文档内容
第 19 讲 统计与概率（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）
【考纲要求】
1.能根据具体的实际问题或者提供的资料，运用统计的思想收集、整理和处理一些数据，并从中发现
有价值的信息，在中考中多以图表阅读题的形式出现；
2.了解总体、个体、样本、平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差、频数、频率等概念，
并能进行有效的解答或计算；
3.能够对扇形统计图、列频数分布表、画频数分布直方图和频数折线图等几种统计图表进行具体运
用，并会根据实际情况对统计图表进行取舍；
4.在具体情境中了解概率的意义；能够运用列举法（包括列表、画树状图）求简单事件发生的概率．
能够准确区分确定事件与不确定事件；
5.加强统计与概率的联系，这方面的题型以综合题为主，将逐渐成为新课标下中考的热点问题．
【知识导图】【考点梳理】
考点一、数据的收集及整理
1.一般步骤：调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展开
调查、记录结果、得出结论．
2.调查收集数据的方法:普查与抽样调查.
要点诠释：
(1)通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的．
(2)一般地，当总体中个体数目较多，普查的工作量较大；受客观条件的限制，无法对所有个体进行普
查；或调查具有破坏性时，不允许普查,这时我们往往会用抽样调查来体现估计总体的思想.
(3)用抽签的办法决定哪些个体进入样本．统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样.
3.数据的统计:条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．
要点诠释：
这三种统计图各具特点：
条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；
折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；
扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额．
考点二.数据的分析
1.基本概念：
总体：把所要考查的对象的全体叫做总体；
个体：把组成总体的每一个考查对象叫做个体；
样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本；
样本容量：样本中包含的个体的个数叫做样本容量；
频数：在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数；
频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）称为频率；
平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；
中位数：将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数
据的中位数；
众数：在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数；
极差：一组数据中的最大值减去最小值所得的差称为极差；
方差：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差．
计算方差的公式：设一组数据是 ， 是这组数据的平均数。则这组数据的方差是：
标准差：一组数据的方差的算术平方根，叫做这组数据的标准差．
用公式可表示为：
要点诠释：
1．平均数、中位数和众数可以用来概括一组数据的集中趋势.
平均数的优点：平均数的计算过程中用到了一组数据中的每一个数，因此比中位数和众数更灵敏，反映了
更多数据的信息.
平均数的缺点：计算较麻烦，而且容易受到极端值的影响.
中位数的优点：计算简单，不容易受到极端值的影响，确定了中位数之后，可以知道小于中位数的数值和
大于中位数的数值在这组数据中各占一半.
中位数的缺点：除了中间的值以外，不能反映其他数据的信息.
众数的优点：众数很容易从直方图中获得，它可以清楚地告诉我们：在一组数据中哪个或哪些数值出现的
次数最多.
众数的缺点：不能反映众数比其他数出现的次数多多少，而且也丢失了很多其他数据的信息.
2.极差、方差是表示一组数据离散程度的指标.极差就是一组数据中的最大值减去最小值所得的差.它
可以反映一组数据的变化范围.极差的不足之处在于只和极端值相关，而方差则弥补了这一不足.方差可以
比较全面地反映一组数据相对于平均值的波动情况，只是计算比较复杂.
2.绘制频数分布直方图的步骤
①计算最大值与最小值的差；
②决定组距和组数；
③决定分点；
④画频数分布表；
⑤画出频数分布直方图．
3.加权平均数在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所得
的平均数叫做这组数据的加权平均数．
要点诠释：
在通常计算平均数的过程中，各个数据在结果中所占的份量是相等的。而实际情况有时并非如此，如
果要区分不同的数据的不同权重，就需要使用加权平均数.当我们改变一组数据中各个数值所占的权重时，
这组数据的加权平均数就有可能随之改变.
考点三、概率
1．概率的定义：一般地，如果在一次实验中，有n种可能结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含
其中m种结果，那么事件A发生的概率P(A)= .
2．概率的求法
(1)用列举法
(2)用频率来估计：事件A的概率： 一般地，在大量重复进行同一实验时，事件A发生的频率 ，总是接近
于某个常数，在它附近摆动.这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).
3.事件
必然事件:那些无需通过实验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的事件称为必然事件．
不可能事件：那些在每一次实验中都一定不会发生的事件称为不可能事件．
随机事件:无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件称为不确定事件或随机事件．
要点诠释：
①求一个事件概率的基本方法是通过大量的重复实验；
②当频率在某个常数附近摆动时，这个常数叫做事件A的概率；
③概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
④概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
⑤必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，因此0≤P(A)≤1；
⑥必然事件和不可能事件统称为确定事件．
【典型例题】
题型一、数据的统计
例1. 连云港市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际情况重新制定中考体育标准．为此，抽取了50名初中毕业的女学生进行“一分钟仰卧起坐”次数测试．测试的情况绘制成表格如下：
次数 6 12 15 18 20 25 27 30 32 35 36
人数 1 1 7 18 10 5 2 2 1 1 2
⑴求这次抽样测试数据的平均数、众数和中位数；
⑵根据这一样本数据的特点，你认为该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标准应定为多
少次较为合适？请简要说明理由；
⑶根据⑵中你认为合格的标准，试估计该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格率是多少？
【思路点拨】
本题是以统计初步知识在该市怎样定中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标
准的应用为背景，把制定体育成绩的某项合格指标转化为统计问题，求出了统计中的平均数、众数、中位
数.
【答案与解析】
⑴该组数据的平均数
众数为18，中位数为18；
⑵该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准应定为 18次较为合适，因为众数及中位数均为
18，且50人中达到18次的人数有41人，确定18次能保证大多数人达标；
⑶根据⑵的标准，估计该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格率为 82%.
【总结升华】
确定众数的方法是找该组数据中出现次数最多的数，如果有多个数出现的次数相同,那这些出现次数
相同的数都是这组数据的众数；平均数、众数、中位数及其应用，在中考试卷中它们有机地交汇于实际情
境中，考查应用意识．
【变式】某校九年级数学模拟测试中，六名学生的数学成绩如下（单位：分）：
110,106,109,111,108,110，下列关于这组数据描述正确的是（ ）
A．众数是110 B．方差是16 C．平均数是109.5 D．极差是6
【答案】A.
