^ ^
a=y-bt=4.3-0.5×4=2.3,
^
所求回归方程为y=0.5t+2.3.
^
(2)由(1)知,b=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年
增加0.5千元.
^
将2015年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得y=0.5×9+2.3=6.8,
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
^
评析 本题考查了回归直线方程的求解,注意回归直线恒过点(t,y)是关键,考查了回归系数b
的几何意义.考查了学生的计算求解能力.
— 三年模拟 —
A组 考点基础题组
考点1 抽样方法与总体分布的估计
1.(2021河北唐山二模,7)劳动力调查是一项抽样调查.2021年的劳动力调查以第七次人口普
查的最新数据为基础抽取相关住户进入样本,并且采用样本轮换模式.劳动力调查的轮换是按
照“2—10—2”模式进行的,即一个住户连续2个月接受调查,在接下来的10个月中不接受
调查,然后再接受连续2个月的调查,经历四次调查之后退出样本.调查进行时保持每月进入
1
样本接受第一次调查的新住户数量相同.若从第k个月开始,每个月都有 的样本接受第一次
4
1 1 1
调查, 的样本接受第二次调查, 的样本接受第三次调查, 的样本接受第四次调查,则k的值
4 4 4
为 ( )
A.12 B.13
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C.14 D.15
答案 C
2.(2021辽宁沈阳市郊联体一模,5)构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来
努力的方向.某中学积极响应党的号召,开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动.如图所
示的是该校高三(1)(2)班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图(得分越高,
说明该项教育越好).下列说法正确的是 ( )
A.高三(2)班五项评价得分的极差为1.5
B.除体育外,高三(1)班的各项评价得分均高于高三(2)班对应的得分
C.高三(1)班五项评价得分的平均数比高三(2)班五项评价得分的平均数要高
D.各项评价得分中,这两班的体育得分相差最大
答案 C
3.(2021广东湛江一模,2)中国数学奥林匹克由中国数学会主办,是全国中学生级别最高、规模
最大、最具影响力的数学竞赛.某重点高中为参加中国数学奥林匹克做准备,对该校数学集训
队进行一次选拔赛,所得分数的茎叶图如图所示,则该集训队考试成绩的众数与中位数分别为
( )
A.85,75 B.85,76
C.74,76 D.75,77
答案 B
4.(多选题)(2021广东肇庆二模,9)某大学生暑假到工厂参加生产劳动,生产了100件产品,质检
人员测量其长度(单位:厘米),将所得数据分成6组:[90,91),[91,92),[92,93),[93,94),[94,95),[95,96],
得到如图所示的频率分布直方图,则对这100件产品,下列说法中正确的是 ( )
49 / 66北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
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A.b=0.25
B.长度落在区间[93,94)内的个数为35
C.长度的众数一定落在区间[93,94)内
D.长度的中位数一定落在区间[93,94)内
答案 ABD
5.(多选题)(2021湖南岳阳一模,9)2020年4月,在疫情防控阻击战之外,另一条战线也日渐清晰,
那就是复工复产、恢复经济正常运行.某企业对本企业1 644名职工关于复工的态度进行调
查,调查结果如图所示,则下列说法错误的是 ( )
A.x=0.348
B.从该企业中任取一名职工,该职工倾向于在家办公的概率为0.178
C.不到80名职工倾向于继续申请休假
D.倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名
答案 AC
6.(2020湖北随州调研)2020年初新冠肺炎疫情袭击全国,口罩成为重要的抗疫物资,为了确保
口罩供应,某工厂口罩生产线高速运转,工人加班加点生产,设该工厂连续5天生产的口罩数依
次为x,x,x,x,x(单位:十万只),若这组数据x,x,x,x,x
的方差为1.44,且x2 ,x2 ,x2 ,x2 ,x2
的平均数
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
为4,则该工厂这5天平均每天生产口罩 十万只.
