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专题十一 概率与统计 ７８１
１１．４ 抽样方法与总体分布的估计
§
３．用样本的数字特征估计总体的数字特征
数字特征 样本数据 频率分布直方图
出现 次数最多 的 取最高的小长方形底边中点的
考点一 随机抽样 众数 ⑤
数据 横坐标
１．简单随机抽样 将数据按大小依次排
把频率分布直方图划分为左右
定义 一般地 设一个总体含有Ｎ Ｎ为正整数 个个体 列 处在最中间位置的
（１） ： ， （ ） ， 中位数 ， 两个面积相等的部分 分界线与
从中逐个 不放回 地抽取ｎ ｎ Ｎ 个个体作为样本 如果 一个数据 或最中间两 ，
① （１≤ ＜ ） ， （ ｘ轴交点的横坐标
每次∙抽∙取时各个个体被抽到的机会都相等 就把这种抽样方法 个数据的 平均数
， ⑥ ）
叫做简单随机抽样． ∙∙∙∙∙ 样本数据的算术平 每个小长方形的面积乘小长方
平均数
最常用的简单随机抽样方法有两种 随机数法和抽签法． 均数 形底边中点的横坐标之和
（２） ：
２．系统抽样 方差和标准差反映了数据波动程度的大小．
定义 当总体中个体数目很大时 可将总体分成均衡的若干
部分 然后 ： 按照预先制定的规则 从每 ， 一部分抽取一个个体得到 方差 ： ｓ２ ＝ ｎ １ ［（ ｘ １－ ｘ ） ２ ＋（ ｘ ２－ ｘ ） ２ ＋…＋（ ｘ ｎ－ ｘ ） ２ ］；
， ，
所需要的样本 这样的抽样方法叫做系统抽样．
３．分层抽样 ， 标准差 ： ｓ ＝ ｎ １ ［（ ｘ １－ ｘ ） ２ ＋（ ｘ ２－ ｘ ） ２ ＋…＋（ ｘ ｎ－ ｘ ） ２ ］ ．
定义 一般地 在抽样时 将总体分成 互不交叉 的 注意 方差和标准差描述了一组数据与平均数的离散程
（１） ： ， ， ②
层 然后按照一定的比例 从各层独立地抽取一定数量的个体 度 反映了一组数据相对于平均数的波动情况 标准差和方差越
， ， ， ， ，
将各层取出的个体合在一起作为样本 这种抽样方法是分层 大 说明这组数据的波动性越大．
， ，
抽样． ４．茎叶图
应用范围 总体是由 差异明显 的几个部分组成的． 茎叶图是统计中用来表示数据的一种图 茎是指中间的
（２） ： ③ （１） ，
分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层 实质 一列数 叶就是从茎的旁边生长出来的数．
（３） ， ，
样本容量 各层所抽取的个体数 茎叶图的画法步骤
是等比例抽样 抽样比 ． （２）
， ＝总体容量＝ 各层个体数 第一步 将每个数据分为茎 高位 和叶 低位 两部分
： （ ） （ ） ；
第二步 将最小茎与最大茎之间的数按大小顺序排成一列．
考点二 用样本估计总体 ：
５．百分位数
１．频率分布表与频率分布直方图 把 个样本数据按从小到大排序 得到第ｐ个和第ｐ
（１） １００ ， ＋１
频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤如下 个数据分别为ａ ｂ．可以发现 区间 ａ ｂ 内的任意一个数 都能把样
： ， ， （ ， ） ，
求极差 即求一组数据中最大值与最小值的差 本数据分成符合要求的两部分．一般地 我们取这两个数的平均数
（１） ， ； ，
决定组距与组数
ａ ｂ
（２） ； ＋ ｃ 并称此数为这组数据的第ｐ百分位数 或ｐ％分位数．
将数据分组 ＝ ， ，
（３） ； ２
列频率分布表 落在各小组内的数据的个数叫做频数 一般地 一组数据的第ｐ百分位数是这样一个值 它使
（４） ， ， （２） ， ，
每小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率 计算各 得这组数据中至少有 ｐ％的数据小于或等于这个值 且至少有
， ，
小组的频率 列出频率分布表 ｐ ％的数据大于或等于这个值．
， ； （１００－ ）
画频率分布直方图 依据频率分布表画出频率分布直方 四分位数
（５） ， （３）
图 其中纵坐标 小长方形的高 表示频率与组距的比值 其相应 常用的分位数有第 百分位数 第 百分位数 即中位
， （ ） ， ２５ ， ５０ （
组距上的频率等于该组上的小长方形的面积 即每个小长方形 数 第 百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数
， ）， ７５
频率 据分成四等份 因此称为四分位数．其中第 百分位数也称为第
的面积 组距 频率． ， ２５
＝ ×组距 ＝ 一四分位数或下四分位数等 第 百分位数也称为第三四分位
， ７５
各个小长方形面积的总和等于 ． 数或上四分位数等．
④ １
２．频率分布折线图和总体密度曲线
频率分布折线图 连接频率分布直方图中各小长方形上
（１） ：
端的中点 就得到频率分布折线图．
，
总体密度曲线 随着样本容量的增加 作频率分布直方图时
（２） ： ，
所分的组数增加 组距减小 相应的频率分布折线图会越来越接近
， ，
于一条光滑曲线 统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．
，
７８２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
考点一 随机抽样
１．在简单随机抽样中 某一个个体被抽到的可能性
， （ ）
与第ｎ次有关 第一次可能性最大
Ａ． ， 极差 方差 平均数 中位数
与第ｎ次有关 第一次可能性最小 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
Ｂ． ， 答案 Ｃ
与第ｎ次无关 与抽取的第几个样本有关
Ｃ． ， ７．为比较甲 乙两地某月 时的气温情况 随机选取该月 天
与第ｎ次无关 每次可能性相等 、 １１ ， ５
时的气温数据 单位 制成如图所示的茎叶图 已知甲地
Ｄ． ，
答案 Ｄ １１ （ ：℃） ，
该月 天 时的平均气温比乙地该月 天 时的平均气温
２．某单位员工按年龄分为Ａ Ｂ Ｃ三组 其人数之比为 现用 高 ５ 则 １ 甲 １ 地该月 天 时的气温数 ５ 据的 １ 标 １ 准差为
， ， ， ５∶ ４∶ １，
分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为 的样本 已知Ｃ组中 １ ℃， ５ １１ （ ）
２０ ， 甲 乙
甲 乙二人均被抽到的概率是１ 则该单位员工总数为
、 ， （ ）
４５ ９ ８ ２ ６ ８ ９
ｍ
Ａ．１１０ Ｂ．１００ Ｃ．９００ Ｄ．８００ ２ ０ ３ １ １
答案 Ｂ
３．福利彩票 双色球 中红球的号码可以从 Ａ．２ Ｂ． ２ Ｃ．１０ Ｄ． １０
“ ” ０１，０２，０３，…，３２，３３ 答案 Ｂ
这 个两位号码中选取 小明利用如下所示的随机数表选取
３３ ， ８．某种产品的质量以其质量指标值来衡量 质量指标值越大表明
红色球的 个号码 选取方法是从第 行第 列的数字开始 ，
６ ， １ ９ ， 质量越好 且质量指标值大于或等于 的产品为优质产品．
从左到右依次读取数据 相同号码数只算一次 则第四个被 ， １００
（ ）， 现用两种新配方 分别称为Ａ配方和Ｂ配方 做试验 各生产
选中的红色球的号码为 （ ） ，
（ ） 了 件这种产品 并测量了每件产品的质量指标值 都在区
１００ ， （
８１ ４７２３６８６３９３１７９０１２６９８６８１６２９３５０６０９１３３７５８５６１３９８５ 间 内 将这些数据分成 组
［９０，１１０］ ）， ４ ：［９０，９５），［９５，１００），
得到如下两幅频率分布直方图
０６ ３２３５９２４６２２５４１００２７８４９８２１８８６７０４８０５４６８８１５１９２０４９
［１００，１０５），［１０５，１１０］， ：
Ａ．１２ Ｂ．３３ Ｃ．０６ Ｄ．１６
答案 Ｃ
４．一个单位共有职工 人 其中不超过 岁的有 人 超过
２００ ， ４５ １２０ ，
岁的有 人．为了调查职工的健康状况 用分层抽样的方法
４５ ８０ ，
从全体职工中抽取一个容量为 的样本 应抽取超过 岁的
２５ ， ４５
职工 人．
答案
１０
考点二 用样本估计总体
５．（多选题）
“
科技引领
，
布局未来
”
科技研发是企业发展的驱动
已知这两种配方生产的产品利润ｙ 单位 百元 与其质量指标
力量． 年 某企业连续 年累计研发投入达 （ ： ）
亿 比 元 这 ， ２ 我 ００ 们 ７ 年 — 将 间 ２ 研 ０ 的 １ 发 ８ 研 投 发 ， 入 投 与 入 经营 单 投 位 入 １ 十 的 ２ 亿 比值 元 记 用 为 图 研 中 发 的 投 条 入 形 占 ４ 图 营 １０ 收 表 ０ 值ｔ的关系式为ｙ ì í ï ï ０ － ， １ ９ ， ５ ｔ ＜ ≤ ９ ｔ ５ ＜ ， １００， 若以上面数据的频率作为
， １２ （ ： ） ＝ï ｔ
示
，
研发投入占营收比用图中的折线图表示．根据折线图和条
î
ï１，１
ｔ
００≤
．
＜１０５，
形图 下列结论正确的有 ２，≥１０５
， （ ）
概率 分别从用Ａ配方和Ｂ配方生产的产品中随机抽取一件
， ，
且抽取这两件产品相互独立 则抽得的这两件产品利润之和为
，
的概率为
０ （ ）
． ． ． ．
Ａ．０１２５ Ｂ．０１９５ Ｃ．０２１５ Ｄ．０２３５
答案 Ｂ
９．某高二 班一次阶段性考试数学成绩的茎叶图和频率分布
（１）
直方图可见部分如图 根据图中的信息 可确定被抽测的人数
， ，
及分数在 内的人数分别为
［９０，１００］ （ ）
年至 年研发投入占营收比增量相比 年至
Ａ．２０１２ ２０１３ ２０１７
年研发投入占营收比增量大
２０１８
年至 年研发投入增量相比 年至 年研发
Ｂ．２０１３ ２０１４ ２０１５ ２０１６
投入增量小
Ａ．２０，２ Ｂ．２４，４ Ｃ．２５，２ Ｄ．２５，４
该企业连续 年来研发投入逐年增加 答案 Ｃ
Ｃ． １２
Ｄ．
该企业连续
１２
年来研发投入占营收比逐年增加 １０．若数据ｘ
１，
ｘ
２，
ｘ
３，…，
ｘ
ｎ
的平均数ｘ
＝５，
方差ｓ２
＝２，
则数据
３
ｘ
１
答案 ＡＢＣ ｘ ｘ ｘ 的平均数和方差分别为
＋１，３ ２＋１，３ ３＋１，…，３ ｎ＋１ （ ）
６．甲 乙两组数据如茎叶图所示 则甲 乙两组数据的平均数 方
、 ， 、 、 Ａ．５，２ Ｂ．１６，２ Ｃ．１６，１８ Ｄ．１６，９
差 极差及中位数相同的是 答案 Ｃ
、 （ ）
专题十一 概率与统计 ７８３
内的数据个数为 ．故选 ．
６０） ２４－４－５＝１５ Ｂ
２．（２０１８河北承德期末，３）某城市收集并整理了该市 年
２０１７ １
月份至 月份各月最低气温与最高气温 单位 的数据
１０ （ ：℃） ，
考点一 随机抽样
绘制了下面的折线图．
１．（２０２０云南名校 １０ 月高考适应性月考，３）某学校为了解
名新生的近视情况 将这些学生编号为
１０００ ， ０００，００１，００２，…，
从这些新生中用系统抽样的方法抽取 名学生进行检
９９９， １００
查 若 号学生被抽到 则下面 名学生中被抽到的是
， ０３６ ， ４
（ ）
号学生 号学生 号学生 号学生
Ａ．００８ Ｂ．２００ Ｃ．６１６ Ｄ．８１５
答案 Ｃ 由题意得抽样间隔为１０００ 因为 号学生
＝１０， ０３６
１００
被抽到 所以被抽中的初始编号为 号 之后被抽到的编号
， ００６ ，
均是 的整数倍与 的和 故选
１０ ６ ， Ｃ．
２．（２０１９河南新乡模拟，４）某机构对青年观众是否喜欢跨年晚 已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系
，
会进行了调查 人数如下表所示 根据折线图 下列结论错误的是
， ： ， （ ）
不喜欢 喜欢 最低气温与最高气温为正相关
Ａ．
月的最高气温不低于 月的最高气温
男性青年观众 Ｂ．１０ ５
３０ １０ 月温差 最高气温减最低气温 的最大值出现在 月
女性青年观众 Ｃ． （ ） １
３０ ５０ 最低气温低于 的月份有 个
Ｄ． ０ ℃ ４
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取ｎ人做进 答案 Ｄ 在 中 最低气温与最高气温为正相关 故 正
Ａ ， ， Ａ
一步的调研 若在 不喜欢 的男性青年观众中抽取了 人 则
确 在 中 月的最高气温不低于 月的最高气温 故 正
， “ ” ６ ，
； Ｂ ，１０ ５ ， Ｂ
ｎ 确 在 中 月温差 最高气温减最低气温 的最大值出现在
＝ （ ）
； Ｃ ， （ ） １
月 故 正确 在 中 最低气温低于 的月份有 个 故
Ａ．１２ Ｂ．１６ Ｃ．２４ Ｄ．３２
， Ｃ ； Ｄ ， ０ ℃ ３ ， Ｄ
答案 Ｃ 由分层抽样的性质得 ６
ｎ
解得ｎ
错误．故选
＝ ， ＝ Ｄ．
３０ ３０＋３０＋１０＋５０ ３．（２０１８安徽马鞍山第一次教学质量检测，１３）已知样本容量为
．故选
２４ Ｃ． 在样本的频率分布直方图中 共有ｎ个小矩形 若中间一
３．利用系统抽样法从编号分别为 的 件不同产品 ２００， ， ，
１，２，３，…，８０ ８０
中抽取一个容量为 的样本 如果抽出的产品中有一件产品 个小矩形的面积等于其余 ｎ 个小矩形面积和的 １ 则该
（ －１） ，
１６ ，
３
的编号为 则抽到产品的最大编号为
组的频数为 ．
１３， （ ）
答案
Ａ．７３ Ｂ．７８ Ｃ．７７ Ｄ．７６
５０
答案 Ｂ 样本的分段间隔为８０ ＝５， 所以 １３ 号在第三组 ， 则 解析 设除中间一个小矩形外的 （ ｎ －１） 个小矩形面积的和
１６
最大的编号为 １３＋（１６－３）×５＝７８ ． （ 类似于等差数列中的第 １６ 为Ｓ ， 则中间一个小矩形面积为 １ Ｓ ，∴ Ｓ ＋ １ Ｓ ＝１， 解得Ｓ ＝ ３ ，
３ ３ ４
项的求法
） 中间一个小矩形的面积等于 １ Ｓ １ 故该组的频数为
∴ ＝ ， ２００×
考点二 用样本估计总体 ３ ４
１ ．
１．（２０２０四川双流中学１０月月考，４）一个频数分布表 样本容 ＝５０
（ ４
量为 不小心被损坏了一部分 只记得样本中数据在 ４．（２０２０河南洛阳尖子生第一次联合考试，１３）已知样本ｘ ｘ
上
３
的
０）
频率为 ． 则估计样本
，
内的数据个数为
［２０，
ｘ 的平均数和方差分别是 和 若ｙ ａｘ ｂ ｉ
１， ２，
６０） ０８， ［４０，６０） …， ２０１９ １ ４， ｉ＝ ｉ＋ （ ＝１，２，
的平均数和方差也是 和 则ａｂ ．
（ ） …，２０１９） １ ４， ＝
分组 答案
［１０，２０） ［２０，３０） ［３０，４０） １
频数 ３ ４ ５ 解析 因为ｘ １， ｘ ２，…， ｘ ２０１９ 的平均数为 １， 所以ｙ ｉ＝ ａｘ ｉ＋ ｂ （ ｉ ＝
的平均数为ａ ｂ ．因为ｘ ｘ ｘ 的方
１，２，…，２０１９） ×１＋ ＝１ １， ２，…， ２０１９
Ａ．１４ Ｂ．１５ 差为
４，
所以ｙ
ｉ＝
ａｘ
ｉ＋
ｂ
（
ｉ
＝１，２，…，２０１９）
的方差为
４
ａ２
＝４
．所以
Ｃ．
答
１６
案 Ｂ 本题考查频数的求
Ｄ
法
．１７
涉及频率分布表等基础知
{ａ２
＝１， 解得
{ａ
＝１，或
{ａ
＝－１，所以ａｂ ．
， ａ ｂ ｂ ｂ ＝１
识 考查推理论证能力 运算求解能力 考查化归与转化思想 ＋ ＝１， ＝０ ＝２，
， 、 ， ， 导师点睛 本题考查平均数与方差的线性变换 难度一般．已
函数与方程思想 属于基础题． ，
， 知ｘ ｘ ｘ 的平均数与方差为Ａ与Ｂ 那么ｙ ａｘ ｂ ｉ
由于一个频数分布表 样本容量为 不小心被损坏了一部 １， ２，…， ｎ ， ｉ＝ ｉ＋ （ ＝
分 只记得样本中数据
（
在 上的
３０
频
）
率为 ． 所以样本中 １，２，…，
ｎ
）
的平均数与方差为ａＡ
＋
ｂ与ａ２Ｂ．
， ［２０，６０） ０８，
数据在 上的频数为 ． 故估计样本在
［２０，６０） ３０×０ ８＝２４， ［４０，
７８４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
２．用频率分布直方图估计样本的数字特征
ｎ
平均数 ｘ ｘＳ ｘ 表示第ｉ个小矩形底边中点的横
（１） ： ＝ ∑ｉ＝ ｉ ｉ（ ｉ
１
考法一 频率分布直方图的应用 坐标 Ｓ 表示第ｉ个小矩形的面积 ．
， ｉ ）
司规 定 例 招 １ 聘 的 （２ 职 ０ 工 ２１ 须 届 参 山 加 东 不 师 少 范 于 大学附 小 属 时 中 的 学 某 一 种 模 技 ， 能 １９ 培 ） 训 某 才 新 能 建公 上 （２） 方差 ： ｓ２ ＝ ∑ｉ＝ ｎ １ （ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ · Ｓ ｉ ．
， ８０ 众数 最高小矩形底边中点的横坐标．
班 公司人事部门在招聘的职工中随机抽取 名参加这种技能培 （３） ：
， ２００ 中位数 把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的
训的职工的数据 按时间段 （４） ：
， ［７５，８０），［８０，８５），［８５，９０），［９０，９５）， 部分时 分界线与横轴交点的横坐标．
单位 小时 进行统计 其频率分布直方图如图所示． ，
［９５，１００］（ ： ） ，
例 某大学艺术专业的 名学生参加某次测评 根据男女学
４００ ，
生人数比例 使用分层抽样的方法从中随机抽取了 名学
， １００
生 记录他们的分数 将数据按
， ， ［２０，３０），［３０，４０），…，［８０，９０］
分成 组 并整理得到如图所示的频率分布直方图．
７ ，
求抽取的 名职工中 参加这种技能培训时间不少于
（１） ２００ ，
小时的人数 并估计从招聘职工中任意选取一人 其参加这种
９０ ， ，
技能培训时间不少于 小时的概率
９０ ；
从招聘职工 人数很多 中任意选取 人 记 Ｘ 为这
（２） （ ） ３ ， ３
名职工中参加这种技能培训时间不少于 小时的人数 试求Ｘ
９０ ，
的分布列及数学期望Ｅ Ｘ 和方差Ｄ Ｘ ．
（ ） （ ） 估计总体的众数
解题导引 利用频率分布直方图求 的人数 （１） ；
（１） ［９０，１００］ ， 已知样本中分数小于 的学生有 人 试估计总体中
求得概率．
分数
（
在
２
区
）
间 内的人数
４０ ５ ，
确定Ｘ的所有值 Ｘ Ｂ ｎ ｐ 利用二项分布求解． 已知 ［４ 样 ０， 本 ５０ 中 ） 有一半男 ； 生的分数不小于 且样本中分
