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2025二轮复习专项训练10
零点问题
[考情分析] 在近几年的高考中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函
数、对数函数以及三角函数为载体考查函数的零点(方程的根)问题，难度较大，多以压轴
题出现．
【练前疑难讲解】
一、 判断零点个数问题
利用导数研究函数的零点
(1)如果函数中没有参数，一阶导数求出函数的极值点，判断极值点大于 0、小于0的情况，
进而判断函数零点个数．
(2)如果函数中含有参数，往往一阶导数的正负不好判断，先对参数进行分类，再判断导数
的符号，如果分类也不好判断，那么需要二次求导，判断二阶导数的正负时，也可能需要
分类．
二、由零点个数求参数范围
已知零点个数求参数范围时
(1)根据区间上零点的个数估计函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进
而求出参数满足的条件．
(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调性，再依据函数在区间内的零点情况，推导出
函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求
导，层层推理得解．
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）函数 存在3个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 恰有一个零点 ，且 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．函数 存在三个不同的零点
B．函数 既存在极大值又存在极小值
C．若 时， ，则 的最小值为
D．若方程 有两个实根，则
4．（2024·重庆·一模）已知函数 ，则 在 有两个不同零
点的充分不必要条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·四川泸州·二模）若函数 有零点，则实数 的取值范围是
．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若方程 有三个不同的
实根，则实数 的取值范围是 .
四、解答题
7．（2024·浙江杭州·二模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点，
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）证明：函数 有且只有一个零点．
学科网（北京）股份有限公司8．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数 .
(1)若函数 有两个零点，求 的取值范围；
(2)设 是函数 的两个极值点，证明： .
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 B A BD BCD
1．B
【分析】写出 ，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.
【详解】 ，则 ，
若 要存在3个零点，则 要存在极大值和极小值，则 ，
令 ，解得 或 ，
且当 时， ，
当 ， ，
故 的极大值为 ，极小值为 ，
若 要存在3个零点，则 ，即 ，解得 ，
故选：B.
2．A
【分析】先将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，然后利用导数的几何意义及
学科网（北京）股份有限公司建立关于 的不等式，即可得解.
【详解】由 可得 ，要使 恰有一个零点，只需函数 的图象
与直线 相切.
设切点坐标为 .由 ，可得 ，则切线方程为
，即 ，
故需使 .
由 可得 ，解得 .
故选：A
3．BD
【分析】求导后，结合f'(x)正负可得 单调性；利用零点存在定理可说明 零点个
数，知A错误；根据极值定义可知B正确；采用数形结合的方式可求得CD正误.
【详解】 定义域为R， ，
当 时，f'(x)<0；当 时，f'(x)>0；
∴f (x)在 ， 上单调递减，在 上单调递增；
对于A， ， ， ，
∴f (x)在区间 和 内各存在一个零点；
当 时， ， ， 恒成立；
∴f (x)有且仅有两个不同的零点，A错误；
对于B，由 单调性可知： 的极小值为 ，极大值为 ，B正确；
学科网（北京）股份有限公司对于C， ， 作出 图象如下图所示，可知方程 存在另一个解 ，
若当 时， ，则 ，C错误；
对于D，方程 有两个实根等价于 与 有两个不同交点，
作出 图象如下图所示，
结合图象可知： ，D正确.
故选：BD.
4．BCD
【分析】将问题转化为 ，令 ，利用导数讨论 的
单调性，求出 ，由 在 有2个不同零点的充要条件为 ，从而作出
判断.
【详解】因为 ，
令 ，则 ，
令 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
注意到 ，令 ，解得 ，
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
则 ，且当 趋近于 或 时， 都趋近于 ，
若 在 有2个不同零点的充要条件为函数 与 图象在第一象限有2个
交点，
所以 ，即 有2个零点的充要条件为 ，
若符合题意，则对应的取值范围为 的真子集，
结合选项可知：A错误，BCD正确；
故选：BCD.
