文档文本内容
专
题
十
一
概
率
与
统
计
／
１３７
１１．５ 变量间的相关关系
§
当ｒ 时 表明两个变量 负相关 ．
＜０ ， ⑤
ｒ的绝对值越接近于 表明两个变量的线性相关性越强 ｒ
１， ；
的绝对值越接近于 表明两个变量之间几乎不存在线性相关关
０，
考点一 变量间的相关关系
系．当ｒ的绝对值大于或等于 ． 时 认为两个变量有很强的线
０７５ ，
１．变量间的相关关系 性相关关系．
常见的两变量之间的关系有两类 一类是函数关系 另一类 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析
（１） ： ， （４）
是相关关系．与函数关系不同 相关关系是一种非确定性关系． 的一种常用方法．在线性回归模型ｙ ｂｘ ａ ｅ中 因变量ｙ的值
， ＝ ＋ ＋ ，
在散点图中 点散布在从左下角到右上角的区域内 两 由自变量ｘ和随机误差ｅ共同确定 即自变量ｘ只能解释部分ｙ
（２） ， ， ，
个变量的这种相关关系称为 正相关 点散布在从左上角到右 的变化 在统计中 我们把自变量ｘ称为解释变量 因变量ｙ称为
① ， ， ， ，
下角的区域内 两个变量的相关关系称为 负相关 ． 预报变量．
， ②
２．两个变量的线性相关
从散点图上看 如果这些点从整体上看大致分布在通过 考点二 独立性检验
（１） ，
散点图中心的一条直线附近 称两个变量之间具有线性相关关 １．分类变量 变量的不同 值 表示个体所属的不同类别 像
， ： “ ” ，
系 这条直线叫做回归直线． 这样的变量称为分类变量．
，
回归直线方程 ２．列联表 列出两个分类变量的 频数表 称为列联表．假
（２） ： ⑥ ，
ｎ 设有两个分类变量 Ｘ 和 Ｙ 它们的可能取值分别为 ｘ ｘ 和
到回归
（ｉ）
直
最
线
小
的
二
方
乘
法
法 ：
即
通
使
过
得
求
样
Ｑ
本
＝
数
∑ｉ＝
据
１
（
的
ｙ ｉ
点
－ ｂ
到
ｘ ｉ－
回
ａ ）
归
２
直
的
线
最
的
小
距
值
离
而
的
得
｛
ｙ
１，
ｙ
２｝，
其样本频数列联表 ，
（
称为
２×２
列联表
）
为
：
｛ １， ２｝
， ｙ ｙ 总计
平方和最小的方法叫做 最小二乘法 ． １ ２
③ ｘ ａ ｂ ａ ｂ
回归方程 方程ｙ ｂｘ ａ是两个具有线性相关关系的变 １ ＋
（ｉｉ） ： ＾＝＾ ＋＾ ｘ ｃ ｄ ｃ ｄ
量的一组数据 （ ｘ １， ｙ １），（ ｘ ２， ｙ ２），…，（ ｘ ｎ， ｙ ｎ） 的回归方程 ， 其中
总计
２
ａ ｃ ｂ ｄ ａ ｂ
＋
ｃ ｄ
ａ ｂ是待定参数． ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
＾，＾
ｎ ｎ ｎ ａｄ ｂｃ ２
ｘ － ｘ ｙ － ｙ ｘｙ － ｎｘ ｙ 可构造一个随机变量Ｋ２ （ － ） 其中ｎ
ａ
＾
＝ ｙ － ｂ＾ ｘ
，
ｂ＾ ＝ ∑ｉ＝ １ （
ｎ
ｉ ）（ ｉ ） ＝ ∑ｉ＝ １
ｎ
ｉ ｉ
， ａ ｂ ｃ ｄ为样本容量．
＝ （ ａ ＋ ｂ ）（ ｃ ＋ ｄ ）（ ａ ＋ ｃ ）（ ｂ ＋ ｄ ） ，
