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８０８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１１．５ 变量间的相关关系、统计案例
§
当ｒ 时 表明两个变量 负相关 ．
＜０ ， ⑤
ｒ的绝对值越接近于 表明两个变量的线性相关性越强 ｒ
１， ；
的绝对值越接近于 表明两个变量之间几乎不存在线性相关关
０，
考点一 变量间的相关关系
系．当ｒ的绝对值大于或等于 ． 时 认为两个变量有很强的线
０７５ ，
１．变量间的相关关系 性相关关系．
常见的两变量之间的关系有两类 一类是函数关系 另一类 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析
（１） ： ， （４）
是相关关系．与函数关系不同 相关关系是一种非确定性关系． 的一种常用方法．在线性回归模型ｙ ｂｘ ａ ｅ中 因变量ｙ的值
， ＝ ＋ ＋ ，
在散点图中 点散布在从左下角到右上角的区域内 两 由自变量ｘ和随机误差ｅ共同确定 即自变量ｘ只能解释部分ｙ
（２） ， ， ，
个变量的这种相关关系称为 正相关 点散布在从左上角到右 的变化 在统计中 我们把自变量ｘ称为解释变量 因变量ｙ称为
① ， ， ， ，
下角的区域内 两个变量的相关关系称为 负相关 ． 预报变量．
， ②
２．两个变量的线性相关
从散点图上看 如果这些点从整体上看大致分布在通过 考点二 独立性检验
（１） ，
散点图中心的一条直线附近 称两个变量之间具有线性相关关 １．分类变量 变量的不同 值 表示个体所属的不同类别 像
， ： “ ” ，
系 这条直线叫做回归直线． 这样的变量称为分类变量．
，
回归直线方程 ２．列联表 列出两个分类变量的 频数表 称为列联表．假
（２） ： ⑥ ，
ｎ 设有两个分类变量 Ｘ 和 Ｙ 它们的可能取值分别为 ｘ ｘ 和
到回
（
归
ｉ）
直
最
线
小
的
二
方
乘
法
法 ：
即
通
使
过
得
求
样
Ｑ
本
＝
数
∑ｉ＝
据
１
（
的
ｙ ｉ
点
－ ｂ
到
ｘ ｉ－
回
ａ ）
归
２
直
的
线
最
的
小
距
值
离
而得
的
｛
ｙ
１，
ｙ
２｝，
其样本频数列联表 ，
（
称为
２×２
列联表
）
为
：
｛ １， ２｝
， ｙ ｙ 总计
平方和最小的方法叫做 最小二乘法 ． １ ２
③ ｘ ａ ｂ ａ ｂ
回归方程 方程ｙ ｂｘ ａ是两个具有线性相关关系的变 １ ＋
（ｉｉ） ： ＾＝＾ ＋＾ ｘ ｃ ｄ ｃ ｄ
量的一组数据 （ ｘ １， ｙ １），（ ｘ ２， ｙ ２），…，（ ｘ ｎ， ｙ ｎ） 的回归方程 ， 其中
总计
２
ａ ｃ ｂ ｄ ａ ｂ
＋
ｃ ｄ
ａ ｂ是待定参数． ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
＾，＾
ｎ ｎ ｎ ａｄ ｂｃ ２
ｘ － ｘ ｙ － ｙ ｘｙ － ｎｘ ｙ 可构造一个随机变量Ｋ２ （ － ） 其中ｎ
ａ
＾
＝ ｙ － ｂ＾ ｘ
，
ｂ＾ ＝ ∑ｉ＝ １ （
ｎ
ｉ ）（ ｉ ） ＝ ∑ｉ＝ １
ｎ
ｉ ｉ
， ａ ｂ ｃ ｄ为样本容量．
＝ （ ａ ＋ ｂ ）（ ｃ ＋ ｄ ）（ ａ ＋ ｃ ）（ ｂ ＋ ｄ ） ，
∑ｉ＝ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ＝ ｘ２ｉ － ｎｘ２ ＝ ＋ ３ ＋ ．独 ＋ 立性检验
１ １
其中ｘ ＝ １
ｎ
ｘ ｙ ＝ １
ｎ
ｙ ｘ ｙ 称为样本点的中心．
利用独立性假设
、
随机变量
⑦
Ｋ２ 来确定是否有一定把握认
ｎ ∑ｉ＝ ｉ， ｎ ∑ｉ＝ ｉ，（ ， ） 为 两个分类变量有关系 的方法称为两个分类变量的独立性
１ １ “ ”
相关系数ｒ 检验．
（３）
ｎ 两个分类变量Ｘ和Ｙ是否有关系的判断标准
ｒ ＝ ∑ｉ＝ １ （ ｘ ｉ － ｘ ）（ ｙ ｉ － ｙ ） 统计学研究表明 ： 当Ｋ２ ≤３ ． ８４１ 时 ， 认为Ｘ与Ｙ ： 无关 ；
（ｉ） 当ｒ ∑ 时 ｉ＝ ｎ １ （ 表 ｘ ｉ 明 － 两 ｘ ） 个 ２ ∑ 变 ｉ＝ ｎ １ 量 （ ｙ ｉ － 正 ｙ ） 相 ２ 关 ； 当 当 Ｋ Ｋ ２ ２ ＞ ＞ ３ ６ ． ． ８ ６ ４ ３ １ ５ 时 时 ， ， 有 有 ９ ９ ５ ９ ％ ％ 的 的 把 把 握 握 说 说 Ｘ Ｘ 与 与 Ｙ Ｙ 有 有 关 关 ； ；
（ｉｉ） ＞０ ， ④ ； 当Ｋ２ ． 时 有 ． ％的把握说Ｘ与Ｙ有关．
＞１０８２８ ， ９９９
续表
ｘ 单位 万元
（ ： ） ０ １ ２ ３ ４
ｙ 单位 万元
考点一 变量间的相关关系 （ ： ） １０ １５ ２０ ３０ ３５
若求得其线性回归方程为ｙ ． ｘ ａ 则预计当广告费用为
１．已知变量ｘ和ｙ满足关系ｙ ＾＝－０ ． １ ｘ ＋１， 变量ｙ与ｚ正相关 ， 下列 万元时的销售额为 ＾＝６ ５ ＋＾， ６
结论中正确的是 （ ）
（ ） 万元 万元 万元 万元
ｘ与ｙ正相关 ｘ与ｚ负相关 ｘ与ｙ正相关 ｘ与ｚ正相关 Ａ．４２ Ｂ．４５ Ｃ．４８ Ｄ．５１
Ａ． ， Ｂ． ， 答案 Ｃ
ｘ与ｙ负相关 ｘ与ｚ负相关 ｘ与ｙ负相关 ｘ与ｚ正相关
Ｃ． ， Ｄ． ， ３．下列说法错误的是
答案 Ｃ （ ）
回归直线过样本点的中心 ｘ ｙ
２．已知某产品的销售额ｙ 万元 与广告费用ｘ 万元 之间的关 Ａ． （ ， ）
（ ） （ ）
系如下表 ： Ｂ． 线性回归方程对应的直线ｙ ＾＝ ｂ ＾ ｘ ＋ ａ ＾ 至少经过其样本数据点
ｘ ｙ ｘ ｘ ｘ ｙ 中的一个点
ｘ
（
单位
：
万元
） ０ １ ２ ３ ４
（ １， １），（ ２， ２），…，（ ｎ， ｎ）
专题十一 概率与统计 ８０９
在残差图中 残差点分布的带状区域的宽度越狭窄 其模型
Ｃ． ， ， 有关 做了一次调查 其中女生人数是男生人数的 １ 男生喜
拟合的精度越高 ” ， ，
３
Ｄ．
在回归分析中
，
Ｒ２ 为
０
．
９８
的模型比Ｒ２ 为
０
．
８０
的模型拟合
欢韩剧的人数占男生人数的 １ 女生喜欢韩剧的人数占女生
的效果好 ，
６
答案 Ｂ
人数的 ２ 若有 ％的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关 则
４．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款 举行 一元钱 一片
３
， ９５ ，
心 诚信用水 活动 学生在购水处每领取
，
一瓶矿
“
泉水 便
，
自觉
男生至少有 人．
， ” ， ，
向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续 天的售出和收益 Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ．
５ （ ≥ ０） ００５０ ００１０ ０００１
情况 如下表
， ： ｋ ． ． ．
０ ３８４１ ６６３５ １０８２８
售出水量ｘ 单位 箱
（ ： ） ７ ６ ６ ５ ６ 答案
１８
收益ｙ
（
单位
：
元
） １６５ １４２ １４８ １２５ １５０
６．为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后从事的
若ｘ与ｙ线性相关 则某天售出 箱水时 预计收益为多少元 工作与教育是否有关的情况 随机调查了该校 位性别不都
（１） ， ８ ， ； ， ８０
期中考试以后 学校决定将诚信用水的收益以奖学金的形 相同的 年师范类毕业大学生 得到具体数据如下表
（２） ， ２０１９ ， ：
式奖励给品学兼优的特困生 规定 特困生考入年级前
与教育有关 与教育无关 合计
， ： ２００
名 获一等奖学金 元 考入年级 名 获二等奖
， ５００ ； ２０１～５００ ， 男
学金 元 考入年级 名以后的特困生将不获得奖学 ３０ １０ ４０
３００ ； ５０１ 女
３５ ５ ４０
金．甲 乙两名学生获一等奖学金的概率均为 ２ 获二等奖
、 ， 合计
５ ６５ １５ ８０
能否在犯错误的概率不超过 ％的前提下 认为 师范类毕
学金的概率均为 １ 不获得奖学金的概率均为 ４ ． （１） ５ ， “
， 业生从事与教育有关的工作与性别有关
３ １５
”？
在学生甲获得奖学金的条件下 求他获得一等奖学金的
求这 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率
① ，
（２） ８０ ；
概率
以 中的频率作为概率 从该校近几年毕业的 名
；
（３） （２） ， ２ ０００
已知甲 乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立
师范类大学生中随机选取 名 记这 名毕业生从事与教
② 、
４ ， ４
的
，
求甲
、
乙两名学生所获得奖学金总金额Ｘ
（
元
）
的分布
育有关工作的人数为Ｘ 求Ｘ的数学期望Ｅ Ｘ ．
， （ ）
列及数学期望．
ｎ ａｄ ｂｃ ２
ｎ
参考公式
：
Ｋ２
＝ ａ ｂ ｃ
（
ｄ
－
ａ
）
ｃ ｂ ｄ （
ｎ
＝
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ
＋
ｄ
）
．
附 ： ｂ＾ ＝
∑ｉ＝
１
（ ｘ
ｎ
ｉ － ｘ ）（ ｙ ｉ － ｙ ）
， ａ＾ ＝ ｙ － ｂ＾ ｘ．
附表
：
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
∑ｉ＝ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２ Ｐ （ Ｋ２ ≥ ｋ ０） ０ ． ５０ ０ ． ４０ ０ ． ２５ ０ ． １５ ０ ． １０ ０ ． ０５ ０ ． ０２５ ０ ． ０１０
１
ｋ ． ． ． ． ． ． ． ．
考点二 独立性检验 ０ ０４５５ ０７０８ １３２３ ２０７２ ２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５
５．针对时下的 韩剧热 某校团委对 学生性别和喜欢韩剧是否
“ ”， “
ｘ
６ ８ １０ １２
ｙ ｍ
６ ３ ２
考点一 变量间的相关关系 变量ｘ ｙ之间成负相关关系
Ａ． ，
１．（２０１８河南焦作四模，３）已知变量ｘ和ｙ的统计数据如下表 Ｂ． 可以预测 ， 当ｘ ＝２０ 时 ， ｙ ＾＝－３ ． ７
：
ｍ
ｘ Ｃ． ＝４
３ ４ ５ ６ ７ 该回归直线必过点
Ｄ． （９，４）
ｙ ． ．
２５ ３ ４ ４５ ６ 答案 Ｃ 由 ． 得变量ｘ ｙ之间成负相关关系 故
－０ ７＜０， ， ， Ａ
根据上表可得回归直线方程为ｙ ＾＝ ｂ ＾ ｘ －０ ． ２５， 据此可以预测当ｘ 说法正确 ； 当 ｘ ＝２０ 时 ， ｙ ＾＝－０ ． ７×２０＋１０ ． ３＝－３ ． ７， 故 Ｂ 说法
时 ｙ 正确
＝８ ，＾＝ （ ） ；
． ． ． ．
Ａ．６４ Ｂ．６２５ Ｃ．６５５ Ｄ．６４５ 由表格数据可知ｘ １ ｙ １ ｍ
＝ ×（６＋８＋１０＋１２）＝９， ＝ ×（６＋ ＋３＋２）
答案 Ｃ 由题意知ｘ ３＋４＋５＋６＋７ ｙ ２ ． ５＋３＋４＋４ ． ５＋６ ４ ４
＝ ＝５， ＝ ｍ ｍ
５ ５ １１＋ 则１１＋ ． ． 解得ｍ 故 说法错
＝ ， ＝－０７×９＋１０３， ＝５， Ｃ ；
＝４， ４ ４
将
（５，４）
代入ｙ
＾＝
ｂ
＾
ｘ
－０
．
２５，
解得ｂ
＾＝０
．
８５，
则ｙ
＾＝０
．
８５
ｘ
－０
．
２５，
由ｍ
＝５，
得ｙ
＝
６＋５＋３＋２
＝４，
所以回归直线必过点
（９，４），
故
Ｄ
所以当ｘ 时 ｙ ． ． ． 故选 ４
＝８ ，＾＝０８５×８－０２５＝６５５， Ｃ． 说法正确．故选
２．（２０１８湖南张家界三模，４）已知变量ｘ ｙ之间的线性回归方 Ｃ．
， ３．根据如下样本数据
程为ｙ ． ｘ ． 且变量ｘ ｙ之间的一组相关数据如下表 ：
＾＝－０７ ＋１０３， ，
所示 则下列说法错误的是 ｘ
３ ４ ５ ６ ７
， （ ）
∙∙
８１０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
在犯错误的概率不超过 ． ％的前提下 认为 生育意愿与城
ｙ ４ ． ０ ａ －５ ． ４ －０ ． ５ ０ ． ５ ｂ －０ ． ６ Ａ． ０１ ， “
市级别有关
得到的回归方程为ｙ ＾＝ ｂｘ ＋ ａ．若样本点的中心为 （５，０ ． ９）， 则当ｘ 在犯错误的概 ” 率不超过 ． ％的前提下 认为 生育意愿与城
Ｂ． ０１ ， “
每增加 个单位时 ｙ就
市级别无关
１ ， （ ）
”
Ａ．
增加
１
．
４
个单位
Ｂ．
减少
１
．
４
个单位 有 ％以上的把握认为 生育意愿与城市级别有关
Ｃ． ９９ “ ”
Ｃ．
增加
７
．
９
个单位
Ｄ．
减少
７
．
９
个单位 有 ％以上的把握认为 生育意愿与城市级别无关
Ｄ． ９９ “ ”
ａ ｂ
答案 Ｂ 依题意得 ， ＋ ５ －２ ＝０ ． ９， 故ａ ＋ ｂ ＝６ ． ５①， 答案 Ｃ ∵ Ｋ２ ＝ １００× ５ （ ８ ４ × ５ ４ × ２ ２ × ２ ３ － ５ ２ × ０ ６ × ５ １３） ２ ≈９ ． ６１６＞６ ． ６３５，
又样本点的中心为
（５，０
．
９），
有 ％以上的把握认为 生育意愿与城市级别有关 故
故 ． ｂ ａ 联立 解得ｂ ． ａ ． ∴ 选 ９９ “ ”，
０９＝５ ＋ ②， ①②， ＝－１４， ＝７９，
Ｃ．
则ｙ
＾＝－１
．
４
ｘ
＋７
．
９，
２．（２０１８安徽黄山一模，３）在吸烟与患肺癌这两个分类变量的
可知当ｘ每增加 个单位时 ｙ就减少 ． 个单位 故选 ． 独立性检验的计算中 下列说法正确的是
１ ， １４ ， Ｂ ， （ ）
４．（２０１９广东深圳一模，４）已知某产品的销售额ｙ 万元 与广 若Ｋ２ 的观测值为ｋ ． 在犯错误的概率不超过 ． 的
（ ） Ａ． ＝６６３５， ０ ０１
告费用ｘ 万元 之间的关系如下表 前提下认为吸烟与患肺癌有关系 那么在 个吸烟的人中
（ ） ： ， １００
ｘ 万元 必有 人患有肺癌
（ ） ０ １ ２ ３ ４ ９９
由独立性检验可知 在犯错误的概率不超过 ． 的前提下
ｙ 万元 Ｂ． ， ０ ０１
（ ） １０ １５ ２０ ３０ ３５ 认为吸烟与患肺癌有关系时 我们说某人吸烟 那么他有
若求得其线性回归方程为ｙ ． ｘ ａ 则预计当广告费用为 ， ，
＾＝６ ５ ＋＾， ６ ％的可能患有肺癌
万元时的销售额为 ９９
（ ） 若从统计量中求出在犯错误的概率不超过 ． 的前提下认
万元 万元 万元 万元 Ｃ． ００１
Ａ．４２ Ｂ．４５ Ｃ．４８ Ｄ．５１ 为吸烟与患肺癌有关系 是指有 ％的可能性使得判断出现
， １
答 案 Ｃ 由 题 意 得 ｘ ０＋１＋２＋３＋４ ｙ 错误
＝ ＝ ２， ＝
５ 以上三种说法都不正确
Ｄ．
１０＋１５＋２０＋３０＋３５ ｙ ． ｘ ａ ａ ． 则ｙ 答案 Ｃ 独立性检验得出的结论是带有概率性质的 只能说
＝２２，∵ ＾＝６５ ＋＾，∴ ＾＝２２－６５×２＝９， ＾＝ ，
５ 结论成立的概率有多大 而不能完全肯定一个结论 因此才出现了
． ｘ ， ，
６５ ＋９， 临界值表 在分析问题时一定要注意这点 不可对某个问题下确定
当ｘ 时 ｙ ． ．故选 ， ，
＝６ ，＾＝６５×６＋９＝４８ Ｃ． 性结论 否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．
５．（２０１８广东肇庆二模，５）已知ｘ与ｙ之间的一组数据 ，
： 若从统计量中求出在犯错误的概率不超过 ． 的前提下认为
０ ０１
ｘ
１ ２ ３ ４
吸烟与患肺癌有关系 是指有 ％的可能性使得判断出现错误．
， １
ｙ ． ． ． ． 故选 ．
０５ ３２ ４８ ７５ Ｃ
３．（２０１９广东湛江高考测试（二），５）有人认为在机动车驾驶技
若ｙ关于ｘ的线性回归方程为ｙ
＾＝
ｂ＾ｘ
＋
ａ
＾，，
则ａ
＾
的值为
（ ） 术上 男性优于女性．这是真的吗 某社会调查机构与交警合
． ． ． ． ， ？
Ａ．１２５ Ｂ．－１２５ Ｃ．１６５ Ｄ．－１６５ 作随机统计了经常开车的 名驾驶员最近三个月内是否有
１００
答案 Ｄ 由表中数据得ｘ
＝２
．
５，
ｙ
＝４，∑ｉ＝
４ ｘ２ｉ