答案 1.6
考点2 变量间的相关关系、统计案例
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1.(2021河北沧州模拟,6)在一组样本数据(x,y),(x,y),…,(x,y)(n≥2,x,x,…,x 不全相等)的散点
1 1 2 2 n n 1 2 n
1
图中,若所有样本点(x,y)(i=1,2,…,n)都在直线y= x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为
i i 2
( )
1
A.-1 B.0 C. D.1
2
答案 D
2.(2021山东临沂4月联考,5)5G网络是一种先进的高频传输技术,我国的5G技术发展迅速,
已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G手机,现调查得到该款5G手机上市
时间x和市场占有率y(单位:%)的几组相关对应数据.如图所示的折线图中,横轴1代表2019
年8月,2代表2019年9月,……,5代表2019年12月,根据数据得出y关于x的线性回归方程
^ ^
为y=0.042x+a.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势,则最早何时该款5G
手机市场占有率能超过0.5%(精确到月) ( )
A.2020年6月 B.2020年7月
C.2020年8月 D.2020年9月
答案 C
3.(2021黑龙江哈尔滨六中期末,5)下列说法:
①残差可用来判断模型拟合的效果;
^
②设有一个回归方程:y=3-5x,变量x增加一个单位时,y平均增加5个单位;
^ ^ ^
③线性回归直线:y=bx+a必过点(x,y);
④在一个2×2列联表中,由计算得K2=13.079,则有99%的把握确认这两个变量间有关系(其中
P(K2≥10.828)=0.001),
其中错误的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
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答案 B
4.(2021广州一模,14)若某商品的广告费支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)之间有如下
表所示的对应数据:
x 2 4 5 6 8
y 20 40 60 70 80
^ ^
根据表中数据,利用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为y=bx+1.5,据此预测,当投入
10万元时,销售额的估计值为 万元.
答案 106.5
5.(2021湖北武汉三月质检,20)有关研究表明,正确佩戴安全头盔,规范使用安全带能够将交通
事故死亡风险大幅降低,对保护群众生命安全具有重要作用.2020年4月,“一盔一带”安全
守护行动在全国各地开展,行动期间,公安交管部门将加强执法管理,依法查纠摩托车和电动
自行车骑乘人员不佩戴安全头盔,汽车驾乘人员不使用安全带的行为,助推养成安全习惯,该
行动开展一段时间后,某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查,在随机
调查的1 000名骑行人员中,记录其年龄和是否佩戴头盔情况,得到统计图如图所示.
(1)估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄;
(2)根据所给的数据,完成列联表:
是否佩戴
头盔 是 否
年龄
[20,40)
[40,70]
(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为佩戴安全头盔与年龄有关.
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n(ad-bc)2
附:K2= .
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.50 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
解析 (1)该市电动自行车骑乘人员平均年龄为
25×0.25+35×0.35+45×0.2+55×0.15+65×0.05=39(周岁).
(2)完成2×2列联表如下:
是否佩戴头
盔 是 否
年龄
[20,40) 540 60
[40,70] 340 60
1 000×(60×540-60×340)2 125
(3)K2= = ≈5.682<6.635.
600×400×880×120 22
故没有99%的把握认为佩戴安全头盔与年龄有关.
6.(2020福建福清“线上教学”质量检测)2019年9月24日国家统计局在庆祝中华人民共和
国成立70周年活动新闻中心举办的新闻发布会指出,1952年—2018年,我国GDP由679.1亿
元跃升至90.03万亿元,实际增长174倍;人均GDP从119元提高到6.46万元,实际增长70倍.
全国各族人民,砥砺奋进,顽强拼搏,实现了经济社会的跨越式发展.如图是全国2010年至2018
年GDP总量y(万亿元)的折线图.
注:年份代码1~9分别对应年份2010—2018.
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与年份代码t的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),并预测2021年全国GDP的总量.
附注:
9 9 √ 9 9
参考数据:∑y=582.01,y≈64.668,∑ty=3 254.80, ∑(t -t)2∑(y - y)2≈345.900.
i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
53 / 66北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
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n
∑(t -t)(y - y)
i i
i=1
参考公式:相关系数r= ;
√ n n
∑(t -t)2∑(y - y)2
i i
i=1 i=1
n
∑(t -t)(y - y)
i i
回归方程y
^
=a
^
+b
^
t中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b
^
=
i=1
,a
^
=y-
n
∑(t -t)2
i
i=1
^
bt.
