北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
11.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
考点 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
4
1.(2020课标Ⅲ理,3,5分)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p,p,p,p,且∑❑p=1,则下面
1 2 3 4 i
i=1
四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是 ( )
A.p=p=0.1,p=p=0.4 B.p=p=0.4,p=p=0.1
1 4 2 3 1 4 2 3
C.p=p=0.2,p=p=0.3 D.p=p=0.3,p=p=0.2
1 4 2 3 1 4 2 3
4 4
答案 B 根据均值E(X)= ∑❑xp,方差D(X)= ∑❑[x-E(X)]2·p以及方差与标准差的关系,得各选项
i i i i
i=1 i=1
对应样本的标准差如下表.
选项 均值E(X) 方差D(X) 标准差√D(X)
A 2.5 0.65 √0.65
B 2.5 1.85 √1.85
C 2.5 1.05 √1.05
D 2.5 1.45 √1.45
由此可知选项B对应样本的标准差最大,故选B.
2.(2018浙江,7,4分)设0<p<1,随机变量ξ的分布列是
ξ 0 1 2
1−p 1 p
P
2 2 2
则当p在(0,1)内增大时,( )
A.D(ξ)减小
B.D(ξ)增大
C.D(ξ)先减小后增大
D.D(ξ)先增大后减小
答案 D 本小题考查随机变量的分布列,期望、方差的计算及函数的单调性.
1−p 1 p 1
由题意得E(ξ)=0× +1× +2× = +p,
2 2 2 2北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
2 2 2
D(ξ)= [ (1 )] · 1−p + [ (1 )] · 1 + [ (1 )] · p
0− +p 1− +p 2− +p
2 2 2 2 2 2
1
= [(1+2p)2(1-p)+(1-2p)2+(3-2p)2·p]
8
=-p2+p+1=-( 1) 2 +1.
p−
4 2 2
1−p
{ 0< <1,
2
由 0< p <1, 得0<p<1,∴D(ξ)在( 0, 1)上单调递增,在(1 ,1 )上单调递减,故选D.
2 2 2
1−p 1 p
+ + =1,
2 2 2
3.(2021浙江,15,6分)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出
1 1
的两个球都是红球的概率为 ,一红一黄的概率为 ,则m-n= ,E(ξ)= .
6 3
8
答案 1;
9
解题指导:由古典概型概率计算公式求得m+n+4的值,再利用概率公式求出m,从而得n的值,进而求出m-
n;利用超几何分布的概率公式分别求出ξ=0,1,2的概率,然后利用数学期望公式即可得到结果.
解析 ∵P(ξ=2)=
C2
4 = 6 = 1,可得 C2 =36,
C2 C2 6 m+n+4
m+n+4 m+n+4
∴m+n+4=9,
又∵P(一红一黄)=
C1
4
·C1
m= 4m = m = 1,解得m=3,
C2 36 9 3
m+n+4
∴n=2,
∴m-n=1.
P(ξ=0)= C 5 2 = 10 = 5 ,P(ξ=1)= C1 4 ·C 5 1 = 4×5 = 5,P(ξ=2)= 1,
C2 36 18 C2 36 9 6
9 9
5 5 1 5 1 8
∴E(ξ)= ×0+ ×1+ ×2= + = .
18 9 6 9 3 9北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
4.(2024北京,18,13分,中)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况,从合同保险期限届满的
保单中随机抽取1 000份,记录并整理这些保单的索赔情况,获得数据如下表:
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
假设:一份保单的保费为0.4万元;前三次索赔时,保险公司每次赔偿0.8万元;第四次索赔时,保险公司赔偿0.6
万元.
假设不同保单的索赔次数相互独立,用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率;
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
(i)记X为一份保单的毛利润,估计X的数学期望EX;
(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利润的
数学期望估计值与(i)中EX估计值的大小.(结论不要求证明)
解析
18
(1)解法一(直接法):由题意可知“一份保单索赔次数不少于2次”的概率P=
60+30+10 1
= .
800+100+60+30+10 10
解法二(间接法):由题意可知“一份保单索赔次数不少于2”的对立事件为“一份保单索赔次数少
800+100 900 1
于2”,则所求概率为P=1- =1- = .
800+100+60+30+10 1000 10
(2)(i)由题意可知毛利润X的可能取值为0.4,-0.4,-1.2,-2,-2.6.
800 4 100 1
P(X=0.4)= = ,P(X=-0.4)= = ,
1000 5 1000 10
60 3 30 3
P(X=-1.2)= = ,P(X=-2)= = ,
1000 50 1000 100
10 1
P(X=-2.6)= = ,
1000 100
所以X的分布列为
X 0.4 -0.4 -1.2 -2 -2.6
4 1 3 3 1
P
5 10 50 100 100
4 1 3 3 1
EX=0.4× +(-0.4)× +(-1.2)× +(-2)× +(-2.6)× =0.122.
5 10 50 100 100
4 1
(ii)由题意知该情况下一份保单保费=0.4× ×(1-4%)+0.4× ×(1+20%)=0.403 2,
5 5
毛利润的数学期望=0.122+(0.403 2-0.4)=0.125 2,
因为0.125 2>0.122,北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
所以该情况下一份保单毛利润的数学期望大于EX.