（２） ， ～ （ ， ），
（３） ７０，
解析 （ ）依题意，培训时间在［ ， ）小时的人数为 数不小于 的男女学生人数相等．试估计总体中男生和女生
１ ９０ ９５ ２００× ７０
． ，在［ ， ］小时的人数为 ． ， 人数的比例．
００６×５＝６０ ９５ １００ ２００×００２×５＝２０
解题导引
参加这种技能培训时间不少于 小时的频率为６０＋２０
∴ ９０ ＝
２００
． ，故参加这种技能培训时间不少于 小时的概率Ｐ ． ．
０４ ９０ ＝０４
( )
（ ）依题意，随机变量Ｘ服从二项分布Ｂ ，２ ，且随机变
２ ３
５
量Ｘ的可能取值为 ， ， ， ，
０ １ ２ ３
( ) ( )
３ ２
Ｐ（Ｘ ） ０ ３ ２７，Ｐ（Ｘ ） １ ２ ３ ５４，
＝０ ＝Ｃ３ ＝ ＝１ ＝Ｃ３ ＝
５ １２５ ５ ５ １２５
( ) ( )
２ ３
Ｐ（Ｘ ） ２ ２ ３ ３６，Ｐ（Ｘ ） ３ ２ ８ ，
＝２ ＝Ｃ３ ＝ ＝３ ＝Ｃ３ ＝
５ ５ １２５ ５ １２５
则随机变量Ｘ的分布列为
解析 （ ）由频率分布直方图可估计总体的众数为７０＋８０
Ｘ １
０ １ ２ ３ ２
．
Ｐ ２７ ５４ ３６ ８ ＝７５
（ ）由频率分布直方图可知，样本中分数在区间［ ， ］
１２５ １２５ １２５ １２５ ２ ５０ ９０
内的人数为（ ． ． ． ． ） ．
Ｅ Ｘ ２ ６ Ｄ Ｘ ２ ３ １８． ００１＋００２＋００４＋００２ ×１０×１００＝９０
∴ （ ）＝３× ＝ ， （ ）＝３× × ＝ 因为样本中分数小于 的学生有 人，
５ ５ ５ ５ ２５ ４０ ５
方法总结 １．用频率分布直方图解决相关问题时
，
应正确 所以样本中分数在区间［
４０
，
５０
）内的人数为
１００－９０－５
．
理解图中各个量的意义 识图掌握信息是解决该类问题的关键． ＝５
， ｘ
频率分布直方图有以下几个特点 纵轴表示频率／组距 设总体中分数在区间［ ， ）内的人数为ｘ，则 ５ ，
：（１） ； ４０ ５０ ＝
频率分布直方图中各小长方形高的比就是相应各组的频率 １００ ４００
（２） 解得ｘ ，
之比 直方图中各小长方形的面积是相应各组的频率 所有 ＝２０
；（３） ，
的小长方形的面积之和等于 即频率之和为 ．
１， １
专题十一 概率与统计 ７８５
故估计总体中分数在区间 内的人数为 ．
［４０，５０） ２０ 考法二 样本的数字特征及其应用
由频率分布直方图可知 样本中分数不小于 的人数
（３） ， ７０ 例２ （２０２１届新教材地区第一次月考）某工厂 两
为 ． ． ． Ａ，Ｂ
（００４＋００２）×１０×１００＝６０ 条生产线生产同款产品 若产品按照一 二 三等级分类 则每件
因为样本中分数不小于 的男女学生人数相等 所以样 ， 、 、 ，
７０ ， 可分别获利 元 元 元 现从 生产线生产的产品中各
本中分数不小于 的男生人数为 ． １０ 、８ 、６ ， Ａ，Ｂ
７０ ３０ 随机抽取 件进行检测 结果统计如图
因为样本中有一半男生的分数不小于 所以样本中男生 １００ ， ：
７０，
的人数为 女生的人数为 ．由样本估计总体 得总体中男生
６０， ４０ ，
和女生人数的比例约为 ．
３ ∶ ２
例 （２０１８安徽淮北一模，１９）下图为 届淮北师范
２０１７
大学数学与应用数学专业Ｎ名毕业生的综合测评成绩 百分
（
制 的频率分布直方图 已知 分数段的毕业生人数
） ， ８０～９０
为 ．
２１
根据已知数据 判断是否有 ％的把握认为一等级产品
（１） ， ９９
与生产线有关
；
分别计算两条生产线抽样产品获利的方差 以此作为判
（２） ，
断依据 说明哪条生产线的获利更稳定
， ；
估计该厂产量为 件产品时的利润以及一等级产
（３） ２ ０００
品的利润．
（１）
求该专业毕业总人数Ｎ和
９０～９５
分数段内的人数ｎ
；
附
：
Ｋ２
＝ ａ ｂ
ｎ
ｃ
（ ａ
ｄ
ｄ － ｂ
ａ
ｃ ）
ｃ
２
ｂ ｄ
．
现欲将 分数段内的ｎ名毕业生随机地分配到 （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
（２） ９０～９５
Ａ 、 Ｂ 、 Ｃ三所学校 ， 每所学校至少分配两名毕业生． Ｐ （ Ｋ２ ≥ ｋ ） ０ ． ０５０ ０ ． ０１０ ０ ． ００１
ｋ ． ． ．
若这ｎ名毕业生中甲 乙两人必须进同一所学校 共有 ３８４１ ６６３５ １０８２８
① 、 ，
多少种不同的分配方法 解析 （ ）根据已知数据可建立 列联表如下：
？ １ ２×２
若这ｎ名毕业生中恰有两名女生 设随机变量ξ表示ｎ 一等级产品 非一等级产品 合计
② ，
名毕业生中分配往Ｂ学校的两名毕业生中女生的人数 求ξ的 生产线
， Ａ ２０ ８０ １００
分布列和数学期望． 生产线
Ｂ ３５ ６５ １００
解题导引 合计
５５ １４５ ２００
ｎ（ａｄ ｂｃ）２ （ ）２
Ｋ２ － ２００× ２０×６５－３５×８０
＝（ａ ｂ）（ｃ ｄ）（ａ ｃ）（ｂ ｄ）＝ ≈
＋ ＋ ＋ ＋ ５５×１４５×１００×１００
． ． ．
５６４３＜６６３５
所以没有 ％的把握认为一等级产品与生产线有关．
９９
（ ）从 生产线随机抽取的 件产品获利的平均数为
２ Ａ １００
解析 （ ） 分数段的频率ｐ （ ． ． ） ． ， ｘ １ （ ） （元），方差为 ｓ２ １
１ ８０～９０ １＝ ００４＋００３ ×５＝０３５ １＝ × １０×２０＋８×６０＋６×２０ ＝ ８ １＝ ×
１００ １００
此分数段的毕业生人数为 ， 毕业生的总人数Ｎ ２１ ［（ ）２ （ ）２ （ ）２ ］ ． ，
２１ ∴ ＝ ． １０－８ ×２０＋ ８－８ ×６０＋ ６－８ ×２０ ＝１６
０３５
， 分数段的频率ｐ （ ． ． ． ． ． 从 生产线随机抽取的 件产品获利的平均数为ｘ １
＝６０ ９０～９５ ２＝１－ ００１＋００４＋００５＋００４＋００３ Ｂ １００ ２＝
１００
＋０ ． ０１ ） ×５＝０ ． １ ， × （ １０×３５＋８×４０＋６×２５ ） ＝８ ． ２ （元），
分数段内的人数ｎ ． ．
∴
（
２
９
）
０
①
～
将
９５
９０～９５
分数段内的
＝
６
６
名
０×
毕
０１
业
＝
生
６
随机地分配到Ａ、
方差为ｓ２
２＝
１０
１
０
×
［（
１０－８
．
２
）２
×３５＋
（
８－８
．
２
）２
×４０＋
（
６－８
．
２
）２
×
Ｂ、Ｃ三所学校，每所学校至少分配两名毕业生，且甲、乙两人必 ］ ． ．所以ｓ２ ｓ２，则 生产线的获利更稳定．
２５ ＝２３６ １＜ ２ Ａ
２ ２ （ ）从 ， 生产线共随机抽取的 件产品获利的平均数
须进同一所学校，则共有Ｃ４Ｃ２· ３ 种不同的分配方法． ３ Ａ Ｂ ２００
２
Ａ３＝１８
Ａ２ 为 １ ［ （ ） （ ） （ ）］ ． （元），
ξ的所有可能取值为 ， ， ， × １０× ２０＋３５ ＋８× ６０＋４０ ＋６× ２０＋２５ ＝８１
② ０ １ ２ ２００
由样本估计总体，当产量为 件产品时，估计该工厂获
Ｐ（ξ ＝０ ） ＝ Ｃ
Ｃ
０ ２Ｃ
２ ６
２ ４ ＝
１
６
５
， 利
２ 因 ００ 为 ０× 从 ８
．
１＝ ， １６ 生 ２０ 产 ０
（
线
元
共
）．
随机抽
２
取
００
的
０
件产品中， 生产线
１ １ ２ ０ Ａ Ｂ ２００ Ａ
Ｐ（ξ ） Ｃ２Ｃ４ ８ ，Ｐ（ξ ） Ｃ２Ｃ４ １ ， 生产的一等级产品有 件， 生产线生产的一等级产品有
＝１ ＝ ２ ＝ ＝２ ＝ ２ ＝ ２０ Ｂ ３５
Ｃ６ １５ Ｃ６ １５ 件，由样本频率估计总体概率，
所以ξ的分布列为
得该工厂生产产品为一等级产品的概率估计值为２０＋３５
ξ ＝
０ １ ２
２００
Ｐ ６ ８ １ １１，当产量为 件产品时，估计该工厂一等级产品获利
１５ １５ １５ ２０００ ２０００
４０
所以随机变量ξ的数学期望Ｅ ξ ６ ８ １ ２． １１ （元）．
（ ）＝０× ＋１× ＋２× ＝ × ×１０＝５５００
１５ １５ １５ ３ ４０
７８６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
方法总结 １．平均数 中位数 众数与方差 标准差都是重
分别计算甲 乙两厂提供的 个轮胎宽度的平均值
、 、 、
（１） 、 １０ ；
要的数字特征 利用它们可对总体进行一种简明的描述 它们所 若轮胎的宽度在 内 则称这个轮胎是标准
， ， （２） ［１９４，１９６］ ，
反映的情况有着重要的实际意义 平均数 中位数 众数可描述 轮胎．试比较甲 乙两厂分别提供的 个轮胎中所有标准轮胎
， 、 、 、 １０
总体的集中趋势 方差和标准差可描述波动大小． 宽度的方差的大小 根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其
， ，
２．有关平均数 方差的一些结论 波动情况 判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好．
、 ： ，
若数据ｘ ｘ ｘ 的平均数为ｘ 那么ｍｘ ａ ｍｘ ａ
ｍｘ （ ａ １） ｍｘ ａ １ 的 ， 平 ２， 均 … 数 ， 是 ｎ ｍｘ ａ． ， １＋ ， ２＋ ， 解析 （ １ ）甲厂 １０ 个轮胎宽度的平均值：
３＋ ，…， ｎ＋ ＋
（２） 设数据ｘ １， ｘ ２，…， ｘ ｎ 的方差为ｓ２ ， 则 ｘ 甲＝
１
１
０
× （ １９５＋１９４＋１９６＋１９３＋１９４＋１９７＋１９６＋１９５＋１９３＋
① ｓ２ ＝ ｎ １ ［（ ｘ １－ ｘ ） ２ ＋（ ｘ ２－ ｘ ） ２ ＋…＋（ ｘ ｎ－ ｘ ） ２ ］； １９７ ） ＝１９５ （ ｍｍ ），
② 数据ｘ １＋ ａ ， ｘ ２＋ ａ ，…， ｘ ｎ＋ ａ的方差也为ｓ２ ； 乙厂 １０ 个轮胎宽度的平均值：ｘ 乙＝
１
１
０
× （ １９５＋１９６＋１９３＋
③ 数据ａｘ １， ａｘ ２，…， ａｘ ｎ 的方差为ａ２ｓ２． １９２＋１９５＋１９４＋１９５＋１９２＋１９５＋１９３ ） ＝１９４ （ ｍｍ ）．
（ ）甲厂 个轮胎中宽度在［ ， ］内的数据为 ，
２ １０ １９４ １９６ １９５
例 （２０１８河南新乡一模，１９）为了了解甲 乙两个工厂生产 ， ， ， ， ，
、 １９４ １９６ １９４ １９６ １９５
的轮胎的宽度是否达标 从两厂各随机选取了 个轮胎 将每
， １０ ， 平均数：ｘ １ （ ） ，
个轮胎的宽度 单位 记录下来并绘制出如下的折线图 １＝ × １９５＋１９４＋１９６＋１９４＋１９６＋１９５ ＝１９５
（ ：ｍｍ） ： ６
方差：ｓ２ １ ［（ ）２ （ ）２ （ ）２
１＝ × １９５－１９５ ＋ １９４－１９５ ＋ １９６－１９５ ＋
６
（ ）２ （ ）２ （ ）２］ ２ ，
１９４－１９５ ＋ １９６－１９５ ＋ １９５－１９５ ＝
３
乙厂 个轮胎中宽度在［ ， ］内的数据为 ， ，
１０ １９４ １９６ １９５ １９６
， ， ， ，
１９５ １９４ １９５ １９５
平均数：ｘ １ （ ） ，
２＝ × １９５＋１９６＋１９５＋１９４＋１９５＋１９５ ＝１９５
６
方差：ｓ２ １ ［（ ）２ （ ）２ （ ）２
２＝ × １９５－１９５ ＋ １９６－１９５ ＋ １９５－１９５ ＋
６
（ ）２ （ ）２ （ ）２］ １ ，
１９４－１９５ ＋ １９５－１９５ ＋ １９５－１９５ ＝
３
两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，
∵
乙厂的轮胎相对更好．
∴
已知尺寸在 ． ． 内的零件为一等品 否则为二等
（２） ［６３ ０，６４ ５） ，
品 将这 个零件尺寸的样本频率视为概率 从生产线上
， ８０ ，
随机抽取 个零件 试估计所抽取的零件是二等品的概率．
考法一 频率分布直方图的应用 １ ，
１．（２０２０福建毕业班质量检查测试）某市为了解居民用水情况
，
通过抽样得到部分家庭月均用水量的数据 制出频率分布直方
，
图 如图 ．若以频率代替概率 从该市随机抽取 个家庭 则月
（ ） ， ５ ，
均用水量在 吨的家庭个数Ｘ的数学期望为
８～１２ （ ）
３．（２０１９安徽六安第二中学联考，１９）每年 月到 月是芒果的
５ ７
成熟季节．某大学校内种植了很多食用芒果树．据该校后勤处
． ． ． 负责人介绍 他们校内的芒果种植过程中没有使用过农药 也
Ａ．３６ Ｂ．３ Ｃ．１６ Ｄ．１５ ， ，
答案 Ｂ 没有路边那种绿化芒的污染 可以放心食用． 年该校的芒
， ２０１８
２．（２０２０广东广州阶段训练）某企业质量检验员为了检测生产线上 果也迎来了大丰收． 月 日 该校南北校区集中采摘芒果 并
６ ２５ ， ，
零件的情况 从生产线上随机抽取了 个零件进行测量 根据所 将采摘到的芒果免费派送给学校师生．现随机从一些芒果树上
， ８０ ，
测量的零件尺寸 单位 得到如下的频率分布直方图． 摘下 个芒果 其质量分布在
（ ：ｍｍ）， １００ ， ［１００，１５０），［１５０，２００），［２００，
根据频率分布直方图 求这 个零件尺寸的中位数 结果 单位 克 内 经统
（１） ， ８０ （ ２５０），［２５０，３００），［３００，３５０），［３５０，４００）（ ： ） ，
精确到 ． 计得频率分布直方图如图所示．
００１）；
专题十一 概率与统计 ７８７
ξ μ σ ． ．
＜ ≤ ＋２ ）＝０９５４４
考法二 样本的数字特征及其应用
５．（２０１９上海浦东期中教学质量检测（二模），１０）已知 个正
６
整数 它们的平均数是 中位数是 唯一众数是 则这 个
， ５， ４， ３， ６
数方差的最大值为 ． 精确到小数点后一位
（ ）
答案 ．
１２３
６．（２０２０河北邯郸空中课堂备考检测）某小型水库的管理部门
为研究库区水量的变化情况 决定安排两个小组在同一年中各
现按分层抽样从质量在 内的芒果中 ，
（１） ［２５０，３００），［３００，３５０） 自进行观察研究．其中一个小组研究水源涵养情况 他们通过
随机抽取 个 再从这 个中随机抽取 个 记随机变量Ｘ ，
９ ， ９ ３ ， 观察入库的若干小溪和降雨量等因素 随机记录了 天的日
表示质量在 内的芒果个数 求Ｘ的分布列及数 ， １００
［３００，３５０） ， 入库水量数据 单位 千立方米 得到下面的条形图 如图
学期望 （ ： ）， （
； 甲 另一小组研究由于放水 蒸发或渗漏造成的水量消失情
以各组数据的中间数代表这组数据的平均值 将频率视为 ）， 、
（２） ， 况 他们通过观察与水库相连的特殊小泥塘的水面下降情况来
概率 假如你是经销商去收购芒果 该校当时还未摘下的 ，
， ， 研究库区水的整体消失量 随机记录了 天的库区日消失水
芒果大约还有 个 现提供如下两种收购方案 ， １００
１００００ ， ： 量数据 单位 千立方米 并将观测数据整理成频率分布直方
Ａ 所有芒果以 元／千克收购 （ ： ），
： １０ ； 图 如图乙 ．
Ｂ 对质量低于 克的芒果以 元／个收购 高于或等于 （ ）
： ２５０ ２ ，
克的以 元／个收购．
２５０ ３
通过计算确定你会选择哪种方案．
４．（２０２０山东潍坊临朐综合模拟，２０） 过元宵节 吃元宵 是我
“ ， ”
国过元宵节的一大习俗． 年元宵节前夕 北方一城市某质
２０１９ ，
检部门随机抽取了 包某种品牌的元宵 检测其某项质量指
１００ ，
标值 所得频率分布直方图如下
， ：
图甲
求所抽取的 包元宵该项质量指标值的样本平均数 同
（１） １００ （
一组中的数据用该组区间的中点值作代表
）；
由直方图可以认为 元宵的该项质量指标值Ｚ服从正态
（２）① ， 图乙
分布Ｎ μ σ２ 利用该正态分布求Ｚ落在 ． ．
（ ， ）， （１４ ５５，３８ ４５］
内的概率 据此估计这一年中日消失水量的平均值
； （１） ；
将频率视为概率 若某人从某超市购买了 包这种品牌 以频率作为概率 试解决如下问题
② ， ４ （２） ， ：
的元宵 记这 包元宵中这种质量指标值位于 内 分别估计日流入水量不少于 千立方米和日消失水量
， ４ （１０，３０） ① ２０
的包数为Ｘ 求Ｘ的分布列和均值． 不多于 千立方米的概率
， ２０ ；
附 计算得所抽查的这 包元宵的质量指标值的标准差σ 试估计经过一年后 该水库的水量是增加了还是减少
： １００ ≈ ② ，
１１
．
９５；
若ξ
～
Ｎ
（
μ
，
σ２
），
则Ｐ
（
μ
－
σ
＜
ξ
≤
μ
＋
σ
）＝０
．
６８２ ６，
Ｐ
（
μ
－２
σ 了
，
变化的量是多少
？ （
一年按
３６５
天计算
）
考法一 频率分布直方图的应用
１．（２０１８陕西榆林第二中学模拟，１３）某学校为了调查学生在学
科教辅书方面的支出情况 抽出了一个容量为ｎ的样本 其频
， ，
率分布直方图如图所示 其中支出的钱数在 的同学比 答案
， ［３０，４０） １００
支出的钱数在 的同学多 人 则ｎ的值为 ． 解析 由频率分布直方图可得支出的钱数在 的同学
［１０，２０） ２６ ， ［３０，４０）
有 ． ｎ ． ｎ个 支出的钱数在 的同学有 ．
００３８×１０ ＝０３８ ， ［１０，２０） ００１２
ｎ ． ｎ个 又支出的钱数在 的同学比支出的钱
×１０ ＝０１２ ， ［３０，４０）
数在 的同学多 人 所以 ． ｎ ． ｎ ． ｎ
［１０，２０） ２６ ， ０３８ －０１２ ＝０２６ ＝２６，∴
ｎ ．
＝１００
７８８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
２．（２０１８江西新余二模，１８） 一带一路 是 丝绸之路经济带
“ ” “ ” Ａ．１０ Ｂ．１１ Ｃ．１２ Ｄ．１３
和 世纪海上丝绸之路 的简称．某市为了了解人们对 一带 答案 Ｃ 甲组学生成绩的平均数是
“２１ ” “ ∵ ８８，
一路 的认知程度 对不同年龄和不同职业的人举办了一次 由茎叶图可知 ｍ ｍ
” ， ∴ ７８＋８６＋８４＋８８＋９５＋９０＋ ＋９２＝８８×７，∴ ＝３，
一带一路 知识竞赛 满分为 分 分及以上为认知程度 乙组学生成绩的中位数是 ｎ
“ ” ， １００ （９０ ∵ ８９，∴ ＝９，
高 ．现从参赛者中抽取了ｘ人 按年龄分成 组 第一组 ｍ ｎ ．故选
） ， ５ ， ：［２０， ∴ ＋ ＝１２ Ｃ．
第二组 第三组 第四组 第 ２．（２０１８湖南衡阳二模，４）已知样本 ｘ ｘ ｘ 的平均数为
