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2025二轮复习专项训练23
统计与成对数据的统计分析
[考情分析] 高考近几年考查热点，主要考查线性回归分析和独立性检验，以实际应用题
的形式出现，题目阅读量大，难度中档．
【练前疑难讲解】
一、用样本估计总体
1．统计中的四个数据特征：
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．
(2)中位数：在样本数据中，将数据按从小到大顺序排列，位于最中间的数据．如果数据的
个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．
(3)平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x＋x＋…＋x)．
1 2 n
(4)方差与标准差：
s2＝[(x－)2＋(x－)2＋…＋(x－)2]，
1 2 n
s＝.
2．频率分布直方图的两个结论：
(1)小长方形的面积＝组距×＝频率．
(2)各小长方形的面积之和等于1.
二、回归分析
1．经验回归直线y＝bx＋a经过样本点的中心(，)，若x取某一个值，代入经验回归方程y＝
bx＋a中，可求出y的估计值．
2．样本相关系数：
当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关．
三、独立性检验
1．独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据列成2×2列联表；
(2)根据公式
χ2＝，计算χ2的值；
(3)查表比较χ2与临界值的大小关系，作统计判断．
2．χ2的值越大，对应假设事件H 成立(两类变量相互独立)的概率越小，H 不成立的概率越
0 0
大．
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生
开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人．根据统计分析，男生
组成绩和女生组成绩的方差分别为 ，该班成绩的方差为 ，则下列结论中一定正确
学科网（北京）股份有限公司的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·天津和平·一模）某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价
制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用
水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（ ）
①估计居民月均用水量低于 的概率为0.25；②估计居民月均用水量的中位数约为
；③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 的人数为6万；④根
据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为
20人的样本，则在用水量区间 中应抽取4人.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）中国雪乡哈尔滨的看雪最佳时间在11月中旬到次年的2月
上旬，某旅游公司设计了一款冰雪文创产品.试营销以来，这款冰雪文创产品定价 （单位：
元）与销量 （单位：万件）的数据如下表所示：
产品定价 （单位：元） 9 9.5 10 10.5 11
销量 （单位：万件） 11 10 8 6 5
则下列结论正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司参考公式： .
参考数据： ， ， ， .
A．产品定价 的平均值是10元
B．产品定价 与销量 存在正相关关系
C．产品定价 与销量 满足一元线性回归模型
D．产品定价 与销量 的相关系数
4．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量 ，则
B．若经验回归方程 中的 ，则变量 与 正相关
C．若随机变量 ，且 ，则
D．若事件 与 为互斥事件，则 的对立事件与 的对立事件一定互斥
三、填空题
5．（2024·山东济南·二模）现有A，B 两组数据，其中A组有4个数据，平均数为2，方
差为6，B组有6个数据，平均数为7，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组
数据的方差为 .
6．（2024·广西·二模）设实数x，y(4≤x<y)，满足1，3，4，x，y， 的平均数与
50%分位数相等，则数据x，y， 的方差为 ．
四、解答题
7．（2024·安徽芜湖·二模）据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左
右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫
星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射
290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越
多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进
学科网（北京）股份有限公司器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：
飞行距离x（kkm） 56 63 71 79 90 102 110 117
损坏零件数y（个） 61 73 90 105 119 136 149 163
参考数据： ， ， ，
(1)建立y关于x的回归模型 ，根据所给数据及回归模型，求y关于x的回归方程
（ 精确到0.1， 精确到1）；
(2)该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，
对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比
30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值 的独立性检验，能否认为
推进器是否报废与保养有关？
未保
保养 合计
养
报废 20
未报
废
合计 60 100
附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，
， ， ；
0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
8．（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习
惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100
学科网（北京）股份有限公司例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到
如下数据：
不够良
良好
好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件
“选到的人患有该疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风
险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估
计值．
附 ，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D D ACD BC
1．D
【分析】借助分层抽样的方差公式计算即可得.
【详解】设该班男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为 ， ，两个班的总的平均分为
，
学科网（北京）股份有限公司则
，
故选：D.
2．D
【分析】由频率分布直方图求频率判断①，结合直方图中位数的求法计算中位数，即可判
断②；用频率估计总体即可判断③，结合分层抽样的概念即可判断④.
【详解】由频率分布直方图可知，居民月均用水量低于 的概率为
，故①正确；
前三组的频率之和为 ，而前四组频率之和为
，故中位数位于 ，由 ，可以
估计居民月均用水量的中位数约为 ，②正确；
估计 万居民中月均用水量不低于 的人数为 ，③正确；
根据用水量对这 位居民进行分层，用分层抽样的方法抽取 人，则在用水量
中应抽取 人，④正确.
故选：D
3．ACD
【分析】计算出 可得A；计算出 后可得B、C、D.
【详解】由题可得 ，故A正确；
而 .
