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微专题 3 统计与成对数据的统计分析
[考情分析] 高考对本讲内容的考查往往以实际问题为背景，考查随机抽样与用样本估计总体、经验回归
方程的求解与运用、独立性检验问题，常与概率综合考查，中等难度.
考点一 统计图表、数字特征
频率 频率
1.频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示 ，频率=组距× .
组距 组距
2.在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.
3.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数.
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等.
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中
点的横坐标之和.
例1 (1)(多选)(2024·泰安模拟)某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100
个该配件的质量指标值(单位：分)作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图，则(同一组中的数
据用该组区间的中点值作代表)( )
A.m=0.030
B.样本质量指标值的平均数为75
C.样本质量指标值的众数小于其平均数
D.样本质量指标值的第75百分位数为85
答案 ACD
解析 对于A项，由题意知(0.010+0.015+m+0.035+0.010)×10=1，解得m=0.030，故A项正确；
对于B项，样本质量指标值的平均数为55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1=76.5，故B项错误；
70+80
对于C项，样本质量指标值的众数是 =75<76.5，故C项正确；
2
对于D项，前3组的频率之和为(0.010+0.015+0.035)×10=0.60，前4组的频率之和为0.60+0.030×10=0.90，
故第75百分位数位于第4组，设其为t，
则(t-80)×0.030+0.60=0.75，解得t=85，
即第75百分位数为85，故D项正确.(2)(多选)(2024·嘉兴模拟)已知一组数据1，3，5，7，9，其中位数为a，平均数为x，极差为b，方差为
s2.现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为a'，平均数为x'，极差为b'，方差为s'2，则下
列说法中正确的是( )
A.若删去3，则ax'，B选项错误；
C选项，根据极差的定义，若去掉的数是3，5，7中的一个，显然去掉前后极差都是9-1=8，满足b=b'，
若去掉1，b'=9-3=60)的方差为s2，平均数x
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
>0，则( )
A.数据3x -2，3x -2，3x -2，3x -2，3x -2的方差为9s2
1 2 3 4 5
B.数据3x -2，3x -2，3x -2，3x -2，3x -2的平均数大于0
1 2 3 4 5
C.数据x ，x ，x ，x 的方差大于s2
2 3 4 5
D.数据x ，x ，x ，x 的平均数大于x
2 3 4 5
答案 AD
解析 对于A，数据3x -2，3x -2，3x -2，3x -2，3x -2的方差为9s2，故A正确；
1 2 3 4 5
对于B，数据3x -2，3x -2，3x -2，3x -2，3x -2的平均数为3x-2，
1 2 3 4 5
2
当00，
5x +x +x +x
数据x ，x ，x ，x 的平均数 2 3 4 5
2 3 4 5 4
5 x
= x- 1，
4 4
因为x <0，故数据x ，x ，x ，x 的平均数大于x，故D正确.
1 2 3 4 5
考点二 回归分析
求经验回归方程的步骤
(1)依据成对样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系(有时可省略).
^ ^
(2)计算出x，y，a，b.
(3)写出经验回归方程.
例2 (1)(多选)(2024·晋中模拟)下列有关回归分析的结论中，正确的有( )
^
A.在成对样本数据(x
i
，y
i
)(i=1，2，3，…，10)中，根据最小二乘法求得经验回归方程为 y=3x-1，去除一
个样本点(x ，y )后，得到的新经验回归方程一定会发生改变
1 1
B.具有相关关系的两个变量x，y的样本相关系数为r，那么r越大，x，y之间的线性相关程度越强
C.若散点图中的散点均落在一条斜率非零的直线上，则决定系数R2=1
D.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
答案 CD
解析 对于A，若去除的点恰好在原经验回归直线上，则去除该点后，经验回归方程不会发生改变，故A
错误；
对于B，|r|越接近于1，则x，y之间的线性相关程度越强，故B错误；
对于C，若散点图中的散点均落在一条斜率非零的直线上，则变量与变量之间满足线性函数关系，决定系
数R2=1，故C正确；
对于D，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故D正
确.
