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５９６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
９．２ 直线、圆的位置关系
§
２．直线与圆的位置关系的判定
设直线ｌ Ａｘ Ｂｙ Ｃ Ａ２ Ｂ２ 圆Ｃ ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２
： ＋ ＋ ＝０（ ＋ ≠０）， ：（ － ） ＋（ － ） ＝
ｒ２ ｒ ｄ为圆心 ａ ｂ 到直线ｌ的距离 联立直线和圆的方程
（ ＞０）， （ ， ） ， ，
考点一 两直线的位置关系
消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ．
１．两条直线的位置关系
判断方法
位置关系 图形 公共点个数
斜截式 一般式
代数法 几何法
ｌ ｙ ｋ ｘ ｂ ｌ ｙ ｋ ｘ ｂ ｌ Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ ｌ Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ
１： ＝ １ ＋ １，２： ＝ ２ ＋ ２ １： １ ＋ １ ＋ １＝０，２： ２ ＋ ２ ＋ ２＝０
相交 ｋ ｋ Ａ Ｂ Ａ Ｂ 相交 Δ ｄ ｒ
１≠ ２ １ ２－ ２ １≠０ ＞０ ＜ ２
{Ａ Ｂ Ａ Ｂ {Ａ Ｂ Ａ Ｂ
平行 ｋ ｋ 且ｂ ｂ １ ２－ ２ １＝０，或 １ ２－ ２ １＝０，
① １＝ ２ １≠ ２ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ Ａ Ｃ
１ ２－ ２ １≠０ １ ２－ ２ １≠０ 相切 Δ ＝０ ｄ ＝ ｒ １
Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ Ｃ
重合 ｋ ｋ 且ｂ ｂ １ ２－ ２ １ ＝ １ ２－ ２ １ ＝ １ ２－
１＝ ２ １＝ ２ Ｂ Ｃ
２ １＝０ 相离 Δ ｄ ｒ
特别地 当直线ｌ 与ｌ 垂直时 ｋ ｋ Ａ Ａ Ｂ Ｂ ． ＜０ ＞ ０
， １ ２ ， １· ２＝－１， １ ２＋ １ ２＝０
２．距离公式
３．与圆的切线有关的结论
两点间的距离 平面上的两点Ｐ ｘ ｙ Ｐ ｘ ｙ 间
（１） ： １（ １， １）、 ２（ ２， ２） 过圆ｘ２ ｙ２ ｒ２ 上一点Ｐ ｘ ｙ 的切线方程为ｘ ｘ ｙ ｙ
的距离 特 公 别 式 地 ：｜ 原 Ｐ １ 点 Ｐ ２｜ Ｏ ＝② （ｘ 与 １－ 任 ｘ ２ ） 一 ２ ＋ 点 （ｙ １ Ｐ － ｙ ２ ｘ ）２ ｙ ． 的距离 ＯＰ ＝ ｒ２ ； （１） ＋ ＝ （ ０， ０） ０ ＋ ０
， （０，０） （ ， ） ｜ ｜ 过圆 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ 上一点Ｐ ｘ ｙ 的切线方程
（２） （ － ） ＋（ － ） ＝ （ ０， ０）
＝
ｘ
（
２
２
＋
）
ｙ
点
２．
Ａ
到
ｘ
直
Ｂ
线
ｙ
的
Ｃ
距离 ： 点Ｐ （ ｘ ０， ｙ ０） 到直线Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝０ 的距
为
（
ｘ
（
０－
３
ａ
）
）
过
（
圆
ｘ
－
ａ
ｘ
）
２
＋
＋
ｙ
（
２
ｙ
＝
０－
ｒ２
ｂ
外
）（
一
ｙ
－
点
ｂ
）＝
Ｐ
（
ｒ２
ｘ
；
０，
ｙ
０）
作圆的两条切线
，
切点
离ｄ ＝③
两
｜
条
０
平
＋
Ａ２
行
＋
０
Ｂ
线
＋
２
间
｜
的
．
距离 两条平行线Ａｘ Ｂｙ Ｃ 与Ａｘ
为Ａ ，
（
Ｂ
４
，
）
则
过
过
圆
Ａ
ｘ
、
２ ＋
Ｂ
ｙ
两
２ ＋ Ｄ
点
ｘ
的
＋ Ｅ
直
ｙ ＋
线
Ｆ ＝
方
０
程
（ Ｄ
为
２ ＋
ｘ
Ｅ
０
２
ｘ
－
＋
４
ｙ
Ｆ
０
＞
ｙ
０
＝
）
ｒ２
外
；
一点Ｐ （ ｘ ０， ｙ ０）
（３） ： ＋ ＋ １＝０ ＋ 引圆的切线 切点为Ｔ 则切线长 ＰＴ ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ．
Ｃ Ｃ ， ， ｜ ｜＝ ０＋ ０＋ ０＋ ０＋
Ｂｙ Ｃ Ｃ Ｃ 间的距离ｄ ｜ １－ ２｜ ． ４．直线与圆相交
＋ ２＝０（ １≠ ２） ＝④
Ａ２
＋
Ｂ２ 直线与圆相交时
，
若ｌ为弦长
，
ｄ为弦心距
，
ｒ为半径
，
则有ｒ２
＝
ｄ２
知识拓展 用点到直线的距离公式时 直线方程必须 ｌ２
（１） ， 即ｌ ｒ２ ｄ２ 求弦长或已知弦长求其他量时 一般用此公式．
化为一般式 还要注意公式中的分子含有绝对值符号 分母含有 ＋ ， ＝２ － ， ，
， ， ４
根号．
考点三 圆与圆的位置关系
求两平行线间的距离时 可转化为其中一条直线上的点
（２） ，
到另一条直线的距离 也可以代入公式求解 但此时必须先将两 １．圆与圆的位置关系
， ，
直线方程转化为一般形式且ｘ ｙ的系数分别对应相等． 设两圆的圆心距为ｄ 两圆的半径分别为Ｒ ｒ Ｒ ｒ 则
、 ， ， （ ＞ ），
点到几种特殊直线的距离 可直接求出 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
（３） ， ：
点Ｐ ｘ ｙ 到ｘ轴的距离ｄ ｙ
（ｉ） （ ０， ０） ＝｜ ０｜；
点Ｐ ｘ ｙ 到ｙ轴的距离ｄ ｘ 图形
（ｉｉ） （ ０， ０） ＝｜ ０｜；
点Ｐ ｘ ｙ 到与ｘ轴平行的直线ｙ ａ的距离ｄ ｙ ａ
（ｉｉｉ） （ ０， ０） ＝ ＝｜ ０－ ｜；
点Ｐ ｘ ｙ 到与ｙ轴平行的直线ｘ ｂ的距离ｄ ｘ ｂ ． 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
（ｉｖ） （ ０， ０） ＝ ＝｜ ０－ ｜
公共点个数
考点二 直线与圆的位置关系 ０ １ ２ １ ０
１．点与圆的位置关系 ｄ Ｒ ｒ的关系 ｄ Ｒ ｒ ｄ Ｒ ｒ Ｒ ｒ ｄ Ｒ ｒ ｄ Ｒ ｒ ｄ Ｒ ｒ
， ， ＞ ＋ ＝ ＋ － ＜ ＜ ＋ ＝ － ＜ －
根据点到圆心的距离ｄ与圆的半径ｒ的大小判断 ｄ ｒ
（１） ： ＞ 公切线条数
点在圆外 ｄ ｒ 点在圆上 ｄ ｒ 点在圆内． ４ ３ ２ １ ０
⇔ ； ＝ ⇔ ； ＜ ⇔
根据点Ｍ ｘ ｙ 与圆的方程 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ 的关 知识拓展 圆系方程
（２） （ ０， ０） （ － ） ＋（ － ） ＝
