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11.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
基础篇
考点 离散型随机变量及其分布列、均值与 ｍ ｒ.其中 ｎ Ｎ Ｍ Ｎ∗ Ｍ Ｎ ｎ
１ꎬ ＋２ꎬꎬ ꎬ ꎬ ∈ ꎬ ≤ ꎬ ≤
方差 Ｎ ｍ ｎ Ｎ Ｍ ｒ ｎ Ｍ .如果随
ꎬ ＝ｍａｘ{０ꎬ － ＋ }ꎬ ＝ｍｉｎ{ ꎬ }
机变量 Ｘ 的分布列具有上式的形式 那么称
1.
离散型随机变量的分布列 ꎬ
随机变量 Ｘ 服从超几何分布.
一般地 对于随机试验样本空间 Ω 中的每个
１) ꎬ 4. 离散型随机变量的均值与方差
样本点 ω 都有唯一的实数 Ｘ ω 与之对应
ꎬ ( ) ꎬ 均值定义 一般地 若离散型随机变量 Ｘ 的
我们称 Ｘ 为随机变量 可能取值为有限个或 １) : ꎬ
ꎬ 分布列为
可以一一列举的随机变量 我们称为离散型
ꎬ
Ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
随机变量. ｉ ｎ
１ ２
Ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ
一般地 设离散型随机变量 Ｘ 的可能取值为 ｉ ｎ
１ ２
２) ꎬ
ｎ
ｘ ｘ ｘ 我们称 Ｘ 取每一个值 ｘ 的概率
Ｐ
１ꎬ
Ｘ
２ꎬ
ｘ
ꎬ ｎ
ｐ
ꎬ
ｉ ｎ 为 Ｘ 的概
ｉ
率分布
则 Ｅ
(
Ｘ
)＝
ｘ
１
ｐ
１ ＋
ｘ
２
ｐ
２ ＋＋
ｘ
ｎ
ｐ
ｎ ＝∑ ｉ＝
ｘ
ｉ
ｐ
ｉ
为随
( ＝ ｉ)＝ ｉꎬ ＝１ꎬ２ꎬꎬ １
机变量 Ｘ 的均值或数学期望 它反映了离散
列 简称分布列.用表格表示如表 ꎬ
ꎬ :
型随机变量取值的平均水平.
Ｘ ｘ ｘ ｘ
ｎ
１ ２ 方差定义 Ｄ Ｘ ｘ Ｅ Ｘ ２ｐ ｘ
Ｐ ｐ ｐ ｐ ２) : ( )＝ ( １ － ( )) １ ＋( ２ －
ｎ
１ ２
Ｅ Ｘ ２ｐ ｘ Ｅ Ｘ ２ｐ
其中 ｐ ｉ ｎ ｐ ｐ ｐ . ( ) ) ２ ＋ ＋ ( ｎ － ( )) ｎ ＝
ꎬ ｉ≥０ꎬ ＝１ꎬ２ꎬꎬ ꎻ １ ＋ ２ ＋＋ ｎ＝１ ｎ
2. 两点分布 ｘ Ｅ Ｘ ２ｐ 为随机变量 Ｘ 的方差
∑ ｉ＝ ( ｉ－ ( )) ｉ ꎬ
１
如果随机变量 Ｘ 的分布列为
Ｄ Ｘ 为随机变量 Ｘ 的标准差 记作 σ Ｘ .
( ) ꎬ ( )
Ｘ
１ ０ 它们都可以度量随机变量 Ｘ 与其均值 Ｅ Ｘ
( )
Ｐ ｐ ｐ
１－ 的平均偏离程度.
则称离散型随机变量 Ｘ 服从两点分布或 性质 Ｅ ａＸ ｂ ａＥ Ｘ ｂ
０—１ ３) : ( ＋ )＝ ( )＋ ꎻ
分布. Ｄ ａＸ ｂ ａ２Ｄ Ｘ 其中 ａ ｂ Ｒ
( ＋ )＝ ( )ꎬ ꎬ ∈ ꎻ
3.
超几何分布
Ｄ Ｘ Ｅ Ｘ２ Ｅ Ｘ ２.
( )＝ ( )－[ ( )]
一般地 假设一批产品共有 Ｎ 件 其中有 Ｍ 两点分布的均值与方差
ꎬ ꎬ ４)
件次品.从 Ｎ 件产品中随机抽取 ｎ 件 不放 Ｅ Ｘ ｐ Ｄ Ｘ ｐ ｐ .
( ( )＝ ꎬ ( )＝ (１－ )
回 用 Ｘ 表示抽取的 ｎ 件产品中的次品数 超几何分布的均值
)ꎬ ꎬ ５)
ｋ ｎ ｋ
－ ｎＭ
则Ｘ 的分布列为Ｐ Ｘ ｋ
ＣＭＣＮ
－
Ｍ
ｋ ｍ ｍ Ｅ Ｘ ｎｐ.