1+2+3+4+5+6+7+8+9
解析 (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得t= =5,
9
9
∑(t-t)2=60,
i
i=1
9 9 9
∑(t-t)(y-y)=∑ty-t∑y=3 254.80-5×582.01=344.75,
i i i i i
i=1 i=1 i=1
344.75
所以r= ≈0.997,
345.900
因为y与t的相关系数近似为0.997,说明y与t的线性相关程度相当高,
从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
n
∑(t -t)(y - y)
(2)由已知及(1)得b
^
=
i=1
i i
=
344.75
≈5.746,则a
^
=y-b
^
t≈64.668-5.746×5≈35.94,
n 60
∑(t -t)2
i
i=1
^
所以y关于t的回归方程为y=35.94+5.75t.
将2021年对应的年份代码t=12代入回归方程,
^
得y=35.94+5.75×12=104.94,
所以预测2021年全国GDP总量为104.94万亿元.
B组 综合应用题组
时间 : 70 分钟 分值 : 100 分
一、单项选择题(每小题5分,共30分)
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1.(2021重庆二模,6)已知一组数据1,2,a,b,5,8的平均数和中位数均为4,其中a,b∈N*,在去掉其
中的一个最大数后,该组数据的 ( )
A.平均数不变 B.中位数不变
C.众数不变 D.标准差不变
答案 C
2.(2021山东德州二模,4)2021年我国推进新冠疫苗全人群免费接种,某小区年龄分布如图所
示,现用分层抽样的方法从该小区所有人中抽取60人进行抗体检测,则从40岁至50岁之间
的人群中抽取的人数为 ( )
A.18 B.24 C.5 D.9
答案 A
3.(2021河北张家口宣化一中二模,6)如果在一次试验中,测得(x,y)的四组数值分别是(1,2.2),
(2,3.3),(4,5.8),(5,6.7),则y对x的线性回归方程是 ( )
^ ^
A.y=0.15x+4.05 B.y=x+1.45
^ ^
C.y=1.05x+1.15 D.y=1.15x+1.05
答案 D
4.(2021湖北九师联盟2月联考,6)下表是关于某设备的使用年限x(单位:年)和所支出的维修
费用y(单位:万元)的统计表:
x 2 3 4 5 6
y 3.4 4.2 5.1 5.5 6.8
^ ^
由表可得线性回归方程y=0.81x+a,若规定:维修费用y不超过10万元,一旦大于10万元时,该
设备必须报废.据此模型预测,该设备使用年限的最大值约为 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
答案 D
5.(2021湖北武汉武昌1月质检,4)甲、乙、丙、丁四位同学组成的数学学习小组进行了一次
小组竞赛,共测试了5道题,每位同学各题得分情况如下表所示:
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题目
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题
学生
甲 10 10 10 20 0
乙 10 10 5 15 10
丙 10 10 15 15 10
丁 0 10 10 20 20
下列说法正确的是 ( )
A.甲的平均得分比丙的平均得分高
B.乙的得分极差比丁的得分极差大
C.对于这4位同学,因为第4题的平均得分比第2题的平均得分高,所以第4题相关知识一定
比第2题相关知识掌握好
D.对于这4位同学,第3题得分的方差比第5题得分的方差小
答案 D
6. (2020辽宁葫芦岛一模,4)某地区甲,乙,丙,丁四所高中分别有120,150,180,150名高三学
生参加某次数学调研考试,为了解学生能力水平,现制订以下两种卷面分析方案:方案①:从这
600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析;方案②:丙校参加调研考试的学生
中有30名数学培优生,从这些培优生的试卷中抽取10份进行分析,完成这两种方案宜采用的
抽样方法依次是 ( )
A.分层抽样法、系统抽样法
B.分层抽样法、简单随机抽样法
C.系统抽样法、分层抽样法
D.简单随机抽样法、分层抽样法
答案 B
二、多项选择题(每小题5分,共20分)
7. (2021重庆育才中学4月联考,10)给出下列命题,其中真命题为 ( )
A.在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,
这样的抽样是分层抽样
B.随机变量X服从正态分布N(1,σ2),P(X>1.5)=0.34,则P(0.5≤X≤1.5)=0.32
C.E(2X+1)=2E(X)+1,D(2X+1)=4D(X)+1
D.“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件
答案 BD
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8.(2021重庆一模,9)某生活超市2020年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比如下表