＝１
２
＋２
２
＋３
２
＋４
２ 交通事故或交通违法事件发生
，
得到下面的列联表
：
１
男 女 合计
４
ｘｙ － ｘｙ
＝３０，∑ｉ＝ ４ １ ｘ ｉ ｙ ｉ＝５１ ． ３，∴ ｂ＾ ＝ ∑ｉ
∑
＝
ｉ
１
＝
４ ｘ ｉ ２ｉ ｉ －
４
４ ｘ２ ＝ ５１ ３ ． ０ ３ － － ４ ４ × × ２ ２ ． ． ５ ５ ２ ×４ ＝ 无 有 ４
１
０
５
３
１
５
０
７
２
５
５
１ 合计
２
．
２６，
ａ
＾＝
ｙ
－
ｂ＾ｘ
＝４－２
．
２６×２
．
５＝－１
．
６５，
故选
Ｄ．
５５ ４５ １００
ｎ ａｄ ｂｃ ２
附 Ｋ２ （ － ）
考点二 独立性检验 ： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
１．（
调
２
查
０１
一
７
线
江
城
西
市
九
和
校
非
一
一
模
线
，７
城
）随
市
着
的
国
二
家
孩
二
生
孩
育
政
意
策
愿
的
某
全
机
面
构
放
用
开
简
，
为
单
了
随
Ｐ
（
Ｋ２
≥
ｋ
０） ０
．
５０ ０
．
４０ ０
．
２５ ０
．
１５ ０
．
１０
， ｋ ． ． ． ． ．
机抽样方法从不同地区调查了 位育龄妇女 结果如下表． ０ ０４５５ ０７０８ １３２３ ２０７２ ２７０６
１００ ，
据此表 可得
非一线城市 一线城市 总计 ， （ ）
认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足 ％
愿生 Ａ． ５０
４５ ２０ ６５ 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过 ％
Ｂ． ５０
不愿生 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足 ％
１３ ２２ ３５ Ｃ． ６０
总计 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过 ％
５８ ４２ １００ Ｄ． ６０
附表 答 案 Ａ 由 题 表 中 数 据 计 算 得 Ｋ２
， ＝
：
２
Ｐ
（
Ｋ２
≥
ｋ
） ０
．
０５０ ０
．
０１０ ０
．
００１
１００×（１０×４０－３５×１５）
≈０
．
３３６７＜０
．
４５５，∴
认为机动车驾驶技
５５×４５×７５×２５
ｋ ． ． ． 术与性别有关的可靠性不足 ％．故选 ．
３８４１ ６６３５ １０８２８ ５０ Ａ
ｎ ａｄ ｂｃ ２ ２ ４．（２０１９东北师大、重庆一中等３月联考，１１） 年 国际权威
由Ｋ２ （ － ） 算得 Ｋ２ １００×（４５×２２－２０×１３） ２０１８ ，
＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ， ＝ 机构 发布的全球手机销售报告显示 华为突破 亿台出货
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ） ５８×４２×３５×６５ ＩＤＣ ： ２
． 参照附表 得到的正确结论是 量 超越苹果的出货量 首次成为全球第二 华为无愧于中国最
≈９６１６， ， （ ） ， ， ，
专题十一 概率与统计 ８１１
强的高科技企业．华为业务 余承东明确表示 华为的目标 ６．（２０２０广西玉林、南宁一模，１７）水稻是人类重要的粮食作物
ＣＥＯ ，
就是在 年前 成为全球最大的手机厂商．为了解华为手机 之一 耕种与食用的历史都相当悠久 目前我国南方农户在播
２０２１ ， ， ，
和苹果手机使用的情况是否和消费者的性别有关 对 名华 种水稻时一般有直播 撒播两种方式．为比较在两种不同的播
， １００ 、
为手机使用者和苹果手机使用者进行统计 统计结果如下表 种方式下水稻产量的区别 某市红旗农场于 年选取了
， ： ， ２０１９
手机品牌
块农田 分成两组 每组 块 进行试验．其中第一组采用
２００ ， ， １００ ，
华为 苹果 合计
性别 直播的方式进行播种 第二组采用撒播的方式进行播种．得到
，
数据如表
男 ：
３０ １５ ４５
产量（单位：斤）
女
４５ １０ ５５ 播种方式 ［８４０，８６０） ［８６０，８８０） ［８８０，９００） ［９００，９２０］ ［９２０，９４０］
合计 直播
７５ ２５ １００ ４ ８ １８ ３９ ３１
根据表格判断是否有 ％的把握认为使用哪种品牌手机与性 散播
９５ ９ １９ ２２ ３２ １８
别有关系 则下列结论正确的是 约定亩产超过 斤 含 斤 为 产量高 否则为 产量低 ．
， （ ） ９００ （ ９００ ） “ ”， “ ”
ｎ ａｄ ｂｃ ２ 请根据以上统计数据估计 块直播农田的平均产量 同
附 Ｋ２ （ － ） （１） １００ （
： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ 一组中的数据用该组区间的中点值代表
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ） ）；
请根据以上统计数据填写下面的 列联表 并判断是否
Ｐ （ Ｋ２ ≥ ｋ ） ０ ． １０ ０ ． ０５ ０ ． ０１０ ０ ． ００１ （２） ２×２ ，
有 ％的把握认为 产量高 与 播种方式 有关
ｋ ． ． ． ． ９９ “ ” “ ” ？
２７０６ ３８４１ ６６３５ １０８２８
产量高 产量低 合计
没有 ％的把握认为使用哪款手机与性别有关
Ａ． ９５ 直播
有 ％的把握认为使用哪款手机与性别有关
Ｂ． ９５ 散播
有 ％的把握认为使用哪款手机与性别无关
Ｃ． ９５ 合计
以上都不对
Ｄ． 答案 Ａ 由表可知ａ
＝３０，
ｂ
＝１５，
ｃ
＝４５，
ｄ
＝１０，
ｎ
＝１００，
附Ｋ２
＝ ａ ｂ
ｎ
ｃ
（ ａ
ｄ
ｄ － ｂ
ａ
ｃ ）
ｃ
２
ｂ ｄ
．
２ （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
则Ｋ２ １００×（３０×１０－１５×４５） ． ．
＝ ≈３０３０＜３８４１， Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ．
４５×５５×７５×２５ （ ≥ ０） ０１０ ００１０ ０００１
５． 故 （２ 没 ０１ 有 ８辽 ９５ 宁 ％的 丹 把 东 握 期 认 末 为 教 使 学 用 质 哪 量 款 监 手 测 机 ，７ 与 ） 性 某 别 校 有 为 关 了 ， 研 故 究 选 学 Ａ 生 ． 的 ｋ ０ ２ ． ７０６ ６ ． ６３５ １０ ． ８２８
解析 估计 块直播农田的平均产量为 ．
性别和对待某一活动的态度 支持与不支持 的关系 运用 （１） １００ ８５０×０ ０４＋
（ ） ， ２× ． ． ． ． 斤 ． 分
列联表进行独立性检验 经计算Ｋ２ ． 则所得到的统计 ８７０×００８＋８９０×０１８＋９１０×０３９＋９３０×０３１＝９０７（ ） （５ ）
２ ， ＝６ ７０５， 列联表如下
学结论是 有 的把握认为 学生性别与支持该活动没 （２）２×２ ：
： “
有关系 ． ∙ 产量高 产量低 合计
” （ ）
∙附 直播
： ７０ ３０ １００
Ｐ
（
Ｋ２
≥
ｋ
） ０
．
１００ ０
．
０５０ ０
．
０２５ ０
．
０１０ ０
．
００１
散播
５０ ５０ １００
ｋ ． ． ． ． ． 合计
２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５ １０８２８ １２０ ８０ ２００
． ％ ％ ％ ． ％ 分
Ａ．９９９ Ｂ．９９ Ｃ．１ Ｄ．０１ （８ ）
答案 Ｃ 因为 ． ． ． 因此有 ％的把握认为 ２
６６３５＜６７０５＜１０８２８， １ Ｋ２ ２００×（７０×５０－５０×３０） ． ．
学生性别与支持该活动没有关系 故选 ＝ ≈８３３３＞６６３５，
”， Ｃ．
１００×１００×１２０×８０
有 ％的把握认为 产量高 与 播种方式 有关． 分
∴ ９９ “ ” “ ” （１２ ）
由折线图看出 可用线性回归模型拟合ｙ与ｔ的关系
（１） ， ，
请用相关系数加以说明
；
建立ｙ关于ｔ的回归方程 系数精确到 ． 预测
考法一 线性回归分析的应用 （２） （ ００１）， ２０１６
年我国生活垃圾无害化处理量．
例１ 下图是我国 年至 年生活垃圾无害化处 附
２００８ ２０１４ ：
理量 单位 亿吨 的折线图．
（ ： ） ７ ７ ７
参考数据 ：∑ｉ＝ ｙ ｉ＝９ ． ３２，∑ｉ＝ ｔ ｉ ｙ ｉ＝４０ ． １７， ∑ｉ＝ （ ｙ ｉ － ｙ ） ２ ＝
１ １ １
． ． ．
０５５， ７≈２６４６
ｎ
ｔ － ｔ ｙ － ｙ
参考公式 相关系数ｒ
∑ｉ＝
１
（ ｉ ）（ ｉ ）
： ＝ ｎ ｎ ，
∑ｉ＝ （ ｔ ｉ － ｔ ） ２ ∑ｉ＝ （ ｙ ｉ － ｙ ） ２
１ １
回归方程ｙ
＾＝
ａ
＾＋
ｂ＾ｔ中斜率和截距的最小二乘估计公式分别
８１２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｎ
ｔ － ｔ ｙ － ｙ 参考数据 ． ．
为ｂ＾＝
∑ｉ＝
１
（
ｎ
ｉ ）（ ｉ ）
， ａ ＾＝ ｙ － ｂ ＾ ｔ．
： １６５≈１２８５
ｎ ｘ － ｘ ｙ － ｙ
∑ｉ＝ （ ｔ ｉ － ｔ ） ２ 参考公式 相关系数ｒ ∑ｉ＝ １ （ ｉ ）（ ｉ ）
解题导引 １ ： ＝ ｎ ｎ ，
∑ｉ＝ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ＝ （ ｙ ｉ － ｙ ） ２
１ １
ｎ
ｘ －ｘ ｙ －ｙ
线性回归方程ｙ ＾＝ ｂ ＾ ｘ ＋ ａ ＾ 中 ， ｂ ＾＝
∑ｉ＝
１
（
ｎ
ｉ ）（ ｉ ）
， ａ ＾＝ ｙ － ｂ ＾ ｘ．
解析 （ ）由折线图中数据和附注中参考数据得 ∑ｉ＝ （ ｘ ｉ －ｘ ） ２
１ １
解析 （ ）由表中数据和附注中的参考数据得，
７ ７ １
ｔ
＝４
，
∑ｉ＝ １
（ｔ
ｉ－
ｔ）２
＝２８
，
∑ｉ＝ １
（ｙ
ｉ
－ ｙ）２
＝０
．
５５
，
ｘ ＝７ ，ｙ ＝５ ， （ １ 分）
∑ｉ＝
７ （ｔ
ｉ－
ｔ）（ｙ
ｉ－
ｙ）
＝∑ｉ＝
７ ｔ
ｉ
ｙ
ｉ－
ｔ
∑ｉ＝
７ ｙ
ｉ＝４０
．
１７－４×９
．
３２＝２
．
８９
，
∑ｉ＝
５ （ｘ
ｉ－
ｘ）２
＝１０
，
∑ｉ＝
５ （ｙ
ｉ－
ｙ）２
＝１６
．
５
． （
２
分）
１ １ １ １ １
ｒ ２ ． ８９ ． ． （ 分） ５ （ｘ ｘ）（ｙ ｙ） ． ，ｒ －１２ ． ５ ． ． （ 分）
≈ ０ ． ５５×２×２ ． ６４６ ≈０９９ ４ ∑ｉ＝ ｉ－ ｉ－ ＝－１２５ ＝ ． ≈－０９７ ３
因为ｙ与ｔ的相关系数近似为 ． ，说明ｙ与ｔ的线性相关 １ １０×１６５
０９９ 因为 ｒ ． ［ ． ， ］，
程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合ｙ与ｔ的关系． ｜ ｜≈｜－０９７｜∈ ０７５ １
所以说明ｙ与ｘ的线性相关关系很强． （ 分）
（ 分） ５
６ ｎ
（ｘ － ｘ）（ｙ － ｙ）
（ ２ ）由ｙ ＝ ９ ． ７ ３２ ≈１ ． ３３１ 及（ １ ）得 ｂ ＾＝ ∑ｉ＝ ７ １ （ｔ ７ ｉ － （ｔ ｔ ｉ ） － （ｙ ｔ） ｉ ２ － ｙ） ＝ （ ２ ）由（ １ ）可知ｂ ＾＝ ∑ｉ＝ １ ∑ｉ＝ ｎ １ ｉ （ｘ ｉ － ｘ） ｉ ２ ＝ －１ １ ２ ０ ． ５ ＝－１ ． ２５ ，
∑ｉ＝ １ （ 分）
． ７
２ ２ ８ ８ ９ ≈０ ． １０ ，ａ ＾＝ ｙ － ｂ ＾ ｔ ＝１ ． ３３１－０ ． １０×４≈０ ． ９３ ． ∴ ａ ＾＝ ｙ － ｂ ＾ ｘ ＝５－ （ －１ ． ２５ ） ×７＝１３ ． ７５ ， （ ８ 分）
ｙ ． ｘ ． ． （ 分）
所以，ｙ关于ｔ的回归方程为ｙ ＾＝０ ． ９３＋０ ． １０ ｔ． （ １０ 分） ∴ ＾＝－１２５ ＋１３７５ ９
（ ）由题意可知，月销售额的预估值 ｚ ·ｙ·ｘ
将 ２０１６ 年对应的ｔ ＝９ 代入回归方程得 ｙ ＾＝０ ． ９３＋０ ． １０×９＝ ３ ＾＝１ ０００ ＾ ＝
１ ． ８３ ． －１２５０ ｘ２ ＋１３７５０ ｘ（元）或者ｚ ＾＝ ｙ ＾ ·ｘ ＝－１ ． ２５ ｘ２ ＋１３ ． ７５ ｘ（千元）．
所以预测 年我国生活垃圾无害化处理量约为 ． 亿吨． （ 分）
２０１６ １８３ １０
（ 分） 则当ｘ ． 时，ｚ取到最大值，
１２ ＝５５ ＾
方法总结 求线性回归方程的步骤 即该店主将售价定为 ． 元／件时，可使网店的月销售额最大．
５５
用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线 （ 分）
（１） １２
性相关关系
； 考法二 独立性检验的应用
ｎ ｎ
ｘ － ｘ ｙ － ｙ ｘｙ － ｎｘｙ
（２） 利用公式ｂ ＾＝
∑ｉ＝
１
（
ｎ
ｉ ）（ ｉ ）
＝
∑ｉ＝
１ ｎ
ｉ ｉ
， ａ ＾ 学生 的
例
身
２
体 素
（
质
２
与
０１
课
９
外
湘
体
东
育
六
锻
校
炼
联
时
考
间
，
的
１９
关
）
系
市教
对
育
该
部
市
门
某
为
校
研究高
名
中
高
∑ｉ＝
１
（ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ＝
１
ｘ２ｉ － ｎｘ２ 中学生平均每天的课外体育锻炼时间进行了调 ， 查
，
数据如下 ２ 表 ００
：
ｙ ｂｘ求得回归系数
＝ －＾ ； 平均每天锻炼
写出回归直线方程．
（３） 的时间 分钟 ［０，１０） ［１０，２０） ［２０，３０） ［３０，４０） ［４０，５０） ［５０，６０］
（ ）
总人数
例 （２０１９广东深圳第二次调研，１８）某网店经销某商品 为 ２０ ３６ ４４ ５０ ４０ １０
， 将学生日均课外体育锻炼时间在 内的学生评价为
了解该商品的月销量ｙ 单位 千件 与当月售价 ｘ 单位 元／ ［４０，６０］
（ ： ） （ ： 课外体育达标 ．
件 之间的关系 收集了 组数据进行了初步处理 得到下表 “ ”
） ， ５ ， ： 请根据上述表格中的统计数据填写下面 列联表 并
（１） ２×２ ，
ｘ ５ ６ ７ ８ ９ 通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 ． 的前提下认为
００１
ｙ ． ． 课外体育达标 与性别有关
８ ６ ４５ ３５ ３ “ ” ；
统计学中用相关系数ｒ来衡量两个变量之间线性相关 课外体育不达标 课外体育达标 合计
（１）
关系的强弱 若 ｒ ． 则认为相关性很强 若 ｒ 男
， ｜ ｜∈［０ ７５，１］， ； ｜ ｜∈
． ． 则认为相关性一般 若 ｒ ． 则认为相
（０２５，０７５）， ； ｜ ｜∈［０，０ ２５］， 女
关性较弱．请计算相关系数ｒ 并说明ｙ与ｘ之间的线性相关关 ２０ １１０
， 合计
系的强弱 精确到 ．
（ ００１）； 从上述课外体育不达标的学生中 按性别用分层抽样的
求ｙ关于ｘ的线性回归方程
（２） ，
（２） ； 方法抽取 名学生 再从这 名学生中随机抽取 人了解他们
根据 中的线性回归方程 估计当售价ｘ定为多少
１０ ， １０ ３
（３） （２） ， 锻炼时间偏少的原因 记所抽取的 人中男生的人数为随机变
时 月销售额最大 月销售额 月销售量 当月售价
， ３
， ？ （ ＝ × ） 量Ｘ 求Ｘ的分布列和数学期望
， ；
将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况
（３） ，
专题十一 概率与统计 ８１３
现在从该市所有高中学生中抽取 名学生 求其中恰好有 名 率原理肯定或者否定假设 即判断Ｘ Ｙ是否相关．
４ ， ２ ， 、
学生课外体育达标的概率．
参考公式
：
Ｋ２
＝ ａ ｂ
ｎ
ｃ
（ ａ
ｄ
ｄ － ｂ
ａ
ｃ ）
ｃ
２
ｂ ｄ ，
其中ｎ
＝
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ
＋
ｄ． 例 （２０１８河南开封一模，１９）近年来我国电子商务行业迎来
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ） 蓬勃发展的新机遇 年双十一期间 某购物平台的销售业