例2．为了了解学生关注热点新闻的情况，郑州“上合会议”期间，小明对班级同学一周内收看“上合会
议”新闻次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）．根据上述信
息，解答下列问题：（1）该班级女生人数是 人，女生收看“上合会议”新闻次数的中位数是 次，平均数是 次；
（2）对于某个性别群体，我们把一周内收看热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比
叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”．如果该班级男生对“上合会议”新闻的“关注指数”比女生低
5%，试求该班级男生人数；
（3）为进一步分析该班级男、女生收看“上合会议”新闻次数的特点，小明相比较该班级男、女生收看
“上合会议”新闻次数的离散程度，那么小明要关注的统计量是 ．
【思路点拨】
（1）将柱状图中的女生人数相加即可求得总人数，中位数为第10与11名同学的次数的平均数．
（2）先求出该班女生对“两会”新闻的“关注指数”，即可得出该班男生对“两会”新闻的“关注指
数”，再列方程解答即可．
（3）比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的离散程度，小明需要关注方差．
【答案与解析】
解：（1）20，3，3；
（2）由题意知：该班女生对新闻的“关注指数”为65%，所以，男生对新闻的“关注指数”为60%．
设该班的男生有x人．
则 =60%，
解得：x=25．
经检验x=25是原方程的解．
答：该班级男生有25人；
（3）小明相比较该班级男、女生收看“上合会议”新闻次数的离散程度，那么小明要关注的统计量是方
差．
故答案为20，3，3；方差．
【总结升华】本题考查了平均数，中位数，方差的意义.
例3．某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的
作业）．
甲、乙两人射箭成绩统计表
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲成绩 9 4 7 4 6
乙成绩 7 5 7 a 7
X
a
乙
（1） =________; =________________.
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）①观察图，可看出_____的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．参照小宇的计算方法，计算乙成绩
的方差，并验证你的判断．
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
【思路点拨】
本题考点：方差；折线统计图；算术平均数．
【答案与解析】
X
乙
（1）由题意得：甲的总成绩是：9+4+7+4+6=30，则a=30-7-7-5-7=4， =30÷5=6，故答案为：4，6；
（2）如图所示：；
（3）①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，
故答案为：乙；
1
S2
5
乙
= [（7-6）2+（5-6）2+（7-6）2+（4-6）2+（7-6）2]=1.6．
S2 S2
乙 甲
由于 ＜ ，所以上述判断正确．
②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．
【总结升华】
主要考查了方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出a的值进而利用方差的意义比较稳
定性即可．
【变式】求下列数据的方差：－2，1，4.
【答案】 .
题型二、概率的应用
例4.为了解外来务工子女就学情况，某校对七年级各班级外来务工子女的人数情况进行了统计，发现各班
级中外来务工子女的人数有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成如下两幅统计图：
（1）求该校七年级平均每个班级有多少名外来务工子女？并将该条形统计图补充完整；
（2）学校决定从只有2名外来务工子女的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的
方法，求出所选两名外来务工子女来自同一个班级的概率．【思路点拨】
（1）根据外来务工子女有4名的班级占20%，可求得有外来务工子女的总班级数，再减去其它班级数，即
可补全统计图；
（2）根据班级个数和班级人数，求出总的外来务工子女数，再除以总班级数，即可得出答案；
（3）根据（1）可知，只有2名外来务工子女的班级有2个，共4名学生，再设A ，A 来自一个班，B ，B
1 2 1 2
来自一个班，列出树状图，再根据概率公式即可得出答案．
【答案与解析】
解：（1）该校班级个数为4÷20%=20（个），
只有2名外来务工子女的班级个数为：20﹣（2+3+4+5+4）=2（个），
条形统计图补充完整如下
该校平均每班外来务工子女的人数为：
（1×2+2×2+3×3+4×4+5×5+6×4）÷20=4（个）；
（2）由（1）得只有2名外来务工子女的班级有2个，共4名学生，
设A ，A 来自一个班，B ，B 来自一个班，
1 2 1 2
画树状图如图所示；
由树状图可知，共有12种可能的情况，并且每种结果出现的可能性相等，其中来自一个班的共有4种情况，
则所选两名外来务工子女来自同一个班级的概率为： = ．【总结升华】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意
概率=符合条件的情况数与总情况数之比．
例5． “六一”儿童节前夕，我市某县“关心下一代工作委员会”决定对品学兼优的“留守儿童”进行表
彰，某校八年级8个班中只能选两个班级参加这项活动，且8(1)班必须参加，另外再从其它班级中选一个
班参加活动．8(5)班有学生建议采用如下的方法：将一个带着指针的圆形转盘分成面积相等的4个扇形，
并在每个扇形上分别标上1，2，3，4四个数字，转动转盘两次，将两次指针所指的数字相加，(当指针指
在某一条等分线上时视为无效，重新转动)和为几就选哪个班参加，你认为这种方法公平吗？请说明理由．
【思路点拨】
本例是判断游戏公平的题，它的关键是正确求出概率，而后看它们获胜的概率是否相等．
【答案与解析】
方法不公平．
用表格说明：
所以，8(2)班被选中的概率为： ，8(3)班被选中的概率为： ，8(4)班被选中的概率为： ，8(5)班被选中的概率为： ，
8(6)班被选中的概率为： ，8(7)班被选中的概率为： ，
8(8)班被选中的概率为： ，所以这种方法不公平．
【总结升华】
判断游戏是否公平的(或者奖项设置是否合理)原则是双方获胜的概率是否相等，公平的游戏机会是相
等的；这类题既可以考查同学们正确掌握求概率方法的程度，也可以考查运用概率思想和知识解决实际问
题的能力．无论是强化应用意识，还是培养综合能力，都是有价值的．
例6 .在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，如果它是黑色棋子的概
3
率是8
(1)试写出y与x的函数关系式．
1
(2)若往盒中再放进10颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为2 ，求x和y的值．
【思路点拨】
概率公式；二元一次方程组的应用．
【答案与解析】
x
3
x y
8
（1）根据题意得： =
整理，得8x=3x+3y，
5
3
∴5x=3y，∴y= x；
x10 1
x y10 2
（2）解法一：根据题意，得 = ，整理，得2x+20=x+y+10，
∴y=x+10，（8分）
∴5x=3（x+10），
∴x=15，y=25．
x 3
x y 8
x10 1
x y10 2
解法二：（2）根据题意，可得 ，
5x3y 0
y x10
整理得 ，
x15
y 25
解得 ．
【总结升华】
考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，
m
n
那么事件A的概率P（A）= ．
【变式】五·一”期间，某书城为了吸引读者，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成
12份），并规定：读者每购买100元的书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对
准红色、黄色、绿色区域，那么读者就可以分别获得45元、30元、25元的购书券，凭购书券可以在书城
继续购书．如果读者不愿意转转盘，那么可以直接获得10元的购书券．
①写出转动一次转盘获得45元购书券的概率；
②转转盘和直接获得购书券，你认为哪种方式对读者更合算？请说明理由．【答案】
① P = ；
（获得45元购书券）
② （元）.