２５）， ：［２５，３０）， ：［３０，３５）， ：［３５，４０）， １， ２，…， ｎ
五组 得到如图所示的频率分布直方图 已知第一组 ｘ 样本ｙ ｙ ｙ 的平均数为 ｙ ｘ ｙ 若样本 ｘ ｘ
：［４０，４５）， ， ， １， ２，…， ｍ （ ≠ ）， １， ２，…，
有 人．
６ ｘ ｙ ｙ ｙ 的平均数ｚ ａｘ ａ ｙ 其中 ａ １ 则ｎ ｍ
ｎ， １， ２，…， ｍ ＝ ＋（１－ ） ， ０＜ ＜ ， ，
２
ｎ ｍ Ｎ∗ 的大小关系为
（ ， ∈ ） （ ）
ｎ ｍ ｎ ｍ ｎ ｍ ｎ ｍ
Ａ． ＝ Ｂ． ≥ Ｃ． ＜ Ｄ． ＞
ｎ ( ｎ )
答案 Ｃ 由题意得ｚ １ ｎｘ ｍｙ ｘ ｙ
＝ｎ ｍ（ ＋ ）＝ｎ ｍ ＋ １－ｎ ｍ ，
＋ ＋ ＋
ｎ ｎ
ａ ａ １ １
∴ ＝ｎ ｍ，∵０＜ ＜ ，∴０＜ｎ ｍ＜ ，
＋ ２ ＋ ２
又ｎ ｍ Ｎ∗ ｎ ｎ ｍ ｎ ｍ．故选
求ｘ ， ∈ ，∴２ ＜ ＋ ，∴ ＜ Ｃ．
（１） ； ３．（２０１８山东济南一模，３）已知某 个数的平均数为 方差为
求抽取的ｘ人的年龄的中位数 结果保留整数 ７ ４，
（２） （ ）； 现加入一个新数据 此时这 个数的平均数为ｘ 方差为ｓ２
从该市大学生 军人 医务人员 工人 个体户 五种人中用 ２， ４， ８ ， ，
（３） 、 、 、 、 ， 则
分层抽样的方法依次抽取 人 人 人 人 人 （ ）
６ ，４２ ，３６ ，２４ ，１２ ， ｘ ｓ２ ｘ ｓ２
分别记为 组 从这 个按年龄分的组和 个按职业分 Ａ． ＝４， ＜２ Ｂ． ＝４， ＞２
１～５ ， ５ ５ ｘ ｓ２ ｘ ｓ２
的组中每组各选派 人参加知识竞赛 分别代表相应组的 Ｃ． ＞４， ＜２ Ｄ． ＞４， ＞２
１ ， 答案 Ａ 某 个数的平均数为 这 个数的和为
成绩 年龄组中 组的成绩分别为 职 ∵ ７ ４，∴ ７ ４×７
， １～５ ９３，９６，９７，９４，９０，
业组中 组的成绩分别为 ． ． 加入一个新数据 ｘ ２８＋４ ．又 这 个数的方差
１～５ ９３，９８，９４，９５，９０ ＝２８∵ ４，∴ ＝ ＝４ ∵ ７
分别求 个年龄组和 个职业组成绩的平均数和 ８
（ｉ） ５ ５ 为 且加入一个新数据 这 个数的方差 ｓ２
方差 ２， ４，∴ ８ ＝
以 ； 上述数据为依据 评价 个年龄组和 个职业组对 ７×２＋（４－４） ２ ７ 故选
＝ ＜２， Ａ．
（ｉｉ） ， ５ ５ ８ ４
一带一路 的认知程度 并谈谈你的感想． ４．（２０１８河北石家庄教学质量检测（二），９）某学校Ａ Ｂ两个班
“ ” ， 、
解析 根据频率分布直方图得第一组的频率为 ． 的兴趣小组在一次对抗赛中的成绩如茎叶图所示 通过茎叶图
（１） ００１×５＝ ，
比较两个班兴趣小组成绩的平均值及标准差．
． ６ ． ｘ ．
００５，∴ ｘ ＝００５，∴ ＝１２０ Ａ班兴趣小组的平均成绩高于Ｂ班兴趣小组的平均成绩
（２） 设中位数为ａ ， 则 ０ ． ０１×５＋０ ． ０７×５＋（ ａ －３０）×０ ． ０６＝０ ． ５， ① Ｂ班兴趣小组的平均成绩高于Ａ班兴趣小组的平均成绩 ；
② ；
ａ ９５ 则中位数为 ． Ａ班兴趣小组成绩的标准差大于Ｂ班兴趣小组成绩的标准差
∴ ＝ ≈３２， ３２ ③ ；
３ Ｂ 班兴趣小组成绩的标准差大于 Ａ 班兴趣小组成绩的标
④
个年龄组成绩的平均数为ｘ １ 准差．
（３）（ｉ）５ １＝ ×（９３＋９６＋９７＋９４＋
５ 其中正确结论的编号为
（ ）
方差为ｓ２ １ ２ ２ ２ ２ ２ ．
９０）＝９４， １＝ ×［（－１） ＋２ ＋３ ＋０ ＋（－４） ］＝６
５
个职业组成绩的平均数为ｘ １
５ ２＝ ×（９３＋９８＋９４＋９５＋９０）＝９４，
５
方差为ｓ２ １ ２ ２ ２ ２ ２ ． ．
２＝ ×［（－１） ＋４ ＋０ ＋１ ＋（－４） ］＝６８
５
从平均数来看两组的认知程度相同 从方差来看年龄组的 Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．②④ Ｄ．①③
（ｉｉ） ，
认知程度更稳定． 感想合理即可 答案 Ａ Ａ班兴趣小组的平均成绩为５３＋６２＋６４＋…＋９２＋９５
（ ）
１５
考法二 样本的数字特征及其应用
＝７８，
１．（２０１７广东广雅中学、江西南昌二中联考，４）某市重点中学奥 其方差为 １ ２ ２ ２ ．
×［（５３－７８） ＋（６２－７８） ＋…＋（９５－７８） ］＝１２１６，
数培训班共有 人 分为两个小组 在一次阶段性考试中两个 １５
１４ ， ，
小组成绩的茎叶图如图所示 其中甲组学生成绩的平均数是 则其标准差为 ． ．
， １２１６≈１１０３；
８８，
乙组学生成绩的中位数是
８９，
则ｍ
＋
ｎ的值是
（ ）
Ｂ班兴趣小组的平均成绩为４５＋４８＋５１＋…＋９１
＝６６，
甲组 乙组 １５
其方差为 １ ２ ２ ２ ．
×［（４５－６６） ＋（４８－６６） ＋…＋（９１－６６） ］＝１７５２，
８ ７ ９ １５
ｎ 则其标准差为 ． ． ．故选 ．
６ ４ ８ ８ ３ ８ １７５２≈１３２３ Ａ
ｍ
５ ２ ９ ２ ２ ５
专题十一 概率与统计 ７８９
答案 Ｃ
１．（２０２０新高考Ⅰ，５，５分）某中学的学生积极参加体育锻炼
， ６．（２０１８课标Ⅰ，３，５分）某地区经过一年的新农村建设 农村
其中有 ％的学生喜欢足球或游泳 ％的学生喜欢足球 ，
９６ ，６０ ， 的经济收入增加了一倍 实现翻番．为更好地了解该地区农村
％的学生喜欢游泳 则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生 ，
８２ ， 的经济收入变化情况 统计了该地区新农村建设前后农村的经
数占该校学生总数的比例是 ，
（ ） 济收入构成比例 得到如下饼图
％ ％ ％ ％ ， ：
Ａ．６２ Ｂ．５６ Ｃ．４６ Ｄ．４２
答案 Ｃ
２．（２０２０课标Ⅲ文，３，５ 分）设一组样本数据ｘ ｘ ｘ 的方
１， ２，…， ｎ
差为 ． 则数据 ｘ ｘ ｘ 的方差为
００１， １０ １，１０ ２，…，１０ ｎ （ ）
． ．
Ａ．００１ Ｂ．０１ Ｃ．１ Ｄ．１０
答案 Ｃ
则下面结论中不正确的是
３．（２０２０天津，４，５ 分）从一批零件中抽取 个 测量其直径 （ ）
８０ ， 新农村建设后 种植收入减少
单位 将所得数据分为 组 ． ． ． Ａ． ，
（ ：ｍｍ）， ９ ：［５ ３１，５ ３３），［５ ３３， 新农村建设后 其他收入增加了一倍以上
． ． ． ． ． 并整理得到如下频率分 Ｂ． ，
５３５），…，［５４５，５４７），［５ ４７，５ ４９］， 新农村建设后 养殖收入增加了一倍
布直方图 则在被抽取的零件中 直径落在区间 ． ． 内 Ｃ． ，
， ， ［５４３，５４７） 新农村建设后 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济
的个数为 Ｄ． ，
（ ） 收入的一半
答案 Ａ
７．（２０１７课标Ⅲ，３，５分）某城市为了解游客人数的变化规律
，
提高旅游服务质量 收集并整理了 年 月至 年
， ２０１４ １ ２０１６ １２
月期间月接待游客量 单位 万人 的数据 绘制了下面的折
（ ： ） ，
线图．
Ａ．１０ Ｂ．１８ Ｃ．２０ Ｄ．３６
答案 Ｂ
４．（多选题）（２０２０新高考Ⅱ，９，５分）我国新冠肺炎疫情防控进
根据该折线图 下列结论错误的是
入常态化 各地有序推动复工复产 下面是某地连续 天的复 ， （ ）
， ， １１ 月接待游客量逐月增加
工 复产指数折线图． Ａ．
、 年接待游客量逐年增加
Ｂ．
各年的月接待游客量高峰期大致在 月
Ｃ． ７，８
各年 月至 月的月接待游客量相对于 月至 月 波动
Ｄ． １ ６ ７ １２ ，
性更小 变化比较平稳
，
答案 Ａ
８．（２０２０江苏，３，５分）已知一组数据 ａ ａ 的平均数
４，２ ，３－ ，５，６
为 则ａ的值是 ．
４，
答案
２
９．（２０１７江苏，３，５分）某工厂生产甲 乙 丙 丁四种不同型号
根据该折线图 、 、 、
， （ ） 的产品 产量分别为 件．为检验产品的质量
这 天复工指数和复产指数均逐日增加 ， ２００，４００，３００，１００ ，
Ａ． １１ 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 件进行检
在这 天期间 复产指数的增量大于复工指数的增量 ６０
Ｂ． １１ ， 验 则应从丙种型号的产品中抽取 件．
第 天至第 天 复工指数和复产指数都超过 ％ ，
Ｃ． ３ １１ ， ８０ 答案
第 天至第 天 复产指数的增量大于复工指数的增量 １８
Ｄ． ９ １１ ， １０．（２０２０课标Ⅰ文，１７，１２分）某厂接受了一项加工业务 加工
答案 ＣＤ ，
出来的产品 单位 件 按标准分为 四个等级．加工
５．（２０１９课标Ⅲ，３，５分） 西游记 三国演义 水浒传 和 红 （ ： ） Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ
《 》《 》《 》 《 业务约定 对于 级品 级品 级品 厂家每件分别收取加
楼梦 是中国古典文学瑰宝 并称为中国古典小说四大名著．某 ： Ａ 、Ｂ 、Ｃ ，
》 ， 工费 元 元 元 对于 级品 厂家每件要赔偿原料损
中学为了解本校学生阅读四大名著的情况 随机调查了 位 ９０ ，５０ ，２０ ； Ｄ ，
， １００ 失费 元．该厂有甲 乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加
学生 其中阅读过 西游记 或 红楼梦 的学生共有 位 阅 ５０ 、
， 《 》 《 》 ９０ ， 工成本费为 元／件 乙分厂加工成本费为 元／件．厂家为
读过 红楼梦 的学生共有 位 阅读过 西游记 且阅读过 ２５ ， ２０
《 》 ８０ ， 《 》 决定由哪个分厂承接加工业务 在两个分厂各试加工了
红楼梦 的学生共有 位 则该校阅读过 西游记 的学生人 ， １００
《 》 ６０ ， 《 》 件这种产品 并统计了这些产品的等级 整理如下
数与该校学生总数比值的估计值为 ， ， ：
（ ） 甲分厂产品等级的频数分布表
等级
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
． ． ． ．
Ａ．０５ Ｂ．０６ Ｃ．０７ Ｄ．０８
７９０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
续表
等级
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
频数
４０ ２０ ２０ ２０
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
频数 记Ｃ为事件 乙离子残留在体内的百分比不低于 ． 根据
２８ １７ ３４ ２１ ：“ ５５”，
分别估计甲 乙两分厂加工出来的一件产品为 级品的 直方图得到Ｐ Ｃ 的估计值为 ． ．
（ ） ０７０
（１） 、 Ａ
概率
求乙离子残留百分比直方图中ａ ｂ的值
（１） ， ；
；
分别估计甲 乙离子残留百分比的平均值 同一组中的数
分别求甲 乙两分厂加工出来的 件产品的平均利润
（２） 、 （
（２） 、 １００ ，
以平均利润为依据 厂家应选哪个分厂承接加工业务 据用该组区间的中点值为代表 ．
）
， ？
１１．（２０１９课标Ⅲ，１７，１２分）为了解甲 乙两种离子在小鼠体内
、
的残留程度 进行如下试验 将 只小鼠随机分成 两
， ： ２００ Ａ，Ｂ
组 每组 只 其中 组小鼠给服甲离子溶液 组小鼠给
， １００ ， Ａ ，Ｂ
服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同 摩尔浓度相
、
同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内
离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图
：
１．（２０１９课标Ⅰ文，６，５分）某学校为了解 名新生的身体 本中 青年教师有 人 则该样本中的老年教师人数为
１ ０００ ， ３２０ ，
素质 将这些学生编号为 从这些新生中用系统
， １，２，…，１ ０００， （ ）
抽样方法等距抽取 名学生进行体质测验．若 号学生被
１００ ４６ 类别 人数
抽到 则下面 名学生中被抽到的是
， ４ （ ） 老年教师
号学生 号学生 ９００
Ａ．８ Ｂ．２００
号学生 号学生 中年教师
Ｃ．６１６ Ｄ．８１５ １８００
答案 Ｃ 本题考查系统抽样 考查了数据处理能力 考查 青年教师
； ；
１６００
的核心素养为数据分析．
合计
将 名学生分成 组 每组 人 则每组抽取的号码构 ４３００
１０００ １００ ， １０ ，
成公差为 的等差数列 ａ 由题意知ａ 则ａ ａ ｎ
１０ ｛ ｎ｝， ５＝４６， ｎ＝ ５＋（ Ａ．
答
９０
案 Ｃ 本
Ｂ
题
．１
考
００
查分层抽
Ｃ
样
．１８
根
０
据样本中
Ｄ
的
．３０
青
０
年教师有
ｎ ｎ Ｎ∗ 易知只有 选项满足题意．故选 ． ，
－５）×１０＝１０ －４， ∈ ， Ｃ Ｃ 人 且青年教师与老年教师人数的比为
解题关键 明确系统抽样的方法是解决本题的关键． ３２０ ， １ ６００ ∶ ９００＝１６ ∶
２．（２０１５湖南文，２，５分）在一次马拉松比赛中 名运动员的 可以得到样本中的老年教师的人数为 ９ 故选 ．
，３５ ９， ×３２０＝１８０， Ｃ
成绩 单位 分钟 的茎叶图如图所示． １６
（ ： ） ４．（２０１４ 重庆文，３，５ 分）某中学有高中生 人 初中生
３ ５００ ，
人．为了解学生的学习情况 用分层抽样的方法从该校学
１５００ ，
生中抽取一个容量为ｎ的样本 已知从高中生中抽取 人 则
， ７０ ，
ｎ为
（ ）
若将运动员按成绩由好到差编为 号 再用系统抽样方法
１～３５ ， Ａ．１００ Ｂ．１５０ Ｃ．２００ Ｄ．２５０
从中抽取 人 则其中成绩在区间 上的运动员人 ｎ
７ ， ［１３９，１５１］ 答案 Ａ 由分层抽样的特点可知 ７０ 解之
数是 ＝ ，
（ ） ３５００ ３５００＋１５００
得ｎ ．
Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ ＝１００
答案 Ｂ 从 人中用系统抽样方法抽取 人 则可将这 ５． （２０１４湖南文，３，５ 分）对一个容量为 Ｎ 的总体抽取
３５ ７ ，
人分成 组 每组 人 从每一组中抽取 人 而成绩在 容量为ｎ的样本 当选取简单随机抽样 系统抽样和分层抽样
３５ ７ ， ５ ， １ ， ， 、
上的有 组 所以抽取 人 故选 ． 三种不同方法抽取样本时 总体中每个个体被抽中的概率分别
［１３９，１５１］ ４ ， ４ ， Ｂ ，
３．（２０１５北京文，４，５分）某校老年 中年和青年教师的人数见 为ｐ ｐ ｐ 则
、 １， ２， ３， （ ）
下表．采用分层抽样的方法调查教师的身体状况 在抽取的样 ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ
， Ａ． １＝ ２＜ ３ Ｂ． ２＝ ３＜ １ Ｃ． １＝ ３＜ ２ Ｄ． １＝ ２＝ ３
专题十一 概率与统计 ７９１
答案 Ｄ 在简单随机抽样 系统抽样和分层抽样中 每个 解得ｘ ．故选 ．
、 ， ６６， ＝３ Ａ
ｎ １１．（２０１６山东理，３文３，５分）某高校调查了 名学生每周
个体被抽中的概率均为 所以ｐ ｐ ｐ 故选 ． ２００
Ｎ， １＝ ２＝ ３， Ｄ 的自习时间 单位 小时 制成了如图所示的频率分布直方
（ ： ），
评析 随机抽样的要求是每个个体被抽中的概率相等，与具体 图 其中自习时间的范围是 ． 样本数据分组为 ．
， ［１７ ５，３０］， ［１７
的方法无关． ． ． ． ． ．根据直
５，２０），［２０，２２５），［２２５，２５），［２５，２７５），［２７ ５，３０］
６． （２０１４广东文，６，５分）为了解 名学生的学习情 方图 这 名学生中每周的自习时间不少于 ． 小时的人
１ ０００ ， ２００ ２２５
况 采用系统抽样的方法 从中抽取容量为 的样本 则分段 数是
， ， ４０ ， （ ）
的间隔为
（ ）
Ａ．５０ Ｂ．４０ Ｃ．２５ Ｄ．２０
答案 Ｃ 由系统抽样的定义知 分段间隔为１０００ ．故
， ＝２５
４０
答案为 ．
Ｃ
７． （２０１３课标Ⅰ理，３，５分）为了解某地区的中小学生的
视力情况 拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查
， ，
事先已了解到该地区小学 初中 高中三个学段学生的视力情
、 、
况有较大差异 而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方
， Ａ．５６ Ｂ．６０ Ｃ．１２０ Ｄ．１４０
法中 最合理的抽样方法是 答案 Ｄ 由频率分布直方图知这 名学生每周的自习
， （ ） ２００
简单随机抽样 按性别分层抽样 时间不少于 ． 小时的频率为 ． ． ． ． 则
Ａ． Ｂ． ２２５ １－（０ ０２＋０ １０）×２ ５＝０ ７，
按学段分层抽样 系统抽样 这 名学生中每周的自习时间不少于 ． 小时的人数为
Ｃ． Ｄ． ２００ ２２ ５
答案 Ｃ 因为男女生视力情况差异不大 而各学段学生的 ． 故选 ．
， ２００×０７＝１４０， Ｄ
视力情况有较大差异 所以应按学段分层抽样 故选 ． １２．（２０１６课标Ⅲ理，４，５分）某旅游城市为向游客介绍本地的
， ， Ｃ
评析 本题考查了分层抽样，准确理解分层抽样的意义是解题 气温情况 绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温
，
关键． 的雷达图．图中 点表示十月的平均最高气温约为
Ａ １５ ℃，Ｂ
８．（２０１３江西理，４，５分）总体由编号为 的 点表示四月的平均最低气温约为 ．下面叙述不正确的是
０１，０２，…，１９，２０ ２０ ５ ℃
个个体组成．利用下面的随机数表选取 个个体 选取方法是
５ ， （ ）
从随机数表第 行的第 列和第 列数字开始由左到右依次
１ ５ ６
选取两个数字 则选出来的第 个个体的编号为
， ５ （ ）
７８１６ ６５７２ ０８０２ ６３１４ ０７０２ ４３６９ ９７２８ ０１９８
