文档文本内容
11.5 变量间的相关关系、统计案例
基础篇
考点 一 变量间的相关关系 ｒ 表示成对样本数据正相关 散点图中点
２) >０ꎬ ꎬ
1. 的分布从左下角到右上角 ｒ 表示成对样
线性相关 ꎻ <０ꎬ
本数据负相关 散点图中点的分布从左上角
一般地 如果两个变量的取值呈现正相关或 ꎬ
ꎬ
到右下角.
负相关 而且散点落在一条直线附近 称这两
ꎬ ꎬ
ｒ 越接近于 成对样本数据的线性相关程
个变量线性相关.
３)｜ ｜ １ꎬ
2. 度越强.
线性经验回归方程与最小二乘法
4.
刻画回归效果的方式
设满足一元线性回归模型的两个变量的 ｎ 对
残差图法
样本数据为 ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ 由
( １ꎬ １)ꎬ( ２ꎬ ２)ꎬꎬ( ｎꎬ ｎ)ꎬ １)
在残差图中 残差比较均匀地落在以取值为
ｙ ｂｘ ａ ｅ ｉ ｎ 得 ｙ ｂｘ ａ
ｉ＝ ｉ＋ ＋ ｉ( ＝１ꎬ２ꎬꎬ )ꎬ ｜ ｉ－( ｉ＋ ) ｜ ꎬ
的横轴为对称轴的水平带状区域内 说明
ｅ 显然 ｅ 越小 表示样本数据点离直线
＝｜ ｉ｜ꎬ ｜ ｉ｜ ꎬ ０ ꎬ
ｙ ｂｘ ａ 的竖直距离越小. 选用的模型比较合适 这样的带状区域的宽
＝ ＋ ꎬ
通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和 度越窄 说明模型拟合精度越高.
ꎬ
ｎ 残差平方和法
Ｑ ｙ － ｂｘ － ａ ２ 来刻画各样本观测数 ２)
＝ ∑ ｉ＝ ( ｉ ｉ ) ｎ
据与直 １ 线 ｙ ＝ ｂｘ ＋ ａ 的 “ 整体接近程度 ” . 残差平方和为 ∑ ｉ＝ ( ｙ ｉ－ ｙ ＾ｉ) ２ ꎬ 残差平方和越
１
当 ａ ｂ 的取值为 小 模型拟合效果越好.
ꎬ ꎬ
ì
ｎ ｎ 利用 Ｒ２ 刻画拟合效果
ï ｘ －ｘ ｙ －ｙ ｘｙ －ｎｘｙ ３)
ï ∑ ｉ＝ ( ｉ )( ｉ ) ∑ ｉ＝ ｉ ｉ ｎ
î í ïï ï ï ïï ａ ｂ ＾ ＾ ＝ ＝ ｙ － ｂ ＾ １ ｘ ∑ ｉ＝ ｎ １ ( ｘ ｉ －ｘ ) ２ ＝ ∑ ｉ １ ＝ ｎ １ ｘ２ ｉ －ｎｘ２ ꎬ 时 ꎬ Ｒ２ ＝１－ ∑ ∑ ｉ ｉ ＝ ＝ ｎ １ １ ( ( ｙ ｙ ｉ ｉ － － ｙ ＾ ｙ ｉ ) ) ２ ２ .
Ｑ 达到最小.将 ｙ ｂｘ ａ 称为 Ｙ 关于 ｘ 的经验
Ｒ２ 越大 模型的拟合效果越好 Ｒ２ 越小 模
＾＝＾ ＋＾ ꎬ ꎬ ꎬ
型的拟合效果越差.
回归方程 也称经验回归函数或经验回归公
ꎬ
式 其图形称为经验回归直线.这种求经验回
ꎬ 考点 二 独立性检验
归方程的方法叫做最小二乘法 求得的 ｂ ａ
ꎬ ＾ ꎬ＾ 1.2 2
列联表
叫做 ｂ ａ 的最小二乘估计. ×
ꎬ
假设两个分类变量 Ｘ 和 Ｙ 它们的可能取值
经验回归直线一定过点 ｘ ｙ .