所示:
生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其他类
营业收入占比 48.6% 15.8% 20.1% 10.8% 4.7%
净利润占比 65.8% -4.3% 16.5% 20.2% 1.8%
该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%(营业利润率是净利润占营业收入的百分比),则
( )
A.本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区
B.本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区
C.本季度此生活超市营业利润最高的是日用品区
D.本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过50%
答案 BC
9.(2021湖南衡阳联考(一),9)5G技术的运营不仅仅提高了传输速度,更拓宽了网络资源的服务
范围,目前,我国加速了5G技术的融合与创新,前景美好!某手机商场统计了5个月的5G手机
销量,如下表所示:
2020年 2020年 2020年 2020年 2020年
月份
6月 7月 8月 9月 10月
月份编号x 1 2 3 4 5
销量y/部 52 95 a 185 227
^
若y与x线性相关,由表中数据求得线性回归方程为y=44x+10,则下列说法正确的是 ( )
A.5G手机的销量逐月增加,平均每个月增加约10部
B.a=151
C.y与x正相关
D.预计12月份该手机商场的5G手机销量约为318部
答案 BCD
10.(2020山东济宁一中质量检测,10)“科技引领,布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.
2007—2018年,某企业连续12年累计研发投入达4 100亿元,我们将研发投入与经营投入的
比值记为研发投入占营收比,这12年间的研发投入(单位:十亿元)用图中的条形图表示,研发
投入占营收比用图中的折线图表示.根据折线图和条形图,下列结论正确的有 ( )
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A.2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年研发投入占营收比增量大
B.2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年研发投入增量小
C.该企业连续12年来研发投入逐年增加
D.该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加
答案 ABC
三、填空题(每小题5分,共10分)
11.(2021广东广州一模,14)某车间为了提高工作效率,需要测试加工零件所花费的时间,为此
进行了5次试验,这5次试验的数据如下表:
零件数x(个) 10 20 30 40 50
加工时间y(min) 62 a 75 81 89
^
若用最小二乘法求得回归直线方程为y=0.67x+54.9,则a的值为 .
答案 68
12.(2021山东烟台一模,14)2021年2月25日,全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京举行,习近平
总书记庄严宣告我国脱贫攻坚战取得了全面胜利.已知在党委政府精准扶贫政策下,自2017
年起某地区贫困户第x年的年人均收入y(单位:万元)的统计数据如下表:
年份 2017 2018 2019 2020
年份编号x 1 2 3 4
年人均收入y(万元) 0.6 0.8 1.1 1.5
^ ^ ^ ^
根据表格可得线性回归方程y=bx+a中的b为0.3,据此模型预报该地区贫困户2021年的年人
均收入为 (单位:万元).
答案 1.75
四、解答题(共40分)
58 / 66北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
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13.(2021江苏南通二模,18)某班50名学生在一次数学测试中,成绩全部介于50与100之间,将
测试结果按如下方式分成五组:第一组[50,60),第二组[60,70),……,第五组[90,100].如图是按上
述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)由频率分布直方图估计50名学生数学成绩的中位数和平均数;
(2)从测试成绩在[50,60)和[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为
m,n,求事件“|m-n|>10”的概率.
解析 (1)由频率分布直方图知,成绩在[50,70)内的频率为(0.004+0.018)×10=0.22<0.5,成绩在
[50,80)内的频率为(0.004+0.018+0.04)×10=0.62>0.5,所以中位数在[70,80)内,设中位数为x,则
(0.004+0.018)×10+0.04×(x-70)=0.5,解得x=77,所以中位数是77.设平均数为x,则x
=55×0.04+65×0.18+75×0.4+85×0.32+95×0.06=76.8.
