文档文本内容
专
题
十
一
概
率
与
统
计
／
１２７
１１．２ 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
§
一般地 在含有Ｍ件次品的Ｎ件产品中任取ｎ件 其中恰有
， ，
ｋ ｎ ｋ
Ｘ件次品 则Ｐ Ｘ ｋ ＣＭ·ＣＮ－ － Ｍ ｋ ｍ 其中 ｍ
， （ ＝ ）＝ ｎ （ ＝０，１，２，…， ）， ＝
考点一 离散型随机变量及其分布列
ＣＮ
Ｍ ｎ 且ｎ Ｎ Ｍ Ｎ ｎ Ｍ Ｎ Ｎ∗ 称分布列
ｍｉｎ｛ ， ｝， ≤ ， ≤ ， 、 、 ∈ ，
１．离散型随机变量的分布列
Ｘ ｍ
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示 那么这样 ０ １ …
的变 （ 量 １ 叫 ） 做随机变量 按一定次序一一列出 这样的随 ， 机变量叫 Ｐ Ｃ ０Ｍ·Ｃ ｎ Ｎ－ － ０Ｍ Ｃ １ＭＣＮ ｎ－ － １Ｍ Ｃ ｍ ＭＣ ｎ Ｎ－ － ｍ Ｍ
， ， ｎ ｎ … ｎ
做离散型随机变量．
ＣＮ ＣＮ ＣＮ
为超几何分布列．
一般地 若离散型随机变量Ｘ可能取的不同值为ｘ ｘ
（２） ， １， ２，
…， ｘ ｉ，…， ｘ ｎ， Ｘ取每一个值ｘ ｉ（ ｉ ＝１，２，…， ｎ ） 的概率Ｐ （ Ｘ ＝ ｘ ｉ）＝ 考点二 离散型随机变量的均值与方差
ｐ 则下表称为随机变量Ｘ的概率分布列 简称为Ｘ的分布列．
ｉ， ， １．均值与方差的定义
Ｘ ｘ １ ｘ ２ … ｘ ｉ … ｘ ｎ 若离散型随机变量Ｘ的分布列为
Ｐ ｐ １ ｐ ２ … ｐ ｉ … ｐ ｎ Ｘ ｘ １ ｘ ２ … ｘ ｉ … ｘ ｎ
２．离散型随机变量的分布列的性质 Ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ
１ ２ … ｉ … ｎ
根据概率的性质 离散型随机变量的分布列具有如下性质
， ： 均值
ｐ ｉ ｎ （１）
（１） ｉ≥０， ＝１，２，…， ； 称Ｅ Ｘ ｘ ｐ ｘ ｐ ｘｐ ｘ ｐ 为随机变量Ｘ的均值或
ｐ ｐ ｐ ｐ （ ）＝ １ １＋ ２ ２＋…＋ ｉ ｉ＋…＋ ｎ ｎ
（２） １＋ ２＋…＋ ｉ＋…＋ ｎ＝１； 数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（３）
Ｐ
（
ｘ
ｉ≤
Ｘ
≤
ｘ
ｊ）＝
ｐ
ｉ＋
ｐ
ｉ ＋１＋…＋
ｐ
ｊ（
ｉ
＜
ｊ且ｉ
，
ｊ
∈
Ｎ∗
）
．
（２）
方
，
差 ∙∙∙∙
温馨提示 分布列的性质 的作用 不仅可以用来检查 ｎ
所写出的分布列 是否有误
，
还可
（
以
２
求
）
分布列
：
中的某些参数．
称Ｄ
（
Ｘ
）＝ ∑ｉ＝
１
（
ｘ
ｉ－
Ｅ
（
Ｘ
））
２ｐ
ｉ
为随机变量 Ｘ 的方差
，
它刻
３．常见的离散型随机变量的概率分布模型 画了随机变量Ｘ与其均值Ｅ Ｘ 的平均偏离程度 并称 Ｄ Ｘ
（ ） ， （ ）
两点分布 为随机变量Ｘ的标准差 记为σ ｘ ．
（１） ， （ ）
若随机变量Ｘ的分布列为 ２．均值与方差的性质
Ｘ ０ １ （１） Ｅ （ ａＸ ＋ ｂ ）＝① ａＥ（Ｘ） ＋ ｂ ．
Ｄ ａＸ ｂ ａ２Ｄ（Ｘ） ． ａ ｂ为实数
Ｐ ｐ ｐ （２） （ ＋ ）＝② （ ， ）
１－ ３．两点分布的均值、方差
则称Ｘ服从两点分布．
若Ｘ服从两点分布 则Ｅ Ｘ ｐ Ｄ Ｘ ｐ ｐ ．
超几何分布 ， （ ）＝ ， （ ）＝ （１－ ）
（２）
考法 求离散型随机变量的期望与方差的方法
例 （２０２０山东泰安６ 月三模）某水果批发商经销某
种水果 以下简称Ａ水果 购入价为 元／袋 并以 元／袋
（ ）， ３００ ， ３６０
的价格售出 若前 小时内所购进的Ａ水果没有售完 则批发商 现以记录的 天的Ａ水果在每天的前 小时内的销售量 ， ８ ， １００ ８
将没售完的Ａ水果以 元／袋的价格低价处理完毕 根据经 的频率为Ａ水果在一天的前 小时内的销售量的概率 记Ｘ表
２２０ （ ８ ，
验 小时内完全能够把Ａ水果低价处理完 且当天不再购进 ． 示Ａ水果在一天前 小时内的销售量 ｎ表示水果批发商一天批
，２ ， ） ８ ，
该水果批发商根据往年的销量 统计了 天Ａ水果在每天的 发Ａ水果的袋数．
， １００