ꎬ
( ꎬ )
3. 分别为 ｘ ｘ 和 ｙ ｙ 其 列联表为
样本相关系数 ｒ
5
{ １ꎬ ２} { １ꎬ ２}ꎬ ２×２
年 ｎ Ｙ
高 ｘ － ｘ ｙ － ｙ Ｘ 合计
考
3 ｒ ＝
∑ ｉ＝
１
( ｉ )( ｉ ) ｙ
１
ｙ
２
年 １) ｎ ｎ ｘ ａ ｂ ａ ｂ
模 ｘ － ｘ ２ ｙ － ｙ ２ １ ＋
拟 ∑ ｉ＝ ( ｉ ) ∑ ｉ＝ ( ｉ ) ｘ ｃ ｄ ｃ ｄ
A １ ｎ １ ２ ＋
版 ｘ ｙ － ｎ ｘ ｙ 合计 ａ ｃ ｂ ｄ ａ ｂ ｃ ｄ
高 ＝
∑ ｉ＝
１
ｉ ｉ
.
＋ ＋ ＋ ＋ ＋
列联表给出了成对分类变量数据的交叉
考 ｎ ｎ ２×２
数 ｘ２ － ｎ ｘ２ ｙ２ － ｎ ｙ２
学 (∑ ｉ＝ ｉ )(∑ ｉ＝ ｉ ) 分类频数.
１ １
３３４
2. 独立性检验 则 χ ２ ｎ ( ａｄ － ｂｃ ) ２ .
＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ
假定通过简单随机抽样得到了 Ｘ 和 Ｙ 的抽
( ＋ )( ＋ )( ＋ )( ＋ )
１)
χ 独立性检验中几个常用的小概率值和相
样数据列联表 如表所示. ２
２)
ꎬ
应的临界值.
Ｙ
Ｘ 合计
Ｙ Ｙ α . . . . .
＝０ ＝１ ０ １ ０ ０５ ０ ０１ ０ ００５ ０ ００１
Ｘ ａ ｂ ａ ｂ
＝０ ＋ ｘ . . . . .
α ２ ７０６ ３ ８４１ ６ ６３５ ７ ８７９ １０ ８２８
Ｘ ｃ ｄ ｃ ｄ
＝１ ＋
合计 ａ ｃ ｂ ｄ ｎ ａ ｂ ｃ ｄ
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋
专
题
十
一
概
率
与
统
计
３３５
综合篇
考法 一 经验回归方程的求解与应用 . )ꎬ预测 年我国生活垃圾无害化处
０ ０１ ２０１６
理量.
1.
求经验回归方程的步骤
附注:
计算出 ｘ ｙ ｘ２ ｘ２ ｘ２ ｘ ｙ ｘ ｙ
１) 、 、 １ ＋ ２ ＋＋ ｎ、 １ １ ＋ ２ ２ ＋
７ ７
ｘ ｙ 参考数据: ｙ . ꎬ ｔ ｙ . ꎬ
＋ ｎ ｎꎻ ∑ ｉ＝ ｉ ＝ ９ ３２ ∑ ｉ＝ ｉ ｉ ＝ ４０ １７
１ １
计算 ａ ｂ
２) ＾ 、 ＾ ꎻ ７
(ｙ － ｙ)２ . ꎬ . .
写出经验回归方程 ｙ ｂｘ ａ. ∑ ｉ＝ ｉ ＝０ ５５ ７≈２ ６４６
３)
＾＝ ＾ ＋＾
参考
１
公式:相关系数
2.
经验回归方程的应用
ｎ
若已知经验回归方程 方程中无参数 则把 (ｔ － ｔ)(ｙ － ｙ)
１) ( )ꎬ ∑ ｉ＝ ｉ ｉ
自变量代入经验回归方程即可对因变量进 ｒ １ ꎬ
＝ ｎ ｎ
行预测.