３２０４ ９２３４ ４９３５ ８２００ ３６２３ ４８６９ ６９３８ ７４８１
Ａ．０８ Ｂ．０７ Ｃ．０２ Ｄ．０１
答案 Ｄ 由题意知依次选取的编号为
０８，０２，１４，０７，０１，…
第 个 需剔除 所以选出来的第 个个体的编号为
（ ２ ０２ ）， ５ ０１，
选 ．
Ｄ
９．（２０１３陕西理，４，５分）某单位有 名职工 现采用系统抽
８４０ ，
样方法抽取 人做问卷调查 将 人按 随机编
４２ ， ８４０ １，２，…，８４０
号 则抽取的 人中 编号落入区间 的人数为
， ４２ ， ［４８１，７２０］ 各月的平均最低气温都在 以上
Ａ． ０ ℃
（ ） 七月的平均温差比一月的平均温差大
Ｂ．
Ａ．１１ Ｂ．１２ Ｃ．１３ Ｄ．１４ 三月和十一月的平均最高气温基本相同
答案 Ｂ 因为 故编号在 内的 Ｃ．
８４０ ∶ ４２＝２０ ∶ １， ［４８１，７２０］ 平均最高气温高于 的月份有 个
人数为 ． Ｄ． ２０ ℃ ５
２４０÷２０＝１２
答案 Ｄ 由雷达图易知 正确 七月的平均最高气温
１０．（２０１７山东文，８，５分）如图所示的茎叶图记录了甲 乙两组
Ａ、Ｃ ；
、 超过 平均最低气温约为 一月的平均最高气温约
各 名工人某日的产量数据 单位 件 ．若这两组数据的中位
２０℃， １２℃，
５ （ ： ） 为 平均最低气温约为 所以七月的平均温差比一月
数相等 且平均值也相等 则ｘ和ｙ的值分别为
６ ℃， ２ ℃，
， ， （ ）
的平均温差大 故 正确 由雷达图知平均最高气温超过
， Ｂ ； ２０
的月份有 个月．故选 ．
℃ ３ Ｄ
１３．（２０１５课标Ⅱ理，３，５分）根据下面给出的 年至 年
２００４ ２０１３
我国二氧化硫年排放量 单位 万吨 柱形图 以下结论中不
（ ： ） ，
正确的是
（ ）
Ａ．３，５ Ｂ．５，５ Ｃ．３，７ Ｄ．５，７
答案 Ａ 由茎叶图 可得甲组数据的中位数为 从而乙
， ６５，
组数据的中位数也是 所以ｙ ．
６５， ＝５
由乙组数据 可得乙组数据的平均值为
５９，６１，６７，６５，７８， ６６，
ｘ
故甲组数据的平均值也为 从而有５６＋６２＋６５＋７４＋７０＋
６６， ＝
５
７９２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
逐年比较 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 项社会实践活动的意向 拟采用分层抽样的方法 从该校四个
Ａ． ，２００８ ， ，
年我国治理二氧化硫排放显现成效 年级的本科生中抽取一个容量为 的样本进行调查．已知
Ｂ．２００７ ３００
年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 该校一年级 二年级 三年级 四年级的本科生人数之比为
Ｃ．２００６ 、 、 、
年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 则应从一年级本科生中抽取 名学生．
Ｄ．２００６ ４ ∶ ５ ∶ ５ ∶ ６，
答案 Ｄ 由柱形图可知 均正确 年以来我国 答案
：Ａ、Ｂ、Ｃ ，２００６ ６０
二氧化硫年排放量在逐渐减少 所以排放量与年份负相关
， ， 解析 ４ 名 ．
不正确． ×３００＝６０（ ）
∴ Ｄ ２０
１４．（２０１５陕西理，２，５分）某中学初中部共有 名教师 高中 ２０．（２０１２天津理，９，５分）某地区有小学 所 中学 所 大
１１０ ， １５０ ， ７５ ，
部共有 名教师 其性别比例如图所示 则该校女教师的人 学 所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 所学
１５０ ， ， ２５ ３０
数为 校对学生进行视力调查 应从小学中抽取 所学校 中
（ ） ， ，
学中抽取 所学校．
答案
１８；９
解析 应从小学中抽取 １５０ 所 ．
×３０＝１８（ ）
１５０＋７５＋２５
应从中学中抽取 ７５ 所 ．
Ａ．１６７ Ｂ．１３７ Ｃ．１２３ Ｄ．９３ ×３０＝９（ ）
答案 Ｂ 初中部女教师的人数为 ％ 高中部 １５０＋７５＋２５
１１０×７０ ＝７７， 评析 本题考查分层抽样及数据处理能力．
女教师的人数为 ％ 则该校女教师的人数为
１５０×（１－６０ ）＝６０， ２１．（２０１１江苏，６，５分）某老师从星期一到星期五收到的信件
故选 ．
７７＋６０＝１３７， Ｂ 数分别为 则该组数据的方差ｓ２ ．
１５．（２０１５安徽理，６，５分）若样本数据ｘ ｘ ｘ 的标准差为 １０，６，８，５，６， ＝
１， ２，…， １０
则数据 ｘ ｘ ｘ 的标准差为 答案 １６
８， ２ １－１，２ ２－１，…，２ １０－１ （ ）
５
Ａ．８ Ｂ．１５ Ｃ．１６ Ｄ．３２ 解析 记星期一到星期五收到的信件数分别为ｘ ｘ ｘ
答案 Ｃ 设样本数据ｘ ｘ ｘ 的标准差为ｓ 则ｓ １， ２， ３，
１， ２，…， １０ ， ＝８， ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
可知数据 ｘ ｘ ｘ 的标准差为 ｓ ． ｘ ｘ 则ｘ １＋ ２＋ ３＋ ４＋ ５ １０＋６＋８＋５＋６ ．
２ １－１，２ ２－１，…，２ １０－１ ２ ＝１６ ４， ５， ＝ ＝ ＝７
１６．（２０１４陕西文，９，５ 分）某公司 位员工的月工资 单位 ５ ５
１０ （ ：
元 每 ） 位 为 员 ｘ 工 １， 的 ｘ ２ 月 ，… 工 ， 资 ｘ １０ 增 ， 其 加 均值和 元 方 则 差 这 分别为 位 ｘ 员 和 工 ｓ 下 ２ ， 若 月 从 工 下 资 月 的 起 均 ∴ ｓ２ ＝ ５ １ ［（ ｘ １－ ｘ ） ２ ＋（ ｘ ２－ ｘ ） ２ ＋（ ｘ ３－ ｘ ） ２ ＋（ ｘ ４－ ｘ ） ２ ＋（ ｘ ５－ ｘ ） ２ ］＝
１００ ， １０
值和方差分别为 １ ２ ２ ２ ２ ２ １６．
［（１０－７） ＋（６－７） ＋（８－７） ＋（５－７） ＋（６－７） ］＝
（ ） ５ ５
ｘ ｓ２ ２ ｘ ｓ２ ２ 评析 本题主要考查方差的公式，考查学生的运算求解能力．
Ａ． ， ＋１００ Ｂ． ＋１００， ＋１００
ｘ ｓ２ ｘ ｓ２ 公式记忆准确，运算无误是解答本题的关键，属中等难度题．
Ｃ． ， Ｄ． ＋１００，
答案 Ｄ 设增加工资后 位员工下月工资均值为ｘ′ 方 ２２．（２０１２福建文，１４，４分）一支田径队有男女运动员 人 其
１０ ， ９８ ，
中男运动员有 人．按男女比例用分层抽样的方法 从全体
差为ｓ′２ 则ｘ′ １ ｘ ｘ ｘ ５６ ，
， ＝ ［（ １＋１００）＋（ ２＋１００）＋…＋（ １０＋１００）］＝ 运动员中抽出一个容量为 的样本 那么应抽取女运动员人
１０ ２８ ，
１ ｘ ｘ ｘ ｘ 方差ｓ′２ １ ｘ ｘ′ ２ 数是 ．
（ １＋ ２＋…＋ １０）＋１００＝ ＋１００； ＝ ［（ １＋１００－ ） 答案
１０ １０
１２
＋（ ｘ ２＋１００－ ｘ′ ） ２ ＋…＋（ ｘ １０＋１００－ ｘ′ ） ２ ］＝ １ ［（ ｘ １－ ｘ ） ２ ＋（ ｘ ２－ ｘ ） ２ 解析 男女运动员人数比例为 ５６ ＝ ４ ，
１０ ９８－５６ ３
ｘ ｘ ２ ｓ２．故选 ． 分层抽样中男女人数比例不变 则女运动员人数为
＋…＋（ １０－ ） ］＝ Ｄ ，
１７． （２０１８课标Ⅲ文，１４，５分）某公司有大量客户 且不
， ３ ．故应抽取女运动员人数是 ．
同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评 ２８× ＝１２ １２
７
价 该公司准备进行抽样调查 可供选择的抽样方法有简单随 评析 本题考查分层抽样方法．考查学生运算求解能力．
， ，
机抽样 分层抽样和系统抽样 则最合适的抽样方法是 ２３．（２０１８江苏，３，５分）已知 位裁判给某运动员打出的分数
、 ， ５
． 的茎叶图如图所示 那么这 位裁判打出的分数的平均数为
， ５
答案 分层抽样 ．
解析 本题考查抽样方法．
因为不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异 所以根据 ８ ９ ９
，
三种抽样方法的特点可知最合适的抽样方法是分层抽样．
９ ０ １ １
１８．（２０１５福建文，１３，４分）某校高一年级有 名学生 其中 答案
９００ ， ９０
女生 名．按男女比例用分层抽样的方法 从该年级学生中 解析 本题考查茎叶图 平均数．
４００ ， 、
抽取一个容量为 的样本 则应抽取的男生人数为 位裁判打出的分数分别为
４５ ， ５ ８９，８９，９０，９１，９１，
．
则这 位裁判打出的分数的平均数为 １
答案 ５ ×（８９＋８９＋９０＋９１＋
２５ ５
解析 男生人数为 ．设应抽取男生ｘ人 则由 ．
９００－４００＝５００ ， ９１）＝９０
ｘ 方法总结 要明确 茎 处数字是十位数字 叶 处数字是
４５ 得ｘ ．即应抽取男生 人． “ ” ，“ ”
＝ ＝２５ ２５ 个位数字 正确写出所有数据 再根据平均数的概念进行
９００ ５００ ， ，
１９．（２０１４天津理，９，５分）某大学为了解在校本科生对参加某 计算．
专题十一 概率与统计 ７９３
２４．（２０１５湖北文，１４，５分）某电子商务公司对 名网络购 续表
１００００
物者 年度的消费情况进行统计 发现消费金额 单位 万 ｙ的分组 ． ． ． ． ． ． ． ．
２０１４ ， （ ： ［－０２０，０） ［０，０２０） ［０２０，０４０） ［０４０，０６０） ［０６０，０８０）
元 都在区间 ． ． 内 其频率分布直方图如图所示． 企业数
） ［０３，０９］ ， ２ ２４ ５３ １４ ７
（１）
直方图中的ａ
＝ ； 分别估计这类企业中产值增长率不低于 ％的企业比
在这些购物者中 消费金额在区间 ． ． 内的购物者 （１） 例 产值负增长的企业比例 ４０
（２） ， ［０ ５，０ ９］
的人数为 ． 求 、 这类企业产值增长率的平 ； 均数与标准差的估计值 同
（２） （
一组中的数据用该组区间的中点值为代表 ． 精确到
） （
．
００１）
附 ． ．
： ７４≈８６０２
解析 本题考查了统计的基础知识 基本思想和方法 考查
、 ，
学生对频数分布表的理解与应用 考查样本的平均数 标准差
， ，
等数字特征的计算方法 以及对现实社会中实际数据的分析
，
处理能力．
答案
（１）３ （２）６０００ 根据产值增长率频数分布表得 所调查的 个企业中
解析 由频率分布直方图可知 （１） ， １００
（１） ：
． ． ． ． ． ． ａ 解得ａ ． 产值增长率不低于 ％的企业频率为１４＋７ ． ．
０１×（０２＋０８＋１５＋２０＋２５＋ ）＝１， ＝３ ４０ ＝０２１
消费金额在区间 ． ． 内的购物者的频率为 ． １００
（２） ［０ ５，０ ９］ ０ １
． ． ． ． ． 所以所求购物者的人数为 ． 产值负增长的企业频率为 ２ ． ．
×（３０＋２ ０＋０ ８＋０ ２）＝ ０ ６， ０ ６ ＝００２
． １００
×１００００＝６０００ 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低
２５．（２０１４江苏，文６，５分）为了了解一片经济林的生长情况 随
， 于 ％的企业比例为 ％ 产值负增长的企业比例为 ％．
机抽测了其中 株树木的底部周长 单位 所得数据均 ４０ ２１ ， ２
６０ （ ：ｃｍ），
在区间 上 其频率分布直方图如图所示 则在抽测 ｙ １ ． ． ． ． ．
［８０，１３０］ ， ， （２） ＝ （－０１０×２＋０１０×２４＋０３０×５３＋０５０×１４＋０７０×７）＝
的 株树木中 有 株树木的底部周长小于 ． １００
６０ ， １００ ｃｍ ．
０３０，
５
ｓ２ ＝
１０
１
０
∑ｉ＝
１
ｎ ｉ（ ｙ ｉ－ ｙ ） ２
１ ． ２ ． ２ ２ ． ２
＝ ［２×（－０ ４０） ＋２４×（－０ ２０） ＋５３×０ ＋１４×０ ２０ ＋７×
１００
． ２ ．
０４０ ］＝００２９６，
ｓ ． ． ． ．
＝ ００２９６＝００２× ７４≈０１７
所以 这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别
，
为 ％ ％．
３０ ，１７
答案 方法总结 利用频数分布表求平均数估计值的方法 各组区
２４ ：
解析 ． ． 株 ． 间中点值乘该组频数 并求和 再除以样本容量．利用频数分
６０×（００１５＋００２５）×１０＝２４（ ） ， ，
２６．（２０１９课标Ⅱ理，１３文１４，５分）我国高铁发展迅速 技术先 布表求标准差估计值的方法 用各组区间中点值代表该组 代
， ： ，
进．经统计 在经停某站的高铁列车中 有 个车次的正点率 入标准差公式即可．
， ， １０
为 ． 有 个车次的正点率为 ． 有 个车次的正点率 ２８．（２０１８课标Ⅰ文，１９，１２分）某家庭记录了未使用节水龙头
０９７， ２０ ０９８， １０
为 ０ ． ９９， 则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计 ５０ 天的日用水量数据 （ 单位 ：ｍ ３ ） 和使用了节水龙头 ５０ 天的
值为 ． 日用水量数据 得到频数分布表如下
， ：
答案 ． 未使用节水龙头 天的日用水量频数分布表
０９８ ５０
解析 本题考查离散型随机变量的均值计算 考查抽象概括
； 日用水量 ［０，０ ． １） ［０ ． １，０ ． ２）［０ ． ２，０ ． ３）［０ ． ３，０ ． ４）［０ ． ４，０ ． ５）［０ ． ５，０ ． ６）［０ ． ６，０ ． ７）
能力和运算求解能力 考查的核心素养为数学抽象和数学
频数
； １ ３ ２ ４ ９ ２６ ５
运算．
使用了节水龙头 天的日用水量频数分布表
设经停该站高铁列车所有车次中正点率为 ． 的事件为Ａ 正 ５０
０９７ ， 日用水量 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
点率为 ． 的事件为Ｂ 正点率为 ． 的事件为Ｃ 则用频率 ［０，０１） ［０１，０２） ［０２，０３） ［０３，０４） ［０４，０５） ［０５，０６）
０９８ ， ０９９ ， 频数
１ ５ １３ １０ １６ ５
估计概率有 Ｐ Ａ １０ １ Ｐ Ｂ ２０ １ 作出使用了节水龙头 天的日用水量数据的频率分布
（ ）＝ ＝ ， （ ）＝ ＝ ， （１） ５０
１０＋２０＋１０ ４ １０＋２０＋１０ ２ 直方图
；
Ｐ Ｃ １０ １ 所以经停该站高铁列车所有车次的平
（ ）＝ ＝ ，
１０＋２０＋１０ ４
均正点率的估计值为 ． １ ． １ ． １ ． ．
０９７× ＋０９８× ＋０９９× ＝０９８
４ ２ ４
２７．（２０１９课标Ⅱ文，１９，１２分）某行业主管部门为了解本行业
中小企业的生产情况 随机调查了 个企业 得到这些企业
， １００ ，
第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 ｙ 的频数分
布表．
ｙ的分组 ． ． ． ． ． ． ． ．
［－０２０，０） ［０，０２０） ［０２０，０４０） ［０４０，０６０） ［０６０，０８０）
７９４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
２９．（２０１６四川理，１６，１２分）我国是世界上严重缺水的国家 某
，
市政府为了鼓励居民节约用水 计划调整居民生活用水收费
，
方案 拟确定一个合理的月用水量标准ｘ 吨 一位居民的月
， （ ），
用水量不超过ｘ的部分按平价收费 超出ｘ的部分按议价收
，
费．为了了解居民用水情况 通过抽样 获得了某年 位居
， ， １００
民每人的月均用水量 单位 吨 将数据按照 ． ．
（ ： ）， ［０，０ ５），［０ ５，
． 分成 组 制成了如图所示的频率分布直
１），…，［４，４ ５］ ９ ，
方图．
求直方图中ａ的值
（１） ；
设该市有 万居民 估计全市居民中月均用水量不低于
（２） ３０ ，
吨的人数 并说明理由
３ ， ；
若该市政府希望使 ％的居民每月的用水量不超过标准
（３） ８５
ｘ 吨 估计ｘ的值 并说明理由．
（ ）， ，
估计该家庭使用节水龙头后 日用水量小于 ． ３ 的
（２） ， ０ ３５ ｍ
概率
；
估计该家庭使用节水龙头后 一年能节省多少水． 一年
（３） ， （
按 天计算 同一组中的数据以这组数据所在区间中
３６５ ，
点的值作代表
）
解析
（１）
解析 由频率分布直方图知 月均用水量在 ． 中
（１） ， ［０，０ ５）
的频率为 ． ． ．
００８×０５＝００４，
同理 在 ． ． ． ． ． ． 中的
， ［０５，１），［１５，２），［２，２５），［３，３５），［３５，４），［４，４５］
频率分别为 ． ． ． ． ． ． ．
００８，０２０，０２６，００６，００４，００２
由 ． ． ． ａ ． ． ． ａ ． ． ．
００４＋００８＋０５× ＋０２０＋０２６＋０５× ＋００６＋００４＋００２＝１，
解得ａ ． ．
＝０３０
由 位居民每人月均用水量不低于 吨的频率为
（２） （１），１００ ３
． ． ． ． ．
００６＋００４＋００２＝０１２
由以上样本的频率分布 可以估计全市 万居民中月均用水
， ３０
量不低于 吨的人数为 ． ．
３ ３０００００×０１２＝３６０００
因为前 组的频率之和为 ． ． ． ． ．
（３） ６ ０ ０４＋０ ０８＋０ １５＋０ ２０＋０ ２６＋
． ． ．
０１５＝０８８＞０８５，
而前 组的频率之和为 ． ． ． ． ． ．
５ ０ ０４＋０ ０８＋０ １５＋０ ２０＋０ ２６＝０ ７３＜
根据以上数据 该家庭使用节水龙头后 天日用水量小 ． 所以 ． ｘ ．
（２） ， ５０ ０８５， ２５≤ ＜３
于 ０ ． ３５ ｍ ３ 的频率为 ０ ． ２×０ ． １＋１×０ ． １＋２ ． ６×０ ． １＋２×０ ． ０５＝０ ． ４８， 由 ０ ． ３×（ ｘ －２ ． ５）＝０ ． ８５－０ ． ７３， 解得ｘ ＝２ ． ９ ．
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 ． ３ 的概率的 所以 估计月用水量标准为 ． 吨时 ％的居民每月的用水
０３５ ｍ