5．
【分析】利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，依题意只需 ，
即可求出参数的取值范围.
【详解】函数 的定义域为 ，
又 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，又 时 ， 时 ，
又函数 有零点，所以 ，即 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
学科网（北京）股份有限公司6．
【分析】通过求导得出函数的单调性和极值，即可得出有三个实根时实数 的取值范围.
【详解】由题意，
在 中， ，
当 时，解得 或 ，
当 即 时， 单调递减，
当 即 ， 时， 单调递增，
∵ ， ，
当 ，
方程 有三个不同的实根，
∴ 即 ，
故答案为： .
【点睛】易错点点点睛：本题考查函数求导，两函数的交点问题，在研究函数的图象时很
容易忽略 这个条件.
7．(1)答案见解析；
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，再分 、 、 三种情况，分别求出函
数的单调区间；
（2）（ⅰ）由（1）直接解得；（ⅱ）结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
且 ，
学科网（北京）股份有限公司当 时， 恒成立，所以 在 单调递减；
当 时，令 ，即 ，解得 ， ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以当 时 ，
当 时 ，
当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 上单调递减；
当 时，此时 ，
所以 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上可得：当 时 在 单调递减；
当 时 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）（ⅰ）由（1）可知 ．
（ⅱ）由（1） 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，则 ，
又 ，
又 ，
所以 在 上没有零点，
又 ，则 ，则 ， ，
则 ，
所以 ，所以 在 上存在一个零点，
综上可得函数 有且只有一个零点．
8．(1)
(2)证明过程见解析.
【分析】（1）根据函数零点定义，结合常变量分离法、构造函数法，结合导数的性质进行
求解即可；
（2）根据所证明不等式的结构特征，构造新函数，结合导数的性质进行求解即可.
【详解】（1） ，
该方程有两个不等实根，由 ，
所以直线 与函数 的图象有两个不同交点，
由 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，因此 ，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，当 ， ，
如下图所示：
所以要想有两个不同交点，只需 ，即 的取值范围为 ；
（2）因为 是函数 的两个极值点，
所以 ，由（1）可知： ，不妨设 ，
要证明 ，只需证明 ，显然 ，
由（2）可知：当 时， 单调递增，所以只需证明 ，
而 ，所以证明 即可，
即证明函数 在 时恒成立，
由 ，
显然当 时， ，因此函数 单调递减，
所以当 时，有 ，所以当 时， 恒成立，因此
命题得以证明.
【点睛】关键点睛：常变量分离构造新函数，利用新函数的单调性求解证明是解题的关键.
【基础保分训练】
一、单选题
学科网（北京）股份有限公司1．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）若过点 可以作曲线 的两条切线，则
（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高三上·山东济南·期末）已知函数 ,关于 的方程
至少有三个互不相等的实数解,则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数 ，若函数 有两个零点，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知函数 ，则（ ）
A．1是 的极小值点
B． 的图象关于点 对称
C． 有3个零点
D．当 时，
5．（2023·山东德州·模拟预测）已知函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．若函数 无极值点，则 没有零点
学科网（北京）股份有限公司B．若函数 无零点，则 没有极值点
C．若函数 恰有一个零点，则 可能恰有一个极值点
D．若函数 有两个零点，则 一定有两个极值点
6．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数 ，下列结论中正确的是
（ ）
A． 是 的极小值点
B． 有三个零点
C．曲线 与直线 只有一个公共点
D．函数 为奇函数
三、填空题
7．（24-25高三上·四川成都·开学考试）设函数 ，若 有三个
零点 ，则 的取值范围是 ．
8．（2023·广东广州·一模）若过点 只可以作曲线 的一条切线，则 的取
值范围是 .
9．（23-24高二下·北京朝阳·期中）已知函数 恰有两个零点，则实数 的
取值范围是
四、解答题
10．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数 .