前 小时的销售量 制成如下频数分布条形图． 求Ｘ的分布列
８ ， （１） ；
以日利润的期望为决策依据 在ｎ 与ｎ 中选其
（２） ， ＝１５ ＝１６
一 应选用哪个
， ？
解题导引 以频率作为概率 由条形图可得分布列．
（１） ，
求出ｎ ｎ 时的期望 比较大小得结论．
（２） ＝１５， ＝１６ ，
A
版
高
考
数
学
／
１２８
解析 （ ）根据条形图，可得Ａ水果在一天的前 小时内的 比为 ，所以在各组抽取的天数分别为 ， ， ．
１ ８ ２ ∶ ３ ∶ ３ ２ ３ ３
销售量分别为 ， ， ， 袋的频率分别是 ． ， ． ， ． 和 ． ， Ｘ的所有可能取值为 ， ， ，
１ ２ ３
１４ １５ １６ １７ ０２ ０３ ０４ ０１
所以Ｘ的分布列为
Ｐ（Ｘ ） ２ ２ １ ，
＝１ ＝
３
＝ ＝
Ｘ Ｃ８ ５６ ２８
１４ １５ １６ １７
Ｐ（Ｘ ） ２×３×３ １８ ９ ，
Ｐ
０
．
２ ０
．
３ ０
．
４ ０
．
１
＝３ ＝
３
＝ ＝
Ｃ８ ５６ ２８
（ ）当ｎ 时，设水果批发商的日利润为Ｙ元，
２ ＝１５ Ｐ（Ｘ ） １ ９ ９ ．
则Ｙ的可能取值为 ， ， ＝２ ＝１－ － ＝
７６０ ９００ ２８ ２８ １４
Ｐ（Ｙ ） ． ，Ｐ（Ｙ ） ． ， Ｘ的分布列为
＝７６０ ＝０２ ＝９００ ＝０８
所以期望Ｅ（Ｙ） ． ． ．
＝７６０×０２＋９００×０８＝８７２ Ｘ
１ ２ ３
当ｎ 时，设水果批发商的日利润为Ｚ元，
＝１６
则Ｚ的可能取值为 ， ， ， Ｐ １ ９ ９
６８０ ８２０ ９６０ ２８ １４ ２８
Ｐ（Ｚ ） ． ，Ｐ（Ｚ ） ． ，Ｐ（Ｚ ） ． ．
＝６８０ ＝０２ ＝８２０ ＝０３ ＝９６０ ＝０５
所以期望Ｅ（Ｚ） ． ． ． ． 数学期望ＥＸ １ ９ ９ １６．
＝６８０×０２＋８２０×０３＋９６０×０５＝８６２ ＝１× ＋２× ＋３× ＝
故Ｅ（Ｙ） Ｅ（Ｚ）． ２８ １４ ２８ ７
＞ 例 （２０２０河南天一“顶尖计划”第一次联考，２１）某机构
综上可知，当ｎ 时的日利润的期望大于ｎ 时的日利
＝１５ ＝１６ 组织的家庭教育活动上有一个游戏 每次由一个小孩与其一位
润的期望，故选ｎ ． ，
＝１５ 家长参与 测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏
方法总结 计算期望与方差的一般步骤 ，
中 主持人给出Ａ Ｂ Ｃ Ｄ四种食物 要求小孩根据自己的喜爱
， ， ， ， ，
理解Ｘ的意义 写出Ｘ的所有可能取值 程度对其排序 然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种
（１） ， ； ，
求Ｘ取各个值的概率 写出分布列 食物排出的序号依次为 ｘ ｘ ｘ ｘ 家长猜测的序号依次为
（２） ， ； Ａ Ｂ Ｃ Ｄ，
根据分布列 正确运用期望与方差的定义或公式进行
（３） ， ｙ Ａ ｙ Ｂ ｙ Ｃ ｙ Ｄ， 其中ｘ Ａ ｘ Ｂ ｘ Ｃ ｘ Ｄ 和ｙ Ａ ｙ Ｂ ｙ Ｃ ｙ Ｄ 都是 １，２，３，４ 四个数字的一
计算．
种排列．
经典例题教师用书
定义随机变量 Ｘ ＝（ ｘ Ａ－ ｙ Ａ） ２ ＋（ ｘ Ｂ－ ｙ Ｂ） ２ ＋（ ｘ Ｃ－ ｙ Ｃ） ２ ＋（ ｘ Ｄ－
例 （２０１８河南安阳一模，１９）某公司为了准确把握市场 做好
产品 计划 特对某产品做了市场调查 先销售该产品 天 ， 统计 ｙ Ｄ） ２ ， 用Ｘ来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．
， ： ５０ ，
发现每天的销售量ｘ分布在 内 且销售量ｘ的分布频
［５０，１００） ， 若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．
ìｎ （１）
ï ． ｎ ｘ ｎ ｎ为偶数 求他们在一轮游戏中 对四种食物排出的序号完全不同
ï －０５，１０ ≤ ＜１０（ ＋１）， ， ① ，
率ｆ ｘ í１０ 的概率
（ ）＝ïｎ ；
ï ａ ｎ ｘ ｎ ｎ为奇数． 求Ｘ的分布列 简要说明方法 不用写出详细计算过程
î － ，１０ ≤ ＜１０（ ＋１）， ② （ ， ）；
２０ 若有一组小孩和家长进行了三轮游戏 三轮的结果都满