∑ｉ＝ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ＝ ｘ２ｉ － ｎｘ２ ＝ ＋ ３ ＋ ．独 ＋ 立性检验
１ １
其中ｘ ＝ １
ｎ
ｘ ｙ ＝ １
ｎ
ｙ ｘ ｙ 称为样本点的中心．
利用独立性假设
、
随机变量
⑦
Ｋ２ 来确定是否有一定把握认
ｎ ∑ｉ＝ ｉ， ｎ ∑ｉ＝ ｉ，（ ， ） 为 两个分类变量有关系 的方法称为两个分类变量的独立性
１ １ “ ”
相关系数ｒ 检验．
（３）
ｎ 两个分类变量Ｘ和Ｙ是否有关系的判断标准
ｒ ＝ ∑ｉ＝ １ （ ｘ ｉ － ｘ ）（ ｙ ｉ － ｙ ） 统计学研究表明 ： 当Ｋ２ ≤３ ． ８４１ 时 ， 认为Ｘ与Ｙ ： 无关 ；
（ｉ） 当ｒ ∑ 时 ｉ＝ ｎ １ （ 表 ｘ ｉ 明 － 两 ｘ ） 个 ２ ∑ 变 ｉ＝ ｎ １ 量 （ ｙ ｉ － 正 ｙ ） 相 ２ 关 ； 当 当 Ｋ Ｋ ２ ２ ＞ ＞ ６ ３ ． ． ６ ８ ３ ４ ５ １ 时 时 ， ， 有 有 ９ ９ ９ ５ ％ ％ 的 的 把 把 握 握 说 说 Ｘ Ｘ 与 与 Ｙ Ｙ 有 有 关 关 ； ；
（ｉｉ） ＞０ ， ④ ； 当Ｋ２ ． 时 有 ． ％的把握说Ｘ与Ｙ有关．
＞１０８２８ ， ９９９
考法一 线性回归分析的应用
例１ 下图是我国 年至 年生活垃圾无害化处
２００８ ２０１４
理量 单位 亿吨 的折线图．
（ ： ）
A
版
高
考
数
学
／
１３８
由折线图看出 可用线性回归模型拟合ｙ与ｔ的关系 间的关系 收集了 组数据进行了初步处理 得到下表
（１） ， ， ， ５ ， ：
请用相关系数加以说明
； ｘ
５ ６ ７ ８ ９
建立ｙ关于ｔ的回归方程 系数精确到 ． 预测
（２） （ ００１）， ２０１６ ｙ ． ．
年我国生活垃圾无害化处理量． ８ ６ ４５ ３５ ３
统计学中用相关系数ｒ来衡量两个变量之间线性相关
附 （１）
： 关系的强弱 若 ｒ ． 则认为相关性很强 若 ｒ
７ ７ ７ ， ｜ ｜∈［０ ７５，１］， ； ｜ ｜∈
参考数据 ：∑ｉ＝ ｙ ｉ＝９ ． ３２，∑ｉ＝ ｔ ｉ ｙ ｉ＝４０ ． １７， ∑ｉ＝ （ ｙ ｉ － ｙ ） ２ ＝ （０ ． ２５，０ ． ７５）， 则认为相关性一般 ； 若 ｜ ｒ ｜∈［０，０ ． ２５］， 则认为相关
１ １ １ 性较弱．请计算相关系数ｒ 并说明ｙ与ｘ之间的线性相关关系的
． ． ． ，
０５５， ７≈２６４６ 强弱 精确到 ．
ｎ （ ００１）；
ｔ － ｔ ｙ － ｙ 求ｙ关于ｘ的线性回归方程
参考公式 相关系数ｒ
∑ｉ＝
１
（ ｉ ）（ ｉ ） （２）
根据 中的线性回归方程
；
估计当售价ｘ定为多少时
： ＝ ｎ ｎ ， （３） （２） ， ，
∑ｉ＝ （ ｔ ｉ － ｔ ） ２ ∑ｉ＝ （ ｙ ｉ － ｙ ） ２ 月销售额最大 ？ （ 月销售额 ＝ 月销售量 × 当月售价 ）
１ １ 参考数据 ． ．
回归方程ｙ ＾＝ ａ ＾＋ ｂ＾ｔ中斜率和截距的最小二乘估计公式分别 ： １６５≈１２８５
ｎ
ｎ ｘ － ｘ ｙ － ｙ
为ｂ＾＝
∑ｉ＝
１
