北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
11.3 两点分布、二项分布与超几何分布
三年模拟
基础提升练
( 1)
1.(2025届丰台怡海中学开学检测,3)已知随机变量X服从二项分布B 3, ,则P(X=2)=
2
( )
1 1 3 5
A. B. C. D.
8 4 8 8
答案 C
2.(2025届北京八中测试,5)高二某班共有50名学生,其中女生有30名,“三好学生”人数
1
是全班人数的 ,且“三好学生”中女生占一半,现从该班学生中任选1人参加座谈会,则
5
在已知没有选上女生的条件下,选上的学生是“三好学生”的概率为( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
18 10 6 4
答案 D
3.(2025届北京一六六中学阶段测试,6)小王同学进行投篮练习,若他第1球投进,则第2
2 1
球投进的概率为 ;若他第1球投不进,则第2球投进的概率为 .若他第1球投进概率为
3 3
2
,他第2球投进的概率为 ( )
3
5 2 7 8
A. B. C. D.
9 3 9 3
答案 A
4.(2023北师大二附中测试,7)投掷一枚质地均匀的骰子两次,记A={两次的点数均为奇
数},B={两次的点数之和为4},则P(B|A)= ( )
1 1 2 2
A. B. C. D.
12 4 9 3
答案 C
5.(2023北师大二附中测试,12)一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球,现在不放
回地取2次球,每次取出一个球,记“第1次取出的是白球”为事件A,“第2次取出的是
白球”为事件B,则P(B|A)= .
4
答案
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1
6.(2025届丰台怡海中学开学检测,11)设离散型随机变量X服从两点分布,若P(X=0)= ,
3
则P(X=1)= .
2
答案
3
7.(2025届北师大二附中统练2,14)甲、乙两人射击,每人射击一次.已知甲命中的概率是
0.8,乙命中的概率是0.7,两人每次射击是否命中互不影响.设事件A为“两人至少命中
一次”,事件B为“甲命中”,则条件概率P(B|A)的值为 .
40
答案
47
8.(2025届北京二中开学测试,11)已知甲盒中有3个白球,2个黑球;乙盒中有1个白球,2
个黑球.若从这8个球中随机选取一球,该球是白球的概率是 ;若从甲、乙两盒
中任取一盒,然后从所取到的盒中任取一球,则取到的球是白球的概率是 .
1 7
答案 ;
2 15
9.(2025届北京三十五中开学测试,13)某学校有A,B两家餐厅,甲同学第一天午餐时随机
地选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅,那么第二天去A餐厅的概率为0.6;如果第一
天去B餐厅,那么第二天去A餐厅的概率为0.8.则甲同学第二天去A餐厅用餐的概率为
.
答案 0.7
10.(2024房山入学考试,18)随着人民生活水平的提高,人们对牛奶品质要求越来越高.某
牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶,在一个地区从消费者人群中随机抽取500人进行了质
量满意情况调查,得到下表:
老年人 中年人 青年人
酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶
满意人数 100 120 120 100 150 120
不满意人数 50 30 30 50 50 80
假设用频率估计概率,且所有人对鲜奶和酸奶是否满意相互独立.
(1)从样本中随机抽取1人,求此人对酸奶满意的概率;
(2)从该地区的老年人中随机抽取2人,青年人中随机抽取1人,求这三人中恰好有2人
对鲜奶满意的概率;
(3)依据表中三个年龄段的数据,你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1,使得
满意人数
整体对鲜奶的满意度提升最大? 注:满意度=满意人数+不满意人数
解析 (1)设事件A为“此人对酸奶满意”,
总人数为500,北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
抽取的人群中对酸奶满意的共有100+120+150=370人,
370 37
所以P(A)= = .
500 50
120 4
(2)由样本的频率估计总体的概率,抽取的老年人对鲜奶满意的概率为 = ,
120+30 5
120 3
抽取的青年人对鲜奶满意的概率为 = ,
120+80 5
设事件B为“这三人中恰好有2人对鲜奶满意”,则P(B)=
C1× 4 × ( 1− 4) × 3 + (4) 2 × ( 1− 3) = 56 .
2 5 5 5 5 5 125
56
所以这三人中恰有2人对鲜奶满意的概率为 .
125
(3)青年人.
青年人总体人数最多,所以鲜奶的满意度提升0.1,人数提升最多,则整体对鲜奶的满意
度提升最大.