求ａ的值并估计销售量的平均数 （２） ，
（１） ； 足Ｘ 请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解 说明理由．
若销售量大于或等于 则称该日畅销 其余为滞销．在 ＜４， ，
（２） ７０， ， 解析 （ ） 若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家
畅销日中用分层抽样的方法随机抽取 天 再从这 天中随机 １ ①
８ ， ８
抽取 天进行统计 设这 天来自Ｘ个组 求随机变量Ｘ的分布 长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序ｘ Ａ ｘ Ｂ ｘ Ｃ ｘ Ｄ 为
３ ， ３ ，
列及数学期望 将频率视为概率 ． 的情况，家长的排序有 ４ 种等可能结果，其中满足“家
（ ） １２３４ Ａ４＝２４
解题导引 长的排序与小孩排序对应位置的数字完全不同”的情况有 种，
９
分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
２１４３ ２３４１ ２４１３ ３１４２ ３４１２ ３４２１ ４１２３ ４３１２ ４３２１
家长的排序与小孩排序对应位置的数字完全不同的概率
∴
Ｐ ９ ３ ．
＝ ＝
{ ｎ ， ２４ ８
解析 （ ）由题意知 １０ ≥５０ 解得 ｎ ，ｎ可取 若小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将下角标Ａ，Ｂ，
１ （ｎ ） ， ５≤ ≤９
１０ ＋１ ≤１００ Ｃ，Ｄ按照小孩的顺序调整即可，其实这样处理后与第一种情况
， ， ， ， ，
５ ６ ７ ８ ９ 的计算结果是一致的，
ìｎ
ï ． ， ｎ ｘ （ｎ ），ｎ为偶数， 他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的
ï －０５ １０ ≤ ＜１０ ＋１ ∴
结合ｆ（ｘ） í１０
＝ïｎ 概率为 ３ ．
ï ａ， ｎ ｘ （ｎ ），ｎ为奇数，
î － １０ ≤ ＜１０ ＋１ ８
２０ 根据 的分析，同样只考虑小孩排序为 的情况，此
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ② ① １２３４
得 ６ ． ８ ． ５ ａ ７ ａ ９ ａ ， 时家长的排序一共有 种情况，
－０５ ＋ －０５ ＋ － ＋ － ＋ － ＝１ ２４
１０ １０ ２０ ２０ ２０ 列出所有情况，分别计算每种情况下的Ｘ的值，
则ａ ． ．
＝０１５ Ｘ的分布列如下表：
可知销售量分布在［ ， ），［ ， ），［ ， ），［ ， ），
５０ ６０ ６０ ７０ ７０ ８０ ８０ ９０
［ ， ）内的频率分别是 ． ， ． ， ． ， ． ， ． ， Ｘ ０ ２ ４ ６ ８ １０ １２ １４ １６ １８ ２０
９０ １００ ０１ ０１ ０２ ０３ ０３
销售量的平均数为 ． ． ． ．
∴ ５５×０１＋６５×０１＋７５×０２＋８５×０３＋９５× Ｐ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １
． ． ２４ ８ ２４ ６ １２ １２ １２ ６ ２４ ８ ２４
０３＝８１
（ ）销售量分布在［ ， ），［ ， ），［ ， ）内的频率之 这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．
２ ７０ ８０ ８０ ９０ ９０ １００ （２）
专
题
十
一
概
率
与
统
计
／
１２９
理由如下 ( ) ３
： 三轮游戏结果都满足 Ｘ 的概率为 １ １ ５
假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解 由 可知 在一 “ ＜４” ＝ ＜ ，
， （１） ， ６ ２１６ １０００
轮游戏中 这个结果发生的可能性很小
， ，
这位家长对小孩饮食习惯比较了解．
Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ １ ． ∴
（ ＜４）＝ （ ＝０）＋ （ ＝２）＝
６