（
∑ｉ
ｔ
＝ ｎ
ｉ －
（ ｔ
ｔ
ｉ
）
－
（ ｙ
ｔ ）
ｉ
２
－ ｙ ）
， ａ ＾＝ ｙ － ｂ ＾ ｔ．
参考公式
：
相关系数ｒ
＝ ∑ｉ＝ ｎ １
∑
（
ｉ＝
ｘ
１
ｉ
（
－
ｉ
ｘ ） ２
）（
∑ｉ＝ ｎ
ｉ
１ （ ｙ ｉ
）
－ ｙ ） ２ ，
１ ｎ
解题导引 ｘ －ｘ ｙ －ｙ
线性回归方程ｙ ＾＝ ｂ ＾ ｘ ＋ ａ ＾ 中 ， ｂ ＾＝
∑ｉ＝
１
（
ｎ
ｉ ）（ ｉ ）
， ａ ＾＝ ｙ － ｂ ＾ ｘ．
∑ｉ＝ （ ｘ ｉ －ｘ ） ２
１
解析 （ ）由表中数据和附注中的参考数据得，
１
ｘ ，ｙ ， （ 分）
解析 （ ）由折线图中数据和附注中参考数据得 ＝７ ＝５ １
１
５ ５
ｔ
＝４
，
∑ｉ＝
７
１
（ｔ
ｉ－
ｔ）２
＝２８
，
∑ｉ＝
７
１
（ｙ
ｉ
－ ｙ）２
＝０
．
５５
， ∑ｉ＝
５ １
（
（
ｘ
ｘ
ｉ－ ｘ
ｘ
）
）（
２ ＝
ｙ
１０
ｙ
，
）
∑ｉ＝
１
（ｙ
．
ｉ－
，
ｙ
ｒ
）２ ＝１
－
６
１
． ５
２
．
． ５ ． ． （
（ ２
分
分
）
）
７ （ｔ ｔ）（ｙ ｙ） ７ ｔｙ ｔ ７ ｙ ． ． ． ， ∑ｉ＝ ｉ－ ｉ－ ＝－１２５ ＝ ． ≈－０９７ ３
∑ｉ＝
１
ｉ－ ｉ－ ＝∑ｉ＝
１
ｉ ｉ－∑ｉ＝
１
ｉ＝４０１７－４×９３２＝２８９
因
１
为 ｒ ． ［ ． ， ］，
１０×１６５
． ｜ ｜≈｜－０９７｜∈ ０７５ １
ｒ ２８９ ． ． （ 分） 所以说明ｙ与ｘ的线性相关关系很强． （ 分）
≈ ． ． ≈０９９ ４ ５
０５５×２×２６４６ ｎ
因为ｙ与ｔ的相关系数近似为 ． ，说明ｙ与ｔ的线性相关 （ｘ － ｘ）（ｙ － ｙ）
程度相当高，从而可以用线性回归模
０
型
９９
拟合ｙ与ｔ的关系． （ ２ ）由（ １ ）可知ｂ ＾＝
∑ｉ＝
１ ｎ
ｉ ｉ
＝ －１２
．
５ ＝－１ ． ２５ ，
（
６
分）
∑ｉ＝
（ｘ
ｉ
－ ｘ）２ １０
１
７ （ｔ － ｔ）（ｙ － ｙ） （ 分）
（ ２ ）由ｙ ＝ ９
．
７ ３２ ≈１ ． ３３１ 及（ １ ）得 ｂ ＾＝
∑ｉ＝
１ ７
ｉ
（ｔ ｉ － ｔ）
ｉ
２ ＝ ∴ ｙ ａ ＾＝ ｙ － ｂ ． ＾ ｘ ＝ ｘ ５－ （ ． －１ ． ． ２５ ） ×７＝１３ ． ７５ ， （ （ ８
７
分 分 ） ）
∑ｉ＝ １ ∴ ＾＝－１２５ ＋１３７５ ９
． （ ）由题意可知，月销售额的预估值 ｚ ·ｙ·ｘ
２８９ ≈０ ． １０ ，ａ ＾＝ ｙ － ｂ ＾ ｔ ＝１ ． ３３１－０ ． １０×４≈０ ． ９３ ． ３ ＾＝１ ０００ ＾ ＝
２８
－１２５０
ｘ２
＋１３７５０
ｘ（元）或者ｚ
＾＝
ｙ
＾
·ｘ
＝－１
．
２５
ｘ２
＋１３
．
７５
ｘ（千元）．
所以，ｙ关于ｔ的回归方程为ｙ ＾＝０ ． ９３＋０ ． １０ ｔ． （ １０ 分） （ 分）
１０
将 ２０１６ 年对应的ｔ ＝９ 代入回归方程得 ｙ ＾＝０ ． ９３＋０ ． １０×９＝ 则当ｘ ＝５ ． ５ 时，ｚ ＾ 取到最大值，