∵15元＞10元，
∴转转盘对读者更合算．
【中考过关真题练】
一．选择题（共9小题）
1．（2022•淄博）小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二
年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数 3 4 8 5
课外书数量（本） 12 13 15 18
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A．13，15 B．14，15 C．13，18 D．15，15
【分析】利用中位数，众数的定义即可解决问题．
【解答】解：中位数为第10个和第11个的平均数 ＝15，众数为15．
故选：D．
【点评】本题考查了中位数和众数，解答本题的关键是掌握中位数和众数的概念．
2．（2022•阜新）如图，是由12个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点
取在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先设每个小等边三角的面积为x，则阴影部分的面积是6x，得出整个图形的面积是12x，再根
据几何概率的求法即可得出答案．
【解答】解：先设每个小等边三角的面积为x，
则阴影部分的面积是6x，得出整个图形的面积是12x，则这个点取在阴影部分的概率是 ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所
求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
3．（2022•徐州）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，
则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，将整个图形分割成图形中的小三角形，令小三角形的面积为a，分别表示出阴影部分的
面积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可．
【解答】解：如图所示，设每个小三角形的面积为a，
则阴影的面积为6a，正六边形的面积为18a，
∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为 ＝ ，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度
比，面积比，体积比等．
4．（2022•德州）某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，
10，则下列结论正确的是（ ）
A．众数是9 B．中位数是8.5
C．平均数是9 D．方差是1.2
【分析】根据众数、中位数、平均数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：A、∵10出现了4次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是10，故本选项不符合题意；
B、该组成绩的中位数是 ＝9，故本选项不符合题意；
C、该组成绩 ＝ （7+9+10+8+9+8+10+10+9+10）＝9，故本选项符合题意；
D、该组成绩数据的方差S2＝ [（7﹣9）2+2×（8﹣9）2+3×（9﹣9）2+4×（10﹣9）2]＝1，故本选项不
符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
5．（2022•淮安）某公司对25名营销人员4月份销售某种商品的情况统计如下：
销售量 60 50 40 35 30 20
（件）
人数 1 4 4 6 7 3
则这25名营销人员销售量的众数是（ ）
A．50 B．40 C．35 D．30
【分析】根据众数的定义求解．
【解答】解：因为销售量为30件出现的次数最多，所以这25名营销人员销售量的众数是30．
故选：D．
【点评】本题考查了确定一组数据的众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
6．（2022•阜新）为庆祝神舟十四号发射成功，学校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，本班决定从
甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：
分）及方差（单位：分2）如表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 96 98 95 98
方差 2 0.4 0.4 1.6
如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先比较平均数得到乙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到乙同学的状态稳定，于是可决
定选乙同学去参赛．
【解答】解：∵乙、丁同学的平均数比甲、丙同学的平均数大，
∴应从乙和丁同学中选，
∵乙同学的方差比丁同学的小，∴乙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是乙同学．
故选：B．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方
差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；
反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
7．（2022•巴中）若一组数据1，2，4，3，x，0的平均数是2，则众数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平均数的定义，先求出x，然后写出众数即可．
【解答】解：∵一组数据1，2，4，3，x，0的平均数是2，
∴ ，
解得x＝2，
∴这组数据的众数是2；
故选：B．
【点评】本题考查了平均数的定义，众数的定义，解题的关键是正确的求出x的值．
8．（2022•攀枝花）为深入落实“立德树人”的根本任务，坚持德、智、体、美、劳全面发展，某学校积
极推进学生综合素质评价改革，某同学在本学期德智体美劳的评价得分如图所示，则该同学五项评价得
分的众数，中位数，平均数分别为（ ）
A．8，8，8 B．7，7，7.8 C．8，8，8.6 D．8，8，8.4
【分析】利用众数、中位数及平均数的定义写出答案即可．
【解答】解：该同学五项评价得分分别为7，8，8，9，10，
出现次数最多的数是8，所以众数为8，位于中间位置的数是8，所以中位数是8，
平均数为 ＝8.4，
故选：D．
【点评】本题考查了统计的知识，解题的关键是了解众数、中位数及平均数的定义，难度不大．
9．（2022•内蒙古）下列说法正确的是（ ）
A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式
B．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
C．一个抽奖活动中，中奖概率为 ，表示抽奖20次就有1次中奖
D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为S甲 2＝0.4，S乙 2＝
2，则甲的成绩比乙的稳定
【分析】利用调查方式的选择、中位数的定义、概率的意义及方差的意义分别判断后即可确定正确的选
项．
【解答】解：A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用抽样调查的方式，故错误，不符合
题意；
B、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，故错误，不符合题意；
C、一个抽奖活动中，中奖概率为 ，抽奖20次可能有1次中奖，也可能不中奖，故错误，不符合题
意；
D、甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为S甲 2＝0.4，S乙 2＝
2，则甲的成绩比乙的稳定，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了概率公式、调查方式的选择、中位数的定义、概率的意义及方差的意义等知识，解
题的关键是了解统计的有关知识，难度不大．
二．填空题（共9小题）
10．（2022•镇江）某班40名学生体重的频数分布直方图（不完整）如图所示，组距为 5 kg．【分析】根据频数分布直方图计算即可．
【解答】解：组距为 ＝5（kg）．
故答案为：5．
【点评】本题考查了频数分布直方图，读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息时，必须认真观
察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
11．（2022•资阳）投掷一枚六个面分别标有1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子，则偶数朝上的
概率是 ．
【分析】在正方体骰子中，写有偶数的有3面，一共有6面，根据概率公式：概率＝所求情况数与总情
况数之比求解即可．
【解答】解：在正方体骰子中，朝上的数字为偶数的情况有3种，分别是：2，4，6，骰子共有6面，
∴朝上的数字为偶数的概率为： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，