(2)由频率分布直方图知,成绩在[50,60)内的人数为50×10×0.004=2,设成绩分别为x,y;成绩在
[90,100]的人数为50×10×0.006=3,设成绩分别为a,b,c.当m,n∈[50,60)时,只有xy一种情况;当
m,n∈[90,100]时,有ab,bc,ac三种情况;当m,n分别在[50,60)和[90,100]内时,有xa,xb,xc,ya,yb,yc,
共有6种情况,所以基本事件总数为10,事件“|m-n|>10”所包含的基本事件个数为6,∴P(|m-n|
6 3
>10)= = .
10 5
14.(2020湖南炎陵一中仿真考试,18)某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和
对待企业改革态度的关系,随机抽取了30名员工进行问卷调查,其中60%的员工工作积极,经
汇总调查,这30名员工是否支持企业改革的调查得分(百分制)如茎叶图(图1)所示,调查评价
标准指出:调查得分不低于70分者为积极支持企业改革,调查得分低于70分者不太赞成企业
改革.
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图1
图2
(1)根据以上资料完成下面的2×2列联表,结合数据能否有99%的把握认为员工的工作积极性
与“是否积极支持企业改革”是有关的?
积极支持企业改革 不太赞成企业改革 总计
工作积极
工作一般
总计
(2)现将30名员工的调查得分分为如下5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],其频率分布
直方图如图2所示,这30名员工的调查数据得分的平均值可由茎叶图得到,记为x,由频率分
布直方图得到的估计值记为x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),x与x的误差值
30
在0.5以内,可由x代替x;能否由x代替x? 提示:30名员工的调查数据得分的和 ∑ x=2 288
i
i=1
(3)该企业人力资源部从90分以上的员工中任选3名员工进行座谈,则所选员工的分数超过
92分的人数的数学期望是多少?
n(ad-bc)2
附:K2= ,其中n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
0
解析 (1)2×2列联表如下:
积极支持企业改革 不太赞成企业改革 总计
工作积极 16 2 18
工作一般 4 8 12
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总计 20 10 30
30×(128-8)2
因为K2= =10>6.635,
18×12×20×10
所以有99%的把握认为员工的工作积极性与“是否积极支持企业改革”是有关的,所以可以
认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的.
(2)由茎叶图可知,各组数据的频数分别为3,7,7,8,5.
3 7 7 8 5 230
则x=55× +65× +75× +85× +95× = .
30 30 30 30 30 3
230 2 288
所以x-x= - =0.4<0.5.
3 30
因为x与x的误差值在0.5以内,所以可以由x代替x.
(3)由(2)可知,90分以上的员工共有5名,设分数超过92分的员工数为ξ,则ξ的可能取值为
1,2,3.
C1C2
3
C2C1
6
3 2 3 2
则P(ξ=1)= = ,P(ξ=2)= = ,
C3 10 C3 10
5 5
C3C0
1
P(ξ=3)= 3 2= .
C3 10
5
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
3 6 1
P
10 10 10
3 6 1
所以所选员工的分数超过92分的人数的数学期望E(ξ)=1× +2× +3× =1.8.
10 10 10
15.(2021广东珠海一模,20)为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系,
某中学数学教师对新入学的180名学生进行了跟踪调查,其中每周自主做数学题的时间不少
于12小时的有76人,统计成绩后,得到2×2列联表:
学生本学期检测数学标准分数大于或 学生本学期检测数学标准分数不 合
等于120分 足120分 计
每周自主做数学题的时间不少于
60 76
12小时
每周自主做数学题的时间不足
64
12小时
合计 180
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(1)请完成2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数
学成绩与学生自主学习时间有关”;
(2)(i)若将频率视为概率,从全校本学期检测数学标准分数大于或等于120分的学生中随机抽
取12人,求这些人中每周自主做数学题的时间不少于12小时的人数的期望;
(ii)通过调查问卷发现,从全校本学期检测数学标准分数大于或等于120分的学生中随机抽取
12人,这12人每周自主做数学题的时间的情况分三类,A类:每周自主做数学题的时间大于或
等于16小时的有4人;B类:每周自主做数学题的时间大于或等于12小时小于16小时的有5
人;C类:每周自主做数学题的时间不足12小时的有3人.若从这随机抽出的12人中再随机抽
取3人进一步了解情况,记X为抽取的这3名同学中A类人数和C类人数差的绝对值,求X的
数学期望.