(1)求函数的单调区间；
(2)求 的零点个数.
学科网（北京）股份有限公司(3) 在区间 上有两个零点，求 的范围?
11．（22-23高三上·湖北·期末）已知函数 ．
(1)若 ，求 的极小值．
(2)讨论函数 的单调性；
(3)当 时，证明： 有且只有 个零点．
12．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知函数 ．
(1)当 ，求 的单调区间；
(2)若 有三个零点，求 的取值范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C A AB AD ABC
1．B
【分析】设切点点 ，写出切线方程，将点 代入切线方程得
，此方程有两个不同的解，利用导数求b的范围.
【详解】在曲线 上任取一点 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令函数 ，
则 .
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，此时 单调递减，
当 时， ，此时 单调递增，
所以 .
设 ，
所以 ，
所以当 时，h'(x)>0，h(x)在(1,+∞)上单调递增，
当 时，h'(x)<0，h(x)在(0,1)上单调递减，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
的图象如图：
由题意可知，直线 与 的图象有两个交点，则 .
故选：B
2．C
学科网（北京）股份有限公司【分析】画出 图象,解方程 可得, 或
,因为 ,根据图象分类讨论, 或 时, 时, 时,三种情况
下根的情况即可.
【详解】解:由题知 ,( 且 ),
所以 ,
故在 上, , 单调递减,
且 ,
即 ,
在 上, , 单调递减,
在 上, , 单调递增,
有 ,
画 图象如下:
由 至少有三互不相等的实数解,
即 至少有三个互不相等的实数解,
学科网（北京）股份有限公司即 或 至少有三个互不相等的实数解,
由图可知,当 或 时, 与 有一个交点,
即 有一个实数解,
此时需要 至少有两个互不相等的实数解,
即 ,解得
故 或 ;
当 时, 无解,舍;
当 时, ,
此时 有两个不等实数解,
有两个不等实数解,
共四个不等实数解,满足题意.
综上: 或 .
故选:C
3．A
【分析】函数 有两个零点，即函数 的图象与 的图象有两个交点，
由导数判断函数 的单调性、极值，由函数图象的交点个数得 的范围.
【详解】函数 有两个零点，即函数 的图象与 的图象有两个交点，
函数 的定义域为R，
,
令 ，解得 ，
, 的变化情况如下表：
学科网（北京）股份有限公司- 0 +
单调递减 单调递增
所以，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
故当 时，有极小值 ，
令g(x)=0，解得 ，
当 时，g(x)<0；当 时，g(x)>0，
当 无限趋向于负无穷大时， 无限趋向于0；当 无限趋向于正无
穷大时时， 无限趋向于正无穷大，
由此作出函数 的大致图象：
由图象得：当 时，交点为0个；
当 或 时，交点为1个；
当 时，交点为2个.
若函数 的图象与 的图象有两个交点，
则由图可知，实数 的取值范围为 .
故选：A.
学科网（北京）股份有限公司4．AB
【分析】利用导数求函数极值点判断选项A；通过证明 得函数图象的对
称点判断选项B；利用函数单调性判断选项C；利用单调性比较函数值的大小判断选项D.
【详解】对于A，函数 ， ，令 ，解得
或 ，
故当 时f'(x)>0，当x∈(0,1)时，f'(x)<0，当x∈(1,+∞)时f'(x)>0，
则 在 上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
故1是 的极小值点，故A正确：
对于B，因为
，
所以 的图象关于点 对称，故B正确；
对于C， ，易知 的单调性一致，而 ，
故 至多有2个零点，故C错误；
对于D，当 时， ，而 在 上单调递增，故
，故D错误.
故选：AB.
5．AD
【分析】画出可能图象，结合图象判断选项即可.