． ． 即该店主将售价定为 ． 元／件时，可使网店的月销售额最大．
１８３
５５
所以预测 年我国生活垃圾无害化处理量约为 ． 亿吨． （ 分）
２０１６ １８３ １２
（ 分）
１２
方法总结 求线性回归方程的步骤 考法二 独立性检验的应用
用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线 例２ （２０１９湘东六校联考，１９）市教育部门为研究高中
（１）
性相关关系 学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系 对该市某校 名高
； ， ２００
ｎ ｎ 中学生平均每天的课外体育锻炼时间进行了调查 数据如下表
ｘ － ｘ ｙ － ｙ ｘｙ － ｎｘｙ ， ：
（２） 利用公式ｂ ＾＝
∑ｉ＝
１
（
ｎ
ｉ ）（ ｉ ）
＝
∑ｉ＝
１ ｎ
ｉ ｉ
， ａ ＾ 平均每天锻炼
∑ｉ＝ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ＝ ｘ２ｉ － ｎｘ２ 的时间 （ 分钟 ） ［０，１０） ［１０，２０） ［２０，３０） ［３０，４０） ［４０，５０） ［５０，６０］
１ １
＝ ｙ － ｂ ＾ ｘ求得回归系数 ； 总人数 ２０ ３６ ４４ ５０ ４０ １０
写出回归直线方程． 将学生日均课外体育锻炼时间在 内的学生评价为
（３） ［４０，６０］
经典例题教师用书 课外体育达标 ．
“ ”
例 （２０１９广东深圳第二次调研，１８）某网店经销某商品 为了 请根据上述表格中的统计数据填写下面 列联表 并
， （１） ２×２ ，
解该商品的月销量ｙ 单位 千件 与当月售价ｘ 单位 元／件 之 通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 ． 的前提下认为
（ ： ） （ ： ） ００１
专
题
十
一
概 率
与 统
计
／
１３９
课外体育达标 与性别有关 独立性检验原理只能解决两个对象 每个对象有两类属
“ ” ； （１） ，
性的问题 所以对于一个实际问题 我们要首先确定能否用独立
课外体育不达标 课外体育达标 合计 ， ，
性检验的思想加以解决
男 ；
如果确实属于这类问题 要科学地抽取样本 样本容量
女 （２） ， ，
２０ １１０ 要适当 不可太小
， ；
合计 根据数据列出 列联表
（３） ２×２ ；
从上述课外体育不达标的学生中 按性别用分层抽样的 提出假设Ｈ 所研究的两类对象 Ｘ Ｙ 无关
（２） ， （４） ０： （ ， ） ；
方法抽取 名学生 再从这 名学生中随机抽取 人了解他们 ｎ ａｄ ｂｃ ２
１０ ， １０ ３ 根据公式计算Ｋ２ （ － ） ｎ ａ ｂ ｃ
锻炼时间偏少的原因 记所抽取的 人中男生的人数为随机变 （５） ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ （ ＝ ＋ ＋
， ３ （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
量Ｘ 求Ｘ的分布列和数学期望 ｄ 的值