附 ，２０１７ ，
： 绩高达 亿元人民币．与此同时 相关管理部门推出了针对
１２７１ ，
Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ． ． ． ． 电商的商品和服务的评价体系 现从评价系统中选出 次成
（ ≥ ０） ０１０ ００５ ００２５ ００１０ ０００５ ０００１ ， ２００
ｋ ． ． ． ． ． ． 功交易 并对其评价进行了统计 其中对商品的好评率为 ．
０ ２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５ ７８７９ １０８２８ ， ， ０ ６，
对服务的好评率为 ． 对商品和服务都作出好评的交易为
解题导引 把数据代入公式计算Ｋ２ ０ ７５，
（１） ； 次．
求出Ｘ 时的概率 列分布列并求数学期望 ８０
（２） ＝０，１，２，３ ， ； 完成下面的 列联表 并回答是否有 ％的把握认
( ) （１） ２×２ ， ９９
设 名学生中课外体育达标的人数为ξ 由ξ Ｂ １ 为商品好评与服务好评有关
（３） ４ ， ～ ４， ；
４
求Ｐ ξ ． 对服务好评 对服务不满意 合计
（ ＝２）
解析 （ ） 对商品好评
１
课外体育不达标 课外体育达标 合计 对商品不满意
男
６０ ３０ ９０ 合计
女 ２００
９０ ２０ １１０
合计 若将频率视为概率 某人在该购物平台上进行的 次
１５０ ５０ ２００ （２） ， ３
Ｋ２
＝
２００×
（
６０×２０－３０×９０
）２
≈６
．
０６１＜６
．
６３５
，
购物中
，
求
设
对
对
商
商
品
品
和
和
服
服
务
务
全
全
好
好
评
评
的
的
次
次
数
数
Ｘ
为
的
随
分
机
布
变
列
量Ｘ．
１５０×５０×９０×１１０ ① ；
所以在犯错误的概率不超过 ． 的前提下不能判断“课外 求Ｘ的数学期望和方差．
０ ０１ ②
体育达标”与性别有关． （ 分） 附
４ ：
（ ２ ）易知，所抽取的 １０ 名学生中，男生有 １０× ６０ ＝４ 名，女 Ｐ （ Ｋ２ ≥ ｋ ） ０ ． １５ ０ ． １０ ０ ． ０５ ０ ． ０２５ ０ ． ０１０ ０ ． ００５ ０ ． ００１
１５０ ｋ ． ． ． ． ． ． ．
２０７２ ２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５ ７８７９ １０８２８
生有 ９０ 名．Ｘ可取 ， ， ， ．
１０× ＝６ ０ １ ２ ３ ｎ ａｄ ｂｃ ２
１５０ Ｋ２ （ － ） 其中ｎ ａ ｂ ｃ ｄ．
Ｐ（Ｘ ） Ｃ ０ ４Ｃ ３ ６ １ ，Ｐ（Ｘ ） Ｃ ２ ６Ｃ １ ４ １ ， ＝ （ ａ ＋ ｂ ）（ ｃ ＋ ｄ ）（ ａ ＋ ｃ ）（ ｂ ＋ ｄ ） ， ＝ ＋ ＋ ＋
＝０ ＝ ３ ＝ ＝１ ＝ ３ ＝ 解析 （ ）由题意可得关于商品和服务评价的 列联
Ｃ１０ ６ Ｃ１０ ２ １ ２×２
１ ２ ０ ３ 表如下：
Ｐ（Ｘ ） Ｃ６Ｃ４ ３ ，Ｐ（Ｘ ） Ｃ６Ｃ４ １ ．
＝２ ＝ ３ ＝ ＝３ ＝ ３ ＝ 对服务好评 对服务不满意 合计
Ｃ１０ １０ Ｃ１０ ３０
Ｘ的分布列为 对商品好评
∴ ８０ ４０ １２０
Ｘ 对商品不满意
０ １ ２ ３ ７０ １０ ８０
合计
Ｐ １ １ ３ １ １５０ ５０ ２００
６ ２ １０ ３０ Ｋ２ ２００×（８０×１０－４０×７０） ２ ． ．
＝ ≈１１１１１＞６６３５，
Ｅ（Ｘ） １ １ ３ １ ６ ． （ 分） １２０×８０×１５０×５０
＝０× ＋１× ＋２× ＋３× ＝ ９ 故有 ％的把握认为商品好评与服务好评有关．
６ ２ １０ ３０ ５ ９９
（ ）设所抽取的 名学生中，课外体育达标的人数为 ξ，由
３ ４ 每次购物时 对商品和服务全好评的概率为 ２ 且Ｘ
（２）① ， ，
（ ）中表格可知学生课外体育达标的频率为５０ １ ，将频率视 ５
１ ＝ 的取值可以是 ．
２００ ４ ０，１，２，３
为概率， ξ Ｂ ( ，１ ) ， Ｐ（ξ ） ２ ( １ ) ２ ( ３ ) ２ ２７． 其中Ｐ Ｘ ( ３ ) ３ ２７
∴ ～ ４ ∴ ＝２ ＝Ｃ４× × ＝ （ ＝０）＝ ＝ ，
４ ４ ４ １２８ ５ １２５
( ) ( )
∴ 恰好有 ２ 名学生课外体育达标的概率为
１
２
２
７
８
． （ １２ 分） Ｐ （ Ｘ ＝１）＝Ｃ １ ３×
５
２ ×
５
３ ２ ＝
１
５
２
４
５
， Ｐ （ Ｘ ＝２）＝Ｃ ２ ３×
５
２ ２ ×
５
３
方法总结 独立性检验的一般步骤 ( )
： ３６ Ｐ Ｘ ３ ２ ３ ８
独立性检验原理只能解决两个对象 每个对象有两类属 ＝ ， （ ＝３）＝Ｃ３× ＝ ，
（１） ， １２５ ５ １２５
性的问题 所以对于一个实际问题 我们要首先确定能否用独立 则Ｘ的分布列为
， ，
性检验的思想加以解决
； Ｘ ０ １ ２ ３
如果确实属于这类问题 要科学地抽取样本 样本容量
（２） ， ，
要适当 不可太小 Ｐ ２７ ５４ ３６ ８
， ；
根据数据列出 列联表 １２５ １２５ １２５ １２５
（３） ２×２ ； ( )
提出假设Ｈ 所研究的两类对象 Ｘ Ｙ 无关 Ｘ Ｂ ２ Ｅ Ｘ ２ ６ Ｄ Ｘ ２ ３
（４） ０： （ ， ） ； ②∵ ～ ３， ，∴ （ ）＝３× ＝ ， （ ）＝３× ×
ｎ ａｄ ｂｃ ２ ５ ５ ５ ５ ５
根据公式计算Ｋ２ （ － ） ｎ ａ ｂ ｃ
（５） ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ （ ＝ ＋ ＋ １８．
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ） ＝
ｄ 的值 ２５
＋ ） ；
比较观测值ｋ与临界值表中相应的检验水平 根据小概
（６） ，
８１４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
考法一 线性回归分析的应用
１．（２０２１届百校联盟普通高中教育教学质量监测，５）根据散点
图可知 变量ｘ ｙ成非线性关系．为了进行线性回归分析 设ｕ
， ， ，
ｙ ｖ ｘ ２ 利用最小二乘法 得到线性回归方程ｕ
＝２ｌｎ ， ＝（２ －３） ， ， ＝
ｎ ａｄ ｂｃ ２
－ １ ｖ ＋２， 则 （ ） 附 ： Ｋ２ ＝ （ ａ ＋ ｂ ）（ ｃ （ ＋ ｄ ） － （ ａ ＋ ） ｃ ）（ ｂ ＋ ｄ ） ， 其中ｎ ＝ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ｄ．
３
Ａ．
变量ｙ的估计值的最大值为
ｅ
Ｐ
（
Ｋ２
≥
ｋ
０） ０
．
１０ ０
．
０５ ０
．
０１ ０
．
００５
变量ｙ的估计值的最小值为
Ｂ． ｅ ｋ ． ． ． ．
变量ｙ的估计值的最大值为 ２ ０ ２７０６ ３８４１ ６６３５ ７８７９
Ｃ． ｅ
变量ｙ的估计值的最小值为 ２ Ａ．
有
９５
％的把握认为
“
该校学生每周平均体育锻炼时间与性
Ｄ． ｅ
别无关
答案 Ａ
”
２．（２０１９河南濮阳一模）根据下表中的数据 得到的回归方程为
有 ％的把握认为 该校学生每周平均体育锻炼时间与性
Ｂ． ９０ “
，
别有关
ｙ
＾＝
ｂ＾ｘ
＋９，
则ｂ＾
＝ （ ） 有 ％
”
的把握认为 该校学生每周平均体育锻炼时间与性
Ｃ． ９０ “
ｘ 别无关
４ ５ ６ ７ ８
”
ｙ 有 ％的把握认为 该校学生每周平均体育锻炼时间与性
５ ４ ３ ２ １ Ｄ． ９５ “
别有关
Ａ．２ Ｂ．１ Ｃ．０ Ｄ．－１ ”
答案 Ｄ 答案 Ｂ
３．（２０２１届山东师范大学附中一模，１７）据某市地产数据研究显 ５．（２０２０山东青岛三模）下面是一个 列联表 则表中ａ ｂ处
２×２ ， 、
示 年该市新建住宅销售均价走势如图所示 月至 月 的值分别为
，２０１９ ，３ ７ （ ）
房价上涨过快 为抑制房价过快上涨 政府从 月开始采用宏 ｙ ｙ 总计
， ， ８ １ ２
观调控措施 月份开始房价得到很好的控制．
，１０ ｘ ｂ ｅ
１ ２１
ｘ ｃ
２ ２５ ３３
总计 ａ ｄ
１０６
Ａ．９６，９４ Ｂ．６０，５２ Ｃ．５２，５４ Ｄ．５０，５２
答案 Ｂ
６．（２０２０西南名校联盟高考适应性月考（一），１９）为了实现文
地产数据研究发现 月至 月的各月均价ｙ 万元／平方 化脱贫 某高校鼓励即将毕业的大学生到西部偏远山区去支
（１） ，３ ７ （ ，
米 与月份ｘ之间具有较强的线性相关关系 试建立ｙ关 教 校学生就业部针对即将毕业的男女生是否愿意到西部支教
） ， ，
于ｘ的回归方程 进行问卷调查 得到的情况如下表所示
； ， ：
若政府不调控 依此相关关系预测 月份该市新建住宅
（２） ， １２ 愿意去支教 不愿意去支教 总计
销售均价．
女生
５ ５ ５ ２０
参考数据及公式 ｘ ｙ ． ｘ ｘ ｙ ｙ
：∑ｉ＝
１
ｉ＝２５，∑ｉ＝
１
ｉ＝５３６，∑ｉ＝
１
（ ｉ－ ）（ ｉ－ ） 男生
４０
． 回归方程ｙ ｂｘ ａ中斜率和截距的最小二乘估计分别 总计
＝０６４， ＾＝＾ ＋＾ ７０ １００
ｎ
完成上述列联表
ｘ － ｘ ｙ － ｙ
为ｂ ＾＝ ∑ｉ＝ １ （ ｎ ｉ ）（ ｉ ） ， ａ ＾＝ ｙ － ｂ ＾ ｘ． （ （ １ ２ ） ） 根据表中的数据 ； ， 试通过计算 ， 判断是否有 ９５ ％的把握说
∑ｉ＝
１
（ ｘ ｉ － ｘ ） ２ 明
若
是
在
否
接
愿
受
意
调
去
查
西
的
部
所
支
有
教
男
与
生
性
中
别
按
有
照
关
是
；
否愿意去支教 进行
（３） “ ”
考法二 独立性检验的应用 分层抽样 随机抽取 人 再从 人中抽取 人进行面
， １０ ， １０ ３
４．（２０２０山东德州６ 月二模）某中学共有 人 其中男生
谈
，
记面谈的男生中
，
不愿意去支教的人数为ξ
，
求ξ的分
１ ０００ ，
人 女生 人 为了了解该校学生每周平均体育锻炼时
布列及数学期望．
７００ ， ３００ ，
附 参考数据及公式如下
间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关 经
： ：
（
常进行体育锻炼是指
：
周平均体育锻炼时间不少于
４
小时
），
Ｐ
（
Ｋ２
≥
ｋ
０） ０
．
０５０ ０
．
０１０ ０
．
００１
现在用分层抽样的方法从中收集 位学生每周平均体育锻
２００ ｋ ． ． ．
炼时间的样本数据 单位 小时 其频率分布直方图如图．已知 ０ ３８４１ ６６３５ １０８２８
（ ： ），
在样本数据中
，
有
４０
位女生的每周平均体育锻炼时间超过
４
Ｋ２
＝ ａ ｂ
ｎ
ｃ
（ ａ
ｄ
ｄ － ｂ
ａ
ｃ ）
ｃ
２
ｂ ｄ ，
其中ｎ
＝
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ
＋
ｄ．
小时 根据独立性检验原理 下列结论正确的是 （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
， ， （ ） ７．（２０２０四川邻水实验学校第一次月考，２０）通过随机询问某地
名高中学生在选择座位时是否挑同桌 得到如下 列
１００ ， ２×２
专题十一 概率与统计 ８１５
联表 根据以上 列联表 判断是否有 ％以上的把握认为
： （２） ２×２ ， ９５
男生 女生 总计
性别与在选择座位时是否挑同桌 有关．
“ ”
下面的临界值表供参考
挑同桌 ：
３０ ４０ ７０
不挑同桌
２０ １０ ３０
Ｐ
（
Ｋ２
≥
ｋ
０） ０
．
１０ ０
．
０５ ０
．
０２５ ０
．
０１０ ０
．
００５ ０
．
００１
总计 ｋ ． ． ． ． ． ．
５０ ５０ １００ ０ ２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５ ７８７９ １０８２８
从这 名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取 ( ｎ ａｄ ｂｃ ２ )
（１） ５０ 参考公式 Ｋ２ （ － ） 其中ｎ ａ ｂ ｃ ｄ
一个容量为 的样本 现从这 人中随机选取 人做深度 ： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ， ＝ ＋ ＋ ＋
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
５ ， ５ ３
采访 求这 名学生中至少有 名要挑同桌的概率
， ３ ２ ；
σ ． Ｐ μ σ Ｚ μ σ ． ．
＋ ）＝０６８２７， （ －２ ＜ ＜ ＋２ ）＝０９５４５
解析 由题意可知ｘ １
（１） ＝ ×（２＋３＋６＋１０＋１３＋２１＋１５＋１８）
８
考法一 线性回归分析的应用
ｙ １ ． ．
１．（２０１９湖北七市（州）教科研协作体３月模拟，３）为了规定工 ＝１１， ＝ ×（１＋１＋２＋３＋３５＋５＋４＋４５）＝３，
８
时定额 需要确定加工零件所花费的时间 为此进行了 次试 ８
， ， ５ ｘｙ － ｘｙ
验
ｙ ，
得
根
到
据 ５ 收
组
集
数
到
据
的 ：（ 数
ｘ
１ 据 ，
ｙ
可 １） 知 ，（ ｘ
ｘ
２， ｘ
ｙ
２） ｘ ，（
ｘ
ｘ ３，
ｙ
ｘ ３），（
ｘ
４， 由
ｙ
４） 最 ， 小 （
ｘ
二 ５， ∴ ｂ＾ ＝
∑ｉ＝
１ ８
ｉ ｉ ８
＝ ３３８
．
５－８×１１× ２ ３ ＝ ７４
．
５ ≈０ ． ２２，
乘 的 ５） 法 值 ， 求 为 得回归直线方程为ｙ ＾＝０ １ ． ＋ ６７ ２ ｘ ＋ ＋５ ３ ４ ＋ ． ８ ４ ， ＋ 则 ５ ｙ ＝ １ １ ＋ ０ ｙ ０ ２ ， ＋ ｙ ３＋ ｙ ４＋ ｙ ５ ａ ＾＝ ｙ － ｂ＾ｘ ∑ｉ ＝ ＝ １ ３ ｘ － ２ｉ ０ － ． ２２ ８ × ｘ １ ２ １＝０ ． １ ５８ ３ ， ０ ∴ ８－ ｙ ８ 关 ×１ 于 １ ｘ的 ３４ 回 ０ 归方程为ｙ ＾＝０ ． ２２ ｘ
（ ）
． ．
． ． ＋０５８
Ａ．６８２ Ｂ．３４１ Ｃ．３５５ Ｄ．３６６２
该网站 月份日销量 Ｚ 服从正态分布 Ｎ
答案 Ｂ 依题意可得ｘ １００ 由样本点的中心 ｘ ｙ 在 （２）∵ ６ （２ ０００，
＝ ＝２０， （ ， ）
５ １００００），
回归直线ｙ ． ｘ ． 上可得ｙ ． ． ． 故ｙ ．
ｙ ｙ ｙ
＾
ｙ
＝０６
ｙ
７ ＋５４８
． 故
＝０
选
６７×２０＋５４８＝６８２， １＋
∴
Ｐ
（１８００≤
Ｚ
＜２０００）＝
０９
２
５４５
＝０
．
４７７２５，
２．（ ２ ２ ＋ ０１ ３＋ ８河 ４＋ 北 ５ 石 ＝５ 家庄 ＝５ 二 ×６ 模 ８ ， ２ １ ＝ ８ ３ ） ４ 随 １， 着网络 Ｂ． 的发展 网上购物越来 Ｐ Ｚ ０ ． ６８２７ ．
， （２０００≤ ＜２１００）＝ ＝０３４１３５，
越受到人们的喜爱 各大购物网站为增加收入 促销策略越来 ２
， ， Ｐ Ｚ ． ． ．
越多样化 促销费用也不断增加 下表是某购物网站 年 （ ≥２１００）＝０５－０３４１３５＝０１５８６５，
， ， ２０１７ 该员工当月的奖励金额总数为 ． ．
月促销费用ｘ 万元 和产品销量ｙ 万件 的具体数据 ∴ （０４７７２５×１００＋０３４１３５×１５０
１～８ （ ） （ ） ： ． ． 元 ．
月份 ＋０１５８６５×２００）×３０≈３９１９７３（ ）
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ３．（２０１８河北石家庄二模，１８）随着网络的发展 网上购物越来
，
促销费用ｘ 越受到人们的喜爱 各大购物网站为增加收入 促销策略越来
２ ３ ６ １０ １３ ２１ １５ １８
， ，
产品销量ｙ ． ． 越多样化 促销费用也不断增加 下表是某购物网站 年
１ １ ２ ３ ３５ ５ ４ ４５ ， ， ２０１７
根据数据可知ｙ与ｘ具有线性相关关系 请建立ｙ关于ｘ 月促销费用ｘ 万元 和产品销量ｙ 万件 的具体数据
（１） ， １～８ （ ） （ ） ：
的回归方程ｙ ＾＝ ｂ＾ｘ ＋ ａ ＾（ 系数精确到 ０ ． ０１）； 月份 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
已知 月份该购物网站为庆祝成立 周年 特制订奖励制 促销费用ｘ