【详解】
学科网（北京）股份有限公司，设
若函数 无极值点则，则 ，
此时 ，即 ，所以 ，没有零点，如图①；
若函数 无零点，则有 ，此时 ，
当 时， 先正再负再正，原函数先增再减再增，故有极值点，如图②；
若函数 恰有一个零点，则 ，
此时 ， 先正再负再正，原函数先增再减再增，有两个极值点，如图
③；
若函数 有两个零点，则 ，此时 ， 先正再负再正，
函数先增再减再增，有两个极值点，如图④；
所以AD正确.
故选：AD.
6．ABC
【分析】对于A，利用导数，结合极小值点的定义，可得答案；
对于B，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理，可得答案；
对于C，根据切线的求解方程，利用导数检测，可得直线为函数的切线，结合图象，可得
答案；
对于D，整理函数解析式，利用奇函数的定义，可得答案.
【详解】由函数 ，则求导可得 ，
学科网（北京）股份有限公司令 ，解得 或 ，可得下表：
极大值 极小值
则 是 的极小值点，故A正确；
，
，
由 ， ，
显然函数 在 分别存在一个零点，即函数 存在三个零点，故B
正确；
联立 ，消去 可得 ，化简可得 ，
则该方程组存在唯一实根 ，故C正确；
令 ，
，故D错误.
故选：ABC.
7．
【分析】根据分段函数得出根，再应用指对数转化结合换元法求解即可.
【详解】因为 ，所以
学科网（北京）股份有限公司且 ,
零满足点 ，即 ，
故目标式 ，令 且 ，
则上式 ，
令 ，则 ， ，故
在 内单调递增，则 .
故答案为：
8．
【分析】根据导数几何意义，设切点坐标为 ，则得切线方程 ，
过点 ，则 ，构造函数 ，
确定函数的单调性及取值情况，即可得 的取值范围.
【详解】解：函数 的定义域为 ，则 ，设切点坐标为 ，
则切线斜率为 ，故切线方程为： ，
又切线过点 ，则 ，
设 ，则 得， 或 ，
学科网（北京）股份有限公司则当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以 ，
又 时， ， 时， ，
所以 有且只有一个根，且 ，则 ，故 的取值范围是 .
故答案为： .
9．
【分析】由题意可得 即 有两个不等的实数解，令 ，求出导
数和单调区间、极值、最值，画出图象，通过图象即可得到结论.
【详解】函数 恰有两个零点等价于 即 有两个不等的实
数解，
令 ， ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 处取极大值，极大值为 ，且极大值也为 的最
大值；
当 时， ，当 时， ，
画出 的图象如下：
学科网（北京）股份有限公司由图可得当 时， 与 有两个交点，即方程有两个实数根，函数 有
两个零点；
故答案为：
10．(1) 的单调减区间为： ；单调增区间为： ，
(2)1个
(3)
【分析】（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可；
（2）结合(1)问的单调性，求出函数 的值域，结合零点存在定理即可求解.
（3）将零点问题转化为函数交点问题，求出 在区间 上的值域即可求解.
【详解】（1）由题可得： ，
令 ，解得： 或 ，
令f'(x)<0，解得： ；
令 ，解得： 或 ；
所以 的单调减区间为： ；单调增区间为： ，
（2）因为 的单调减区间为： ；单调增区间为： ， ，
由于 ，则 在 上无零点；
由于 ，则 在 上无零点；
学科网（北京）股份有限公司由于 ，则 在 上存在唯一零点；
综上，函数 在 上存在唯一零点.
（3）若 在区间 上有两个零点，则函数 与 在区间
上有两个交点；
由(1)知， 在 上单调递增， 上单调递减；
， ， ，
所以函数 与 在区间 上有两个交点，则 ，
即 在区间 上有两个零点，则 的范围为
11．(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）先求导，判断函数单调性，找到极小值点，求出极小值.
（2）求出 ，再求导，根据 分类讨论，判断函数单调性.
（3）由导数为零，可找出极值点及单调区间，取 并判断符号，根据零点存在定
理可得结论.