(ｔ
ｉ
－ ｔ)２ (ｙ
ｉ
－ ｙ)２
∑ ｉ＝ ∑ ｉ＝
１ １
若经验回归方程中有参数 则根据经验回归 回归方程 ｙ ａ ｂｔ 中斜率和截距的最小二乘估
２) ꎬ ＾＝＾＋ ＾
直线一定经过点 ｘ ｙ 求出参数值 得到经 ｎ
( ꎬ ) ꎬ (ｔ － ｔ)(ｙ － ｙ)
验回归方程 ꎬ 进而完成预测. 计公式分别为:ｂ ∑ ｉ＝ １ ｉ ｉ ꎬａ ｙ
例1 ( 课标 ꎬ ꎬ 分)下图是我国 ＾ ＝ ｎ ＾ ＝ －
２０１６ Ⅲ １８ １２
(ｔ
ｉ
－ ｔ)２
年至 年生活垃圾无害化处理量(单 ∑ ｉ＝ １
２００８ ２０１４
ｂ ｔ.
位:亿吨)的折线图. ＾
解析 ( )由折线图中数据和附注中参考数
１
据得
７ ７
ｔ ꎬ (ｔ ｔ)２ ꎬ (ｙ － ｙ)２ . ꎬ
＝４ ∑ ｉ＝ ｉ－ ＝２８ ∑ ｉ＝ ｉ ＝０ ５５
１ １
７ ７ ７
(ｔ ｔ)(ｙ ｙ) ｔ ｙ ｔ ｙ . .
∑ ｉ＝ ｉ－ ｉ－ ＝∑ ｉ＝ ｉ ｉ－ ∑ ｉ＝ ｉ＝４０ １７－４×９ ３２
１ １ １
. ꎬ
＝２ ８９
注:年份代码 分别对应年份 .
.
１~７ ２００８~２０１４ ｒ ２ ８９ . . ( 分)
( )由折线图看出ꎬ可用线性回归模型拟合 ｙ ≈ . . ≈０ ９９ ４
１ ０ ５５×２×２ ６４６
与 ｔ 的关系ꎬ请用相关系数加以说明ꎻ 因为 ｙ 与 ｔ 的相关系数近似为 . ꎬ说明 ｙ 与 ｔ
０ ９９
( )建立 ｙ 关于 ｔ 的回归方程(系数精确到 的线性相关程度相当高ꎬ从而可以用线性回归
２
模型拟合 ｙ 与 ｔ 的关系. ( 分) 的努力ꎬ第二次参加考试合格的概率会增加
６
. . .现从该校学生中任意抽取 名学生ꎬ求至
( ) 由 ｙ ９ ３２ . 及 ( ) 得 ｂ ０ １ ２
２ ＝ ≈ １ ３３１ １ ＾ ＝ 多两次英语四级考试后ꎬ这两人全部合格的
７
７ 概率.
(ｔ － ｔ)(ｙ － ｙ)
∑ ｉ＝ １ ７ ｉ (ｔ － ｔ) ｉ ２ ＝ ２ ２ . ８ ８ ９ ≈０ . １０３ ꎬａ ＾ ＝ ｙ － ｂ ＾ ｔ ＝ 附:χ ２ ＝(ａ ｂ)( ｎ ｃ (ａ ｄ ｄ ) － ( ｂ ａ ｃ) ｃ ２ )(ｂ ｄ) ꎬ
ｉ ＋ ＋ ＋ ＋
∑ ｉ＝
１
. . . . α . . .
１ ３３１－０ １０３×４≈０ ９２ ０ ０５０ ０ ０１０ ０ ００１
所以ꎬｙ 关于 ｔ 的回归方程为 ｙ ＾＝０ . ９２＋０ . １０ ｔ. ｘ α ３ . ８４１ ６ . ６３５ １０ . ８２８
( 分) 解析 ( )零假设为 Ｈ :该校首次参加英语四
１０ １ ０
将 年对应的ｔ 代入回归方程得ｙ . 级考试合格与性别无关.根据表中数据ꎬ计算得到
２０１６ ＝９ ＾＝０ ９２
＋０
.