11.(2024北京市八一学校开学考试,18)为保障食品安全,某地食品监管部门对辖区内甲、
乙两家食品企业进行检查,分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件
作为样本,并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产品等
级如下:
质量 [15, [20, [25, [30, [35, [40,
指标值 20) 25) 30) 35) 40) 45]
等级 次品 二等品 一等品 二等品 三等品 次品
根据质量指标值的分组,统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数
分布表(其中a>0).
质量 [15, [20, [25, [30, [35, [40,
合计
指标值 20) 25) 30) 35) 40) 45]
频数 2 18 48 14 16 2 100北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
(1)现从甲企业生产的产品中任取一件,试估计该件产品为次品的概率;
(2)为守法经营、提高利润,乙企业将所有次品销毁,并将一、二、三等品的售价分别定
为120元、90元、60元.一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品,记其支付费用
为X元,用频率估计概率,求X的分布列和数学期望;
(3)根据图表数据,请自定标准,对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较.
解析 (1)由(a+0.020+0.022+0.028+0.042+0.080)×5=1,
得a=0.008,
所以甲企业的样本中次品的频率为(0.008+0.020)×5=0.14,
故从甲企业生产的产品中任取一件,估计该件产品为次品的概率是0.14.
48 1
(2)由题中表格可知,乙企业在100件样本中合格品有96件,则一等品的概率为 = ,
96 2
18+14 1 16 1
二等品的概率为 = ,三等品的概率为 = ,
96 3 96 6
随机变量X的所有可能取值为120,150,180,210,240.
1 1 1 1 1 1
P(X=120)= × = ,P(X=150)=C1× × = ,
6 6 36 2 3 6 9
1 1 1 1 5
P(X=180)=C1× × + × = ,
2 2 6 3 3 18
1 1 1 1 1 1
P(X=210)=C1× × = ,P(X=240)= × = ,
2 2 3 3 2 2 4
随机变量X的分布列为
X 120 150 180 210 240
1 1 5 1 1
P
36 9 18 3 4
1 1 5 1 1
所以X的数学期望为E(X)=120× +150× +180× +210× +240× =200.
36 9 18 3 4
(3)答案不唯一,参考如下:
①以产品次品率为标准,对甲、乙两家企业的食品质量进行比较.甲企业产品的次品率约
为0.14,乙企业产品的次品率约为0.04,即乙企业产品的次品率低于甲企业产品的次品
率,所以认为乙企业的食品生产质量更高.
②以产品的合格率(非次品的占有率)为标准,对甲、乙两家企业的食品质量进行比较.由
题中图表可知,甲企业产品的合格率约为0.86,乙企业产品的合格率约为0.96,即乙企业
产品的合格率高于甲企业产品的合格率,所以认为乙企业的食品生产质量更高.
③以产品中一等品的概率为标准,对甲、乙两家企业的食品质量进行比较.根据题中图表
可知,甲企业产品中一等品的概率约为0.4,乙企业产品中一等品的概率约为0.48,即乙北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率,所以乙企业的食品生产质量
更高.
12.(2024清华附中开学考试,18)为了调查居民对垃圾分类的了解程度,某社区居委会从A
小区与B小区各随机抽取300名社区居民(分为18~40岁、41岁~70岁及其他人群各
100名,假设两个小区中每组人数相等)参与问卷测试,分为“比较了解”(得分不低于
60分)和“不太了解”(得分低于60分),并将问卷得分不低于60分的人数绘制频数分
布表如下:
分组 A小区频数 B小区频数
18~40岁人群 60 30
41~70岁人群 80 90
其他人群 30 50
假设用频率估计概率,所有居民的问卷测试结果互不影响.
(1)从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试,估计其对垃圾分类比较了解的概率;
(2)从A、B小区41~70岁人群中各随机抽取一名居民,记对垃圾分类比较了解的居民人
数为随机变量X,求X的分布列和数学期望;
(3)求事件E:“从A小区的三个年龄组随机抽取两组,且每个年龄组各随机抽取一名居民,
这两名居民均对垃圾分类比较了解”的概率.
解析 (1)设事件C为“从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试,其对垃圾分类比较
60+80+30 17
了解”,P(C)= = .