（２） ６ １ ， ２ ３ ６ １０ １３ ２１ １５ １８
度 用Ｚ 单位 件 表示日销量 若Ｚ 则 产品销量ｙ ． ．
： （ ： ） ， ∈［１ ８００，２ ０００）， １ １ ２ ３ ３５ ５ ４ ４５
每位员工每日奖励 元 若Ｚ 则每位
１００ ； ∈［２ ０００，２ １００）， 根据数据可知ｙ与ｘ具有线性相关关系 请建立ｙ关于ｘ
员工每日奖励 元 若Ｚ 则每位员工每 （１） ，
日奖励 元．
１
现
５０
已知
；
该网站
∈［２
月
１０
份
０，
日
＋
销
∞
量
），
Ｚ服从正态分
的回归方程ｙ
＾＝
ｂ＾ｘ
＋
ａ
＾（
系数精确到
０
．
０１）；
２００ ６ 已知 月份该购物网站为庆祝成立 周年 特制订奖励制
布Ｎ 请你计算某位员工当月奖励金额总
（２） ６ １ ，
数大
（
约
２
为
００
多
０，
少
１０
元
００
．
０）
当
，
月奖励金额总数精确到百分位
度
：
用Ｚ
（
单位
：
件
）
表示日销量
，
若Ｚ
∈［１ ８００，２ ０００），
则
（ ） 每位员工每日奖励 元 若Ｚ 则每位
８ ８ １００ ； ∈［２ ０００，２ １００），
参考数据 ：∑ｉ＝ ｘ ｉ ｙ ｉ＝３３８ ． ５，∑ｉ＝ ｘ２ｉ ＝１ ３０８， 其中ｘ ｉ， ｙ ｉ 分别 员工每日奖励 １５０ 元 ； 若Ｚ ∈［２ １００，＋∞）， 则每位员工每
为第ｉ个月的 １ 促销费用和产品销 １ 量 ｉ ． 日奖励 元．现已知该网站 月份日销量Ｚ服从正态分
， ＝１，２，３，…，８ ２００ ６
参考公式 对于一组数据 ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ 布Ｎ 请你计算某位员工当月奖励金额总
：① （ １， １），（ ２， ２），…，（ ｎ， ｎ）， （２０００，１０ ０００），
数大约为多少元． 当月奖励金额总数精确到百分位
其回归方程ｙ
＾＝
ｂ＾ｘ
＋
ａ
＾
的斜率和截距的最小二乘估计分别为 （ ）
ｂ＾
＝
∑ｉ＝ ｎ
ｎ
１
ｘ ｉ ｙ ｉ － ｎｘｙ
，
ａ
＾＝
ｙ
－
ｂ＾ｘ．
参
为
考
第
数
ｉ个
据
月
：∑
的
ｉ＝ ８ １
促
ｘ
销
ｉ ｙ ｉ
费
＝
用
３３８
和
． ５
产
，
品
∑ｉ＝ ８
销
１ ｘ
量
２ｉ ＝
，
ｉ
１
＝
３
１
０
，
８
２
，
，
其
３，
中
…，
ｘ
８
ｉ，
．
ｙ ｉ 分别
∑ｉ＝
ｘ２ｉ － ｎｘ ２ 参考公式
：①
对于一组数据
（
ｘ
１，
ｙ
１），（
ｘ
２，
ｙ
２），…，（
ｘ
ｎ，
ｙ
ｎ），
１
②
若随机变量Ｚ服从正态分布Ｎ
（
μ
，
σ２
），
则Ｐ
（
μ
－
σ
＜
Ｚ
＜
μ 其回归方程ｙ
＾＝
ｂ＾ｘ
＋
ａ
＾
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
８１６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｎ
ｘｙ － ｎｘｙ
ｉ ｉ
ｂ＾
＝
∑ｉ＝
ｎ
１
，
ａ
＾＝
ｙ
－
ｂ＾ｘ．
ｘ２ｉ － ｎｘ ２
∑ｉ＝
１
若随机变量Ｚ服从正态分布Ｎ μ σ２ 则Ｐ μ σ Ｚ μ
② （ ， ）， （ － ＜ ＜
σ ． Ｐ μ σ Ｚ μ σ ． ．
＋ ）＝０６８２７， （ －２ ＜ ＜ ＋２ ）＝０９５４５
解析 由题意可知ｘ １
（１） ＝ ×（２＋３＋６＋１０＋１３＋２１＋１５＋１８）
８
ｘ ２８＋３２＋３８＋４２＋４８＋５２＋５８＋６２
ｙ １ ． ． （２） ＝ ＝４５，
＝１１， ＝ ×（１＋１＋２＋３＋３５＋５＋４＋４５）＝３， ８
８
８ ｙ １１４＋１１８＋１２２＋１２７＋１２９＋１３５＋１４０＋１４７ ．
ｘｙ － ｘｙ ＝ ＝１２９
∴ ｂ＾ ＝ ∑ｉ
∑
＝
ｉ
１
＝
８
１
ｘ ｉ ２ｉ ｉ －
８
８ ｘ２ ＝ ３ １ ３８ ３ ． ０ ５ ８ － － ８ ８ × × １ １ １ １ × ２ ３ ＝ ７ ３ ４ ４ ． ０ ５ ≈０ ． ２２，
ｂ ＾＝
∑ｉ＝ ８
１ ８
ｘ ｉ ｙ ｉ － ｎｘｙ
＝ ４
８
７３８４－８×４５×１ ２ ２９ ＝ １１８ ≈０ ． ９１ ．ａ ＾＝ ｙ － ｂ ＾ ｘ ＝
ａ
＾＝
ｙ
－
ｂ＾ｘ
＝３－０
．
２２×１１＝０
．
５８， ∑ｉ＝
ｘ２ｉ －
８
ｘ２ １７２３２－８×４５ １２９
ｙ关于ｘ的回归方程为ｙ ． ｘ ． ． １
∴ 该网站 月份日 ＾ 销 ＝０ 量 ２２ Ｚ ＋ 服 ０５ 从 ８ 正态分布 Ｎ １２９－０ ． ９１×４５＝８８ ． ０５，∴ 回归直线方程为ｙ ＾＝０ ． ９１ ｘ ＋８８ ． ０５ ．
（２）∵ ６ （２ ０００， 根据回归直线方程的预测 年龄为 岁的老人标准收缩
（３） ， ７０
１００００），
Ｐ Ｚ ０ ． ９５４５ ． 压约为 ０ ． ９１×７０＋８８ ． ０５＝１５１ ． ７５（ｍｍＨｇ）， １８ ． ０ ≈１ ． １９，∴ 收缩
∴ （１８００≤ ＜２０００）＝ ＝０４７７２５， １５１７５
２
压为 的 岁老人属于中度高血压人群．
． １８０ ｍｍＨｇ ７０
Ｐ Ｚ ０６８２７ ． 方法总结 求回归直线方程的步骤 依据样本数据画出散
（２０００≤ ＜２１００）＝ ＝０３４１３５， ：①
２ ｎ
Ｐ
（
Ｚ
≥２１００）＝０
．
５－０
．
３４１３５＝０
．
１５８６５，
点图
，
确定两个变量具有线性相关关系
；②
计算ｘ
，
ｙ
， ∑ｉ＝
ｘ２ｉ，
每位员工当月的奖励金额总数为 ． ． ｎ １
∴ ［０ ４７７ ２５×１００＋０ ３４１ ３５× ｘｙ 的值 计算回归系数ａ ｂ 写出回归直线方程ｙ ｂｘ
１５０＋０ ． １５８６５×２００］×３０≈３９１９ ． ７３（ 元 ） ． ∑ｉ＝ １ ｉ ｉ ；③ ＾，＾；④ ＾＝＾
４．（２０１９陕西四校联考模拟，１８）经调查 个成年人中就有一 ａ 回归直线过样本点的中心 ｘ ｙ 利用线性回归方程可以
，３ ＋＾； （ ， ），
个人有高血压 那么什么是高血压 血压多少是正常的 经国 估计总体 帮助分析两个变量的变化趋势．
， ？ ？ ，
际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查 得出随年龄
，
变化 收缩压的正常值变化情况如下表 考法二 独立性检验的应用
， ：
１．（２０１８湖南师大附中月考（三），１４）在西非肆虐的 埃博拉病
年龄ｘ 岁 “
（ ） ２８ ３２ ３８ ４２ ４８ ５２ ５８ ６２ 毒 的传播速度很快 这已经成为全球性的威胁 为了考察某
收缩压ｙ ” ， ，
种埃博拉病毒疫苗的效果 现随机抽取 只小鼠进行试验
单位 １１４ １１８ １２２ １２７ １２９ １３５ １４０ １４７ ， １００ ，
（ ：ｍｍＨｇ） 得到如下列联表
ｎ ：
ｘｙ － ｎｘｙ 感染 未感染 总计
ｉ ｉ
其中 ： ｂ ＾＝
∑ｉ＝
１ ｎ
ｘ２ｉ － ｎｘ２
， ａ ＾＝ ｙ － ｂ ＾ ｘ ，∑ｉ＝
８
１
ｘ２ｉ ＝１７ ２３２，∑ｉ＝
８
１
ｘ ｉ ｙ ｉ＝ 服用
１０ ４０ ５０
∑ｉ＝ 未服用
１ ２０ ３０ ５０
．
４７３８４ 总计
３０ ７０ １００
参照附表 在犯错误的概率不超过 填百分比 的前
， （ ）
提下 可认为 该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果 ．
， “ ”
ｎ ａｄ ｂｃ ２
参考公式 Ｋ２ （ － ） 其中ｎ ａ ｂ ｃ ｄ．
： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ， ＝ ＋ ＋ ＋
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
附表
：
Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ． ． ． ．
（ ≥ ０） ０１０ ００５ ００２５ ００１０ ０００５ ０００１
ｋ ． ． ． ． ． ．
请画出表中数据的散点图 ０ ２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５ ７８７９ １０８２８
（１） ； 答案 ％
请根据表中提供的数据 用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线 ５
（２） ， ２
性回归方程ｙ ＾＝ ｂ ＾ ｘ ＋ ａ ＾；（ ａ ＾， ｂ ＾ 的值精确到 ０ ． ０１） 解析 Ｋ２ ＝ １００× ５ （ ０ １ × ０ ５ × ０ ３ × ０ ３ － ０ ２ × ０ ７ × ０ ４０） ≈４ ． ７６２＞３ ． ８４１，
若规定 一个人的收缩压为标准值的 ． ． 倍 则为血 参照附表 可得 在犯错误的概率不超过 ％的前提下 认为
（３） ， ０ ９～１ ０６ ， ， ： ５ ，
压正常人群 收缩压为标准值的 ． ． 倍 则为轻度高 该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果 ．
； １０６～１１２ ， “ ”
血压人群 收缩压为标准值的 ． ． 倍 则为中度高血 ２．（２０１８河南信阳二模，１８）为了解某省属师范大学师范类毕业
； １１２～１２０ ，
压人群 收缩压为标准值的 ． 倍及以上 则为重度高血 生参加工作后 从事的工作与教育是否有关的情况 随机调查
； １ ２０ ， ， ，
压人群．一位收缩压为 的 岁的老人 属于哪 了该校 位性别不都相同的 年师范类毕业大学生 得到
１８０ ｍｍＨｇ ７０ ， ８０ ２０１６ ，
类人群 具体数据如下表
？ ：
解析
（１） 与教育有关 与教育无关 合计
专题十一 概率与统计 ８１７
续表 现从所有实验小白鼠中任取一只 取到 注射疫苗 小白鼠的
， “ ”
与教育有关 与教育无关 合计
概率为 ２ ．
男 ５
３０ １０ ４０ 求 列联表中的数据ｘ ｙ Ａ Ｂ的值
女 （１） ２×２ ， ， ， ；
３５ ５ ４０ 能否有 ． ％的把握认为注射此种疫苗有效
（２） ９９９ ？
合计 现从感染病毒的小白鼠中任意抽取三只进行病理分析 记
６５ １５ ８０
（３） ，
能否在犯错误的概率不超过 ％的前提下 认为 师范类毕 已注射疫苗的小白鼠只数为ξ 求ξ的分布列和数学期望．
（１） ５ ， “ ，
业生从事与教育有关的工作与性别有关 ｎ ａｄ ｂｃ ２
”？ 附 Ｋ２ （ － ） ｎ ａ ｂ ｃ ｄ．
求这 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率 ： ＝ ａ ｂ ａ ｃ ｃ ｄ ｂ ｄ ， ＝ ＋ ＋ ＋
（２） ８０ ； （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
（３）
以
类
（
大
２
学
）
中
生
的
中
频
随
率
机
为
选
概
取
率．从
名
该
记
校
这
近几
名
年
毕
毕
业
业
生
的
从
２
事
００
与
０
教
名
育
师范
有
Ｐ
（
Ｋ２
≥
ｋ
０） ０
．
０５ ０
．
０１ ０
．
００５ ０
．
００１
４ ， ４ ｋ ． ． ． ．
关工作的人数为Ｘ 求Ｘ的数学期望Ｅ Ｘ ． ０ ３８４１ ６６３５ ７８７９ １０８２８
， （ ）
解析 设从所有实验小白鼠中任取一只 取到 注射疫
参考公式
：
Ｋ２
＝ ａ ｂ
ｎ
ｃ
（ ａ
ｄ
ｄ － ｂ
ａ
ｃ ）
ｃ
２
ｂ ｄ （
ｎ
＝
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ
＋
ｄ
）
．
苗 的小 白
（１
鼠
）
为事件Ａ
， “
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ） ” ，
附表 ｙ
： 由已知得Ｐ Ａ ＋３０ ２ 所以 ｙ 则 ｘ Ａ Ｂ
（ ）＝ ＝ ， ＝１０， ＝４０， ＝６０，
Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ． ． ． ． ． ． １００ ５
（ ≥ ０） ０５０ ０４０ ０２５ ０１５ ０１０ ００５ ００２５ ００１０ ．
＝４０
ｋ ． ． ． ． ． ． ． ．
０ ０４５５ ０７０８ １３２３ ２０７２ ２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５ Ｋ２ １００×（２０×１０－３０×４０） ２ ５０ ． ． ．
（２） ＝ ＝ ≈１６６７＞１０８２８
解析
（１）
根据列联表计算得 Ｋ２
＝
８０×（３０×５－３５×１０） ２
≈ 所以有 ． ％
５０
的
×
把
５０
握
×４
认
０×
为
６０
注射此种
３
疫苗有效．
４０×４０×６５×１５ ９９９
２
．
０５１３，
因为Ｋ２
＜３
．
８４１，
所以在犯错误的概率不超过
５
％的前提
（３）
由已知得ξ的可能取值为
０，１，２，３
．
下 不能认为 师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有 ３ ２ １
， “ Ｐ ξ Ｃ４０ ２４７ Ｐ ξ Ｃ４０Ｃ１０ １９５
关 ． （ ＝０）＝ ３ ＝ ， （ ＝１）＝ ３ ＝ ，
” Ｃ５０ ４９０ Ｃ５０ ４９０
由题表知这 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频 １ ２ ３
（２） ８０ Ｐ ξ Ｃ４０Ｃ１０ ４５ Ｐ ξ Ｃ１０ ３
率为６５ １３． （ ＝２）＝ Ｃ ３ ５０ ＝ ４９０ ， （ ＝３）＝ Ｃ ３ ５０ ＝ ４９０ ，
＝ ξ的分布列为
８０ １６ ∴
( )
由题意知Ｘ服从Ｂ １３ 得Ｅ Ｘ １３ １３． ξ
（３） ４， ， （ ）＝４× ＝ ０ １ ２ ３
１６ １６ ４
３．（２０１９安徽黄山１１月“八校联考”，１９） 年 月 日 长 Ｐ ２４７ １９５ ４５ ３
２０１８ ７ ２４ ，
春长生生物科技有限责任公司先被查出狂犬病疫苗生产记录 ４９０ ４９０ ４９０ ４９０
造假 后又被测出百白破疫苗 效价测定 项不符合规定 由此 数学期望Ｅ ξ ２４７ １９５ ４５ ３ ． ．
， “ ” ， （ ）＝ ×０＋ ×１＋ ×２＋ ×３＝０６
引发的疫苗事件牵动了无数中国人的心．疫苗直接用于健康人 ４９０ ４９０ ４９０ ４９０
思路分析 由从所有实验小白鼠中任取一只 取到 注射
群 尤其是新生儿和青少年 与人民的健康联系紧密．因此 疫 （１） ， “
， ， ，
苗在上市前必须经过严格的检测 并通过临床实验获得相关数 疫苗 小白鼠的概率为 ２ 根据古典概型概率公式列方程可求
， ” ，
据 以保证疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所将某一 ５
型号
，
疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床实验 得到统计数据
得 ｙ
＝ １０，
进而可求得 ｘ
，
Ａ
，
Ｂ 的值
； （２）
利用 Ｋ２
＝
如下 ， ｎ （ ａｄ － ｂｃ ） ２ 求得Ｋ２ 与邻界值比较 即可得到结
： ａ ｂ ａ ｃ ｃ ｄ ｂ ｄ ， ，
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
未感染病毒 感染病毒 总计 论 ξ的可能取值为 结合组合知识 利用古典概
；（３） ０，１，２，３， ，
未注射疫苗 ｘ Ａ 型概率公式求出各随机变量对应的概率 从而可得分布列 进
２０ ， ，
注射疫苗 ｙ Ｂ 而利用期望公式可得ξ的数学期望．
３０
总计
５０ ５０ １００
面包 求每个面包的质量均不少于 的概率
， １０００ ｇ ；
出于兴趣或一个偶然的念头 庞加莱每天将买来的面包
（２） ，
称重并记录得到 个面包质量 Ｘ 的数据 单位 如下表
２５ （ ） （ ：ｇ） ：
例 （２０１９福建泉州一模，１９）法国数学家亨利 庞加
·
莱 是个每天都会吃面包的人 他经常光顾 ９８３ ９７２ ９６６ ９９２ １０１０ １００８ ９５４ ９５２ ９６９
（Ｊｕｌｅｓ Ｈｅｎｒｉ Ｐｏｉｎｃａｒｅ） ，
同一家面包店 面包师声称卖给庞加莱的面包平均质量是 ９６８ ９９８ １００１ １００６ ９５７ ９５０ ９６９ ９７１ ９７５
，
上下浮动 ．在庞加莱眼中 这用数学语言来表达就