， ； ＋ ） ；
将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况 比较观测值ｋ与临界值表中相应的检验水平 根据小概
（３） ， （６） ，
现在从该市所有高中学生中抽取 名学生 求其中恰好有 名 率原理肯定或者否定假设 即判断Ｘ Ｙ是否相关．
４ ， ２ ， 、
学生课外体育达标的概率． 经典例题教师用书
参考公式
：
Ｋ２
＝ ａ ｂ
ｎ
ｃ
（
ａ
ｄ
ｄ
－
ｂ
ａ
ｃ
）
ｃ
２
ｂ ｄ ，
其中ｎ
＝
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ
＋
ｄ．
例
蓬勃 发
（２
展
０１
的
８
新
河
机
南
遇
开封一模
年
，
双
１９
十
）
一
近
期
年
间
来我
某
国
购
电
物
子
平
商
台
务
的
行
销
业
售
迎
业
来
绩
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ） ，２０１７ ，
附 高达 亿元人民币．与此同时 相关管理部门推出了针对电
： １２７１ ，
商的商品和服务的评价体系 现从评价系统中选出 次成功
Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ． ． ． ． ， ２００
（ ≥ ０） ０１０ ００５ ００２５ ００１０ ０００５ ０００１ 交易 并对其评价进行了统计 其中对商品的好评率为 ． 对服
ｋ ． ． ． ． ． ． ， ， ０６，
０ ２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５ ７８７９ １０８２８ 务的好评率为 ． 对商品和服务都作出好评的交易为 次．
０７５， ８０
解题导引 把数据代入公式计算Ｋ２ 完成下面的 列联表 并回答是否有 ％的把握认
（１） ； （１） ２×２ ， ９９
求出Ｘ 时的概率 列分布列并求数学期望 为商品好评与服务好评有关
（２） ＝０，１，２，３ ， ； ；
( )
设 名学生中课外体育达标的人数为ξ 由ξ Ｂ １ 对服务好评 对服务不满意 合计
（３） ４ ， ～ ４，
４ 对商品好评
求Ｐ ξ ．
（ ＝２） 对商品不满意
解析 （ ）
１
合计
课外体育不达标 课外体育达标 合计 ２００
男 若将频率视为概率 某人在该购物平台上进行的 次购
６０ ３０ ９０ （２） ， ３
女 物中 设对商品和服务全好评的次数为随机变量Ｘ．
９０ ２０ １１０ ，
合计 求对商品和服务全好评的次数Ｘ的分布列
１５０ ５０ ２００ ① ；
（ ）２ 求Ｘ的数学期望和方差．
Ｋ２ ２００× ６０×２０－３０×９０ ． ． ， ②
＝ ≈６０６１＜６６３５ 附
１５０×５０×９０×１１０ ：
所以在犯错误的概率不超过 ． 的前提下不能判断“课外
０ ０１ Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ． ． ． ． ．
体育达标”与性别有关． （ 分） （ ≥ ） ０１５ ０１０ ００５ ００２５ ００１０ ０００５ ０００１