(2)(2024·温州模拟)2024年之前某淀粉厂只生产食品淀粉，下表为近几年年投入资金x(万元)与年收益
y(万元)的8组数据：
x 10 20 30 40 50 60 70 80
y 12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4
①用y=bln x+a模拟生产食品淀粉年收益y与年投入资金x的关系，求出非线性经验回归方程；
②为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入
的10%.2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值(精确到0.1万元).n
Σ v u -nv u
i i
^ ^ ^ ^
i=1 ^
附：Ⅰ.经验回归直线u=bv+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b= ，a=u-
n
Σ
v2-nv2
i
i=1
^
bv.
Ⅱ.
8 8 8 8 8
Σ y Σ ln x Σ
x2
Σ (ln x)2 Σ yln x
i i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
161 29 20 400 109 603
Ⅲ.ln 2≈0.7，ln 5≈1.6.
8
Σ t y -8t·y
i i
^
i=1
解 ①令t=ln x ，b=
8
Σ
t2-8t2
i
i=1
29 161
603-8× ×
8 8
= =5，
(29) 2
109-8×
8
^ ^ 161 29
a=y-bt= -5× =2，
8 8
^
∴非线性经验回归方程为 y=5ln x+2.
②2024年设该企业投入食品淀粉生产m万元，预计收益w万元，
1
w=5ln m+2+(200-m)· ，00得07.879=x .
0.005
24×12×12×24
根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为期末统考中的数学成绩与建立个性化错
0
题本有关.
k(a+b+c+d)(ka·kd-kb·kc) 2 k(a+b+c+d)(ad-bc) 2
(3)χ'2= = =9k≥10.828，
k(a+b)·k(c+d)·k(a+c)·k(b+d) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
10.828
解得k≥ .
9
要使新列联表中的数据都为整数，则需4k∈Z.
10.828×4
又因为4k≥ ≈4.8，
9
5
所以4k的最小值为5，故k的最小值是 .
4
[易错提醒] (1)χ2越大两分类变量无关的可能性越小，推断犯错误的概率越小，通过表格查得无关的可能
性.
(2)在犯错误的概率不大于0.01的前提下认为两个变量有关，并不是指两个变量无关的可能性为0.01.
跟踪演练3 (2024·福州模拟)人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，某中学为了了解这
两种性格特征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据：
外向型 内向型
男生 45 15
女生 20 10
(1)以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者.设
这三人中性格外向型的人数为X，求X的数学期望；(2)对表格中的数据，依据α=0.1的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的
性别没有关联.如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推
断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由.
参考公式与临界值表：
n(ad-bc) 2
χ2= .
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.1 0.05 0.01
x 2.706 3.841 6.635
α
3 2
解 (1)由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为 ，外向型女生在所有女生中占比为 ，
4 3
3
故从该校男生中随机抽取一人为外向型男生的概率是 ，从该校女生中随机抽取一人为外向型女生的概率
4
2
是 .
3
方法一 X的所有可能取值为0，1，2，3，
(1) 2 1 1
则P(X=0)= × = ，
4 3 48
P(X=1)=C1×
3
×
1
×
1
+
(1) 2
×
2
=
1
，
2 4 4 3 4 3 6
P(X=2)=
(3) 2
×
1
+C1×
3
×
1
×
2
=
7
，
4 3 2 4 4 3 16
(3) 2 2 3
P(X=3)= × = ，
4 3 8
1 1 7 3 13
所以E(X)=0× +1× +2× +3× = .