( ＝ )＝ ｎ ꎬ ＝ ꎬ ＋ ( )＝ Ｎ ＝
ＣＮ
专
题
十
一
概
率
与
统
计
３２５
综合篇
考法 求离散型随机变量的均值与方差的方法 判断取值 判断随机变量的所有可能取值及
１) :
取每个值所表示的意义
求解离散型随机变量的均值与方差的一般 ꎻ
探求概率 利用排列组合 列举法 概率公
步骤 ２) : 、 、
式 求出随机变量取每个值时的概率
ꎬ ꎻ 所以 Ｅ(Ｘ) １ ３ １ １ ９.
＝ ０× ＋１× ＋２× ＋３× ＝
写出分布列 按规定形式写出分布列 注意
３０ １０ ２ ６ ５
３) : ꎬ
例2 ( 届广东汕头潮阳实验学校、湛江
检验所求的分布列或事件的概率是否正确
２０２３
ꎻ
求值 利用离散型随机变量的均值与方差的
一中、深圳实验学校三校联考ꎬ )在一个口袋
２０
４) :
定义求值. 中装有编号分别为 ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ 的五张卡片ꎬ这
１ ２ ３ ４ ５
例1 ( 湖北重点高中联考ꎬ )中国载人 些卡片除编号不同外其他都相同ꎬ从口袋中有
２０２２ １８
航天工程办公室发布消息ꎬ为发挥中国空间站
放回地摸卡片 次.
３
的综合效益ꎬ中国首个太空科普教育品牌“天 ( ) 求 次摸出卡片的数字之和为奇数的
１ ３
宫课堂”正式推出.中国空间站首次太空授课
概率ꎻ
活动于 年 月 日面向全球进行直播. ( )记这 次中摸出卡片的最大编号数为随机
２ ３
２０２１ １２ ９
为了了解学生对此次直播课的观看情况ꎬ现从 变量 Ｘꎬ求 Ｘ 的分布列及数学期望.
高三某班随机选取 名学生进行调查ꎬ发现 解析 ( )要使 次摸出卡片的数字之和为
１ ３
１０
有 名学生观看了直播ꎬ 名学生未观看直播.
奇数ꎬ则有 次或 次摸出的是编号为奇数的
１ ３
６ ４
( )若从这 名学生中任选 名学生ꎬ求至多 ３
卡片ꎬ所以所求概率 Ｐ ３×３×２×２ ３ ６３.
１ １０ ２
＝ ＋ ＝
３ ３
有 名学生未观看直播的概率ꎻ ５ ５ １２５
１
( )依题意 Ｘ 的可能取值为 、 、 、 、 ꎬ
( )若从这 名学生中任选 名学生ꎬ记其中 ２ １ ２ ３ ４ ５
２ １０ ３
３ ３
观看了直播的学生人数为 Ｘꎬ求 Ｘ 的分布列和 Ｐ(Ｘ ) １ １ ꎬＰ(Ｘ ) ２ －１ ７ ꎬ
＝ １ ＝ ＝ ＝ ２ ＝ ＝
３ ３
数学期望. ５ １２５ ５ １２５
３ ３ ３ ３
解析 ( )设“从 名学生中任选 名学生ꎬ Ｐ(Ｘ ) ３ －２ １９ꎬＰ(Ｘ ) ４ －３ ３７ꎬ
１ １０ ２ ＝３ ＝ ３ ＝ ＝４ ＝ ３ ＝
５ １２５ ５ １２５
至多有 名学生未观看直播”为事件 Ａꎬ
１ ３ ３
Ｐ(Ｘ ) ５ －４ ６１ꎬ
２ １ １ ＝５ ＝ ＝
则 Ｐ(Ａ) Ｃ６ ＋Ｃ６Ｃ４ １３. ５ ３ １２５
＝ ＝
Ｃ ２ １０ １５ 所以 Ｘ 的分布列为
( )由题意可知 Ｘ 的所有可能取值为 ꎬ ꎬ
２ ０ １ Ｘ
ꎬ ꎬ １ ２ ３ ４ ５
２ ３
Ｐ １ ７ １９ ３７ ６１
３ １ ２
Ｐ(Ｘ ) Ｃ４ １ꎬＰ(Ｘ ) Ｃ６Ｃ４ ３ꎬ １２５ １２５ １２５ １２５ １２５
＝０ ＝ ＝ ＝１ ＝ ＝
３ ３
Ｃ１０ ３０ Ｃ１０ １０
所以 Ｅ(Ｘ) １ ７ １９ ３７
２ １ ３ ＝ １× ＋２× ＋３× ＋４× ＋５×
Ｐ(Ｘ ) Ｃ６Ｃ４ １ꎬＰ(Ｘ ) Ｃ６ １ꎬ １２５ １２５ １２５ １２５
＝２ ＝ ＝ ＝３ ＝ ＝
３ ３
Ｃ１０ ２ Ｃ１０ ６ ６１ ２１.
则 Ｘ 的分布列为 ＝
１２５ ５
Ｘ
０ １ ２ ３
5
年 Ｐ １ ３ １ １
高
３０ １０ ２ ６
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
３２６
