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７４６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１１．２ 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
§
一般地 在含有Ｍ件次品的Ｎ件产品中任取ｎ件 其中恰有
， ，
ｋ ｎ ｋ
Ｘ件次品 则Ｐ Ｘ ｋ ＣＭ·ＣＮ－ － Ｍ ｋ ｍ 其中 ｍ
， （ ＝ ）＝ ｎ （ ＝０，１，２，…， ）， ＝
考点一 离散型随机变量及其分布列
ＣＮ
Ｍ ｎ 且ｎ Ｎ Ｍ Ｎ ｎ Ｍ Ｎ Ｎ∗ 称分布列
ｍｉｎ｛ ， ｝， ≤ ， ≤ ， 、 、 ∈ ，
１．离散型随机变量的分布列
Ｘ ｍ
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示 那么这样 ０ １ …
的变 （ 量 １ 叫 ） 做随机变量 按一定次序一一列出 这样的随 ， 机变量叫 Ｐ Ｃ ０Ｍ·Ｃ ｎ Ｎ－ － ０Ｍ Ｃ １ＭＣ ｎ Ｎ－ － １Ｍ Ｃ ｍ ＭＣ ｎ Ｎ－ － ｍ Ｍ
， ， ｎ ｎ … ｎ
做离散型随机变量． ＣＮ ＣＮ ＣＮ
为超几何分布列．
一般地 若离散型随机变量Ｘ可能取的不同值为ｘ ｘ
（２） ， １， ２，
…， ｘ ｉ，…， ｘ ｎ， Ｘ取每一个值ｘ ｉ（ ｉ ＝１，２，…， ｎ ） 的概率Ｐ （ Ｘ ＝ ｘ ｉ）＝ 考点二 离散型随机变量的均值与方差
ｐ 则下表称为随机变量Ｘ的概率分布列 简称为Ｘ的分布列．
ｉ， ， １．均值与方差的定义
Ｘ ｘ １ ｘ ２ … ｘ ｉ … ｘ ｎ 若离散型随机变量Ｘ的分布列为
Ｐ ｐ １ ｐ ２ … ｐ ｉ … ｐ ｎ Ｘ ｘ １ ｘ ２ … ｘ ｉ … ｘ ｎ
２．离散型随机变量的分布列的性质 Ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ
１ ２ … ｉ … ｎ
根据概率的性质 离散型随机变量的分布列具有如下性质
， ： 均值
ｐ ｉ ｎ （１）
（１） ｉ≥０， ＝１，２，…， ； 称Ｅ Ｘ ｘ ｐ ｘ ｐ ｘｐ ｘ ｐ 为随机变量Ｘ的均值或
ｐ ｐ ｐ ｐ （ ）＝ １ １＋ ２ ２＋…＋ ｉ ｉ＋…＋ ｎ ｎ
（２） １＋ ２＋…＋ ｉ＋…＋ ｎ＝１； 数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（３）
Ｐ
（
ｘ
ｉ≤
Ｘ
≤
ｘ
ｊ）＝
ｐ
ｉ＋
ｐ
ｉ ＋１＋…＋
ｐ
ｊ（
ｉ
＜
ｊ且ｉ
，
ｊ
∈
Ｎ∗
）
．
（２）
方
，
差 ∙∙∙∙
温馨提示 分布列的性质 的作用 不仅可以用来检查
ｎ
所写出的分布列 是否有误
，
还可
（
以
２
求
）
分布列
：
中的某些参数．
称Ｄ
（
Ｘ
）＝ ∑ｉ＝
１
（
ｘ
ｉ－
Ｅ
（
Ｘ
））
２ｐ
ｉ
为随机变量 Ｘ 的方差
，
它刻
３．常见的离散型随机变量的概率分布模型 画了随机变量Ｘ与其均值Ｅ Ｘ 的平均偏离程度 并称 Ｄ Ｘ
（ ） ， （ ）
两点分布 为随机变量Ｘ的标准差 记为σ ｘ ．
（１） ， （ ）
若随机变量Ｘ的分布列为 ２．均值与方差的性质
Ｘ ０ １ （１） Ｅ （ ａＸ ＋ ｂ ）＝① ａＥ（Ｘ） ＋ ｂ ．
Ｄ ａＸ ｂ ａ２Ｄ（Ｘ） ． ａ ｂ为实数
Ｐ ｐ ｐ （２） （ ＋ ）＝② （ ， ）
１－ ３．两点分布的均值、方差
则称Ｘ服从两点分布．
若Ｘ服从两点分布 则Ｅ Ｘ ｐ Ｄ Ｘ ｐ ｐ ．
超几何分布 ， （ ）＝ ， （ ）＝ （１－ ）
（２）
考点一 离散型随机变量及其分布列
１．设随机变量Ｘ的分布列如下 则Ｐ Ｘ 等于
， （｜ －２｜＝１） （ ）
Ｘ
１ ２ ３ ４
Ｐ １ １ ｍ １
６ ４ ３
考点二 离散型随机变量的均值与方差
７ １ ５ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１２ ２ １２ ６ ３．已知Ｘ的分布列为
答案 Ｃ
Ｘ
２．为创建国家级文明城市 某城市号召出租车司机在高考期间至 －１ ０ １
，
少进行一次 爱心送考 该城市某出租车公司共 名司机
“ ”， ２００ ， Ｐ １ １ １
他们进行 爱心送考 的次数统计如图所示． ２ ３ ６
“ ”
求该出租车公司的司机进行 爱心送考 的人均次数 设Ｙ ｘ 则Ｅ Ｙ 的值为
（１） “ ” ； ＝２ ＋３， （ ） （ ）
从这 名司机中任选两人 设这两人进行送考次数之差
（２） ２００ ， ７
的绝对值为随机变量Ｘ 求Ｘ的分布列及数学期望． Ａ． Ｂ．４ Ｃ．－１ Ｄ．１
， ３
答案 Ａ
专题十一 概率与统计 ７４７
关于当天需求量ｎ 单位 枝 ｎ Ｎ 的函数解析式
４．已知随机变量ξ满足Ｐ ξ １ Ｐ ξ ｘ Ｐ ξ ２ （ ： ， ∈ ） ；
（ ＝０）＝ ， （ ＝１）＝ ， （ ＝２）＝ 花店记录了 天玫瑰花的日需求量 单位 枝 整理得
３ ３ （２） １００ （ ： ），
下表
ｘ 若 ｘ ２ 则 ：
－ ， ０＜ ＜ ， （ ）
３ 日需求量ｎ
Ｅ ξ 随着ｘ的增大而增大 Ｄ ξ 随着ｘ的增大而增大 １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２０
Ａ． （ ） ， （ ）
Ｅ ξ 随着ｘ的增大而减小 Ｄ ξ 随着ｘ的增大而增大 频数
Ｂ． （ ） ， （ ） １０ ２０ １６ １６ １５ １３ １０
Ｅ ξ 随着ｘ的增大而减小 Ｄ ξ 随着ｘ的增大而减小 以 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的
Ｃ． （ ） ， （ ） １００
Ｅ ξ 随着ｘ的增大而增大 Ｄ ξ 随着ｘ的增大而减小 概率．
Ｄ． （ ） ， （ ）
答案 Ｃ 若花店一天购进 枝玫瑰花 Ｘ 表示当天的利润 单
（ｉ） １６ ， （
５．某花店每天以每枝 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花 然后 位 元 求Ｘ的分布列 数学期望及方差
５ ， ： ）， 、 ；
以每枝 元的价格出售．如果当天卖不完 剩下的玫瑰花当作 若花店计划一天购进 枝或 枝玫瑰花 你认为应
１０ ， （ｉｉ） １６ １７ ，
垃圾处理． 购进 枝还是 枝 请说明理由．
１６ １７ ？
若花店一天购进 枝玫瑰花 求当天的利润ｙ 单位 元
（１） １６ ， （ ： ）
． ．
Ａ．０８ Ｂ．０６
． ．
Ｃ．０４ Ｄ．０２
答案 Ｃ 由题中表格可知ｘ ． ． ｙ ｘ ．
＋０ １＋０ ３＋ ＝１，７ ＋８×０ １＋９×
考点一 离散型随机变量及其分布列
． ｙ ． 解得ｙ ． ．故选 ．
０３＋１０ ＝８９， ＝０４ Ｃ
１．（２０２０宁夏六盘山期中，３）下列表格可以作为ξ的分布列的是 ４．有同一型号的电视机 台 其中一级品 台 二级品 台
１００ ， ９７ ， ３ ，
从中任取 台 则二级品不多于 台的概率为 用式
（ ） ４ ， １ （
ξ ξ 子表示 ．
Ａ． ０ １ ３ Ｂ． １ ２ ３ ）
１ ３ ４
Ｐ ａ
１－
ａ １ Ｐ １
－
１
１
答案 Ｃ３Ｃ９７
４
＋Ｃ９７
２ ２ ２ Ｃ１００
解析 设二级品有Ｘ台 由题意知随机变量Ｘ服从超几何分
ξ ，
ξ Ｄ． －１ １ ２ １ ３
Ｃ． ４ ５ 布 则取二级品 台时 Ｐ Ｘ Ｃ３Ｃ９７ 取二级品 台时
Ｐ
０ １
Ｐ １
２
ａ ａ２
＋２
， １ ， （ ＝１）＝
Ｃ
４
１００
； ０ ，
２ ４ １ ３ ４
答案 Ｃ 依据 ０≤ Ｐ ≤１ 以及各概率之和等于 １ 进行判断． Ｐ （ Ｘ ＝０）＝ Ｃ ４ ９７ ， 故Ｐ （ Ｘ ≤１）＝ Ｐ （ Ｘ ＝１）＋ Ｐ （ Ｘ ＝０）＝ Ｃ３Ｃ９７ ４ ＋Ｃ９７．
Ｃ１００ Ｃ１００
选项的分布列中 各概率之和为 ３ 故 不符合题意 ５．某大学志愿者协会有 名男同学 名女同学．在这 名同学
Ａ ， ＞１， Ａ ； ６ ，４ １０
２ 中 名同学来自数学学院 其余 名同学来自物理 化学等其
，３ ， ７ 、
选项的分布列中 １ 故 不符合题意 选项的分布列 他互不相同的七个学院．现从这 名同学中随机选取 名同
Ｂ ，－ ＜０， Ｂ ；Ｃ １０ ３
２ 学到希望小学进行支教活动 每名同学被选到的可能性相同 ．
中 满足 Ｐ 以及各概率之和等于 故 符合题意 选 （ ）
， ０≤ ≤１ １， Ｃ ；Ｄ 求选出的 名同学是来自互不相同学院的概率
（１） ３ ；
项的分布列中 １ ａ ａ２ ａ ２ ３ 故 不符合题 设Ｘ为选出的 名同学中女同学的人数 求随机变量Ｘ的
， ＋２ ＋ ＋２＝（ ＋１） ＋ ＞１， Ｄ （２） ３ ，
２ ２ 分布列．
意．故选
Ｃ． 解析 设 选出的 名同学是来自互不相同的学院 为
２．（２０１９广东汕头一模，５）已知离散型随机变量Ｘ的分布列为 （１） “ ３ ”
１ ２ ０ ３
Ｘ 事件Ａ 则Ｐ Ａ Ｃ３·Ｃ７＋Ｃ３·Ｃ７ ４９．
０ １ ２ ３ ， （ ）＝ ３ ＝
Ｃ１０ ６０
Ｐ ８ ４ ｍ １
所以选出的 名同学是来自互不相同学院的概率为４９．
２７ ９ ２７ ３
６０
则Ｘ的数学期望Ｅ （ Ｘ ）＝ （ ） 随机变量Ｘ的所有可能取值为 ．
（２） ０，１，２，３
ｋ ｋ
２ ３ ３－
Ａ． Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．２ Ｐ Ｘ ｋ Ｃ４·Ｃ６ ｋ ．
３ ２ （ ＝ ）＝ ３ （ ＝０，１，２，３）
Ｃ１０
答案 Ｂ 由题意可得 ８ ４ ｍ １ 可得ｍ ２ ． ０ ３ １ ２
＋ ＋ ＋ ＝１， ＝ Ｐ Ｘ Ｃ４·Ｃ６ １ Ｐ Ｘ Ｃ４·Ｃ６ １ ．
２７ ９ ２７ ９ ∴ （ ＝０）＝ ３ ＝ ， （ ＝１）＝ ３ ＝
则Ｅ Ｘ ８ ４ ２ １ 故选 ．
Ｃ１０ ６ Ｃ１０ ２
（ ）＝０× ＋１× ＋２× ＋３× ＝１， Ｂ ２ １ ３ ０
２７ ９ ９ ２７ Ｐ Ｘ Ｃ４·Ｃ６ ３ Ｐ Ｘ Ｃ４·Ｃ６ １ ．
３．（２０２０山西太原模拟，６）某射手射击所得环数ξ的分布列如 （ ＝２）＝ ３ ＝ ， （ ＝３）＝ ３ ＝
Ｃ１０ １０ Ｃ１０ ３０
下表 随机变量Ｘ的分布列为
：
ξ Ｘ
７ ８ ９ １０ ０ １ ２ ３
Ｐ ｘ ． ． ｙ
０１ ０３
已知ξ的数学期望Ｅ ξ ． 则ｙ的值为
（ ）＝８９， （ ）
７４８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
续表 续表
Ｘ Ｘ
０ １ ２ ３ ２ ３ ４ ５ ６ ７
Ｐ １ １ ３ １ Ｐ １ ２ ３ ４ ５ ６
６ ２ １０ ３０ ２１ ２１ ２１ ２１ ２１ ２１
６．（２０１８北京东城二模，１６）某银行的工作人员记录了 月 日 故Ｅ Ｘ １ ２ ３ ４ ５ ６ １６．故
３ １ （ ）＝ ２× ＋３× ＋４× ＋５× ＋６× ＋７× ＝
到 月 日上午 在该银行取号后等待办理业务的人 ２１ ２１ ２１ ２１ ２１ ２１ ３
３ １５ １０：００ 选 ．
数 如图所示 Ｄ
， ： ２．（２０１８安徽合肥第一中学冲刺，８）某班级有男生 人 女生
３２ ，
人 现选举 名学生分别担任班长 副班长 团支部书记和
２０ ， ４ 、 、
体育委员．男生当选的人数记为ξ 则ξ的数学期望为
， （ ）
１６ ２０ ３２ ４０
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１３ １３ １３ １３
答案 Ｃ 由题意得ξ ．
＝０，１，２，３，４
０ ４ １ ３ ２ ２
Ｐ ξ Ｃ３２Ｃ２０ Ｐ ξ Ｃ３２Ｃ２０ Ｐ ξ Ｃ３２Ｃ２０ Ｐ ξ
从 在 这 该银 １５ 行 天 取 中 号 随 后 机 等 选 待 取 办 一 理 天 业 ， 务 随 的 机 人 变 数 量 ． Ｘ表示当天上午 １０：００ （ ＝０）＝ Ｃ ４ ５２ ， （ ＝１）＝ Ｃ ４ ５２ ， （ ＝２）＝ Ｃ ４ ５２ ， （ ＝３）
３ １ ４ ０ ０ ４ １ ３
（１）
请把Ｘ的分布列补充完整
； ＝
Ｃ３２
４
Ｃ２０
，
Ｐ
（
ξ
＝４）＝
Ｃ３２
４
Ｃ２０
，
所以Ｅ
（
ξ
）＝０×
Ｃ３２
４
Ｃ２０
＋１×
Ｃ３２
４
Ｃ２０
＋２×
Ｃ５２ Ｃ５２ Ｃ５２ Ｃ５２
Ｘ
８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ Ｃ ２ ３２Ｃ ２ ２０ Ｃ ３ ３２Ｃ １ ２０ Ｃ ４ ３２Ｃ ０ ２０ ３２．故选 ．
４ ＋３× ４ ＋４× ４ ＝ Ｃ
Ｐ １ １ １ Ｃ５２ Ｃ５２ Ｃ５２ １３
３．（２０２０四川绵阳模拟，７）小明与另外 名同学进行 手心手
３ ５ １５ ２ “
令ｍ为Ｘ的数学期望 若Ｐ ｍ ｎ Ｘ ｍ ｎ ． 求正整 背 游戏 规则是 人同时随机等可能选择手心或手背中的一
（２） ， （ － ≤ ≤ ＋ ）＞０５， ” ， ：３
数ｎ的最小值 种手势 规定相同手势人数多者每人得 分 其余每人得 分
； ， １ ， ０ ，
由图判断 从哪天开始的连续五天上午 在该银行取号后 现 人共进行了 次游戏 记小明 次游戏得分之和为Ｘ 则Ｘ