由于 与 的相关系数近似为 ，故 与 的线性相关性很强，从而可以用线性回归模
型拟合 与 的关系，同时， 与 为负相关，故B错误，C、D正确.
故选：ACD.
学科网（北京）股份有限公司4．BC
【分析】本题考查了二项分布，回归直线方程与两个变量的相关关系，正态分布的概率，
互斥事件与对立事件，根据选项，逐一分析判断即可．
【详解】对于 ，根据二项分布的概率计算 ，可知A错误；
对于B，若回归直线 的斜率 ，则回归直线是从左到右是上升的，则散点图也
是从左到右是上升的，故变量 与 正相关，故B正确；
对于C，因为随机变量 ，且 ，所以 ，则
，故C正确；
对于D，若 、 为互斥事件，但 的对立事件与 的对立事件可能同时发生，所以不一
定互斥，故D错误；
故选：BC．
5．9
【分析】根据题意，由分层抽样中数据方差的计算公式计算可得答案.
【详解】根据题意，甲组数据的平均数为2，方差为6，乙组数据的平均数为7，方差为1,
则两组数据混合后，新数据的平均数 ，
则新数据的方差
故答案为：9
14 5
6． /1
9 9
【分析】利用平均数与分位数相等，得 ，代入数据中得方差.
1+3+4+x+ y+ y+2
【详解】根据题意，数据1,3,4,x,y,y+2的平均数为 ，
6
数据1,3,4,x,y,y+2的 分位数为 ，
1+3+4+x+ y+ y+2 4+x
∴ = ，即 ，代入数据x,y,y+2，
6 2
学科网（北京）股份有限公司x+x+1+x+3 4
即为 ，此组数据的平均数为 =x+ ，
3 3
∴ 数据x,y,y+2的方差为
1[ ( 4) 2 ( 4) 2 ( 4) 2] 1 (16 1 25) 14
x-x- + x+1-x- + x+3-x- = × + + = .
3 3 3 3 3 9 9 9 9
故答案：
7．(1)
(2) 列联表见解析；是否报废与保养有关，理由见解析.
【分析】（1）根据题意可求出 ， ，从而可求解.
（2）根据题意可将 列联表补充完整，并求得 ，从而求解判断是否
报废与是否保养有关.
【详解】（1）由题意得 ，
则 ，
所以 .
（2）设零假设为 ：是否报废与是否保养无关，
由题意，报废推进器中保养过的共 台，未保养的推进器共 台，
补充 列联表如下：
未保
保养 合计
养
报废 6 14 20
未报
54 26 80
废
合计 60 40 100
学科网（北京）股份有限公司则 ，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为是否报废与保养有关，
此推断的错误概率不大于0.01.
8．(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；(ii) ；
【分析】(1)由所给数据结合公式求出 的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有
99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条
件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求 .
【详解】（1）由已知 ，
又 ， ，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为 ，
所以
所以 ，
(ii)
由已知 ， ，
又 ， ，所以
【基础保分训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·广东·开学考试）国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平
情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司（居民消费水平：
）
A．2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高
B．2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高
C．2018年至2022年我国居民消费水平数据的 分位数为27504元
D．2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多
2．（2023·贵州黔东南·模拟预测）“说文明话、办文明事、做文明人，树立城市新风尚！
创建文明城市，你我共同参与！”为宣传创文精神，华强实验中学高一（2）班组织了甲乙
两名志愿者，利用一周的时间在街道对市民进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数
分布折线图，则以下说法不正确的为（ ）
A．甲的众数小于乙的众数 B．乙的极差小于甲的极差
C．甲的方差大于乙的方差 D．乙的平均数大于甲的平均数
3．（2024·海南·模拟预测）某机构统计了1000名演员的学历情况，制作出如图所示的饼状
图，其中本科学历的人数为630.现按比例用分层随机抽样的方法从中抽取200人，则抽取
学科网（北京）股份有限公司的硕士学历的人数为（ ）
A．11 B．13 C．22 D．26
4．（2023·福建泉州·模拟预测）某市物价部门对某商品在5家商场的售价 （元）及其一
天的销售量 （件）进行调查，得到五对数据 （ ），经过分析、计算，
得 ， ， ， 之间的经验回归方程是： ，则相应于点 的残
差为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·河南三门峡·模拟预测）某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日
随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率
分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ）
A．
B．样本质量指标值的平均数为75
C．样本质量指标值的众数小于其平均数
D．样本质量指标值的第75百分位数为85
6．（2024·广东·二模）若 是样本数据 的平均数，则（ ）
A． 的极差等于 的极差
学科网（北京）股份有限公司B． 的平均数等于 的平均数
C． 的中位数等于 的中位数
D． 的标准差大于 的标准差
7．（2024·云南昆明·模拟预测）某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文
明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取
一个容量为100的样本，发现数据均在 内.现将这些分数分成6组并画出样本的频
率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示.观察图形，则下列说法正确的是（
）
A．频率分布直方图中第三组的频数为15
