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第 2 讲 随机变量及其分布
[考情分析] 离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行
考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度．
考点一 分布列的性质及应用
核心提炼
离散型随机变量X的分布列为
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
则(1)p≥0，i＝1,2，…，n.
i
(2)p＋p＋…＋p＝1.
1 2 n
(3)E(X)＝xp＋xp＋…＋xp＋…＋xp.
1 1 2 2 i i n n
(4)D(X)＝[x－E(X)]2p＋[x－E(X)]2p＋…＋[x－E(X)]2p.
1 1 2 2 n n
(5)若Y＝aX＋b，
则E(Y)＝aE(X)＋b，
D(Y)＝a2D(X)．
例1 (1)(2022·保定模拟)若离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝alog (1≤k≤7，k∈Z)，
2
则P(2E(Y)，D(X)>D(Y)，则投资股票乙的期望收益较小，投资股票甲比投资股票乙的风
险高．
(2)(2022·河南三市联考)甲、乙、丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志
愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记 X为三
人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则( )
A．E(X)＝E(Y)，D(X)＝D(Y)
B．E(X)＝E(Y)，D(X)≠D(Y)
C．E(X)≠E(Y)，D(X)≠D(Y)
D．E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)
答案 D
解析 由题意得X的可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
∴E(X)＝1×＋2×＋3×＝，
D(X)＝2×＋2×＋2×＝，
又X＋Y＝3，∴Y＝3－X，
∴E(Y)＝3－E(X)＝3－＝，
D(Y)＝(－1)2D(X)＝D(X)，故选D.考点二 随机变量的分布列
核心提炼
1．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(00.974 4)
D．记ξ表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于μ＋2σ的数量，则P(ξ≥1)>0.6
(参考数据：若 X～N(μ，σ2)(σ>0)，则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋
2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3；0.9850≈0.364)
答案 ACD
解析 由X～N(0.937 2,0.013 92)知，
μ＝0.937 2，σ＝0.013 9，
对于A，由正态分布曲线可得P(X≤0.9)0.93，由正态分布性质知，落在(0.93,0.943 9)内的概率大于落在(0.937 2,0.951 1)内的概率，
故B错误；
对于C，＝0.937 2，故C正确；
对于D,1只口罩的过滤率大于μ＋2σ的概率
p≈＝0.022 75，ξ～B(50，p)，
所以P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)50>1－(1－0.02)50，
1－(1－0.02)50＝1－0.9850≈1－0.364＝0.636>0.6，故D正确．
规律方法 利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线
x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的灵活运用：
(1)对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．
(2)P(Xp>p>0.记该棋手连胜两盘
1 2 3 3 2 1
的概率为p，则( )
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
答案 D
解析 设该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P ，
甲
在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P ，
乙
在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P ，
丙
方法一 由题意可知，P ＝2p[p(1－p)＋p(1－p)]＝2pp＋2pp－4ppp，
甲 1 2 3 3 2 1 2 1 3 1 2 3
P ＝2p[p(1－p)＋p(1－p)]＝2pp＋2pp－4ppp，
乙 2 1 3 3 1 1 2 2 3 1 2 3
P ＝2p[p(1－p)＋p(1－p)]＝2pp＋2pp－4ppp.
丙 3 1 2 2 1 1 3 2 3 1 2 3
所以P －P ＝2p(p－p)>0，
丙 甲 2 3 1
P －P ＝2p(p－p)>0，
丙 乙 1 3 2
所以P 最大，故选D.
丙
方法二 (特殊值法)
不妨设p＝0.4，p＝0.5，p＝0.6，
1 2 3
则该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率P ＝2p[p(1－p)＋p(1－p)]＝0.4；
甲 1 2 3 3 2
在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率P ＝2p[p(1－p)＋p(1－p)]＝0.52；
乙 2 1 3 3 1
在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率P ＝2p[p(1－p)＋p(1－p)]＝0.6.
丙 3 1 2 2 1所以P 最大，故选D.
丙
二、多项选择题
7．若，A错误；
因为，即1－p>10－0.1，
又lg 0.794≈－0.1，
∴1－p>10lg 0.794＝0.794，
∴p<1－0.794＝0.206，
∴00)的泊松分布．
若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率
为________．
答案
解析 依题意得P(X＝1)＝P(X＝2)，
即＝，解得λ＝2，
所以P(X＝k)＝e－2，
所以P(X＝0)＝e－2＝，
P(X＝1)＝e－2＝，
P(X＝2)＝e－2＝，
则两周共销售2件的概率为
P＝C··＋C2＝.
四、解答题
13．(2022·潍坊模拟)根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，
成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为
普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发
射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编
写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从 10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中 2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知 10个程
序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为，每位选手每次编程都互不
影响．
(1)求乙闯关成功的概率；
(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和均值，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．
解 (1)记乙闯关成功为事件A，
所以P(A)＝C2·＋3＝.
(2)由题意知随机变量X所有可能的取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
所以甲闯关成功的概率为＋＝，
因为<，
所以甲比乙闯关成功的可能性大．
14．(2022·济南模拟)某婴幼儿游泳馆为了吸引顾客，推出优惠活动，即对首次消费的顾客按
80元收费，并注册成为会员，对会员消费的不同次数给予相应的优惠，标准如下：
消费次数 第1次 第2次 第3次 不少于4次
收费比例 1 0.95 0.90 0.85
该游泳馆从注册的会员中，随机抽取了100位会员并统计他们的消费次数，得到数据如下：
消费次数 1次 2次 3次 不少于4次
频数 60 25 10 5
假设每位顾客游泳1次，游泳馆的成本为30元．根据所给数据，回答下列问题：
(1)估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率；
(2)某会员消费4次，求这4次消费中，游泳馆获得的平均利润；
(3)假设每个会员最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该游泳馆
的所有会员中随机抽取2位，记游泳馆从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值
为X，求X的分布列和均值E(X)．解 (1)25＋10＋5＝40，即随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有40位，
∴估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率P＝＝.
(2)第1次消费时，80－30＝50(元)，所以游泳馆获得的利润为50元，
第2次消费时，80×0.95－30＝46(元)，所以游泳馆获得的利润为46元，
第3次消费时，80×0.90－30＝42(元)，所以游泳馆获得的利润为42元，
第4次消费时，80×0.85－30＝38(元)，所以游泳馆获得的利润为38元，
∵＝44(元)，
∴这4次消费中，游泳馆获得的平均利润为44元．
(3)若会员消费1次，P＝＝，
1
则平均利润为50元，其概率为；
若会员消费2次，＝48(元)，
P＝＝，
2
则平均利润为48元，其概率为；
若会员消费3次，＝46(元)，
P＝＝，
3
则平均利润为46元，其概率为；
若会员消费4次，＝44(元)，
P＝＝，
4
则平均利润为44元，其概率为.
由题意知，X的所有可能取值为0,2,4,6.
且P(X＝0)＝×＋×＋×＋×＝，
P(X＝2)＝2×＝，
P(X＝4)＝2×＝，
P(X＝6)＝2××＝.
∴X的分布列为
X 0 2 4 6
P
∴E(X)＝0×＋2×＋4×＋6×＝.