（３） ， １０：００ ３ ４ ， ４ ，
等待办理业务的人数的均值最大 结论不要求证明 的期望为
？ （ ） （ ）
解析 Ｘ的分布列为
（１） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
答案 Ｃ 由题意知Ｘ的可能取值为
Ｘ ０，１，２，３，４，
８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ 设其他两位同学为ａ ｂ 小明为ｃ 列表如下
， ， ， ：
Ｐ １ ２ １ １ ２ １ １
ａ ｂ ｃ
３ １５ ５ １５ １５ １５ １５
由 可得Ｘ的数学期望为 手心 手心 手背
（２） （１）
手心 手背 手背
Ｅ Ｘ １ ２ １ １ ２ １ １
（ ）＝８× ＋９× ＋１０× ＋１１× ＋１２× ＋１３× ＋１４×
３ １５ ５ １５ １５ １５ １５ 手心 手心 手心
＝１０， 手心 手背 手心
所以ｍ ．
＝１０
手背 手心 手背
因为Ｐ Ｘ ６ ２ ．
（１０－１≤ ≤１０＋１）＝ ＝ ＜０５， 手背 手心 手心
１５ ５
手背 手背 手背
Ｐ Ｘ ５＋２＋３＋１＋２ １３ ．
（１０－２≤ ≤１０＋２）＝ ＝ ＞０５，
１５ １５ 手背 手背 手心
所以ｎ ．
ｍｉｎ＝２ 共有 种情况 小明得 分的结果有 种情况
第 日或第 日．
８ ， １ ６ ，
（３） １０ １１ ( )
小明每局得 分的概率Ｐ ３ Ｘ Ｂ ３
考点二 离散型随机变量的均值与方差 ∴ １ ＝ ，∴ ～ ４， ，
４ ４
１．（２０１８广东省际名校联考（二），１１）不透明袋子中装有大小 Ｅ Ｘ ３ ．故选 ．
、 ∴ （ ）＝４× ＝３ Ｃ
材质完全相同的 个红球和 个黑球 现从中逐个不放回地摸 ４
２ ５ ， ４．离散型随机变量ξ的分布列如下表 若Ｅξ 则Ｄξ的值为
出小球 直到取出所有红球为止 则摸取次数Ｘ的数学期望是 ， ＝１，
， ，
．
（ ）
ξ
１８ ９ ３６ １６ ０ １ ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
５ ２ ７ ３ Ｐ ０ ． ２ ａ ｂ
答案 Ｄ 当Ｘ ｋ时 第ｋ次取出的必然是红球 而前 ｋ
＝ ， ， （ － 答案 ．
次中 有且只有 次取出的是红球 其余取出的皆为黑球 ０４
１） ， １ ， ， 解析 Ｅξ 结合离散型随机变量 ξ 的分布列 得
故Ｐ Ｘ ｋ Ｃ １ｋ －１ ｋ －１ 于是得到Ｘ的分布列为 {ａ ｂ ∵ ＝１，∴ ，
（ ＝ ）＝ ２ ＝ ， ＋２ ＝１， 解得ａ ． ｂ ． Ｄξ ２ ． ２
Ｃ７ ２１ ． ａ ｂ ＝０６， ＝０２，∴ ＝（０－１） ×０２＋（１－１）
０２＋ ＋ ＝１，
Ｘ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ×０ ． ６＋（２－１） ２ ×０ ． ２＝０ ． ４ ．
５．（２０１８河南南阳一中第七次考试，１４）已知 件产品中有 件
５ ２
次品 现逐一检测 直至能确定所有次品为止 记检测的次数为
， ， ，
专题十一 概率与统计 ７４９
ξ 则Ｅ ξ ． 位优惠比例的概率
， （ ）＝ ；
某单位需要这种零件 箱 求购买总价Ｘ的数学期望．
答案 ７ （２） ６５０ ，
解析 因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概
２ （１）
率为 ． ． ． 所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠
解析 由题意知ξ Ｐ ξ ２×１ １ Ｐ ξ ０４×０６＝０ ２４，
＝２，３，４， （ ＝２）＝ ＝ ， （ ＝３）＝ 比例的概率为 ． ． ．
５×４ １０ １－０２４＝０７６
１ １ ３ 设在折扣优惠中每箱零件的价格为Ｙ元 则Ｙ 或 ．
Ｃ２Ｃ３×２×１＋Ａ３ ３ Ｐ ξ １ ３ ６ ． （２） ， ＝１８４ １８８
＝ ， （ ＝４）＝１－ － ＝ Ｙ的分布列为
５×４×３ １０ １０ １０ １０
因此Ｅ ξ １ ３ ６ ７ ． Ｙ
（ ）＝２× ＋３× ＋４× ＝ １８４ １８８
１０ １０ １０ ２
６．（２０２０甘肃、青海、宁夏联考，１８）某厂销售部以箱为单位销售 Ｐ ０ ． ６ ０ ． ４
某种零件 每箱的定价为 元 低于 箱按原价销售 不低 则Ｅ Ｙ ． ． ． 元 ．
， ２００ ， １００ ； （ ）＝１８４×０６＋１８８×０４＝１８５６（ ）
于 箱通过双方议价 买方能以优惠 ％成交的概率为 ． 从而购买总价Ｘ的数学期望Ｅ Ｘ ． 元 ．
１００ ， ８ ０ ６， （ ）＝１８５６×６５０＝１２０６４０（ ）
以优惠 ％成交的概率为 ． ． 思路分析 先求甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的
６ ０４ （１）
甲 乙两单位都要在该厂购买 箱这种零件 两单位各 概率 再由对立事件得所求概率 先写出在折扣优惠中每
（１） 、 １５０ ， ， ；（２）
自达成的成交价相互独立 求甲单位优惠比例不低于乙单 箱零件的价格的取值 再列分布列求解 从而求得答案．
， ， ，
所以期望Ｅ（Ｙ） ． ． ．
＝７６０×０２＋９００×０８＝８７２
当ｎ 时，设水果批发商的日利润为Ｚ元，
＝１６
则Ｚ的可能取值为 ， ， ，
６８０ ８２０ ９６０
考法 求离散型随机变量的期望与方差的方法 Ｐ（Ｚ ） ． ，Ｐ（Ｚ ） ． ，Ｐ（Ｚ ） ． ．
＝６８０ ＝０２ ＝８２０ ＝０３ ＝９６０ ＝０５
例 （２０２０山东泰安６ 月三模）某水果批发商经销某 所以期望Ｅ（Ｚ） ． ． ． ．
＝６８０×０２＋８２０×０３＋９６０×０５＝８６２
种水果 以下简称Ａ水果 购入价为 元／袋 并以 元／袋 故Ｅ（Ｙ）
＞
Ｅ（Ｚ）．
的价格
（
售出 若前 小时内
），
所购进的Ａ
３０
水
０
果没有
，
售完
３
则
６０
批发商
综上可知，当ｎ
＝１５
时的日利润的期望大于ｎ
＝１６
时的日利
将没售完的 ， Ａ水果 ８ 以 元／袋的价格低价处理完毕 ， 根据经 润的期望，故选ｎ ＝１５ ．
２２０ （
验 小时内完全能够把Ａ水果低价处理完 且当天不再购进 ． 方法总结 计算期望与方差的一般步骤
，２ ， ）
该水果批发商根据往年的销量 统计了 天Ａ水果在每天的 理解Ｘ的意义 写出Ｘ的所有可能取值
， １００ （１） ， ；
前 小时的销售量 制成如下频数分布条形图． 求Ｘ取各个值的概率 写出分布列
８ ， （２） ， ；
根据分布列 正确运用期望与方差的定义或公式进行
（３） ，
计算．
例 （２０１８河南安阳一模，１９）某公司为了准确把握市场 做
，
好产品计划 特对某产品做了市场调查 先销售该产品 天
， ： ５０ ，
统计发现每天的销售量ｘ分布在 内 且销售量ｘ的分
［５０，１００） ，
现以记录的 天的Ａ水果在每天的前 小时内的销售量
１００ ８ ì ï ｎ ． ｎ ｘ ｎ ｎ为偶数
的频率为Ａ水果在一天的前 小时内的销售量的概率 记Ｘ表 ï －０５，１０ ≤ ＜１０（ ＋１）， ，
８ ， 布频率ｆ ｘ í１０
示Ａ水果在一天前 小时内的销售量 ｎ表示水果批发商一天批 （ ）＝ïｎ
８ ， ï ａ ｎ ｘ ｎ ｎ为奇数．
发Ａ水果的袋数． î － ，１０ ≤ ＜１０（ ＋１），
２０
求Ｘ的分布列 求ａ的值并估计销售量的平均数
（１） ； （１） ；
以日利润的期望为决策依据 在ｎ 与ｎ 中选其 若销售量大于或等于 则称该日畅销 其余为滞销．
（２） ， ＝１５ ＝１６ （２） ７０， ，
一 应选用哪个 在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取 天 再从这 天中随
， ？ ８ ， ８
解题导引 以频率作为概率 由条形图可得分布列． 机抽取 天进行统计 设这 天来自Ｘ个组 求随机变量Ｘ的
（１） ， ３ ， ３ ，
分布列及数学期望 将频率视为概率 ．
求出ｎ ｎ 时的期望 比较大小得结论． （ ）
（２） ＝１５， ＝１６ ， 解题导引
解析 （ ）根据条形图，可得Ａ水果在一天的前 小时内的
１ ８
销售量分别为 ， ， ， 袋的频率分别是 ． ， ． ， ． 和 ． ，
１４ １５ １６ １７ ０２ ０３ ０４ ０１
所以Ｘ的分布列为
Ｘ
１４ １５ １６ １７
Ｐ ． ． ． ．
０２ ０３ ０４ ０１
（ ）当ｎ 时，设水果批发商的日利润为Ｙ元，
２ ＝１５
则Ｙ的可能取值为 ， ，
７６０ ９００
Ｐ（Ｙ ） ． ，Ｐ（Ｙ ） ． ，
＝７６０ ＝０２ ＝９００ ＝０８
７５０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
{ ｎ ， 若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．
解析 （ ）由题意知 １０ ≥５０ 解得 ｎ ，ｎ可 （１）
１ （ｎ ） ， ５≤ ≤９ 求他们在一轮游戏中 对四种食物排出的序号完全不同
１０ ＋１ ≤１００ ① ，
取 ， ， ， ， ， 的概率
５ ６ ７ ８ ９ ；
ìｎ 求 Ｘ 的分布列 简要说明方法 不用写出详细计算过
ï ． ， ｎ ｘ （ｎ ），ｎ为偶数， ② （ ，
ï －０５ １０ ≤ ＜１０ ＋１ 程
结合ｆ（ｘ） í１０ ）；
＝ïｎ 若有一组小孩和家长进行了三轮游戏 三轮的结果都
ï ａ， ｎ ｘ （ｎ ），ｎ为奇数， （２） ，
î － １０ ≤ ＜１０ ＋１ 满足Ｘ 请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解 说明
( ) ２０ ( ) ( ) ( ) ＜４， ，
得 ６ ． ８ ． ５ ａ ７ ａ
理由．
－０５ ＋ －０５ ＋ － ＋ － ＋
１０ １０ ２０ ２０ 解析 （ ） 若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则
( ) １ ①
９ ａ ， 家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序ｘ ｘ ｘ ｘ
－ ＝１ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
２０ 则ａ
＝０
．
１５
． 为 １２３４ 的情况，家长的排序有 Ａ ４ ４＝２４ 种等可能结果，其中满
可知销售量分布在［ ， ），［ ， ），［ ， ），［ ， ）， 足“家长的排序与小孩排序对应位置的数字完全不同”的情况
５０ ６０ ６０ ７０ ７０ ８０ ８０ ９０
［ ， ）内的频率分别是 ． ， ． ， ． ， ． ， ． ， 有 种，分别为：
９０ １００ ０１ ０１ ０２ ０３ ０３ ９
销售量的平均数为 ． ． ． ． ， ， ， ， ， ， ， ， ，
∴ ５５×０１＋６５×０１＋７５×０２＋８５×０３＋９５ ２１４３ ２３４１ ２４１３ ３１４２ ３４１２ ３４２１ ４１２３ ４３１２ ４３２１
家长的排序与小孩排序对应位置的数字完全不同的概
． ．
×０３＝８１ ∴
（ ２ ）销售量分布在［ ７０ ， ８０ ），［ ８０ ， ９０ ），［ ９０ ， １００ ）内的频率 率Ｐ ９ ３ ．
＝ ＝
之比为 ，所以在各组抽取的天数分别为 ， ， ． ２４ ８
Ｘ的 ２ 所 ∶ ３ 有 ∶ 可 ３ 能取值为 ， ， ， ２ ３ ３ 若小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将下角标 Ａ，
１ ２ ３ Ｂ，Ｃ，Ｄ按照小孩的顺序调整即可，其实这样处理后与第一种情
Ｐ（Ｘ ＝１ ） ＝ ２
３
＝ ２ ＝ １ ， 况的计算结果是一致的，
Ｃ８ ５６ ２８
他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的
∴
Ｐ（Ｘ ） ２×３×３ １８ ９ ，
＝３ ＝ ３ ＝ ＝ 概率为 ３ ．
Ｃ８ ５６ ２８
８
Ｐ（Ｘ ） １ ９ ９ ． 根据 的分析，同样只考虑小孩排序为 的情况，此
＝２ ＝１－ － ＝ ② ① １２３４
２８ ２８ １４ 时家长的排序一共有 种情况，
Ｘ的分布列为 ２４
列出所有情况，分别计算每种情况下的Ｘ的值，
Ｘ １ ２ ３ Ｘ的分布列如下表：
Ｐ １ ９ ９ Ｘ
０ ２ ４ ６ ８ １０ １２ １４ １６ １８ ２０
２８ １４ ２８
数学期望ＥＸ １ ９ ９ １６． Ｐ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １
＝１× ＋２× ＋３× ＝ ２４ ８ ２４ ６ １２ １２ １２ ６ ２４ ８ ２４
２８ １４ ２８ ７
例 （２０２０河南天一“顶尖计划”第一次联考，２１）某机构
这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．
组织的家庭教育活动上有一个游戏 每次由一个小孩与其一位 （２）
， 理由如下
家长参与 测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游 ：
