文档内容
2025二轮复习专项训练10
零点问题
[考情分析] 在近几年的高考中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函
数、对数函数以及三角函数为载体考查函数的零点(方程的根)问题，难度较大，多以压轴
题出现．
【练前疑难讲解】
一、 判断零点个数问题
利用导数研究函数的零点
(1)如果函数中没有参数，一阶导数求出函数的极值点，判断极值点大于 0、小于0的情况，
进而判断函数零点个数．
(2)如果函数中含有参数，往往一阶导数的正负不好判断，先对参数进行分类，再判断导数
的符号，如果分类也不好判断，那么需要二次求导，判断二阶导数的正负时，也可能需要
分类．
二、由零点个数求参数范围
已知零点个数求参数范围时
(1)根据区间上零点的个数估计函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进
而求出参数满足的条件．
(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调性，再依据函数在区间内的零点情况，推导出
函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求
导，层层推理得解．
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）函数 存在3个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 恰有一个零点 ，且 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．函数 存在三个不同的零点
B．函数 既存在极大值又存在极小值
C．若 时， ，则 的最小值为
D．若方程 有两个实根，则
4．（2024·重庆·一模）已知函数 ，则 在 有两个不同零
点的充分不必要条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·四川泸州·二模）若函数 有零点，则实数 的取值范围是
．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若方程 有三个不同的
实根，则实数 的取值范围是 .
四、解答题
7．（2024·浙江杭州·二模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点，
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）证明：函数 有且只有一个零点．
学科网（北京）股份有限公司8．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数 .
(1)若函数 有两个零点，求 的取值范围；
(2)设 是函数 的两个极值点，证明： .
【基础保分训练】
一、单选题
1．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）若过点 可以作曲线 的两条切线，则
（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高三上·山东济南·期末）已知函数 ,关于 的方程
至少有三个互不相等的实数解,则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数 ，若函数 有两个零点，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知函数 ，则（ ）
A．1是 的极小值点
B． 的图象关于点 对称
学科网（北京）股份有限公司C． 有3个零点
D．当 时，
5．（2023·山东德州·模拟预测）已知函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．若函数 无极值点，则 没有零点
B．若函数 无零点，则 没有极值点
C．若函数 恰有一个零点，则 可能恰有一个极值点
D．若函数 有两个零点，则 一定有两个极值点
6．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数 ，下列结论中正确的是
（ ）
A． 是 的极小值点
B． 有三个零点
C．曲线 与直线 只有一个公共点
D．函数 为奇函数
三、填空题
7．（24-25高三上·四川成都·开学考试）设函数 ，若 有三个
零点 ，则 的取值范围是 ．
8．（2023·广东广州·一模）若过点 只可以作曲线 的一条切线，则 的取
值范围是 .
9．（23-24高二下·北京朝阳·期中）已知函数 恰有两个零点，则实数 的
学科网（北京）股份有限公司取值范围是
四、解答题
10．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数 .
(1)求函数的单调区间；
(2)求 的零点个数.
(3) 在区间 上有两个零点，求 的范围?
11．（22-23高三上·湖北·期末）已知函数 ．
(1)若 ，求 的极小值．
(2)讨论函数 的单调性；
(3)当 时，证明： 有且只有 个零点．
12．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知函数 ．
(1)当 ，求 的单调区间；
(2)若 有三个零点，求 的取值范围．
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·河北石家庄·一模）已知 在 上有两个不相等的实数根，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川成都·二模）已知函数 ,若关于 的方程
学科网（北京）股份有限公司有且仅有4个不同的实数根，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，
，若函数 恰有6个零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（23-24高二下·山东济宁·期中）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点
B． 有一个零点
C．点 是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
5．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知三次函数 有三个不同
的零点 ，函数 .则（ ）
A．
B．若 成等差数列，则
C．若 恰有两个不同的零点 ，则
学科网（北京）股份有限公司D．若 有三个不同的零点 ，则
6．（2023·湖南·模拟预测）函数 （e为自然对数的底数），则下列选项
正确的有（ ）
A．函数 的极大值为1
B．函数 的图象在点 处的切线方程为
C．当 时，方程 恰有2个不等实根
D．当 时，方程 恰有3个不等实根
三、填空题
7．（2023·山东济宁·一模）已知函数 ，若 在 上有
解，则 的最小值 .
8．（22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数 在区间
上存在零点，则 的最小值为 ．
9．（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）已知函数 有三个不同的
零点 ， ， ，且 ，则实数a的取值范围是 ；
的值为 .
四、解答题
10．（2022·天津·高考真题）已知 ，函数
(1)求曲线y=f (x)在 处的切线方程；
学科网（北京）股份有限公司(2)若曲线y=f (x)和y=g(x)有公共点，
（i）当 时，求 的取值范围；
（ii）求证： ．
11．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数
.
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点，求 的取值范围；
(3)若 对任意 恒成立，求 的取值范围.
12．（2023·广东梅州·一模）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 ，讨论函数 的零点个数.
学科网（北京）股份有限公司