【详解】（1）当 时， 的定义域为 ，
，
在区间 递减；
在区间 递增．
所以当 时， 取得极小值 ．
（2） 的定义域为 ，
．
令 ，
当 时， 恒成立，所以 即 在 上递增．
当 时， 在区间 即 递减；
在区间 即 递增．
（3）当 时， ，
由（2）知， 在 上递增， ，
所以存在 使得 ，即 ．
在区间 ， 递减；在区间 递增．
所以当 时， 取得极小值也即最小值为
学科网（北京）股份有限公司，
由于 ，所以 ．
，
，
根据零点存在性定理可知 在区间 和 ， 各有 个零点，
所以 有 个零点．
12．(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可得到答案；
（2）由 ，把函数 的零点个数问题等价转化为，两个函数的交点个数问题，
令 ，利用导数法研究函数 的单调性和极值，进而结合函数图象得到实
数 的取值范围．
【详解】（1）将 代入可得 ，其定义域为R，则 .
和 都在R上增函数，所以 在R上单调递增且 ，
因此，当 时，f'(x)<0，函数 为单调递减；
当x∈(0,+∞)时，f'(x)>0，函数 为单调递增；
综上所述，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为(0,+∞)．
（2）（2）由 得， ，令 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
时， 单调递减；
时， 单调递增；
x∈(2,+∞)时， 单调递减；
由单调性可知，当 时， ；
当 时， ；
当 时，取得极小值，即 ；
当 时，取得极大值，即 .
所以y=g(x)和 的大致图象如下：
综上所述，若 有三个零点，则 的取值范围为 ．
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·河北石家庄·一模）已知 在 上有两个不相等的实数根，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川成都·二模）已知函数 ,若关于 的方程
学科网（北京）股份有限公司有且仅有4个不同的实数根，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，
，若函数 恰有6个零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（23-24高二下·山东济宁·期中）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点
B． 有一个零点
C．点 是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
5．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知三次函数 有三个不同
的零点 ，函数 .则（ ）
A．
B．若 成等差数列，则
C．若 恰有两个不同的零点 ，则
学科网（北京）股份有限公司D．若 有三个不同的零点 ，则
6．（2023·湖南·模拟预测）函数 （e为自然对数的底数），则下列选项
正确的有（ ）
A．函数 的极大值为1
B．函数 的图象在点 处的切线方程为
C．当 时，方程 恰有2个不等实根
D．当 时，方程 恰有3个不等实根
三、填空题
7．（2023·山东济宁·一模）已知函数 ，若 在 上有
解，则 的最小值 .
8．（22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数 在区间
上存在零点，则 的最小值为 ．
9．（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）已知函数 有三个不同的
零点 ， ， ，且 ，则实数a的取值范围是 ；
的值为 .
四、解答题
10．（2022·天津·高考真题）已知 ，函数
(1)求曲线y=f (x)在 处的切线方程；
学科网（北京）股份有限公司(2)若曲线y=f (x)和y=g(x)有公共点，
（i）当 时，求 的取值范围；
（ii）求证： ．
11．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数
.
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点，求 的取值范围；
(3)若 对任意 恒成立，求 的取值范围.
12．（2023·广东梅州·一模）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 ，讨论函数 的零点个数.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D A A ABC ABD BD
1．D
【分析】将问题化为 与 有两个不同的交点，利用导数研究 单调性、
值域，即可求参数范围.
【详解】由 ，则 ，故 ，
要使原方程在 有两个不等实根，即 与 有两个不同的交点，
由 ，令 ，则 ， ，则 ，
所以 在 上递增， 上递减，故 ，
又 趋向于0时， 趋向负无穷， 趋向于正无穷时， 趋向0，
学科网（北京）股份有限公司所以，要使 与 有两个不同的交点，则 ，
所以 .