， 假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解 由 可知 在
戏中 主持人给出Ａ Ｂ Ｃ Ｄ四种食物 要求小孩根据自己的喜 ， （１） ，
， ， ， ， ， 一轮游戏中
爱程度对其排序 然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对 ，
，
四种食物排出的序号依次为ｘ ｘ ｘ ｘ 家长猜测的序号依次为 Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ １ ．
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ， （ ＜４）＝ （ ＝０）＋ （ ＝２）＝
６
ｙ ｙ ｙ ｙ 其中ｘ ｘ ｘ ｘ 和ｙ ｙ ｙ ｙ 都是 四个数字的 ( )
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ， Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ １，２，３，４ 三轮游戏结果都满足 Ｘ 的概率为 １ ３ １ ５
一种排列． “ ＜４” ＝ ＜ ，
６ ２１６ １０００
定义随机变量Ｘ ＝（ ｘ Ａ－ ｙ Ａ） ２ ＋（ ｘ Ｂ－ ｙ Ｂ） ２ ＋（ ｘ Ｃ－ ｙ Ｃ） ２ ＋（ ｘ Ｄ－ 这个结果发生的可能性很小 ，
ｙ Ｄ） ２ ， 用Ｘ来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度． ∴ 这位家长对小孩饮食习惯比较了解．
２．（２０２１届浙江嘉兴９月教学测试，１４）已知盒中装有ｎ ｎ
（ ＞１）
个红球和 个黄球 从中任取 个球 取到每个球是等可能
３ ， ２ （
的 随机变量Ｘ表示取到黄球的个数 且Ｘ的分布列为
）， ， ：
考法 求离散型随机变量的期望与方差的方法
Ｘ
１．（２０２０浙江东阳中学月考，７）已知随机变量Ｘ的取值为 ０ １ ２
０，１，
Ｐ １ ａ ｂ
若Ｐ Ｘ １ Ｅ Ｘ 则Ｄ Ｘ
２， （ ＝０）＝ ， （ ）＝１， （ ）＝ （ ） ５
４ 则ｎ Ｅ Ｘ ．
＝ ； （ ）＝
３ １ １ 答案
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．１
２ ２ ４ ３；１
答案 Ｂ ３．（２０２１届浙江高考选考科目９月联考，１３） 世纪 有一个赌
１７ ，
专题十一 概率与统计 ７５１
徒向法国著名数学家帕斯卡挑战 给他出了一道题目 甲 乙两 以上表中的频率作为概率 列出日需求量Ｘ的分布列 并
， ： 、 （２） ， ，
个人赌博 他们两人获胜的概率相等 比赛规则是先胜三局者 求该月的日需求量Ｘ的期望
， ， ；
为赢家 一共进行五局 赢家可以获得 法郎的奖励．当比赛 根据 中的分布列求得当该糕点房一天制作 个该类
， ， １００ （３） （２） ３５
进行到第四局的时候 甲胜了两局 乙胜了一局 这时由于某些
， ， ， 蛋糕时 对应的利润的期望为３２０ 现有员工建议扩大生
原因中止了比赛 那么如何分配这 法郎才比较公平 因为 ， ；
， １００ ？ ３
产 一天生产 个 求对应利润的期望 判断此建议该不
甲输掉后两局的可能性只有 １ １ １ 也就是说 甲赢得后 ， ４５ ， ，
× ＝ ， ， 该被采纳．
２ ２ ４
５．（２０１９安徽宣城二模，１９）某中学利用周末组织教职工进行了
两局或后两局中任意赢一局的概率为 １ ３ 甲有 ％的
１－ ＝ ， ７５ 一次秋季登山健身的活动 有Ｎ人参加 现将所有参加者按年
４ ４ ， ，
期望获得 法郎 而乙期望赢得 法郎就得在后两局均击 龄情况分为
１００ ； １００ ［２０，２５），［２５，３０），［３０，３５），［３５，４０），［４０，４５），
共七组 其频率分布直方图如图所示 已知
败甲 乙连续赢得后两局的概率为 １ １ １ 即乙有 ％的 ［４５，５０），［５０，５５） ， ，
， × ＝ ， ２５ 的参加者是 人．
２ ２ ４ ［２５，３０） ６
期望获得 法郎奖金．这个故事里出现了 期望 这个词 数 根据频率分布直方图求该校参加秋季登山活动的教职工
１００ “ ” ， （１）
学期望由此而来．若某随机事件的概率分布列满足Ｐ ξ ｉ ａ 年龄的中位数
（ ＝ ）＝ ；
ｉ 已知 和 这两组各有 名数学教师 现从这
ｉ 则 ａ 若 Ｅ ｂξ ３２ 则 ｂ （２） ［３５，４０） ［４０，４５） ２ ，
· （ ＝１，２，３，４）， ＝ ； （ ＋１）＝ ， 两个组中各选取 人担任接待工作 设两组的选择互不影
１０ ５
２ ，
． 响 求两组选出的人中恰有 名数学教师的概率
＝
， １ ；
答案 ９ 组织者从 的参加者 其中共有 名女教师 其余全
１； （３） ［４５，５５） （ ４ ，
５ 为男教师 中随机选取 名担任后勤保障工作 其中女教
４．（２０１９广东佛山顺德第二次教学质量检测，１８）某糕点房推出 ） ３ ，
师的人数为Ｘ 求Ｘ的分布列和均值．
一类新品蛋糕 该蛋糕的成本价为 元 售价为 元．受保质期 ，
， ４ ， ８
的影响 当天没有销售完的糕点只能销毁．经过长期调研 统计
， ，
了一下该新品的日需求量．现将近期一个月 天 的需求量
（３０ ）
展示如下
：
日需求量Ｘ 个
（ ） ２０ ３０ ４０ ５０
天数
５ １０ １０ ５
从这 天中任取两天 求两天的日需求量均为 个的概率
（１） ３０ ， ４０ ；
Ｘ
－１ １
Ｐ ２ ３
５ ５
考法 离散型随机变量的期望与方差的方法
因此ＥＸ ２ ３ ． ．
１．（２０１９山东临沂期末，３）在掷一枚图钉的随机试验中 令Ｘ ＝－１× ＋１× ＝０２
， ＝ ５ ５
{ 针尖向上 ３．（２０２０北京清华大学中学生标准学术能力测试，８）已知随机
１， ，若随机变量Ｘ的分布列如下
针尖向下． ： 变量ξ的分布列为
０，
Ｘ ξ ｘ ｙ
０ １
Ｐ ． ｐ Ｐ ｙ ｘ
０３
则ＥＸ 则下列说法正确的是
＝ （ ） （ ）
． ． ． ． 存在ｘ ｙ Ｅ ξ １
Ａ．０２１ Ｂ．０３ Ｃ．０５ Ｄ．０７
Ａ． ， ∈（０，１）， （ ）＞
答案 Ｄ 由随机变量Ｘ的分布列得ｐ ． ． ２
＝１－０３＝０７，
ＥＸ ． ． ． ． 对任意ｘ ｙ Ｅ ξ １
∴ ＝０×０３＋１×０７＝０７ Ｂ． ， ∈（０，１）， （ ）≤
２．（２０１８广东深圳南山入学摸底考试，５）一个摊主在一旅游景 ４
对任意ｘ ｙ Ｄ ξ Ｅ ξ
点设摊 在不透明口袋中装入除颜色外无差别的 个白球和 Ｃ． ， ∈（０，１）， （ ）≤ （ ）
， ２ ３
个红球．游客向摊主付 元进行 次游戏．游戏规则如下 游客 存在ｘ ｙ Ｄ ξ １
２ １ ： Ｄ． ， ∈（０，１）， （ ）＞
从口袋中随机摸出 个小球 若摸出的小球同色 则游客获得 ４
２ ， ， 答案 Ｃ 根据分布列的性质有 ｙ ｘ 则 Ｅ ξ ｘｙ
３
元奖励
；
若异色
，
则游客获得
１
元奖励．则摊主从每次游戏中
(ｘ ｙ)
２
(
＋ ＝１，
)
（ ）＝ ２ ≤
获得的利润Ｘ 单位 元 的期望是 ＋ １ 当且仅当 ｘ ｙ １ 时取等号 所以 错
（ ： ） （ ） ２ ＝ ＝ ＝ ， Ａ、Ｂ
２ ２ ２
Ａ．０ ． ２ Ｂ．０ ． ３ Ｃ．０ ． ４ Ｄ．０ ． ５ 误 ； 由于Ｅ （ ξ ）＝２ ｘ （１－ ｘ ）， Ｄ （ ξ ）＝ ｘ （１－ ｘ ）（２ ｘ －１） ２ ， 且ｘ ∈（０，
答案 Ａ 游客摸出的 个小球同色的概率为Ｃ ２ ２＋Ｃ ２ ３ ２ １） 时 ， 有 （２ ｘ －１） ２ ∈［０，１）， 显然有任意ｘ ， ｙ ∈（０，１）， Ｄ （ ξ ）≤
２ ２ ＝ ，
Ｃ５ ５ Ｅ ξ １ 故 正确 错误 故选
所以摊主从每次游戏中获得的利润的分布列为 （ ）≤ ， Ｃ ，Ｄ ， Ｃ．
２
７５２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
４．（２０２０北京十三中开学摸底，１４）同时抛掷两枚相同的均匀硬 若从这 人中随机选派 人去参加甲联欢项目 设ξ表示
（２） ５ ３ ，
币 随机变量ξ 表示结果中有正面向上 ξ 表示结果中没 这 人中女生的人数 求随机变量ξ的分布列与数学期望．
， ＝１ ， ＝０ ３ ，
有正面向上 则Ｅξ ． 解析 依题意知 这 个人中 每个人去参加甲联欢项目
， ＝ （１） ， ５ ，
答案 ３ 的概率为 １ 去参加乙联欢项目的概率为 ２ ．记 这 人中恰
， “ ５
４ ３ ３
解析 本题考查两点分布的期望 通过两点分布的期望考查 ( ) ３
， 有 人去参加甲联欢项目 为事件 Ａ 则 Ｐ Ａ ３ １
学生运用数学知识与方法分析问题 解决问题的能力 体现逻 ３ ” ， （ ）＝ Ｃ５ ·
、 ， ３
辑推理的核心素养． ( ) ２
２ ４０．
由题意知 本题符合两点分布 结果中没有正面向上的概率为 ＝
， ， ３ ２４３
随机变量ξ的所有可能取值为
１ 此时ξ 而ξ 时对应概率为 ３ （２） １，２，３，
， ＝０， ＝１ ， ｋ ３－ ｋ
４ ４ Ｐ ξ ｋ Ｃ３Ｃ２ ｋ ．
（ ＝ ）＝ ３ （ ＝１，２，３）
Ｅξ ３ １ ３ ． Ｃ５
∴ ＝１× ＋０× ＝ 所以ξ的分布列为
４ ４ ４
５．现有 位男生 位女生去参加一个联欢活动 该活动有甲 乙
２ ，３ ， 、 ξ
两个项目可供参加者选择． １ ２ ３
为增加趣味性 约定 每个人通过掷一枚质地均匀的正方 Ｐ ３ ３ １
（１） ， ：
体骰子决定自己去参加哪个联欢项目 掷出点数为 或 １０ ５ １０
， １ ２
的人去参加甲联欢项目 掷出点数大于 的人去参加乙联 Ｅξ ３ ３ １ ９ ．
， ２ ＝１× ＋２× ＋３× ＝
欢项目．求这 人中恰好有 人去参加甲联欢项目的概率 １０ ５ １０ ５
５ ３ ；
考点一 离散型随机变量及其分布列 更有效．为了方便描述问题 约定 对于每轮试验 若施以甲药
， ： ，
１．（多选题）（２０２０新高考Ⅰ，１２，５分）信息熵是信息论中的一 的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈 则甲药得 分 乙药得
， １ ，
个重要概念．设随机变量 Ｘ 所有可能的取值为 ｎ 且 分 若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈 则乙
１，２，…， ， －１ ； ，
ｎ 药得 分 甲药得 分 若都治愈或都未治愈 则两种药均得
Ｐ Ｘ ｉ ｐ ｉ ｎ ｐ 定义 Ｘ 的信息熵 １ ， －１ ； ， ０
（ ＝ ）＝ ｉ＞０（ ＝１，２，…， ）， ∑ｉ＝
１
ｉ＝１， 分．甲
、
乙两种药的治愈率分别记为α和β
，
一轮试验中甲药的
ｎ 得分记为Ｘ．
Ｈ Ｘ ｐ ｐ
（ ）＝－∑ｉ＝ ｉｌｏｇ２ ｉ （ ） 求Ｘ的分布列
１ （１） ；
Ａ Ｂ． ． 若 若 ｎ ｎ ＝ ＝ ２ １ ， ， 则 则 Ｈ Ｈ （ （ Ｘ Ｘ ） ） 随 ＝０ 着ｐ １ 的增大而增大 （２） 若 表示 甲 “ 药 甲 、 药 乙 的 药 累 在 计 试 得 验 分 开 为 始时 ｉ 时 都 ， 赋 最 予 终 ４ 认 分 为 ， 甲 ｐ ｉ（ 药 ｉ ＝ 比 ０， 乙 １， 药 … 更 ，８ 有 ）
Ｃ． 若ｐ ｉ＝ ｎ １ （ ｉ ＝１，２，…， ｎ ）， 则Ｈ （ Ｘ ） 随着ｎ的增大而增大 效 ” 的概率 ， 则ｐ ０＝０， ｐ ８＝１， ｐ ｉ＝ ａｐ ｉ －１＋ ｂｐ ｉ＋ ｃｐ ｉ ＋１（ ｉ ＝１，２，…，
其中ａ Ｐ Ｘ ｂ Ｐ Ｘ ｃ Ｐ Ｘ ．假设α
若ｎ ｍ 随机变量Ｙ所有可能的取值为 ｍ 且Ｐ Ｙ ｊ ７）， ＝ （ ＝－１）， ＝ （ ＝０）， ＝ （ ＝１） ＝
Ｄ． ＝２ ， １，２，…， ， （ ＝ ） ． β ． ．
ｐ ｐ ｊ ｍ 则Ｈ Ｘ Ｈ Ｙ ０５， ＝０８
答 ＝ 案 ｊ＋ ２ ｍ Ａ ＋１ Ｃ － ｊ（ ＝１，２，…， ）， （ ）≤ （ ） （ｉ） 证明 ：｛ ｐ ｉ ＋１－ ｐ ｉ｝（ ｉ ＝０，１，２，…，７） 为等比数列 ；
求ｐ 并根据ｐ 的值解释这种试验方案的合理性．
２．（２０２０浙江，１６，６分）盒中有 个球 其中 个红球 个绿 （ｉｉ） ４， ４
４ ， １ ，１ ５．（２０１６课标Ⅰ，１９，１２分）某公司计划购买 台机器 该种机
球 个黄球．从盒中随机取球 每次取 个 不放回 直到取出 ２ ，
，２ ， １ ， ， 器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件 在购进机器时 可
红球为止．设此过程中取到黄球的个数为 ξ 则 Ｐ ξ ， ，
， （ ＝ ０） 以额外购买这种零件作为备件 每个 元．在机器使用期间
Ｅ ξ ． ， ２００ ，
＝ ， （ ）＝ 如果备件不足再购买 则每个 元．现需决策在购买机器时
， ５００
答案 １ 应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了 台这种机器
；１ ， １００
