北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
11.4 统计
五年高考
1.(2015北京文,4,5分,易)某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法
调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数
为( )
类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计
人数 900 1 800 1 600 4 300
A.90 B.100 C.180 D.300
答案 C
2.(2017北京文,17,13分,中)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人
数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成
7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.
试估计总体中男生和女生人数的比例.
解析 (1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为
(0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.
所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.
(2)由题图,知样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,
分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.
5
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400× =20.
100
(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,
1
所以样本中分数不小于70的男生人数为60× =30.
2
所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,故男生和女生人数的比例为
60∶40=3∶2.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
所以总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.
3.(2016北京理,16,13分,中)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,
通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):
A班 6 6.5 7 7.5 8
B班 6 7 8 9 10 11 12
C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
(1)试估计C班的学生人数;
(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人
记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概
率;
(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是
7,9,8.25(单位:小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ ,表
1
格中数据的平均数记为μ ,试判断μ 和μ 的大小.(结论不要求证明)
0 0 1
解析 (1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.
8
根据分层抽样方法知,C班的学生人数估计为100× =40.
20
(2)设事件A为“甲是现有样本中A班的第i个人”,i=1,2,…,5,
i
事件C为“乙是现有样本中C班的第j个人”,j=1,2,…,8.
j
1 1
由题意可知,P(A)= ,i=1,2,…,5;P(C)= ,j=1,2,…,8.
i 5 j 8
1 1 1
P(AC)=P(A)P(C)= × = ,i=1,2,…,5,j=1,2,…,8.
i j i j 5 8 40
设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,
E=A C ∪A C ∪A C ∪A C ∪A C ∪A C ∪A C ∪A C ∪A C ∪A C ∪A C ∪A C ∪A C
1 1 1 2 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 4 1 4 2 4 3 5 1 5 2
∪A C ∪A C .
5 3 5 4
因此
P(E)=P(A C )+P(A C )+P(A C )+P(A C )+P(A C )+P(A C )+P(A C )+P(A C )+P(A C
1 1 1 2 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 4
1 3
)+P(A C )+P(A C )+P(A C )+P(A C )+P(A C )+P(A C )=15× = .
1 4 2 4 3 5 1 5 2 5 3 5 4 40 8
(3)μ <μ .
1 0
三年模拟
基础提升练
1.(2025届海淀期中,8)大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖,可以调节小环境的气温,好
的绿化有助于降低气温日较差(一天中气温的最高值与最低值之差).下图是甲、乙两地北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
某一天的气温曲线图.假设除绿化外,其他可能影响甲、乙两地温度的因素均一致,则下
列结论中错误的是 ( )
A.由上图推测,甲地的绿化好于乙地
B.当日6时到12时,甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
C.当日12时到18时,甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
D.当日必存在一个时刻,甲、乙两地气温的瞬时变化率相同
答案 C
2.(2023北京市铁路第二中学期中,7)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将
所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到
频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为 (
)
A.10 B.18 C.20 D.36
答案 B
3.(2025届海淀精华学校入学考试(二),11)一组数据如下:13,7,9,10,8,15,21,12,该组数
据的中位数是 .
答案 11
4.(2024北京一六六中学期中,15)某班在一次考试后分析学生在语文、数学、英语三个学
科的表现,绘制了各科年级排名的散点图(如图所示).北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
关于该班级学生这三个学科本次考试的情况,给出下列四个结论:
①三科中,数学年级排名的平均数及方差均最小;
②语文、数学、英语年级排名均在150名以外的学生为1人;
③本次考试该班语文第一名、数学第一名、英语第一名可能为三名不同的同学;
④从该班学生中随机抽取1人,若其语文排名大于200,则其英语和数学排名均在150以
1
内的概率为 .
3
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ①②④
5.(2024北京市育英中学统练一,18)某学校为了解学生的体质健康状况,对高一、高二两
个年级的学生进行体质健康测试.现从两个年级学生中各随机抽取20人,将他们的测试
数据用茎叶图表示如下:
《国家学生体质健康标准》的等级标准如表.规定:测试数据≥60,体质健康为合格.
等级 优秀 良好 及格 不及格北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
测试数据 [90,100] [80,89] [60,79] [0,59]
(1)从该校高二年级学生中随机抽取一名,试估计这名学生体质健康合格的概率;
(2)从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生,求选取的两名学生的测试数
据平均数大于95的概率;
(3)设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为x ,s2,高二学生测试数据的平均数
1 1
和方差分别为x ,s2,试比较x 与x 、s2 与s2的大小.(只需写出结论)
2 2 1 2 1 2
解析 (1)由茎叶图知高二学生样本中体质健康合格的人数为3+4+4+4=15,
15 3
则样本中学生体质健康合格的频率为 = ,
20 4
3
故从该校高二年级学生中随机抽取一名,估计这名学生体质健康合格的概率为 .