48 6 16 8 6
方法二 从该校男生中随机抽取2人，抽到性格外向型的人数记为Y ；
1
从该校女生中随机抽取1人，抽到性格外向型的人数记为Y ，
2
( 3) ( 2)
则Y ~B 2， ，Y ~B 1， ，
1 4 2 3
3 3
所以E(Y )=2× = ，
1 4 2
2 2
E(Y )=1× = ，
2 3 3
所以E(X)=E(Y +Y )=E(Y )+E(Y )
1 2 1 2
3 2 13
= + = .
2 3 6
(2)零假设为H ：这两种性格特征与人的性别无关联.
0由所获得的所有数据都扩大为原来10倍，可知
900×(450×100-150×200) 2 90
χ2= = ≈6.923>2.706=x ，
600×300×650×250 13 0.1
依据α=0.1的独立性检验，可以推断这两种性格特征与人的性别有关联，与原来的结论不一致，
原因是每个数据扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化.
专题强化练
(分值：90分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2024·南通模拟)某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号
分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65
09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75
73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是( )
A.10 B.09
C.71 D.20
答案 B
解析 从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，
符合条件的编号有14，05，11，09，所以选出来的第4个样本的编号为09.
2.(2024·张家口模拟)现有一组数据x ，x ，…，x ，将这组数据按照从小到大的顺序排列，则去掉第一个数
1 2 n
和最后一个数后，下列统计量一定不变的是( )
A.平均数 B.中位数
C.方差 D.极差
答案 B
解析 现有一组数据x ，x ，…，x ，将这组数据按照从小到大的顺序排列为y ，y ，…，y ，去掉第一个
1 2 n 1 2 n
数和最后一个数后为y ，…，y .
2 n-1
y + y + y +…+ y y + y +…+ y
原平均数为
1 2 3 n，删除后平均数为 2 3 n-1，不一定相等，故A不正确；
n n-2
根据中位数的定义可知，中位数不会发生改变，故B正确；
因为最小的数据变大，最大的数据变小，其余数据不变，方差的意义是新数据与新平均值的波动情况，不
能确定不变，故C不正确；原极差为y -y ，删除后极差为y -y ，不一定相等，故D不正确.
n 1 n-1 2
3.某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列联表(单位：人)：
月收入
月收入5 000元以下 月收入5 000元及以上 合计
文化程度
高中文化以上 10 45 55
高中文化及以下 20 30 50
合计 30 75 105
105×(10×30-45×20) 2
由上表中数据计算得χ2= ≈6.109.如果认为文化程度与月收入有关系，那么犯错误
55×50×30×75
的概率不会超过( )
附表：
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
A.0.001 B.0.005
C.0.01 D.0.05
答案 D
解析 因为χ2≈6.109>3.841=x ，所以认为文化程度与月收入有关系，那么犯错误的概率不会超过0.05.
0.05
4.(2024·临沂模拟)一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差
2
的 ，则该组数据的第45百分位数是( )
5
A.4 B.6
C.8 D.12
答案 A
m+12
解析 根据中位数的定义，该组数据的中位数是 ，
2
根据极差的定义，该组数据的极差是21-1=20，
m+12 2
依题意得， =20× ，解得m=4，6×0.45=2.7∉Z，
2 5
根据百分位数的定义，该组数据的第45百分位数是从小到大排列的第3个数，即4.
5.(2024·新课标全国Ⅱ)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩
产量(单位：kg)并整理得下表：
亩产量 [900，950) [950，1 000) [1 000，1 050) [1 050，1 100) [1 100，1 150) [1 150，1 200]频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是( )
A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
答案 C
解析 对于A，根据频数分布表可知，
6+12+18=36<50，
所以亩产量的中位数不小于1 050 kg，故A错误；
对于B，亩产量不低于1 100 kg的频数为24+10=34，
100-34
所以低于1 100 kg的稻田占比为 ×100%=66%，故B错误；
100
对于C，因为1 200-900=300，1 150-950=200，故C正确；
对于D，由频数分布表可得，
1
平均值为 ×(6×925+12×975+18×1 025+30×1 075+24×1 125+10×1 175)=1 067，故D错误.
