北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
11.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
一、选择题
1.(2022届安徽六安新安中学开学考试,5)若随机变量η的分布列如下表:
η -1 0 1 2 3 4
P 0.1 0.1 0.2 0.3 0.25 0.05
则P(η≤1)=( )
A.0.5 B.0.2 C.0.4 D.0.3
答案 C 由分布列可得P(η≤1)=P(η=-1)+P(η=0)+P(η=1)=0.1+0.1+0.2=0.4.故选C.
2.(2020太原模拟,6)某射手射击所得环数ξ的分布列如下表:
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知ξ的数学期望E(ξ)=8.9,则y的值为( )
A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.2
答案 C 由题中表格及题意可知x+0.1+0.3+y=1,7x+8×0.1+9×0.3+10y=8.9,解得y=0.4.故选C.
二、解答题
3.(2022届北京顺义一中10月月考,19)为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度,厂家随机选取了2 000名顾
客进行回访,调查结果如下表:
运动鞋款式 A B C D E
回访顾客(人数) 700 350 300 250 400
满意度 0.3 0.5 0.7 0.5 0.6
注:1.满意度是指:某款式运动鞋的回访顾客中,满意人数与总人数的比值;2.对于每位回访顾客,只调研一种款
式运动鞋的满意度.
假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立,用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的
概率.
(1)从所有的回访顾客中随机抽取1人,求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率;
(2)从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人,设其中满意的人数为X,求X的分布列和数学期
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(3)用“ζ=1”和“ζ=0”分别表示对A款式运动鞋满意和不满意,用“η=1”和“η=0”分别表示对B款式运动鞋
满意和不满意,试比较方差D(ζ)与D(η)的大小.(结论不要求证明)
解析 (1)由表格中的数据可知,2 000名顾客中是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为
300×0.7=210.
210
因此,所求概率为P= =0.105.
2 000
(2)由题意可知,随机变量X的可能取值为0、1、2,
P(X=0)=(1-0.3)×(1-0.6)=0.28,
P(X=1)=(1-0.3)×0.6+0.3×(1-0.6)=0.54,
P(X=2)=0.3×0.6=0.18,
所以,随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P 0.28 0.54 0.18
数学期望为E(X)=0×0.28+1×0.54+2×0.18=0.9.
(3)D(η)>D(ζ).
详解:随机变量ζ的分布列如下表所示:
ζ 0 1
P 0.7 0.3
E(ζ)=0×0.7+1×0.3=0.3,D(ζ)=(0-0.3)2×0.7+(1-0.3)2×0.3=0.21.
随机变量η的分布列如下表所示:
η 0 1
P 0.5 0.5
E(η)=0×0.5+1×0.5=0.5,D(η)=(0-0.5)2×0.5+(1-0.5)2×0.5=0.25.
所以,D(η)>D(ζ).
4.(2022届人大附中朝阳学校10月质检,17)某企业招聘员工,其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、
录用人数和录用比例(精确到1%)如下:
男性应 男性录 男性录 女性应 女性录 女性录
岗位
聘人数 用人数 用比例 聘人数 用人数 用比例
A 269 167 62% 40 24 60%
B 40 12 30% 202 62 31%
C 177 57 32% 184 59 32%
D 44 26 59% 38 22 58%北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
E 3 2 67% 3 2 67%
总计 533 264 50% 467 169 36%
(1)从表中所有应聘人员中随机选择1人,试估计此人被录用的概率;
(2)从应聘E岗位的6人中随机选择2人.记X为这2人中被录用的人数,求X的分布列和数学期望;
(3)表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近(二者之差的绝对值不大于5%),但男性的总
录用比例却明显高于女性的总录用比例.研究发现,若只考虑其中某四种岗位,则男性、女性的总录用比例也
接近,请写出这四种岗位.(只需写出结论)
解析 (1)表中所有应聘人员总数为533+467=1 000,
被该企业录用的人数为264+169=433,
433
所以从表中所有应聘人员中随机选择1人,此人被录用的概率约为 .
1 000
(2)因为应聘E岗位的6人中,被录用的有4人,未被录用的有2人,
所以X的可能取值为0,1,2.
C2
1
C1C1
8
所以P(X=0)= 2= ;P(X=1)= 2 4= ;
C2 15 C2 15
6 6
C2
2
P(X=2)= 4= .
C2 5
6
所以X的分布列为
X 0 1 2
1 8 2
P
15 15 5
1 8 2 4
E(X)=0× +1× +2× = .(3)这四种岗位是B、C、D、E.
15 15 5 3
5.(2022届北京三十五中期中,17)甲、乙两人进行射击比赛,各射击4局,每局射击10次,射击命中目标得1分,
未命中目标得0分.两人4局的得分情况如下:
甲 6 6 9 9
乙 7 9 x y
(1)若从甲的4局比赛中随机选取2局,求这2局的得分恰好相等的概率;
(2)如果x=y=7,从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局,记这2局的得分和为X,求X的分布列和数学期
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(3)在4局比赛中,若甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定,写出x的所有可能取值.(结论不要求证
明)
解析 (1)记“从甲的4局比赛中随机选取2局,这2局的得分恰好相等”为事件A,
由题意得P(A)= 2 =1,
C2 3
4
1
所以从甲的4局比赛中随机选取2局,这2局得分恰好相等的概率为 .