３ 在三年使用期内更换的易损零件数 得下面柱状图
３．（２０２０江苏，２３，１０分）甲口袋中装有 个黑球和 个白球 ， ：
２ １ ，
乙口袋中装有 个白球．现从甲 乙两口袋中各任取一个球交
３ 、
换放入另一口袋 重复ｎ次这样的操作 记甲口袋中黑球个数
， ，
为Ｘ 恰有 个黑球的概率为ｐ 恰有 个黑球的概率为ｑ ．
ｎ， ２ ｎ， １ ｎ
求ｐ ｑ 和ｐ ｑ
（１） １， １ ２， ２；
求 ｐ ｑ 与 ｐ ｑ 的递推关系式和 Ｘ 的数学期望
（２） ２ ｎ＋ ｎ ２ ｎ －１＋ ｎ －１ ｎ
Ｅ Ｘ 用ｎ表示 ．
（ ｎ）（ ）
４．（２０１９课标Ⅰ，２１，１２分）为治疗某种疾病 研制了甲 乙两种
， 、
新药 希望知道哪种新药更有效 为此进行动物试验．试验方案
， ，
如下 每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白
：
鼠 随机选一只施以甲药 另一只施以乙药．一轮的治疗结果得 以这 台机器更换的易损零件数的频率代替 台机器更换的
， ， １００ １
出后 再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种 易损零件数发生的概率 记Ｘ表示 台机器三年内共需更换的
， ， ２
药治愈的白鼠多 只时 就停止试验 并认为治愈只数多的药 易损零件数 ｎ表示购买 台机器的同时购买的易损零件数．
４ ， ， ， ２
专题十一 概率与统计 ７５３
求Ｘ的分布列
（１） ； 考点二 离散型随机变量的均值与方差
若要求Ｐ Ｘ ｎ ． 确定ｎ的最小值
（２） （ ≤ ）≥０５， ；
以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据 在ｎ ９．（２０２０课标Ⅲ理，３，５分）在一组样本数据中 出现的
（３） ， ＝１９ ，１，２，３，４
与ｎ 之中选其一 应选用哪个 ４
＝２０ ， ？ 频率分别为ｐ ｐ ｐ ｐ 且 ｐ 则下面四种情形中 对
６．（２０１９北京，１７，１３分）改革开放以来 人们的支付方式发生 １， ２， ３， ４， ∑ｉ＝ ｉ＝１， ，
， 应样本的标准差最大的一组是 １
了巨大转变．近年来 移动支付已成为主要支付方式之一．为了 （ ）
，
ｐ ｐ ． ｐ ｐ ．
解某校学生上个月
Ａ，Ｂ
两种移动支付方式的使用情况
，
从全 Ａ． １＝ ４＝０１， ２＝ ３＝０４
ｐ ｐ ． ｐ ｐ ．
校学生中随机抽取了
１００
人
，
发现样本中
Ａ，Ｂ
两种支付方式 Ｂ． １＝ ４＝０４， ２＝ ３＝０１
ｐ ｐ ． ｐ ｐ ．
都不使用的有
５
人
，
样本中仅使用
Ａ
和仅使用
Ｂ
的学生的支 Ｃ． １＝ ４＝０２， ２＝ ３＝０３
ｐ ｐ ． ｐ ｐ ．
付金额分布情况如下 ： Ｄ． 答 １ 案 ＝ ４＝ Ｂ ０３， ２＝ ３＝０２
支付金额 元
（ ） 大于 １０．（２０１９浙江，７，４分）设 ａ ．随机变量Ｘ的分布列是
支付方式 （０，１０００］ （１０００，２０００］ ２０００ ０＜ ＜１
Ｘ ａ
仅使用 人 人 人 ０ １
Ａ １８ ９ ３
仅使用 人 人 人 Ｐ １ １ １
Ｂ １０ １４ １ ３ ３ ３
从全校学生中随机抽取 人 估计该学生上个月 两种 则当ａ在 内增大时
（１） １ ， Ａ，Ｂ （０，１） ， （ ）
支付方式都使用的概率 Ｄ Ｘ 增大 Ｄ Ｘ 减小
； Ａ． （ ） Ｂ． （ ）
从样本仅使用 和仅使用 的学生中各随机抽取 人 以 Ｄ Ｘ 先增大后减小 Ｄ Ｘ 先减小后增大
（２） Ａ Ｂ １ ， Ｃ． （ ） Ｄ． （ ）
Ｘ表示这 人中上个月支付金额大于 元的人数 求Ｘ 答案 Ｄ
２ １０００ ，
的分布列和数学期望 １１．（２０１７浙江，８，４ 分）已知随机变量 ξ 满足 Ｐ ξ ｐ
； ｉ （ ｉ＝１）＝ ｉ，
已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样
（３） Ｐ ξ ｐ ｉ ．若 ｐ ｐ １ 则
本仅使用 的学生中 随机抽查 人 发现他们本月的支 （ ｉ＝０）＝１－ ｉ， ＝１，２ ０＜ １＜ ２＜ ， （ ）
Ａ ， ３ ， ２
付金额都大于 元．根据抽查结果 能否认为样本仅使 Ｅ ξ Ｅ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ
２ ０００ ， Ａ． （ １）＜ （ ２）， （ １）＜ （ ２）
用 的学生中本月支付金额大于 元的人数有变化 Ｅ ξ Ｅ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ
Ａ ２ ０００ ？ Ｂ． （ １）＜ （ ２）， （ １）＞ （ ２）
说明理由． Ｅ ξ Ｅ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ
Ｃ． （ １）＞ （ ２）， （ １）＜ （ ２）
７．（２０２１新高考适应卷，１９，１２分）一台设备由三个部件构成 Ｅ ξ Ｅ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ
， Ｄ． （ １）＞ （ ２）， （ １）＞ （ ２）
假设在一天的运转中 部件 需要调整的概率分别为 ． 答案 Ａ
， １，２，３ ０１，
． ． 各部件的状态相互独立． １２．（２０１８课标Ⅰ，２０，１２分）某工厂的某种产品成箱包装 每箱
０２，０３， ，
求设备在一天的运转中 部件 中至少有 个需要调整 件 每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验 如检验
（１） ， １，２ １ ２００ ， ，
的概率 出不合格品 则更换为合格品．检验时 先从这箱产品中任取
； ， ，
记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为Ｘ 求Ｘ的 件做检验 再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作
（２） ， ２０ ，
分布列及数学期望． 检验．设每件产品为不合格品的概率都为ｐ ｐ 且各件
（０＜ ＜１），
８．（２０１７山东，１８，１２分）在心理学研究中 常采用对比试验的 产品是不是不合格品相互独立．
，
方法评价不同心理暗示对人的影响 具体方法如下 将参加试 记 件产品中恰有 件不合格品的概率为ｆ ｐ 求ｆ ｐ
， ： （１） ２０ ２ （ ）， （ ）
验的志愿者随机分成两组 一组接受甲种心理暗示 另一组接 的最大值点ｐ ．
， ， ０
受乙种心理暗示 通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结 现对一箱产品检验了 件 结果恰有 件不合格品 以
， （２） ２０ ， ２ ，
果来评价两种心理暗示的作用．现有 名男志愿者Ａ Ａ Ａ 中确定的ｐ 作为ｐ的值．已知每件产品的检验费用为
６ １， ２， ３， （１） ０
Ａ Ａ Ａ 和 名女志愿者Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ 从中随机抽取 人接 元 若有不合格品进入用户手中 则工厂要对每件不合
４， ５， ６ ４ １， ２， ３， ４， ５ ２ ， ，
受甲种心理暗示 另 人接受乙种心理暗示． 格品支付 元的赔偿费用．
， ５ ２５
求接受甲种心理暗示的志愿者中包含Ａ 但不包含Ｂ 的 若不对该箱余下的产品作检验 这一箱产品的检验费
（１） １ １ （ｉ） ，
概率 用与赔偿费用的和记为Ｘ 求ＥＸ
； ， ；
用Ｘ表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数 求Ｘ的分布 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据 是否
（２） ， （ｉｉ） ，
列与数学期望ＥＸ． 该对这箱余下的所有产品作检验
？
考点一 离散型随机变量及其分布列 答案 Ｄ 本小题考查随机变量的分布列 期望 方差的计
， 、
１．（２０１８浙江，７，４分）设 ｐ 随机变量ξ的分布列是 算及函数的单调性．
０＜ ＜１，
ｐ ｐ
ξ 由题意得Ｅ ξ １－ １ １ ｐ
０ １ ２ （ ）＝０× ＋１× ＋２× ＝ ＋ ，
２ ２ ２ ２
Ｐ １－ ｐ １ ｐ [ ( )] ２ ｐ [ ( )] ２
Ｄ ξ １ ｐ １－ １ ｐ １
２ ２ ２ （ ） ＝ ０－ ＋ · ＋ １－ ＋ · ＋
２ ２ ２ ２
则当ｐ在 （０，１） 内增大时 ， （ ） [ ( １ ｐ )] ２ ｐ
Ｄ ξ 减小 Ｄ ξ 增大 ２－ ＋ ·
Ａ． （ ） Ｂ． （ ） ２ ２
Ｄ ξ 先减小后增大 Ｄ ξ 先增大后减小
Ｃ． （ ） Ｄ． （ ）
７５４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
天数
＝ １ ［（１＋２ ｐ ） ２ （１－ ｐ ）＋（１－２ ｐ ） ２ ＋（３－２ ｐ ） ２ · ｐ ］ ２ １６ ３６ ２５ ７ ４
８ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的
( )
２
ｐ２ ｐ １ ｐ １ １ ． 概率．
＝－ ＋ ＋ ＝－ － ＋
４ ２ ２ 求六月份这种酸奶一天的需求量Ｘ 单位 瓶 的分布列
ì ï １－ ｐ （１） （ ： ） ；
ï０＜
２
＜１，
（２）
设六月份一天销售这种酸奶的利润为Ｙ
（
单位
：
元
）
．当六月
ï ｐ 份这种酸奶一天的进货量ｎ 单位 瓶 为多少时 Ｙ的数学
由í 得 ｐ （ ： ） ，
ï０＜ ＜１， ０＜ ＜１， 期望达到最大值
２ ？
ï ｐ ｐ 解析 本题考查随机变量的分布列 数学期望．
ï１－ １ ，
î ＋ ＋ ＝１， 由题意知 Ｘ所有可能取值为 由表格数据知
２ ２ ２ （１） ， ２００，３００，５００，
( ) ( )
Ｄ ξ 在 １ 上单调递增 在 １ 上单调递减 故选 ． Ｐ Ｘ ２＋１６ ． Ｐ Ｘ ３６ ． Ｐ Ｘ
∴ （ ） ０， ， ，１ ， Ｄ （ ＝２００）＝ ＝０ ２， （ ＝３００）＝ ＝０ ４， （ ＝５００）＝
２ ２ ９０ ９０
２．（２０１８北京理，１７，１２分）电影公司随机收集了电影的有关数
２５＋７＋４ ． ．
据 经分类整理得到下表 ＝０４
， ： ９０
因此Ｘ的分布列为
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 Ｘ
１４０ ５０ ３００ ２００ ８００ ５１０ ２００ ３００ ５００
好评率 ０ ． ４ ０ ． ２ ０ ． １５ ０ ． ２５ ０ ． ２ ０ ． １ Ｐ ０ ． ２ ０ ． ４ ０ ． ４
好评率是指 一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 由题意知 这种酸奶一天的需求量至多为 瓶 至少为
： （２） ， ５００ ，
假设所有电影是否获得好评相互独立． 瓶 因此只需考虑 ｎ ．
２００ ， ２００≤ ≤５００
从电影公司收集的电影中随机选取 部 求这部电影是获 当 ｎ 时
（１） １ ， ３００≤ ≤５００ ，
得好评的第四类电影的概率 若最高气温不低于 则Ｙ ｎ ｎ ｎ
； ２５， ＝６ －４ ＝２ ；
从第四类电影和第五类电影中各随机选取 部 估计恰有 若最高气温位于区间
（２） １ ， ［２０，２５），
部获得好评的概率 则Ｙ ｎ ｎ ｎ
１ ； ＝６×３００＋２（ －３００）－４ ＝１２００－２ ；
假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的 若最高气温低于 则Ｙ ｎ ｎ ｎ．
（３） ２０， ＝６×２００＋２（ －２００）－４ ＝８００－２
好评率相等．用 ξ 表示第ｋ类电影得到人们喜欢 ξ 因此ＥＹ ｎ ． ｎ ． ｎ ．
“ ｋ＝１” ，“ ｋ ＝２ ×０ ４＋（１ ２００－２ ）×０ ４＋（８００－２ ）×０ ２＝６４０－
表示第ｋ类电影没有得到人们喜欢 ｋ ． ｎ．
＝０” （ ＝１，２，３，４，５， ０４
．写出方差Ｄξ Ｄξ Ｄξ Ｄξ Ｄξ Ｄξ 的大小关系． 当 ｎ 时
６） １， ２， ３， ４， ５， ６ ２００≤ ＜３００ ，
解析 由题意知 样本中电影的总部数是 若最高气温不低于 则Ｙ ｎ ｎ ｎ
（１） ， １４０＋５０＋３００＋ ２０， ＝６ －４ ＝２ ；
若最高气温低于 则Ｙ ｎ ｎ ｎ．
２００＋８００＋５１０＝２０００， ２０， ＝６×２００＋２（ －２００）－４ ＝８００－２
第四类电影中获得好评的电影部数是 ． ． 因此ＥＹ ｎ ． ． ｎ ． ． ｎ．
２００×０２５＝５０ ＝２ ×（０４＋０４）＋（８００－２ ）×０２＝１６０＋１２
所以ｎ 时 Ｙ的数学期望达到最大值 最大值为 元．
故所求概率是 ５０ ． ． ＝３００ ， ， ５２０
＝００２５ ４．（２０１７天津理，１６，１３ 分）从甲地到乙地要经过 个十字路
２０００ ３
设事件Ａ为 从第四类电影中随机选出的电影获得好评 口 设各路口信号灯工作相互独立 且在各路口遇到红灯的概