９５２ ９５９ ９８７ １０１１ １０００ ９９７ ９６１
１０００ ｇ， ５０ ｇ ，
是 面包的质量服从期望为 标准差为 的正态分布． 设从这 个面包中任取 个 其质量不少于 的面包
： １０００ ｇ， ５０ ｇ ２５ ２ ， １０００ｇ
假如面包师没有撒谎 现庞加莱从该面包店任意买 个 个数记为η 求η的分布列及Ｅ η
（１） ， ２ ， （ ）；
８１８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
庞加莱计算出这 个面包质量 Ｘ 的平均值为 η的分布列为
（３） ２５ （ ） ∴
． 标准差是 ． 他认定面包师在制作过程中偷工减
９７８７２ ｇ， ２０ １６ ｇ， η
０ １ ２
料 并果断举报给质检部门 质检员对面包师做了处罚 面包师
， ， ， Ｐ ． ． ．
也承认自己的错误 并同意做出改正．庞加莱在接下来的一段时 ０５７ ０３８ ００５
，
间里每天都去这家面包店买面包 他又认真记录了 个面包的 ∴ Ｅ（η） ＝０×０ ． ５７＋１×０ ． ３８＋２×０ ． ０５＝０ ． ４８ ．
， ２５ （ ）第二次举报时的均值超过 ，标准差很小，令人怀
质量 并算得它们的平均值为 ． 标准差是 ． 于是庞 ３ １ ０００ ｇ
加莱
，
又一次将面包师举报了．请
１
你
００
根
２６
据
ｇ
两
，
次平均值
５
和
０
标
８
准
ｇ，
差的计
疑．标准差代表了面包质量的误差，可以理解成面包师手艺的精
度，这个数字在短时间内很难改变，假设题表中的数据没有问
算结果及其统计学意义 说说庞加莱又一次举报的理由．
， 题，那说明面包师做面包的误差由 降低到了 ． ，这对面
解析 （ ）假如面包师没有撒谎，则任意购买一个面包，其 ５０ ｇ ５ ０８ ｇ
１ 包师的手艺是个巨大的飞越，显然并不合理，所以只能是随机性
质量不少于 的概率为 １ ，所以庞加莱购买两个面包，每 出现了问题．也就是面包的来源不是随机的，而是人为设定的，最
１０００ ｇ
２ 大的可能就是每当庞加莱到来时，面包师从现有面包中挑选一
个面包的质量都不少于 的概率为 １ １ １ ． 个较大的给了庞加莱，而面包师的制作方式根本没有改变．
１０００ ｇ × ＝
２ ２ ４
题目价值 本题以现实生活的活动为背景创设情境 考查
（ ）根据题意，η的取值可以是 ， ， ．
，
２ ０ １ ２
了数据分析 数学运算 数学建模 逻辑推理的核心素养．
Ｐ（η ） １９ １８ ３４２ ． ， 、 、 、
＝０ ＝ × ＝ ＝０５７ 方法总结 认真阅读题意 把问题还原为相应的数学模型
２５ ２４ ６００ ，
是解决问题的关键．通过解决数学模型得出相应数据 从而得出
Ｐ（η ＝１ ） ＝
２
１
５
９ ×
２
６
４
＋
２
６
５
×
２
１
４
９ ＝
６
２
０
２
０
８ ＝０ ． ３８ ， 问题的答案． ，
Ｐ（η ） ６ ５ ３０ ． ，
＝２ ＝ × ＝ ＝００５
２５ ２４ ６００
１．（２０１９湖南湘潭二模，１９）唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的
珍品 它吸取了中国国画 雕塑等工艺美术的特点 在中国文化
， 、 ，
中占有重要的历史地位 在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔．
，
唐三彩的生产至今已有 多年的历史 制作工艺十分复
１ ３００ ，
杂 而且优质品检验异常严格．某厂生产的唐三彩的检验方案
，
是 先从烧制的这批唐三彩中任取 件进行检验 这 件唐三
： ３ ， ３
彩中优质品的件数记为ｎ．如果ｎ 再从这批唐三彩中任取
＝２， ３ 甲小组 乙小组 合计
件进行检验 若都为优质品 则这批唐三彩通过检验 如果ｎ
， ， ； ＝
再从这批唐三彩中任取 件进行检验 若为优质品 则这批 理想数据
３， １ ， ，
唐三彩通过检验 其他情况下 这批唐三彩都不能通过检验．假 不理想数据
， ，
合计
设这批唐三彩的优质品概率为 １ 即取出的每件唐三彩是优
，
３ ｎ ａｄ ｂｃ ２
附 Ｋ２ （ － ） 其中ｎ ａ ｂ ｃ ｄ．
质品的概率都为 １ 且各件唐三彩是不是优质品相互独立． ： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ， ＝ ＋ ＋ ＋
， （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
３
求这批唐三彩通过优质品检验的概率 Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ． ． ． ． ．
（１） ： （ ≥ ） ０１５ ０１０ ００５ ００２５ ００１０ ０００５ ０００１
已知每件唐三彩的检验费用为 元 且抽取的每件唐三 ｋ ． ． ． ． ． ． ．
（２） １００ ， ２０７２ ２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５ ７８７９ １０８２８
彩都需要检验 对这批唐三彩做质量检验所需的总费用记
，
为Ｘ元 求Ｘ的分布列及数学期望．
，
３．抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化 更有着许多
２．（２０１９河北保定一模，１９）为了尽快攻克一项科研课题 某生 ，
， 旅游景点 每年来抚州参观旅游的人数不胜数．其中 名人园与
物研究所分别设立了甲 乙两个研究小组同时进行对比试验 ， ，
、 ， 梦岛被称为抚州的两张名片 为合理配置旅游资源 现对已游
现随机在这两个小组各抽取 个数据作为样本 并规定试验 ， ，
４０ ， 览名人园景点的游客进行随机问卷调查．若不去梦岛记 分
数据落在 单位 克 之内的数据为理想数据 否则 １ ，
［４９５，５１０）（ ： ） ，
为不理想数据．试验情况如表所示 若继续去梦岛记 分．每位游客去梦岛的概率均为 ２ 且游客
： ２ ，
３
抽查数据 之间的选择意愿相互独立．
［４９０，４９５） ［４９５，５００） ［５００，５０５） ［５０５，５１０）［５１０，５１５）
甲
频数 ６ ８ １４ ８ ４ 从游客中随机抽取 人 记总得分为随机变量Ｘ 求Ｘ的分
乙 （１） ３ ， ，
２ １２ １８ ６ ２ 布列与数学期望
根据表中数据作出两个小组样本数据的频率分布直方图 ；
（１） 若从甲小组测得的试验数据中依次有放回地随机抽查 ； （２）
若从游客中随机抽取ｍ人
，
记总分恰为ｍ分的概率为Ａ
ｍ，
（２） 个数据 设抽到理想数据的次数为ξ 求ξ的分布列与数学 ５
在
求
对
数
所
列
有
｛ Ａ
游
ｍ｝
客
的
进
前
行
６
随
项
机
和
问
；
卷调查的过程中 记已调查过的
， ，
期望 以频率作为概率 （３） ，
由以上
（
统计数据完成下面
）；
列联表 并回答有多大的把握
累计得分恰为ｎ分的概率为Ｂ
ｎ，
探讨Ｂ
ｎ
与Ｂ
ｎ
－１
之间的关
（３） 认为抽取的数据为理想数据 ２× 与 ２ 对两个研 ， 究小组的选择有关． 系 ， 并求数列 ｛ Ｂ ｎ｝ 的通项公式．
专题十一 概率与统计 ８１９
考点一 变量间的相关关系
１．（２０２０课标Ⅰ，文５，理５，５ 分）某校一个课外学习小组为研
究某作物种子的发芽率ｙ和温度ｘ 单位 的关系 在 个
（ ：℃） ， ２０
不同的温度条件下进行种子发芽实验 由实验数据 ｘ ｙ ｉ
， （ ｉ， ｉ）（ ＝
得到下面的散点图
１，２，…，２０） ：
为了预测该地区 年的环境基础设施投资额 建立了ｙ与
２０１８ ，
时间变量ｔ的两个线性回归模型．根据 年至 年的数
２０００ ２０１６
据 时间变量ｔ的值依次为 建立模型 ｙ ．
由此散点图 在 至 之间 下面四个回归方程类型中 （ １，２，…，１７） ①：＾＝－３０４＋
， １０ ℃ ４０ ℃ ， ． ｔ 根据 年至 年的数据 时间变量ｔ的值依次为
最适宜作为发芽率ｙ和温度ｘ的回归方程类型的是 １３５； ２０１０ ２０１６ （
（ ） 建立模型 ｙ ． ｔ．
ｙ ａ ｂｘ ｙ ａ ｂｘ２ １，２，…，７） ②：＾＝９９＋１７５
Ａ． ＝ ＋ Ｂ． ＝ ＋ 分别利用这两个模型 求该地区 年的环境基础设施
ｙ ａ ｂ ｘ ｙ ａ ｂ ｘ （１） ， ２０１８
Ｃ． ＝ ＋ ｅ Ｄ． ＝ ＋ ｌｎ 投资额的预测值
答案 Ｄ ；
２．（２０１７山东，５，５ 分）为了研究某班学生的脚长 ｘ 单位 厘 （２）
你认为用哪个模型得到的预测值更可靠
？
并说明理由．
（ ：
米 和身高ｙ 单位 厘米 的关系 从该班随机抽取 名学生
） （ ： ） ， １０ ， 考点二 独立性检验
根据测量数据的散点图可以看出ｙ与ｘ之间有线性相关关系
， ５．（２０２０课标Ⅲ，文１８，理１８，１２分）某学生兴趣小组随机调查
１０ １０
设其回归直线方程为ｙ ＾＝ ｂ＾ｘ ＋ ａ ＾ ．已知 ∑ｉ＝ ｘ ｉ＝２２５，∑ｉ＝ ｙ ｉ＝１６００， 了某市 １００ 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的
１ １
人次 整理数据得到下表 单位 天
ｂ＾ ．该班某学生的脚长为 据此估计其身高为 ， （ ： ）：
＝４ ２４， （ ）
． ． ． ． 锻炼人次
Ａ１６０ Ｂ１６３ Ｃ１６６ Ｄ１７０
答案 Ｃ 空气质量等级 ［０，２００］ （２００，４００］ （４００，６００］
３．（２０２０课标Ⅱ，文１８，理１８，１２分）某沙漠地区经过治理 生 优
， １（ ） ２ １６ ２５
态系统得到很大改善 野生动物数量有所增加．为调查该地区
， 良
某种野生动物的数量 将其分成面积相近的 个地块 从这 ２（ ） ５ １０ １２
， ２００ ， 轻度污染
些地块中用简单随机抽样的方法抽取 个作为样区 调查得 ３（ ） ６ ７ ８
２０ ， 中度污染
到样本数据 ｘ ｙ ｉ 其中ｘ 和ｙ 分别表示第ｉ ４（ ） ７ ２ ０
（ ｉ， ｉ）（ ＝１，２，…，２０）， ｉ ｉ
个样区的植物覆盖面积 单位 公顷 和这种野生动物的数量 分别估计该市一天的空气质量等级为 的概率
（ ： ） ， （１） １，２，３，４ ；
求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值 同一组中的
２０ ２０ ２０ ２０
并计算得 ∑ｉ＝ ｘ ｉ＝６０，∑ｉ＝ ｙ ｉ＝１２００，∑ｉ＝ （ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ ＝８０，∑ｉ＝ （ ｙ ｉ （２） 数据用该组区间的中点值为代表 （
１ １ １ １ ）；
２０ 若某天的空气质量等级为 或 则称这天 空气质量好
－ ｙ ） ２ ＝９０００，∑ｉ＝ （ ｘ ｉ－ ｘ ）（ ｙ ｉ－ ｙ ）＝８００ ． （３）
若某天的空气质量等级为
１
或
２，
则称这天
“
空气质量
”
不
；
１
求该地区这种野生动物数量的估计值 这种野生动物数量 ３ ４， “
（１） （ 好 ．根据所给数据 完成下面的 列联表 并根据列联
的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块 ” ， ２×２ ，
表 判断是否有 ％的把握认为一天中到该公园锻炼的人
数 ， ９５
）； 次与该市当天的空气质量有关．
求样本 ｘ ｙ ｉ 的相关系数 精确到 ．
（２） （ ｉ， ｉ）（ ＝１，２，…，２０） （ ００１）；
根据现有统计资料 各地块间植物覆盖面积差异很大．为提 人次 人次
（３） ， ≤４００ ＞４００
高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确 空气质量好
的估计 请给出一种你认为更合理的抽样方法 并说明
空气质量不好
， ，
理由．
ｎ ａｄ ｂｃ ２
ｎ 附 Ｋ２ （ － ）
ｘ － ｘ ｙ － ｙ ： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ，
附 相关系数ｒ
∑ｉ＝
１
（ ｉ ）（ ｉ ）
． ．
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
： ＝ ｎ ｎ ， ２≈１４１４ Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ．
∑ｉ＝
１
（ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ＝
１
（ ｙ ｉ － ｙ ） ２ （ ｋ ≥ ） ０
３
． ０
８
５
４
０
１
０
６
． ０
６
１
３
０
５ １
０
０
． ０
８
０
２
１
８
．
４．（２０１８课标Ⅱ，１８，１２分）下图是某地区 年至 年环
２０００ ２０１６ ６．（２０２０新高考Ⅰ，１９，１２分）为加强环境保护 治理空气污染
境基础设施投资额ｙ 单位 亿元 的折线图． ， ，
（ ： ） 环境监测部门对某市空气质量进行调研 随机抽查了 天空
， １００
气中的 ． 和 浓度 单位 ３ 得下表
ＰＭ２５ ＳＯ２ （ ：μｇ／ｍ ）， ：
ＳＯ２
． ［０，５０］ （５０，１５０］ （１５０，４７５］
ＰＭ２５
８２０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ．
［０，３５］ ３２ １８ ４ （ ≥ ） ００５０ ００１０ ０００１ ．
ｋ ． ． ．
（３５，７５］ ６ ８ １２ ３８４１ ６６３５ １０８２８
８．（２０１７课标Ⅱ，１８，１２分）海水养殖场进行某水产品的新 旧
（７５，１１５］ ３ ７ １０ 、
估计事件 该市一天空气中 ． 浓度不超过 且 网箱养殖方法的产量对比 收获时各随机抽取了 个网箱
（１）
浓度不超
“
过 的概率
ＰＭ２ ５ ７５， ＳＯ２
测量各箱水产品的产量 单
，
位 其频率分布直
１
方
００
图如下
，
１５０” ； （ ：ｋｇ）， ：
根据所给数据 完成下面的 列联表
（２） ， ２×２ ：
ＳＯ２
． ［０，１５０］ （１５０，４７５］
ＰＭ２５
［０，７５］
（７５，１１５］
根据 中的列联表 判断是否有 ％的把握认为该市一
（３） （２） ， ９９
天空气中 ． 浓度与 浓度有关．
ＰＭ２５ ＳＯ２
ｎ ａｄ ｂｃ ２
附 Ｋ２ （ － ）
： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ，
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ．
（ ≥ ） ００５０ ００１０ ０００１ ．
ｋ ． ． ．
３８４１ ６６３５ １０８２８
７．（２０１８课标Ⅲ，１８，１２分）某工厂为提高生产效率 开展技术
，
创新活动 提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为
，
比较两种生产方式的效率 选取 名工人 将他们随机分成两
， ４０ ，
组 每组 人．第一组工人用第一种生产方式 第二组工人用
， ２０ ，
第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间 单位
（ ：
绘制了如下茎叶图 设两种养殖方法的箱产量相互独立 记Ａ表示事件 旧养殖
ｍｉｎ） ： （１） ， “
法的箱产量低于 新养殖法的箱产量不低于 估
５０ｋｇ， ５０ｋｇ”，
计Ａ的概率
；
填写下面列联表 并根据列联表判断是否有 ％的把握认
（２） ， ９９
为箱产量与养殖方法有关
；
根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高 并说明理由
（１） ， ； 箱产量 箱产量
求 名工人完成生产任务所需时间的中位数ｍ 并将完 ＜５０ｋｇ ≥５０ｋｇ
（２） ４０ ，
成生产任务所需时间超过ｍ和不超过ｍ的工人数填入下 旧养殖法
面的列联表
： 新养殖法
超过ｍ 不超过ｍ
根据箱产量的频率分布直方图 求新养殖法箱产量的中位
第一种生产方式 （３） ，
数的估计值 精确到 ． ．
（ ００１）
第二种生产方式
Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ．
根据 中的列联表 能否有 ％的把握认为两种生产方 附 （ ≥ ） ００５０ ００１０ ０００１