B．根据频率分布直方图估计样本的众数为75分
C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为74分
D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为73分
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量如表所示，
若 与 线性相关，且线性回归方程为 ，则（ ）
月份编号 1 2 3 4 5
下载量 （万
5 4.5 4 3.5 2.5
次）
A． 与 负相关 B．
C．预测第6个月的下载量是2.1万次 D．残差绝对值的最大值为0.2
三、填空题
9．（2024·全国·模拟预测）某小组5位同学各拋掷一枚正方体骰子，将正面向上的点数按
从小到大的顺序记录下来，得到一组统计数据．已知这组数据的平均数为整数，最大值为
学科网（北京）股份有限公司6，中位数为3，方差为1.6，则这组数据的众数为 ．
10．（2024·四川成都·一模）某区为了解全区 名高二学生的体能素质情况，在全区高
二学生中随机抽取了 名学生进行体能测试，并将这 名的体能测试成绩整理成如下
频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这 名学生平均成绩的估计值为 ．
四、解答题
11．（2024·陕西西安·模拟预测）某企业近年来的广告费用 （百万元）与所获得的利润
（千万元）的数据如下表所示，已知 与 之间具有线性相关关系．
年份 2018 2019 2020 2021 2022
广告费用 百万元 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
润 千万元 1.6 2 2.4 2.5 3
(1)求 关于 的线性回归方程；
(2)若该企业从2018年开始，广告费用连续每一年都比上一年增加10万元，根据（1）中所
得的线性回归方程，预测2025年该企业可获得的利润．
参考公式： ．
12．（2024·全国·模拟预测）中国新能源汽车企业在10余年间实现了“弯道超车”，使我
国一跃成为新能源汽车产量连续7年居世界第一的全球新能源汽车强国.某新能源汽车配件
企业积极加大科研力度，生产效益逐步攀升.该企业在今年1月份至5月份的生产利润
（单位：亿元）关于月份 的数据如下表所示：
月份 1 2 3 4 5
生产利润 （亿
2 6 8 9 10
元）
(1)试求y与x之间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；（若
学科网（北京）股份有限公司，则认为两个变量具有较强的线性相关性）
(2)为扩大生产，该企业在M大学启动了校园招聘，分别招聘A、B两个工程师岗位，两个
岗位都各设有3门笔试科目.M大学的硕士毕业生张无忌决定参加这次应聘，且每门科目考
试是否通过相互独立.若张无忌报考A岗位，每门笔试科目通过的概率依次为 ， ， ，
其中 ；若张无忌报考B岗位，每门笔试科目通过的概率均为 .且张无忌只能报考
A，B两个岗位中的一个.若以笔试中通过科目数的数学期望为依据作出决策，得出张无忌
更有希望通过A岗位的笔试，试求 的取值范围.
附：参考数据： ， ， .
相关系数 .
13．（2024·湖南长沙·模拟预测）为了了解高中生运动达标情况和性别之间的关系，某调查
机构随机调查了100名高中生的情况，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并
把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为
“运动欠佳”，已知运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，运动达标的女生与男生的人数比
为2∶1，运动欠佳的男生有5人.
(1)根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认
为学生体育运动时间达标与性别因素有关系；
运动达标情况
性别 合计
运动欠
运动达标
佳
男生
女生
合计
(2)现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选
学科网（北京）股份有限公司2.人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.
参考公式 ， .
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
14．（2024·陕西·二模）为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”
活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目.为了了解此活动促进学生
阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，
调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表：
多于5本 少于5本 合计
活动
35 65 100
前
活动
60 40 100
后
合计 95 105 200
(1)试通过计算，判断是否有 的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进
作用；
(2)已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名
著，并且随机安排阅读顺序.记2本国内名著恰好阅读完时的读书数量为随机变量 ，求
的数学期望.
参考公式： .
临界值表：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D D A ACD AB BD ACD
学科网（北京）股份有限公司1．D
【分析】AB选项，2019年比2020年的两项指标高；C选项，将数据从小到大排序，再利
用百分位数的概念进行求解；D选项，设2022年我国农村人口数为 ，城镇人口数为 ，
则可列出方程，得到 ，故D正确.
【详解】A选项，2019年的居民消费水平为 元，2020年的居民消费水平为 元，
2019年比2020年的居民消费水平高，A错误；
B选项，2019年的城镇居民消费水平为 元，2020年的城镇居民消费水平为 元，
2019年比2020年的城镇居民消费水平高，B错误；
C选项，2018年至2022年我国居民消费水平数据从小到大排序为
，
由于 ，
故 年至2022年我国居民消费水平数据的 分位数为从小到大第3个和第4个数据
的平均数，
即 元，C错误.
D选项，设2022年我国农村人口数为 ，城镇人口数为 ，则 ，
化简得 ，
所以2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多，D正确.