n(ad-bc)2
附:参考公式:K2= ,n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
附表:
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
0
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
0
解析 (1)由题中的数据可以直接填表如下:
学生本学期检测数学标准分数大于或等于120分 学生本学期检测数学标准分数不足120分 合计
每周自主做数学题的
60 16 76
时间不少于12小时
每周自主做数学题的
40 64 104
时间不足12小时
合计 100 80 180
180×(60×64-16×40)2
∴K2= ≈29.15>10.828,
76×104×80×100
∴能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有
关”.
(2)(i)从全校本学期检测数学标准分数大于或等于120分的学生中随机抽取一人,每周自主做
60
数学题的时间不少于12小时的概率为 =0.6,设从100名学生中随机抽取12人,这些人中
100
每周自主做数学题的时间不少于12小时的人数为随机变量Y,
∴Y~B(12,0.6),∴E(Y)=12×0.6=7.2.
(ii)X的所有可能取值为0,1,2,3,
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C1C1C1+C3
7
C2C1+C2C1+C2C1+C2C1
5
3 4 5 5 4 3 3 4 5 4 5 3
P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)=
C3 22 C3 11
12 12
C1C2+C1C2
9
C3+C3
1 7 5 9 1 41
5 4 5 3 4 3
= ,P(X=3)= = ,∴E(X)=0× +1× +2× +3× = .
C3 44 C3 44 22 11 44 44 44
12 12
— 一年原创 —
1.(2021 5·3原创题)毛绒玩具是由毛绒面料与其他纺织材料为主要面料,内部填塞各种填充
物而制成的玩具,色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标之一,现抽检一批该产品测
得以下数据:
色差X 21 23 25 27 29 31
色度Y 15 16 17 21 22 23
^ ^
由大量实验数据可知该产品的色差和色度之间满足线性相关关系,且y=0.25x+b,现有一对测
量数据为(32,21.25),则该组数据的残差为 ( )
A.0.65 B.0.75
C.-0.75 D.0.95
答案 B
2.(2021 5·3原创题)经调查,在某市举办的马拉松比赛中,参加赛跑的青年人、中年人、老年
人人数刚好构成一个公比为q(q≠1)的等比数列,现从中抽取了一个容量为140的样本进行调
查,其中老年人人数为20,则抽取的青年人有 人.
答案 80
3.(2021 5·3原创题)学习是一项高度复杂的脑力活动,只有大脑所处的状态即大脑各部分的
功能和相互间的协调达到一定的水平,学习才能够进行.而欲达到高质量的学习,就必须使大
脑处在一个最适宜接收信息、理解信息、掌握信息、运用信息的状态,这就是通常所谓的学
习状态.而有效集中精力则是衡量学习质量优劣的指标之一.某科研小组通过抽样对某所学校
的高三1 000名学生的有效集中精力时间进行调查,得如下频数分布表:
有效集中精
[7,7.5) [7.5,8) [8,8.5) [8.5,9) [9,9.5) [9.5,10]
力时间(分钟)
人数 160 190 200 180 150 120
(1)求出第一星期这1 000名学生有效集中精力时间的中位数;
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(2)为了解学生们的学习有效集中精力状况,一次考试结束,从全年级随机抽取50人根据有效
集中精力时间的多少和成绩是否优秀列成以下列联表:
每周学习有效精力集中时间9小时以上(含9 每周学习有效精力集中时间9小时 合
小时) 以下 计
总分600分以上(含600
7 3 10
分)
总分600分以下 17 23 40
合计 24 26 50
问有没有90%的把握认为总分600分以上和每周有效精力集中时间超过9小时有关?
n(ad-bc)2
附公式及表如下:K2= .