系判断 ： （１） 同心圆系方程 ：（ ｘ － ａ ） ２ ＋（ ｙ － ｂ ） ２ ＝ ｒ２ （ ｒ ＞０）， 其中ａ ， ｂ是
ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ 点在圆外 定值 ｒ是参数
（ ０－ ） ＋（ ０－ ） ＞ ⇔ ； ， ；
（
ｘ
０－
ａ
）
２
＋（
ｙ
０－
ｂ
）
２
＝
ｒ２
⇔
点在圆上
； （２）
过直线Ａｘ
＋
Ｂｙ
＋
Ｃ
＝０
与圆ｘ２
＋
ｙ２
＋
Ｄｘ
＋
Ｅｙ
＋
Ｆ
＝０
交点的圆
（
ｘ
０－
ａ
）
２
＋（
ｙ
０－
ｂ
）
２
＜
ｒ２
⇔
点在圆内． 系方程
：
ｘ２
＋
ｙ２
＋
Ｄｘ
＋
Ｅｙ
＋
Ｆ
＋
λ
（
Ａｘ
＋
Ｂｙ
＋
Ｃ
）＝０（
λ
∈
Ｒ
）；
专题九 圆锥曲线 ５９７
过圆Ｃ ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ 和圆Ｃ ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｅ Ｅ ｙ Ｆ Ｆ 即圆Ｃ 与Ｃ 的公共弦所在直线的方程．
（３） １： ＋ ＋ １ ＋ １ ＋ １＝０ ２： ＋ ＋ ２ ＋ ２ （ １－ ２） ＋ １－ ２＝０， １ ２
Ｆ 交点的圆系方程 ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ λ ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ 知识拓展 当两圆相交时 两圆方程相减 所得的直线
＋ ２＝０ ： ＋ ＋ １ ＋ １ ＋ １＋ （ ＋ ＋ ２ ＋ ２ （１） ， ，
Ｆ λ 该圆系不含圆Ｃ 解题时 注意检验圆Ｃ 是 方程即为两圆公共弦所在的直线方程 这一结论的前提是两圆
＋ ２）＝０（ ≠－１）（ ２， ， ２ ，
否满足题意 以防漏解 ． 相交 如果不确定两圆是否相交 两圆方程相减得到的方程不一
， ） ， ，
２．两圆相交时，公共弦所在直线的方程 定是两圆公共弦所在的直线方程．
设圆Ｃ ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ 圆Ｃ ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ 两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．
１： ＋ ＋ １ ＋ １ ＋ １＝０， ２： ＋ ＋ ２ ＋ ２ ＋ ２＝ （２）
若两圆相交 则有一条公共弦 两圆方程相减得 Ｄ Ｄ ｘ 求公共弦长时 几何法比代数法简单且易求．
０， ， ， （ １－ ２） ＋ （３） ，
答案 Ｄ
５．已知点Ａ 和点Ｂ 若圆ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ｔ 上恰有
（１，０） （０，１）， ＋ －４ －２ ＋ ＝０
两个不同的点Ｐ 使得 ＰＡＢ的面积为 １ 则实数ｔ的取值范
考点一 两直线的位置关系 ， △ ，
２
１．若直线ｌ ｍ ｘ ｙ 与直线ｌ ｘ ｍｙ 互相平行 则 围是 ．
１：（ －２） － －１＝０ ２：３ － ＝０ ，
ｍ的值等于 ( )