故选：D
2．A
【分析】令 ，方程可化为 或 有四个不同实数根，借
助导数研究 的单调性与最值，数形结合即可判断 的取值范围．
【详解】设 ，则 ，
又 ，
所以 ，则 或 ．
①当 时， ，求导得 ．
当 时， ，即函数 在 上单调递增；
当 时， ，即函数 在 上单调递减．
因为 ，所以 ．
又 ，当 且 时， ；
当 时， ．
②当 时， ， ，
根据以上信息，作出函数 的大致图象如图所示．
学科网（北京）股份有限公司观察图像可得：函数 的图象与函数 的图象仅有1个交点，
所以函数 的图象与函数 的图象有3个交点，
则 ，所以实数 的取值范围为 ．
故选：A
3．A
【分析】先利用导数研究当 时，函数 的图象和性质，结合对数函数的图象及绝
对值的意义作出函数 的大致图象，然后根据题意及一元二次方程根的分布得到关于
的不等式，解不等式即可得到实数 的取值范围．
【详解】当 时， ， ，
令 ，得 ，当 时，f'(x)>0， 单调递增，
当 时，f'(x)<0， 单调递减，
又 ， ，当 趋近于 时， 趋近于0，
结合对数函数的图象及绝对值的意义可作出函数 的图象如图所示．
学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，数形结合可知要使h(x)有6个零点，
则 有两个不相等的实数根 、 ，不妨令 ，有如下两种情况：
若 ，但 ，故排除此种情况，
若 ，对于二次函数 开口向上，又 ，则 ，
得 ，
综上，实数 的取值范围是 ．
故选：A
【点睛】关键点点睛：解决此类问题需注意以下几点：
（1）会转化，即会将问题转化为方程的根的问题，然后利用函数、方程、不等式的关系进
行解答；
（2）会作图，即会根据基本初等函数的图象、图象的平移变换法则或函数与导数的关系画
出相关函数的大致图象；
（3）会观察，即会利用数形结合思想列方程（组）或不等式（组）．
4．ABC
【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的概念、零点的存在性定理即可判断
AB；根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换即可判断C；根据导数的几何意
义即可判断D.
【详解】A： ，
令 得 或 ，令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，
所以 时取得极值，故A正确；
学科网（北京）股份有限公司B：因为 ， ， ，
所以函数 只在 上有一个零点，即函数 只有一个零点，故B正确；
C：令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，将 的图象向上移动一个单位得到 的
图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
D：令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，
当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的性质和函数图象的平移变换，其
中选项C，构造函数 ，奇函数图象关于原点对称推出 的对称性是解决本题
的关键.
5．ABD
【分析】对于A，由题意可得 有两个不同实根，则由 即可判断；对于B，若
成等差数列，则 ，从而结合 即可判断；对
于C，若 恰有两个零点，则 或 必为极值点，分类讨论即可判断；对于D，由韦达
定理即可判断.
【详解】 ， ， ，对称中心为
学科网（北京）股份有限公司，对A：因为 有三个零点，所以 必有两个极值点，所以
， ，A正确；
对B，由 成等差数列，及三次函数的中心对称性可知 ，
所以 ，
又 ，故 ，所以 ，所以 ，故B正确；
对C： ，即 ，
若 恰有两个零点，则 或 必为极值点；
若 为极值点，则该方程的三个根为 ， ， ，由一元三次方程的韦达定理可知：
；
若 为极值点，同理可得 ，故C错；
对D：由韦达定理 ，
得 ，
即 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：判断C选项得关键是得出 或 必为极值点，由此即可顺利得解.
6．BD
【分析】求出函数 的导数，利用导数探讨极大值判断A；利用导数的几何意义求出切
线方程判断B；分析函数性质并结合函数图象判断CD作答.