故选：D
2．D
【分析】根据已知条件，结合众数、极差的定义，以及方差和平均数公式，即可求解．
【详解】由图可知，甲志愿者的宣传次数分别为：4，5，6，3，4，3，3，
乙志愿者的宣传次数分别为：5，4，4，5，4，3，3，
甲的平均数为 ，
乙的平均数为 ，故D错误，
甲的众数为3，乙的众数为4，故甲的众数小于乙的众数，故A正确；
甲的极差为3，乙的极差为2，则乙的极差小于甲的极差，故B正确；
学科网（北京）股份有限公司甲的方差为 ，
乙的方差为 ，
故甲的方差大于乙的方差，故C正确．
故选：D．
3．D
【分析】由饼状图先算出硕士学历的人数与总人数1000之比，进一步结合分层抽样的方法
即可求解.
【详解】由题意硕士学历的人数与总人数1000之比为 ，
现按比例用分层随机抽样的方法从中抽取200人，则抽取的硕士学历的人数为
.
故选：D.
4．A
【分析】先根据经验回归直线过样本点的中心求出 ，然后求出 时的预测值，进而
求得残差.
【详解】因为 ， ，所以样本点的中心为 ，
又因为经验回归直线 过样本点的中心，所以 ，所以 ，所
以经验回归方程是： ，
当 时， ，
所以残差为 .
故选：A.
5．ACD
【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1及平均数、众数、百分位数公式计算即
可.
【详解】对于A项，由题意知 ，解得 0.030，故
A项正确；
对于B项，样本质量指标值的平均数为 ，
故B项错误；
学科网（北京）股份有限公司对于C项，样本质量指标值的众数是 ，故C项正确；
对于D项，前3组的频率之和为 ，前4组的频率之和为
，
故第75百分位数位于第4组，设其为 ，
则 ，解得 ，
即第75百分位数为85，故D项正确.
故选：ACD项.
6．AB
【分析】根据题意，依次分析两组数据的极差、平均数、中位数和标准差是否相等，综合
可得答案．
【详解】对于A，样本数据 的平均数为 ，则 ，故 的极差等
于 的极差，故A正确；
对于B，数据 的平均数 ，故B正确；
对于C，如果 是按从小到大排列，则 的中位数为 ，不一定等于
的中位数，故C错误；
对于D， 的方差 ，
而 的方差 ，
但当 时两组数据的方差相等，其标准差也相等，故D错误．
故选：AB．
7．BD
【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为 求出分数在 内的频率，
再根据频率分布直方图一一分析即可.
学科网（北京）股份有限公司【详解】对A，因为分数在 内的频率为
，
所以第三组的频数为 ，故A错误；
对B，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边的中点的横坐标，
从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；
对C，因为 ，
，
所以中位数位于 内，设中位数为 ，则 ，解得 ，
所以中位数的估计值为75分，故C错误；
对D，样本平均数的估计值为
分，故D正确，
故选：BD.
8．ACD
【分析】对于A：根据回归方程分析判断；对于B：根据线性回归方程必过样本中心点，运
算求解；对于C：根据回归方程进而预测；对于D：根据题意结合残差的定义分析判断.
【详解】对于A：因为 ，所以变量 与 负相关，故 正确；
对于B： ，
，
，则 ，
解得 ，故 错误；
对于C：当 时， ，
故可以预测第6个月的下载量约为2.1万次，故 正确；
对于D：当 时， ， ，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
故残差绝对值的最大值为0.2，故 正确.
故选：ACD.
9．3
【分析】根据题意将这组数据由小到大设出来，再根据方差为1.6可判断出平均数的取值
有两种情况 ，对这两种情况分别讨论即可得出结果.
【详解】设这组数据为 ，则平均数大于等于
，
假设平均数为3．因为 ，
所以平均数 或 ，
若 ，则 ，
所以 ，解得 ；
若 ，则 ，
所以 ，此时无解．
所以这组数据的众数为3．
故答案为：3.
10．
【分析】根据所有矩形面积之和为 求出 的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的
面积，相加可得这 名学生平均成绩.
【详解】由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为 ，
学科网（北京）股份有限公司可得 ，解得 ，
由频率分布直方图可知，这 名学生平均成绩的估计值为
分.
故答案为： .
11．(1)
(2)3.95千万元
【分析】（1）根据参考公式求出 的值，即可得到结果；
（2）根据表格得到2025年的广告费用，再代入方程即可得到结果.
【详解】（1）据题意，则 ，
，
，
∴ 关于 的线性回归方程为 .
（2）由表可知2025年该企业广告费用为 百万元，
代入 得： 千万元.
∴预测2025年该企业可获得的利润为 千万元.
12．(1) ，y与x具有较强的线性相关关系
(2)
【分析】（1）计算相关系数r，再进行判断即可；
（2）分别计算通过A，B两个岗位的科目数学期望，再比较大小判断即可.
