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2025新教材数学高考第一轮复习
11.2 离散型随机变量及其分布列、均值、方差
五年高考
考点 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
1.(2020 课标Ⅲ理,3,5 分,易)在一组样本数据中,1,2,3,4 出现的频率分别为 p ,p ,p ,p ,且
1 2 3 4
4
∑❑p=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是 ( )
i
i=1
A.p =p =0.1,p =p =0.4
1 4 2 3
B.p =p =0.4,p =p =0.1
1 4 2 3
C.p =p =0.2,p =p =0.3
1 4 2 3
D.p =p =0.3,p =p =0.2
1 4 2 3
2.(2019浙江,7,4分,中)设0D(ξ )
1 2 1 2
C.E(ξ )>E(ξ ),D(ξ )E(ξ ),D(ξ )>D(ξ )
1 2 1 2
4.(2021浙江,15,6分,中)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的
1 1
红球数为 ξ,若取出的两个球都是红球的概率为 ,一红一黄的概率为 ,则 m-n=
6 3
,E(ξ)= .
5.(2022北京,18,13分,中)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩
达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):
甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;
乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;
丙:9.85,9.65,9.20,9.16.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计 X的数学期望
E(X);
(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)
6.(2021新高考Ⅱ,21,12分,难)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这
种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……该微生物
每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的
个数,P(X=i)=p(i=0,1,2,3).
i
(1)已知p =0.4,p =0.3,p =0.2,p =0.1,求E(X);
0 1 2 3
(2)设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率 ,p 是关于 x 的方程:
p +p x+p x2+p x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1,当E(X)>1时,p<1;
0 1 2 3
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.7.(2023新课标Ⅰ,21,12分,难)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则
此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均
为0.6,乙每次投篮的命中率均为 0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、
乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3) 已 知 : 若 随 机 变 量 X 服 从 两 点 分 布 , 且 P(X=1)=1-P(X=0)=q,i=1,2,…,n, 则 E
i i i i
(∑❑
n
X
)=∑❑
n
q .
记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
i i
i=1 i=1
三年模拟
综合拔高练
1.(2024届山东烟台蓬莱两校联考,5)在某次考试中,多项选择题的给分标准如下:在每题给
出的四个选项中,正确选项为其中的两项或三项,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有
错选的得 0 分.甲、乙、丙三人在完全不会做某个多项选择题的情况下,分别选了
A,AB,ABC,则三人该题得分的数学期望分别为 ( )
A.1,0.8,0.5 B.1.2,0.8,0.6
C.1,0.9,0.6 D.1.2,0.9,0.5
2.(2023广东汕头二模,15)某单位有10 000名职工,想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带
者,假设携带病毒的人占5%,如果对每个人的血样逐一化验,就需要化验10 000次.统计专
家提出了一种化验方法:随机地按5人一组分组,然后将各组5个人的血样混合再化验,如果混合血样呈阴性,说明这5个人全部阴性;如果混合血样呈阳性,说明其中至少有一人的
血样呈阳性,就需要对每个人再分别化验一次.按照这种化验方法,平均每个人需要化验
次.(结果保留四位有效数字)(0.955≈0.773 8,0.956≈0.735,0.957≈0.698 3).
3.(2023湖北十堰四调,19)现有4个红球和4个黄球,将其分配到甲、乙两个盒子中,每个盒
子中4个球.
(1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率;
(2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球,若同时从甲、乙两个盒子中取出i(i=1,2,3)个球
进行交换,记交换后甲盒子中的红球个数为X,X的数学期望为E(X).证明:E (X)+E (X)=4.
i 1 3
4.(2024届广东佛山顺德质检(一),20)在十一黄金周期间,某商场规定单次消费超过500元
的顾客可参与如下的游戏.活动规则如下:现有甲,乙,丙三个游戏,每位参与者从中随机选
择一个游戏,若不通过,则游戏结束,若通过,则从剩下的两个游戏中随机选择一个游戏,若
不通过,则游戏结束,若通过,则进行最后一个游戏,最后一个游戏无论是否通过都结束游戏.
每通过一个游戏都可获得对应的奖金,且参与游戏的顺序由顾客确定,顾客是否通过每个
游戏相互独立,已知通过游戏的概率以及获得相应的奖金如表所示.