， ２ ９ ，８５
估计值为
０
．
４８
． 量不超过标准．
该家庭未使用节水龙头 天日用水量的平均数为
（３） ５０ 思路分析 由图易知组距为 ． 再由频率之和等于 即可
０ ５， １
ｘ １ ． ． ． ． ． ． 求出ａ 由图可知前 组的频率之和为 ． ． 前 组的频
１＝
５０
×（００５×１＋０１５×３＋０２５×２＋０３５×４＋０４５×９＋０５５×２６＋
率之和
；
为 ． ．
６
说明ｘ ．
０
再
８
由
８＞０
．
８５，
ｘ
５
． ．
． ． ． ０７３＜０８５， ∈［２５，３）， ０３×（ －２５）＝０
０６５×５）＝０４８ ． 即可求出ｘ．
该家庭使用了节水龙头后 天日用水量的平均数为 ８５－０７３
５０ 评析 本题中求ａ值的关键是抓住频率之和为 ，确定ｘ在
１
ｘ １ ． ． ． ． ． ． 哪个区间内是解题的关键．
２＝ ×（００５×１＋０１５×５＋０２５×１３＋０３５×１０＋０４５×１６＋０５５×
５０ ３０．（２０１６北京文，１７，１３分）某市居民用水拟实行阶梯水价．每
． ．
５）＝０３５ 人月用水量中不超过ｗ立方米的部分按 元／立方米收费 超
估计使用节水龙头后 一年可节省水 ． ． ４ ，
， （０ ４８－０ ３５）×３６５ 出ｗ立方米的部分按 元／立方米收费．从该市随机调查了
． ３ ． １０
＝４７４５（ｍ ） 位居民 获得了他们某月的用水量数据 整理得到如下
易错警示 利用频率分布直方图求众数 中位数与平均数 １００００ ， ，
、 频率分布直方图
时 应注意区分这三者 在频率分布直方图中 ：
， ， ：
最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数
（１） ；
中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的
（２） ；
平均数是频率分布直方图的 重心 等于频率分布直方
（３） “ ”，
图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标
之和．
专题十一 概率与统计 ７９５
满意度评分 低于 分 分到 分 不低于 分
７０ ７０ ８９ ９０
满意度等级 不满意 满意 非常满意
记事件Ｃ 地区用户的满意度等级高于 地区用户的
：“Ａ Ｂ
满意度等级 ．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据
”
所给数据 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率
， ，
求Ｃ的概率．
解析 两地区用户满意度评分的茎叶图如下
如果ｗ为整数 那么根据此次调查 为使 ％以上居民在 （１） ：
（１） ， ， ８０ 地区 地区
该月的用水价格为 元／立方米 ｗ至少定为多少
Ａ Ｂ
４ ， ？
假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当ｗ
（２） ４ ６ ８
时 估计该市居民该月的人均水费．
＝３ ，
解析 由用水量的频率分布直方图知 ３ ５ １ ３ ６ ４
（１） ，
该市居民该月用水量在区间 ． ． ． ６ ４ ２ ６ ２ ４ ５ ５
［０ ５，１］，（１，１ ５］，（１ ５，２］，
． ． 内的频率依次为 ． ． ． ． ． ．
（２，２５］，（２５，３］ ０１，０１５，０２，０２５，０１５ ６ ８ ８ ６ ４ ３ ７ ３ ３ ４ ６ ９
分
（３ ）
所以该月用水量不超过 立方米的居民占 ％ 用水量不超 ９ ２ ８ ６ ５ １ ８ ３ ２ １
３ ８５ ，
过 立方米的居民占 ％． 分 ７ ５ ５ ２ ９ １ ３
２ ４５ （５ ）
依题意 ｗ至少定为 ． 分 通过茎叶图可以看出 地区用户满意度评分的平均值高于
， ３ （６ ） ，Ａ
由用水量的频率分布直方图及题意 得居民该月用水费 地区用户满意度评分的平均值 地区用户满意度评分比
（２） ， Ｂ ；Ａ
用的数据分组与频率分布表 较集中 地区用户满意度评分比较分散．
： ，Ｂ
组号 记Ｃ 表示事件 地区用户的满意度等级为满意或非
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ （２） Ａ１ ：“Ａ
分组 常满意
［２，４］ （４，６］ （６，８］ （８，１０］ （１０，１２］ （１２，１７］ （１７，２２］ （２２，２７］ ”；
频率 ． ． ． ． ． ． ． ． Ｃ 表示事件 地区用户的满意度等级为非常满意
０１ ０１５ ０２ ０２５ ０１５ ００５ ００５ ００５ Ａ２ ：“Ａ ”；
Ｃ 表示事件 地区用户的满意度等级为不满意
分 Ｂ１ ：“Ｂ ”；
（１０ ） Ｃ 表示事件 地区用户的满意度等级为满意
根据题意 该市居民该月的人均水费估计为 Ｂ２ ：“Ｂ ”，
， ： 则Ｃ 与Ｃ 独立 Ｃ 与Ｃ 独立 Ｃ 与Ｃ 互斥 Ｃ Ｃ Ｃ
４×０ ． １＋６×０ ． １５＋８×０ ． ２＋１０×０ ． ２５＋１２×０ ． １５＋１７×０ ． ０５＋２２×０ ． ０５＋ Ｃ Ｃ Ａ１ ． Ｂ１ ， Ａ２ Ｂ２ ， Ｂ１ Ｂ２ ， ＝ Ｂ１ Ａ１∪
． ． 元 ． 分
２７×００５＝１０５（ ） （１３ ） Ｐ Ｂ２ Ｃ Ａ２ Ｐ Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ
思路分析 第 问 需要计算该市居民月用水量在各区间 （ ）＝ （ Ｂ１ Ａ１∪ Ｂ２ Ａ２）
（１） ， Ｐ Ｃ Ｃ Ｐ Ｃ Ｃ
上的频率 根据样本的频率分布直方图即可获解． ＝ （ Ｂ１ Ａ１）＋ （ Ｂ２ Ａ２）
， Ｐ Ｃ Ｐ Ｃ Ｐ Ｃ Ｐ Ｃ ．
第
（２）
问
，
由月用水量的频率分布直方图和ｗ
＝３
可计算居民 ＝ （ Ｂ１） （ Ａ１）＋ （ Ｂ２） （ Ａ２）
该月用水费用的数据的分组与频率分布表 由此可估计该市 由所给数据得 Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ 发生的频率分别为１６ ４
， Ａ１， Ａ２， Ｂ１， Ｂ２ ， ，
居民该月的人均水费． ２０ ２０
评析 本题考查了频率分布直方图及用样本估计总体，属中 １０ ８ 故Ｐ Ｃ １６ Ｐ Ｃ ４ Ｐ Ｃ １０ Ｐ Ｃ
， ， （ Ａ１）＝ ， （ Ａ２）＝ ， （ Ｂ１）＝ ， （ Ｂ２）＝
档题． ２０ ２０ ２０ ２０ ２０
３１．（２０１５课标Ⅱ理，１８，１２分）某公司为了解用户对其产品的 ８ Ｐ Ｃ １０ １６ ８ ４ ． ．
， （ ）＝ × ＋ × ＝０４８
满意度 从 两地区分别随机调查了 个用户 得到用户 ２０ ２０ ２０ ２０ ２０
， Ａ，Ｂ ２０ ， ３２．（２０１５课标Ⅱ文，１８，１２分）某公司为了解用户对其产品的
对产品的满意度评分如下
： 满意度 从 两地区分别随机调查了 个用户 根据用户
地区 ， Ａ，Ｂ ４０ ，
Ａ ：６２ ７３ ８１ ９２ ９５ ８５ ７４ ６４ ５３ ７６ 对产品的满意度评分 得到 地区用户满意度评分的频率分
， Ａ
７８ ８６ ９５ ６６ ９７ ７８ ８８ ８２ ７６ ８９ 布直方图和 地区用户满意度评分的频数分布表．
地区 Ｂ
Ｂ ：７３ ８３ ６２ ５１ ９１ ４６ ５３ ７３ ６４ ８２
９３ ４８ ６５ ８１ ７４ ５６ ５４ ７６ ６５ ７９
根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图 并
（１） ，
通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度
不要求计算出具体值 给出结论即可
（ ， ）；
地区 地区
Ａ Ｂ
４
地区用户满意度评分的频数分布表
Ｂ
５
满意度评分分组
［５０，６０） ［６０，７０） ［７０，８０） ［８０，９０） ［９０，１００］
６
频 数
２ ８ １４ １０ ６
７
作出 地区用户满意度评分的频率分布直方图 并通过
（１） Ｂ ，
８ 直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度 不
（
９ 要求计算出具体值 给出结论即可
， ）；
根据用户满意度评分 将用户的满意度从低到高分为三
（２） ，
个等级
：
７９６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
． ． ． ． ． ． 所以中位数在
２０×（０００２＋０００９５＋００１１＋００１２５）＝０７＞０５，
区间 内．
［２２０，２４０）
设中位数为ｍ 则 ． ． ． ． ｍ
， ２０×（０００２＋０００９ ５＋００１１）＋０ ０１２ ５×（ －
． 解得ｍ ．
２２０）＝０５， ＝２２４
所以月平均用电量的中位数为 ．
２２４
由题图知 月平均用电量为 的用户数为
（３） ， ［２２０，２４０） （２４０－
． 同理可得 月平均用电量为
２２０）×０ ０１２ ５×１００＝２５， ， ［２４０，
的用户数分别为 ．
根据用户满意度评分 将用户的满意度分为三个等级
２６０），［２６０，２８０），［２８０，３００］ １５，１０，５
（２） ， ： 故用分层抽样的方式抽取 户居民 月平均用电量在
满意度评分 低于 分 分到 分 不低于 分 １１ ， ［２２０，
７０ ７０ ８９ ９０
的用户中应抽取 ２５ 户 ．
满意度等级 不满意 满意 非常满意 ２４０） １１× ＝５（ ）
２５＋１５＋１０＋５
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大 说 ３４．（２０１４课标Ⅰ文，１８，１２分）从某企业生产的某种产品中抽
，
明理由． 取 件 测量这些产品的一项质量指标值 由测量结果得如
１００ ， ，
解析 下频数分布表
（１） ：
质量指标值分组
［７５，８５） ［８５，９５） ［９５，１０５） ［１０５，１１５） ［１１５，１２５）
频数
６ ２６ ３８ ２２ ８
作出这些数据的频率分布直方图
（１） ；
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出
，Ｂ
地区用户满意度评分的平均值高于 地区用户满意度评分
Ａ
的平均值 地区用户满意度评分比较集中 而 地区用户满
；Ｂ ， Ａ
意度评分比较分散．
地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
（２）Ａ
记Ｃ 表示事件 地区用户的满意度等级为不满意 Ｃ 表
Ａ ：“Ａ ”； Ｂ
示事件 地区用户的满意度等级为不满意 ．
：“Ｂ ”
由直方图得Ｐ Ｃ 的估计值为 ． ． ． ．
（ Ａ） （００１＋００２＋００３）×１０＝０６， 估计这种产品质量指标值的平均数及方差 同一组中的
Ｐ Ｃ 的估计值为 ． ． ． ． （２） （
所
（
以
Ｂ）
地区用户的
（
满
０
意
００
度
５＋
等
００
级
２）
为
×
不
１０
满
＝
意
０２
的
５
概率大．
数据用该组区间的中点值作代表
）；
Ａ 根据以上抽样调查数据 能否认为该企业生产的这种产
３３．（２０１５广东文，１７，１２分）某城市 户居民的月平均用电 （３） ，
１００ 品符合 质量指标值不低于 的产品至少要占全部产品
量 单位 度 以 “ ９５
（ ： ）， ［１６０，１８０），［１８０，２００），［２００，２２０），［２２０， ％ 的规定
分组的频率分布直 ８０ ” ？
２４０），［２４０，２６０），［２６０，２８０），［２８０，３００］ 解析
方图如图． （１）
求直方图中ｘ的值
（１） ；
求月平均用电量的众数和中位数 质量指标值的样本平均数为
（２） ； （２）
在月平均用电量为 ｘ ． ． ． ． ． ．
（３） ［２２０，２４０），［２４０，２６０），［２６０，２８０）， ＝８０×００６＋９０×０２６＋１００×０３８＋１１０×０２２＋１２０×００８＝１００
的四组用户中 用分层抽样的方法抽取 户 质量指标值的样本方差为
［２８０，３００］ ， １１
居民 则月平均用电量在 的用户中应抽取多 ｓ２ ２ ． ２ ． ． ２ ． ２ ．
， ［２２０，２４０） ＝（－２０） ×００６＋（－１０） ×０２６＋０×０３８＋１０ ×０２２＋２０ ×００８
少户 ．
？ ＝１０４
解析 由已知得 ． ． ． ． ｘ 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 方差的
（１） ，２０×（０００２＋０００９５＋００１１＋００１２ ５＋ １００，
． ． 解得ｘ ． ． 估计值为 ．
＋０００５＋０００２５）＝１， ＝０００７５ １０４
由题图可知 面积最大的矩形对应的月平均用电量区间 质量指标值不低于 的产品所占比例的估计值为
（２） ， （３） ９５
为 所以月平均用电量的众数的估计值为 ． ． ． ． ．
［２２０，２４０）， ２３０； ０３８＋０２２＋００８＝０６８
因为 ． ． ． ． ． 由于该估计值小于 ． 故不能认为该企业生产的这种产品符
２０×（０００２＋０００９５＋００１１）＝０４５＜０５， ０８，
专题十一 概率与统计 ７９７
合 质量指标值不低于 的产品至少要占全部产品的 ％ 续表
“ ９５ ８０ ”
的规定． 组号 分组 频数
评析 本题考查绘制频率分布直方图，计算样本的数字特征，
５ ［８，１０） ２５
及用样本估计总体等知识，同时考查统计的思想方法．
６ ［１０，１２） １２
３５．（２０１４课标Ⅱ文，１９，１２分）某市为了考核甲 乙两部门的工 ７ ［１２，１４） ６
、
作情况 随机访问了 位市民．根据这 位市民对这两部门 ８ ［１４，１６） ２
， ５０ ５０
的评分 评分越高表明市民的评价越高 绘制茎叶图如下 ９ ［１６，１８） ２
（ ）， ： 合计
１００
甲部门 乙部门
从该校随机选取一名学生 试估计这名学生该周课外阅
（１） ，
３ ５９ 读时间少于 小时的概率
１２ ；
４ ４ ０４４８ 求频率分布直方图中的ａ ｂ的值
９ ７ ５ １２２４５６６７７７８９ （２） ， ；
假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替
９ ７ ６ ６ ５ ３ ３ ２ １ １ ０ ６ ０１１２３４６８８ （３） ，
９ ８ ８ ７ ７ ７ ６ ６ ５ ５ ５ ５ ５ ４ ４ ４ ３ ３ ３ ２ １ ０ ０ ７ ００１１３４４９ 试估计样本中的 名学生该周课外阅读时间的平均数
１００
６ ６ ５ ５ ２ ０ ０ ８ １２３３４５ 在第几组． 只需写出结论
６ ３ ２ ２ ２ ０ ９ ０１１４５６ （ ）
解析 根据频数分布表知 名学生中一周课外阅读
１０ ０００
（１） ，１００
时间不少于 小时的学生共有 名 所以样本中的
分别估计该市的市民对甲 乙两部门评分的中位数 １２ ６＋２＋２＝１０ ，
（１） 、 ；
分别估计该市的市民对甲 乙两部门的评分高于 的 学生一周课外阅读时间少于 小时的频率是 １０ ． ．
（２） 、 ９０ １２ １－ ＝０９
概率 １００
； 故从该校随机选取一名学生 估计其该周课外阅读时间少于
根据茎叶图分析该市的市民对甲 乙两部门的评价． ，
（３） 、 小时的概率为 ． ．
解析 由所给茎叶图知 位市民对甲部门的评分由 １２ ０９
（１） ，５０ 课外阅读时间落在组 内的有 人 频率为 ． 所
小到大排序 排在第 位的是 故样本中位数为 （２） ［４，６） １７ ， ０１７，
， ２５，２６ ７５，７５， 频率 ．
所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 ． 以ａ ０１７ ． ．
７５， ７５５０ ＝组距＝ ＝００８５
位市民对乙部门的评分由小到大排序 排在第 位的是 ２
， ２５，２６ 课外阅读时间落在组 内的有 人 频率为 ． 所以
［８，１０） ２５ ， ０ ２５，
故样本中位数为６６＋６８ 所以该市的市民对乙部门 频率 ．
６６，６８， ＝６７， ｂ ０２５ ． ．
２ ＝组距＝ ＝０１２５
评分的中位数的估计值是 ． ２
６７ 样本中的 名学生该周课外阅读时间的平均数在第
由所给茎叶图知 位市民对甲 乙部门的评分高于 （３） １００
（２） ，５０ 、 ９０ 组．
４
的比率分别为 ５ ． ８ ． 故该市的市民对甲 乙部门 ３７．（２０１３课标Ⅰ文，１８，１２分）为了比较两种治疗失眠症的药
＝０１， ＝０ １６， 、
５０ ５０ 分别称为 药 药 的疗效 随机地选取 位患者服用
的评分高于 的概率的估计值分别为 ． ． ． （ Ａ ，Ｂ ） ， ２０ Ａ
９０ ０１，０１６ 药 位患者服用 药 这 位患者在服用一段时间后 记
由所给茎叶图知 市民对甲部门的评分的中位数高于对 ，２０ Ｂ ， ４０ ，
（３） ， 录他们日平均增加的睡眠时间 单位 ．试验的观测结果
乙部门的评分的中位数 而且由茎叶图可以大致看出对甲部 （ ：ｈ）
， 如下
门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差 说明该 ：
， 服用 药的 位患者日平均增加的睡眠时间
市市民对甲部门的评价较高 评价较为一致 对乙部门的评价 Ａ ２０ ：
、 ， ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
较低 评价差异较大． ０６ １２ ２７ １５ ２８ １８ ２２ ２３ ３２ ３５
、 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
评析 本题考查利用茎叶图进行中位数，概率的相关计算，考 ２５ ２６ １２ ２７ １５ ２９ ３０ ３１ ２３ ２４
服用 药的 位患者日平均增加的睡眠时间
查用样本的数字特征估计总体的数字特征，运用统计与概率 Ｂ ２０ ：
． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
的知识与方法解决实际问题的能力，考查数据处理能力及应 ３２ １７ １９ ０８ ０９ ２４ １２ ２６ １３ １４
． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
用意识． １６ ０５ １８ ０６ ２１ １１ ２５ １２ ２７ ０５