【详解】（1）由题意， ，故y与x具有较强的线性相关关系.
（2）由题意，因为每门科目考试是否通过相互独立，故张无忌通过A岗位的3门笔试
学科网（北京）股份有限公司门数的数学期望为 ，
通过B岗位的3门笔试 门数的数学期望为
，
故若张无忌更有希望通过A岗位的笔试，则 ，又 ，解得 .
即 的取值范围
13．(1)列联表见解析，能
(2)
【分析】（1）由已知数据完成 列联表，计算 ，与临界值比较得结论；
（2）由分层抽样确定男女生人数，利用组合数公式和古典概型求解.
【详解】（1）100名高中生，运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，则运动达标人数为
，
运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，则运动达标的女生有40人，运动达标的男生有20
人，
列联表为
运动达标情况
性别 合计
运动欠
运动达标
佳
男生 20 5 25
女生 40 35 75
合计 60 40 100
零假设为 ：性别与锻炼情况独立，即学生体育运动时间达标与性别因素无关，
学科网（北京）股份有限公司根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即学生体育运动时间达标与性别因素有关系，此推断犯错误的概率不超过0.05.
（2）因为“运动达标”的男生､女生分别有20人和40人，
按分层随机抽样的方法从中抽取6人，则男生､女生分别抽到2人和4人，
则选中的2人中恰有一人是女生的概率为 .
14．(1)有
(2)
【分析】（1）由表中数据计算卡方，对比临界值即可得出结论；
（2） 的可能取值为 ，由古典概型概率公式、组合数公式求出对应概率，进一
步由数学期望公式即可运算求解.
【详解】（1）由表中数据可知， ，
所以有 的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；
（2）由题意可知， 的可能取值为 ，
则 ，
，
所以 .
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2021·河南郑州·一模）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网
行业从业者年龄分布饼状图， 后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论错误的是
（ ）
学科网（北京）股份有限公司注： 后指 年及以后出生， 后指 年之间出生， 前指 年及以前出生.
A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的
C．互联网行业中从事运营岗位的人数 后一定比 前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数 后一定比 后多
2．（2024·四川·模拟预测）某市教育主管部门为了解高三年级学生学业达成的情况，对高
三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的学业达成情况按照从高到低都
分布在 五个层次内，分男､女生统计得到以下样本分布统计图，则下列叙述正
确的是（ ）
A．样本中 层次的女生比相应层次的男生人数多
B．估计样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小
C． 层次的女生和 层次的男生在整个样本中频率相等
D．样本中 层次的学生数和 层次的学生数一样多
3．（2022·天津和平·模拟预测）某校随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学
生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组画出频率分布直方图如图所示，下列说法
正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．直方图中x的值为0.040
B．在被抽取的学生中，成绩在区间 的学生数为30人
C．估计全校学生的平均成绩为84分
D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六
个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，
则丢失数据的所有可能值的和为（ ）
A．21 B．24 C．27 D．32
5．（2024·河北·一模）某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级
随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：
身高x（单位： ） 167 173 175 177 178 180 181
体重y（单位： ） 90 54 59 64 67 72 76
由表格制作成如图所示的散点图：
学科网（北京）股份有限公司由最小二乘法计算得到经验回归直线 的方程为 ，其相关系数为 ；经过残差分
析，点 对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线
的方程为 ，相关系数为 .则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·湖北荆州·三模）根据变量 和 的成对样本数据，由一元线性回归模型
得到经验回归模型 ，求得如图所示的残差图.模型误差
（ ）
A．满足一元线性回归模型的所有假设
B．不满足一元线性回归模型的 的假设
C．不满足一元线性回归模型的 假设
学科网（北京）股份有限公司D．不满足一元线性回归模型的 和 的假设
二、多选题
7．（23-24高三下·福建·开学考试）据国家统计局网站2023年9月15日消息，8月份，社
会消费品零售总额为37933亿元，同比增长 （同比一般情况下是指本年第N月与去年
的第N月比）.其中，除汽车以外的消费品零售额为33820亿元，增长 .1∼8月份，社
会消费品零售总额为302281亿元，同比增长 .其中，除汽车以外的消费品零售额为
271888亿元，增长 ．2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速如下：
则下列说法正确的是（ ）
A．2023年1~8月份，社会消费品零售总额的月平均值约为25422.6亿元
B．2022年8月份，社会消费品零售总额约为36264.8亿元
C．除掉2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速数据的最大值和最小
值所得数据的标准差比原数据的标准差小
D．2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速数据的极差比中位数的8倍
还多
8．（2023·广东·二模）现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录
数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：
甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24；
乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；
丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6；
根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．甲球员连续5场比赛得分都不低于24分
