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专题五 微专题 3 统计与成对数据的统计分析
(分值：90分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2024·南通模拟)某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号
分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65
09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75
73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是( )
A.10 B.09
C.71 D.20
2.(2024·张家口模拟)现有一组数据x ，x ，…，x ，将这组数据按照从小到大的顺序排列，则去掉第一个数
1 2 n
和最后一个数后，下列统计量一定不变的是( )
A.平均数 B.中位数
C.方差 D.极差
3.某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列联表(单位：人)：
月收入
月收入5 000元以下 月收入5 000元及以上 合计
文化程度
高中文化以上 10 45 55
高中文化及以下 20 30 50
合计 30 75 105
105×(10×30-45×20) 2
由上表中数据计算得χ2= ≈6.109.如果认为文化程度与月收入有关系，那么犯错误
55×50×30×75
的概率不会超过( )
附表：
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
A.0.001 B.0.005C.0.01 D.0.05
4.(2024·临沂模拟)一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差
2
的 ，则该组数据的第45百分位数是( )
5
A.4 B.6
C.8 D.12
5.(2024·新课标全国Ⅱ)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩
产量(单位：kg)并整理得下表：
亩产量 [900，950) [950，1 000) [1 000，1 050) [1 050，1 100) [1 100，1 150) [1 150，1 200]
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是( )
A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
6.(2024·秦皇岛模拟)某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男
生，测量了他们的身高和体重得下表：
身高x(单位：cm) 167 173 175 177 178 180 181
体重y(单位：kg) 90 54 59 64 67 72 76
由表格制作成如图所示的散点图：
^ ^ ^
由最小二乘法计算得到经验回归直线l 1 的方程为 y=b x+a ， 其样本相关系数为r 1 ；经过残差分析，点
1 1
^ ^ ^
(167，90)对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线l 2 的方程为 y=b x+a ，
2 2
样本相关系数为r .则下列选项正确的是( )
2
^ ^ ^ ^
A.b >b ，a >a ，r 1 <r 2
1 2 1 2
^ ^ ^ ^
B.b >b ，a <a ，r 1 >r 2
1 2 1 2^ ^ ^ ^
C.b <b ，a <a ，r 1 >r 2
1 2 1 2
^ ^ ^ ^
D.b <b ，a >a ，r 1 <r 2
1 2 1 2
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2024·安阳模拟)某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A是否有关，调查了400人，得到如图所示的
2×2列联表，其中b=12a，则( )
患疾病A 不患疾病A 合计
过量饮酒 3a b
不过量饮酒 a 2b
合计 400
参考公式与临界值表：
n(ad-bc) 2
χ2= .
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.100 0.050 0.010 0.001
x 2.706 3.841 6.635 10.828
α
A.任意一人不患疾病A的概率为0.9
3
B.任意一人不过量饮酒的概率为
8
24
C.任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为
25
D.依据小概率值α=0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A有关
8.(2024·邢台模拟)下列命题为真命题的是( )
A.若样本数据x ，x ，x ，x ，x ，x 的方差为2，则数据2x -3，2x -3，2x -3，2x -3，2x -3，2x -3的方差为
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
5
B.一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C.用决定系数R2比较两个模型的拟合效果时，若R2越大，则相应模型的拟合效果越好
^
D.以模型 y=cekx去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=ln y，求得经验回归方程为 z=2x+0.4，
则c，k的值分别是e0.4和2
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·深圳模拟)已知样本x ，x ，x 的平均数为2，方差为1，则x2，x2，x2的平均数为 .
1 2 3 1 2 3
10.(2024·广州模拟)某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W(单位：克)与脉搏率f(单位：心跳次
数/分钟)的对应数据(W，f)(i=1，2，…，8)，根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f=cWk(c，k为
i i8
参数).令x i =ln W i ，y i =ln f i ，计算得x=8，y=5， Σ y i 2 =214.由最小二乘法得经验回归方程为 y ^ =b ^ x+7.4，则k
i=1
^
的值为 ；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值
y i
(i=1，2，…，8)，若残差平方和
n
^
( Σ (y - y ) 2)
8 i i
^ i=1
Σ (y - y ) 2 ≈0.28，则决定系数R2≈ . 参考公式：决定系数R2=1-
i i n
i=1
Σ (y - y) 2
i
i=1
四、解答题(共27分)
11.(12分)(2024·开封模拟)某学校有A，B两家餐厅，A餐厅有2种套餐选择，B餐厅有4种套餐选择，且这
6种套餐各不相同.A餐厅距离教学楼相比于B餐厅要近很多，经调查发现，100名不同性别的学生选择餐
厅用餐的情况如下：
男 女
在A餐厅用餐 40 20
在B餐厅用餐 15 25
(1)求某天甲、乙两名同学选择同一套餐用餐的概率；(6分)
(2)依据α=0.005的独立性检验，能否认为性别与选择餐厅之间有关联？(6分)
n(ad-bc) 2
附：χ2= .
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.05 0.01 0.005 0.001
x 3.841 6.635 7.879 10.828
α
12.(15分)(2024·柳州模拟)某企业为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行
试销，得到一组销售数据(x，y)(i=1，2，3，4，5，6)，如表所示：
i i
试销单价x(百元) 1 2 3 4 5 6
产品销量y(件) 91 86 p 78 73 70n n
Σ (x -x)(y - y) Σ x y -nx y
i i i i
^
i=1 i=1
参考公式：b= = ，
n n
Σ (x -x) 2 Σ x2-nx2
i i
i=1 i=1
^ ^
=y- .
a bx
6 6 6
1
参考数据：y= Σ y=80， Σ xy=1 606， Σ x2 =91.
6 i i i i
i=1 i=1 i=1
(1)求p的值；(3分)
^ ^ ^
(2)已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y(件)关于试销单价x(百元)的经验回归方程 y=bx+a(计算
结果精确到整数位)；(6分)
^ ^
(3)y 表示用正确的经验回归方程得到的与x
i
对应的产品销量的估计值.当销售数据(x
i
，y
i
)的残差的绝对值|y
i i
-y|<1时，则将销售数据称为一个“有效数据”.现从这6组销售数据中任取2组，求“有效数据”个数ξ的
i
分布列和期望.(6分)
13题5分，14题6分，共11分
13.(2024·揭阳模拟)已知变量x与y具有线性相关关系，在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到
了一组样本数据(x ，y )，(x ，y )，…，(x ，y )，(6，28)，(0，28)，利用此样本数据求得的经验回归方程
1 1 2 2 5 5
^ 10 166 ^
为 y= x+ ，现发现数据(6，28)和(0，28)误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为 y
7 7
5
=4x+m，且 Σ y=140，则m等于( )
i
i=1
A.8 B.12
C.16 D.20
14.(多选)(2024·海口模拟)已知甲、乙两组样本各有10个数据，甲、乙两组数据合并后得到一组新数据，下
列说法正确的是( )
A.若甲、乙两组数据的平均数都为a，则新数据的平均数等于a
B.若甲、乙两组数据的极差都为b，则新数据的极差可能大于b
C.若甲、乙两组数据的方差都为c，则新数据的方差可能小于c
D.若甲、乙两组数据的中位数都为d，则新数据的中位数等于d答案精析
1.B 2.B 3.D 4.A 5.C 6.D
7.ACD 8.BCD
9.5
x +x +x
解析 由题意知
1 2 3=2，
3
所以x +x +x =6，
1 2 3
(x -2) 2+(x -2) 2+(x -2) 2
由 1 2 3 =1，
3
得x2 +x2 +x2
=15，
1 2 3
x2+x2+x2
所以 1 2 3=5.
3
10.-0.3 0.98
解析 因为f=cWk，两边取对数可得ln f=ln c+kln W，
^ ^
又x
i
=ln W
i
，y
i
=ln f
i
，依题意经验回归方程y=bx+7.4必过点(x，y)，
^
所以5=8b+7.4，
^
解得b=-0.3，所以k=-0.3，
8 8
^ ^
Σ (y - y ) 2 Σ (y - y ) 2
i i i i
i=1 i=1
又R2=1- =1-
8 8
Σ (y - y) 2 Σ y2-8 y2
i i
i=1 i=1
0.28
≈1- =0.98.
214-8×52
60 3 40 2
11.解 (1)由表中数据可得，选择A餐厅的概率为 = ，选择B餐厅的概率为 = ，
100 5 100 5
设事件A 为“甲乙去A餐厅用餐”，
1
事件B 为“甲乙去B餐厅用餐”，
1
事件A 为“甲乙选择同一种套餐”，
2
事件A为“甲、乙两名同学选择同一套餐用餐”，
(3) 2 (2) 2
P(A )= ，P(B )= ，
1 5 1 5
1
P(A |A )= ，
2 1 21
P(A |B )= ，
2 1 4
(3) 2 1 (2) 2 1 11
则P(A)=P(A )P(A |A )+P(B )P(A |B )= × + × = ，
1 2 1 1 2 1 5 2 5 4 50
11
故甲、乙两名同学选择同一套餐用餐的概率为 .
50
(2)根据数据可得2×2列联表为
男 女 合计
在A餐厅用餐 40 20 60
在B餐厅用餐 15 25 40
合计 55 45 100
零假设为H ：认为性别与选择餐厅之间无关.
0
根据列联表中的数据，经计算得到
100×(40×25-20×15) 2
χ2=
55×45×40×60
≈8.249>7.879=x ，
0.005
依据小概率值α=0.005的独立性检验，可以推断H 不成立，即性别与选择餐厅之间有关.
0
6
1
12.解 (1) 由y= Σ y=80，
6 i
i=1
91+86+p+78+73+70
得 =80，
6
解得p=82.
1+2+3+4+5+6
(2)∵x= =3.5，
6
6 6 6
1
而y= Σ y=80， Σ xy=1 606， Σ x2 =91，
6 i i i i
i=1 i=1 i=1
^
1 606-6×3.5×80 -74
∴ b=
91-6×3.52
=
17.5
≈-4，
^
a=80-(-4)×3.5=94，
^
所求的经验回归方程为y=-4x+94.
^ ^ ^ ^ ^ ^
(3)由(2)可知，y =90，y =86，y =82，y =78，y =74，y =70，
1 2 3 4 5 6
故有效数据为(2，86)，(3，82)，(4，78)，(6，70)，ξ的可能取值为0，1，2，
C2
1
P(ξ=0)= 2 = ，
C2 15
6
C1C1
8
P(ξ=1)= 4 2 = ，
C2 15
6
C2
2
P(ξ=2)= 4 = ，
C2 5
6
则ξ的分布列为
ξ 0 1 2
1 8 2
P
15 15 5
1 8 2 4
E(ξ)=0× +1× +2× = .
15 15 5 3
13.C [设没剔除两对数据前的x，y的平均数分别为x，y，
剔除两对数据后的x，y的平均数分别为x'，y'，
5 5
1
为 Σ y=140，所以y'= Σ y=28，
i 5 i
i=1 i=1
y'-m 28-m
则x'= = ，
4 4
因为两对数据为(6，28)和(0，28)，
1
所以y= ×(140+56)=28，
7
1
所以x= (7×y-166)=3，
10
7x-6-0 28-m
所以x'= =3= ，
5 4
解得m=16.]
14.ABD [设甲为x ，x ，…，x ，乙为y ，y ，…，y ，新数据为z ，z ，…，z ，
1 2 10 1 2 10 1 2 20
1 1
对于A，因为z= (z +z +…+z )= (10a+10a)=a，所以A正确；
20 1 2 20 20
对于B，设甲：1，2，…，10；乙：21，22，…，30，两组数据的极差均为9，但混合后数据的极差为
29，所以B正确；
1 1
对于C，因为 (x2 +x2 +…+x2 -10x2)= (y2 +y2 +…+y2 -10y2)=c，
10 1 2 10 10 1 2 10
所以x2 +x2 +…+x2 =10c+10x2，
1 2 10y2+y2+…+y2 =10c+10y2，
1 2 10
x+ y
z= ，
2
1 1
所以新数据的方差为 (x2 +x2 +…+x2 +y2 +y2 +…+y2 -20z2) = (10c+10x2+10c+10y2-20z2)=c+
20 1 2 10 1 2 10 20
x2+ y2-2z2
，
2
(x+ y) 2 (x- y) 2
因为x2+y2-2z2=x2+y2-2× = ≥0，
2 2
所以新数据的方差一定不小于c，所以C错误；
对于D，不妨设x ≤x ≤…≤x ，
1 2 10
y ≤y ≤…≤y ，
1 2 10
x +x y + y
则d= 5 6= 5 6 ，
2 2
将混合后数据按从小到大排列，
若x ≤y ，则x ≥y ，所以第10，11个数为y 和y ；
5 5 6 6 5 6
若x >y ，则x <y ，所以第10，11个数为x 和x ，两种情形下，新数据的中位数都等于d，所以D正确.]
5 5 6 6 5 6