（２） “ ”， ， ，
事件Ｂ为 从第五类电影中随机选出的电影获得好评 ．
“ ” 率分别为 １ １ １ ．
故所求概率为Ｐ ＡＢ ＡＢ Ｐ ＡＢ Ｐ ＡＢ ， ，
（ ＋ ）＝ （ ）＋ （ ） ２ ３ ４
Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ ．
记Ｘ表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数 求随机变
＝ （ ）（１－ （ ））＋（１－ （ ）） （ ） （１） ，
由题意知 Ｐ Ａ 估计为 ． Ｐ Ｂ 估计为 ． ． 量Ｘ的分布列和数学期望
： （ ） ０２５， （ ） ０２ ；
故所求概率估计为 ． ． ． ． ． ． 若有 辆车独立地从甲地到乙地 求这 辆车共遇到 个
０２５×０８＋０７５×０２＝０３５ （２） ２ ， ２ １
Ｄξ Ｄξ Ｄξ Ｄξ Ｄξ Ｄξ ． 红灯的概率．
（ 解 ３） 后反 １ 思 ＞ ４ 古 ＞ 典 ２ 概 ＝ 型的 ５＞ 概率 ３＞ 以及 ６ 方差的求解 解析 本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期
：
在使用古典概型的概率公式时 应该注意 要判断该概率 望 事件的相互独立性 互斥事件的概率加法公式等基础知识．
， ：（１） ， ，
模型是不是古典概型 先分清基本事件的总数ｎ与事件Ａ 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．
；（２）
ｍ 随机变量Ｘ的所有可能取值为 ．
中包含的结果数ｍ 再利用公式Ｐ Ａ 求出事件Ａ发生的 （１） ０，１，２，３
， （ ）＝ ｎ ( ) ( ) ( )
Ｐ Ｘ １ １ １ １
概率．在求方差时 要学会判断随机变量是不是服从特殊分布 （ ＝０）＝ １－ × １－ × １－ ＝ ，
， ， ２ ３ ４ ４
若服从 则利用特殊分布的方差公式求解． ( ) ( ) ( ) ( )
， Ｐ Ｘ １ １ １ １ １ １
３．（２０１７课标Ⅲ理，１８，１２分）某超市计划按月订购一种酸奶 （ ＝１）＝ × １－ × １－ ＋ １－ × × １－
， ( ) ２ ( ) ３ ４ ２ ３ ４
每天进货量相同 进货成本每瓶 元 售价每瓶 元 未售出的
， ４ ， ６ ， １ １ １ １１
酸奶降价处理 以每瓶 元的价格当天全部处理完．根据往年 ＋ １－
２
× １－
３
×
４
＝
２４
，
， ２ ( ) ( )
销售经验 每天需求量与当天最高气温 单位 有关．如果最
Ｐ Ｘ １ １ １ １ １ １ １ １
， （ ：℃） （ ＝２）＝ １－ × × ＋ × １－ × ＋ × ×
高气温不低于 需求量为 瓶 如果最高气温位于区间 ２ ３ ４ ２ ３ ４ ２ ３
２５， ５００ ； ( )
需求量为 瓶 如果最高气温低于 需求量为 １ １
［２０，２５）， ３００ ； ２０， １－ ＝ ，
瓶．为了确定六月份的订购计划 统计了前三年六月份各 ４ ４
２００ ，
天的最高气温数据 得下面的频数分布表 Ｐ Ｘ １ １ １ １ ．
， ： （ ＝３）＝ × × ＝
２ ３ ４ ２４
最高气温
［１０，１５） ［１５，２０） ［２０，２５） ［２５，３０） ［３０，３５） ［３５，４０）
所以 随机变量Ｘ的分布列为
，
专题十一 概率与统计 ７５５
布列和数学期望．
Ｘ
０ １ ２ ３
解析 由已知 有
（１） ，
Ｐ １ １１ １ １
２ ２ ２ ２
４ ２４ ４ ２４ Ｐ Ａ Ｃ２Ｃ３＋Ｃ３Ｃ３ ６ ．
（ ）＝ ４ ＝
随机变量Ｘ的数学期望 Ｅ Ｘ １ １１ １ １ Ｃ８ ３５
（ ）＝ ０× ＋１× ＋２× ＋３×
４ ２４ ４ ２４ 所以 事件Ａ发生的概率为 ６ ．
，
１３． ３５
＝ 随机变量Ｘ的所有可能取值为 ．
１２ （２） １，２，３，４
设Ｙ表示第一辆车遇到红灯的个数 Ｚ表示第二辆车遇到 ｋ ４－ ｋ
（２） ， Ｐ Ｘ ｋ Ｃ５Ｃ３ ｋ ．
红灯的个数 则所求事件的概率为 （ ＝ ）＝ ４ （ ＝１，２，３，４）
， Ｃ８
Ｐ Ｙ Ｚ Ｐ Ｙ Ｚ Ｐ Ｙ Ｚ 所以 随机变量Ｘ的分布列为
（ ＋ ＝１）＝ （ ＝０， ＝１）＋ （ ＝１， ＝０） ，
Ｐ Ｙ Ｐ Ｚ Ｐ Ｙ Ｐ Ｚ
＝ （ ＝０） （ ＝１）＋ （ ＝１） （ ＝０） Ｘ
１ ２ ３ ４
１ １１ １１ １
＝ × ＋ × Ｐ １ ３ ３ １
４ ２４ ２４ ４
１４ ７ ７ １４
１１．
＝
４８ 随机变量Ｘ的数学期望 Ｅ Ｘ １ ３ ３ １
（ ）＝ １× ＋２× ＋３× ＋４×
所以 这 辆车共遇到 个红灯的概率为１１． １４ ７ ７ １４
， ２ １
４８ ５ ．
技巧点拨 解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机 ＝
２
变量可以取哪些值以及取各个值时对应的概率 只有正确理解 评析 本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事
，
随机变量取值的意义才能解决这个问题 理解随机变量取值的 件，离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识．考查运
，
意义是解决这类问题的必要前提． 用概率知识解决简单实际问题的能力．属中等难度题．
５．（２０１６天津理，１６，１３分）某小组共 人 利用假期参加义工 ７．（２０１５四川理，１７，１２分）某市Ａ Ｂ两所中学的学生组队参加
１０ ， ，
活动 已知参加义工活动次数为 的人数分别为 ．现 辩论赛 Ａ中学推荐了 名男生 名女生 Ｂ中学推荐了 名
， １，２，３ ３，３，４ ， ３ 、２ ， ３
从这 人中随机选出 人作为该组代表参加座谈会． 男生 名女生 两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后
１０ ２ 、４ ，
设Ａ为事件 选出的 人参加义工活动次数之和为 求 队员水平相当 从参加集训的男生中随机抽取 人 女生中随
（１） “ ２ ４”， ， ３ 、
事件Ａ发生的概率 机抽取 人组成代表队．
； ３
设Ｘ为选出的 人参加义工活动次数之差的绝对值 求随 求Ａ中学至少有 名学生入选代表队的概率
（２） ２ ， （１） １ ；
机变量Ｘ的分布列和数学期望． 某场比赛前 从代表队的 名队员中随机抽取 人参赛
（２） ， ６ ４ ，
１ １ ２ 设Ｘ表示参赛的男生人数 求Ｘ的分布列和数学期望．
解析 由已知 有Ｐ Ａ Ｃ３Ｃ４＋Ｃ３ １ ． ，
（１） ， （ ）＝ ２ ＝ 解析 由题意 参加集训的男 女生各有 名．
Ｃ１０ ３ （１） ， 、 ６
参赛学生全从Ｂ中学抽取 等价于Ａ中学没有学生入选代表
所以 事件Ａ发生的概率为 １ ． （
， ３ ３
３ 队 的概率为Ｃ３Ｃ４ １ ．
（２） 随机变量Ｘ的所有可能取值为 ０，１，２ ． ） Ｃ ３ ６Ｃ ３ ６ ＝ １００
２ ２ ２
Ｐ Ｘ Ｃ３＋Ｃ３＋Ｃ４ ４ 因此 Ａ 中学至少有 名学生入选代表队的概率为 １
（ ＝０）＝ ２ ＝ ， ， １ １－
Ｃ１０ １５ １００
１ １ １ １
Ｐ Ｘ Ｃ３Ｃ３＋Ｃ３Ｃ４ ７ ９９．
（ ＝１）＝ Ｃ ２ １０ ＝ １５ ， ＝ １０ 根 ０ 据题意 Ｘ的可能取值为 ．
Ｐ Ｘ Ｃ １ ３Ｃ １ ４ ４ ． （２） ， １，２，３
所 （ 以 ＝ ， 随 ２） 机 ＝ 变 Ｃ 量 ２ １０ ＝ Ｘ １ 的 ５ 分布列为 Ｐ （ Ｘ ＝１）＝ Ｃ Ｃ １ ３Ｃ ４ ６ ３ ３ ＝ ５ １ ，
２ ２
Ｘ ０ １ ２ Ｐ （ Ｘ ＝２）＝ Ｃ３Ｃ ４ ３ ＝ ３ ，
Ｃ６ ５
Ｐ ４ ７ ４
３ １
１５ １５ １５ Ｐ Ｘ Ｃ３Ｃ３ １ ．
（ ＝３）＝ ４ ＝
随机变量Ｘ的数学期望Ｅ Ｘ ４ ７ ４ ． 所以Ｘ的分 Ｃ 布 ６ 列为 ５
（ ）＝０× ＋１× ＋２× ＝１
１５ １５ １５
评析 本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、 Ｘ
１ ２ ３
离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识．考查运用概
Ｐ １ ３ １
率知识解决简单实际问题的能力．
５ ５ ５
６．（２０１５天津理，１６，１３分）为推动乒乓球运动的发展 某乒乓 因此 Ｘ的数学期望为
， ，
球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运 Ｅ Ｘ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ
（ ）＝１× （ ＝１）＋２× （ ＝２）＋３× （ ＝３）
动员 名 其中种子选手 名 乙协会的运动员 名 其中种子
３ ， ２ ； ５ ， １ ３ １ ．
选手 名．从这 名运动员中随机选择 人参加比赛． ＝１× ＋２× ＋３× ＝２
３ ８ ４ ５ ５ ５
设Ａ为事件 选出的 人中恰有 名种子选手 且这 名 评析 本题主要考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的
（１） “ ４ ２ ， ２
种子选手来自同一个协会 求事件Ａ发生的概率 分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，
”， ；
设Ｘ为选出的 人中种子选手的人数 求随机变量Ｘ的分 考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的
（２） ４ ，
７５６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
能力． 所以Ｘ的分布列为
８．（２０１５安徽理，１７，１２分）已知 件次品和 件正品混放在一
２ ３ Ｘ
１ ２ ３
起 现需要通过检测将其区分 每次随机检测一件产品 检测后
， ， ，
不放回 直到检测出 件次品或者检测出 件正品时检测 Ｐ １ １ ２
， ２ ３ ６ ６ ３
结束．
求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的 所以Ｅ Ｘ １ １ ２ ５ ．
（ ）＝１× ＋２× ＋３× ＝
（１） ６ ６ ３ ２
概率 评析 本小题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机
；
已知每检测一件产品需要费用 元 设Ｘ表示直到检测 变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用
（２） １００ ，
出 件次品或者检测出 件正品时所需要的检测费用 单 意识，考查必然与或然思想．
２ ３ （
位 元 求Ｘ的分布列和均值 数学期望 ． １０．（２０１３课标Ⅰ理，１９，１２分）一批产品需要进行质量检验 检
： ）， （ ） ，
解析 记 第一次检测出的是次品且第二次检测出的是 验方案是 先从这批产品中任取 件作检验 这 件产品中优
（１） “ ： ４ ， ４
正品 为事件Ａ 质品的件数记为ｎ．如果ｎ 再从这批产品中任取 件作检
” ， ＝３， ４
１ １ 验 若都为优质品 则这批产品通过检验 如果 ｎ 再从这
Ｐ Ａ Ａ２Ａ３ ３ ． ， ， ； ＝４，
（ ）＝ ２ ＝ 批产品中任取 件作检验 若为优质品 则这批产品通过检
Ａ５ １０ １ ， ，
Ｘ的可能取值为 ． 验 其他情况下 这批产品都不能通过检验．
（２） ２００，３００，４００ ； ，
２ 假设这批产品的优质品率为 ％ 即取出的每件产品是优质
Ｐ Ｘ Ａ２ １ ５０ ，
（ ＝２００）＝ ２ ＝ ，
Ａ５ １０ 品的概率都为 １ 且各件产品是否为优质品相互独立．
３ １ １ ２ ，
Ｐ Ｘ Ａ３＋Ｃ２Ｃ３Ａ２ ３ ２
（ ＝３００）＝ Ａ ３ ５ ＝ １０ ， （１） 求 已 这 知 批 每 产 件 品 产 通 品 过 的 检 检 验 验 的 费 概 用 率 为 ； 元 且抽取的每件产品
Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ １ ３ ６ ． （２） １００ ，
（ ＝４００）＝１－ （ ＝２００）－ （ ＝３００）＝１－ － ＝ 都需要检验 对这批产品作质量检验所需的费用记为 Ｘ
１０ １０ １０ ，
故Ｘ的分布列为 单位 元 求Ｘ的分布列及数学期望．
（ ： ），
解析 设第一次取出的 件产品中恰有 件优质品为
Ｘ （１） ４ ３
２００ ３００ ４００ 事件Ａ 第一次取出的 件产品全是优质品为事件Ａ 第二
１， ４ ２，
Ｐ １ ３ ６ 次取出的 件产品都是优质品为事件Ｂ 第二次取出的 件
４ １， １
１０ １０ １０ 产品是优质品为事件Ｂ 这批产品通过检验为事件Ａ 依题意
２， ，
ＥＸ １ ３ ６ ． 有Ａ Ａ Ｂ Ａ Ｂ 且Ａ Ｂ 与Ａ Ｂ 互斥 所以Ｐ Ａ
＝２００× ＋３００× ＋４００× ＝３５０ ＝（ １ １）∪（ ２ ２）， １ １ ２ ２ ， （ ）＝