（３） （２） ， ９９ ： ｋ ． ． ． ，
式的效率有差异 ３８４１ ６６３５ １０８２８
？
附
：
Ｋ２
＝ ａ ｂ
ｎ
ｃ
（ ａ
ｄ
ｄ － ｂ
ａ
ｃ ）
ｃ
２
ｂ ｄ ，
Ｋ２
＝ ａ ｂ
ｎ
ｃ
（ ａ
ｄ
ｄ － ｂ
ａ
ｃ ）
ｃ
２
ｂ ｄ
．
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ） （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
考点一 变量的相关性、回归分析
１．（２０１５课标Ⅰ，理１９，文１９，１２分）某公司为确定下一年度投
入某种产品的宣传费 需了解年宣传费ｘ 单位 千元 对年销
， （ ： ）
售量ｙ 单位 和年利润ｚ 单位 千元 的影响．对近 年的年
（ ：ｔ） （ ： ） ８
宣传费ｘ 和年销售量ｙ ｉ 数据作了初步处理 得
ｉ ｉ（ ＝１，２，…，８） ，
到下面的散点图及一些统计量的值．
８ ８ ８ ８
ｘ ｙ ｗ ∑ｉ＝１ （ ｘ ｉ－ ｘ ） ２ ∑ｉ＝１ （ ｗ ｉ－ ｗ ） ２ ∑ｉ＝１ （ ｘ ｉ－ ｘ ）（ ｙ ｉ－ ｙ ） ∑ｉ＝１ （ ｗ ｉ－ ｗ ）（ ｙ ｉ－ ｙ ）
． ． ． ． ．
４６６５６３ ６８ ２８９８ １６ １４６９ １０８８
８
表中ｗ ＝ ｘ ｗ ＝ １ ｗ．
ｉ ｉ，
８
∑ｉ＝
１
ｉ
专题十一 概率与统计 ８２１
根据散点图判断 ｙ ａ ｂｘ与ｙ ｃ ｄ ｘ哪一个适宜作为年
（１） ， ＝ ＋ ＝ ＋ ４ ４ ８ １６ ３２
销售量ｙ关于年宣传费ｘ的回归方程类型 给出判断即
？ （
可 不必说明理由 ５ ５ １０ ２５ ５０
， ）
根据 的判断结果及表中数据 建立 ｙ 关于 ｘ 的回归 ∑ １５ ３６ ５５ １２０
（２） （１） ， ｎ ｎ
方程 这里ｎ ｔ １ ｔ １５ ｙ １ ｙ ３６ ． ．
已知这 ； 种产品的年利润ｚ与ｘ ｙ的关系为ｚ ． ｙ ｘ．根据 ＝５， ＝ ｎ ∑ｉ＝ １ ｉ＝ ５ ＝３， ＝ ｎ ∑ｉ＝ １ ｉ＝ ５ ＝７２
（３） ， ＝０ ２ － ｎ ｎ
（２）
年
的
宣
结
传
果
费
回
ｘ
答下列
时
问
年
题
销
：
售量及年利润的预报值是多少
又ｌ ｔｔ＝ ∑ｉ＝
１
ｔ２ｉ － ｎｔ２ ＝５５－５×３ ２ ＝１０， ｌ ｔｙ＝ ∑ｉ＝
１
ｔ ｉ ｙ ｉ－ ｎｔ ｙ ＝１２０－５×３
（ｉ） ＝４９ ， ？ ．
年宣传费ｘ为何值时 年利润的预报值最大 ×７２＝１２，
（ｉｉ） ， ？ ｌ
附
线
：
ｖ
对
α
于一
βｕ
组
的
数
斜
据
率
（
和
ｕ
１ 截
，ｖ
距 １
）
的
，（
最
ｕ
２ 小
，ｖ
２ 二
），
乘
…
估
，（
计
ｕ
分 ｎ
，ｖ
别 ｎ
）
为
，其回归直 从而ｂ＾
＝ ｌ
ｔ
ｔ
ｙ
ｔ ＝ １
１
０
２
＝１
．
２，
ａ
＾＝
ｙ
－
ｂ＾ｔ
＝７
．
２－１
．
２×３＝３
．
６，
＝ ＋ 故所求回归方程为ｙ ． ｔ ． ．
ｎ ＾＝１２ ＋３６
（ｕ － ｕ）（ｖ － ｖ） 将ｔ 代入回归方程可预测该地区 年的人民币储蓄
β＾
＝
∑ｉ＝
１
ｎ
ｉ ｉ
，α＾＝ ｖ
－
β＾ ｕ．
（
存
２
款
）
为ｙ
＾
＝
＝
６
１
．
２×６＋３
．
６＝１０
．
８（
千亿元
）
．
２０１５
（ｕ ｉ － ｕ）２ ３．（２０１４课标Ⅱ理，１９，１２分）某地区 年至 年农村居
∑ｉ＝ ２００７ ２０１３
解析 由
１
散点图可以判断 ｙ ｃ ｄ ｘ适宜作为年销售量
民家庭人均纯收入ｙ
（
单位
：
千元
）
的数据如下表
：
（１） ， ＝ ＋
ｙ关于年宣传费ｘ的回归方程类型． 分 年 份
（２ ） ２００７ ２００８ ２００９ ２０１０ ２０１１ ２０１２ ２０１３
令ｗ ｘ 先建立ｙ关于ｗ的线性回归方程．由于 年份代号ｔ
（２） ＝ ， １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
８ 人均纯收入ｙ ． ． ． ． ． ． ．
ｄ ＾＝
∑ｉ＝
１
（ ｗ
８
ｉ － ｗ ）（ ｙ ｉ － ｙ ）
＝ １０ ． ８
．
８ ＝６８， （１） 求ｙ关于ｔ的
２９
线性回
３３
归方
３
程
６
；
４４ ４８ ５２ ５９
∑ｉ＝ （ ｗ ｉ － ｗ ） ２ １６ （２） 利用 （１） 中的回归方程 ， 分析 ２００７ 年至 ２０１３ 年该地区农
１ 村居民家庭人均纯收入的变化情况 并预测该地区
ｃ ｙ ｄｗ ． ． ， ２０１５
＾＝ －＾ ＝５６３－６８×６８＝１００６， 年农村居民家庭人均纯收入．
所以ｙ关于ｗ的线性回归方程为ｙ ． ｗ 因此ｙ关于ｘ
＾＝１００６＋６８ ， 附 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
： ：
的回归方程为ｙ ． ｘ． 分 ｎ
＾＝１００６＋６８ （６ ） ｔ － ｔ ｙ － ｙ
（ ｙ ３）（ｉ） ．
由
（２）
知
，
当ｘ
＝ ． ４９
时
，
年销售量ｙ的预报值
ｂ＾ ＝
∑ｉ＝
１
（
ｎ
ｉ ）（ ｉ ）
， ａ ＾＝ ｙ － ｂ＾ ｔ．
年
＾＝
利
１０
润
０６
ｚ
＋
的
６８
预报
４９
值
＝
ｚ
５７６６，
． ． ． ． 分
∑ｉ＝
１
（ ｔ ｉ － ｔ ） ２
＾＝５７６６×０２－４９＝６６３２ （９ ） 解析 由所给数据计算得
根据 的结果知 年利润ｚ的预报值 （１）
（ｉｉ） （２） ，
ｔ １
ｚ
＾＝０
．
２（１００
．
６＋６８
ｘ
）－
ｘ
＝－
ｘ
＋１３
．
６
ｘ
＋２０
．
１２
． ＝
７
×（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７）＝４，
．
所以当 ｘ ＝ １３６ ＝６ ． ８， 即ｘ ＝４６ ． ２４ 时 ， ｚ ＾ 取得最大值． ｙ ＝ １ ×（２ ． ９＋３ ． ３＋３ ． ６＋４ ． ４＋４ ． ８＋５ ． ２＋５ ． ９）＝４ ． ３，
２ ７
故年宣传费为 ． 千元时 年利润的预报值最大． 分
２．（２０１５重庆文， ４ １ ６ ７ ２ ， ４ １３分）随 ， 着我国经济的发展
，
居民 （ 的 １２ 储蓄 ） ∑ｉ＝ ７
１
（ ｔ ｉ－ ｔ ） ２ ＝９＋４＋１＋０＋１＋４＋９＝２８，
存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款 年底余额 ７
（ ） ｔ ｔ ｙ ｙ ．
如下表 ∑ｉ＝ （ ｉ－）（ ｉ－ ）＝ （－３）×（－１ ４）＋（－２）×（－１）＋（－１）×
： １
． ． ． ． ．
年份 （－０７）＋０×０１＋１×０５＋２×０９＋３×１６＝１４，
２０１０ ２０１１ ２０１２ ２０１３ ２０１４ ７
ｔ － ｔ ｙ － ｙ
时间代号ｔ １ ２ ３ ４ ５
ｂ＾
∑ｉ＝
１
（ ｉ ）（ ｉ ）
１４ ．
储蓄存款ｙ 千亿元 ＝ ７ ＝ ＝０５，
（ ） ５ ６ ７ ８ １０ ∑ｉ＝ （ ｔ ｉ － ｔ ） ２ ２８
（１）
用
求
所
ｙ关
求
于
回归
ｔ的
方
回
程
归
预
方
测
程
该
ｙ
＾
地
＝
ｂ
区
＾ｔ
＋
ａ
＾；
年 ｔ 的人民币储蓄
ａ
＾＝
ｙ
－
ｂ＾ ｔ
＝
１
４
．
３－０
．
５×４＝２
．
３，
（２） ２０１５ （ ＝６） 所求回归方程为ｙ ． ｔ ． ．
存款． ＾＝０５ ＋２３
由 知 ｂ ． 故 年至 年该地区农村居民
附：回归方程ｙ
＾＝
ｂ＾ｔ
＋
ａ
＾
中， （
家
２
庭
）
人
（
均
１）
纯收
，＾
入
＝
逐
０５
年
＞
增
０，
加
２
平
００
均
７
每年增
２
加
０１３
． 千元．
ｎ ， ０５
ｔｙ － ｎｔｙ 将 年的年份代号ｔ 代入 中的回归方程 得ｙ ．
ｂ＾ ＝
∑ｉ＝
１ ｎ
ｉ ｉ
，ａ ＾ ＝ ｙ － ｂ＾ｔ． ９＋２
２
．
０
３
１
＝
５
６ ． ８，
＝９ （１） ， ＾＝０ ５×
ｔ２ｉ － ｎｔ２ 故预测该地区 年农村居民家庭人均纯收入为 ． 千元．
∑ｉ＝ ２０１５ ６８
解析 １ 列表计算如下 评析 本题考查了回归直线方程的求解，注意回归直线恒过点
（１） ：
ｉ ｔ
ｉ
ｙ
ｉ
ｔ２ｉ ｔ
ｉ
ｙ
ｉ
（ｔ，ｙ）是关键，考查了回归系数ｂ＾ 的几何意义．考查了学生的计
算求解能力．
１ １ ５ １ ５
２ ２ ６ ４ １２
３ ３ ７ ９ ２１
８２２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
时间： 分钟 分值： 分
８５ １００
一、单项选择题 每题 分 共 分 ％的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关
（ ５ ， １５ ） ９５ ；
１．（２０１９湖南长沙雅礼中学月考（一），５）已知回归直线方程的
实践操作能力较弱 实践操作能力较强 合计
斜率的估计值是 ． 样本点的中心为 则回归直线的
１ ２３， （４，５）， 男生／名
方程是
ｙ ． ｘ ｙ ． ｘ ．
（ ） 女生／名
Ａ．＾＝１２３ ＋４ Ｂ．＾＝１２３ ＋０８
ｙ ． ｘ ． ｙ ． ｘ ． 合计
Ｃ．＾＝１２３ ＋００８ Ｄ．＾＝１２３ －００８
答案 Ｃ
现从测试结果为水平一的学生中随机抽取 名进行学习
２．（２０２１届重庆巴蜀中学高考适应性月考（一），５）用最小二乘 （２）
能力测试 记抽到水平一的男生的人数为ξ 求
４
ξ的分布列
， ，
法得到一组数据
（
ｘ
ｉ，
ｙ
ｉ）（
ｉ
＝１，２，３，４，５）
的线性回归方程为ｙ
＾＝
和数学期望．
５ ５ 下面的临界值表供参考
ｂｘ 若 ｘ ｙ 则当ｘ 时 ｙ的预报值为 ：
＋３， ∑ｉ＝
１
ｉ＝２５，∑ｉ＝
１
ｉ＝６５， ＝８ ，
Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ． ． ． ． ．
（ ≥ ０） ０１５ ０１０ ００５ ００２５ ００１０ ０００５ ０００１
（ ）
ｋ ． ． ． ． ． ． ．
Ａ．１８ Ｂ．１９ Ｃ．２０ Ｄ．２１ ０ ２０７２ ２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５ ７８７９ １０８２８
３．（２
答
０２
案
０ 辽
Ｂ
宁阜新高级中学月考，３）某饮料店某 天的日销售
参考公式
：
Ｋ２
＝ ａ ｂ
ｎ
ｃ
（
ａ
ｄ
ｄ
－
ｂ
ａ
ｃ
）
ｃ
２
ｂ ｄ ，
其中ｎ
＝
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ
＋
ｄ．
５ （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
收入ｙ 单位 百元 与当天平均气温ｘ 单位 之间的数据 ７．（２０２０山东夏季高考模拟，２０）下面给出了根据我国
（ ： ） （ ：℃） ２０１２
如下表 年 年水果人均占有量ｙ 单位 和年份代码ｘ绘制的
： —２０１８ （ ：ｋｇ）
ｘ 散点图和线性回归方程的残差图 年 年的年份代
－２ －１ ０ １ ２ （２０１２ —２０１８
ｙ 码ｘ分别为 ．
５ ４ ２ ２ １ １—７）
若ｘ与ｙ之间是线性相关关系 且ｙ关于ｘ的线性回归方程是
，
ｙ ｘ ｍ 则实数ｍ的值是
＾＝－ ＋ ， （ ）
． ． ．
Ａ．３ Ｂ．２８ Ｃ．２６ Ｄ．２４
答案 Ｂ
二、多项选择题 每题 分 共 分
（ ５ ， １０ ）
４．（２０２１届山东济南外国语学校月考，１０）下列说法正确的是
（ ）
将一组数据中的每个数据都乘同一个非零常数ａ后 方差变
Ａ． ，
为原来的ａ倍
设有一个回归方程ｙ ｘ 变量ｘ增加 个单位时 ｙ平均
Ｂ． ＾＝３－５ ， １ ，
减少 个单位
５
线性相关系数ｒ越大 两个变量的线性相关性越强 反之 线 根据散点图分析ｙ与ｘ之间的相关关系
Ｃ． ， ； ， （１） ；
性相关性越弱 ７ ７
根据散点图相应数据计算得 ｙ ｘｙ
在某项测量中 测量结果ξ服从正态分布Ｎ σ２ σ （２） ∑ｉ＝ ｉ ＝１ ０７４， ∑ｉ＝ ｉ ｉ ＝
Ｄ． 则Ｐ （ ξ ＞１）＝０ ． ， ５ （１， ）（ ＞０）， 根 ４５ 据 １７ 线 ， 求 性 ｙ 回 关 归 于 方 ｘ 程 的 的 线 残 性 差 回 图 归方 分 程 析 １ ；（ 线 精 性 确 回 到 归 ０ 方 ． ０１ 程 ） １ 的拟合
答案 ＢＤ
（３） ，
５．（２０２１ 届新教材地区第一次月考）已知变量ｙ与ｘ负相关 且
效果．
，
由观测数据算得样本平均数ｘ ＝４， ｙ ＝５ ． ６， 则由观测数据求得的 附 ： 回归方程ｙ ＾＝ ａ ＾＋ ｂ ＾ ｘ中斜率和截距的最小二乘估计公式分别
线性回归方程可能是 ｎ
（ ） ｘ － ｘ ｙ － ｙ
Ａ． ｙ ＾＝０ ． ４ ｘ ＋４ Ｂ． ｙ ＾＝－１ ． ２ ｘ ＋１０ ． ４ 为 ： ｂ ＾＝ ∑ｉ＝ １ （ ｎ ｉ ）（ ｉ ） ， ａ ＾＝ ｙ － ｂ ＾ ｘ．
Ｃ．
答
ｙ ＾＝
案
－０ ． ６
Ｂ
ｘ
Ｃ
＋８ Ｄ． ｙ ＾＝－０ ． ７ ｘ ＋８ ． ２
８．（２０２１届五
∑ｉ＝
省１
（
新
ｘ
高
ｉ －
考
ｘ ）
联
２
合质量测评１２月联考，２０）随着生产
三、解答题 共 分 力和国家经济实力的提升 网购成为人们心中首选的购物方
（ ７５ ） ，
６．（２０２１届江苏泰州中学第一次月度检测，１９）某学校八年级共 式．方便快捷 价格实惠 商品丰富成为吸引消费者进行网购的
、 、
有学生 人 现从该校八年级学生中随机抽取 名进行实 主要因素．据统计 全国约有 ％的居民进行网购 而其中年龄
４００ ， ５０ ， ５５ ，
践操作能力测试 实践操作能力测试结果分为四个等级水平
， ， 在 岁及以下的约占 ８ ．
一 二等级水平的学生实践操作能力较弱 三 四等级水平的学 ４０
、 ， 、 １１
生实践操作能力较强 测试结果统计如下表 如果采用分层抽样的方式从 网购 及 非网购 居民中随
， ： （１） “ ” “ ”
等级 水平一 水平二 水平三 水平四 机抽取 人 其中 网购 居民中年龄在 岁及以下的有
４０ ， “ ” ４０
人 非网购 居民中年龄在 岁及以下的有 人 试问
男生／名 １６ ，“ ” ４０ ５ ，
４ ８ １２ ６ 是否有 ． ％的把握认为是否网购与年龄有关
女生／名
双十一
９９
期
５
间各大电商平台积极宣传促销 全网
？
销售额达
６ ８ ４ ２
（２）“ ” ，
根据表中统计的数据填写下面 列联表 并判断是否有 到 亿元 其中天猫占比高达 ％ 若从网购居民中随
（１） ２×２ ， ２６７４ ， ６０ ，
专题十一 概率与统计 ８２３
机选取 人 用ξ表示所选 人中在天猫购买商品的人数 的结果相互独立．
３ ， ３ ，
求ξ的分布列和数学期望． 某位顾客购买了 元的产品 该顾客选择参加两次
① １０５０ ，
ｎ ａｄ ｂｃ ２ 抽奖 求该顾客获得 元现金奖励的概率
附 Ｋ２ （ － ） ． ， １００ ；
： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ 某位顾客购买了 元的产品 作为专营店老板 是
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ） ② ２ ０００ ， ，
希望该顾客直接选择返回 元现金 还是选择参加四
Ｐ （ Ｋ２ ≥ ｋ ０） ０ ． １００ ０ ． ０５０ ０ ． ０２５ ０ ． ０１０ ０ ． ００５ ０ ． ００１ 次抽奖 说明理由． ２００ ，
ｋ ． ． ． ． ． ． ？
０ ２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５ ７８７９ １０８２８ ｎ
ｔ － ｔ ｙ － ｙ
９．（２０１９山东省实验中学第二次诊断）为了了解人们对 “ 延迟退 附 ： 相关系数公式 ： ｒ ＝ ｎ
∑ｉ＝
１
（ ｉ ）（
ｎ
ｉ ）
＝
休
随
年
机
龄
调
政
查
策 ” 的
人
态
各
度
年
， 某
龄
部
段
门
人
从
数
网
的
上
频
年
率
龄
分
在
布
１
直
５～
方
６５
图
岁
和
的
支
人
持
群中
延 ｎ
∑ｉ＝
１
（ ｔ ｉ － ｔ ） ２ ∑ｉ＝
１
（ ｙ ｉ － ｙ ） ２
迟退休 的 １ 各 ００ 年龄 ， 段人数的统计结果如下 “ ｔ ｉ ｙ ｉ － ｎｔｙ
” ： ∑ｉ＝