有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概
率为P（A）＝ 且0≤P（A）≤1．
12．（2022•衢州）不透明袋子里装有仅颜色不同的4个白球和2个红球，从袋子中随机摸出一球，“摸出
红球”的概率是 ．
【分析】用红色球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：∵袋子中共有4+2＝6个除颜色外其它都相同的球，其中红球有2个，∴从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结
果数÷所有可能出现的结果数．
13．（2022•淮安）一组数据3、﹣2、4、1、4的平均数是 2 ．
【分析】根据平均数的定义计算即可．
【解答】解：数据3、﹣2、4、1、4的平均数是： ＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
14．（2022•朝阳）甲、乙、丙、丁四名同学参加掷实心球测试，每人掷5次，他们的平均成绩恰好相同，
方差分别是s甲 2＝0.55，s乙 2＝0.56，s丙 2＝0.52，s丁 2＝0.48，则这四名同学掷实心球的成绩最稳定的是
丁 ．
【分析】利用方差的意义可得答案．
【解答】解：∵s甲 2＝0.55，s乙 2＝0.56，s丙 2＝0.52，s丁 2＝0.48，
∴s丁 2＜s丙 2＜s甲 2＜s乙 2，
∴这四名同学掷实心球的成绩最稳定的是丁，
故答案为：丁．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程
度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
15．（2022•东营）为了落实“双减”政策，东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查，
15名同学的作业时长统计如下表，则这组数据的众数是 7 0 分钟．
作业时长（单 50 60 70 80 90
位：分钟）
人数（单位： 1 4 6 2 2
人）
【分析】根据众数的定义即可解决问题．
【解答】解：∵70分钟出现了6次，它的次数最多，
∴众数是70分钟．
故答案为：70．
【点评】本题考查了确定一组数据的众数的能力．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
16．（2022•德州）假期前，小明家设计了三种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营．妈妈将三
种方案分别写在三张相同的卡片上，小明随机抽取1张后，放回并混在一起，姐姐再随机抽取1张，则
小明和姐姐抽取的度假方案相同的概率是 ．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小明和姐姐抽取的度假方案相同的结果有3种，再由概率
公式求解即可．
【解答】解：把三种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小明和姐姐抽取的度假方案相同的结果有3种，
∴小明和姐姐抽取的度假方案相同的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两
步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（2022•攀枝花）盒子里装有除颜色外没有其他区别的2个红球和2个黑球，搅匀后从中取出1个球，
放回搅匀再取出第2个球，则两次取出的球是1红1黑的概率为 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和两次取出的球是1红1黑的结果数，再利用概率公式可得
出答案．
【解答】解：画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中两次取出的球是1红1黑的结果有8种，
∴两次取出的球是1红1黑的概率为 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
18．（2022•宁夏）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟
业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧
照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，
则两人恰好抽到同一部的概率是 ．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，再由概
率公式求解即可．
【解答】解：把影片剧照《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》的四张卡片分别记
为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，
∴甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步
或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求
情况数与总情况数之比．
三．解答题（共7小题）
19．（2022•淮安）某校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取
了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”
“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图．请解答下列问题：
（1）在这次调查中，该校一共抽样调查了 200 名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形
圆心角的度数是 7 2 °；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数．
【分析】（1）根据选择乒乓球的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，根据条形统计图中
的数据，可以计算出在扇形统计图中，“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择足球的人数，从而可以将条形统计图
补充完整；
（3）用1200乘以“篮球”项目的百分比即可．
【解答】解：（1）60÷30%＝200（名），
在扇形统计图中，“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是360°× ＝72°，
故答案为：200，72；
（2）选择足球的学生有：200﹣30﹣60﹣20﹣40＝50（人），
补全的条形统计图如图所示：（3）1200× ＝180（名），
答：估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的有180名．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形
结合的思想解答．
20．（2022•阜新）某校为提高学生的综合素质，准备开设“泥塑”“绘画”“书法”“街舞”四门校本
课程，为了解学生对这四门课程的选择情况（要求每名学生只能选择其中一门课程），学校从七年级学
生中随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据
图中信息解答下列问题：
（1）参加此次问卷调查的学生人数是 5 0 人，在扇形统计图中，选择“泥塑”的学生所对应的扇形
圆心角的度数是 64.8 ° ；
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该校七年级共有600名学生，请估计七年级学生中选择“书法”课程的约有多少人？
【分析】（1）根据“街舞”的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数；用选择“泥塑”课程的
学生数除以总人数，再乘以360°即可得出选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数；
（2）用总人数减去其它课程的人数，求出“绘画”的人数，从而补全统计图；
（3）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）参加此次问卷调查的学生人数是：7÷14%＝50；
选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数是：360°× ＝64.8°．
故答案为：50，64.8°；
（2）“绘画”的人数为：50﹣9﹣18﹣7＝16（人），
补全条形统计图如图所示．（3） （名）．
答：七年级学生中选择“书法”课程的约有216人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求
问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21．（2022•攀枝花）为提高学生阅读兴趣，培养良好阅读习惯，2021年3月31日，教育部印发了《中小
学生课外读物进校园管理办法》的通知．某学校根据通知精神，积极优化校园阅读环境，推动书香校园
建设，开展了“爱读书、读好书、善读书”主题活动，随机抽取部分学生同时进行“你最喜欢的课外读