100
6.(2024·秦皇岛模拟)某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男
生，测量了他们的身高和体重得下表：
身高x(单位：cm) 167 173 175 177 178 180 181
体重y(单位：kg) 90 54 59 64 67 72 76
由表格制作成如图所示的散点图：
^ ^ ^
由最小二乘法计算得到经验回归直线l 1 的方程为 y=b x+a ， 其样本相关系数为r 1 ；经过残差分析，点
1 1
^ ^ ^
(167，90)对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线l 2 的方程为 y=b x+a ，
2 2
样本相关系数为r .则下列选项正确的是( )
2^ ^ ^ ^
A.b >b ，a >a ，r 1 b ，a r 2
1 2 1 2
^ ^ ^ ^
C.b r 2
1 2 1 2
^ ^ ^ ^
D.b a ，r 1 a ，b 10.828，
40×360×150×250 3
依据小概率值α=0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A有关，所以D正确.
8.(2024·邢台模拟)下列命题为真命题的是( )
A.若样本数据x ，x ，x ，x ，x ，x 的方差为2，则数据2x -3，2x -3，2x -3，2x -3，2x -3，2x -3的方差为
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
5
B.一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C.用决定系数R2比较两个模型的拟合效果时，若R2越大，则相应模型的拟合效果越好
^
D.以模型 y=cekx去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=ln y，求得经验回归方程为 z=2x+0.4，
则c，k的值分别是e0.4和2
答案 BCD
解析 对于A，若样本数据x ，x ，…，x 的方差为2，则数据2x -3，2x -3，2x -3，2x -3，2x -3，2x -3的
1 2 6 1 2 3 4 5 6
方差为22×2=8≠5，故A错误；
11+12
对于B，5×80%=4，则其第80百分位数是 =11.5，故B正确；
2
对于C，根据决定系数的含义知R2越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；
对于D，以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=ln y，
则z=ln y=ln c+ln ekx=ln c+kx，
^
由题知经验回归方程为z=2x+0.4，则ln c=0.4，k=2，故c，k的值分别是e0.4和2，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·深圳模拟)已知样本x ，x ，x 的平均数为2，方差为1，则x2，x2，x2的平均数为 .
1 2 3 1 2 3答案 5
x +x +x
解析 由题意知
1 2 3=2，
3
所以x +x +x =6，
1 2 3
(x -2) 2+(x -2) 2+(x -2) 2
由 1 2 3 =1，
3
x2+x2+x2
得x2 +x2 +x2 =15，所以 1 2 3=5.
1 2 3 3
10.(2024·广州模拟)某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W(单位：克)与脉搏率f(单位：心跳次
数/分钟)的对应数据(W，f)(i=1，2，…，8)，根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f=cWk(c，k为
i i
8
参数).令x i =ln W i ，y i =ln f i ，计算得x=8，y=5， Σ y i 2 =214.由最小二乘法得经验回归方程为 y ^ =b ^ x+7.4，则k
i=1
^
的值为 ；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值
y i
(i=1，2，…，8)，若残差平方和
n
^
( Σ (y - y ) 2)
8 i i
^ i=1
Σ (y - y ) 2 ≈0.28，则决定系数R2≈ . 参考公式：决定系数R2=1-
i i n
i=1
Σ (y - y) 2
i
i=1
答案 -0.3 0.98
解析 因为f=cWk，两边取对数可得ln f=ln c+kln W，又x=ln W，y=ln f，
i i i i
^ ^
依题意经验回归方程y=bx+7.4必过点(x，y)，
^
所以5=8b+7.4，
^
解得b=-0.3，所以k=-0.3，
8 8
^ ^
Σ (y - y ) 2 Σ (y - y ) 2
i i i i
i=1 i=1
又R2=1- =1-
8 8
Σ (y - y) 2 Σ y2-8 y2
i i
i=1 i=1
0.28
≈1- =0.98.
