北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
11.5 变量间的相关关系
考点 变量间的相关关系
1.(2015课标Ⅰ,理19,文19,12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千
元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x和年销售量y(i=1,2,…,8)数据
i i
作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
8 8 8 8
x y w ∑ (xi- x )2 ∑ (wi- w )2 ∑ (xi- x )(yi- y ) ∑ (wi- w )(yi- y )
i=1 i=1 i=1 i=1
46.6563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8
1 8
表中w =√x ,w= ∑w .
i i 8 i
i=1
(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d√x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出
判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:
(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据(u,v),(u,v),…,(u,v),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
1 1 2 2 n n
n
∑(u -u)(v -v)
i i
β
^
=
i=1
,
α
^
=v-
β
^
u.
n
∑(u -u) 2
i
i=1
解析 (1)由散点图可以判断,y=c+d√x适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2分)
(2)令w=√x,先建立y关于w的线性回归方程.由于
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8
∑(w -w)(y - y)
^ i=1 i i 108.8
= = =68,
d
8 1.6
∑(w -w) 2
i
i=1
^= -^ =563-68×6.8=100.6,
y w
c d
所以y关于w的线性回归方程为^=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为^=100.6+68 .(6分)
√x
y y
(3)(i)由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值
^=100.6+68 =576.6,
√49
y
年利润z的预报值^=576.6×0.2-49=66.32.(9分)
z
(ii)根据(2)的结果知,年利润z的预报值
^=0.2(100.6+68 )-x=-x+13.6 +20.12.
√x √x
z
13.6 ^
所以当√x= =6.8,即x=46.24时, z取得最大值.
2
故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.(12分)
2.(2015重庆文,17,13分)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款
(年底余额)如下表:
年份 2010 2011 2012 2013 2014
时间代号t 1 2 3 4 5
储蓄存款y(千亿元) 5 6 7 8 10
(1)求y关于t的回归方程^=^t+^;
y b a
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.
附:回归方程^=^t+^中,
y b a
n
∑t y -nt y
i i ^
^ = i=1 ,a=y- ^ .
b bt
n
∑t2-nt2
i
i=1
解析 (1)列表计算如下:
i t y
t2
ty
i i i i i
1 1 5 1 5
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2 2 6 4 12
3 3 7 9 21
4 4 8 16 32
5 5 10 25 50
∑ 15 36 55 120
1 n 15 1 n 36
这里n=5,t= ∑t= =3,y= ∑y= =7.2.
n i 5 n i 5
i=1 i=1
n n
又l=∑t2 -nt2=55-5×32=10,l =∑ty-nt y=120-5×3×7.2=12,
tt i ty i i
i=1 i=1
从而^= l ty=12=1.2,^=
y
-^ =7.2-1.2×3=3.6,
b a bt
l 10
tt
故所求回归方程为^=1.2t+3.6.
y
(2)将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为^=1.2×6+3.6=10.8(千亿元).
y
3.(2014课标Ⅱ理,19,12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区
2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
n
∑(t -t)(y - y)
i i
^
=
i=1
,
^
=y-
^
.
b a bt
n
∑(t -t) 2
i
i=1
解析 (1)由所给数据计算得
1
t= ×(1+2+3+4+5+6+7)=4,
7
1
y= ×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,
7
7
∑(t-t)2=9+4+1+0+1+4+9=28,
i
i=1
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7
∑(t-t)(y-y)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
i i
i=1
7
∑(t -t)(y - y)
^ i=1 i i 14
= = =0.5,
b
7 28
∑(t -t) 2
i
i=1
^= -^ =4.3-0.5×4=2.3,
y
a bt
所求回归方程为^=0.5t+2.3.
y
(2)由(1)知,^=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.
b
将2015年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得^=0.5×9+2.3=6.8,
y
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
评析 本题考查了回归直线方程的求解,注意回归直线恒过点( , )是关键,考查了回归系数^的几何意义.考
t y
b
查了学生的计算求解能力.
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