１ ．
ｎ ｎ
∑ｉ＝ （ ｔ ｉ － ｔ ） ２ ∑ｉ＝ （ ｙ ｉ － ｙ ） ２
１ １
５ ５
参考数据 ： ５６ ． ９５≈７ ． ５４７，∑ｉ＝ ｔ ｉ ｙ ｉ＝８５ ． ２， ∑ｉ＝ （ ｔ ｉ － ｔ ） ２ ＝
１ １
５
１０， ∑ｉ＝ （ ｙ ｉ － ｙ ） ２ ＝ ２２ ． ７８ ．
１１．（２０２１届山１东青岛期初调研检测，１９）随着城市规模的扩大
年龄 和人们生活水平的日益提高 某市近年机动车保有量逐年递
［１５，２５） ［２５，３５） ［３５，４５） ［４５，５５） ［５５，６５］ ，
支持 延迟退休
增．根据机动车管理部门的统计数据 以 年为一个研究周
“ 的人数 ” １５ ５ １５ ２８ １７ 期 得到机动车每 年纯增数据情况如 ， 下表 ５
， ５ ：
由频率分布直方图估计年龄的众数和平均数 年度周期 １９９５—２０００ ２０００—２００５ ２００５—２０１０ ２０１０—２０１５ ２０１５—２０２０
（１） 由以上统计数据填 列联表 并判断是否有 ； ％的把握 时 间 变
（２） ２×２ ， ９５ 量ｘ １ ２ ３ ４ ５
认为以 岁为分界点的不同人群对 延迟退休年龄政策 ｉ
４５ “ ” 纯增数量
的支持度有差异
； ｙ 单位
ｉ（ ： ３ ６ ９ １５ ２７
岁以下 岁以上 含 总计 万辆
４５ ４５ （ ） ）
支持 其中ｉ 时间变量ｘ 对应的机动车纯增数据为ｙ
＝１，２，３，…， ｉ ｉ，
且通过数据分析得到时间变量ｘ与对应的机动车纯增数量ｙ
不支持
单位 万辆 具有线性相关关系．
总计 （ ： ）
求机动车纯增数量ｙ 单位 万辆 关于时间变量ｘ的回归方
（１） （ ： ）
若以 岁为分界点 从不支持 延迟退休 的人中按分层 程 并预测 年间该市机动车纯增数量的值
（３） ４５ ， “ ” ， ２０２５—２０３０ ；
抽样的方法抽取 人参加某项活动．现从这 人中随机抽 该市交通管理部门为了了解市民对 单双号限行 的赞同
８ ８ （２） “ ”
人 求抽到的 人中一人是 岁以下 另一人是 岁以 情况 随机采访了 名市民 将他们的意见和是否拥有
２ ， ２ ４５ ， ４５ ， ２２０ ，
上 含 的概率． 私家车情况进行了统计 得到如下的 列联表
（ ） ， ２×２ ：
参考数据
： 赞同限行 不赞同限行 合计
Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ． ．
（ ≥ ０） ０１００ ００５０ ００１０ ０００１ 没有私家车
ｋ ． ． ． ． ９０ ２０ １１０
０ ２７０６ ３８４１ ６６３５ １０８２８
有私家车
Ｋ２ ｎ （ ａｄ － ｂｃ ） ２ 其中ｎ ａ ｂ ｃ ｄ． ７０ ４０ １１０
＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ， ＝ ＋ ＋ ＋ 合计
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ） １６０ ６０ ２２０
１０．（２０２１届湖北荆州中学月考）在我国
，
大学生就业压力日益
根据上面的列联表判断 能否有 ％的把握认为 对限行
严峻 伴随着政府政策引导与社会观念的转变 大学生创业意 ， ９９ “
， ，
的意见与是否拥有私家车 有关．
识 就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收． ”
、 附 回归直线方程ｙ ｂｘ ａ中斜率和截距的最小二乘估计公
担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创 ： ＾＝＾ ＋＾
式分别为
业 该专营店统计了近五年来创收利润 ｙ 单位 万元 与时 ：
， ｉ（ ： ） ｎ ｎ
间ｔ 单位 年 的数据 列表如下 ｘｙ － ｎｘ ｙ ｘ － ｘ ｙ － ｙ
ｉ（ ： ）
ｔ ｉ １
，
２
：
３ ４ ５ ｂ ＾＝
∑ｉ＝
１ ｎ
ｉ ｉ ·
＝
∑ｉ＝
１
（
ｎ
ｉ ）（ ｉ ）
； ａ ＾＝ ｙ － ｂ ＾ ｘ．
ｙ ｉ ２ ． ４ ２ ． ７ ４ ． １ ６ ． ４ ７ ． ９ ∑ｉ＝ ｘ２ｉ － ｎｘ２ ∑ｉ＝ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２
（１） 依 的 据 关 表 系 中给 请 出 计 的 算 数 相 据 关 ， 系 是 数 否 ｒ 可 并 用 加 线 以 性 说 回 明 归模 计 型 算 拟 结 合 果 ｙ 精 与 确 ｔ 附 ： Ｋ２ ＝ １ ａ ｂ ｎ ｃ （ ａ ｄ ｄ － ｂ ａ ｃ ） ｃ ２ １ ｂ ｄ ， ｎ ＝ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ｄ．
到 ． ？ 若 ｒ ． 则线性相关程度 （ 很高 可用线性 （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
回归
０
模
０１
型
）；
拟
（
合
｜ ｜＞０ ７５， ， Ｐ
（
Ｋ２
≥
ｋ
） ０
．
１５ ０
．
１０ ０
．
０５ ０
．
０２５ ０
．
０１０ ０
．
００５ ０
．
００１
）
该专营店为吸引顾客 特推出两种促销方案． ｋ ． ． ． ． ． ． ．
（２） ， ２０７２ ２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５ ７８７９ １０８２８
方案一 每满 元可减 元
： ５００ ５０ ；
方案二 每满 元可抽奖一次 每次中奖的概率都为
： ５００ ，
２ 中奖就可以获得 元现金奖励 假设顾客每次抽奖
， １００ ，
５
８２４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１．（２０１７陕西汉中一模，３）已知两个随机变量ｘ ｙ之间的相关 ４．（２０１８广东五校联考，３）下表是我国某城市在 年 月份
， ２０１７ １
关系如下表所示 至 月份 个月的最低气温与最高气温 的数据一览表．
： １０ １０ （℃）
ｘ 月份
－４ －２ １ ２ ４ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
ｙ ． 最高气温
－５ －３ －１ －０５ １ ５ ９ ９ １１ １７ ２４ ２７ ３０ ３１ ２１
最低气温
根据上述数据得到的回归方程为ｙ ＾＝ ｂ＾ｘ ＋ ａ ＾， 则大致可以判断 －１２ －３ １ －２ ７ １７ １９ ２３ ２５ １０
已知该城市各月的最低气温与最高气温具有相关关系 根据表
（ ） ，
格下列结论错误的是
Ａ． ａ ＾＞０， ｂ＾ ＞０ Ｂ． ａ ＾＞０， ｂ＾ ＜０ Ｃ． ａ ＾＜０， ｂ＾ ＞０ Ｄ． ａ ＾＜０， ｂ＾ ＜０ 最低气温与最高气温为正相关 （ ）
答案 Ｃ 由题意知ｘ ． ｙ ． Ａ．
＝０２， ＝－１７， 每月最高气温和最低气温的平均值在前 个月逐月增加
． ． ． Ｂ． ８
ｂ＾ ２８－５×０２×（－１７） ２９７ ． 月温差 最高气温减最低气温 的最大值出现在 月
∴ ＝ ． ２ ＝ ． ≈０７３＞０， Ｃ． （ ） １
４１－５×０２ ４０８ 月至 月的月温差 最高气温减最低气温 相对于 月至
ａ ． ． ． ． 故选 Ｄ．１ ４ （ ） ７
∴ ＾＝－１７－０７３×０２≈－１８５＜０， Ｃ． 月 波动性更大
２．（２０１８ 江西南昌一模，１０）已知线性相关的五个样本点 １０ ，
答案 Ｂ
Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ 用最小二乘法
１（０，０）， ２（２，２）， ３（３，２）， ４（４，２）， ５（６，４）， 月份
得到回归直线方程ｌ ｙ ｂｘ ａ 过点Ａ Ａ 的直线方程ｌ ｙ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
ｍｘ ｎ 那么下列四个 １ 命 ：＾ 题 ＝＾ ＋＾， １， ２ ２： ＝ 最高气温 ５ ９ ９ １１ １７ ２４ ２７ ３０ ３１ ２１
＋ ， ： 最低气温
－１２ －３ １ －２ ７ １７ １９ ２３ ２５ １０
① ｍ ＞ ｂ ＾， ａ ＾＞ ｎ ；② 直线ｌ １ 过点Ａ ３；③∑ｉ＝ ５
１
（ ｙ ｉ－ ｂ ＾ ｘ ｉ－ ａ ＾） ２ ≥∑ｉ＝ ５
１
（ ｙ ｉ－
由表格可
温
知
差
最低气
１７
温
１
大
２
致
８
随最
１３
高
１
气
０
温
７
的增
８
大而
７
增大
６ １１
正确
５ ５ ，Ａ ；
ｍｘ ｉ－ ｎ ） ２ ；④∑ｉ＝ ｜ ｙ ｉ－ ｂ ＾ ｘ ｉ－ ａ ＾｜≥∑ｉ＝ ｜ ｙ ｉ－ ｍｘ ｉ－ ｎ ｜ ． 每月最高气温与最低气温的平均值在前 ８ 个月不是逐月增加 ，
１ ｎ ｎ １ 错 月温差 最高气温减最低气温 的最大值出现在 月
æ çç参考公式 ： ｂ ＾＝ ∑ｉ＝ ｎ １ ｘ ｉ ｙ ｉ －ｎｘｙ ＝ ∑ｉ＝ １ （ ｘ ｎ ｉ －ｘ ）（ ｙ ｉ －ｙ ） ， ａ ＾ ＝ｙ－ｂ ＾ ｘ ö ÷÷ Ｂ 正 至 确 ； ；１ 月 月 波 至 动 （ ４ 性 月 更 的 大 月温差 正 （ 确 最高 故 气 选 温 ） ． 减最低气温 ） 相对于 １ ７ ， 月 Ｃ
è ∑ｉ＝ ｘ２ｉ －ｎｘ２ ∑ｉ＝ （ ｘ ｉ －ｘ ） ２ ø ５．（２０ １０ １７安 ， 徽池州４月 ， 模 Ｄ 拟，１８ ， ）某职 Ｂ 称晋级评定机构对参加某
１ １
其中正确的命题有 次专业技术考试的 人的成绩进行了统计 绘制的频率分布
（ ） １００ ，
个 个 个 个 直方图如图所示．规定 分以上者晋级成功 否则晋级失败
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ８０ ，
答案 Ｂ 由所给的数据计算可得ｘ ｙ 通过计算得线 满分为 分 ．
＝３， ＝２，
（ １００ ）
性回归方程为ｙ
＾＝０
．
６
ｘ
＋０
．
２， （１）
求图中ａ的值
；
过点Ａ Ａ 的直线方程为ｙ ｘ． 估计该次考试的平均分ｘ 同一组中的数据用该组的区间
１， ２ ＝ （２） （
所以 ｍ ｂ ａ ｎ 正确 中点值代表
① ＞＾，＾＞ ， ； ）；
直线ｌ 过点Ａ 正确 根据已知条件完成下面 列联表 并判断能否有 ％的
② １ ３， ； （３） ２×２ ， ８５
把握认为晋级成功与性别有关．
５ ５
③∑ｉ＝ （ ｙ ｉ－ ｂ ＾ ｘ ｉ－ ａ ＾） ２ ＝０ ． ８，∑ｉ＝ （ ｙ ｉ－ ｍｘ ｉ－ ｎ ） ２ ＝９， 错误 ；
晋级成功 晋级失败 合计
１ １
５ ５
④∑ｉ＝ ｜ ｙ ｉ－ ｂ ＾ ｘ ｉ－ ａ ＾｜＝１ ． ６，∑ｉ＝ ｜ ｙ ｉ－ ｍｘ ｉ－ ｎ ｜＝５， 错误． 男 １６
１ １
综上可得 正确的命题有 个． 女
， ２ ５０
选 ． 合计
Ｂ
３．（２０１７湖南益阳调研，４）某公司 年的年利润 单
２０１０—２０１５ （
位 百万元 与年广告支出ｙ 单位 百万元 的统计资料如下表
： ） （ ： ）
所示
：
年份
２０１０ ２０１１ ２０１２ ２０１３ ２０１４ ２０１５
利润ｘ 百万元 ． ． ． ．
（ ） １２２ １４６ １６ １８ ２０４ ２２３
支出ｙ 百万元 ． ． ． ． ． ．
（ ） ０６２ ０７４ ０８１ ０８９ １００ １１１
根据统计资料 则
， （ ）
Ａ．
年利润中位数是
１６，
ｙ与ｘ具有正的线性相关关系
( ｎ ａｄ ｂｃ ２ )
年利润中位数是 ｙ与ｘ具有正的线性相关关系 参考公式
：
Ｋ２
＝ ａ ｂ ｃ
（
ｄ
－
ａ
）
ｃ ｂ ｄ ，
其中ｎ
＝
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ
＋
ｄ
Ｂ． １７， （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
年利润中位数是 ｙ与ｘ具有负的线性相关关系
Ｃ．
年利润中位数是
１７，
ｙ与ｘ具有负的线性相关关系
Ｐ
（
Ｋ２
≥
ｋ
） ０
．
４０ ０
．
２５ ０
．
１５ ０
．
１０ ０
．
０５ ０
．
０２５
Ｄ． １８，
答案 Ｂ 年利润 单位 百万元 个数据按从小到大的顺 ｋ ０ ． ７０８ １ ． ３２３ ２ ． ０７２ ２ ． ７０６ ３ ． ８４１ ５ ． ０２４
（ ： ）６
序排列后 最中间两个为 其平均数为 则中位数为 解析 由频率分布直方图中各小长方形面积总和为
， １６，１８， １７， （１） １，
当ｘ增加时 ｙ也跟着增加 因此是正相关关系．故选 ． 得 ａ ． ． ． 解得ａ ． ．
１７， ， ， Ｂ （２ ＋００２０＋００３０＋００４０）×１０＝１， ＝０００５
专题十一 概率与统计 ８２５
由频率分布直方图知各小组的中点值依次是 Ｐ Ｘ ． ３ ． Ｐ Ｘ １ ． ． ２ ．
（２） ５５，６５，７５， （ ＝０）＝０４ ＝００６４， （ ＝１）＝Ｃ３×０６×０４ ＝０２８８，
对应的频率分别为 ． ． ． ． ． 则估计该 Ｐ Ｘ ２ ． ２ ． ．
８５，９５， ００５，０３０，０４０，０２０，００５， （ ＝２）＝Ｃ３×０６ ×０４＝０４３２，
次考试的平均分ｘ ＝５５×０ ． ０５＋６５×０ ． ３＋７５×０ ． ４＋８５×０ ． ２＋９５×０ ． ０５ Ｐ （ Ｘ ＝３）＝Ｃ ３ ３×０ ． ６ ３ ＝０ ． ２１６， （９ 分 ）
分 ． Ｘ的分布列为
＝７４（ ） ∴
由频率分布直方图知 晋级成功的频率为 ． ． ．
（３） ， ０２＋００５＝０２５， Ｘ
故晋级成功的人数为 ． ０ １ ２ ３
１００×０２５＝２５， Ｐ ． ． ． ．
填写 列联表如下 ００６４ ０２８８ ０４３２ ０２１６
２×２ ：
分
晋级成功 晋级失败 合计 （１０ ）
Ｅ Ｘ ． ． ． ． ． ． 分
男 ∴ （ ）＝０×００６４＋１×０２８８＋２×０４３２＋３×０２１６＝１８ （１２ ）
１６ ３４ ５０ ７．（２０２０山西大同开学学情调研，１９）学校为了对教师教学水平
女
９ ４１ ５０ 和教师管理水平进行评价 从该校学生中选出 人进行统
合计 ， ３００
２５ ７５ １００ 计．其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的 ％
ｎ ａｄ ｂｃ ２ ２ ６０ ，
Ｋ２ （ － ） １００×（１６×４１－３４×９） ． 对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的 ％ 其中对
＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ＝ ≈２６１３＞ ７５ ，
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ） ２５×７５×５０×５０ 教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有 人．
． 所以有 ％的把握认为晋级成功与性别有关． １２０
２０７２， ８５ 填写教师教学水平和教师管理水平评价的 列联表
６．（２０２０ 广西玉林第二次月考，１８）某省高考改革实施方案指 （１） ２×２ ：
出 该省高考考生总成绩将由高考成绩和学业水平考试成绩 对教师管理水平好评 对教师管理水平不满意 合计
：
对教师教学水平好评
共同构成．该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高考改
对教师教学水平不满意
革方案所持的态度 随机从中抽取了 名城乡家长作为样本
， １００ 合计
进行调查 调查结果显示样本中有 人持不赞成意见．下图是
根据样本 ， 的调查结果绘制的等高条 ２ 形 ５ 图． 请问是否可以在犯错误概率不超过
０
．
００１
的前提下
，
认为
教师教学水平好评与教师管理水平好评有关
？
若将频率视为概率 有 人参与了此次评价 设对教师教
（２） ， ４ ，
学水平和教师管理水平均给出好评的人数为随机变量Ｘ．
求对教师教学水平和教师管理水平均给出好评的人数Ｘ
①
的分布列 概率用组合数算式表示
（ ）；
求Ｘ的数学期望和方差．
②
附
：
Ｐ
（
Ｋ２
≥
ｋ
０） ０
．
１０ ０
．
０５ ０
．
０１０ ０
．
００５
Ｐ
（
Ｋ２
≥
ｋ
０） ０
．
１５ ０
．
１０ ０
．
０５ ０