分别计算两组数据的平均数 从计算结果看 哪种药的疗
３６．（２０１４北京文，１８，１３分）从某校随机抽取 名学生 获得 （１） ， ，
１００ ， 效更好
了他们一周课外阅读时间 单位 小时 的数据 整理得到数 ？
（ ： ） ， 根据两组数据完成下面茎叶图 从茎叶图看 哪种药的疗
据分组及频数分布表和频率分布直方图 （２） ， ，
： 效更好
？
解析 设 药观测数据的平均数为ｘ 药观测数据的
（１） Ａ ，Ｂ
平均数为ｙ 由观测结果可得ｘ １ ． ． ． ． ．
， ＝ ×（０６＋１２＋１ ２＋１ ５＋１ ５＋
２０
． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
１８＋２２＋２３＋２３＋２４＋２５＋２６＋２７＋２７＋２８＋２９＋３０＋３１＋３
组号 分组 频数 ２＋３ ． ５）＝２ ． ３，
１ ［０，２） ６ ｙ １ ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
＝ ×（０５＋０５＋０６＋０８＋０９＋１１＋１２＋１２＋１３＋１４＋１６＋１
２ ［２，４） ８ ２０
． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
３ ［４，６） １７ ７＋１８＋１９＋２１＋２４＋２５＋２６＋２７＋３２）＝１６
由以上计算结果可得ｘ ｙ 因此可看出 药的疗效更好．
４ ［６，８） ２２ ＞ ， Ａ
７９８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
由观测结果可绘制如下茎叶图 可知
（２） ： ，
ｘ′ ｘ′ ｘ′ ｘ′
３０（ １－ ２）＝３０ １－３０ ２
＝（７－５）＋（５５＋８－１４）＋（２４－１２－６５）＋（２６－２４－７９）＋（２２－２０）
＋９２
＝２＋４９－５３－７７＋２＋９２
从以上茎叶图可以看出 药疗效的试验结果有 ７ 的叶集中 ．
，Ａ ＝１５
１０ 因此ｘ′ ｘ′ ． ．故ｘ ｘ 的估计值为 ． 分．
１－ ２＝０５ １－ ２ ０５
在茎 上 而 药疗效的试验结果有 ７ 的叶集中在茎 评析 本题考查随机抽样与茎叶图等统计学的基本知识，考
２，３ ， Ｂ ０，１
１０ 查学生用样本估计总体的思想以及数据分析处理能力．
上 由此可看出 药的疗效更好．
， Ａ ４０．（２０１７课标Ⅰ文，１９，１２分）为了监控某种零件的一条生产
评析 本题考查数据的平均数和茎叶图，考查数据的分析处
线的生产过程 检验员每隔 从该生产线上随机抽取一
理能力和应用意识． ， ３０ ｍｉｎ
个零件 并测量其尺寸 单位 ．下面是检验员在一天内依
３８．（２０１３课标Ⅱ文，１９，１２分）经销商经销某种农产品 在一个 ， （ ：ｃｍ）
， 次抽取的 个零件的尺寸
销售季度内 每售出 该产品获利润 元 未售出的产品 １６ ：
， １ｔ ５００ ， ，
抽取次序
每 亏损 元．根据历史资料 得到销售季度内市场需求
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
１ ｔ ３００ ，
量的频率分布直方图 如图所示．经销商为下一个销售季度购 零件尺寸 ． ． ． ． ． ． ． ．
， ９９５ １０１２ ９９６ ９９６ １００１ ９９２ ９９８ １００４
进了 该农产品 以Ｘ 单位 Ｘ 表示下一个
１３０ ｔ ， （ ：ｔ，１００≤ ≤１５０） 抽取次序
销售季度内的市场需求量 Ｔ 单位 元 表示下一个销售季度 ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ １６
， （ ： ） 零件尺寸 ． ． ． ． ． ． ． ．
内经销该农产品的利润． １０２６ ９９１ １０１３ １００２ ９２２ １００４ １００５ ９９５
将Ｔ表示为Ｘ的函数 １６ １６
（
（
１
２
）
）
根据直方图估计利润 ； Ｔ不少于
５７０００
元的概率． 经计算得ｘ ＝
１
１
６
∑ｉ＝
１
ｘ ｉ＝９ ． ９７， ｓ ＝
１
１
６
∑ｉ＝
１
（ ｘ ｉ － ｘ ） ２
( )
１６ １６
＝
１
１
６
∑ｉ＝
１
ｘ２ｉ －
１６
ｘ２
≈０
．
２１２， ∑ｉ＝
１
（
ｉ －
８
．
５）
２
１６
． ｘ ｘ ｉ ． ． 其中 ｘ 为抽取的第 ｉ
≈１８４３９，∑ｉ＝ （ ｉ－ ）（ －８ ５）＝ －２ ７８， ｉ
１
个零件的尺寸 ｉ ．
， ＝１，２，…，１６
求 ｘ ｉ ｉ 的相关系数ｒ 并回答是否可以
（１） （ ｉ，）（ ＝１，２，…，１６） ，
认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统
解析 当Ｘ 时
（１） ∈［１００，１３０） ， 地变大或变小 若 ｒ ． 则可以认为零件的尺寸不随
Ｔ Ｘ Ｘ （ ｜ ｜＜０ ２５，
＝５００ －３００（１３０－ ） 生产过程的进行而系统地变大或变小
Ｘ ．当Ｘ 时 Ｔ ． ）；
＝８００ －３９０００ ∈［１３０，１５０］ ， ＝５００×１３０＝６５０００ 一天内抽检零件中 如果出现了尺寸在 ｘ ｓ ｘ ｓ 之外
{ Ｘ Ｘ （２） ， （ －３ ， ＋３ ）
所以Ｔ ８００ －３９０００，１００≤ ＜１３０， 的零件 就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出
＝ Ｘ ． ，
６５０００， １３０≤ ≤１５０ 现了异常情况 需对当天的生产过程进行检查．
由 知利润Ｔ不少于 元当且仅当 Ｘ ． ，
（２） （１） ５７０００ １２０≤ ≤１５０ 从这一天抽检的结果看 是否需对当天的生产过程进
由直方图知需求量Ｘ 的频率为 ． 所以下一个销售 （ｉ） ，
∈［１２０，１５０］ ０７， 行检查
季度内的利润Ｔ不少于 元的概率的估计值为 ． ． ？
５７０００ ０７ 在 ｘ ｓ ｘ ｓ 之外的数据称为离群值 试剔除离群
３９．（２０１３安徽文，１７，１２分）为调查甲 乙两校高三年级学生某 （ｉｉ） （ －３ ， ＋３ ） ，
、 值 估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准
次联考数学成绩情况 用简单随机抽样 从这两校中各抽取 ，
， ， 差． 精确到 ．
名高三年级学生 以他们的数学成绩 百分制 作为样本 （ ００１）
３ 样 ０ 本数据的茎叶图如 ， 下 （ ） ， 附 ： 样本 （ ｘ ｉ， ｙ ｉ）（ ｉ ＝１，２，…， ｎ ） 的相关系数
： ｎ
ｘ － ｘ ｙ － ｙ
ｒ
∑ｉ＝
１
（ ｉ ）（ ｉ ）
．
＝ ｎ ｎ
∑ｉ＝ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ＝ （ ｙ ｉ － ｙ ） ２
１ １
． ． ．
０００８≈００９
若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 ． 求甲校 解析 本题考查统计问题中的相关系数及样本数据的均值
（１） ０ ０５，
高三年级学生总人数 并估计甲校高三年级这次联考数 与方差．
，
学成绩的及格率 分及 分以上为及格 由样本数据得 ｘ ｉ ｉ 的相关系数为 ｒ
（６０ ６０ ）； （１） （ ｉ， ）（ ＝１，２，…，１６） ＝
设甲 乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别
（２） 、 １６ ｘ － ｘ ｉ － ．
为ｘ
１、
ｘ
２，
估计ｘ
１－
ｘ
２
的值． ∑ｉ＝
１
（ ｉ ）（ ８５）
解析 （１） 设甲校高三年级学生总人数为ｎ．由题意知 ， ３ ｎ ０ ∑ｉ １ ＝ ６ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ １ ＝ ６ （ ｉ － ８ ． ５） ２
１ １
． 即ｎ ． ．
＝００５， ＝６００ －２７８ ． ．
样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为 据此估 ＝ ． ． ≈－０１８
５， ０２１２× １６×１８４３９
由于 ｒ ． 因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生
计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为 ５ ５ ． ｜ ｜＜０２５，
１－ ＝ 产过程的进行而系统地变大或变小．
３０ ６
设甲 乙两校样本平均数分别为ｘ′ ｘ′ 根据样本茎叶图 由于ｘ ． ｓ ． 由样本数据可以看出抽取的第
（２） 、 １、 ２， （２）（ｉ） ＝９９７， ≈０２１２，
专题十一 概率与统计 ７９９
个零件的尺寸在 ｘ ｓ ｘ ｓ 以外 因此需对当天的生产
１３ （ －３ ， ＋３ ） ， 温不低于 的频率为３６＋２５＋７＋４ ． 因此Ｙ大于零的概率
过程进行检查． ２０ ＝０８，
９０
剔除离群值 即第 个数据 剩下数据的平均数为 的估计值为 ． ．
（ｉｉ） ， １３ ， ０８
４２．（２０１６课标Ⅰ文，１９，１２分）某公司计划购买 台机器 该种
１ ． ． ． １ ，
×（１６×９９７－９２２）＝１００２， 机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件 在购进机器
１５ ，
这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为 ． ． 时 可以额外购买这种零件作为备件 每个 元．在机器使
１００２ ， ， ２００
用期间 如果备件不足再购买 则每个 元．现需决策在购
∑ｉ １ ＝ ６ １ ｘ２ｉ ＝１６×０ ． ２１２ ２ ＋１６×９ ． ９７ ２ ≈１５９１ ． １３４， 买机器 ， 时应同时购买几个易损 ， 零件 ， 为 ５ 此 ００ 搜集并整理了 １００
剔除第 个数据 剩下数据的样本方差为 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 得下面柱
１３ ， ，
状图
１ ． ． ２ ． ２ ． ：
×（１５９１１３４－９２２ －１５×１００２ ）≈０００８，
１５
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为
． ． ．
０００８≈００９
方法总结 样本的数字特征．
样本数据的相关系数ｒ
（１） ，
ｎ
ｘ － ｘ ｙ － ｙ
ｒ
∑ｉ＝
１
（ ｉ ）（ ｉ ）
＝ ｎ ｎ ，
∑ｉ＝ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ＝ （ ｙ ｉ － ｙ ） ２ 记ｘ表示 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数 ｙ
反映样本 １ 数据的相关程度 １ ｒ 越大 则相关性越强． １ ，
，｜ ｜ ， 表示 台机器在购买易损零件上所需的费用 单位 元 ｎ表
样本数据的均值反映样本数据的平均水平 样本数据的 １ （ ： ），
（２） ； 示购机的同时购买的易损零件数．
方差反映样本数据的稳定性 方差越小 数据越稳定 样本数
， ， ； 若ｎ 求ｙ与ｘ的函数解析式
据的标准差为方差的算术平方根． （１） ＝１９， ；
若要求 需更换的易损零件数不大于ｎ 的频率不小于 ．
４１．（２０１７课标Ⅲ文，１８，１２分）某超市计划按月订购一种酸奶 （２） “ ” ０
， 求ｎ的最小值
每天进货量相同 进货成本每瓶 元 售价每瓶 元 未售出 ５， ；
， ４ ， ６ ， 假设这 台机器在购机的同时每台都购买 个易损零
的酸奶降价处理 以每瓶 元的价格当天全部处理完．根据往 （３） １００ １９
件 或每台都购买 个易损零件 分别计算这 台机器
， ２
年销售经验 每天需求量与当天最高气温 单位 有关．如
在
，
购买易损零件上
２
所
０
需费用的平
，
均数 以此作
１０
为
０
决策依
， （ ：℃）
果最高气温不低于 需求量为 瓶 如果最高气温位于 ，
据 购买 台机器的同时应购买 个还是 个易损
２５， ５００ ；
， １ １９ ２０
区间 需求量为 瓶 如果最高气温低于 需求
零件
［２０，２５）， ３００ ； ２０，
？
量为 瓶．为了确定六月份的订购计划 统计了前三年六月
解析 当ｘ 时 ｙ
２００ ， （１） ≤１９ ， ＝３８００；
份各天的最高气温数据 得下面的频数分布表 当ｘ 时 ｙ ｘ ｘ
， ： ＞１９ ， ＝３８００＋５００（ －１９）＝５００ －５７００，
最高气温 所以ｙ与ｘ的函数解析式为
［１０，１５） ［１５，２０） ［２０，２５） ［２５，３０） ［３０，３５） ［３５，４０）
{ ｘ
天数 ２ １６ ３６ ２５ ７ ４ ｙ ＝ ３８０ ｘ ０， ｘ ≤１９， （ ｘ ∈ Ｎ ） ． （４ 分 ）
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的 ５００ －５７００， ＞１９
由柱状图知 需更换的零件数不大于 的频率为 ．
概率． （２） ， １８ ０ ４６，
不大于 的频率为 ． 故ｎ的最小值为 ． 分
估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 瓶的 １９ ０７， １９ （５ ）
（１） ３００ 若每台机器在购机同时都购买 个易损零件 则这
概率 （３） １９ ， １００
； 台机器中有 台在购买易损零件上的费用为 元 台
设六月份一天销售这种酸奶的利润为Ｙ 单位 元 ．当六 ７０ ３８００ ，２０
（２） （ ： ） 的费用为 元 台的费用为 元 因此这 台机
月份这种酸奶一天的进货量为 瓶时 写出 Ｙ的所有 ４３００ ，１０ ４ ８００ ， １００
４５０ ，
可能值
，
并估计Ｙ大于零的概率． 器在购买易损零件上所需费用的平均数为 １
（３ ８００×７０＋
１００
解析 本题考查概率的计算．
元 ． 分
４３００×２０＋４８００×１０）＝４０００（ ） （７ ）
这种酸奶一天的需求量不超过 瓶 当且仅当最高气 若每台机器在购机同时都购买 个易损零件 则这 台机
（１） ３００ ， ２０ ， １００
温低于 由表格数据知 最高气温低于 的频率为 器中有 台在购买易损零件上的费用为 元 台的费
２５， ， ２５ ９０ ４０００ ，１０
用为 元 因此这 台机器在购买易损零件上所需费
２＋１６＋３６ ． 所以这种酸奶一天的需求量不超过 瓶的 ４５００ ， １００
＝０６， ３００
９０ 用的平均数为 １ 元 ．
概率的估计值为 ． ． （４０００×９０＋４５００×１０）＝４０５０（ ）
０６ １００
当这种酸奶一天的进货量为 瓶时 分
（２） ４５０ ， （１０ ）
若最高气温不低于 则Ｙ 比较两个平均数可知 购买 台机器的同时应购买 个易损
２５， ＝６×４５０－４×４５０＝９００； ， １ １９
若最高气温位于区间 则Ｙ 零件． 分
［２０，２５）， ＝６×３００＋２×（４５０－３００）－４ （１２ ）
思路分析 先写出ｙ与ｘ的函数关系式 分段函数 然后分
×４５０＝３００； （ ），
若最高气温低于 则 Ｙ 别求所需费用的平均数 通过比较两个平均数的大小可得所
２０， ＝６×２００＋２×（４５０－２００）－４×４５０＝ ，
． 求结果．
－１００
所以 Ｙ的所有可能值为 ． 评析 本题以条形图为载体，考查了函数的综合应用，对考生
， ９００，３００，－１００
Ｙ大于零当且仅当最高气温不低于 由表格数据知 最高气 用图、识图的能力进行了考查，同时体现了数学源于生活又服
２０， ，
８００ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
务于生活的特点． 乙组研发新产品的成绩为
１，０，１，１，０，１，１，０，１，０，０，１，０，１，
４３．（２０１６课标Ⅱ文，１８，１２分）某险种的基本保费为ａ 单位
（ ： 其平均数为ｘ ９ ３
元 继续购买该险种的投保人称为续保人 续保人本年度的 １， 乙＝ ＝ ；
）， ， １５ ５
保费与其上年度出险次数的关联如下 [( ) ( ) ]
２ ２
： 方差为ｓ２乙＝ １
１－
３
×９＋ ０－
３
×６ ＝
６ ．
上年度出险次数 １５ ５ ５ ２５
０ １ ２ ３ ４ ≥５
保费 ． ａ ａ ． ａ ． ａ ． ａ ａ
因为ｘ
甲＞
ｘ
乙，
ｓ２甲＜ ｓ２乙， 所以甲组的研发水平优于乙组．
０８５ １２５ １５ １７５ ２ 记Ｅ 恰有一组研发成功 ．
随机调查了该险种的 名续保人在一年内的出险情况 得 （２） ＝｛ ｝
２００ ， 在所抽得的 个结果中 恰有一组研发成功的结果是 ａ
到如下统计表 １５ ， （ ，
： ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ 共 个 故事
出险次数 ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）， ７ ，
０ １ ２ ３ ４ ≥５
件Ｅ发生的频率为 ７ ．将频率视为概率 即得所求概率为 Ｐ
频数 ，
６０ ５０ ３０ ３０ ２０ １０ １５
记Ａ为事件 一续保人本年度的保费不高于基本保费 ．
（１） ：“ ” Ｅ ７ ．
求Ｐ Ａ 的估计值 （ ）＝
（ ） ； １５
记Ｂ为事件 一续保人本年度的保费高于基本保费但不 评析 本题考查样本的数字特征及用样本的频率估计概率，
（２） ：“
高于基本保费的 ％ ．求Ｐ Ｂ 的估计值 同时考查分析问题、解决问题及运用统计思想的能力．
１６０ ” （ ） ；
求续保人本年度平均保费的估计值． ４５．（２０１２课标文，１８，１２分）某花店每天以每枝 元的价格从
（３） ５
解析 事件Ａ发生当且仅当一年内出险次数小于 ． 农场购进若干枝玫瑰花 然后以每枝 元的价格出售．如果
（１） ２ ， １０
当天卖不完 剩下的玫瑰花作垃圾处理．
由所给数据知 一年内出险次数小于 的频率为６０＋５０ ，
， ２ ＝ 若花店一天购进 枝玫瑰花 求当天的利润ｙ 单位 元
２００ （１） １７ ， （ ： ）
． 关于当天需求量ｎ 单位 枝 ｎ Ｎ 的函数解析式
０５５， （ ： ， ∈ ） ；
故Ｐ Ａ 的估计值为 ． ． 分 花店记录了 天玫瑰花的日需求量 单位 枝 整理得