5.（2023课标I，21）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末
命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为
0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第 次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则
．记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
【解析】（1）记“第 次投篮的人是甲”为事件 ，“第 次投篮的人是乙”为事件 ，
所以，
.
（2）设 ，依题可知， ，则
，
即 ，
构造等比数列 ，设 ，解得 ，则 ，
又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即 ．
（3）因为 ， ，北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
所以当 时， ，
故 ．
6.(2022全国甲理,19,12分,应用性)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10
分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的
概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.
解析 (1)记“甲学校在第i个项目获胜”为事件A(i=1,2,3),“甲学校获得冠军”为事件E.
i
则P(E)=P(AAA)+P(AA A )+P(A A A)+P(A AA)=
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 4 1 2 1 1 3 4 1 2 4 3
× × + × × + × × + × × = .
2 5 5 2 5 5 2 5 5 2 5 5 5
3
∴甲学校获得冠军的概率为 .
5
(2)记“乙学校在第j个项目获胜”为事件B(j=1,2,3).X的所有可能取值为0,10,20,30.
j
1 2 4 4
则P(X=0)=P(B B B )= × × = ,
1 2 3 2 5 5 25
P(X=10)=P(BB B )+P(B B2B )+P(B B B)
1 2 3 1 3 1 2 3
1 2 4 1 3 4 1 2 1 11
= × × + × × + × × = ,
2 5 5 2 5 5 2 5 5 25
P(X=20)=P(BB B )+P(B B B)+P(B BB)
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 3 4 1 2 1 1 3 1 17
= × × + × × + × × = ,
2 5 5 2 5 5 2 5 5 50
1 3 1 3
P(X=30)=P(BBB)= × × = .
1 2 3
2 5 5 50
∴X的分布列为
X 0 10 20 30
4 11 17 3
P
25 25 50 50
4 11 17 3
∴E(X)=0× +10× +20× +30× =13.
25 25 50 50北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
7.(2021新高考Ⅰ,18,12分)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先
在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一
类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确
得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与
回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.
解题指导:(1)由题意分析出X的所有可能取值,并求出所有可能取值对应的概率,从而求出X的分布列.(2)
根据(1),可求出小明先回答A类问题的数学期望E(X),再求出小明先回答B类问题的数学期望.通过比较,
即可得出结果.
解析 (1)由题易知X的所有可能取值为0,20,100,
P(X=0)=1-0.8=0.2,
P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,
P(X=100)=0.8×0.6=0.48,
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)由(1)可知E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.
假设小明先回答B类问题,其累计得分为Y,则Y的所有可能取值为0,80,100,
P(Y=0)=1-0.6=0.4,
P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,
P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6,
所以E(Y)>E(X),
所以小明应选择先回答B类问题.
方法总结 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤:北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
1.判断取值:即判断随机变量的所有可能取值及取每个值所表示的意义;2.探求概率:利用排列组合、枚举法、
概率公式,求出随机变量取每个值时的概率;3.写出分布列:按规定形式写出分布列,注意检验所求的分布列
或事件的概率是否正确;4.求期望值:利用离散型随机变量的数学期望的定义求其期望值.
8.(2022北京,18,13分,应用性)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到9.50
m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比
赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):
甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;
乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;
丙:9.85,9.65,9.20,9.16.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望EX;
(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)
解析 (1)甲以往参加的10次比赛中,有4次比赛成绩达到获得优秀奖的标准,则甲得优秀奖的概率P=
4 2
= .
10 5
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,设甲、乙、丙获得优秀奖分别为事件A,B,C,则A,B,C,
2 1 2 3 1
A,B,C相互独立,且P(A)= ,P(B)=P(C)= ,P(A)=1-P(A)=1- = ,P(B)=P(C)= ,
5 2 5 5 2
3 1 1 3
则P(X=0)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= × × = ;
5 2 2 20
P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)·P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=
2 1 1 3 1 1 3 1 1 8 2
× × + × × + × × = = ;
5 2 2 5 2 2 5 2 2 20 5
P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)·P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=
2 1 1 2 1 1 3 1 1 7
× × + × × + × × = ;
5 2 2 5 2 2 5 2 2 20
2 1 1 1
P(X=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= × × = .
5 2 2 10
3 2 7 1 7
故X的数学期望EX=0× +1× +2× +3× = .
20 5 20 10 5
(3)丙.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
详解:乙夺冠的概率为P(乙)=
1 9 3 1 4 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 13
× × + × × + × × + × × + × × = ,
6 10 4 6 5 2 6 5 2 6 10 2 6 5 2 48
1 1 4 5 5
丙夺冠的概率为P(丙)= + × × = ,
4 4 5 6 12
5 13 5
甲夺冠的概率为P(甲)=1- − = ,
12 48 16
P(丙)最大,所以丙夺冠的概率最大.
9.(2018北京理,17,12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
假设所有电影是否获得好评相互独立.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;
(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξ=1”表示第k类电影得到人们
k
喜欢,“ξ=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ,Dξ,Dξ,Dξ,Dξ,Dξ 的大小关
k 1 2 3 4 5 6
系.
解析 (1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000,
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.
50
故所求概率是 =0.025.
2 000
(2)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”,
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.
故所求概率为P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)
=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).
由题意知:P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2.
故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.
(3)Dξ>Dξ>Dξ=Dξ>Dξ>Dξ.
1 4 2 5 3 6
解后反思 古典概型的概率以及方差的求解:
