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第 3 讲 统计与成对数据的分析
一、单项选择题
1．某公司2022年1月至7月空调销售完成情况如图，如7月份销售量是190台，若月份为
x，销售量为y，由统计数据(x，y)(i＝1,2，…，7)得到散点图，下面四个经验回归方程类型
i i
中最适合作为销售量y和月份x的经验回归方程类型的是( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x
2．(2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，
随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位
社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则( )
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3.(2022·济南模拟)某学校于3月12日组织师生举行植树活动，购买垂柳、银杏、侧柏、海
桐四种树苗共计1 200棵，比例如图所示．高一、高二、高三报名参加植树活动的人数分别
为600,400,200，若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配，则高三年级应分得侧柏
的数量为( )A．34 B．46 C．50 D．70
4．(2022·运城模拟)从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民
生活．世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵
量y与温度x的关系可以用模型y＝ (其中e为自然对数的底数)拟合，设z＝ln y，其变
换后得到一组数据：
x 20 23 25 27 30
z 2 2.4 3 3 4.6
由上表可得经验回归方程z＝0.2x＋a，则当x＝60时，蝗虫的产卵量y的估计值为( )
A．e6 B．10 C．6 D．e10
5．(2022·绵阳模拟)某车间从生产的一批产品中随机抽取了 1 000个零件进行一项质量指标
的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是(
)
A．a＝0.005
B．估计这批产品该项质量指标的众数为45
C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60
D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[50,70)的概率约为0.5
6．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校甲、乙两个班共70人(甲班40人，乙班
30人)参加了共产主义青年团知识竞赛，甲班的平均成绩为77分，方差为123，乙班的平均
成绩为70分，方差为130，则甲、乙两班全部同学的成绩的方差为( )
A．74 B．128
C．138 D．136
二、多项选择题
7．(2022·益阳调研)据新华社报道，“十三五”以来，中国建成了全球规模最大的信息通信
网络，光纤宽带用户占比从2015年底的56%提升至94%，行政村通光纤和4G的比例均超
过了99%；中国移动网络速率在全球139个国家和地区中排名第4位；在5G网络方面，中国已初步建成全球最大规模的5G移动网络．如图是某科研机构对我国2023－2029年5G用
户规模和年增长率发展的预测图，则下列结论正确的是( )
2023－2029年中国5G用户规模和年增长率发展预测图
A．2023－2029年，我国5G用户规模逐年增加
B．2023－2028年，我国5G用户规模后3年的方差小于前3年的方差
C．2023－2026年，我国5G用户规模的年增长率逐年下降
D．2023－2029年，我国5G用户规模年增长最多的是2025年
8．(2022·菏泽模拟)某地为响应“扶贫必扶智，扶智就是扶知识、扶技术、扶方法”的号召，
建立农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年借阅数据如下表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码x 1 2 3 4 5
年借阅量y(万册) 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8
根据上表，可得y关于x的经验回归方程为y＝0.24x＋a，下列结论正确的有( )
A.a＝4.68
B．借阅量4.9,5.1,5.5,5.7,5.8的75%分位数为5.7
C．y与x的样本相关系数r>0
D．2023年的借阅量一定不少于6.12万册
9．(2022·山东联考)为了解高中生选科时是否选物理与数学成绩之间的关系，某教研机构随
机抽取了50名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
选物理 不选物理
数学成绩优异 20 7
数学成绩一般 10 13
由以上数据，计算得到χ2＝≈4.844，根据临界值表，以下说法正确的是( )
参考数据：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
αA.依据小概率值α＝0.05的独立性检验认为是否选择物理与数学成绩有关
B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为是否选择物理与数学成绩无关
C．95%的数学成绩优异的同学选择物理
D．若表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同条件下，结论不会发生变化
10．(2022·连云港模拟)一组数据x ，x ，…，x 是公差为－1的等差数列，若去掉首末两项
1 2 10
x，x 后，则( )
1 10
A．平均数变大 B．中位数没变
C．方差变小 D．极差没变
三、填空题
11．某工厂为研究某种产品的产量x(吨)与所需某种原材料的质量y(吨)的相关性，在生产过
程中收集4组对应数据(x，y)，如表所示．(残差＝观测值－预测值)
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 m
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为y＝0.7x＋a.据此计算出在样本(4,3)处的残差
为－0.15，则表中m的值为________．
12．某校抽取100名学生做体能测试，其中百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，
将测试结果分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18]．如图是按上述分
组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于a即为优秀，如果优秀的人数为14，则a的估计
值是________．
四、解答题
13．(2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指
标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据
如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本均值分别记为和，样本方差分别记为s和s.(1)求，，s，s；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果－≥2，则认为新设
备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
14．(2022·广东大联考)中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，
力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和(简称
“双碳目标”)，此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社
会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．新能源汽车、电动汽
车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某一地区纯电动
汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量 y(单位：万台)关于
x(年份)的经验回归方程为y＝4.7x－9 459.2，且销量y的方差为s＝，年份x的方差为s＝2.
(1)求y与x的样本相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关程度；
(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
购买非电动车 购买电动车 总计
男性 39 6 45女性 30 15 45
总计 69 21 90
依据小概率值α＝0.025的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；
(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层随机抽样抽取 7人，再从这7人中随机抽取3
人，记这3人中，男性的人数为X，求X的分布列和均值．
参考数据：＝≈25.
参考公式：①经验回归方程：y＝bx＋a，其中b＝，a＝－b.
②样本相关系数：r＝，若r>0.9，则可判断y与x线性相关程度较强．
③χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
附表：
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
x 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
α