（ ） ０５５ （３ ） （２） １００ （ ： ），
事件Ｂ发生当且仅当一年内出险次数大于 且小于 ． 下表
（２） １ ４ ：
由所给数据知 一年内出险次数大于 且小于 的频率为
， １ ４ 日需求量ｎ
１４ １５ １６ １７ １８ １９ ２０
３０＋３０ ． 频数
＝０３， １０ ２０ １６ １６ １５ １３ １０
２００ 假设花店在这 天内每天购进 枝玫瑰花 求这
故Ｐ Ｂ 的估计值为 ． ． 分 （ｉ） １００ １７ ，
（ ） ０３ （６ ） 天的日利润 单位 元 的平均数
由所给数据得
１００ （ ： ） ；
（３） 若花店一天购进 枝玫瑰花 以 天记录的各需
保费 ． ａ ａ ． ａ ． ａ ． ａ ａ （ｉｉ） １７ ， １００
０８５ １２５ １５ １７５ ２ 求量的频率作为各需求量发生的概率 求当天的利润不
频率 ． ． ． ． ． ． ，
０３０ ０２５ ０１５ ０１５ ０１０ ００５ 少于 元的概率．
７５
分 解析 当日需求量ｎ 时 利润ｙ ．
（１０ ） （１） ≥１７ ， ＝８５
调查的 名续保人的平均保费为 当日需求量ｎ 时 利润ｙ ｎ ．
２００ ＜１７ ， ＝１０ －８５
． ａ ． ａ ． ． ａ ． ． ａ ． ． ａ ． ａ 所以ｙ关于ｎ的函数解析式为
０８５ ×０３０＋ ×０２５＋１２５ ×０ １５＋１ ５ ×０ １５＋１ ７５ ×０ １０＋２
． ． ａ． { ｎ ｎ
×００５＝１１９２５ ｙ １０ －８５， ＜１７， ｎ Ｎ ．
因此 续保人本年度平均保费的估计值为 ． ａ． 分 ＝ ｎ （ ∈ ）
， １１９２５ （１２ ） ８５， ≥１７
评析 本题考查了频率的求解方法，同时对考生的应用意识 这 天中有 天的日利润为 元 天的日利润
（２）（ｉ） １００ １０ ５５ ，２０
及数据处理能力进行了巧妙的考查，属中档题．
为 元 天的日利润为 元 天的日利润为 元 所
６５ ，１６ ７５ ，５４ ８５ ，
４４．（２０１４湖南文，１７，１２分）某企业有甲 乙两个研发小组 为
了比较他们的研发水平 现随机抽取这 、 两个小组往年研发 ， 新 以这 天的日利润的平均数为 １
１００ （５５×１０＋６５×２０＋７５×１６＋
， １００
产品的结果如下
． ．
： ８５×５４）＝７６４
ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ 利润不低于 元当且仅当日需求量不少于 枝．故当天
（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）， （ｉｉ） ７５ １６
（ ａ ， ｂ ），（ ａ ， ｂ ），（ ａ ， ｂ ），（ ａ ， ｂ ），（ ａ ， ｂ ），（ ａ ， ｂ ），（ ａ ， ｂ ）， 的利润不少于 ７５ 元的概率为Ｐ ＝０ ． １６＋０ ． １６＋０ ． １５＋０ ． １３＋０ ． １＝
． ．
其中ａ ａ分别表示甲组研发成功和失败 ｂ ｂ分别表示乙组研 ０７
， ； ， 评析 本题考查概率统计，考查运用样本频率估计总体概率
发成功和失败．
及运算求解能力．
若某组成功研发一种新产品 则给该组记 分 否则记
（１） ， １ ， ０ ４６．（２０１１课标文，１９，１２分）某种产品的质量以其质量指标值
分．试计算甲 乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差
、 ， 衡量 质量指标值越大表明质量越好 且质量指标值大于或等
并比较甲 乙两组的研发水平 ， ，
、 ； 于 的产品为优质品．现用两种新配方 分别称为 配方和
若该企业安排甲 乙两组各自研发一种新产品 试估计恰 １０２ （ Ａ
（２） 、 ， 配方 做试验 各生产了 件这种产品 并测量了每件产
有一组研发成功的概率． Ｂ ） ， １００ ，
品的质量指标值 得到下面试验结果
解析 甲组研发新产品的成绩为
， ：
（１） １，１，１，０，０，１，１，１，０， 配方的频数分布表
Ａ
１，０，１，１，０，１，
指标值
其平均数为ｘ １０ ２
甲＝ ＝ ； 分组 ［９０，９４） ［９４，９８） ［９８，１０２） ［１０２，１０６） ［１０６，１１０］
１５ ３
[( ) ( ) ] 频数
方差为ｓ２甲＝ １
１－
２ ２
×１０＋ ０－
２ ２
×５ ＝
２ ． ８ ２
配
０
方的频数
４２
分布表
２２ ８
１５ ３ ３ ９ Ｂ
专题十一 概率与统计 ８０１
指标值 估计值为 ． ．
０３
分组 ［９０，９４） ［９４，９８） ［９８，１０２） ［１０２，１０６） ［１０６，１１０］ 由试验结果知 用 配方生产的产品中优质品的频率为
， Ｂ
频数
４ １２ ４２ ３２ １０ ３２＋１０ ． 所以用 配方生产的产品的优质品率的估计值
分别估计用 配方 配方生产的产品的优质品率 ＝０４２， Ｂ
（１） Ａ ，Ｂ ； １００
已知用 配方生产的一件产品的利润ｙ 单位 元 与其 为 ． ．
（２） Ｂ （ ： ） ０４２
{ ｔ 由条件知 用 配方生产的一件产品的利润大于 当且
－２， ＜９４， （２） ， Ｂ ０
质量指标值ｔ的关系式为ｙ ｔ 仅当其质量指标值ｔ 由试验结果知 质量指标值 ｔ
＝ ２， ９４≤ ＜１０２， ≥９４， ， ≥９４
ｔ ． 的频率为 ． ．所以用 配方生产的一件产品的利润大于
４， ≥１０２ ０９６ Ｂ ０
估计用 配方生产的一件产品的利润大于 的概率 并 的概率估计值为 ． ．
Ｂ ０ ， ０９６
求用 配方生产的上述 件产品平均一件的利润． 用 配方生产的产品平均一件的利润为
Ｂ １００ Ｂ
解析 由试验结果知 用 配方生产的产品中优质品
（１） ， Ａ １ ． 元 ．
×［４×（－２）＋５４×２＋４２×４］＝２６８（ ）
的频率为２２＋８ ． 所以用 配方生产的产品的优质品率的 １００
＝０３， Ａ
１００
时间： 分钟 分值： 分
６０ ８０
一、单项选择题 每题 分 共 分 ｘ ｘ 乙组比甲组成绩稳定 应选乙组参加竞赛
（ ５ ， ２０ ） Ｄ． 甲＜ 乙， ，
１．（２０１９ 江西吉安一模，４）总体由编号为 答案 Ｄ
００，０１，０２，…，４８，４９
的 个个体组成 利用下面的随机数表选取 个个体 选取方
５０ ， ６ ， 二、多项选择题 每题 分 共 分
法是从随机数表第 行的第 列数字开始从左到右依次选取 （ ５ ， ２０ ）
６ ９ ５．（２０２１届广东深圳外国语学校第一次月考）某调查机构对全
两个数字 则选出的第 个个体的编号为
， ３ （ ） 国互联网行业进行调查统计 得到整个互联网行业从业者年龄
附 第 行至第 行的随机数表如下 ，
： ６ ９ ： 分布扇形图 后从事互联网行业岗位分布条形图 则下列结
、９０ ，
２６３５７９００３３７０９１６０１６２０３８８２７７５７４９５０ 论中一定正确的是
（ ）
３２１１４９１９７３０６４９１６７６７７８７３３９９７４６７３２ 注 后指 年及以后出生 后指 年出生
：９０ １９９０ ，８０ １９８０—１９８９ ，
２７４８６１９８７１６４４１４８７０８６２８８８８５１９１６２０ 前指 年及以前出生．
８０ １９７９
７４７７０１１１１６３０２４０４２９７９７９９１９６８３５１２５
Ａ．３ Ｂ．１６ Ｃ．３８ Ｄ．２０
答案 Ｄ
２．（２０２０广西南宁摸底，３）某校 位学生的本次月考成绩恰好都比
８
上一次的月考成绩高出 分 则以该 位学生这两次的月考成绩
５０ ， ８
各自组成样本 则这两个样本不变的数字特征是
， （ ）
方差 中位数 众数 平均数 互联网行业从业人员中 后占一半以上
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． Ａ． ９０
答案 Ａ 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 ％
Ｂ． ２０
３．（２０２０安徽阜阳颍上二中等三校入学考，３）演讲比赛中共有 互联网行业中从事运营岗位的人数中 后比 前多
Ｃ． ９０ ８０
位评委分别给出某位选手的原始评分 评定该选手的成绩 互联网行业中从事技术岗位的人数中 后比 后多
９ ， Ｄ． ９０ ８０
时 从 个原始评分中去掉 个最高分 个最低分 得到 个 答案 ＡＢＣ
， ９ １ 、１ ， ７
有效评分． 个有效评分与 个原始评分相比 不变的数字特征 ６．（２０２１ 届辽宁锦州渤大附中、育明高中第二次月考，１０）
７ ９ ，
是 ． 是衡量空气质量的重要指标 如图是某地 月 日到
（ ） ＰＭ２５ ， ７ １ １０
中位数 平均数 日的 ． 日均值 单位 ３ 的折线图 则下列关于这
Ａ． Ｂ． ＰＭ２５ （ ：μｇ／ｍ ） ， １０
方差 极差 天中 ． 日均值的说法正确的是
Ｃ． Ｄ． ＰＭ２５ （ ）
答案 Ａ
４．（２０２０河北深州中学质量监测，６）为了从甲 乙两组学生中选
、
一组参加 喜迎祖国七十华诞 共建全国文明城市 知识竞赛
“ ， ”
活动 班主任老师将这两组学生最近 次的测试成绩进行统
， ６
计 得到如图所示的茎叶图．若甲 乙两组的平均成绩分别是
， 、
ｘ ｘ 则下列说法正确的是
甲、 乙， （ ）
众数为
Ａ． ３０
中位数是
Ｂ． ３１
ｘ ｘ 乙组比甲组成绩稳定 应选乙组参加竞赛 平均数小于中位数
Ａ． 甲＞ 乙， ， Ｃ．
ｘ ｘ 甲组比乙组成绩稳定 应选甲组参加竞赛 后 天的方差小于前 天的方差
Ｂ． 甲＞ 乙， ， Ｄ． ４ ４
ｘ ｘ 甲组比乙组成绩稳定 应选甲组参加竞赛 答案 ＡＤ
Ｃ． 甲＜ 乙， ，
８０２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
７．（２０２０山东夏季高考模拟，９）下图为某地区 年 年 的样本 求ａ的值和样本中完成年度任务的销售员人数
２００６ —２０１８ ， ；
地方财政预算内收入 城乡居民储蓄年末余额折线图． 从 中样本内完成年度任务的销售员中随机选取 名
、 （２） （１） ２ ，
奖励海南三亚三日游 设获得此奖励的 名销售员在第
， ２ ４
组的人数为Ｘ 求Ｘ的分布列和期望．
，
根据该折线图可知 该地区 年 年
， ２００６ —２０１８ （ ）
财政预算内收入 城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势
Ａ． 、
财政预算内收入 城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度
Ｂ． 、
相同
财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额
Ｃ． １１．（２０２１届江苏南京大学附属中学阶段检测）在中国 不仅是
年平均增长量 ，
购物 而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费 日常生活中
城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大 ， ，
Ｄ． 几乎全部领域都支持手机支付．出门不带现金的人数正在迅
答案 ＡＤ
速增加．中国人民大学和法国调查公司益普索合作 调查了腾
８．（２０２１届五省新高考联合质量检测１２月联考，１０） 年上 ，
２０２０ 讯服务的 名用户 从中随机抽取了 名 统计他们出
半年受疫情影响 我国居民人均消费支出情况也受到了影响 ６ ０００ ， ６０ ，
， ， 门随身携带现金 单位 元 情况如茎叶图所示 规定 随身携
现统计出 年上半年我国居民人均消费支出情况如 （ ： ） ， ：
２０１５—２０２０ 带的现金在 元以下的为 手机支付族 其他为 非手机
图所示 则下列说法正确的是 １００ “ ”， “
， （ ） 支付族 ．
”
男性 女性
０ ３ ５
７ ４ ０８
８８５ ５ ３５
２０ ６ ０５
男性 女性 合计
８ ７ ０
３ ８ ５５８ 手机支付族
０ ９ ５ 非手机支付族
８５０００ １０ ００
合计
从 年到 年我国居民人均消费支出逐年减少 ９８２２０ １１ ５
Ａ． ２０１５ ２０１９
若 年下半年居民消费水平与上半年相当 则全年消费 ５０００ １２ ０８
Ｂ． ２０２０ ， ５５４２０ １３ ０
与 年基本一致
２０１８ ６６１０ １４ ５
若 年下半年居民消费水平比上半年提高 ％ 则全年
Ｃ． ２０２０ ２０ ， ５４３２０ １５ ６
消费支出将超过 年
２０１９ ５０ １６
随着疫情被有效控制 若 年下半年居民消费水平比上 根据上述样本数据 将 列联表补充完整 并判断有多
Ｄ． ， ２０２０ （１） ， ２×２ ，
半年有所提高 则居民人均消费支出较 年减少不会超 大的把握认为 手机支付族 与 性别 有关
， ２０１９ “ ” “ ” ；
过 ％ 用样本估计总体 若从腾讯服务的用户中随机抽取 位
１０ （２） ， ３
答案 ＢＤ 女性用户 这 位用户中 手机支付族 的人数为ξ 求随
， ３ “ ” ，
机变量ξ的期望
三、填空题 共 分 ；
（ ５ ） 某商场为了推广手机支付 特推出两种优惠方案 方案
９．（２０２０湖北随州调研） 年初新冠肺炎疫情袭击全国 口罩 （３） ， ，
２０２０ ， 一 手机支付消费每满 元可直减 元 方案二 手
成为重要的抗疫物资 为了确保口罩供应 某工厂口罩生产线 ： １０００ １００ ； ：
， ， 机支付消费每满 元可抽奖 次 每次中奖的概率都
高速运转 工人加班加点生产 设该工厂连续 天生产的口罩 １０００ ２ ，
， ， ５
数依次为ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 单位 十万只 若数据ｘ ｘ ｘ ｘ 为 １ 且每次抽奖互不影响 中奖一次打 折 中奖两次
１， ２， ３， ４， ５（ ： ）， １， ２， ３， ４， ， ， ９ ，
ｘ 的方差为 ． 且ｘ２ ｘ２ ｘ２ ｘ２ ｘ２ 的平均数为 则该工厂这 ２
５ １４４， １， ２， ３， ４， ５ ４， 打 ． 折．如果你打算用手机支付购买某样价值 元
天平均每天生产口罩 十万只． ８５ １ ２００
５ 的商品 请从实际付款金额的数学期望的角度分析 选择
答案 ． ， ，
１６ 哪种优惠方案更划算．
四、解答题 共 分 附
（ ３５ ） ：
１０．（２０２０广西桂林十八中第一次月考，１８）某家电公司销售部
Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ．
门共有 名销售员 每年部门对每名销售员都有 万 （ ≥ ０） ００５０ ００１０ ０００１
２００ ， １ ４００
元的年度销售任务．已知这
２００
名销售员去年完成的销售额 ｋ
０ ３
．
８４１ ６
．
６３５ １０
．
８２８
都在区间 单位 百万元 内 现将其分成 组 第 ｎ ａｄ ｂｃ ２
［２，２２］（ ： ） ， ５ ： １ Ｋ２ （ － ） ｎ ａ ｂ ｃ ｄ．
组 第 组 第 组 第 组 第 组对应的区间分别为 ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ， ＝ ＋ ＋ ＋
、 ２ 、 ３ 、 ４ 、 ５ ［２，６）， （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
并绘制出如图所示的 １２．（２０２１届辽宁锦州渤大附中、育明高中第二次月考） 绿水青
［６，１０），［１０，１４），［１４，１８），［１８，２２］， “
频率分布直方图． 山就是金山银山 建设美丽中国 已成为新时代中国特色社
”“ ”
若用分层抽样的方法从这 名销售员中抽取容量为 会主义生态文明建设的重要内容 某班在一次研学旅行活动
（１） ２００ ２５ ，
专题十一 概率与统计 ８０３
中 为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况 在这些树苗中随 分数据如列联表所示
， ， ：
机抽取了 株测量其高度 单位 经统计 树苗的高度
１２０ （ ：ｃｍ）， ，
Ａ试验区 Ｂ试验区 合计
均在区间 内 将其按
［１９，３１］ ， ［１９，２１），［２１，２３），［２３，２５）， 优质树苗
分成 组 制成如图所示的频率 ２０
［２５，２７），［２７，２９），［２９，３１］ ６ ， 非优质树苗
分布直方图．据当地柏树苗生长规律 高度不低于 的为 ６０
， ２７ ｃｍ
优质树苗． 合计
将列联表补充完整 并判断是否有 ． ％的把握认为优
， ９９ ９
质树苗与Ａ Ｂ两个试验区有关系
， ；
用样本估计总体 若从这批树苗中随机抽取 株 其中优
（３） ， ４ ，
质树苗的株数为Ｘ 求Ｘ的分布列和数学期望Ｅ Ｘ ．
， （ ）
ｎ ａｄ ｂｃ ２
附 Ｋ２ （ － ） 其中ｎ ａ ｂ ｃ ｄ．
： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ， ＝ ＋ ＋ ＋
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ．
（ ≥ ０） ００１０ ０００５ ０００１
ｋ ． ． ．
０ ６６３５ ７８７９ １０８２８
求图中ａ的值
（１） ；
已知所抽取的这 株树苗来自于Ａ Ｂ两个试验区 部
（２） １２０ ， ，
８０４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１．（２０１９江西临川第一中学等九校３月联考，３）某兄弟俩都推 ５．（２０２０江西抚州临川一中第一次联合考试，７）某创业公司共
销某一小家电 现抽取他们其中 天的销售量 单位 台 得 有 名职工 为了了解该公司职工的年龄构成情况 随机采访
， ８ （ ： ）， ３６ ， ，
到的茎叶图如图所示 已知弟弟的销售量的平均数为 哥哥 了 位代表 得到的数据分别为
， ３４， ９ ， ３６、３６、３７、３７、４０、４３、４３、４４、
的销售量的中位数比弟弟的销售量的众数大 则ｘ ｙ的值为 若用样本估计总体 年龄在 ｘ ｓ ｘ ｓ 内的人数占公司人数
２， ＋ ４４， ， （ － ， ＋ ）
的百分比是
（ ） （ ）
其中ｘ是平均数 ｓ为标准差 结果精确到 ％
（ ， ， １ ）
％ ％ ％ ％
Ａ．１４ Ｂ．２５ Ｃ．５６ Ｄ．６７
答案 Ｃ 本题主要考查利用样本估计总体 涉及平均数
， 、