物”（只能选一项）和“你每周课外阅读的时间”两项问卷调查，并绘制成如图 1，图2的统计图．图
1中A代表“喜欢人文类”的人数，B代表“喜欢社会类”的人数，C代表“喜欢科学类”的人数，D
代表“喜欢艺术类”的人数．已知A为56人，且对应扇形圆心角的度数为126°．请你根据以上信息解
答下列问题：
（1）在扇形统计图中，求出“喜欢科学类”的人数；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有学生3200人，估计每周课外阅读时间不低于3小时的人数．
【分析】（1）根据A的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再乘以“喜欢科学类”的人数所占
的百分比即可；
（2）先求出每周课外阅读3：4小时的人数，再补全统计图即可；
（3）用总人数乘以每周课外阅读时间不低于3小时的人数所占的百分比即可．【解答】解：（1）调查的总人数有：56÷ ＝160（人），
则“喜欢科学类”的人数有：160×（1﹣ ﹣20%﹣10%）＝56（人）；
（2）每周课外阅读3：4小时的人数有：160﹣（5+28+37+50）＝40（人），
补全统计图如下：
（3）根据题意得：
3200× ＝1800（人），
答：估计每周课外阅读时间不低于3小时的人数有1800人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要
的信息是解决问题的关键．
22．（2022•徐州）如图，下列装在相同的透明密封盒内的古钱币，其密封盒上分别标有古钱币的尺寸及
质量，例如：钱币“文星高照”密封盒上所标“45.4*2.8mm，24.4g”是指该枚古钱币的直径为
45.4mm，厚度为2.8mm，质量为24.4g．已知这些古钱币的材质相同．
根据图中信息，解决下列问题．
（1）这5枚古钱币，所标直径的平均数是 45.7 4 mm，所标厚度的众数是 2. 3 mm，所标质量的
中位数是 21. 7 g；（2）由于古钱币无法从密封盒内取出，为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错，桐桐用电子秤测
得每枚古钱币与其密封盒的总质量如下：
名称 文星高照 状元及第 鹿鹤同春 顺风大吉 连中三元
总质量/g 58.7 58.1 55.2 54.3 55.8
盒标质量 24.4 24.0 13.0 20.0 21.7
盒子质量 34.3 34.1 42.2 34.3 34.1
请你应用所学的统计知识，判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大，并计算该枚古钱币的实际
质量约为多少克．
【分析】（1）用每一组的中间值作为该组的平均值，利用平均数的计算公式计算平均数；
（2）“鹿鹤同春”密封盒的质量异常，故“鹿鹤同春”的质量与实际质量差异较大，先其余四个盒子
的质量的平均数，进而得出“鹿鹤同春”的实际质量．
【解答】解：（1）这5枚古钱币，所标直径的平均数是： （45.4+48.1+45.1+44.6+45.5）＝45.74
（mm），
这5枚古币的厚度分别为：2.8mm，2.4mm，2.3mm，2.1mm，2.3mm，
其中2.3mm出现了2次，出现的次数最多，
∴这5枚古钱币的厚度的众数为2.3mm，
将这5枚古钱币的质量从小到大的顺序排列为：13.0g，20.0g，21.7g，24.0g，24.4g，
∴这5枚古钱币的质量的中位数为21.7g；
故答案为：45.74；2.3；21.7；
（2）“鹿鹤同春”密封盒的质量异常，故“鹿鹤同春”的质量与实际质量差异较大，
其余四个盒子的质量的平均数为： ＝34.2（g），
55.2﹣34.2＝21.0（g），
答：“鹿鹤同春”的实际质量约为21.0克．
【点评】本题考查了平均数、众数、中位数的意义和计算方法，掌握相关定义是解答本题的关键．
23．（2022•德州）某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，分别为 A：手抄报；B：
演讲；C：社区宣传；D：知识竞赛，为了解全校学生最喜欢的活动（每人必选一项）的情况，随机调
查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 10 0 名学生；（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，D类活动对应扇形的圆心角为多少度？
（4）若该校有1500名学生，估计该校最喜欢C类活动的学生有多少？
【分析】（1）由A的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）根据四个活动人数之和等于总人数可得C人数，从而补全图形；
（3）360°乘以样本中D人数所占百分比即可；
（4）用1500乘以C类活动的百分比即可．
【解答】解：（1）本次共调查的学生有20÷20%＝100（名）；
故答案为：100；
（2）C对应人数为100﹣（20+10+30）＝40（名），
补全条形图如下：
（3）360°× ×100%＝108°，
∴D类活动对应扇形的圆心角为108度；
（4）1500× ＝600（名），
答：估计该校最喜欢C类活动的学生有600名．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的
关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
24．（2022•淮安）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、
2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下
数字．（1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，再利用概率公式可
得出答案．
【解答】解：（1）∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，数字2为偶数，
∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 ．
故答案为： ．
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有：（1，1），（1，3），（3，
1），（3，3），共4种，
∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为 ．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
25．（2022•内蒙古）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）；
（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为 x，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小
球，将小球上的数字记为y．请用列表或画树状图法，求由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的
图象上的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得结果．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的图象上的结果数，
再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）∵口袋中共有4个小球，且小球上数字是奇数的有2个，
∴摸出小球上的数字是奇数的概率为 ＝ ．（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中点在函数y＝﹣x+4的图象上的有（1，3），（3，1），共2种，
∴由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的图象上的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查列表法与树状图法、一次函数图象上点的坐标特征、概率公式，熟练掌握列表法与树
状图法以及概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率＝ ．
【中考挑战满分模拟练】
一．选择题（共7小题）
1．（2023•武汉模拟）“守株待兔”这个事件是（ ）
A．随机事件 B．确定性事件 C．必然事件 D．不可能事件
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：“守株待兔”这个事件是随机事件．
故选：A．
【点评】本题考查的是随机事件、必然事件、不可能事件的概念．确定事件包括必然事件和不可能事件．
必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定
事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（2023•邢台一模）下列说法正确的是（ ）
A．“将三条线段首尾顺次相接可以组成三角形”是必然事件
B．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨
C．数据4，5，5，4，3中没有众数
D．若A，B两组数据的平均数相同，s 2＝0.01，s 2＝1，则A组数据较稳定
A B