游戏 甲 乙 丙
通过的概率 0.8 0.6 0.4
获得的奖金金额/元100200300
(1)求参与游戏的顾客没有获得奖金的概率;
(2)现有王先生、李先生两名顾客分别以甲→乙→丙、丙→乙→甲的顺序进行游戏,请问哪位顾客获得奖金的期望值较大?
11.2 离散型随机变量及其分布列、均值、方差五年高考
考点 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
1.(2020 课标Ⅲ理,3,5 分,易)在一组样本数据中,1,2,3,4 出现的频率分别为 p ,p ,p ,p ,且
1 2 3 4
4
∑❑p=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是 ( )
i
i=1
A.p =p =0.1,p =p =0.4
1 4 2 3
B.p =p =0.4,p =p =0.1
1 4 2 3
C.p =p =0.2,p =p =0.3
1 4 2 3
D.p =p =0.3,p =p =0.2
1 4 2 3
答案 B
2.(2019浙江,7,4分,中)设0D(ξ )
1 2 1 2
C.E(ξ )>E(ξ ),D(ξ )E(ξ ),D(ξ )>D(ξ )
1 2 1 2
答案 A
4.(2021浙江,15,6分,中)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的
1 1
红球数为 ξ,若取出的两个球都是红球的概率为 ,一红一黄的概率为 ,则 m-n=
6 3
,E(ξ)= .8
答案 1;
9
5.(2022北京,18,13分,中)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩
达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,
收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):
甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;
乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;
丙:9.85,9.65,9.20,9.16.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计 X的数学期望
E(X);
(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)
解析 (1)甲以往参加的10次比赛中,有4次比赛成绩达到获得优秀奖的标准.
4 2
设A为事件“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”,则P(A)= = .
10 5
(2)X所有可能的取值为0,1,2,3,
设B为事件“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”,C为事件“丙在校运动会铅球比赛
中获得优秀奖”,
3 1 2 1 2
则P(B)= = ,P(C)= = ,由(1)知P(A)= ,
6 2 4 2 5
则P(X=0)=P(A)P(B)P(C)
=( 2) ( 1) ( 1) 3 ,
1− × 1− × 1− =
5 2 2 20
2 1 1 3 1 1 3 1 1 2
P(X=1)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)·P(C)= × × + × × + × × = ,
5 2 2 5 2 2 5 2 2 5
2 1 1 2 1 1 3 1 1 7
P(X=2)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)·P(C)= × × + × × + × × =
5 2 2 5 2 2 5 2 2 20
,
2 1 1 1
P(X=3)=P(A)P(B)P(C)= × × = ,
5 2 2 10
3 2 7 1 7
∴E(X)=0× +1× +2× +3× = .
20 5 20 10 5
(3)丙获得冠军的可能性最大.(依据:在收集的以往的比赛成绩中,丙的最高成绩为9.85 m,是三人中最高的)
6.(2021新高考Ⅱ,21,12分,难)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这
种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……该微生物
每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的
个数,P(X=i)=p(i=0,1,2,3).
i
(1)已知p =0.4,p =0.3,p =0.2,p =0.1,求E(X);
0 1 2 3
(2)设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率 ,p 是关于 x 的方程:
p +p x+p x2+p x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1,当E(X)>1时,p<1;
0 1 2 3
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.
解析 (1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.
(2)证明:设f(x)=p x3+p x2+(p -1)x+p ,
3 2 1 0
由题易知p +p +p +p =1,
3 2 1 0
故f(x)=p x3+p x2-(p +p +p )x+p ,
3 2 2 0 3 0
f '(x)=3p x2+2p x-(p +p +p ),
3 2 2 0 3
E(X)=0·p +1·p +2·p +3·p =p +2p +3p ,
0 1 2 3 1 2 3
若E(X)≤1,则p +2p +3p ≤1,故p +2p ≤p ,
1 2 3 2 3 0
因为f '(0)=-(p +p +p )<0,
2 0 3
f '(1)=p +2p -p ≤0,
2 3 0
所以f '(x)有两个不同零点x ,x ,且x <0<1≤x ,
1 2 1 2
当x∈(-∞,x )∪(x ,+∞)时, f '(x)>0,
1 2
当x∈(x ,x )时, f '(x)<0,
1 2
故f(x)在(-∞,x ),(x ,+∞)上为增函数,
1 2
在(x ,x )上为减函数,
1 2
若x =1,因为f(x)在(x ,+∞)上为增函数,在(x ,x )上为减函数,且f(1)=0,
2 2 1 2
所以f(x)>f(x )=f(1)=0,
2
故1为关于x的方程:p +p x+p x2+p x3=x的一个最小正实根,即p=1,故当E(x)≤1时,p=1.