（ ） 答案 １ ９
或 或 或 ，
Ａ．０ －１ ３ Ｂ．０ ３ ２ ２
或 或
Ｃ．０ －１ Ｄ．－１ ３ 考点三 圆与圆的位置关系
答案 Ｄ
２．（
列
多
说
选
法
题
正
）
确
已
的
知
是
直线ｌ １： ｘ ＋ ｍｙ －１＝０， ｌ ２：（ ｍ －２） ｘ ＋３ ｙ ＋３＝０， 则下 ６．设
Ｃ
圆
的
Ｃ
位
１：
置
ｘ２
关
＋ ｙ
系
２ ＝
是
１ 与圆Ｃ ２：（ ｘ －２） ２ ＋（ ｙ ＋２） ２ ＝１， 则圆Ｃ １ 与圆
（ ） ２ （ ）
若ｌ ｌ 则ｍ 或ｍ 若ｌ ｌ 则ｍ 外离 外切
Ａ． １∥２， ＝－１ ＝３ Ｂ． １∥２， ＝３ Ａ．
相交
Ｂ．
内含
若ｌ ｌ 则ｍ １ 若ｌ ｌ 则ｍ １ Ｃ． Ｄ．
Ｃ． １⊥２， ＝－
２
Ｄ． １⊥２， ＝
２
答案 Ａ
答案 ＢＤ ７．圆Ｃ ｘ ｍ ２ ｙ ２ 与圆Ｃ ｘ ２ ｙ ｍ ２ 外切
１：（ － ） ＋（ ＋２） ＝９ ２：（ ＋１） ＋（ － ） ＝４ ，
则ｍ的值为
（ ）
考点二 直线与圆的位置关系
Ａ．２ Ｂ．－５
３．平行于直线 ｘ ｙ 且与圆ｘ２ ｙ２ 相切的直线的方程是 或 不确定
２ ＋ ＋１＝０ ＋ ＝５ Ｃ．２ －５ Ｄ．
答案 Ｃ
（ ）
ｘ ｙ 或 ｘ ｙ ８．圆心为 的圆Ｃ与圆ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 相外切 则圆Ｃ
Ａ．２ ＋ ＋５＝０ ２ ＋ －５＝０ （２，０） ＋ ＋４ －６ ＋４＝０ ，
ｘ ｙ 或 ｘ ｙ 的方程为
Ｂ．２ ＋ ＋ ５＝０ ２ ＋ － ５＝０ （ ）
ｘ ｙ 或 ｘ ｙ ｘ２ ｙ２ ｘ ｘ２ ｙ２ ｘ
Ｃ．２ － ＋５＝０ ２ － －５＝０ Ａ． ＋ ＋４ ＋２＝０ Ｂ． ＋ －４ ＋２＝０
ｘ ｙ 或 ｘ ｙ Ｃ．
ｘ２
＋
ｙ２
＋４
ｘ
＝０ Ｄ．
ｘ２
＋
ｙ２
－４
ｘ
＝０
Ｄ．２ － ＋ ５＝０ ２ － － ５＝０ 答案 Ｄ
答案 Ａ
４．直线ｌ
：
ｘ
－
ｙ
＋
ｍ
＝０
与圆Ｃ
：
ｘ２
＋
ｙ２
－４
ｘ
－２
ｙ
＋１＝０
恒有公共点
，
则ｍ ９．两
两
圆
点
Ｃ
则
１： ｘ
Ａ
２
Ｂ
＋ ｙ２ ＋４ ｘ ＋ ｙ ＋１＝
．
０， Ｃ ２： ｘ２ ＋ ｙ２ ＋２ ｘ ＋２ ｙ ＋１＝０ 相交于Ａ ， Ｂ
的取值范围是 ， ｜ ｜＝
（ ）
答案 ４ ５
Ａ．［－ ２， ２］ Ｂ．［－２ ２，２ ２］
５
Ｃ．［－ ２－１， ２－１］ Ｄ．［－２ ２－１，２ ２－１］
２．若直线ｌ ｘ ａ２ｙ 与直线ｌ ａｘ ｙ ａ 互相垂直 则实
１： ＋ ＋６＝０ ２： ＋３ ＋２ ＝０ ，
数ａ的值为 ．
答案 或 １
考点一 两直线的位置关系 ０ －
３
１．（２０２０广东珠海９月摸底测试，１１）已知点Ｍ （－１，０）， Ｎ （１， 解析 ｌ ｌ ａ ａ２ 解得ａ 或ａ １ ．
若直线ｌ ｘ ｙ ｍ上存在点Ｐ使得ＰＭ ＰＮ 则实数ｍ的取 ∵ １⊥２，∴１× ＋３ ＝０， ＝０ ＝－ ３
０）， ： ＋ ＝ ⊥ ，
值范围是
（ ） 考点二 直线与圆的位置关系
Ａ．［－１，１］ Ｂ．（－１，１） Ｃ．［－ ２， ２］ Ｄ．（－ ２， ２） １．（２０２０辽宁大连第一中学月考）已知圆Ｃ ｘ２ ｙ２ 直线ｌ ｘ
答案 Ｃ 直线ｌ上存在点Ｐ 使ＰＭ ＰＮ ： ＋ ＝４， ： －
