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第2讲 变量间的相关关系与统计案例
最新考纲 考向预测
1.会作两个有关联变量的数据的散点
两个变量线性相关的判断
图，并利用散点图认识变量间的相关
及应用，回归直线方程的
关系.
求法及应用，利用2×2列
2.了解最小二乘法的思想，能根据给出
命题趋势 联表判断两个变量的相关
的线性回归方程系数公式建立线性回
关系是高考考查的热点，
归方程(线性回归方程系数公式不要求
题型为选择与填空题，或
记忆).
者在解答题中综合考查.
3.了解独立性检验的思想、方法，并能
初步应用独立性检验的思想方法解决
一些简单的实际问题.
4.通过典型案例了解回归分析的思想 核心素养 数据分析、数学运算
方法，并能初步应用回归分析的思想、
方法解决一些简单的实际问题.
1．变量间的相关关系
常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函
数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条
直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．
(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相
关关系称为 正 相关 ，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为
负相关．
(3)回归方程为y＝bx＋a，其中b＝，
a＝ y － b x ．
(4)相关系数
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近
于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r|大于0.75 时，认为两个
变量有很强的线性相关性．
3．独立性检验
(1)2×2列联表：假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x ，x }和
1 2
{y ，y }，其样本频数列联表(称2×2列联表)为：
1 2
y y 总计
1 2
x a b a ＋ b
1
x c d c＋d
2
总计 a＋c b ＋ d a＋b＋c＋d
(2)K2统计量
K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．
常用结论
1．求解回归方程的关键是确定回归系数a，b，应充分利用回归直线过样本中
心点(x，y)．
2．根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类
变量有关的把握越大．
常见误区
1．根据回归方程计算的y值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．
2．注意线性回归方程中一次项系数为b，常数项为a，这与一次函数的习惯表
示不同．
3．应明确R2越接近于1，表示回归效果越好．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．( )
(2)利用散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示．(
)
(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( )
(4)事件X，Y的关系越密切，由观测数据计算得到的K2的观测值越大．( )
(5)通过回归方程y＝bx＋a可以估计和观测变量的取值和变化趋势．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
2．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如表：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
则y对x的线性回归直线方程为( )
A.y＝2.3x－0.7 B.y＝2.3x＋0.7
C.y＝0.7x－2.3 D.y＝0.7x＋2.3
解析：选C.易求x＝9，y＝4，样本点的中心(9，4)代入验证，满足y＝0.7x－2.3.
3．(易错题)两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的
相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是( )
A．模型1的相关指数R2为0.98
B．模型2的相关指数R2为0.80
C．模型3的相关指数R2为0.50
D．模型4的相关指数R2为0.25
解析：选A.在两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越接近于1，
拟合效果越好，在四个选项中A的相关指数最大，所以拟合效果最好的是模型1.
4．下面是2×2列联表：
y y 总计
1 2
x a 21 73
1
x 22 25 47
2
总计 b 46 120
则a＝______，b＝______．
解析：因为a＋21＝73，所以a＝52.
又a＋22＝b，所以b＝74.
答案：52 74
5．为了判断高三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学
生，得到如下2×2列联表：
理科 文科
男 13 10
女 7 20
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.
根据表中数据，得到K2的观测值
k＝≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．解析：K2的观测值k≈4.844>3.841，这表明小概率事件发生．根据假设检验的
基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出
错的可能性约为5%.