【详解】对于A： ，
学科网（北京）股份有限公司在区间 ， 上， ， 单调递增，在区间 上， ，
单调递减，
所以 的极大值为 ，A错误；
对于B： ， ，则函数 图象在点 处的切线方程为
，即 ，B正确；
对于C、D：因为 在 上递增，在 上递减， ， ，
在 上递增，且 在 上的取值集合为 ， 在
上的取值集合为 ，
因此函数 在 上的取值集合为 ， 的极大值为 ，
的极小值为 ，
作出函数 的部分图象，如图，
观察图象知，当 或 时， 有1个实数根；当 或 时 有
2个实数根；
当 时，有3个实数根，C错误，D正确.
故选：BD
学科网（北京）股份有限公司【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最
值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
7．
【分析】确定点 在直线 上， ，设
，求导得到导函数，确定单调区间计算最值得到答案.
【详解】设函数 在 上的零点为 ，则 ，
所以点 在直线 上.
设 为坐标原点，则 ，其最小值就是 到直线 的距离的平方，
所以 ，
设 ，则 ，
当 时， ，函数单调递减；
当 时， ，函数单调递增；
所以 ， ，所以 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求最值，零点问题，意在考查学生的计算能力，
转化能力和综合应用能力，其中将 转化为点到直线的距离的平方，再利用导数求最
值是解题的关键.
学科网（北京）股份有限公司8．
【分析】设零点为 ，将方程 看作点 在直线 上，
而 的最小值代表含义即是直线 到 点的距离，根据点到直线
距离公式列式求解即可.
【详解】设函数的零点为 ，则 ，则点 在直线
上．
因为零点存在，则 ，即 ，
令 ， ，
令 ， ，当 时， , 单调递增，当
时， ， 单调递减，
所以当 时， ，
所以 ， 的最小值为 ．
故答案为：
【点睛】思路点睛：
某函数出现零点与双参数问题时，常见思路为将零点当作常数，则零点所对应方程就成为
关于双参数的直线方程，将所求问题转换为该直线与某点的位置关系问题进行求解.（注意：
虽然零点在找直线方程时当作常数看待，但得到问题所需解析式后，零点取值范围将影响
解析式取值范围，这也就是零点范围的作用.）
学科网（北京）股份有限公司9． 1
【分析】①令 ，则方程 有两个不等的实根 ， ，数形结合，根据
的图象得出结果；②由韦达定理 代入求值即可.
【详解】由 ，
令 ，∴ ，
令 ， ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
当 时， .
作出 大致图象如下，要使原方程有三个不同的零点，
（*）式关于t的一元二次方程有两个不等的实根 ， ，其中 ， ，
令 ，∴ ，
学科网（北京）股份有限公司且 ， ， ，
∴ ，
故答案为： ；1.
【点睛】求解复合函数零点问题的方法：
(1)此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出两个图像；
(2)若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于 的方程 中 解的个
数再根据个数与 的图像特点，决定参数的范围.
10．(1)
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【分析】（1）求出 可求切线方程；
（2）（i）当 时，曲线 和 有公共点即为 在
上有零点，求导后分类讨论结合零点存在定理可求 .
（ii）曲线 和 有公共点即 ，利用点到直线的距离得
学科网（北京）股份有限公司到 ，利用导数可证 ，从而可得不等式成立.
【详解】（1） ，故 ，而 ，
曲线 在点 处的切线方程为 即 .
（2）（i）当 时，
因为曲线 和 有公共点，故 有解，
设 ，故 ，故 在 上有解，
设 ，故 在 上有零点，
而 ，
若 ，则 恒成立，此时 在 上无零点，
若 ，则 在 上恒成立，故 在 上为增函数，
而 ， ，故 在 上无零点，
故 ，
设 ，则 ，
故 在 上为增函数，
而 ， ，
故 在 上存在唯一零点 ，
且 时， ； 时， ；
故 时， ； 时， ；
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
学科网（北京）股份有限公司故 ，
因为 在 上有零点，故 ，故 ，
而 ，故 即 ，
设 ，则 ，
故 在 上为增函数，
而 ，故 .