∵ ， ⊥ ， ｙ 在直线ｌ上任取一点Ｐ向圆Ｃ作切线 切点为Ａ Ｂ 连
以ＭＮ为直径的圆与直线ｌ有公共点 ＋６＝０， ， ， ，
∴ ， 接ＡＢ 则直线ＡＢ一定过定点
易知以ＭＮ为直径的圆的圆心为 半径ｒ 则圆心 ( ， ) （ ）
（０，０）， ＝１， （０，
２ ２
ｍ Ａ． － ， Ｂ．（１，２）
到直线ｌ的距离ｄ ｜ ｜ 解得 ｍ 故选 ． ３ ３
０） ＝ ≤１， － ２≤ ≤ ２， Ｃ
２
５９８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
( ) { ａ２ ｂ２
４ ４ 仅当 ８ ＝１＋２ ，时等号成立 即ｔ取最大值 此时ａ ３ 舍
Ｃ．（－２，３） Ｄ． －
３
，
３ ４
ａ２
＋
ｂ２
＝４
， ， ＝
４
（
答案 Ａ 如图所示 设点Ｐ ｘ ｙ 则ｘ ｙ ． 负 ．故选 ．
， （ ０， ０）， ０－ ０＋６＝０ ） Ｄ
以ＣＰ为直径的圆的方程为ｘ ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ 又圆Ｃ ｘ２ 方法点拨 在解直线与圆相交的弦长问题时 经常采用几何
（ － ０）＋ （ － ０）＝０， ： ＋ ，
ｙ２ 作差可得直线ＡＢ的方程为ｘｘ ｙｙ 将ｙ ｘ 代 法．当直线与圆相交时 半径长 半弦长 弦心距所构成的直角
＝４， ０＋ ０＝４， ０＝ ０＋６ ， 、 、
ì 三角形在解题中起到关键作用 解题时要注意将它和点到直线
ïｘ ２ ，
{ｘ ｙ ï ＝－ ， 的距离公式结合起来使用．
入可得 ｘ ｙ ｘ ｙ 令 ＋ ＝０， í ３ 故直线 ＡＢ
（ ＋ ） ０＋６ －４＝０， ｙ ⇒ï
６ －４＝０ ïｙ ２
î ＝ ， 考点三 圆与圆的位置关系
３
过定点
(
２ ２
)
．
１．已知圆Ｍ
：
ｘ２
＋
ｙ２
－２
ａｙ
＝０（
ａ
＞０）
截直线ｘ
＋
ｙ
＝０
所得线段的长度
－ ，
３ ３ 是 则圆Ｍ与圆Ｎ ｘ ２ ｙ ２ 的位置关系是
２ ２， ：（ －１） ＋（ －１） ＝１
（ ）
内切 相交 外切 外离
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案 Ｂ 圆Ｍ ｘ２ ｙ ａ ２ ａ２ ａ 的圆心为Ｍ ａ 半
： ＋（ － ） ＝ （ ＞０） （０， ），
径ｒ ａ
１＝ ，
ａ
圆心Ｍ到直线ｘ ｙ 的距离ｄ ｜ ｜
∴ ＋ ＝０ ＝ ，
２
ａ２
由题意知 ｒ２ ｄ２ ａ２ 所以ａ
２ １－ ＝２ － ＝２ ２， ＝２，
２
思路分析 设点Ｐ ｘ ｙ 根据圆系知识可求出直线ＡＢ的方 Ｍ ｒ
（ ０， ０）， ∴ （０，２）， １＝２，
程 再根据点Ｐ ｘ ｙ 在直线ｌ上 可得ｘ ｙ 的关系 代入直 又圆Ｎ的圆心为Ｎ 半径ｒ
， （ ０， ０） ， ０， ０ ， （１，１）， ２＝１，
线ＡＢ的方程 ， 消去ｙ ０， 根据关于ｘ ０ 的方程恒成立即可求出定 ∴ ｜ ＭＮ ｜＝ （０－１） ２ ＋（２－１） ２ ＝ ２，∵ ｒ １－ ｒ ２＜｜ ＭＮ ｜＜ ｒ １＋ ｒ ２，
点坐标． 两圆相交．
∴
方法总结 与圆的切线有关的结论 ２．（２０１９江苏宜兴中学期中）圆心在直线ｘ ｙ 上 且经过
－ －４＝０ ，
（１）
过圆ｘ２
＋
ｙ２
＝
ｒ２ 上一点 Ｐ
（
ｘ
０，
ｙ
０）
的切线方程为 ｘ
