北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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11.5 成对数据的统计分析
考点1 变量间的相关关系
1. (2020课标Ⅱ理,18,12分)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调
查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取
20个作为样区,调查得到样本数据(x,y)(i=1,2,…,20),其中x和y分别表示第i个样区的植物覆盖面积
i i i i
20 20 20 20
(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得∑❑x=60,∑❑y=1 200,∑❑(x-x)2=80,∑❑(y-y
i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
)2=
20
9
000,∑❑(x-x)(y-y)=800.
i i
i=1
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数
乘以地块数);
(2)求样本(x,y)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);
i i
(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物
数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.
n n
∑❑(x −x)(y −y) ∑❑(x −x)(y −y)
i i i i
附:相关系数 i=1 r i=1 =, √2 ≈1.414.
√ n n √ n n
∑❑(x −x) 2∑❑(y −y) 2 ∑❑(x −x) 2∑❑(y −y) 2
i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
1 20
解析 (1)由已知得样本平均数y= ∑❑y=60,从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=
20 i
i=1
12 000.
(2)样本(x,y)(i=1,2,…,20)的相关系数
i i
20 20
∑❑(x −x)(y −y) ∑❑(x −x)(y −y)
i i i i
800 2√2
i=1 =r i=1 == =
√ 20 20 √ 20 20 √80×9 000 3
∑❑(x −x) 2∑❑(y −y) 2 ∑❑(x −x) 2∑❑(y −y) 2
i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
≈0.94.
(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分层抽样.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面
积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总
体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.
2.(2015课标Ⅰ,理19,文19,12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千
元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x和年销售量y(i=1,2,…,8)数据
i i
作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
8 8 8 8
x y w ∑ (xi- x )2 ∑ (wi- w )2 ∑ (xi- x )(yi- y ) ∑ (wi- w )(yi- y )
i=1 i=1 i=1 i=1
46.6563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8
1 8
表中w =√x ,w= ∑w .
i i 8 i
i=1
(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d√x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出
判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:
(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据(u,v),(u,v),…,(u,v),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
1 1 2 2 n n
n
∑(u −u)(v −v)
i i
β
^
=
i=1
,
α
^
=v-
β
^
u.
n
∑(u −u) 2
i
i=1
解析 (1)由散点图可以判断,y=c+d√x适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2分)
(2)令w=√x,先建立y关于w的线性回归方程.由于北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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∑(w −w)(y −y)
^ i=1 i i 108.8
= = =68,
d
8 1.6
∑(w −w) 2
i
i=1
^= -^ =563-68×6.8=100.6,
y w
c d
所以y关于w的线性回归方程为^=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为^=100.6+68 .(6分)
√x
y y
(3)(i)由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值
^=100.6+68 =576.6,
√49
y
年利润z的预报值^=576.6×0.2-49=66.32.(9分)
z
(ii)根据(2)的结果知,年利润z的预报值
^=0.2(100.6+68 )-x=-x+13.6 +20.12.
√x √x
z
13.6 ^
所以当√x= =6.8,即x=46.24时, z取得最大值.
2
故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.(12分)
3.(2015重庆文,17,13分)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款
(年底余额)如下表:
年份 2010 2011 2012 2013 2014
时间代号t 1 2 3 4 5
储蓄存款y(千亿元) 5 6 7 8 10
(1)求y关于t的回归方程^=^t+^;
y b a
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.
附:回归方程^=^t+^中,
y b a
n
∑t y −nt y
i i ^
^ = i=1 ,a=y- ^ .
b bt
n
∑t2−nt2
i
i=1
解析 (1)列表计算如下:
i t y
t2
ty
i i i i i北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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1 1 5 1 5
2 2 6 4 12
3 3 7 9 21
4 4 8 16 32
5 5 10 25 50
∑ 15 36 55 120
1 n 15 1 n 36
这里n=5,t= ∑t= =3,y= ∑y= =7.2.
n i 5 n i 5
i=1 i=1
n n
又l=∑t2 -nt2=55-5×32=10,l =∑ty-nt y=120-5×3×7.2=12,
tt i ty i i
i=1 i=1
从而^= l ty=12=1.2,^=
y
-^ =7.2-1.2×3=3.6,
b a bt
l 10
tt
故所求回归方程为^=1.2t+3.6.
y
(2)将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为^=1.2×6+3.6=10.8(千亿元).
y
4.(2014课标Ⅱ理,19,12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区
2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
n
∑(t −t)(y −y)
i i
^
=
i=1
,
^
=y-
^
.
b a bt
n
∑(t −t) 2
i
i=1
解析 (1)由所给数据计算得
1
t= ×(1+2+3+4+5+6+7)=4,
7
1
y= ×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,
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7
∑(t-t)2=9+4+1+0+1+4+9=28,
i
i=1
7
∑(t-t)(y-y)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
i i
i=1
7
∑(t −t)(y −y)
^ i=1 i i 14
= = =0.5,
b
7 28
∑(t −t) 2
i
i=1
^= -^ =4.3-0.5×4=2.3,
y
a bt
所求回归方程为^=0.5t+2.3.
y
(2)由(1)知,^=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.
b
将2015年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得^=0.5×9+2.3=6.8,
y
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
评析 本题考查了回归直线方程的求解,注意回归直线恒过点( , )是关键,考查了回归系数^的几何意义.考
t y
b
查了学生的计算求解能力.
考点2 列联表和独立性检验
(2023全国甲理,19,12分,中)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白
鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在
高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的
增加量(单位:g).
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望;
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8
26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6
35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的
数据的个数,完成如下列联表:
<m≥m
对照组
试验组
(ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环
境中体重的增加量有差异?
附:K2= n(ad−bc) 2 ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k)0.1000.0500.010
k 2.7063.8416.635
.
解析 (1)依题意得,X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)= C 2 0 0 C 2 2 0=19,
C2 78
40
P(X=1)=
C1
20
C1
20=20,
C2 39
40
P(X=2)= C 2 2 0 C 2 0 0=19,
C2 78
40
∴X的分布列为
X 0 1 2
19 20 19
P
78 39 78
19 20 19
∴E(X)= ×0+ ×1+ ×2=1.
78 39 78
23.2+23.6
(2)(i)依题意可得m= =23.4.
2
则对照组样本中小于m的数据的个数为6,
试验组样本中小于m的数据的个数为14,北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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则列联表为
<m≥m
对照
6 14
组
试验
14 6
组
(ii)由(i)中列联表可得
40×(6×6−14×14) 2
K2= =6.4>3.841,
20×20×20×20
∴有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
1.(2021全国甲理,17,12分)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两
台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附:K2= n(ad−bc) 2 ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
0.01
P(K2≥k)0.050 0.001
0
6.63
k 3.841 10.828
5
.
解析 (1)因为甲机床生产的200件产品中有150件一级品,所以甲机床生产的产品中一级品的频率为
150 3
= ,因为乙机床生产的200件产品中有120件一级品,所以乙机床生产的产品中一级品的频率为
200 4
120 3
= .
200 5
(2)根据2×2列联表中的数据,得K2= n(ad−bc) 2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