．
０２５ ０
．
０１０ ０
．
００５ ０
．
００１
ｋ ． ． ． ． ｋ ． ． ． ． ． ． ．
０ ２７０６ ３８４１ ６６３５ ７８７９ ０ ２０７２ ２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５ ７８７９ １０８２８
Ｋ２
＝ ａ ｂ
ｎ
ｃ
（ ａ
ｄ
ｄ － ｂ
ａ
ｃ ）
ｃ
２
ｂ ｄ ，
其中ｎ
＝
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ
＋
ｄ． ( Ｋ２
＝ ａ ｂ
ｎ
ｃ
（ ａ
ｄ
ｄ － ｂ
ａ
ｃ ）
ｃ
２
ｂ ｄ ，
其中ｎ
＝
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ
＋
ｄ )
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ） （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
根据已知条件与等高条形图完成下面的 列联表 并判 解析 由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平
（１） ２×２ ， （１）
断能否有 ％的把握认为 赞成高考改革方案与城乡户口 评价的 列联表
９５ “ ２×２ ：
有关
”； 对教师管理水平好评 对教师管理水平不满意 合计
赞成 不赞成 合计 对教师教学水平好评
１２０ ６０ １８０
城镇居民
对教师教学水平不满意
农村居民 １０５ １５ １２０
合计
合计 ２２５ ７５ ３００
２
用样本的频率估计概率 若随机在全省不赞成高考改革的 由表中数据可得 Ｋ２ ３００×（１２０×１５－６０×１０５） ．
（２） ， ＝ ≈１６ ６６７＞
家长中抽取 人 记这 位家长中是城镇户口的人数为Ｘ １８０×１２０×２２５×７５
３ ， ３ ， ． 所以可以在犯错误概率不超过 ． 的前提下 认为教
试求Ｘ的分布列及数学期望Ｅ Ｘ ． １０８２８， ０００１ ，
（ ） 师教学水平好评与教师管理水平好评有关．
解析 完成 列联表如下
（１） ２×２ ： 对教师教学水平和教师管理水平均给出好评的概率为
（２）①
赞成 不赞成 合计
２ 且Ｘ的取值可以是 其中
城镇居民 ， ０，１，２，３，４，
３０ １５ ４５ ５
农村居民 ( ) ( )
４５ １０ ５５ Ｐ Ｘ ３ ４ Ｐ Ｘ １ ２ ３ ３
合计 （ ＝０）＝ ； （ ＝１）＝Ｃ４ × ；
７５ ２５ １００ ５ ５ ５
分 ( ) ２ ( ) ２ ( ) ３
（２ ） Ｐ Ｘ ２ ２ ３ Ｐ Ｘ ３ ２ ３
Ｋ２ １００×（３００－６７５） ２ ． ． 分 （ ＝２）＝Ｃ ( ４ ) ５ × ５ ； （ ＝３）＝Ｃ４ ５ × ５ ；
＝ ≈３０３＜３８４１， （４ ） ４
７５×２５×４５×５５ Ｐ Ｘ ２ ．
没有 ％的把握认为 赞成高考改革方案与城乡户口有关 ． （ ＝４）＝
∴ ９５ “ ” ５
分
所以Ｘ的分布列为
（５ ）
用样本的频率估计概率 随机在全省不赞成高考改革的家 Ｘ
０ １ ２ ３ ４
（
长
２
中
）
抽中城镇户口家长的概
，
率为 ０ ． ６， 抽中农村户口家长的概 Ｐ
(
３ ５
)４
Ｃ１ ４ ２ ５ ×
(
５ ３
)３
Ｃ２ ４
(
２ ５
)２
×
(
５ ３
)２
Ｃ３ ４
(
２ ５
)３
× ５ ３
(
２ ５
)４
率为 ． 分 ( )
０４， （６ ） 由于Ｘ Ｂ ２ 则 Ｅ Ｘ ２ ８ Ｄ Ｘ ２
Ｘ的可能取值为 ． 分 ② ～ ４， ， （ ）＝ ４× ＝ ， （ ）＝ ４× ×
０，１，２，３ （７ ） ５ ５ ５ ５
８２６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
( )
２
２ ２４． Ｋ２ ２０００×（５２０×６００－４８０×４００） ． ． 所以有 ．
１－ ＝ ＝ ≈２８９８６＞１０８２８， ９９
５ ２５ ９２０×１０８０×１０００×１０００
名师点睛 求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机 ％的把握认为是不是 健步达人 与年龄有关． 分
９ “ ” （４ ）
变量的所有可能值 写出随机变量的分布列 正确运用均值 方 样本平均数为ｘ ． ． ． ．
， ， 、 （２） ＝４×０ ０４＋６×０ ０６＋８×０ １０＋１０×０ １０＋１２×
差公式进行计算 对于二项分布的均值和方差根据公式直接计 ． ． ． ． ． ． ． 分
， ０３＋１４×０２＋１６×０１＋１８×００８＋２０×００２＝１２１６ （６ ）
算即可． 由前 组的频率之和为 ． ． ． ． ． 前 组的
４ ００４＋００６＋０１０＋０１０＝０３０， ５
８．（２０１９河南名校联盟尖子生第六次联合调研，１９）随着智能手 频率之和为 ． ． ． 知样本中位数落在第 组 设样本
０３０＋０３０＝０６， ５ ，
机的普及 手机计步软件迅速流行开来 这类软件能自动记载
， ， 中位数为ｔ 则 ｔ ． ． ． ｔ ３７．
每个人每日健步的步数 从而为科学健身提供一定的帮助．某 ， （ －１１）×０１５＝０５－０３，∴ ＝
， ３
市工会为了解该市市民每日健步走的情况 从本市市民中随机 故可以估计 该市不超过 岁的市民日健步步数的平均数为
， ， ４０
抽取了 名市民 其中不超过 岁的市民恰好有
２０００ （ ４０ １ ０００ ． 中位数为３７． 分
名 利用手机计步软件统计了他们某天健步的步数 并将样 １２１６， （８ ）
３
）， ，
本数据分为 ｘ ｓ ｘ ｓ ． ． ．
（３）（ －２ ， ＋２ ）＝（４８８，１９４４），２０＞１９４４，
［３，５），［５，７），［７，９），［９，１１），［１１，１３），［１３，１５），
九组 单位 千步 将抽取的不超 所以可据此判断该市民这天 运动不适量 ． 分
“ ” （１２ ）
［１５，１７），［１７，１９），［１９，２１］ （ ： ），
过 岁的市民的样本数据绘制成频率分布直方图如图
９．（２０１９安徽马鞍山二模，１９）某班的健康调查小组从所在学校
４０ ：
共选取 名男同学 其年龄 身高和体重数据如下表所示 身
１５ ， 、 （
高单位 体重单位 ．
：ｃｍ， ：ｋｇ）
年龄 身高 体重 年龄 身高 体重
（ ， ） （ ， ）
（１５４，４８），（１６１， （１６６，６４），（１６８，
１５ １８
６５），（１６８，６４） ７２），（１８２，７４）
（１５８，５０），（１６２， （１６０，５１），（１７２，
１６ １９
５９），（１７５，８０） ６８），（１７８，９０）
（１６１，６０），（１６７，
将 岁以上的市民的样本数据绘制成频数分布表如下 并利 １７
４０ ， ６２），（１７３，６８）
用该样本的频率分布估计总体的概率分布． 如果某同学 身高 体重 则认为该同学超重 从上
（１） “ － ＜１００”， ，
分组 述 名同学中任选两名同学 其中超重的同学人数为Ｘ
１５ ， ，
（
单位
：
千步
）
［３，５）［５，７）［７，９）［９，１１）［１１，１３）［１３，１５）［１５，１７）［１７，１９） ［１９，２１］ 求Ｘ的分布列和数学期望
；
频数 １０ ２０ ２０ ３０ ４００ ２００ ２００ １００ ２０ 根据表中数据 设计了两种方案预测学生身高．方案 建
（２） ， ①：
现规定 日健步步数不低于 的为 健步达人 填写 立平均体重与年龄的线性回归模型 表中各年龄的体重按
（１） ， １３ ０００ “ ”， ，
下面列联表 并根据列联表判断能否有 ． ％的把握认为 三名同学的平均体重计算 数据整理如表．
， ９９ ９ ，
是不是 健步达人 与年龄有关
“ ” ； ｉ
１ ２ ３ ４ ５
健步达人 非健步达人 总计
年龄ｔ
岁以上的市民 ｉ １５ １６ １７ １８ １９
４０ 平均体重ｓ ． ．
不超过 岁的市民 ｉ ５９ ６３ ６３３ ７０ ６９７
４０
总计 方案 建立平均体重与平均身高的线性回归模型 将所
②： ，
有数据按身高重新分成 组
利用样本平均数和中位数估计该市不超过 岁的市民日
６ ：［１５３，１５８），［１５８，１６３），
（２） ４０ 并将每组
健步步数 单位 千步 的平均数和中位数
［１６３，１６８），［１６８，１７３），［１７３，１７８），［１７８，１８３］，
（ ： ） ； 的平均身高依次折算为 各组
对于不超过 岁的市民 若日健步步数落在区间 ｘ ｓ ｘ １５５，１６０，１６５，１７０，１７５，１８０，
（３） ４０ ， （ －２ ， 的体重按平均体重计算 数据整理如表．
ｓ 内 则可认为该市民 运动适量 其中ｘ ｓ 分别为样 ，
＋２ ） ， “ ”， ，
本平均数和样本标准差 计算可求得频率分布直方图中数 ｉ
１ ２ ３ ４ ５ ６
， 平均身高ｘ
据的标准差ｓ约为 ． ．若一市民某天的健步步数为 万 ｉ １５５ １６０ １６５ １７０ １７５ １８０
３６４ ２ ， 平均体重ｙ
试判断该市民这天是否 运动适量 ． ｉ ４８ ５７ ６３ ６８ ７４ ８２
“ ” 用方案 预测 岁男同学的平均体重和用方案 预
ｎ ａｄ ｂｃ ２ （ｉ） ① ２０ ②
参考公式 Ｋ２ （ － ） 其中ｎ ａ ｂ ｃ ｄ． 测身高 的男同学的平均体重 你认为哪个更合理
： ＝ （ ａ ＋ ｂ ）（ ｃ ＋ ｄ ）（ ａ ＋ ｃ ）（ ｂ ＋ ｄ ） ， ＝ ＋ ＋ ＋ １６８ ｃｍ ， ？
请给出理由
参考数据
；
： 请根据方案 建立平均体重ｙ与平均身高ｘ的线性回
Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ． ． ． ． （ｉｉ） ②
（
ｋ
≥ ０） ０
．
１５ ０
．
１０ ０
．
０５ ０
．
０２５ ０
．
０１０ ０
．
００１
归方程ｙ
＝
ｂ＾ｘ
＋
ａ
＾（
数据精确到
０
．
００１）
．
０ ２０７２ ２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５ １０８２８ ｎ ｎ
解析 列联表为 ｘ － ｘ ｙ － ｙ ｘｙ － ｎｘｙ
（１）
健步达人 非健步达人 总计
附
：
ｂ＾
＝
∑ｉ＝
１
（
ｎ
ｉ ）（ ｉ ）
＝
∑ｉ＝
１
ｎ
ｉ ｉ
，
ａ
＾
＝ ｙ －ｂ＾ｘ
，
岁以上的市民 ∑ｉ＝ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ∑ｉ＝ ｘ２ｉ － ｎｘ２
４０ ５２０ ４８０ １０００ １ １
６ ６
不超过
４
总
０
计
岁的市民
４００ ６００ １０００ ∑ｉ＝
１
ｘ
ｉ
ｙ
ｉ
＝
６６２２５，∑ｉ＝
１
ｘ２ｉ ＝
１６８７７５，
ｘ ＝ ３
２
３５
，
ｙ ＝ １
３
９６．
解析 根据表中数据 人中 有 人超重 故随机变量
９２０ １０８０ ２０００
（１） ，１５ ， ４ ，
专题十一 概率与统计 ８２７
Ｘ的所有可能取值为 求这 名学生中获得专业三等奖学金的人数
０，１，２， （１） ５００ ；
０ ２ １ １ ０ ２ 若周课外平均学习时间超过 小时称为 努力型 学生
Ｐ Ｘ Ｃ４Ｃ１１ １１ Ｐ Ｘ Ｃ４×Ｃ１１ ４４ Ｐ Ｘ Ｃ１１Ｃ４ （２） ３５ “ ” ，
（ ＝０）＝ Ｃ ２ １５ ＝ ２１ ， （ ＝１）＝ Ｃ ２ １５ ＝ １０５ ， （ ＝２）＝ Ｃ ２ １５ 否则称为 “ 非努力型 ” 学生 ， 列 ２×２ 列联表并判断是否有
． ％的把握认为该校学生获得专业一 二等奖学金与是
６ ２ ．所以Ｘ的分布列为 ９９９ 、
＝ ＝ 不是 努力型 学生有关
１０５ ３５ “ ” ；
若以频率作为概率 从该校任选一名学生 记该学生
Ｘ
０ １ ２ （３） ， ， ２０１８
年获得的专业奖学金金额 单位 元 为随机变量Ｘ 求随
Ｐ １１ ４４ ２ （ ： ） ，
机变量Ｘ的分布列和期望．
２１ １０５ ３５
ｎ ａｄ ｂｃ ２
所以Ｅ Ｘ １１ ４４ ２ ５６ ８ ． 附Ｋ２ （ － ）
（ ）＝０× ＋１× ＋２× ＝ ＝ ＝ ａ ｂ ｃ ｂ ｄ ｃ ａ ｄ ，
２１ １０５ ３５ １０５ １５ （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
对比两种方案 用方案 预测身高 的男同学的
（
平
２
均
）（
体
ｉ）
重更合理．
， ② １６８ ｃｍ Ｐ （ Ｋ２ ＞ ｋ ０） ０ ． ０１ ０ ． ０５ ０ ． ０１０ ０ ． ００５ ０ ． ００１
ｋ ． ． ． ． ．
因为身高和体重的相关关系强于年龄与体重的相关关系． ０ ２７０６ ３８４１ ６６３５ ７８７９ １０８２８
ｎ 解析 获得专业三等奖学金学生的频率为 ． ．
ｘｙ － ｎｘｙ － × ３３５ × １９６ （１） （０ ００８＋０
（ｉｉ）
ｂ＾
＝
∑ｉ＝
１
ｎ
ｉ ｉ
＝
６６２２５ ６
２
( )
３
２ ≈１
．
２９１，
０１６＋０
．
０４）
．
×５×０
．
．
１５＋（０
．
０４
．
＋０
．
０５６＋
．
０
．
０１６）×５×０
．
４＋（０
．
０１６＋０
．
∑ｉ＝
１
ｘ２ｉ － ｎｘ２
１６８７７５
－
６
× ３
２
３５ ０
故
０８
这
）×
５
５
００
×０
名
４
学
＝０
生
３
获
２，
得
５０
专
０×
业
０
三
３２
等
＝
奖
１６０
学金的人数为
１６０
．
又因为 ｘ ｙ 在回归直线上 周课外平均学习时间不超过 小时的 非努力型 学生
（ ， ） ， （２） ３５ “ ”
有 ． ． ． ． ． ． 人
所以ａ ＾＝ ｙ － ｂ＾ ｘ ＝ １９６ －１ ． ２９１× ３３５ ≈－１５０ ． ９０９ ．故平均体重ｙ与平 其中 ５０ 获 ０× 得 （０ 专 ０ 业 ０８ 一 ＋００ 二 １６ 等 ＋ 奖 ００ 学 ４＋ 金 ０ 的 ０４ 学 ＋０ 生 ０５ 有 ６＋００１６）× ． ５＝４４０ ． ，
３ ２ 、 ５００×（０ ００８＋０ ０１６＋
均身高ｘ的线性回归方程为ｙ ＾＝１ ． ２９１ ｘ －１５０ ． ９０９ ． ０ ． ０４）×５×０ ． ０５＋５００×（０ ． ０４＋０ ． ０５６＋０ ． ０１６）×５×（０ ． ２５＋０ ． ０５）＝
１０．（２０２０江西南昌开学摸底考，１９）某 双一流 大学专业奖学 人．
“ ” ９２
金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据 分为专业一等 周课外平均学习时间超过 小时的 努力型 学生有
， ３５ “ ” ５００×
奖学金 金额为 元 专业二等奖学金 金额为 ． ． 人
（ ３ ０００ ）、 （ １ ５００ （００１６＋０００８）×５＝６０ ，
元 及专业三等奖学金 金额为 元 且专业奖学金每个 其中获得专业一 二等奖学金的学生有 ． ．
） （ ６００ ）， 、 ６０×（０ ３５＋０ ２５）＝
学生一年最多只能获得一次．图 是统计了该校 年 人
① ２０１８ ５００ ３６ ，
名学生周课外平均学习时间频率分布直方图 图 是这 列联表如下所示
， ② ５００ ２×２ ：
名学生在 年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的
２０１８ 非努力型 学生 努力型 学生 总计
频率柱状图． “ ” “ ”
获得专业一 二等奖
、
学金的学生 ９２ ３６ １２８
未获得专业一 二等奖
、
学金的学生 ３４８ ２４ ３７２
总计
４４０ ６０ ５００
２
Ｋ２ ５００×（３４８×３６－９２×２４） ． ． ．
＝ ≈４２３６＞１０８２８
４４０×６０×１２８×３７２
故有 ． ％的把握认为获得专业一 二等奖学金与是不是 努
９９９ 、 “
力型 学生有关．
”
Ｘ的可能取值为 ．Ｐ Ｘ ．
（３） ０，６００，１５００，３０００ （ ＝６００）＝０３２，
图 Ｐ Ｘ ． Ｐ Ｘ ．
① （ ＝１５００）＝０１９８， （ ＝３０００）＝００５８，
Ｐ Ｘ ． ． ． ．
（ ＝０）＝１－０３２－０１９８－００５８＝０４２４，
Ｘ
０ ６００ １５００ ３０００
Ｐ ． ． ． ．
０４２４ ０３２ ０１９８ ００５８
期望ＥＸ ． ． ． ．
＝０×０ ４２４＋６００×０ ３２＋１ ５００×０ １９８＋３ ０００×０ ０５８＝
元 ．
１９２＋２９７＋１７４＝６６３（ ）
图
②
