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11.4 抽样方法与总体分布的估计
基础篇
考点 一 随机抽样 画频率分布直方图 依据频率分布表画图
５) : ꎬ
其中纵坐标 小长方形的高 表示频率与组
1.
简单随机抽样 ( )
距的比值 其相应组距上的频率等于该组上
定义 一般地 设一个总体含有 Ｎ Ｎ 为正整 ꎬ
１) : ꎬ (
的小长方形的面积 即每个小长方形的面积
数 个个体 从中逐个抽取 ｎ ｎ Ｎ 个个 ꎬ
) ꎬ (１≤ < )
频率
体作为样本 如果抽取是放回的 且每次抽 组距 频率.各个小长方形面积的总
ꎬ ꎬ ＝ ×组距 ＝
取时总体内的各个个体被抽到的概率都相
和等于 .
等 我们把这样的抽样方法叫做放回简单随 １
ꎬ 2. 用样本的数字特征估计总体的数字特征
机抽样 如果抽取是不放回的 且每次抽取
ꎻ ꎬ
数字
时总体内未进入样本的各个个体被抽到的 样本数据 频率分布直方图
特征
概率都相等 我们把这样的抽样方法叫做不
ꎬ
出 现 次 数 最 多 的 取最高小长方形底
放回简单随机抽样 放回简单随机抽样和不 众数
ꎬ 数据 边中点的横坐标
放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.
把频率分布直方图
最常用的方法 随机数法和抽签法.
２) :
将数据按大小排序ꎬ
划分为左右两个面
2.
分层随机抽样 处在最中间位置的
中位数 积相等的部分ꎬ分界
定义 一般地 按一个或多个变量把总体划分 一个数据(或最中间
１) : ꎬ 线与 ｘ 轴交点的横
两个数据的平均数)
成若干个子总体 每个个体属于且仅属于一个
坐标
ꎬ
子总体 在每个子总体中独立地进行简单随机
每个小长方形的面
ꎬ
样本数据的算术平
抽样 再把所有子总体中抽取的样本合在一起 平均数 积乘小长方形底边
ꎬ 均数
作为总样本 这样的抽样方法称为分层随机 中点的横坐标之和
ꎬ
抽样.
方差 ｓ２ １ ｘ ｘ ２ ｘ ｘ ２ ｘ
应用范围 总体由差异明显的几个部分组成. : ＝ ｎ [( １ － ) ＋( ２ － ) ＋＋( ｎ－
２) :
分层随机抽样的关键是根据样本特征的差 ｘ ２
) ]ꎻ
３)
异进行分层 实质是等比例抽样 抽样比 标准差
ꎬ ꎬ ＝ :
样本容量 各层所抽取的个体数
. ｓ １ ｘ ｘ ２ ｘ ｘ ２ ｘ ｘ ２ .
总体容量＝ 各层个体数 ＝ ｎ[( １ － ) ＋( ２ － ) ＋＋( ｎ－ ) ]
考点 二 用样本估计总体 注意
方差和标准差描述了一组数据与平均数的离散程度ꎬ反
1.
频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤
映了一组数据相对于平均数的波动情况ꎬ标准差和方差
求极差 一组数据中最大值 最小值
１) : － ꎻ 越大ꎬ说明这组数据的波动性越大.
决定组距与组数
２) ꎻ
3.
将数据分组 百分位数
专
３) ꎻ
题
列频率分布表 落在各小组内的数据的个数 把 个样本数据按从小到大排序 得到第 十
４) : １) １００ ꎬ 一
叫做频数 每小组的频数与样本容量的比值 ｐ 个和第 ｐ 个数据分别为 ａ ｂ.可以发现
ꎬ ＋１ ꎬ ꎬ 概
率
叫做这一小组的频率 计算各小组的频率 区间 ａ ｂ 内的任意一个数 都能把样本数
与
ꎬ ꎬ ( ꎬ ) ꎬ
统
列出频率分布表 据分成符合要求的两部分.一般地 我们取这 计
ꎻ ꎬ
３３１
ａ ｂ 如下
两个数的平均数 ＋ ｃ 并称此数为这组数 :
＝ ꎬ
按从小到大排列原始数据
２
① ꎻ
据的第 ｐ 百分位数或 ｐ％分位数.
计算 ｉ ｎ ｐ％
② ＝ × ꎻ
一般地 一组数据的第 ｐ 百分位数是这样一
若 ｉ 不是整数 而大于 ｉ 的比邻整数为 ｊ 则
２) ꎬ
③ ꎬ ꎬ
个值 它使得这组数据中至少有 ｐ％的数据
第 ｐ 百分位数为第 ｊ 项数据 若 ｉ 是整数 则
ꎬ
ꎬ ꎬ
小于或等于这个值 且至少有 ｐ ％的
第 ｐ 百分位数为第 ｉ 项与第 ｉ 项数据的
ꎬ (１００－ )
( ＋１)
数据大于或等于这个值.
平均数.