3
(2)X的所有可能取值为13,15,16,18,
C1C1
3
C1
1
且P(X=13)= 2 3= ,P(X=15)= 2 = ,
C1C1 8 C1C1 8
4 4 4 4
C1C1
3
C1
1
P(X=16)= 2 3= ,P(X=18)= 2 = ,
C1C1 8 C1C1 8
4 4 4 4
所以X的分布列为
X 13 15 16 18
3 1 3 1
P
8 8 8 8
3 1 3 1
所以E(X)=13× +15× +16× +18× =15.
8 8 8 8
(3)x的可能取值为6,7,8.
6.(2022届长春质量监测一,19)水立方、国家体育馆、五棵松体育馆、首都体育馆、国家速滑馆是北京2022
年冬奥会的部分比赛场馆.现有8名大学生报名参加冬奥会志愿者比赛场馆服务培训,其中1人在水立方培
训,3人在国家体育馆培训,4人在五棵松体育馆培训.
(1)若从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训,求所抽调的2人来自不同场馆的概率;
(2)若从中一次抽调3名大学生志愿者到首都体育馆培训,要求这3人中来自水立方的人数和来自国家体育
馆的人数都不超过来自五棵松体育馆的人数.设从五棵松体育馆抽调的人数为ξ,求随机变量ξ的概率分布列
及数学期望E(ξ).
解析 (1)设事件A为“抽调的2人来自不同场馆”.从8人中一次抽调2人有 C2种情况,2人都来自国家体
8
C2+C2
19
育馆有 C2种情况,2人都来自五棵松体育馆有 C2种情况,所以P(A)=1- 3 4= .
3 4 C2 28
8北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
(2)由题意得ξ的所有可能取值为1,2,3,且来自五棵松体育馆的人数至少是1人,则满足题设条件的情况共有
C1C1C1
+
C1C2
+
C1C2
+
C3
=40种.
1 3 4 1 4 3 4 4
P(ξ=1)=C1C1C1 = 3 ,P(ξ=2)=C1C2+C1C2 =3,
1 3 4 1 4 3 4
40 10 40 5
P(ξ=3)=C3 = 1 .
4
40 10
ξ的分布列如下:
ξ 1 2 3
3 3 1
P
10 5 10
3 3 1 9
E(ξ)=1× +2× +3× = .
10 5 10 5
7.(2021门头沟一模,16)第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办.为了普及冬奥知识,京西某
校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛,从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本,得到他们的分
数统计如下:
分
[30, [40, [50, [60, [70, [80, [90,
数
40) 50) 60) 70) 80) 90) 100]
段
人
1 2 2 8 3 3 1
数
我们规定60分以下为不及格;60分及以上至70分以下为及格;70分及以上至80分以下为良好;80分及以上
为优秀.
(1)从这20名学生中随机抽取2名学生,恰好2名学生都是优秀的概率是多少?
(2)将上述样本统计中的频率视为概率,从全校学生中随机抽取2人,以X表示这2人中的优秀人数,求X的分
布列与期望.
解析 (1)记“从这20名学生中随机抽取2名学生,恰好2名学生都是优秀”为事件A.
C2
3
P(A)= 4 = .
C2 95
20
4 1
(2)记“从样本中随机抽取一名学生,这名学生为优秀”为事件B,由题意可得P(B)= = .
20 5
X的所有可能取值为0,1,2.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
P(X=0)= C0( 1- 1) 2 =16,P(X=1)= C1 ×1×( 1- 1)= 8 ,P(X=2)= C2(1) 2 = 1 .
2 5 25 2 5 5 25 2 5 25
所以X的分布列为
X 0 1 2
16 8 1
P
25 25 25
16 8 1 2
数学期望E(X)=0× +1× +2× = .
25 25 25 5
8.(2021河南百校联盟4月联考,19)某资源网推出精品资料营销,数学学科新教材必修第一册共计推出48个
教案,为了更好地将课程内容呈现给学生,现对某一时段教案的下载量进行统计:
下载量 [0,100] (100,200] (200,+∞)
个数 8 24 16
(1)现从48个教案中采用分层抽样的方法选出6个,求选出的下载量超过200的个数;
(2)为了更好地鼓励作者,现在在基本工资的基础上推出如下奖励措施,若下载量在区间[0,100]内,不予奖励,若
下载量在区间(100,200]内,则每个教案奖励500元;若下载量超过200,则每个教案奖励1 000元,现从(1)中选
出的6个教案中随机取出2个教案进行奖励,求奖励金额X的分布列与数学期望.
16
解析 (1)根据分层抽样的特点,可知选出的下载量超过200的个数为6× =2.
48
(2)X的可能取值为500,1 000,1 500,2 000.
C1C1
1
C2+C1C1
1
P(X=500)= 1 3= ,P(X=1 000)= 3 1 2= ,
C2 5 C2 3
6 6
C1C1
2
C2
1
P(X=1 500)= 3 2= ,P(X=2 000)= 2= .
C2 5 C2 15
6 6
则奖励金额X的分布列为
X 500 1 000 1 500 2 000
1 1 2 1
P
5 3 5 15
1 1 2 1 3 500
故奖励金额X的数学期望E(X)=500× +1 000× +1 500× +2 000× = .
5 3 5 15 3