214-8×52
四、解答题(共27分)
11.(12分)(2024·开封模拟)某学校有A，B两家餐厅，A餐厅有2种套餐选择，B餐厅有4种套餐选择，且这
6种套餐各不相同.A餐厅距离教学楼相比于B餐厅要近很多，经调查发现，100名不同性别的学生选择餐
厅用餐的情况如下：男 女
在A餐厅用餐 40 20
在B餐厅用餐 15 25
(1)求某天甲、乙两名同学选择同一套餐用餐的概率；(6分)
(2)依据α=0.005的独立性检验，能否认为性别与选择餐厅之间有关联？(6分)
n(ad-bc) 2
附：χ2= .
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.05 0.01 0.005 0.001
x 3.841 6.635 7.879 10.828
α
60 3 40 2
解 (1)由表中数据可得，选择A餐厅的概率为 = ，选择B餐厅的概率为 = ，
100 5 100 5
设事件A 为“甲乙去A餐厅用餐”，
1
事件B 为“甲乙去B餐厅用餐”，
1
事件A 为“甲乙选择同一种套餐”，
2
事件A为“甲、乙两名同学选择同一套餐用餐”，
(3) 2 (2) 2 1
P(A )= ，P(B )= ，P(A |A )= ，
1 5 1 5 2 1 2
1
P(A |B )= ，
2 1 4
(3) 2 1 (2) 2 1 11
则P(A)=P(A )P(A |A )+P(B )P(A |B )= × + × = ，
1 2 1 1 2 1 5 2 5 4 50
11
故甲、乙两名同学选择同一套餐用餐的概率为 .
50
(2)根据数据可得2×2列联表为
男 女 合计
在A餐厅用餐 40 20 60
在B餐厅用餐 15 25 40
合计 55 45 100
零假设为H ：认为性别与选择餐厅之间无关.
0
100×(40×25-20×15) 2
根据列联表中的数据，经计算得到χ2= ≈8.249>7.879=x ，
0.005
55×45×40×60
依据小概率值α=0.005的独立性检验，可以推断H 不成立，即性别与选择餐厅之间有关.
012.(15分)(2024·柳州模拟)某企业为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行
试销，得到一组销售数据(x，y)(i=1，2，3，4，5，6)，如表所示：
i i
试销单价x(百元) 1 2 3 4 5 6
产品销量y(件) 91 86 p 78 73 70
n n
Σ (x -x)(y - y) Σ x y -nx y
i i i i
^
i=1 i=1
参考公式：b= = ，
n n
Σ (x -x) 2 Σ x2-nx2
i i
i=1 i=1
^ ^
=y- .
a bx
6 6 6
1
参考数据：y= Σ y=80， Σ xy=1 606， Σ x2 =91.
6 i i i i
i=1 i=1 i=1
(1)求p的值；(3分)
^ ^ ^
(2)已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y(件)关于试销单价x(百元)的经验回归方程 y=bx+a(计算
结果精确到整数位)；(6分)
^ ^
(3)y 表示用正确的经验回归方程得到的与x
i
对应的产品销量的估计值.当销售数据(x
i
，y
i
)的残差的绝对值|y
i i
-y|<1时，则将销售数据称为一个“有效数据”.现从这6组销售数据中任取2组，求“有效数据”个数ξ的
i
分布列和期望.(6分)
6
1
解 (1)由y= Σ y=80，
6 i
i=1
91+86+p+78+73+70
得 =80，
6
解得p=82.