【分析】根据随机事件、可能性大小、众数的概念及方差的意义求解即可．【解答】解：A．“将三条线段首尾顺次相接可以组成三角形”是随机事件，此选项错误；
B．如果明天降水的概率是50%，那么明天降雨的可能性有一半，此选项错误；
C．数据4，5，5，4，3中众数是4和5，此选项错误；
D．若A，B两组数据的平均数相同，s 2＝0.01，s 2＝1，则A组数据较稳定，此选项正确；
A B
故选：D．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握据随机事件、可能性大小、众数的概念及方差的意
义．
3．（2023•瑶海区校级模拟）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S ，S ，S 中
1 2 3
的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A． B． C． D．0
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，再由概率公式求
解即可．
【解答】解：把开关S ，S ，S 分别记为A、B、C，
1 2 3
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为 ．
故选：A．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于
两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
4．（2023•石家庄模拟）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．抛一枚硬币，出现正面的概率
C．任意写一个整数，它能被3整除的概率
D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为
0.33者即为正确答案．
【解答】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为 ，故此选项不符合题意；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为 ，故此选项不符合题意；
C、任意写一个整数，它能被3整除的概率为 ，故此选项符合题意；
D、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率为 ，故此选项不
符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝
所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
5．（2023•海口一模）对于一组数据﹣1，﹣1，4，2，下列结论不正确的是（ ）
A．平均数是 1 B．众数是﹣1
C．中位数是 0.5 D．方差是 3.5
【分析】将数据重新排列，再根据平均数、众数、中位数及方差的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为﹣1，﹣1，2，4，
所以这组数据的平均数为 ＝1，中位数为 ＝0.5，众数为﹣1，方差为 ×[2×（﹣1﹣1）2+（2﹣1）2+（4﹣1）2]＝4.5，
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数及方差的定义．
6．（2023•武汉模拟）根据频率估计概率原理，可以用随机摸拟的方法对圆周率 进行估计．用计算机随
机产生m个有序数对（x，y）（0≤x≤1，0≤y≤1），它们对应的点全部在平面π直角坐标系中某一个正
方形的边界及其内部．若统计出这些点中到原点的距离小于或等于 1的点有n个，则可估计 的值是（
） π
A． B． C． D．
【分析】根据落在扇形内的点的个数与正方形内点的个数之比等于两者的面积之比列 ＝ ，可得
答案．
【解答】解：根据题意，点的分布如图所示：
则有 ＝ ，
∴ ＝ ，
故π选：D．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频
率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（2023•深圳模拟）人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色
体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为
女孩的概率是（ ）A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种，
∴该小孩为女孩的概率为 ＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查了树状图法求概率以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
8．（2023•三江县校级一模）已知两组数据，A组为1，2，3，4，5；B组为0，3，3，3，6，则数据波动
较大的是 B 组．
【分析】先计算平均数，再计算方差，然后比较数据的波动情况即可．
【解答】解：A组数据的平均数： ×（1+2+3+4+5）＝3，
方差： ×[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2，
B组数据的平均数： ×（0+3+3+3+6）＝3，
方差： [（0﹣3）2+3×（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝3.6，方差越大的数据越不稳定，由于3.6＞2，
所以数据波动较大的是B组．
故答案为：B．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．
方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性
越好．
9．（2023•市南区一模）一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分．
各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%，演讲能力占40%、演讲效果占10%，计算选手的综
合成绩（百分制）．进入决赛的前两名选手的单项成绩如表所示：
选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果
小明 90 80 90
小红 80 90 90
则获得第一名的选手为 小明 ．
【分析】利用加权平均数的定义计算出两人选手的综合成绩，从而得出答案．
【解答】解：小明的综合成绩为：90×50+80×40%+90×10%＝86（分），
小红的综合成绩为：80×50+90×40%+90×10%＝85（分），
86＞85，
∴获得第一名的选手为小明．
故答案为：小明．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
10．（2023•青岛一模）2021年6月17日，中国第7艘载人航天飞船“神舟12号”圆满发射成功，激励更
多的年轻人投身航天事业．现有甲、乙两名学员要进行招飞前的考核，按照4：3：2：1的比例确定成
绩，甲、乙两人成绩（百分制）如表：
候选人 心理素质 身体素质 科学头脑 应变能力
甲 86 85 88 90
乙 90 82 81 90
选择1名学员，最后应选 甲 ．
【分析】根据题意和表格中的数据可以分别求得甲乙甲乙两名航天员的成绩，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意和图表可得，
甲的成绩为： ＝86.5，乙的成绩为： ＝85.8，
∵86.5＞85.8，
∴应选甲，
故答案为：甲．
【点评】此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，关键是根据公式求出甲、乙
的最终得分．
11．（2023•深圳模拟）一个不透明的袋子里装有红、白两种颜色的球共 20个，每个球除颜色外都相同，
每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将
实验后的数据整理成如表：
摸球次数 50 100 200 500 800 1000
摸到红球的 11 27 50 124 201 249
频数
摸到红球的 0.220 0.270 0.250 0.248 0.251 0.249
频率
估计袋中红球的个数是 5 ．
【分析】大量重复试验频率稳定到的常数即可得到概率的估计值；用求得的摸到红球的概率乘以球的总
个数即可求得红球的个数
【解答】解：观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定到常数0.25附近，
故“摸到红球”的概率的估计值是0.25．
20×0.25＝5（个）．
答：口袋中约有红球5个．
故答案为：5．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳
定在概率附近．
12．（2023•丰台区校级模拟）某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如下：
种子个数 100 200 300 400 500 800 1100 1400 1700 2000
发芽种子个数 94 187 282 337 436 718 994 1254 1531 1797
发芽种子频率 0.940 0.935 0.940 0.843 0.872 0.898 0.904 0.896 0.901 0.899