B．乙球员连续5场比赛得分都不低于24分
C．丙球员连续5场比赛得分都不低于24分
D．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24
9．（2024·湖北鄂州·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平
均数大于中位数
B．若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数
C．数据 的均值为4，标准差为1，则这组数据中没有大于5的数
D．数据12，23，35，47，61的75百分位数为47
三、填空题
10．（2024·河南新乡·二模）若一组数据 ， ， ， ， 的平均数为3，方差为 ，
则 ， ， ， ， ，9这6个数的平均数为 ，方差为 ．
11．（2024·广东·一模）已知a，b，c是正整数，且 ， ， ，
当a，b，c方差最小时，写出满足条件的一组a，b，c的值 ．
四、解答题
12．（2024·河南·三模）PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较
长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分
除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流
量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量 （单位：辆）和空气中
的PM2.5的平均浓度 （单位： ）．检测人员采集了50天的数据，制成 列联表
（部分数据缺失）：
燃油车日流量 燃油车日流量 合计
PM2.5的平均浓度 16 24
PM2.5的平均浓度 20
学科网（北京）股份有限公司合计 22
(1)完成上面的 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，能否认为PM2.5的平
均浓度小于 与燃油车日流量小于1500辆有关联？
(2)经计算得 与 之间的回归直线方程为 ，且这50天的燃油车的日流量
的标准差 ，PM2.5的平均浓度 的标准差 ．若相关系数 满足 ，则
判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值．
①判断该回归直线方程是否有价值；
②若这50天的燃油车的日流量 满足 ，试求这50天的PM2.5的平均浓度
的平均数 （利用四舍五入法精确到0.1）．
参考公式： ，其中 ．
0.01 0.005 0.001
6.636 7.879 10.828
回归方程 ，其中 ， ；
相关系数 ．
参考数据： ， ， ．
13．（2024·重庆·一模）实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电
动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动
汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023
学科网（北京）股份有限公司编号x 1 2 3 4 5 6
产值y/百万辆 9 18 30 51 59 80
(1)若用模型 拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程（精
确到0.01）；
(2)为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3
位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车
的车主人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，
参考数据： ，其中 ．
参考公式：对于一组数据 ，其经验回归直线 的斜率截距的
最小二乘估计分别为 ．
14．（2023·河北·模拟预测）5G技术对社会和国家十分重要．从战略地位来看，业界一般
将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命．某科技集团生产
A，B两种5G通信基站核心部件，下表统计了该科技集团近几年来在A部件上的研发投入
（亿元）与收益y（亿元）的数据，结果如下：
研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5
收益y（亿元） 3 7 9 10 11
(1)利用样本相关系数r说明是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系（当 时，
可以认为两个变量有很强的线性相关性）；
(2)求出y关于x的经验回归方程，并利用该方程回答下列问题：
①若要使生产A部件的收益不低于15亿元，估计至少需要投入多少研发资金？（精确到
0.001亿元）
②该科技集团计划用10亿元对A，B两种部件进行投资，对B部件投资 元所获
学科网（北京）股份有限公司得的收益y近似满足 ，则该科技集团针对A，B两种部件各应投入多少研
发资金，能使所获得的总收益P最大．
附：样本相关系数 ，
回归直线方程的斜率 ，截距 ．
15．（2024·全国·模拟预测）随着人工智能的进一步发展， 逐渐进入大众视野．
是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力、广泛的知识覆
盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习、工作与生活中的出色助手．尽管如此，也
有部分人认为 会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表
现，将在未来取代一部分人的职业．现对200家 企业开展调查，统计每家企业一年内应
用 的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示：
招聘人数减
应用广泛性 招聘人数增加 合计
少
广泛应用 60 50 110
没有广泛应用 40 50 90
合计 100 100 200
(1)根据小概率 的独立性检验，是否有99%的把握认为 企业招聘人数的增减与
应用的广泛性有关？
(2)用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用
的企业有X家，事件“ ”的概率为 ．求X的分布列并计算使
取得最大值时k的值．
附： ，其中 ．
0.1 0.05 0.01
学科网（北京）股份有限公司2.706 3.841 6.635
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D B C D A D BC AD ABD
1．D
【解析】根据整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、 后从事互联网行业岗位分布条形
图，对四个选项逐一分析，即可得出正确选项.
【详解】对于选项A，因为互联网行业从业人员中，“ 后”占比为 ，
其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为 和 ，
则“ 后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的 .
“ 前”和“ 后”中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成，
故选项A正确；
对于选项B，因为互联网行业从业人员中，“ 后”占比为 ，
其中从事技术岗位的人数占的比为 ，
则“ 后”从事技术岗位的人数占总人数的 .