４ ｋ ． ． ． ． ． ． ．
２０７２ ２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５ ７８７９ １０８２８
（ ）易知，所抽取的 名学生中，男生有 ６０ 名，女
２ １０ １０× ＝４ ｎ ａｄ ｂｃ ２
１５０ Ｋ２ （ － ） 其中ｎ ａ ｂ ｃ ｄ．
＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ， ＝ ＋ ＋ ＋
生有 ９０ 名．Ｘ可取 ， ， ， ． （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
１０× ＝６ ０ １ ２ ３ 解析 （ ）由题意可得关于商品和服务评价的 列联表
１５０ １ ２×２
０ ３ ２ １ 如下：
Ｐ（Ｘ ） Ｃ４Ｃ６ １ ，Ｐ（Ｘ ） Ｃ６Ｃ４ １ ，
＝０ ＝ ３ ＝ ＝１ ＝ ３ ＝ 对服务好评 对服务不满意 合计
Ｃ１０ ６ Ｃ１０ ２
对商品好评
Ｐ（Ｘ ＝２ ） ＝ Ｃ
Ｃ
１ ６
３ １
Ｃ
０
２ ４ ＝
１
３
０
，Ｐ（Ｘ ＝３ ） ＝ Ｃ
Ｃ
０ ６
３ １
Ｃ
０
３ ４ ＝
３
１
０
． 对商
合
品
计
不满意 ８
７
０
０
４
１
０
０
１
８
２
０
０
Ｘ的分布列为 １５０ ５０ ２００
∴
２
Ｘ Ｋ２ ２００×（８０×１０－４０×７０） ． ．
０ １ ２ ３ ＝ ≈１１１１１＞６６３５，
１２０×８０×１５０×５０
Ｐ １ １ ３ １ 故有 ％的把握认为商品好评与服务好评有关．
９９
６ ２ １０ ３０
每次购物时 对商品和服务全好评的概率为 ２ 且Ｘ
Ｅ（Ｘ） １ １ ３ １ ６ ． （ 分） （２）① ， ，
＝０× ＋１× ＋２× ＋３× ＝ ９ ( ) ５
６ ２ １０ ３０ ５ ３
（ ）设所抽取的 名学生中，课外体育达标的人数为 ξ，由 的取值可以是 ．其中Ｐ Ｘ ３ ２７ Ｐ Ｘ
３ ４ ０，１，２，３ （ ＝０）＝ ＝ ， （ ＝１）＝
５ １２５
( ) ( )
（ ）中表格可知学生课外体育达标的频率为５０ １ ，将频率视 ２ ２ １ ２００ ＝ ４ Ｃ １ ３× ２ × ３ ＝ ５４ ， Ｐ （ Ｘ ＝２）＝Ｃ ２ ３× ２ × ３ ＝ ３６ ， Ｐ （ Ｘ ＝３）＝ ( ) ( ) ( ) ５ ５ １２５ ５ ５ １２５
２ ２ ( )
为概率， ∴ ξ ～ Ｂ ４ ，１ ４ ， ∴ Ｐ（ξ ＝２ ） ＝Ｃ ２ ４× ４ １ × ４ ３ ＝ １ ２ ２ ７ ８ ． Ｃ ３ ３× ２ ３ ＝ ８ ，
５ １２５
恰好有 名学生课外体育达标的概率为２７． （ 分）
∴ ２ １２
１２８
方法总结 独立性检验的一般步骤
：
A
版
高
考
数
学
／
１４０
则Ｘ的分布列为 ( )
Ｘ Ｂ ２ Ｅ Ｘ ２ ６ Ｄ Ｘ ２ ３
②∵ ～ ３， ，∴ （ ）＝ ３× ＝ ， （ ）＝ ３× ×
Ｘ ５ ５ ５ ５ ５
０ １ ２ ３
１８．
Ｐ ２７ ５４ ３６ ８ ＝
２５
１２５ １２５ １２５ １２５