1+2+3+4+5+6
(2)∵x= =3.5，
6
6 6 6
1
而y= Σ y=80， Σ xy=1 606， Σ x2 =91，
6 i i i i
i=1 i=1 i=1
^
1 606-6×3.5×80 -74
∴ b=
91-6×3.52
=
17.5
≈-4，
^
a=80-(-4)×3.5=94，
^
所求的经验回归方程为y=-4x+94.^ ^ ^ ^ ^ ^
(3)由(2)可知，y =90，y =86，y =82，y =78，y =74，y =70，
1 2 3 4 5 6
故有效数据为(2，86)，(3，82)，(4，78)，(6，70)，
ξ的可能取值为0，1，2，
C2
1
P(ξ=0)= 2 = ，
C2 15
6
C1C1
8
P(ξ=1)= 4 2 = ，
C2 15
6
C2
2
P(ξ=2)= 4 = ，
C2 5
6
则ξ的分布列为
ξ 0 1 2
1 8 2
P
15 15 5
1 8 2 4
E(ξ)=0× +1× +2× = .
15 15 5 3
13题5分，14题6分，共11分
13.(2024·揭阳模拟)已知变量x与y具有线性相关关系，在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到
了一组样本数据(x ，y )，(x ，y )，…，(x ，y )，(6，28)，(0，28)，利用此样本数据求得的经验回归方程
1 1 2 2 5 5
^ 10 166 ^
为 y= x+ ，现发现数据(6，28)和(0，28)误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为 y
7 7
5
=4x+m，且 Σ y=140，则m等于( )
i
i=1
A.8 B.12
C.16 D.20
答案 C
解析 设没剔除两对数据前的x，y的平均数分别为x，y，
剔除两对数据后的x，y的平均数分别为x'，y'，
5 5
1
因为 Σ y=140，所以y'= Σ y=28，
i 5 i
i=1 i=1
y'-m 28-m
则x'= = ，
4 4
因为两对数据为(6，28)和(0，28)，1
所以y= ×(140+56)=28，
7
1
所以x= (7×y-166)=3，
10
7x-6-0 28-m
所以x'= =3= ，
5 4
解得m=16.
14.(多选)(2024·海口模拟)已知甲、乙两组样本各有10个数据，甲、乙两组数据合并后得到一组新数据，下
列说法正确的是( )
A.若甲、乙两组数据的平均数都为a，则新数据的平均数等于a
B.若甲、乙两组数据的极差都为b，则新数据的极差可能大于b
C.若甲、乙两组数据的方差都为c，则新数据的方差可能小于c
D.若甲、乙两组数据的中位数都为d，则新数据的中位数等于d
答案 ABD
解析 设甲为x ，x ，…，x ，乙为y ，y ，…，y ，新数据为z ，z ，…，z ，
1 2 10 1 2 10 1 2 20
1 1
对于A，因为z= (z +z +…+z )= (10a+10a)=a，所以A正确；
20 1 2 20 20
对于B，设甲：1，2，…，10；乙：21，22，…，30，两组数据的极差均为9，但混合后数据的极差为
29，所以B正确；
1 1
对于C，因为 (x2 +x2 +…+x2 -10x2)= (y2 +y2 +…+y2 -10y2)=c，
10 1 2 10 10 1 2 10
x+ y
所以x2 +x2 +…+x2 =10c+10x2，y2 +y2 +…+y2 =10c+10y2，z= ，
1 2 10 1 2 10 2
1 1
所以新数据的方差为 (x2 +x2 +…+x2 +y2 +y2 +…+y2 -20z2) = (10c+10x2+10c+10y2-20z2)=c+
20 1 2 10 1 2 10 20
x2+ y2-2z2
，
2
(x+ y) 2 (x- y) 2
因为x2+y2-2z2=x2+y2-2× = ≥0，
2 2
所以新数据的方差一定不小于c，所以C错误；
对于D，不妨设x ≤x ≤…≤x ，y ≤y ≤…≤y ，
1 2 10 1 2 10
x +x y + y
则d= 5 6= 5 6，
2 2
将混合后数据按从小到大排列，
若x ≤y ，则x ≥y ，所以第10，11个数为y 和y ；
5 5 6 6 5 6
若x >y ，则x