１０×９＝１
.
８２
.
χ ２ １００×
(
３５×５－４５×１５
)２
. . ｘ ꎬ
所以预测 年我国生活垃圾无害化处理量
＝ ＝６２５<６６３５＝
０
.
０１
５０×５０×８０×２０
２０１６
约为 . 亿吨. ( 分) 根据小概率值 α . 的独立性检验ꎬ没有充
＝０ ０１
１ ８２ １２
分证据推断 Ｈ 不成立ꎬ因此可以认为 Ｈ 成
考法 二 独立性检验的应用
０ ０
立ꎬ即认为该校首次参加英语四级考试的学生
独立性检验的一般步骤
合格与性别无关.
1.
提出零假设Ｈ Ｘ 和Ｙ 相互独立 并给出在问
０: ꎬ ( )设 人中合格人数为 ξꎬ则 ξ 的所有可能取
题中的解释. ２ ２
值为 ꎬ ꎬ ꎬ
2. 根据抽样数据整理出 列联表 计算 χ 的 ０ １ ２
２
２×２ ꎬ
２ １ １
值 并与临界值 ｘ 比较. Ｐ(ξ ) Ｃ１５ ３ꎬＰ(ξ ) Ｃ３５Ｃ１５ ３ꎬ
ꎬ α ＝０ ＝ ２ ＝ ＝１ ＝ ２ ＝
3. 根据检验规则得出推断结论. Ｃ５０ ３５ Ｃ５０ ７
２
4. 在Ｘ 和Ｙ 不独立的情况下 根据需要 通过比 Ｐ(ξ ) Ｃ３５ １７ꎬ
ꎬ ꎬ ＝２ ＝ ２ ＝
较相应的频率分析 Ｘ 和 Ｙ 间的影响规律.
Ｃ５０ ３５
所以 ξ 的分布列为
例2 某高校男、女学生人数基本相当ꎬ为了解
ξ
该校英语四级考试情况ꎬ随机抽取了该校首次 ０ １ ２
参加英语四级考试的男、女各 名学生的成 Ｐ ３ ３ １７
５０
３５ ７ ３５
绩ꎬ情况如下表:
所以 Ｅ(ξ) ３ ３ １７ ７.
合格 不合格 ＝ ０× ＋１× ＋２× ＝
３５ ７ ３５ ５
男生 ( )由已知得该校学生首次参加英语四级考试
３５ １５ ３
女生
４５ ５ 成绩合格的概率为４ꎬ首次不合格第二次合格
( )依据α . 的独立性检验ꎬ能否认为该校 ５
5 １ ＝０ ０１
年 首次参加英语四级考试的学生合格与性别 的概率为９ ꎬ
高
考 有关? １０
3 所以两位同学都首次参加英语四级考试成绩
年
模 ( )从这 名男生中任意选 人ꎬ求这 人中
２ ５０ ２ ２
拟
合格人数的分布列及数学期望ꎻ 合格的概率为４ ４ １６ꎬ两位同学其中一位首
× ＝
A
５ ５ ２５
版 ( )将抽取的这 名学生合格的频率视为该
次合格ꎬ另一位同学首次不合格ꎬ第二次合格
３ １００
高
校首次参加英语四级考试的每位学生合格的
考
数 的概率为 ４ １ ９ ３６ꎬ
学 概率.若学生首次考试不合格ꎬ则经过一段时间 ２× × × ＝
５ ５ １０ １２５
３３６
两位同学都首次不合格ꎬ第二次都合格的概率 所以至多两次英语四级考试后ꎬ这两人全部合
为１ １ ９ ９ ８１ ꎬ 格的概率为１６ ３６ ８１ ２ ４０１ . .
× × × ＝ ＋ ＋ ＝ ＝０ ９６０ ４
５ ５ １０ １０ ２ ５００ ２５ １２５ ２ ５００ ２ ５００
专
题
十
一
概
率
与
统
计
３３７