计算一组 ｎ 个数据的第 ｐ 百分位数的步骤
３)
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
３３２
综合篇
考法 一 用统计图估计样本的数字特征 据的第 百分位数为 . .
６０ ８ １
1.
频率分布直方图有以下几个特点
:
纵轴表示频率/组距
１) ꎻ
频率分布直方图中各个小矩形高的比就是
２)
相应各组的频率之比
ꎻ
频率分布直方图中各小矩形的面积是相应
３)
各组的频率 所有小矩形的面积之和等于
ꎬ １ꎬ
即频率之和为 .
１
2. ( )求 ａꎬｂ 的值ꎬ并估计这 位居民可支配
用频率分布直方图估计样本的数字特征 １ １００
收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的
ｎ
平均数 ｘ ｘ Ｓ ｘ 表示第ｉ 个小矩形底边
１) : ＝ ∑ ｉ＝ ｉ ｉ( ｉ 中点值作代表)ꎻ
１
中点的横坐标 Ｓ 表示第ｉ 个小矩形的面积 . ( )用样本的频率估计概率ꎬ从该地居民中抽
ꎬ ｉ ) ２
ｎ 取甲、乙、丙 人ꎬ若每次抽取的结果互不影
方差 ｓ２ ｘ ｘ ２ Ｓ . ３
２) : ＝ ∑ ｉ＝ ( ｉ－ ) ｉ 响ꎬ求抽取的 人中至少有两人去年可支配收
１ ３
众数 最高小矩形底边中点的横坐标.
３) : 入在[ . ꎬ . )内的概率.
７ ５ ８ ５
中位数 把频率分布直方图划分为左右两个面
４) : 解析 ( )由频率分布直方图ꎬ可得 .
１ ０ ０５＋
积相等的部分时 分界线与横轴交点的横坐标.
. ａ ｂ . . ꎬ则 ａ ｂ . .
ꎬ
０ １２＋ ＋ ＋０ ２＋０ ０８＝１ ＋ ＝０ ５５①
例1 ( 届重庆十八中强化训练ꎬ )
因为居民可支配收入数据的第 百分位数为 . ꎬ
２０２３ １７ ２０２２
６０ ８１
年 月 日ꎬ第十三届全国人民代表大会第五
所以 . . ａ ( . . ) ｂ . ꎬ
３ ５ ０ ０５＋０ １２＋ ＋ ８ １－７ ５ × ＝０ ６
次会议在北京人民大会堂开幕ꎬ会议报告指 则 ａ . ｂ . ꎬ
＋０ ６ ＝０ ４３②
出ꎬ 年ꎬ国内生产总值和居民人均可支配 {ａ . ꎬ
２０２１ 联立 ꎬ解得 ＝０ ２５
收入明显增长.某地为了解居民可支配收入情 ①② ｂ . .
＝０ ３
况ꎬ随机抽取 人ꎬ经统计ꎬ这 人去年可 所以估计这 位居民可支配收入的平均值
１００ １００ １００
支配收入(单位:万元)均在区间[ . ꎬ . ] 为 . . . . . .
４ ５ １０ ５ ０ ０５×５＋０ １２×６＋０ ２５×７＋０ ３×８＋０ ２×９＋０ ０８
内ꎬ按[ . ꎬ . )ꎬ[ . ꎬ . )ꎬ[ . ꎬ . )ꎬ[ . ꎬ . .
４ ５ ５ ５ ５ ５ ６ ５ ６ ５ ７ ５ ７ ５ ×１０＝７ ７２
. )ꎬ[ . ꎬ . )ꎬ[ . ꎬ . ]分成 组ꎬ频率分 ( )设事件 ＡꎬＢꎬＣ 分别为甲、乙、丙在[ . ꎬ
８ ５ ８ ５ ９ ５ ９ ５ １０ ５ ６ ２ ７ ５
布直方图如图所示ꎬ若上述居民可支配收入数 . )内ꎬ则 Ｐ(Ａ) Ｐ(Ｂ) Ｐ(Ｃ) . .
８ ５ ＝ ＝ ＝ ０ ３
“抽取的 人中有 人在[ . ꎬ . )内” 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本
① ３ ２ ７ ５ ８ ５ ＝
ＡＢＣ ＡＢＣ ＡＢＣꎬ且 ＡＢＣꎬＡＢＣ 与ＡＢＣ 两两互
平均数分别记为 ｘ和 ｙꎬ样本方差分别记为 ｓ２
∪ ∪ １
和 ｓ２.
斥ꎬ得 Ｐ Ｐ(ＡＢＣ ＡＢＣ ＡＢＣ) . .