“ 前”和“ 后”中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过 ，故选项B
正确；
对于选项C，“ 后”从事运营岗位的人数占总人数的比为 ，
大于“ 前”的总人数所占比 ，故选项C正确；
选项D，“ 后”从事技术岗位的人数占总人数的 ，
“ 后”的总人数所占比为 ，条件中未给出从事技术岗位的占比，故不能判断，所以
选项D错误.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用扇形统计图和条形统计图解决实际问题，解本题的关
键就是利用条形统计图中“ 后”事互联网行业岗位的占比乘以“ 后”所占总人数的占
比，再对各选项逐一分析即可.
2．B
【分析】频率分布直方图，得女生学业达成在各层次的频率，对选项中的频率频数问题进
行判断.
【详解】对于AC，设女生学业达成频率分布直方图中的组距为 ，
学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，
所以女生学业达成频率分布直方图中 层次频率为 ， 层次频率为 ，
层次频率为 ， 层次频率为 ， 层次频率为 ，
因为男､女生样本数未知，所以 层次中男､女生人数不能比较，即A选项错误；
同理， 层次女生在女生样本数中频率与 层次男生在男生样本数中频率相等，都是 ，
但因男､女生人数未知，所以在整个样本中频率不一定相等，即C选项错误；
对于D，设女生人数为 ，男生人数为 ，但因男､女生人数可能不相等，
则 层次的学生数为 ，
层次的学生数为 ，
因为 不确定，所以 与 可能不相等，即D选项错误；
对于B，女生 两个层次的频率之和为 ，
所以女生的样本学业达成的中位数为B，C层次的分界点，
男生 两个层次的频率之和为 ，显然中位数落在C层次内，
所以样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小，B选项正确．
故选：B．
3．C
【分析】根据学生的成绩都在50分至100分之间的频率和为1可求得x值，以此判断A；
计算成绩在区间[70，80)的学生频率，然后可计算该区间学生数，以此判断B；按照频率频
率分布直方图中平均数计算公式计算可判断C；按照频率分布直方图中百分位数的计算方
法计算可判断D.
【详解】定义A：根据学生的成绩都在50分至100分之间的频率和为1，可得
，解得x=0.03，所以A错；
对于B：在被抽取的学生中，成绩在区间[70，80)的学生数为10×0.015×400=60(人)，所以B
错；对于C：估计全校学生的平均成绩为55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4=84(分)，
所以C对；
对于D：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为 (分).
学科网（北京）股份有限公司所以D错.
故选：C
4．D
【分析】根据已知条件，结合平均数公式，中位数，众数的定义，即可求解.
【详解】设丢失的数据为 ，则平均数为： ，
众数是 ，
若 ，则中位数为 ，此时 ，解得： （舍去），
若 ，则中位数为 ，此时 ，解得： ，
若 ，则中位数为 ，此时 ，解得： ，
所有可能的值为 ，其和为 .
故选：D.
5．A
【分析】根据 的特点判断斜率和截距；由于去掉 ，其它点的线性关系更
强，从而可判断相关系数.
【详解】身高的平均数为 ，
因为离群点 的横坐标167小于平均值176，纵坐标90相对过大，
所以去掉 后经验回归直线的截距变小而斜率变大，故 ，
去掉 后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，所以 .
故选：A
6．D
【分析】根据一元线性回归模型 的有关概念即可判断.
【详解】用一元线性回归模型 得到经验回归模型 ，
学科网（北京）股份有限公司根据对应的残差图，残差的均值 不可能成立，且残差图中的点分布在一条拋物线
形状的弯曲带状区域上，
说明残差与坐标轴变量有二次关系， 不满足一元线性回归模型，
故选：D.
7．BC
【分析】
计算平均数判断A，根据社会消费品零售总额的增长率及2023年的数据计算判断B，根据
标准差的含义判断C，分别计算极差和中位数即可判断D.
【详解】
对于A，由2023年1~8月份，社会消费品零售总额为302281亿元，
可得社会消费品零售总额的月平均值约为 亿元，故A错误；
对于B，由2023年8月份，社会消费品零售总额为37933亿元，同比增长 ，
可得2022年8月份，社会消费品零售总额约为 亿元．故B正确；
对于C，由图表可知去掉 ，18.4数据更集中，标准差相对于原数据来说变小了，故C
正确；
对于D，极差为 ，中位数为 ，
可得 ， ，故D错误.
故选：BC
8．AD
【分析】根据中位数，众数的定义判断A，结合中位数，平均数的定义举反例判断B，根据
平均数和方差的定义，百分位数的定义，分析丙球员的得分判断CD.
【详解】设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为 ，
则 ， ，且 至少出现 次，
故 ，A正确；
设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
取 ，可得其满足条件，但有2场得分低于24，B错误；
设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为 ，
由已知 ，
所以 ，
若 ，则 ，
所以 ，矛盾，
所以 ， ，
因为 的平均数为 ，所以 ，
取 ，满足要求，但有一场得分低于24分，C错误；
因为 ，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数为 ，
若 ，则 ，故 ，矛盾，
所以 ，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24，D 正确；
故选：AD.