１０ １０ １０ Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｂ
９．（２０１５福建理，１６，１３分）某银行规定 一张银行卡若在一天 （ １ １）＋ （ ２ ２）
， Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ａ
内出现 次密码尝试错误 该银行卡将被锁定．小王到该银行 ＝ （ １） （ １｜ １）＋ （ ２） （ ２｜ ２）
３ ，
取钱时 发现自己忘记了银行卡的密码 但可以确认该银行卡 ４ １ １ １ ３ ．
， ， ＝ × ＋ × ＝
的正确密码是他常用的 个密码之一 小王决定从中不重复地 １６ １６ １６ ２ ６４
６ ，
Ｘ可能的取值为 并且
随机选择 个进行尝试．若密码正确 则结束尝试 否则继续尝 （２） ４００，５００，８００，
１ ， ；
试 直至该银行卡被锁定． Ｐ
（
Ｘ
＝４００）＝１－
４
－
１
＝
１１
，
， １６ １６ １６
求当天小王的该银行卡被锁定的概率
（１） ； Ｐ Ｘ １ Ｐ Ｘ １ ．
设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为Ｘ 求Ｘ的分布 （ ＝５００）＝ ， （ ＝８００）＝
（２） ， １６ ４
列和数学期望． 所以Ｘ的分布列为
解析 设 当天小王的该银行卡被锁定 的事件为Ａ
（１） “ ” ， Ｘ
４００ ５００ ８００
则Ｐ Ａ ５ ４ ３ １ ．
（ ）＝ × × ＝ Ｐ １１ １ １
６ ５ ４ ２
依题意得 Ｘ所有可能的取值是 ． １６ １６ ４
（２） ， １，２，３
ＥＸ １１ １ １ ． ．
又Ｐ Ｘ １ Ｐ Ｘ ５ １ １ Ｐ Ｘ ５ ４ ＝４００× ＋５００× ＋８００× ＝５０６２５
（ ＝１）＝ ， （ ＝２）＝ × ＝ ， （ ＝３）＝ × ×１ １６ １６ ４
６ ６ ５ ６ ６ ５
２
＝ ，
３
时间： 分钟 分值： 分
７５ ８２
一、多项选择题 共 分 设随机变量 ξ 服从正态分布 Ｎ 若 Ｐ ξ ｐ 则
（ ５ ） Ｃ． （０，１）， （ ＞１）＝ ，
１．（２０２１届湖南长沙一中月考（三），９）下列说法中正确的有 Ｐ ξ ｐ
（－１＜ ＜１）＝１－２
甲 乙 丙 丁 个人到 个景点旅游 每人只去一个景点 设
（ ） Ｄ． 、 、 、 ４ ４ ， ，
两个随机变量的线性相关性越强 则相关系数ｒ的绝对值越 事件Ａ 个人去的景点各不相同 事件Ｂ 甲独自去一
Ａ． ， ＝“４ ”， ＝“
接近于
０ 个景点 则Ｐ Ａ Ｂ ２
Ｅ Ｘ Ｅ Ｘ Ｄ Ｘ Ｄ Ｘ ”， （ ｜ ）＝
Ｂ． （２ ＋１）＝２ （ ）＋１， （２ ＋１）＝４ （ ）＋１ ９
专题十一 概率与统计 ７５７
答案 ＣＤ 仅从日均工资的角度考虑 小张应选择哪家公司应聘
， ？
说明你的理由．
二、填空题 共 分
（ ５ ） ６．（２０２１届百校联盟质量监测）疫情过后 为了增加超市的购买
２．（２０２１届山东师范大学附属中学一模，１３）从某班 名学生 其中 ，
６ （ 力 营销人员采取了相应的推广手段 每位顾客消费达到
男生 人 女生 人 中任选 人参加学校组织的社会实践活动 ， ， １００
４ ， ２ ） ３ ， 元可以获得相应的积分 每花费 积分可以参与超市的抽奖
设所选三人中男生人数为ξ 则数学期望Ｅ ξ ． ， １００
， （ ）＝ 游戏 游戏规则如下 抽奖箱中放有 张奖券 张白券 每次
答案 ， ： ２ ，３ ，
２ 任取两张券 每个人有放回地抽取三次 即完成一轮抽奖游戏
三、解答题 共 分
若摸出的结
，
果是 张奖券 三次 则获
，
得 积分 若摸出
；
（ ７２ ）
３．（２０２０广东深圳七中第二次月考，１９）已知某单位甲 乙 丙三
的结果是 张奖
“
券
２
一次或
”
两次
，
则获得
１０ １０
积
０
分 若
，
摸出
、 、
个部门的员工人数分别为 ．现采用分层抽样的方法从
张奖券 的
“２
次数为零
”
则获得 积
，
分 获得
３
的
００
积分扣
，
除花费
“
的
２
２４，１６，１６
中抽取 人 进行睡眠时间的调查．
积分
”
则为该顾客
，
所得的最
０
终积
；
分 最终积分若达到一定
７ ，
应从甲 乙 丙三个部门的员工中分别抽取多少人 １００ ， ，
（１） 、 、 ？
的标准 可以兑换电饭锅 洗衣机等生活用品．
若抽出的 人中有 人睡眠不足 人睡眠充足 现从这 ， 、
求一轮抽奖游戏中 甲摸出 张奖券 的次数为零的
（２） ７ ４ ，３ ， ７
人中随机抽取 人做进一步的身体检查． （１）
概率
， “２ ”
３
（ｉ）
用Ｘ表示抽取的
３
人中睡眠不足的员工人数
，
求随机
记一
；
轮抽奖游戏中 甲摸出 张奖券 的次数为Ｘ 求Ｘ的
变量Ｘ的分布列与数学期望 （２）
分布列以及数学期望
， “２ ” ，
；
设Ａ为事件 抽取的 人中 既有睡眠充足的员工 也
试用概率与统计的相
；
关知识 从数学期望的角度进行分
（ｉｉ） “ ３ ， ，
有睡眠不足的员工
”，
求事件Ａ发生的概率． （３）
析 多次参与抽奖游戏后 甲的
，
最终积分情况．
４．（２０１９ 广东佛山二模，１９）某电子设备工厂生产一种电子元 ７．（２０２１ ， 届辽宁高三上学期测 ， 评）为推行 新课堂 教学法 某化
件 质量控制工程师要在产品出厂前将次品检出．估计这个厂
学老师分别用传统教学和 新课堂 两种
“
不同的
”
教学方式
，
在
，
生产的电子元件的次品率为
０
．
２
％
，
且电子元件是不是次品相 甲 乙两个平行班级进行教 “ 学试验．为 ” 了比较教学效果 期中 ， 考
互独立 一般的检测流程是 先把ｎ ｎ ｎ Ｎ∗ 个电子元件 试 、 后 分别从两个班级中各随机抽取 名学生的成绩 ， 进行统
， ： （ ＞１， ∈ ）
串联起来成组进行检测．若检测通过 则全部为正品 若检测不
计 结
，
果如下表 记成绩不低于 分者
２０
为 成绩优良
， ；
通过 则至少有一个次品 再逐一检测 直到把所有的次品找 ， （ ７０ “ ”）：
， ， ， 分数
出．若检测一个电子元件的花费为 分钱 检测一组 ｎ个 电 ［５０，５９］ ［６０，６９］ ［７０，７９］ ［８０，８９］ ［９０，１００］
５ ， （ ） 甲班频数
子元件的花费为 ｎ 分钱． ５ ６ ４ ４ １
（４＋ ）
当ｎ 时 估算一组待检元件中有次品的概率 乙班频数
（１） ＝４ ， ； １ ３ ６ ５ ５
设每个电子元件检测费用的期望为 Ａ ｎ 求 Ａ ｎ 的表 由以上统计数据填写下面 列联表 并判断能否在犯错
（２） （ ）， （ ） （１） ２×２ ，
达式 概率不超过 ． 的前提下 认为 成绩优良与教学方式有
； ００２５ ， “
试估计ｎ的值 使每个电子元件的检测费用的期望最小． 关
（３） ， ”；
提示 用 ｐ ｎ ｎｐ进行估算
（ ： （１－ ） ≈１－ ） 甲班 乙班 总计
５．（２０２１届江苏如皋中学阶段检测，１９）有甲 乙两家外卖公司
、 ， 成绩优良
其送餐员的日工资方案如下 甲公司底薪 元 送餐员每单抽
： ８０ ，
成 元 乙公司无底薪 单以内 含 单 的部分送餐员每 成绩不优良
４ ； ，４０ （ ４０ ）
单抽成 元 超过 单的部分送餐员每单抽成 元．现从这两 总计
６ ， ４０ ７
家公司各随机选取一名送餐员 分别记录他们 天的送餐单
现从上述 人中按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽
， ５０
（２） ４０
数 得到如下频数分布表
， ：
取 人进行考核．在这 人中 记成绩不优良的乙班人数为
８ ８ ，
送餐单数 Ｘ 求Ｘ的分布列及数学期望．
３８ ３９ ４０ ４１ ４２ ，
甲公司天数 １０ １０ １５ １０ ５ 附 Ｋ２ ｎ （ ａｄ － ｂｃ ） ２ 其中ｎ ａ ｂ ｃ ｄ．
： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ， ＝ ＋ ＋ ＋
乙公司天数 （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
１０ １５ １０ １０ ５ 临界值表
从记录甲公司的 天送餐单数中随机抽取 天 求这 天 ：
（１）
的送餐单数都不小
５０
于 单的概率
３ ， ３ Ｐ
（
Ｋ２
≥
ｋ
０） ０
．
１０ ０
．
０５ ０
．
０２５ ０
．
０１０
４０ ；
假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同 将频率视 ｋ ． ． ． ．
（２） ， ０ ２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５
为概率 回答下列两个问题．
，
求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望
（ｉ） ；
小张打算到甲 乙两家公司中的一家应聘送餐员 如果
（ｉｉ） 、 ，
７５８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１．（２０１９辽宁葫芦岛期末，６）已知Ｘ是离散型随机变量Ｐ Ｘ 立 则
（ ＝ ， （ ）
１ Ｐ Ｘ ａ ３ Ｅ Ｘ ７ 则Ｄ Ｘ ｂ １ ｂ ２ ｂ １ ｂ ２
１）＝ ， （ ＝ ）＝ ， （ ）＝ ， （２ －１）＝ （ ） Ａ． ≤ Ｂ． ≤ Ｃ． ≥ Ｄ． ≥
４ ４ ４ ３ ３ ３ ３
答案 Ｄ 本题考查离散型随机变量的分布列 数学期望和
１ ３ １ ３ 、
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 方差的求法 考查运算求解能力 体现了逻辑推理和数学运算
４ ４ ５ ５ ， ，
答案 Ｂ 因为Ｐ Ｘ １ Ｐ Ｘ ａ ３ 所以Ｐ Ｘ
的核心素养．
（ ＝１）＝ ４ ， （ ＝ ）＝ ４ ， （ ＝１） 依题意 知ａ ｂ ｃ 故ｃ ａ ｂ 当ａ ｂ 时 Ｅ Ｘ
， ＋ ＋ ＝１， ＝１－ － ， ∈（０，１－ ） ， （ ）＝
Ｐ Ｘ ａ １ ３ 则Ｘ只有两个变量 和ａ． ａ ｃ ｂ ａ 则Ｄ Ｘ Ｅ Ｘ２ Ｅ２ Ｘ ａ ｃ ｃ ａ ２ ａ ｃ
＋ （ ＝ ）＝ ＋ ＝１， １ － ＋ ＝１－ －２ ， （ ）＝ （ ）－ （ ）＝ ＋ －（ － ） ＝ ＋ －
４ ４ ｃ ａ ２ ａｃ ａｃ ａ ｃ ａ ｃ ２ ａ ｂ ａ
［（ － ） ＋４ ］＋４ ＝（ ＋ ）－（ ＋ ） ＋４ （１－ － ）
所以Ｅ Ｘ １ ３ ａ ７ 解得ａ 即Ｐ Ｘ ３ ． ｂ ｂ ２ ａ ｂ ａ 令 ｂ ｔ 则ｔ
（ ）＝１× ＋ ＝ ， ＝２， （ ＝２）＝ ＝（１－ ）－（１－ ） ＋４ （１－ － ）， １－ ＝ ， ∈（０，１），
４ ４ ４ ４
所以Ｄ Ｘ １
(
７
) ２
３
(
７
) ２
３
Ｄ
（
Ｘ
）＝
ｔ
－
ｔ２
＋４
ａ
（
ｔ
－
ａ
）≤
１
，
ａ
∈（０，
ｔ
），
（ ）＝ × １－ ＋ × ２－ ＝ ， ３
４ ４ ４ ４ １６
则Ｄ Ｘ ３ ３ 故选
故
４
ａ２
－４
ａｔ
＋
ｔ２
－
ｔ
＋
１
≥０
在ａ
∈（０，
ｔ
）
上恒成立
，
（２ －１）＝４× ＝ ， Ｂ． ３
２．（２０２０全国高三月 １６ 考， ４ ８）已知甲盒中有
２
个红球
，１
个蓝球
，
当ａ
＝
ｔ 时Ｄ
（
Ｘ
）
有最小值
，
故
４
( ｔ ) ２
－４×
ｔ
×
ｔ
＋
ｔ２
－
ｔ
＋
１
≥０，
乙盒中有 个红球 个蓝球 从甲 乙两个盒中各取 球放入 ２ ２ ２ ３
１ ，２ ， 、 １
原来为空的丙盒中 现从甲盒中取 个球 记红球的个数为ξ 故ｔ １ 即 ｂ １ 所以ｂ ２ 故选 ．
， １ ， １， ≤ ， １－ ≤ ， ≥ ， Ｄ
从乙盒中取 个球 记红球的个数为ξ 从丙盒中取 个球 记 ３ ３ ３
１ ， ２， １ ， ４．（２０２０安徽蚌埠三模，８）开学后 某学校食堂为了减少师生就
红球的个数为ξ 则下列说法正确的是 ，
３， （ ） 餐排队时间 特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种．已
Ｅ ξ Ｅ ξ Ｅ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ ，
Ａ． （ １）＞ （ ３）＞ （ ２）， （ １）＝ （ ２）＞ （ ３） 知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐
Ｅ ξ Ｅ ξ Ｅ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ
Ｂ． （ １）＜ （ ３）＜ （ ２）， （ １）＝ （ ２）＞ （ ３） 中选择一种 米饭套餐的价格是每份 元 面食套餐的价格是
Ｅ ξ Ｅ ξ Ｅ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ ， １５ ，
Ｃ． （ １）＞ （ ３）＞ （ ２）， （ １）＝ （ ２）＜ （ ３） 每份 元 如果小明当天选择了某种套餐 他第二天会有 ％