300 30
8
(2)从A小区41~70岁人群中随机抽取一名居民,其对垃圾分类比较了解的概率为 ,从
10
9
B小区41~70岁人群中随机抽取一名居民,其对垃圾分类比较了解的概率为 ,
10
X所有可能的取值为0,1,2.
2 1 1 8 1 2 9 13
P(X=0)= × = ,P(X=1)= × + × = ,
10 10 50 10 10 10 10 50
8 9 18
P(X=2)= × = ,
10 10 25
X的分布列为
X 0 1 2
1 13 18
P
50 50 25
1 13 18 17
E(X)=0× +1× +2× = .
50 50 25 10北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
(3)设事件A 为“从A小区的三个年龄组随机抽取两组,抽取18~40岁人群、41~70岁
1
人群各一人”,事件A 为“从A小区的三个年龄组随机抽取两组,抽取18~40岁人群及
2
其他人群各一人”,事件A 为“从A小区的三个年龄组随机抽取两组,抽取41~70岁人
3
群及其他人群各一人”,
P(E)=P(A )P(E|A )+P(A )P(E|A )+P(A )P(E|A )
1 1 2 2 3 3
1 6 8 1 6 3 1 8 3 3
= × × + × × + × × = .
3 10 10 3 10 10 3 10 10 10
13.(2025届朝阳期末,17)随着科技的飞速发展,人工智能已经逐渐融入我们的日常生活.
在教育领域,AI的赋能潜力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况,现从某地区随机抽
取了200名教师,对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况统计如下:
使用AI大模型的种数
性别
0 1 2 3 4
男 4 27 23 16 10
女 6 48 27 24 15
在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中,统计使用A、B、C、D的AI大模型人
次如下:
AI大模型种类 A B C D
人次 32 30 30 28
用频率估计概率.
(1)从该地区教师中随机选取一人,估计至少使用两种AI大模型(A、B、C、D中)的概
率;
(2)从该地区使用3种AI大模型(A、B、C、D中)的教师中,随机选出3人,记使用B的
有X人,求X的分布列及其数学期望EX;
(3)从该地区男,女教师中各随机选一人,记他们使用AI大模型(A、B、C、D中)的种
数分别为Y,Z,比较Y,Z的数学期望EY,EZ的大小.(结论不要求证明)
解析 (1)设“从该地区教师中随机选取一人,至少使用两种AI大模型”为事件M,
50+40+25 23
则估计P(M)= = .
200 40
(2)设“从该地区使用3种AI大模型的40名教师中随机选1人,该人使用模型B”为事
件N,
30 3
根据题中数据,P(N)= = .
40 4
X的可能取值为0,1,2,3,北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
则P(X=0)=C0(1) 3
=
1
,
3 4 64
P(X=1)=C1
3(1) 2
=
9
,
34 4 64
P(X=2)=C2(3) 21
=
27
,
3 4 4 64
P(X=3)=C3(3) 3
=
27
.
3 4 64
X的分布列为
X 0 1 2 3
1 9 27 27
P
64 64 64 64
1 9 27 27 9
EX=0× +1× +2× +3× = .
64 64 64 64 4
(3)EY>EZ.
由题意得该地区男,女教师人数分别为80和120,
4 27 23 16 10 161
因为EY=0× +1× +2× +3× +4× = ,
80 80 80 80 80 80
6 48 27 24 15 234
EZ=0× +1× +2× +3× +4× = ,
120 120 120 120 120 120
所以EY>EZ.
能力拔高练
1.(2025届北京二中月考,17)某学校组织全体高一学生开展了知识竞赛活动.从参加该活
动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩,数据如下表:
男生 81 84 86 86 88 91
女生 72 80 84 88 92 97
(1)从抽出的男生和女生中,各随机选取一人,求男生成绩高于女生成绩的概率;
(2)从该校的高一学生中,随机抽取3人,用样本频率估计概率,记成绩为优秀(>90分)的
学生人数为X,求X的分布列和数学期望;
(3)表中男生和女生成绩的方差分别记为s2,s2,现在再从参加活动的男生中抽取一名学
1 2
生,成绩为86分,组成新的男生样本,方差计为s2,试比较s2 、s2 、s2的大小.(只需写出
3 1 2 3
结论)
解析 (1)设事件A为“男生成绩高于女生成绩”,从抽出的12名学生中男生、女生各
随机选取一人,共有C1C1 =36种组合,
6 6