4
(2)设高一年级样本中测试数据为93,94,96的三名学生分别为a ,a ,a ,
1 2 3
高二年级样本中测试数据为90,95,98的三名学生分别为b ,b ,b ,
1 2 3
选取的2名学生构成的基本事件共有(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3
(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),共9个,
3 1 3 2 3 3
其中两名学生的测试数据平均数大于95的有(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),共4个,
1 3 2 3 3 2 3 3
4
故选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率为 .
9
(3)x >x ,s2<s2 .
1 2 1 2
详解:由茎叶图中数据结构看出高一学生测试数据的平均数要大于高二学生测试数据的
平均数,
高一学生的测试数据比高二学生的测试数据更集中,因此高一学生测试数据的方差要小
于高二学生测试数据的方差,
故x >x ,s2<s2 .
1 2 1 2
6.(2024北京三十五中月考,17)下图是某年11月1日到11月20日,某地区甲流疫情新增
病例数据的走势图.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
(1)从这20天中任选1天,求新增确诊和新增疑似的人数都超过100的概率;
(2)从新增确诊的人数超过100的日期中任选两天,用X表示新增确诊的人数超过140
的天数,求X的分布列和数学期望;
(3)观察新增病例8日到14日这7天的折线图,指出从哪天开始连续三天新增确诊病例
的方差最大(直接写出结论即可).
解析 (1)设“从这20天中任选1天,新增确诊和新增疑似的人数都超过100”为事件A,
观察题图,这20天中,新增确诊和新增疑似人数都超过100的有3天,
3
所以P(A)= .
20
(2)新增确诊的人数超过100的有6天,其中人数超过140的有2天,
X的所有可能取值为0,1,2,
C2
2
C1C1
8
C2
1
P(X=0)= 4= ,P(X=1)= 2 4= ,P(X=2)= 2= ,
C2 5 C2 15 C2 15
6 6 6
X的分布列为
X 0 1 2
2 8 1
P
5 15 15
2 8 1 2
所以X的数学期望为E(X)=0× +1× +2× = .
5 15 15 3
(3)根据题图知,从8日开始的连续三天,新增确诊病例的人数波动最大,故方差最大.
7.(2025届北京市回民学校统测一,17)某中学组织全体学生开展了丰富多彩的体育实践活
动.为了解该校学生参与活动的情况,随机抽取100名学生作为样本,统计他们参加体育
实践活动时间(单位:分钟),得到下表:
时间人数类别 [0, [50, [60, [70, [80, [90,北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
50) 60) 70) 80) 90) 100]
男 5 12 13 8 9 8
性别
女 6 9 10 10 6 4
初中 10
学段
高中 4 13 12 7 5 4
(1)从该校随机抽取1名学生,若已知抽到的是女生,估计该学生参加体育实践活动时间
在[60,70)的概率;
(2)从该校参加体育实践活动时间在[80,90)学生中随机抽取2人,在[90,100]的学生中
随机抽取1人,求其中至少有1名初中学生的概率;
(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替,样本中的100名学生参加体育实践活
动时间的平均数记为μ ,初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为
0
μ +μ
μ ,μ ,试比较μ 与 1 2的大小关系.(结论不要求证明)
1 2 0 2
解析 (1)女生共有6+9+10+10+6+4=45人,
设事件A表示“从所有调查学生中随机抽取1人,女生被抽到”,
事件B表示“从所有调查学生中随机抽取1人,参加体育活动时间在[60,70)”,
45 9 10 1
因为P(A)= = ,P(AB)= = ,
100 20 100 10
1
P(AB) 10 2
所以P(B|A)= = = (条件概率公式),
P(A) 9 9
20
所以从该校随机抽取1名学生,已知抽到的是女生,该学生参加体育活动时间在[60,70)
2
的概率约为 .
9
(2)参加体育活动时间在[80,90)的学生有10+5=15人,参加体育活动时间在[90,100]的
初中学生有8+4-4=8人,
设事件C表示“从参加体育活动时间在[80,90)的学生中随机抽取2人,抽到初中学
生”,
事件D表示“从参加体育活动时间在[90,100]的学生中随机抽取1人,抽到初中学生”,
依题意,事件C,D相互独立,
C2
2 4 1
且P(C)= 5 = ,P(D)= = ,
C2 21 12 3
15