根据试验数据，估计1000kg该种作物种子能发芽的有 90 0 kg．
【分析】大量重复试验下“发芽种子”的频率可以估计“发芽种子”的概率，据此求解．
【解答】解：观察表格发现随着实验次数的增多频率逐渐稳定在0.9附近，
故“发芽种子”的概率估计值为0.9，所以1000kg该种作物种子能发芽的有1000×0.9＝900kg．
故答案为：900．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率
能估计概率．
13．（2023•丰台区校级模拟）如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成 12个相同的小扇形．
若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是 ，则涂上红色的小扇形有
4 个．
【分析】先根据题意得出指针指向红色的概率是 ，再根据有12个等分区，结合概率公式即可求出答
案．
【解答】解：12× ＝4（个）．
故涂上红色的小扇形有4个．
故答案为：4．
【点评】此题考查了概率公式，掌握概率公式的求法即概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键，
是一道常考题型．
14．（2023•武汉模拟）甲、乙、丙三位同学把自己的数学课本放在一起，每人从中随机抽取一本（不放
回），三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是 ．
【分析】采用画树状图法求求出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即
可．
【解答】解：画树状图如下：总共有6种等可能的结果，其中三位同学抽到的课本都是自己课本只有1种情况，
∴三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了树状图或列表法求概率，熟练掌握画树状图的方法是解题的关键，列表法可以不重
复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，
注意不放回．
三．解答题（共5小题）
15．（2023•雁塔区一模）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 m 0.25 0.2 0.1
说明：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
（1）已知第三类电影获得好评的有45部，则m＝ 0.1 5 ；
（2）如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是第四类电影中的好评电影的概
率；
（3）根据前期调查反馈：第一类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1，第二类电
影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1．现有一部第一类的A电影和一部第二类的B
电影将同时在某影院上映．A电影的票价为45元，B电影的票价为40元，该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，公司要求排片经理将这两部电影安排在最大放映厅放映，且两部电影每天都要有排片．
现有3个场次可供排片，仅从该放映厅的票房收入最高考虑，排片经理应如何分配 A、B两部电影的场
次，以使得当天的票房收入最高？
【分析】（1）根据图标直接求值即可；
（2）先求出总数和获得好评的第四类电影数，再根据概率公式即可求出答案；
（3）求得A，B电影上座率和排一场A，B电影的收入，即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可知， ，
故答案为：0.15；
（2）∵总的电影部数是：140+50+300+200+800+510＝2000（部），
第四类电影中获得好评的有200×0.25＝50（部），
∴P（这部电影是获得好评的第四类电影）＝ ，
（3）A电影上座率＝0.4×1.5+0.1＝0.7，
B电影上座率＝0.2×1.5+0.1＝0.4，
排一场A电影收入＝0.7×1000×45＝31500（元），
排一场B电影收入＝0.4×1000×40＝16000（元），
由于有3个场次可供排片，为使当天的票房收入最高，应安排A电影两个场次B电影一个场次．
【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；读懂图表，从图
表中找到必要的数据是解题的关键．
16．（2023•澄迈县一模）某校在“爱心捐款”活动中，同学们都献出了自己的爱心，他们的捐款额有5元、
10元、15元、20元四种情况，根据随机抽样统计数据绘制了图1和图2两幅尚不完整的统计图．请你
根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽样的学生人数是 5 0 ，捐款金额的中位数是 1 5 ；
（2）捐款10元的人数是 1 8 ．
（3）该校学生总人数为1000人，请估计该校一共捐款多少元？【分析】（1）根据捐款20元的人数和占比求出总人数，再算出捐款10元的人数，排列之后得到中位
数；
（2）用总人数减去其它组的人数即可求解；
（3）先算出1000人中，捐款5元、10元、15元、20元各自的人数，再算出总捐款额．
【解答】解：（1）10÷20%＝50（人），
捐款10元的人数是50﹣6﹣16﹣10＝18（人），
所有数据排列之后得到中位数是15．
故答案为：50，15；
（2）捐款10元的人数是50﹣6﹣16﹣10＝18（人），．
故答案为：18；
（3）捐款5元的人数是 （人），
捐款10元的人数是 （人），
捐款15元的人数是 （人），
捐款20元的人数是 （人），
一共捐款120×5+360×10+320×15+200×20＝13000（元）．
【点评】本题考查条形统计图，解题的关键是掌握统计图的特点和用样本估计总体的方法．
17．（2023•雁塔区校级模拟）为传播数学文化，激发学生学习兴趣，某校七年级准备开展“挑战数学游
戏”比赛．七年级1班现有7位学生报名参加比赛，其中有3位男生分别记为A ，A ，A ，有4位女生
1 2 3
分别记为B ，B ，B ，B ．
1 2 3 4
（1）若从这7位学生中随机抽取1位学生，则抽到的学生为女生的概率是 ；
（2）若先从男生中随机抽取1位，再从女生中随机抽取1位，请用“画树状图”或“列表”的方法，求抽得的2位学生中至少有1位是A 或B 的概率．
1 1
【分析】（1）直接求概率的公式计算即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，这7位学生中随机抽取1位学生，则抽到的学生为女生的概率是 ，
故答案为： ；
（2）列表如下：
总共有12种等可能的结果，抽得的2位学生中至少有1位是A 或B 的有6种，
1 1
∴抽得的2位学生中至少有1位是A 或B 的概率为 ．
1 1
【点评】本题考查了树状图或列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于
两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
18．（2023•龙华区一模）青少年沉迷于手机游戏，严重危害他们的身心健康，此问题已引起社会各界的
高度关注，有关部门在全国范围内对12﹣35岁的“王者荣耀”玩家进行了简单的随机抽样调查，绘制
出以下两幅统计图．请根据图中的信息，回答下列问题：
全国12—35岁的网络瘾人群分布条形统计图
全国12—35岁的网络瘾人群分布扇形统计图
（1）这次抽样调查中共调查了 150 0 人；请补全上面的条形统计图；（2）扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角的度数是 10 8 度；
（3）据报道，目前我国12﹣35岁“王者荣耀”玩家的人数约为2000万人，请估计其中12﹣23岁的青
少年人数为 100 0 万人．
【分析】（1）根据30﹣35岁的人数除以所占的百分比，可得调查的人数；
（2）根据18﹣23岁的人数除以抽查的人数乘以360°，可得答案；
（3）根据总人数乘以12﹣23岁的人数所占的百分比，可得答案．
【解答】解：（1）这次抽样调查中调查的总人数为：330÷22%＝1500（人）；
12﹣35岁“王者荣耀”玩家的人数：1500﹣450﹣420﹣330＝300（人），
故答案为：1500；
（2）扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角的度数是360°× ＝108°，
故答案为：108；
（3）根据题意得：
2000× ＝1000（万人），
即其中12﹣23岁的人数有1000万人．
故答案为：1000．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要
的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总
体的百分比大小．
19．（2023•武汉模拟）一个不透明的布袋中装有1个红球，1个黑球和若干个白球，它们除颜色外其余都
相同．从中任意摸出1个球是白球的概率为 ．
（1）直接写出布袋中白球的个数；
（2）从布袋中先摸出一个球后放回，再摸出一个球，请用列表或画树状图法求两次摸到的球都是白球
的概率．
【分析】（1）先求出布袋里球的总个数，继而得出答案；