0 1 2 3
若x >1,因为f(1)=0且f(x)在(0,x )上为减函数,
2 2
故1为关于x的方程:p +p x+p x2+p x3=x的一个最小正实根.
0 1 2 3
综上,若E(X)≤1,则p=1.
若E(X)>1,则p +2p +3p >1,则p +2p >p ,
1 2 3 2 3 0
此时f '(0)=-(p +p +p )<0, f '(1)=p +2p -p >0,
2 0 3 2 3 0
故f '(x)有两个不同零点x ,x 且x <00,所以f(x)在(0,x )上存在一个零点x ,且x <1,
0 4 0 0
所以x 为关于x的方程:p +p x+p x2+p x3=x的一个最小正根,即p<1,
0 0 1 2 3
故当E(X)>1时,p<1.
(3)意义:若一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代后会临近灭绝,若繁殖后
代的平均数超过1,则若干代后还有继续繁殖的可能.
7.(2023新课标Ⅰ,21,12分,难)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则
此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均
为0.6,乙每次投篮的命中率均为 0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、
乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3) 已 知 : 若 随 机 变 量 X 服 从 两 点 分 布 , 且 P(X=1)=1-P(X=0)=q,i=1,2,…,n, 则 E
i i i i
(∑❑
n
X
)=∑❑
n
q .
记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
i i
i=1 i=1
解析 记A=“第i次投篮的人是甲”,B=“第i次投篮的人是乙”.
i i
(1)因为P(B )=P(A B )+P(B B )=P(A )P(B |A )+P(B )P(B |B )=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6,
2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1
所以第2次投篮的人是乙的概率为0.6.
(2)设P(A)=p,则P(B)=1-p,所以P(A )=P(AA )+P(BA )=P(A)P(A |A)+P(B)P(A |B),
i i i i i+1 i i+1 i i+1 i i+1 i i i+1 i
即p =0.6p+(1-0.8)×(1-p)=0.4p+0.2.
i+1 i i i
设p
i+1
+λ=2(p
i
+λ),解得λ=-1,则p
i+1
-1
=
2(
p −
1),
5 3 3 5 i 3
因为p
1
=1,p
1
-1
=
1,所以{
p −
1}
是首项为
1,公比为2的等比数列,所以p
i
-1
=
1
×
(2) i−1,即
2 3 6 i 3 6 5 3 6 5
p
i
=1
×
(2) i−1
+
1.
6 5 3
所以第i次投篮的人是甲的概率为1 (2) i−1 1.
× +
6 5 3(3)因为p
i
=1
×
(2) i−1
+
1,i=1,2,…,n,
6 5 3
(2) n
1−
所以当n∈N*时,E(Y)=p +p +…+p =
1
×
5
+
n
=
5 [
1−
(2) n]
+
n
,
1 2 n
6 2 3 18 5 3
1−
5
故E(Y)= 5 [ (2) n] n.
1− +
18 5 3
三年模拟
综合拔高练
1.(2024届山东烟台蓬莱两校联考,5)在某次考试中,多项选择题的给分标准如下:在每题给
出的四个选项中,正确选项为其中的两项或三项,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有
错选的得 0 分.甲、乙、丙三人在完全不会做某个多项选择题的情况下,分别选了
A,AB,ABC,则三人该题得分的数学期望分别为 ( )
A.1,0.8,0.5 B.1.2,0.8,0.6
C.1,0.9,0.6 D.1.2,0.9,0.5
答案 D
2.(2023广东汕头二模,15)某单位有10 000名职工,想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带
者,假设携带病毒的人占5%,如果对每个人的血样逐一化验,就需要化验10 000次.统计专
家提出了一种化验方法:随机地按5人一组分组,然后将各组5个人的血样混合再化验,如
果混合血样呈阴性,说明这5个人全部阴性;如果混合血样呈阳性,说明其中至少有一人的
血样呈阳性,就需要对每个人再分别化验一次.按照这种化验方法,平均每个人需要化验
次.(结果保留四位有效数字)(0.955≈0.773 8,0.956≈0.735,0.957≈0.698 3).