答案：5%
相关关系的判断
[题组练透]
1．(多选)观察下列各图形，其中两个变量x，y具有相关关系的图是( )
解析：选CD.由题中散点图知C项中的点都分布在一条直线附近，D项中的
点也分布在一条直线附近，所以C项和D项中的两个变量具有相关关系，A项和
B项中的点分布杂乱无序不具有相关关系．故选CD项．
2．下列命题中正确的为( )
A．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强
B．线性相关系数r越小，两个变量的线性相关性越弱
C．残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好
D．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
解析：选C.线性相关系数|r|越接近1，两个变量的线性相关性越强，所以A，B
错误；残差平方和越小的模型，模型拟合的效果就越好，C正确；相关指数R2来刻
画回归效果，R2越接近于1，说明模型的拟合效果就越好，所以D错误．
3．某公司在2020年上半年的月收入x(单位：万元)与月支出y(单位：万元)的
统计资料如表所示：
月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份
月收入x 12.3 14.5 15.0 17.0 19.8 20.6
月支出y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18
根据统计资料，则( )
A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系
B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系
D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系
解析：选C.月收入的中位数是＝16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性
相关关系．
判定两个变量正、负相关性的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左
上角到右下角，两个变量负相关．
(2)相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关．
(3)线性回归方程中：b>0时，正相关；b<0时，负相关．
回归分析
角度一 线性回归方程及其应用
(2020·湖北八校第一次联考)为落实国家扶贫攻坚政策，某社区应上级
扶贫办的要求，对本社区所有贫困户每年年底进行收入统计，下表是该社区A贫
困户从2016年至2019年的收入统计数据：(其中y为A贫困户的人均年纯收入)
年份 2016年 2017年 2018年 2019年
年份代码x 1 2 3 4
人均年纯收入y/百元 25 28 32 35
(1)作出A贫困户的人均年纯收入的散点图；
(2)根据上表数据，用最小二乘法求出y关于年份代码x的线性回归方程y＝bx
＋a，并估计A贫困户在2020年能否脱贫．(注：国家规定2020年的脱贫标准为人
均年纯收入不低于3 800元)
(参考公式：b＝，a ＝y－bx)
【解】 (1)由表格中的数据得散点图如图：
(2)根据表格中的数据可得x＝＝，y＝＝30，
所以b＝＝3.4，a＝y－bx＝30－3.4×＝21.5.
故y关于x的线性回归方程为y＝3.4x＋21.5，当x＝5时，y＝38.5(百元)，因为3 850>3 800，所以预测A贫困户在2020年能
脱贫．
求回归直线方程的步骤
角度二 相关系数及其应用
(2020·高考全国卷Ⅱ节选)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改
善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积
相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调
查得到样本数据(x，y)(i＝1，2，…，20)，其中x 和y 分别表示第i个样区的植物覆
i i i i
盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得∑x＝60，∑y＝1 200，∑ (x
i i i
－x)2＝80，∑ (y－y)2＝9 000，∑ (x－x)·(y－y)＝800.
i i i
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样
区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；
(2)求样本(x，y)(i＝1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01)．
i i
附：相关系数r＝，≈1.414.
【解】 (1)由已知得样本平均数y＝∑y＝60，从而该地区这种野生动物数量的
i
估计值为60×200＝12 000.
(2)样本(x，y)(i＝1，2，…，20)的相关系数
i i
r＝＝＝≈0.94.
回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的
线性相关性越强．
(2020·武汉市学习质量检测)有人收集了某10年中某城市居民
年收入(即该城市所有居民在一年内收入的总和)与某种商品的销售额的相关数
据如表：
第n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年
年收
32.0 31.0 33.0 36.0 37.0 38.0 39.0 43.0 45.0 x
10
入x/亿
元
商品
销售
额 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 y
10
y/万
元
且已知∑x＝380.0.
i
(1)求第10年的年收入x ；
10
(2)若该城市居民年收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程y＝x
＋a，
①求该种商品第10年的销售额y ；
10
②若该城市居民年收入为40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？(精确
到0.01)
附：①在线性回归方程y＝bx＋a中，b＝，
a＝y－bx；
②∑x－10x2＝254.0，∑xy＝12 875.0，∑y＝340.0.
i i i
解：(1)因为∑x＝380.0.
i
所以32＋31＋33＋36＋37＋38＋39＋43＋45＋x ＝380，解得x ＝46.
10 10
(2)①由该城市居民年收入 x与该种商品的销售额 y之间满足线性回归方程y
＝x＋a知b＝，即b＝＝，
即＝，
解得y ＝51.
10
②求得x＝38，y＝39.1，代入y＝x＋a得39.1＝×38＋a，
解得a≈－15.21，所以y＝x－15.21，
当x＝40时，y＝×40－15.21≈41.96，
故若该城市居民年收入为40.0亿元，估计这种商品的销售额是41.96万元．
独立性检验
(2020·新高考卷Ⅰ)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某
市空气质量进行调研，随机抽查了 100天空气中的 PM2.5和SO 浓度(单位：
2
μg/m3)，得下表：SO
2
[0，50] (50，150] (150，475]
PM2.5
[0，35] 32 18 4
(35，75] 6 8 12
(75，115] 3 7 10
(1)估计事件“该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且 SO 浓度不超过
2
150”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：
SO
2
[0，150] (150，475]
PM2.5
[0，75]
(75，115]
(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5
浓度与SO 浓度有关？
2
附：K2＝，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【. 解】 (1)根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO
2
浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8 ＝64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度
不超过75，且SO 浓度不超过150的概率的估计值为＝0.64.