２
１ ＝ ∪ ∪ ＝ ０ ３×０ ３× ( )求ｘꎬｙꎬｓ２ꎬｓ２ꎻ
( . ) . ( . ) . ( . ) . . １ １ ２
１－０ ３ ＋０ ３× １－０ ３ ×０ ３＋ １－０ ３ ×０ ３×０ ３
( )判断新设备生产产品的该项指标的均值较
. ꎻ ２
＝０ １８９
“抽取的 人中有 人在[ . ꎬ . )内” æ ｓ２ ｓ２
② ３ ３ ７ ５ ８ ５ ＝ 旧设备是否有显著提高 ç如果ｙ ｘ １ ＋ ２ꎬ
è － ≥２
ＡＢＣꎬ得 Ｐ Ｐ(ＡＢＣ) Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ)Ｐ(Ｃ) . １０
２ ＝ ＝ ＝ ０ ３× 则认为新设备生产产品的该项指标的均值较
. . . ꎬ
０ ３×０ ３＝０ ０２７
ö
所以抽取的 人中至少有两人去年可支配收 旧设备有显著提高ꎬ否则不认为有显著提高 ÷.
３ ø
入在[ . ꎬ . )内的概率为 Ｐ Ｐ .
７ ５ ８ ５ １ ＋ ２ ＝ ０ １８９＋
解析 ( )ｘ １ ( . . . . .
. . .
１ ＝ × ９ ８＋１０ ３＋１０ ０＋１０ ２＋９ ９
０ ０２７＝０ ２１６
１０
. . . . . ) .
考法 二 样本的数字特征及其应用 ＋９ ８＋１０ ０＋１０ １＋１０ ２＋９ ７ ＝ １０
1. ｙ １ ( . . . . . . .
平均数 中位数 众数与方差 标准差都是重 ＝ × １０ １＋１０ ４＋１０ １＋１０ ０＋１０ １＋１０ ３＋１０ ６
、 、 、 １０
要的数字特征 利用它们可对总体进行一种 . . . ) . .
ꎬ ＋１０ ５＋１０ ４＋１０ ５ ＝ １０ ３
简明的描述 它们所反映的情况有着重要的
ꎬ ｓ２ １ ( . ２ . ２ ２ . ２ . ２ . ２ ２ . ２
实际意义 平均数 中位数 众数可描述总体 １ ＝ × ０ ２ ＋０ ３ ＋０ ＋０ ２ ＋０ １ ＋０ ２ ＋０ ＋０ １
ꎬ 、 、 １０
的集中趋势 方差和标准差可描述波动大小. . ２ . ２) . .
ꎬ ＋０ ２ ＋０ ３ ＝ ０ ０３６
2.
有关平均数、方差的一些结论
ｓ２ １ ( . ２ . ２ . ２ . ２ . ２ ２ . ２
若 ｘ ｘ ｘ 的平均数为 ｘ 则 ｍｘ ａ ｍｘ ２ ＝ １０ × ０ ２ ＋０ １ ＋０ ２ ＋０ ３ ＋０ ２ ＋０ ＋０ ３ ＋
１) １ꎬ ２ꎬꎬ ｎ ꎬ １ ＋ ꎬ ２
ａ ｍｘ ａ ｍｘ ａ 的平均数是 ｍ ｘ ａ. ０ . ２ ２ ＋０ . １ ２ ＋０ . ２ ２) ＝ ０ . ０４ .
＋ ꎬ ３ ＋ ꎬꎬ ｎ＋ ＋
２)
设数据 ｘ
１ꎬ
ｘ
２ꎬꎬ
ｘ
ｎ
的方差为 ｓ２
ꎬ
则
( ) ｙ ｘ . . ３ １５ꎬ
ｓ２
１ ＋
ｓ２
２
２ ∵ － ＝１０ ３－１０＝０ ３＝ ＝ ２ ＝
数据 ｘ ａ ｘ ａ ｘ ａ 的方差也为 ｓ２ １０ ５０ １０
① １ ＋ ꎬ ２ ＋ ꎬꎬ ｎ＋ ꎻ
. .
② 数据 ａｘ １ꎬ ａｘ ２ꎬꎬ ａｘ ｎ 的方差为 ａ２ｓ２.
２
０ ０３６＋０ ０４
＝ ２× ０
.
００７ ６ ＝
７６ꎬ且１５
＝
例2 ( 全国乙文ꎬ ꎬ 分)某厂研制了 １０ ５０ ５０
２０２１ １７ １２
一种生产高精产品的设备ꎬ为检验新设备生产
２２５ ７６ꎬ ｙ ｘ
ｓ２
１ ＋
ｓ２
２ 成立ꎬ 认为新
> ∴ － ≥２ ∴
产品的某项指标有无提高ꎬ用一台旧设备和一 ５０ ５０ １０
设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有
台新设备各生产了 件产品ꎬ得到各件产品
１０
显著提高.
该项指标数据如下:
旧设备 . . . . .
９ ８ １０ ３ １０ ０ １０ ２ ９ ９
新设备 . . . . .
１０ １ １０ ４ １０ １ １０ ０ １０ １
旧设备 . . . . .
９ ８ １０ ０ １０ １ １０ ２ ９ ７
新设备 . . . . . 专
１０ ３ １０ ６ １０ ５ １０ ４ １０ ５ 题
十
一
概
率
与
统
计
３３３