（2）先画树状图展示所有12种等可能结果，再找出两次摸到的球都是白球的结果数，然后根据概率公
式计算．
【解答】解：（1）∵布袋里球的总个数为（1+1）÷（1﹣ ）＝4，
∴布袋里红球的个数为4﹣1﹣1＝2；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中两次摸到的球都是白球的结果数为2，
所以两次摸到的球都是白球的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．掌握概率公
式：概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
【名校自招练】
一．填空题（共10小题）
1．（2022•南岸区自主招生）现有四张背面完全相同、正面分别写着数字﹣1，0，4，5的不透明卡片．把
卡片背面朝上洗匀，随机抽取一张，记下数字后放回．再次背面朝上洗匀，随机抽取一张．将两次抽取
的数字分别记为m和n，则 的值为整数的概率是 ．
【分析】随机抽取一张，记下数字后放回．再次背面朝上洗匀，随机抽取一张，总共有 4×4＝16种结果，
再求出满足 的值为整数的结果数，即可求出答案．
【解答】解：∵随机抽取一张，记下数字后放回．再次背面朝上洗匀，随机抽取一张，
∴总共有4×4＝16种结果，
满足 的值为整数的有m＝﹣1，n＝5；m＝﹣1，n＝﹣1；m＝0，n＝0；m＝4，n＝4；m＝5，n＝
5；m＝5，n＝﹣1共6种结果，
∴ 的值为整数的概率是 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了概率公式，正确求出总的事件的个数和符合条件的事件的个数是关键．
2．（2022•巴南区自主招生）现有四张正面分别标有数字﹣2，﹣1，1，3的卡片，它们除数字不同外，其
余完全相同，将卡片背面朝上洗匀后，从中随机同时取出两张，则取出的卡片上的数字之和为负数的概
率为 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下
﹣2 ﹣1 1 3
﹣2 ﹣3 ﹣1 1
﹣1 ﹣3 0 21 ﹣1 0 4
3 1 2 4
由表知，共有12种等可能结果，其中取出的卡片上的数字之和为负数的有4种结果，
所以取出的卡片上的数字之和为负数的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
3．（2022•长寿区自主招生）不透明口袋里有红球4个、绿球5个和黄球若干个，它们除颜色外都相同，
任意摸出一个球是绿色的概率是 ．
（1）口袋里黄球有 6 个；（2）任意摸出一个球是红色的概率是 ．
【分析】（1）设黄球有x根，根据绿球的概率公式列示求解即可；
（2）直接利用红球的个数除以球的总个数即可求得摸到红球的概率．
【解答】解：（1）设黄色球有x个，
由形状、大小相同的红球4个、绿球5个和黄球若干个，任意摸出一个球是绿色的概率是 ，得
＝ ，
解得x＝6；
（2）P（红色）＝ ＝ ，
故答案为：6， ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出
现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
4．（2022•九龙坡区自主招生）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个
黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同
的概率是 ．【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：列表如下：
黄 红 红
红 （黄，红） （红，红） （红，红）
红 （黄，红） （红，红） （红，红）
白 （黄，白） （红，白） （红，白）
由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，
所以摸出的两个球颜色相同的概率为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或画树状图将所有等可能的结果
列举出来，难度不大．
5．（2022•荣昌区自主招生）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，分别记下向上的面的点数，得到的点数之和
为3的概率是 ．
【分析】先画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出朝上一面的点数之和为8的结果数，然后
根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中朝上一面的点数之和为3的结果数为2，
所以朝上一面的点数之和为2的概率＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选
出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
6．（2022•北碚区自主招生）现有3张除数字外完全相同的卡片，卡片上分别标有数字﹣1，2，3，混合后随机抽取一张卡片，将卡片上的数字记为a，不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张，将卡片上的数
字记为b，则点（a，b）在平面直角坐标系第四象限内的概率是 ．
【分析】利用列表法求解即可．
【解答】解：列表如下：
共有6种情形，第四象限有2种情形，
∴点（a，b）在平面直角坐标系第四象限内的概率是 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（2022•渝北区自主招生）不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的三张卡片，每张卡片标有
一个数字，这三张卡片分别标有数字﹣1，2，4，从袋子中随机摸出两张卡片，这两张卡片的数字乘积
为负数的概率为 ．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中两张卡片的数字乘积为负数的结果有4种，再由概率
公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中两张卡片的数字乘积为负数的结果有4种，∴两张卡片的数字乘积为负数的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两
步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（2022•渝中区校级自主招生）如图，某城市的道路都是横平竖直的，小明同学家住在A点处，学校在
B点处．小明每天上学会随机选择一条最近的道路从A点步行至B点．某一天C点施工无法经过，小明
同学并不知情，那么小明能够不绕路的概率是 ．
【分析】分别求出从A到B点，从A到B经过C点的情况数，再根据概率公式即可求解．
【解答】解：从A到B点要向上走2个单位，
①一次向上走2个单位，共有 ＝4（种）（从4列中选1列，一次向上走2个单位）；
②分2次向上走1个单位，共有 ＝ ＝6（种）（从4列中选2列）；
故从A到B点共有4+6＝10（种），
从A到C点共有3种，
从C到B点共有2种，
故从A到B经过C点共有3×2＝6（种），
故小明能够不绕路的概率是 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出
现的结果数．
9．（2022•工业园区校级自主招生）如图，用红，蓝，黄三色将图中区域A、B、C、D着色，要求有公共边界的相邻区域不能涂相同的颜色．满足恰好A涂蓝色的概率为 ．
【分析】首先分析出所有满足条件的涂法，然后找出恰好A涂蓝色的涂法，它们的比值即为所求的概率．
【解答】解：要使有公共边界的相邻区域不能涂相同的颜色，
则当A涂红时，可有A红、B蓝、C黄、D红；A红、B蓝、C黄、D蓝；A红、B黄、C蓝、D红；A
红、B黄、C蓝、D黄共4种情况，；当A涂蓝时，同理也有4种情况；
当A涂黄时也有4种情况．
∴恰好A涂蓝色的概率为 ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查的是几何概率，关键是不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；
用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．（2022•徐汇区校级自主招生）如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从点 A爬行到点B，标记
有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有 6 4 种不同的爬行路径．
【分析】如下图，将图形分为五步，分别求出第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径次数，
再求第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径次数的乘积，即可求出爬行路径种数．
【解答】解：如下图，将图形分为五步，求出第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径种数，
第一步：2；
第二步：2；
第三步：4；第四步：2；
第五步：2；
2×2×4×2×2＝64，
∴则共有64种不同的爬行路径．
故答案为：64．
【点评】本题考查了学生分析问题的能力，并能利用列表法或书张图思想解答问题，综合性较强．