2
(2)根据抽查数据，可得2×2列联表：
SO
2
[0，150] (150，475]
PM2.5
[0，75] 64 16
(75，115] 10 10
(3)根据(2)的列联表得
K2的观测值k＝≈7.484.
由于7.484>6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 浓
2
度有关．
(1)独立性检验的一般步骤
①根据样本数据制成2×2列联表；②根据公式K2＝计算K2的观测值k；
③查表比较K2与临界值的大小关系，作出统计判断．
(2)解独立性检验的应用问题的关注点
①两个明确：(ⅰ)明确两类主体；(ⅱ)明确研究的两个问题；
②两个准确：(ⅰ)准确画出2×2列联表；(ⅱ)准确理解K2.
(2020·长沙市统一模拟考试)为了解某校学生参加社区服务的情
况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，已知该校共有学生960人，其中男生
560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统
计数据如下表：
超过1小时的人数 不超过1小时的人数
男 20 8
女 12 m
(1)求m，n的值；
(2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时
与性别有关？
附：
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
k＝.
解：(1)由已知，该校有女生400人，故＝，得m＝8，
从而n＝20＋8＋12＋8＝48.
(2)作出2×2列联表如下：
超过1小时的人数 不超过1小时的人数 总计
男 20 8 28
女 12 8 20
总计 32 16 48
K2的观测值k＝＝≈0.685 7<3.841.
所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过 1小时
与性别有关．
[A级 基础练]1．在一次对性别与说谎是否相关的调查中，得到如下数据：
说谎 不说谎 总计
男 6 7 13
女 8 9 17
总计 14 16 30
根据表中数据，得到如下结论正确的一项是( )
A．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关
B．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关
C．在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关
D．在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关
解析：选D.由已知得K2的观测值k＝≈0.002<0.455，所以在犯错误的概率不
超过50%的情况下，认为说谎与性别无关，也就是说，在此调查中没有充分的证
据显示说谎与性别有关．
2．(2020·四川绵阳二诊)已知某产品的销售额y(单位：万元)与广告费用x(单
位：万元)之间的关系如下表：
x(单位：万元) 0 1 2 3 4
y(单位：万元) 10 15 m 30 35
若根据表中的数据用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为y＝6.5x＋9，
则下列说法中错误的是( )
A．产品的销售额与广告费用成正相关
B．该回归直线过点(2，22)
C．当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元
D．m的值是20
解析：选C.由线性回归方程y＝6.5x＋9中的回归系数6.5>0，可知产品的销售
额与广告费用成正相关，故A中的说法正确；
x＝＝2，y＝＝，代入y＝6.5x＋9，得＝6.5×2＋9，解得m＝20，故D中的说法
正确；
y＝＝＝22，则该回归直线过点(2，22)，故B中的说法正确；
当x＝10时，y＝6.5×10＋9＝74，说明当广告费用为10万元时，销售额预计
为74万元，故C中的说法错误．故选C.
3．如图是从2015年到2020年六年间我国公共图书馆业机构数与对应年份
编号的散点图(为便于计算，将2015年编号为1，2016年编号为2，…，2020年编号为6，把每年的公共图书馆业机构数作为预报变量，把年份编号作为解释变量
进行回归分析)，得到回归直线方程为y＝13.743x＋3 095.7，其相关指数R2＝0.981
7，给出下列结论，其中正确的个数是( )
①公共图书馆业机构数与年份编号的正相关性较强；
②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743；
③可预测2021年公共图书馆业机构数为3 192.
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选D.因为散点图中各点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正
相关，因为R2＝0.981 7接近于1，所以公共图书馆业机构数与年份编号的相关性
较强，故①正确；因为回归直线的斜率为13.743，所以公共图书馆业机构数平均
每年增加13.743，故②正确；将x＝7代入回归直线方程y＝13.743x＋3 095.7，解
得y＝3 191.901≈3 192，所以可预测2021年公共图书馆业机构数为3 192，故③
正确．综上所述，正确的个数是3，故选D.