方差 标准差的计算 考查学生的运算能力．
、 ，
因为ｘ ３６＋３６＋３７＋３７＋４０＋４３＋４３＋４４＋４４
Ａ．５ Ｂ．１３ Ｃ．１５ Ｄ．２０ ＝ ＝４０，
答案 Ｂ 根据题中茎叶图中的数据知 弟弟的销售量的众 ９
数是 则 哥哥的销售量的中位数是 ， ｓ２ ＝ １ ×（１６＋１６＋９＋９＋０＋９＋９＋１６＋１６）＝ １００ ， 即ｓ ＝ １０ ， 所以年
３４， ３４＋２＝３６， ９ ９ ３
ｘ ( )
＋７ 解得ｘ 龄在 ｘ ｓ ｘ ｓ 即 １１０ １３０ 内有 人 所以百分比为 ５
∴ ＝３６－３０， ＝５， （ － ， ＋ ）， ， ５ ， ≈
２ ３ ３ ９
又 ｙ ％ 故选
（２７＋２０＋ ＋３２＋３４＋３４＋３４＋４２＋４１）÷８＝３４， ５６ ， Ｃ．
解得ｙ ６．（２０２０重庆巴蜀中学高考适应性月考一，４）空气质量指数
＝８，
ｘ ｙ 故选 是反映空气质量状况的指数 越小 表明空气质量越
∴ ＋ ＝５＋８＝１３， Ｂ． ＡＱＩ ，ＡＱＩ ，
２．（２０２０陕西汉中第四次质量检测，５）如果一组数中的每个数 好 如下表
， ：
都减去同一个非零常数 则这一组数的
， （ ）
平均数不变 方差不变 平均数改变 方差改变 ＡＱＩ
Ａ． ， Ｂ． ， 指数值 ０～５０ ５１～１００ １０１～１５０ １５１～２００ ２０１～３００ ＞３００
平均数不变 方差改变 平均数改变 方差不变
Ｃ． ， Ｄ． ， 空气
答案 Ｄ 按照平均数和方差的定义可知 如果一组数中的 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
， 质量
每个数都减去同一个非零常数 则这一组数的平均数改变 方
， ， 下图是某城市 月 日 月 日 指数变化的趋势 则下
差不变．故选 ． ５ １ ～５ ２０ ＡＱＩ ，
Ｄ 列说法正确的是
３．（２０１９湖北武汉４月调研，４）某学校为了了解本校学生的上
（ ）
学方式 在全校范围内随机抽查部分学生 了解到上学方式主
， ，
要有 结伴步行 自行乘车 家人接送 其他方式 并将
：Ａ ，Ｂ ，Ｃ ，Ｄ ，
收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信
息 可知本次抽查的学生中 类人数是
， Ａ （ ）
这 天中 指数值的中位数略高于
Ａ． ２０ ＡＱＩ ２００
这 天中的重度污染及以上的天数占 １
Ｂ． ２０
１０
该城市 月前半个月的空气质量越来越好
Ｃ． ５
该城市 月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
Ｄ． ５
Ａ．３０ Ｂ．４０ Ｃ．４２ Ｄ．４８ 答案 Ｄ 选项 指数高于 的只有三天 故 中说
答案 Ａ 根据选择 方式的有 人 占 ％ 得总人数为 Ａ ，ＡＱＩ ２００ ， Ａ
Ｄ １８ ， １５ ，
法错误 选项 重度污染及以上的天数占 ３ 故 中说法错
１８ 故选择 方式的人数为 ．故 ；Ｂ ， ， Ｂ
％＝１２０， Ａ １２０－４２－３０－１８＝３０ ２０
１５ 误 由题图可知 中说法错误 由题图可知 月上旬的空气质
选
； Ｃ ； ，５
Ａ． 量比中旬的空气质量要好些 故 中说法正确．故选
４．（２０１９广东江门第一次模拟，７）已知ａ ａ ａ ａ ａ 成等差 ， Ｄ Ｄ．
１， ２， ３， ４， ５ ７．（２０１８湖北部分重点中学模拟，３）某商场对某一商品搞活动
数列 且公差是 则这组数据的标准差为 ，
， ５， （ ） 已知该商品每一个的进价为 元 销售价为 元 每天售出的
３ ， ８ ，
Ａ．５０ Ｂ．５ ２ Ｃ．１００ Ｄ．１０ 第 个及之后的半价出售．该商场统计了近 天这种商品的
答案 Ｂ ａ ａ ａ ａ ａ 成等差数列 且公差是 ２０ １０
∵ １， ２， ３， ４， ５ ， ５， 销量 如图所示 设ｘ 个 为每天商品的销量 ｙ 元 为该商场
设这 个数依次为ａ ａ ａ ａ ａ ， ， （ ） ， （ ）
∴ ５ ， ＋５， ＋１０， ＋１５， ＋２０， 每天销售这种商品的利润．从日利润不少于 元的几天里任
则这 个数的平均数为 ａ ａ ａ ａ ａ ９６
５ ［ ＋（ ＋５）＋（ ＋１０）＋（ ＋１５）＋（ ＋ 选 天 则选出的这 天日利润都是 元的概率为
ａ ２ ， ２ ９７ （ ）
２０）］÷５＝ ＋１０，
这组数据的标准差为 １ ２ ２ ２ ２
∴ ×［（－１０） ＋（－５） ＋５ ＋１０ ］ ＝
５
．故选
５ ２ Ｂ．
专题十一 概率与统计 ８０５
１０．（２０１９全国Ⅰ卷高三五省优创名校联考，３）图 为某省
１ ２０１８
年 月快递业务量统计图 图 是该省 年 月快
１～４ ， ２ ２０１８ １～４
递业务收入统计图 下列对统计图理解错误的是
， （ ）
１ １ １ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
９ １０ ５ ８
{ ｘ ｘ
答案 Ｂ 由题意知ｙ ５ ， ＝１８，１９，
＝ ｘ ｘ
９５＋（ －１９）（４－３）， ＝２０，２１，
{ ｘ ｘ
即ｙ ５ ， ＝１８，１９，
＝ ｘ ｘ ．
７６＋ ， ＝２０，２１
当日销量不少于 个时 日利润不少于 元．
２０ ， ９６
当日销量为 个时 日利润为 元
２０ ， ９６ ，
当日销量为 个时 日利润为 元
２１ ， ９７ ，
日利润为 元的有 天 记为 ａ ｂ ｃ 日利润为 元的有
９６ ３ ， ， ， ， ９７ ２
天 记为Ａ Ｂ 从中任选 天有 ａ Ａ ａ Ｂ ａ ｂ ａ ｃ
， ， ， ２ （ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），
ｂ Ａ ｂ Ｂ ｂ ｃ ｃ Ａ ｃ Ｂ Ａ Ｂ 共 种情况
（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ） １０ ，
其中选出的这 天日利润都是 元的有 Ａ Ｂ 这 种情况
２ ９７ （ ， ） １ ，
故所求概率为 １ ．故选 ．
Ｂ
１０
８．（２０１８山东济南外国语学校１２月考试，４）给出下列四个命题
：
将Ａ Ｂ Ｃ三种个体按 的比例分层抽样调查 若抽
① ， ， ３ ∶ １ ∶ ２ ， 年 月的业务量 月最高 月最低 差值接近
取的Ａ个体的个体数为 个 则样本容量为 Ａ．２０１８ １～４ ，３ ，２ ，
１２ ， ３０； 万件
一组数据 的平均数 中位数相同 ２０００
② １、２、３、４、５ 、 ； 年 月的业务量同比增长率均超过 ％ 在 月
甲组数据的方差为 乙组数据为 那么这两组 Ｂ．２０１８ １～４ ５０ ， ３
③ ５， ５、６、９、１０、５， 最高
数据中较稳定的是甲
； 从两图来看 年 月中的同一个月的快递业务量与
统计的 个样本数据为 Ｃ． ，２０１８ １～４
④ １０ ９５，１０５，１１４，１１６，１２０，１２０，１２２， 收入的同比增长率并不完全一致
则样本数据落在 ． ． 内的频率为 ． ．
１２５，１３０，１３４， ［１１４ ５，１２４ ５］ ０ ４ 从 月来看 该公司 年快递业务收入同比增长率
其中真命题为 Ｄ． １～４ ， ２０１８
（ ） 逐月增长
Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．②④ 答案 Ｄ 对于选项 年 月的业务量 月最
答案 Ｄ 若抽取的Ａ个体的个体数为 个 则根据分层抽 Ａ： ２０１８ １～４ ，３
１２ ， 高 月最低 差值为 接近 万件 所
样的概念得样本容量为 ．故 是假命题．数据 的 ，２ ， ４３９７－２４１１＝１９８６， ２０００ ，
２４ ① １、２、３、４、５ 以 是正确的 对于选项 年 月的业务量同比增
中位数为 平均数为 ．故 为真命题．乙组数据为 Ａ ； Ｂ：２０１８ １～４
３， ３ ② ５、６、９、１０、 长率分别为 ％ ％ ％ ％ 均超过 ％ 在 月最高
其方差为 ． 小于 故数据较稳定的是乙． 是假命题．数 ５５ ，５３ ，６２ ，５８ ， ５０ ， ３ ，
５， ４４， ５， ③ 所以 是正确的 对于选项 月业务量同比增长率为
Ｂ ； Ｃ：２
据落在 ［１１４ ． ５，１２４ ． ５］ 内的频率为 ４ ＝０ ． ４ ．故 ④ 为真命题．故真 ５３ ％ ， 而收入的同比增长率为 ３０ ％ ， 并不一致 ， 所以 Ｃ 是正确
１０
命题是 ．故答案为 ． 的 对于选项 月收入的同比增长率分别为 ％
； Ｄ，１，２，３，４ ５５ ，
②④ Ｄ
９．（２０１９河南名校联盟“尖子生”调研考试（二），５）为了测试小 ％ ％ ％ 并不是逐月增长 错误．
３０ ，６０ ，４２ ， ，Ｄ
班教学的实践效果 王老师对Ａ Ｂ两班的学生进行了阶段测 １１．（２０１９广东中山一中等七校联合体高三第二次（１１ 月）联
， 、
试 并将所得成绩统计成茎叶图．记本次测试中 Ａ Ｂ两班学生 考，１４）假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标
， ， 、 ，
的平均成绩分别为ｘ
Ａ，
ｘ
Ｂ，
Ａ
、
Ｂ两班学生成绩的方差分别为ｓ２Ａ， 现从
５００
支疫苗中抽取
５０
支进行检验
，
利用随机数表抽取样
ｓ２Ｂ， 则观察茎叶图可知
（ ）
本时
，
先将
５００
支疫苗按
０００，００１，…，４９９
进行编号
，
如果从
随机数表的第 行第 列的数开始向右读 则第 支疫苗的
７ ８ ， ３
编号 ．
下面摘取了随机数表的第 行至第 行
（ ７ ９ ）
８４４２１７５３３１ ５７２４５５０６８８ ７７０４７４４７６７ ２１７６３３５０２５
第 行
８３９２１２０６７６（ ７ ）
６３０１６３７８５９ １６９５５６６７１９ ９８１０５０７１７５ １２８６７３５８０７
Ａ．
ｘ
Ａ＜
ｘ
Ｂ，
ｓ２Ａ＜ ｓ２Ｂ
Ｂ．
ｘ
Ａ＞
ｘ
Ｂ，
ｓ２Ａ＜ ｓ２Ｂ
４４３９５２３８７９（
第
８
行
）
Ｃ．
ｘ
Ａ＜
ｘ
Ｂ，
ｓ２Ａ＞ ｓ２Ｂ
Ｄ．
ｘ
Ａ＞
ｘ
Ｂ，
ｓ２Ａ＞ ｓ２Ｂ
３３２１１２３４２９ ７８６４５６０７８２ ５２４２０７４４３８ １５５１００１３４２
答案 Ｂ Ａ班学生的分数多集中在 Ｂ班学生的分 第 行
［７０，８０］， ９９６６０２７９５４（ ９ ）
数集中在 故ｘ ｘ 相对两个班级的成绩分布来说 Ａ 答案
［５０，７０］， Ａ＞ Ｂ； ， ０６８
班学生的分数更加集中
，
Ｂ班学生的分数更加离散
，
故ｓ２Ａ＜ ｓ２Ｂ， 解析 从第
７
行第
８
列的数开始向右读取
，
抽取的编号依
故选 ． 次为 所以第 支疫苗的编号为 ．
Ｂ ３３１，４５５，０６８，…， ３ ０６８
８０６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１２．（２０１７湖南长沙一模，１４）空气质量指数 进而得到分布列 然后可得期望．
（Ａｉｒ Ｑｕａｌｉｔｙ Ｉｎｄｅｘ， ，
简称 是定量描述空气质量状况的指数 空气质量按照 １４．（２０１８安徽淮北一模，１９）为了解某知名品牌两个不同型号
ＡＱＩ） ，
大小分为六级 为优 为良 为轻 手机 的待机时间 单位 小时 淮北某手机卖场从
ＡＱＩ ，０～５０ ；５１～１００ ；１０１～１５０ Ｍ９，Ｍ１０ （ ： ），
度污染 为中度污染 为重度污染 大于 仓库中随机抽取 两种型号的手机各 台 在相同的
；１５１～２００ ；２０１～３００ ； Ｍ９，Ｍ１０ ６ ，
为严重污染．从某地一环保人士某年的 记录数据中 条件下进行测试 统计结果如图
３００ ＡＱＩ ， ， ：
随机抽取 个 用茎叶图记录如下．根据该统计数据 估计此
１０ ， ，
地该年 大于 的天数约为 ． 该年为 天
ＡＱＩ １００ （ ３６５ ）
４ ５
５ ０
７ ５ ４
９ ３ ０
１１ ７ ８
根据茎叶图计算 两种型号手机的平均待机
１９ ９
（１） Ｍ９，Ｍ１０
２１ ５ 时间
答案 ；
根据茎叶图判断 两种型号被测试手机待机时间
１４６
（２） Ｍ９，Ｍ１０
解析 该样本中 大于 的频数是 频率为 ２ 方差的大小 并说明理由
ＡＱＩ １００ ４， ， ， ；
５ 从待机时间在 小时以上的 台被测试手机中随机抽
（３） ７５ ６
由此估计该地全年 大于 的频率为 ２ 取 台 求至少有一台手机是 的概率．
ＡＱＩ １００ ， ２ ， Ｍ９
５ 解析 根据茎叶图中的数据 计算 型号手机的平均
（１） ， Ｍ９
估计此地该年 大于 的天数约为 ２ ．
ＡＱＩ １００ ３６５× ＝１４６ 待机时间为ｘ １ 小时
５ Ｍ９＝ ×（５６＋６９＋６５＋７０＋７６＋８４）＝７０（ ），
１３．（２０１９四川成都高新区１０ 月月考，１８）高新区某高中德育 ６
处为了调查学生对 一带一路 的关注情况 在全校组织了 型号手机的平均待机时间为ｘ １
“ ” ， Ｍ１０ Ｍ１０＝ ×（７９＋７２＋７０＋８０＋
一带一路知多少 的知识问卷测试 并从中随机抽取了 ６
“ ” ， １２ 小时 ．
份问卷 得到其测试成绩 百分制 的茎叶图如下 ８１＋８０）＝７７（ ）
， （ ） ： 手机待机时间方差大于 手机待机时间方差．
（２）Ｍ９ Ｍ１０
理由 的数据分布比较分散 波动较大 的数据分布
：Ｍ９ ， ；Ｍ１０
比较集中 波动较小．
，
记 待机时间在 小时以上的被测手机为Ａ Ａ
（３） Ｍ９ ７５ １， ２，
待机时间在 小时以上的被测手机为Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ
Ｍ１０ ７５ １， ２， ３， ４，
从 台被测手机中任取 台有 ２ 种取法 其中不符合题
写出该样本的中位数 若该校共有 名学生 试估计 意的
６
取法有 Ｂ Ｂ
２
Ｂ Ｂ
Ｃ６＝１
Ｂ
５
Ｂ
，
Ｂ Ｂ Ｂ
（１）
该校测试成绩在 分
，
以上的人数
３ ０００ ， （ １， ２），（ １， ３），（ １， ４），（ ２， ３），（ ２，
７０ ； Ｂ Ｂ Ｂ 共 种
从所抽取的 分以上的学生中再随机选取 人 用ξ表
４），（ ３， ４）， ６ ，
（２） 示测试成绩在 ７０ 分以上的人数 求 ξ 的分 ４ 布列 ， 和数学 所以所求的概率Ｐ ＝ １５－６ ＝ ３ ．
８０ ， １５ ５
期望． １５．（２０２０四川石室中学高三开学考试，１７）某高校在 年的
２０１６
解析 由茎叶图可得中位数为 样本中 分以上的 自主招生考试成绩中随机抽取 名学生的笔试成绩 按成
（１） ７６， ７０ １００ ，
学生所占比为 ８ ＝ ２ ， 故可估计该校测试成绩在 ７０ 分以上
绩分组
，
得到的频率分布表如下．
１２ ３ 组号 分组 频数 频率
的学生人数为 ２ ．
３０００× ＝２０００ 第 组 ．
３ １ ［１６０，１６５） ５ ００５０
由题意可得ξ的可能取值为 ． 第 组 ｎ ．
（２） ０，１，２，３，４ ２ ［１６５，１７０） ０３５０
Ｐ ξ Ｃ ０ ４Ｃ ４ ４ １ Ｐ ξ Ｃ １ ４Ｃ ３ ４ １６ ８ Ｐ ξ 第 ３ 组 ［１７０，１７５） ３０ ｐ
（ ＝０）＝ Ｃ ４ ８ ＝ ７０ ， （ ＝１）＝ Ｃ ４ ８ ＝ ７０ ＝ ３５ ， （ ＝２）＝ 第 ４ 组 ［１７５，１８０） ２０ ０ ． ２００
２ ２ ３ １ ４ ０
Ｃ４Ｃ４ １８ Ｐ ξ Ｃ４Ｃ４ ８ Ｐ ξ Ｃ４Ｃ４ １ ． 第 组 ．
４ ＝ ， （ ＝３）＝ ４ ＝ ， （ ＝４）＝ ４ ＝ ５ ［１８０，１８５） １０ ０１００
Ｃ８ ３５ Ｃ８ ３５ Ｃ８ ７０ 合计 ．
ξ的分布列为 １００ １０００
∴
ξ
０ １ ２ ３ ４
Ｐ １ ８ １８ ８ １
７０ ３５ ３５ ３５ ７０
Ｅ ξ １ ８ １８ ８ １ ．
∴ （ ）＝０× ＋１× ＋２× ＋３× ＋４× ＝２
７０ ３５ ３５ ３５ ７０
思路分析 根据茎叶图中的数据可得中位数 然后根据
（１） ，
样本中 分以上的学生所占的比例可得总体中 分以上的
７０ ７０
人数． 根据题意得到ξ的可能取值 分别求出对应的概率
（２） ，
专题十一 概率与统计 ８０７
求频率分布表中ｎ ｐ的值 补全频率分布直方图 并估计 ．
（１） ， ， ， 中位数为 ０１ ．
该组数据的中位数 保留 位小数 １７０＋ ． ≈１７１７，
（ １ ）； ００６
为了能选拔出最优秀的学生 高校决定在笔试成绩高的 即中位数的估计值为 ． ．
（２） ， １７１７
第 组中用分层抽样的方法抽取 名学生进入第二 由题意可知笔试成绩高的第 组的人数之比为
３、４、５ ６ （２） ３、４、５ ３ ∶ ２
轮面试 则第 组每组各抽取多少名学生进入第二 现用分层抽样的方法选 名学生 故第 组每组各
， ３、４、５ ∶ １， ６ ， ３、４、５
轮面试 抽取学生的人数为 ．
？ ３、２、１
在 的前提下 学校决定从 名学生中随机抽取 名学 由 可知第 组每组各抽取学生的人数为
（３） （２） ， ６ ２ （３） （２） ３、４、５ ３、２、１，
生接受甲考官的面试 求第 组至少有 名学生被甲考 记第 组的 名学生为ｃ ｃ ｃ
， ４ １ ３ ３ １， ２， ３，
官面试的概率． 第 组的 名学生为ｄ ｄ 第 组的 名学生为ｅ 且 第
４ ２ １， ２， ５ １ ， “ ４
解析 本题考查样本数据的中位数 分层抽样及古典概型 组至少有 名学生被甲考官面试 为事件Ａ．
、 １ ”
的概率计算 属基础题． 则所有的基本事件有 ｃ ｃ ｃ ｃ ｃ ｄ ｃ ｄ
， （ １， ２），（ １， ３），（ １， １），（ １， ２），
由频率分布表可知 ｎ ｃ ｅ ｃ ｃ ｃ ｄ ｃ ｄ ｃ ｅ ｃ ｄ ｃ ｄ
（１） ：５＋ ＋３０＋２０＋１０＝１００， （ １， ），（ ２， ３），（ ２， １），（ ２， ２），（ ２， ），（ ３， １），（ ３， ２），
． ． ｐ ． ． ． ｃ ｅ ｄ ｄ ｄ ｅ ｄ ｅ 共 种．
００５０＋０３５０＋ ＋０２００＋０１００＝１０００， （ ３， ），（ １， ２），（ １， ），（ ２， ）， １５
ｎ ｐ ． 补全频率分布直方图如图． 事件Ａ包括 ｃ ｄ ｃ ｄ ｃ ｄ ｃ ｄ ｃ ｄ
∴ ＝３５， ＝０３００， ：（ １， １），（ １， ２），（ ２， １），（ ２， ２），（ ３， １），
ｃ ｄ ｄ ｄ ｄ ｅ ｄ ｅ 共 种．
（ ３， ２），（ １， ２），（ １， ），（ ２， ）， ９
Ｐ Ａ ９ ３ ．
∴ （ ）＝ ＝
１５ ５
故第 组至少有 名学生被甲考官面试的概率为 ３ ．
４ １
５