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.0250.0100.005 0.001
0
k 2.0722.7063.8415.0246.6357.879 10.828
0
160
解析 (1)因为有效集中精力时间在[7,7.5)的频率为 =0.16,有效集中精力时间在[7.5,8)
1 000
190 200
的频率为 =0.19,有效集中精力时间在[8,8.5)的频率为 =0.2,
1 000 1 000
x-8
所以中位数在[8,8.5)中,设中位数为x,则0.16+0.19+ ×0.2=0.5,解得x=8.375,所以中位
8.5-8
数为8.375小时.
n(ad-bc)2 50×(7×23-3×17)2
(2)K2= = ≈2.424<2.706.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 24×26×40×10
故没有90%的把握认为总分600分以上和每周有效精力集中时间超过9小时有关.
4.(2021 5·3原创题)新型冠状病毒疫苗是针对新型冠状病毒的疫苗.2020年1月24日,中国疾
控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种.3月16日20时18分,重组新冠疫苗获批启动展
开临床试验.4月13日,中国新冠病毒疫苗进入Ⅱ期临床试验.8月20日,国药集团旗下中国生
物新冠灭活疫苗的临床试验在秘鲁启动(Ⅲ期).10月8日,中国同全球疫苗免疫联盟签署协议,
正式加入“新冠肺炎疫苗实施计划”.截至2021年2月25日,中国附条件上市的新冠疫苗已
经达到4个,其中三个灭活疫苗,一个腺病毒载体疫苗.
疫苗的成本由原料成本及非原料成本组成.每批疫苗的非原料总成本y(元)与生产该疫苗的数
量x(千件)有关,经统计得到如下数据:
x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 11 21 34 66 101 196
根据以上数据,绘制如图所示的散点图.
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观察散点图,两个变量不具有线性相关关系,现考虑用对数函数模型y=a+bln x和指数函数模
型y=c·dx分别对两个变量的关系进行拟合.
(1)根据散点图判断,y=a+bln x与y=c·dx(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为非原料总成本
y关于生产该疫苗的数量x的回归方程类型;(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中的数据,建立y关于x的回归方程;
(3)已知每件疫苗的原料成本为10元,若该疫苗的总成本不得高于123 470元,请估计最多能
生产多少千件疫苗.
参考数据:
7 7
y v ∑ xy ∑ xv 100.54
i i i i
i=1 i=1
62.14 1.54 2 535 50.12 3.47
1 n
其中v=lg y,v= ∑v.
i i 7 i
i=1
^ ^ ^
参考公式:对于一组数据(u
1
,v
1
),(u
2
,v
2
),…,(u
n
,v
n
),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘
估计公式分别为
n
∑u v -nuv
i i
β
^
=
i=1
,α
^
=v-β
^
u.
n
∑u2-nu2
i
i=1
解析 (1)根据散点图判断,y=c·dx适宜作为非原料总成本y关于生产该疫苗的数量x的回归
方程类型.
(2)由y=c·dx,两边同时取常用对数得lg y=lg(c·dx)=lg c+xlg d,设lg y=v,所以v=lg c+xlg d.
7
因为x=4,v=1.54,∑x2=140,
i
i=1
7
∑x v -7xv
i i 50.12-7×4×1.54 7
i=1
所以lg d= = = =0.25.
7 140-7×42 28
∑x2-7x2
i
i=1
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把(4,1.54)代入v=lg c+xlg d,得lg c=0.54,
^ ^
所以v=0.54+0.25x,∴lg y=0.54+0.25x,
^
所以y=100.54+0.25x=3.47×100.25x,
^
即y关于x的回归方程为y=3.47×100.25x.
(3)设生产了x千件该疫苗,生产总成本为g(x)元,则g(x)=3.47×100.25x+x×10×1
000=3.47×100.25x+10 000x,则g(x)在其定义域内单调递增,
且g(12)=3.47×103+120 000=123 470,
故最多能生产12千件疫苗.
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