9．ABD
【分析】对于A，利用中位数和平均数的性质，结合图形分析即可判断；对于B，根据决定
系数的定义判断，对于C，设 ， ， ， ， ，
，举出反例即可；对于D，利用百分位的定义判断即可.
【详解】对于A，数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，，大致如图
所示：
学科网（北京）股份有限公司由于右边“拖尾时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时样本数据的
平均数大于中位数，故A正确；
对于B：若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则变量与变量之间满足线性函数
关系，则决定系数 ，B正确；
对于C，不妨设 ， ， ， ， ， ，则
，解得 ，此时 ，故找到一组数 ， ，
4， ， ，数据中有大于5的数，C错误；
对于D，由 ，故这组数据的上四分位数为47，D正确．
故选：ABD
10．
【分析】利用平均数公式与方差公式求解即可.
【详解】依题意，知这6个数的平均数为 ，
又 ，得 ，
所以这6个数的方差为 .
故答案为： ； .
学科网（北京）股份有限公司11． 或 （其中一组即可）
【分析】根据方差定义计算方差，再由方差最小，确定 后转化为关于 的二次函数，利
用二次函数求最小值即可得解.
【详解】设 ，
则
，
要使方差最小，三个数据应尽量靠近，故 ， ，
则 ，
关于 的二次函数的对称轴为 ，又 且 为正整数，
所以当 或 时，方差 最小，最小值为 .
故满足条件的 为 或 .
故答案为： 或 （其中一组即可）
12．(1)表格见解析，能；
(2)①该回归直线方程有价值；②112.0.
【分析】（1）根据题意，完成 列联表，再计算 ，结合表格即可求得结果.
（2）代入 公式计算可判断 与 的相关性强弱，由 可得 ，结合回归直线必过样
本中心可求得 的值.
【详解】（1） 列联表如下：
学科网（北京）股份有限公司燃油车日流量 燃油车日流量 合计
PM2.5的平均浓度 16 8 24
PM2.5的平均浓度 6 20 26
合计 22 28 50
零假设 ：PM2.5的平均浓度小于 与燃油车日流量小于1500辆无关联．
根据列联表中的数据，计算得
，
所以根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，所以可以认为PM2.5的平均
浓度小于 与燃油车日流量小于1500辆有关联．
（2）①由题意，得 ，
得 ，
由 ，
得
，
所以该回归直线方程有价值．
学科网（北京）股份有限公司②因为 ，即 ，
所以 ，
又 ．
故可推算出这50天PM2.5平均浓度 的平均数 约为112.0．
13．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）令 ，利用最小二乘法求出，即可得解；
（2）分析可知，利用超几何分布 可得出随机变量的分布列，利用超几何分布
的期望公式可求
【详解】（1）令
， ，
则 ，
，
所以 ，
所以
（2）由题意得 ，
，
，
学科网（北京）股份有限公司，
，
分布列为：
1 2 3 4
数学期望
14．(1)答案见解析
(2)回归方程为 ，①6.684亿元；②在A，B两种部件上分别投入8亿元，2亿
元.
【分析】（1）先计算出 ，再根据公式计算出 ，再由 即可判断；
（2）根据公式先求出回归直线方程，①令 ，解不等式即可求解；②根据题意，写出
总收益的函数表达式，对函数求导，得出函数的单调性，然后利用函数的单调性求出最值
即可.
【详解】（1） ， ，
， ， ，
∴ ．
可以用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2）∵ ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∴y关于 的经验回归方程为 ，
①令 ，得 ，解得 ，
∴若要使生产A部件的收益不低于15亿元，估计至少需要投入6.684亿元研发资金．
②设B部件的研发投入为 亿元，则A部件的研发投入为 亿元，
总收益 ，
，
令 得 ，
当 时， ，P单调递增；当 ， ，P单调递减，
所以当 时，P取得最大值22亿元．
所以该科技集团在A，B两种部件上分别投入8亿元，2亿元的研发资金，可使所获得的总
收益P最大．
15．(1)无关；
(2) 且 ； ．
【分析】（1）计算出 ，对照临界值表即可作出判断；
（2）根据二项分布概率公式即可得分布列，由 和
，列不等式组求解可得k.
【详解】（1）零假设 企业招聘人数的增减与 应用的广泛性无关，
因为 ，
所以，根据 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
因此可认为 企业招聘人数的增减与 应用的广泛性无关．
（2）由题知，从招聘人数减少的企业中随机抽取1家企业，该企业广泛应用 的概
学科网（北京）股份有限公司率为 ，没有广泛应用 的概率为 ，
因为 ，
所以X的分布列为 且 ．
若 是最大值，则 且 ，
根据 ，
即 ，整理得 ，解得 ,
又 且 ，所以 ．
即使 取得最大值时k的值为18.
学科网（北京）股份有限公司