（ii）因为曲线 和 有公共点，
所以 有解 ，其中 ，
若 ，则 ，该式不成立，故 .
故 ，考虑直线 ，
表示原点与直线 上的动点 之间的距离，
故 ，所以 ，
下证：对任意 ，总有 ，
证明：当 时，有 ，故 成立.
当 时，即证 ，
设 ，则 （不恒为零），
故 在 上为减函数，故 即 成立.
综上， 成立.
学科网（北京）股份有限公司下证：当 时， 恒成立，
，则 ，
故 在 上为增函数，故 即 恒成立.
下证： 在 上恒成立，即证： ，
即证： ，即证： ，
而 ，故 成立.
故 ，即 成立.
【点睛】思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处
理，而多变量的不等式的成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来
证明目标不等式.
11．(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）函数求导，根据参数 进行分类，讨论函数的单调性即得；
（2）将函数 有两个零点，转化为 与 有两个交点问题，利用导
数研究并作出函数 的图象，即得 的取值范围；
（3）由原不等式恒成立转化为 恒成立，设 ，就
参数 分类讨论，找到使 恒成立时的情况，即得 的取值范围.
【详解】（1） 的定义域为 ，
学科网（北京）股份有限公司当 时， 时， 时， ；
当 时， 时， ；
当 时， 时， ； 时 ；
当 时， 时 ； 时 ；
综上， 时， 的递减区间是 ，递增区间是 ；
时， 的递增区间是 ，无递减区间；
时， 的递增区间是 和 ，递减区间是 ；
时， 的递增区间是 和 ，递减区间是 .
（2）令 得 ，
设 ，则 ，
当 时， 在 上递减；当 时， 在 上
递增，
则 .
又因 时， 时， 作出函数 的图象，
由图可得，要使直线 与函数 的图象有两个交点，须使 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，故 的取值范围是 .
（3）由 得 ，
因 ，即得， （*），
易得 时，不等式成立，
设 ， ，
则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，故 ，（*）恒成立；
当 时，设 ，
则方程 有两根 ， ，可得
当 时， ，则 ， 在 上单调递减；
又 ，所以当 时， ，不满足条件，
综上， 的取值范围是 .
【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的零点和不等式恒成立问题，属于难题.
对于函数零点的探究，一般考虑参变分离法，不易分离变量的则考虑根据参数，分析讨论
函数的图象性质判断求解；对于由不等式恒成立的求参问题，一般是分离变量后，将其转
化为求函数的最值问题解决，对于不易转化时，可以通过构造函数，根据参数范围，讨论
函数不等式何时恒成立.
12．(1)增区间为 和 ，减区间为
(2)答案见解析
【分析】（1）当 时，求得 ，利用函数的单调性与导数的关系
学科网（北京）股份有限公司可求得函数 的增区间和减区间；
（2）利用导数分析函数 的单调性，对实数 的取值进行分类讨论，结合零点存在定
理可得出结论.
【详解】（1）解：当 时， ，该函数的定义域为 ，
，
由 可得 ，由 可得 或 .
故当 时，函数 的增区间为 和 ，减区间为 .
（2）解：函数 的定义域为 ，
，
由 ，得 ， ，
由 可得 ，由 可得 或 .
所以，函数 的增区间为 、 ，减区间为 ，
所以，函数 的极大值为 ，
极小值为 ，
当 时， ，
令 ，其中 ，
则 ，即函数 在 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司故当 时， ，
此时， ，所以 在 上不存在零点；
①当 时， ，此时函数 无零点；
②当 时， ，此时函数 只有一个零点；
③当 时， ， ，
则 在 与 上各有一个零点.
综上所述，（i）当 时， 在 上不存在零点；
（ii）当 时， 在 上存在一个零点；
（iii）当 时， 在 上存在两个零点.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基
本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，
体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与
函数 的图象的交点问题.
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