Ｅ ξ Ｅ ξ Ｅ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ １０ ， ， ８０
Ｄ． （ １）＜ （ ３）＜ （ ２）， （ １）＝ （ ２）＜ （ ３） 的可能性换另一种类型的套餐 假如第 天小明选择了米饭套
答案 Ｃ 本题考查离散型随机变量的分布列 数学期望和 ， １
、
方差的计算 考查运算能力和逻辑推理能力．
餐
，
第ｎ天选择米饭套餐的概率为ｐ
ｎ，
给出以下论述
：
，
随机变量ξ
１
的可能取值为
０，１， ①
小
ｐ
明同
． ｐ
学第二
．
天一定
ｐ
选择
ｎ
面食套
ｎ
餐
Ｎ ；②
ｐ
３＝０
．
６８；
Ｐ ξ ２ １ １ Ｐ ξ １ ２ １ ２ ③ ｎ＝０２ ｎ －１＋０８（１－ ｎ －１）（ ≥２， ∈ ）；
（ １＝０）＝
３
×
２
＝
３
， （ １＝１）＝
３
×１＋
３
×
２
＝
３
，
前ｎ天小明同学午餐花费的总费用的数学期望为２５ｎ ２５
④ ＋ －
故Ｅ ξ ２ Ｄ ξ ２ ２ １６
（ １）＝ ， （ １）＝ ， ( )ｎ
３ ９ ２５ ３ ．
－
随机变量 ξ 的可能取值为 Ｐ ξ ２ １ １ １６ ５
２ ０，１， （ ２＝０）＝ × ＋ ×１＝ 其中正确的是
３ ２ ３ （ ）
２ Ｐ ξ ２ １ １ 故Ｅ ξ １ Ｄ ξ ２ ． Ａ．②④ Ｂ．①②③ Ｃ．③④ Ｄ．②③④
， （ ２＝１）＝ × ＝ ， （ ２）＝ ， （ ２）＝ 答案 Ｄ 在 中 第 天小明选择了米饭套餐 则小明第二
３ ３ ２ ３ ３ ９ ① ， １ ，
随机变量ξ 的可能取值为 当ξ 时 丙盒中无红球或 天有 ％的可能选择面食套餐 故 错误
３ ０，１， ３＝０ ， ８０ ， ① ；
有一个红球 在 中 第 天小明选择了米饭套餐 ｐ ． ． ．
， ② ，∵ １ ，∴ ３＝０ ８×０ ８＋０ ２×
无红球的概率为 １ × ２ ＝ ２ ， 有一个红球的概率为 ２ × ２ ＋ １ ０ ． ２＝０ ． ６８， 故 ② 正确 ；
３ ３ ９ ３ ３ ３ 在 中 小明当天选择了某种套餐 他第二天会有 ％的可
③ ，∵ ， ８０
１ ５ 能性换另一种类型的套餐 假如第 天小明选择了米饭套餐
× ＝ ， ， １ ，
３ ９ 第ｎ天选择米饭套餐的概率为ｐ ｐ ． ｐ ． ｐ
ｎ，∴ ｎ＝０ ２ ｎ －１＋０ ８（１－ ｎ －１）
故Ｐ ξ ２ ５ １ １ ｎ ｎ Ｎ 故 正确
（ ３＝０）＝ ×１＋ × ＝ ， （ ≥２， ∈ ）， ③ ；
９ ９ ２ ２ 在 中 当ｎ 时 前ｎ天小明午餐花费的总费用的数学期望
④ ， ＝１ ，
Ｐ ξ １ １ ( )
（ ３＝１）＝１－ ＝ ， 为 ２５ ２５ ２５ ３ １ ．
２ ２ １５＝ ×１＋ － × －
２ １６ １６ ５
故Ｅ ξ １ Ｄ ξ １ ． 当ｎ 时 前ｎ天小明午餐花费的总费用的数学期望为
（ ３）＝ ， （ ３）＝ ＝２ ，
２ ４ ( )
综上 Ｅ ξ Ｅ ξ Ｅ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ ．故选 ． ２
， （ １）＞ （ ３）＞ （ ２）， （ １）＝ （ ２）＜ （ ３） Ｃ １５＋１５×０ ． ２＋１０×０ ． ８＝ ２５ ×２＋ ２５ － ２５ × － ３ ．
３．（２０２０河南安阳模拟，１０）已知随机变量Ｘ的分布列如表 ２ １６ １６ ５
： 当ｎ 时 前ｎ天小明午餐花费的总费用的数学期望为
Ｘ ＝３ ，
－１ ０ １
． ． ． ． ２５ ２５ ２５
Ｐ ａ ｂ ｃ １５＋１５×０ ２＋１０×０ ８＋１５×０ ６８＋１０×０ ３２＝ ×３＋ － ×
２ １６ １６
( )
３
其中ａ ｂ ｃ ．若Ｘ的方差Ｄ Ｘ １ 对所有ａ ｂ 都成 ３ ．由此猜想前ｎ天小明午餐花费的总费用的数学期望
， ， ＞０ （ ）≤ ∈（０，１－ ） －
３ ５
专题十一 概率与统计 ７５９
( )ｎ
为２５ｎ ２５ ２５ ３ 故 正确．故选 ． 解析 由题意得ｘ ｙ为正实数 并且 １ １ ３
＋ － － ， ④ Ｄ ， ， ｘ ＋ ｙ ＋ｘｙ＝１，
２ １６ １６ ５
思路分析 在 中 小明同学第二天有 ％的可能性选择面 整理得ｘｙ ｘ ｙ
① ， ８０ ＝ ＋ ＋３①，
食套餐 故 错误 在 中 ｐ ． ． ． ． ． 故 正 ｘｙ
， ① ； ② ， ３＝０８×０８＋０２×０２＝０６８， ② 又Ｅξ ｘ １ ｙ １ ３
确 在 中 推导出ｐ ． ｐ ． ｐ ｎ ｎ Ｎ 故 ＝ · ｘ ＋ · ｙ ＋ ·ｘｙ＝３，
；
正确
③
分
，
别求出ｎ
ｎ＝０ ２ ｎ
时
－１＋
前
０ ８
ｎ
（
天
１－
小
ｎ
明
－１）
同
（
学
≥
午
２
餐
，
花
∈
费
）
的
，
总 (
３
ｘｙ) ２ ｘｙ
③ ； ＝１，２，３ ， Ｅξ２ ｘ２ １ ｙ２ １ ３ ｘ ｙ
费用的数学期望 由此猜想前ｎ天小明同学午餐花费的总费用 ＝ · ｘ ＋ · ｙ ＋ ·ｘｙ＝ ＋ ＋ ，
， ３ ３
( )ｎ ｘｙ
的数学期望为２５ｎ ２５ ２５ ３ 故 正确． 结合Ｄξ Ｅξ２ Ｅξ ２ 得ｘ ｙ ．
＋ － － ， ④ ＝ －（ ） ≥０ ＋ ＋ －９≥０②
２ １６ １６ ５ ３
５．（２０１８浙江宁波５月模拟，１３）已知随机变量Ｘ的分布列如 ｘｙ
由 得ｘｙ
下表 ①② ＋ －３≥９，
： ３
所以ｘｙ 当且仅当ｘ ｙ 时等号成立
Ｘ ａ ≥９， ＝ ＝３ ，
２ ３ ４ 故ｘｙ的最小值是 ．
９
Ｐ １ ｂ １ １ ８．（２０２０吉林梅河口五中模拟，１９）在庆祝澳门回归祖国 周
２０
３ ６ ４ 年之际 澳门特别行政区政府为了解人们对回归 年的幸福
若ＥＸ 则ａ ＤＸ ． ， ２０
＝２， ＝ ； ＝ 指数 随机选择了 位市民进行了调查 将他们的年龄 单
， １００ ， （
答案 ５ 位 岁 分成 段
０； ： ） ６ ：［２０，３０），［３０，４０），［４０，５０），［５０，６０），［６０，
２ 并绘制了如图所示的频率分布直方图．
７０），［７０，８０］，
解析 由题意得 １ ｂ １ １ ｂ １ ． 现从年龄在 范围内的人员中
＋ ＋ ＋ ＝１，∴ ＝ （１） ［２０，３０），［３０，４０），［４０，５０） ，
３ ６ ４ ４ 按分层抽样的方法抽取 人 再从这 人中随机选取 人
８ ， ８ ３
所以ＥＸ ａ １ １ １ １ 进行座谈 用ξ表示年龄在 范围内的人数 求ξ的
＝ × ＋２× ＋３× ＋４× ＝２， ， ［３０，４０） ，
３ ４ ６ ４ 分布列和数学期望
；
解得ａ ．所以ＤＸ ２ １ ２ １ ２ １ 若将样本的频率视作概率 记Ｘ表示用随机抽样的方法从
＝０ ＝（０－２） × ＋（２－２） × ＋（３－２） × ＋（４ （２） ，
３ ４ ６ 该地区抽取 名市民进行调查 其中年龄在 范围
２０ ， ［３０，５０）
－２） ２ × １ ＝ ５ ． 内的人数．当 Ｐ Ｘ ｋ ｋ 最大时 求 ｋ
４ ２ （ ＝ ）（ ＝０，１，２，…，２０） ，
６．（２０１７安徽蚌埠二模，１６）赌博有陷阱．某种赌博游戏每局的 的值．
规则是 参与者从标有 的小球中随机摸取一个 除
： ５，６，７，８，９ （
数字不同外 其余均相同 将小球上的数字作为其赌金 单
， ）， （
位 元 然后放回该小球 再随机摸取两个小球 将两个小球
： ）， ， ，
上数字之差的绝对值的 倍作为其奖金 单位 元 ．若随机变
２ （ ： ）
量ξ和η分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金
，
则Ｅξ Ｅη 元．
－ ＝
答案
３
解析 ξ的分布列为 解析 按分层抽样的方法抽取的 人中
（１） ８ ，
ξ ５ ６ ７ ８ ９ 年龄在 范围内的人数为 ０ ． ００５
［２０，３０） ． ． ． ×８＝１，
０００５＋００１０＋００２５
Ｐ １ １ １ １ １ ．
５ ５ ５ ５ ５ 年龄在 范围内的人数为 ００１０
［３０，４０） ． ． ． ×８＝２，
０００５＋００１０＋００２５
Ｅξ １ 元 ． ．
＝ ×（５＋６＋７＋８＋９）＝７（ ） 年龄在 范围内的人数为 ００２５
５ ［４０，５０） ． ． ． ×８＝５，
η的分布列为 ０００５＋００１０＋００２５
３ ０ ２ １
η ２ ４ ６ ８ ∴ ξ的取值为 ０，１，２， 且Ｐ （ ξ ＝０）＝ Ｃ６Ｃ ３ ２ ＝ ５ ， Ｐ （ ξ ＝１）＝ Ｃ６Ｃ ３ ２ ＝
Ｃ８ １４ Ｃ８
Ｐ ２ ３ １ １ １ ２
１５ Ｐ ξ Ｃ６Ｃ２ ３ ．
５ １０ ５ １０ ， （ ＝２）＝ ３ ＝
２８ Ｃ８ ２８
Ｅη ＝２× ２ ＋４× ３ ＋６× １ ＋８× １ ＝４（ 元 ）， ∴
ξ的分布列为
５ １０ ５ １０ ξ
Ｅξ Ｅη 元 ．故答案为 ． ０ １ ２
∴ － ＝７－４＝３（ ） ３
７．（２０２０５·３ 原创题）已知离散型随机变量 ξ 的分布列如 Ｐ ５ １５ ３
下表 １４ ２８ ２８
：
ｘｙ 则Ｅ ξ ５ １５ ３ ３ ． 分
ξ ｘ ｙ （ ）＝０× ＋１× ＋２× ＝ （６ ）
３ １４ ２８ ２８ ４
由题意知 Ｘ服从二项分布 由频率分布直方图可知 年龄
Ｐ １ １ ３ （２） ， ， ，
ｘ ｙ ｘｙ 在 范围内的频率为 ． ． ． 则Ｘ Ｂ
［３０，５０） （０ ０１０＋０ ０２５）×１０＝０ ３５， ～
则ｘｙ的最小值是 ． ． 且Ｐ Ｘ ｋ ｋ ． ｋ ． ２０－ ｋ ｋ
（２０，０３５）， （ ＝ ）＝Ｃ２０（０３５） （１－０３５） （ ＝０，１，２，３，
答案 ．
９ …，２０）
７６０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
Ｐ Ｘ ｋ ｋ ． ｋ ． ２０－ ｋ ｋ 成为烘焙作品的衡量标准．某网红甜品店生产几种甜品 由于
设ｔ （ ＝ ） Ｃ２０（０３５） （１－０３５） ７（２１－ ）． ，
＝Ｐ （ Ｘ ＝ ｋ －１） ＝ Ｃ２ ｋ － ０ １ （０ ． ３５） ｋ －１ （１－０ ． ３５） ２１－ ｋ＝ １３ ｋ 口味独特 ， 受到越来越多人的喜爱 ， 好多外地的游客专门到该
若ｔ 则ｋ ． Ｐ Ｘ ｋ Ｐ Ｘ ｋ 甜品店来品尝 打卡 已知该甜品店同一种甜品售价相同
＞１， ＜７３５， （ ＝ ）＞ （ ＝ －１）； “ ”， ，
若ｔ 则ｋ ． Ｐ Ｘ ｋ Ｐ Ｘ ｋ 该店为了了解每个种类的甜品销售情况 专门收集了该店这
＜１， ＞７３５， （ ＝ ）＜ （ ＝ －１）， ，
ｋ 时 Ｐ Ｘ ｋ 最大． 分 个月里五种网红甜品的销售情况 统计后得如下表格
∴ ＝７ ， （ ＝ ） （１２ ） ， ：
９．（２０２０云南昆明民族中学高三１０月适应性月考，１８）昆明市
甜品种类 Ａ甜品 Ｂ甜品 Ｃ甜品 Ｄ甜品 Ｅ甜品
某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空
销售总额 万元
气质量指数与空气质量等级对应关系如下表 假设该区域空 （ ） １０ ５ ２０ ２０ １２
（ 销售量 千份
气质量指数不会超过 该社团将该校区在 年 天 （ ） ５ ２ １０ ５ ８
３００）， ２０１８ １００
的空气质量指数监测数据作为样本 绘制的频率分布直方图如 利润率 ． ． ． ． ．
０４ ０２ ０１５ ０２５ ０２
，
图 把该直方图所得频率估计为概率． 利润率是指 一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与
， （ ：
空气质 该甜品的销售价格的比值．
）
量指数 （０，５０］ （５０，１００］ （１００，１５０］ （１５０，２００］ （２００，２５０］ （２５０，３００］ 从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份 求这份甜品
（１） ，
空气质 级轻度 级中度 级重度 级严重 的利润率高于 ． 的概率
级优 级良 ３ ４ ５ ６ ０２ ；
量等级 １ ２ 污染 污染 污染 污染 从该甜品店的五种网红甜品中随机选取 种不同的甜
（２） ２
品 求这两种甜品的单价相同的概率
， ；
假设每类甜品利润率不变 销售一份Ａ甜品获利ｘ 元 销
（３） ， １ ，
售一份Ｂ甜品获利ｘ 元 销售一份Ｅ甜品获利 ｘ
２ ，……， ５
元 依据上表统计数据 随机销售一份甜品获利的期望为
， ，
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
Ｅ ｘ 设ｘ １＋ ２＋ ３＋ ４＋ ５ 试判断Ｅ ｘ 与ｘ的大小．
（ ）， ＝ ， （ ）
５
解析 由题意知 本月共卖出 万份甜品
（１） ， ３ ，
请估算 年 以 天计算 全年空气质量优良的天数 利润率高于 ． 的是Ａ甜品和Ｄ甜品 共有 万份．
０２ ， １
（１） ２０１９ （ ３６５ ）
未满一天按一天计算 设 这份甜品的利润率高于 ． 为事件Ａ
“ ０２” ，
（ ）；
用分层抽样的方法共抽取 天 则空气质量指数在
（２） １０ ， （０， 则Ｐ （ Ａ ）＝ １ ． （３ 分 ）
的天数中各应抽取几天
３
５
已
０］
知
，
空
（５
气
０，
质
１０
量
０］
等
，（
级