4．(多选)下列说法中错误的是( )
A．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
B．设有一个回归直线方程y＝3－5x，变量x增加1个单位时，y平均增加5个
单位
C．设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之
间的线性相关程度越强
D．在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，则K2的值越大，判断两个变量
间有关联的把握就越大
解析：选BC.根据方差公式，可知将一组数据中的每个数据都加上或减去同
一个常数后，方差恒不变，故A正确；变量x增加一个单位时，y平均减小5个单
位，故B不正确；设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于
0，x和y之间的线性相关程度越弱，故C错误；在一个2×2列联表中，由计算得
K2的值，则K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，故D正确．故选
BC.5．经调查某地若干户家庭的年收入x(万无)和年饮食支出y(万元)具有线性相
关关系，并得到y关于x的回归直线方程y＝0.245x＋0.321，由回归直线方程可知，
家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：x变为x＋1，y＝0.245(x＋1)＋0.321＝0.245x＋0.321＋0.245，因此家庭
年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．
答案：0.245
6．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，
具体情况如下表：
专业
非统计专业 统计专业
性别
男 13 10
女 7 20
为了检验主修统计专业是否与性别有关，根据表中的数据得到K2的观测值
k≈________(精确到0.001)．若断定主修统计专业与性别有关系，这种判断出错
的可能性为________．
(由临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.P(K2≥5.024)≈0.025，其中K2的观测值k
＝，n＝a＋b＋c＋d)
解析：由题意，根据公式可得K2的观测值k＝
≈4.844.
因为4.844>3.841，所以断定主修统计专业与性别有关系，这种判断出错的可
能性为0.05.
答案：4.844 0.05
7．(2020·合肥模拟)某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本
选修课程的选课意向进行调查．现从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中
男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名．
(1)试问：从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为多少？
(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面的2×2列联表．并判断能否
在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科学类的选择与性别有关？
选择自然科学类 选择社会科学类 总计
男生
女生
总计附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k ) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
0
解：(1)从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为＝.
(2)根据统计数据，可得2×2列联表如表：
选择自然科学类 选择社会科学类 总计
男生 60 45 105
女生 30 45 75
总计 90 90 180
则K2的观测值k＝＝≈5.143 9>5.024，
所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科学类的选择与性别有关．
8．某市春节期间7家超市广告费支出x(万元)和销售额y(万元)数据如表：
i i
超市 A B C D E F G
广告费支出x(万元) 1 2 4 6 11 13 19
i
销售额y(万元) 19 32 40 44 52 53 54
i
(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y与x的线性回归方程；
(2)若用二次函数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：y＝－0.17x2＋
5x＋20，经计算，二次函数回归模型和线性回归模型的R2分别约为0.93和0.75，
请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出为3
万元时的销售额．
参考数据：x＝8，y＝42，∑xy＝2 794，∑x＝708.
i i
参考公式：b＝，a＝y－bx.
解：(1)b＝＝＝1.7.
所以a＝y－bx＝42－1.7×8＝28.4.
故y关于x的线性回归方程是y＝1.7x＋28.4.
(2)因为0.75<0.93，所以二次函数回归模型更合适．
当x＝3时，y＝33.47.故选择二次函数回归模型更合适，并且用此模型预测A
超市广告费支出为3万元时的销售额为33.47万元．
[B级 综合练]
9．(2020·高考全国卷Ⅲ)某学生兴趣小组随机调查了某市 100天中每天的空
气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：
锻炼人次 [0，200] (200，400] (400，600]空气质量等级
1(优) 2 16 25
2(良) 5 10 12
3(轻度污染) 6 7 8
4(中度污染) 7 2 0
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间
的中点值为代表)；
(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空
气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的
2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的
人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400 人次>400
空气质量好
空气质量不好
附：K2＝，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.解：(1)由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如
表：
空气质量等级 1 2 3 4
概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09
(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
(100×20＋300×35＋500×45)＝350.
(3)根据所给数据，可得2×2列联表：
人次≤400 人次>400
空气质量好 33 37
空气质量不好 22 8
根据列联表得
K2＝≈5.820.
由于5.820>3.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市
当天的空气质量有关．[C级 创新练]
10．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：
千元)对年销售量z(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x
i
和年销售量y(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统
i
计量的值．
∑ (x－x) ∑ (w－w)
i i
x y w ∑ (x－x)2 ∑ (w－w)2
i i
·(y－y) ·(y－y)
i i
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
表中w＝，w＝∑w.
i i
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年
宣传费x的回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答
下列问题：
①当年宣传费x＝49千元时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u ，v )，(u ，v )，…，(u ，v )，其回归直线v＝α＋βu的斜率和
1 2 2 2 n n
截距的最小二乘估计分别为：β＝，a＝v－βu.
解：(1)由散点图可以判断y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回
归方程类型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程，由d＝＝＝68.得c＝y－dw＝563
－68×6.8＝100.6.
所以y关于w的线性回归方程为y＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为
y＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值y＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值z＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值z＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，z取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