答案 0.426 2
3.(2023湖北十堰四调,19)现有4个红球和4个黄球,将其分配到甲、乙两个盒子中,每个盒
子中4个球.
(1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率;
(2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球,若同时从甲、乙两个盒子中取出i(i=1,2,3)个球
进行交换,记交换后甲盒子中的红球个数为X,X的数学期望为E(X).证明:E (X)+E (X)=4.
i 1 3
解析 (1)由题意可知,甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率P=
C2
4
C2
4=
18.
C4 35
8
(2)证明:当i=1时,X的可能取值是2,3,4,P(X=2)= C1 3 C1 3 = 9 ,P(X=3)= 2C1 3 C 1 1 = 3,P(X=4)= C 1 1C 1 1 = 1 , 则 E 1 (X)=2×
C1C1 16 C1C1 8 C1C1 16
4 4 4 4 4 4
9 3 1 5
+3× +4× = .
16 8 16 2
当i=3时,X的取值可能是0,1,2,
P(X=0)= C 3 3C 3 3 = 1 ,P(X=1)= 2C 3 2C 3 3 = 3,
C3C3 16 C3C3 8
4 4 4 4
P(X=2)= C 3 2C 3 2 = 9 ,
C3C3 16
4 4
1 3 9 3
则E (X)=0× +1× +2× = .
3
16 8 16 2
故E (X)+E (X)=4.
1 3
4.(2024届广东佛山顺德质检(一),20)在十一黄金周期间,某商场规定单次消费超过500元
的顾客可参与如下的游戏.活动规则如下:现有甲,乙,丙三个游戏,每位参与者从中随机选
择一个游戏,若不通过,则游戏结束,若通过,则从剩下的两个游戏中随机选择一个游戏,若
不通过,则游戏结束,若通过,则进行最后一个游戏,最后一个游戏无论是否通过都结束游戏.
每通过一个游戏都可获得对应的奖金,且参与游戏的顺序由顾客确定,顾客是否通过每个
游戏相互独立,已知通过游戏的概率以及获得相应的奖金如表所示.
游戏 甲 乙 丙
通过的概率 0.8 0.6 0.4
获得的奖金金额/元100200300
(1)求参与游戏的顾客没有获得奖金的概率;
(2)现有王先生、李先生两名顾客分别以甲→乙→丙、丙→乙→甲的顺序进行游戏,请问
哪位顾客获得奖金的期望值较大?
解析 (1)设顾客选择甲,乙,丙作为第一个游戏分别为事件A ,B ,C ,顾客通过游戏甲,乙,丙
1 1 1
分别为事件A,B,C.
顾客没有获得奖金等价于顾客一个游戏也没有通过,设此事件为事件M,
1
由已知得P(A )=P(B )=P(C )= ,P(A|A )=0.8,P(B|B )=0.6,P(C|C )=0.4,
1 1 1 1 1 1
3
由全概率公式得:
P(M)=P(A )P(A|A )+P(B )P(B|B )+P(C )P(C|C )
1 1 1 1 1 11 1 1
= ×(1-0.8)+ ×(1-0.6)+ ×(1-0.4)=0.4.
3 3 3
(2)设王先生获得奖金总额为X(单位:元),按甲→乙→丙的顺序进行,
则X的可能取值为0,100,300,600,
P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=100)=0.8×(1-0.6)=0.32,
P(X=300)=0.8×0.6×(1-0.4)=0.288,P(X=600)=0.8×0.6×0.4=0.192,
X的分布列为
X 0 100 300 600
P 0.20.320.2880.192
E(X)=0×0.2+100×0.32+300×0.288+600×0.192=233.6元,
同理,设李先生获得奖金总额为 Y(单位:元),按丙→乙→甲的顺序进行,则Y的可能取值为
0,300,500,600,
P(Y=0)=1-0.4=0.6,P(Y=300)=0.4×(1-0.6)=0.16,
P(Y=500)=0.4×0.6×(1-0.8)=0.048,P(Y=600)=0.4×0.6×0.8=0.192,
Y的分布列为
Y 0 300 500 600
P 0.60.160.0480.192
E(Y)=0×0.6+300×0.16+500×0.048+600×0.192=187.2元.
综上,可知王先生获得奖金的期望值较大.