１０
为
０，１５
级
０］
时不需要净化空气 空气
？
质量等
由 销售总额除以销售量得到甜品的销售单价 可知Ａ甜
（２） “ ”
（３）
级为 级时每天需净化
１
空气的费用为 元
，
空气质量
品与Ｃ甜品的销售单价均为 元
２０ ，
等级为 ２
３
级时每天需净化空气的费用为 ２
４
００
０
０
００
元 ， ．若在
（２）
从
方
五
法
种网红甜品中随机选取
２
种不同的甜品共有
Ｃ
２
５
种不同
的条件下 从空气质量指数在 的天数中任意抽取
，
两天 求这
，
两天的净化空气总费
（０
用
，１
Ｘ
５０
的
］
分布列．
设
“
两种甜品的单价相同
”
为事件Ｂ
，
，
解析 由题意 根据直方图可估算 年 以 天计 ２
（１） ， ２０１９ （ ３６５ 设Ｐ Ｂ Ｃ２ １ ． 分
算 全年空气质量优良的天数为 （ ）＝ ２ ＝ （６ ）
） Ｃ５ １０
． ． ． ． 天 ． 由题意可得 ｘ可能取的值为 ． 分
（０１＋０２）×３６５＝０３×３６５＝１０９５≈１１０（ ） （３） ， ８，５，３，１０ （７ ）
由频率分布直方图 可得空气质量指数在 的概率为
（２） ， （０，５０］ Ｐ ｘ ５ １ Ｐ ｘ ２ １
５０×０ ． ００２＝０ ． １， 所以 １０ 天中应抽取的天数为 １０×０ ． １＝１ 天 ， 空 （ ＝８）＝ ３０ ＝ ６ ， （ ＝５）＝ ３０ ＝ １５ ，
气质量指数在 （５０，１００］ 的概率为 ５０×０ ． ００４＝０ ． ２， 所以 １０ 天中 Ｐ （ ｘ ＝３）＝ １０＋８ ＝ ３ ， Ｐ （ ｘ ＝１０）＝ ５ ＝ １ ，
应抽取的天数为 ． 天 空气质量指数在 的 ３０ ５ ３０ ６
１０×０ ２＝２ ， （１００，１５０］
概率为 ． ． 所以 天中应抽取的天数为 ． 因此Ｅ ｘ １ １ ３ １ ７７． 分
５０×０００６＝０３， １０ １０×０ ３＝ （ ）＝ ×８＋ ×５＋ ×３＋ ×１０＝ （１０ ）
天 ６ １５ ５ ６ １５
３ ，
所以空气质量指数在 的天数中 又ｘ ８＋５＋３＋１０＋３ ２９
（０，５０］，（５０，１００］，（１００，１５０］ ＝ ＝ ，
各应抽取 天． ５ ５
１，２，３ 所以Ｅ ｘ ｘ． 分
由题意知Ｘ的取值为 ． （ ）＜ （１２ ）
（３） ２０００，４０００，６０００，８０００ １１．（２０２０江西南昌四校联考，２０）工作人员需进入核电站完成
１ ２ １
Ｐ Ｘ Ｃ２ ２ Ｐ Ｘ Ｃ２＋Ｃ３ ４ 某项具有高辐射危险的任务 每次只派一个人进去 且每个人
（ ＝２０００）＝ ２ ＝ ， （ ＝４０００）＝ ２ ＝ ， ， ，
Ｃ６ １５ Ｃ６ １５ 只派一次 工作时间不超过 分钟 如果有一个人 分钟内
１ １ ２ ， １０ ， １０
Ｐ Ｘ Ｃ２Ｃ３ ２ Ｐ Ｘ Ｃ３ １ 不能完成任务则撤出 再派下一个人．现在一共只有甲 乙 丙
（ ＝６０００）＝ ２ ＝ ， （ ＝８０００）＝ ２ ＝ ， ， 、 、
Ｃ６ ５ Ｃ６ ５ 三个人可派 他们各自能完成任务的概率分别为ｐ ｐ ｐ 若
所以Ｘ的分布列为 ， １， ２， ３，
ｐ ｐ ｐ 互不相等 假定各人能否完成任务的事件相互独立．
Ｘ １， 如 ２， 果 ３ 按甲在先 ， 乙次之 丙最后的顺序派人 求任务能被
２０００ ４０００ ６０００ ８０００
（１） ， ， ，
完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序 任务能被
Ｐ ２ ４ ２ １ ，
完成的概率是否发生变化
１５ １５ ５ ５
？
１０．（２０２０河南百校联盟９月联合检测，２２）随着甜品的不断创 若按某指定顺序派人 这三个人各自能完成任务的概率
（２） ，
新 现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人 有颜值 有 依次为ｑ ｑ ｑ 其中ｑ ｑ ｑ 是ｐ ｐ ｐ 的一个排列
， ， 、 １， ２， ３， １， ２， ３ １， ２， ３ ，
口味 有趣味的产品更容易得到甜品爱好者的喜欢 创新已经 求所需派出人员数目Ｘ的分布列和均值 Ｅ Ｘ 数学期
、 ， （ ）（
专题十一 概率与统计 ７６１
望 求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数
）； （１）
假定 ｐ ｐ ｐ 试分析以怎样的先后顺序派出人员 可 恰好为 的概率
（３） １＞ １＞ ２＞ ３， ， ３０ ；
使所需派出的人员数目的均值 数学期望 达到最小． 记Ｘ表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级
（ ） （２）
解析 本题考查了随机变量的概率的求解和应用 通过计 滤芯总数 求Ｘ的分布列及数学期望
， ， ；
算期望进行决策 考查学生的应用意识 体现了逻辑推理和数 记ｍ ｎ分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一
， ， （３） ，
学运算的核心素养． 级滤芯和二级滤芯的个数．若ｍ ｎ 且ｎ 以
＋ ＝２８， ∈｛５，６｝，
任务不能被完成的概率 ｐ ｐ ｐ 为定值 该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用
（１） （１－ １）（１－ ２）（１－ ３） ，
所以任务能被完成的概率与三个人被派出的顺序无关 的期望为决策依据 试确定ｍ ｎ的值．
， ， ，
任务能被完成的概率为 ｐ ｐ ｐ ． 分 解析 由题意可知 若一套净水系统在使用期内需要
１－（１－ １）（１－ ２）（１－ ３） （３ ） （１） ，
Ｘ的取值为 更换的各级滤芯总个数恰好为 则该套净水系统中的两个
（２） １，２，３， ３０，
Ｐ Ｘ ｑ Ｐ Ｘ ｑ ｑ Ｐ Ｘ ｑ ｑ 一级过滤器均需更换 个滤芯 二级过滤器需要更换 个滤
（ ＝１）＝ １， （ ＝２）＝（１－ １） ２， （ ＝３）＝（１－ １）（１－ ２）， １２ ， ６
Ｅ Ｘ ｑ ｑ ｑ ｑ ｑ ｑ ｑ ｑ ｑ ． 分 芯．设 一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数
（ ）＝ １＋２（１－ １） ２＋３（１－ １）（１－ ２）＝３－２ １－ ２＋ １ ２ （７ ） “
Ｅ Ｘ ｑ ｑ ｑ ｑ ｑ 恰好为 为事件Ａ．因为一个一级过滤器需要更换 个滤
（３） （ ）＝３－（ １＋ ２）＋ １ ２－ １， ３０” １２
若交换前两个人的派出顺序 则变为 ｑ ｑ ｑ ｑ ｑ 芯的概率为 ． 一个二级过滤器需要更换 个滤芯的概率为
， ３－（ １＋ ２）＋ １ ２－ ２， ０４， ６
由此可见 当 ｑ ｑ 时 交换前两个人的派出顺序可增大 ． 所以Ｐ Ａ ． ． ． ． ． 分
， １＞ ２ ， ０４， （ ）＝０４×０４×０４＝００６４ （３ ）
均值 由柱状图可知 在使用期内一个一级过滤器需要更换的
； （２） ，
若保持第一人派出的人选不变 交换后两个人的派出顺序 滤芯个数为 的概率分别为 ． ． ． ．
， ， １０，１１，１２ ０２，０４，０４
Ｅ Ｘ 可写为 ｑ ｑ ｑ 变换后两个人的派出顺序则 由题意知 Ｘ可能的取值为
（ ） ３－２ １－（１－ １） ２， ， ２０，２１，２２，２３，２４，
变为 ｑ ｑ ｑ Ｐ Ｘ ． ． ． Ｐ Ｘ ． ． ．
３－２ １－（１－ １） ３， （ ＝２０）＝０２×０２＝００４， （ ＝２１）＝０２×０４×２＝０１６，
当ｑ ｑ 时 交换后两个人的派出顺序可增大均值 Ｐ Ｘ ． ． ． ． ．
２＞ ３ ， ， （ ＝２２）＝０４×０４＋０２×０４×２＝０３２，
故完成任务概率大的人先被派出 可使所需派出的人员数目
Ｐ Ｘ ． ． ． Ｐ Ｘ ． ． ． ．
， （ ＝２３）＝０４×０４×２＝０３２， （ ＝２４）＝０４×０４＝０１６
的均值 数学期望 达到最小． 分
分
（ ） （１２ ）
（５ ）
１２．（２０１９山西朔州二模，１９）某客户准备在家中安装一套净水
所以Ｘ的分布列为
系统 该系统为三级过滤 使用寿命为十年．如图所示 两个一
， ， ， Ｘ
级过滤器采用并联安装 二级过滤器与三级过滤器为串联 ２０ ２１ ２２ ２３ ２４
，
安装． Ｐ ０ ． ０４ ０ ． １６ ０ ． ３２ ０ ． ３２ ０ ． １６
ＥＸ ． ． ． ． ． ． ．
＝２０×００４＋２１×０１６＋２２×０３２＋２３×０３２＋２４×０１６＝２２４
分
（７ ）
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现．在使用过程中
，
一
（３）
若ｍ
＝２２，
ｎ
＝６，
设该客户在十年使用期内购买一级滤芯
级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换 每个滤芯是否需要更 所需总费用为Ｙ 元 则
（ １ ，
换相互独立 三级滤芯无需更换 若客户在安装净水系统的 Ｙ
）， ， １ １７６０ １９６０ ２１６０
同时购买滤芯 则一级滤芯每个 元 二级滤芯每个 元．
， ８０ ， １６０ Ｐ ． ． ．
若客户在使用过程中单独购买滤芯 则一级滤芯每个 元 ０５２ ０３２ ０１６
， ２００ ， ＥＹ ． ． ． ．
二级滤芯每个 元．现需决策安装净水系统的同时购滤芯 １＝１７６０×０５２＋１９６０×０３２＋２１６０×０１６＝１８８８
４００ 设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Ｙ 元
的数量 为此参考了根据 套该款净水系统在十年使用期 ２ ，
， １００ 则Ｙ ＥＹ ．
内更换滤芯的相关数据制成的图表 其中图是根据 个一 ２＝６×１６０＝９６０， ２＝１×９６０＝９６０
， ２００ 所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望
级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图 表是根据 个二
， １００ 为ＥＹ ＥＹ 元． 分
级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表． １＋ ２＝１８８８＋９６０＝２８４８ （９ ）
若ｍ ｎ 设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需
＝２３， ＝５，
总费用为Ｚ 元 则
１ ，
Ｚ
１ １８４０ ２０４０
Ｐ ． ．
０８４ ０１６
ＥＺ ． ． ． 分
１＝１８４０×０８４＋２０４０×０１６＝１８７２ （１０ ）
设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为 Ｚ
２
元 则
，
Ｚ
２ ８００ １２００
Ｐ ． ．
０６ ０４
ＥＺ ． ． ．
二级滤芯更换频数分布表 ２＝８００×０６＋１２００×０４＝９６０
所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望
二级滤芯更换的个数
５ ６ 为ＥＺ ＥＺ 元．
频数 因为
１＋ ２＝１８７２＋９６０＝２８３２
６０ ４０ ２８３２＜２８４８，
以 个一级过滤器更换滤芯的频率代替 个一级过滤器更 故ｍ ｎ的值分别为 ． 分
２００ １ ， ２３，５ （１２ ）
换滤芯发生的概率 以 个二级过滤器更换滤芯的频率代 思路分析 一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤
， １００ （１）
替 个二级过滤器更换滤芯发生的概率． 芯总个数恰好为 则该套净水系统中的两个一级过滤器均
１ ３０，
７６２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
需要更换 个滤芯 二级过滤器需要更换 个滤芯 设 一套 率分别为 ． ． ． 由题意知Ｘ的可能取值为
１２ ， ６ ， “ ０２，０４，０ ４， ２０，２１，２２，
净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 分别求出相应的概率 由此能求出Ｘ的分布列和ＥＸ．
３０” ２３，２４， ，
为事件Ａ 由一个一级过滤器需要更换 个滤芯的概率为 ． ｍ ｎ ｎ 当ｍ ｎ 时 求出该客户在十
， １２ ０ （３） ＋ ＝２８， ∈｛５，６｝， ＝２２， ＝６ ，
一个二级过滤器需要更换 个滤芯的概率为 ． 求出一套 年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望 当ｍ ｎ
４， ６ ０４， ， ＝２３， ＝５
净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 时 求出该用户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的
３０ ，
的概率． 期望 比较后求出ｍ ｎ的值．
， ，
一个一级过滤器需要更换滤芯的个数为 的概
（２） １０，１１，１２