０
ｘ
＋
ｙ
０
ｙ 两圆ｘ２
＋
ｙ２
＋６
ｘ
－４＝０
和ｘ２
＋
ｙ２
＋６
ｙ
－２８＝０
的交点的圆的方程为
ｒ２ ．
＝ ；
过圆 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ 上一点Ｐ ｘ ｙ 的切线方程为 答案 ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ
（２） （ － ） ＋（ － ） ＝ （ ０， ０） ＋ － ＋７ －３２＝０
ｘ ａ ｘ ａ ｙ ｂ ｙ ｂ ｒ２ 解析 设经过两圆的交点的圆的方程为ｘ２ ｙ２ ｘ λ ｘ２
（ ０－ ）·（ － ）＋（ ０－ ）（ － ）＝ ； ＋ ＋６ －４＋ （ ＋
２． （ Ａ （ ， ３ ２ Ｂ ） ０ ， 过 １ 则 ８ 圆 过 山 ｘ 西 ２ Ａ ＋ 、 太 ｙ Ｂ ２ 原 ＝ 两 ｒ 五 点 ２ 外 中 的 一 直 ４ 点 月 线 模 方 Ｐ （ 拟 程 ｘ ０ ， 为 ， ８ ｙ ） ０ ｘ ） 已 ０ ｘ 作 ＋ 知 ｙ 圆 ０ ｋ ｙ 的 ＝ ｒ Ｒ 两 ２． 条 点 切 Ｐ 线 ａ ， ｂ 切点 是 为 直 ｙ 标 ２ ＋ 为 ６ ｙ ( －２８ ３ ）＝０， ３ 即 λ ｘ ) ２ ． ＋ 又 ｙ 圆 ２ ＋ 心 １＋ ６ 在 λ ｘ 直 ＋ １ 线 ６ ＋ λ λ ｘ ｙ － ｙ ４ １ ＋ ＋ ２ λ ８ λ ＝ 上 ０， 所 所 以 以 圆心 ３ 坐
∈ ， （ ， ） － λ，－ λ － －４＝０ ， － λ＋
线ｘ ｙ ｋ与圆ｘ２ ｙ２ ｋ２ ｋ 的公共点 则ａｂ的最大值为 １＋ １＋ １＋
＋ ＝２ ＋ ＝ －２ ＋３ ，
λ
（ ）
３
λ－４＝０，
解得λ
＝－７，
故所求圆的方程为ｘ２
＋
ｙ２
－
ｘ
＋７
ｙ
－３２＝０
．
１＋
Ａ． 答 １５ 案 Ｂ 由 Ｂ 题 ．９ 意得 ， 圆心到 Ｃ 直 ．１ 线ｘ ＋ ｙ ＝２ ｋ的 Ｄ． 距 － 离 ３ ５ ｄ ＝ ｜－２ ｋ ｜ ３．（ Ｏ 的 ２ ２ 切 ： ０ （ １ 线 ｘ ９ － 互 ｍ 北 ） 相 京 ２ ＋ 垂 清 ｙ２ 直 华 ＝２ 附 则 ０（ 线 中 ｍ 段 ∈ 高 Ｒ 二 Ａ ） Ｂ 期 相 的 中 交 长 ， 于 度 １３ Ａ 是 ） ， Ｂ 若 两 圆 点 Ｏ ， １ 且 ： ． ｘ 两 ２ ＋ 圆 ｙ２ 在 ＝ 点 ５ 与 Ａ 圆 处
，
２ 答案
ｋ２ ｋ 且ｋ２ ｋ 解得 ｋ 因为 ａｂ ａ ４
≤ －２ ＋３， －２ ＋３＞０， －３≤ ≤１， ２ ＝（ ＋ 解析 由题意得圆Ｏ 的圆心为Ｏ 半径为 圆Ｏ
ｂ ） ２ －（ ａ２ ＋ ｂ２ ）＝４ ｋ２ －（ ｋ２ －２ ｋ ＋３）＝３ ｋ２ ＋２ ｋ －３， 所以当ｋ ＝－３ 时 ， １ １（０，０）， ５， ２
ａｂ取得最大值
９
．故选
Ｂ
． 的圆心为Ｏ ２（－ ｍ ，０）， 半径为 ２ ５，
３．（２０１７河北石家庄一模，９）若ａ ｂ是正数 直线 ａｘ ｂｙ
根据两圆相交于Ａ Ｂ时 圆心距大于半径之差而小于半径之
， ， ２ ＋ －２＝０ ， ，
被圆ｘ２ ｙ２ 截得的弦长为 则ｔ ａ ｂ２取得最大值 和 ， 可得 ５＜｜ ｍ ｜＜３ ５，
时ａ的值 ＋ 为 ＝４ ２ ３， ＝ １＋２
（ ）
再根据题意可得Ｏ
１
Ａ
⊥
ＡＯ
２，
ｍ２ ｍ
∴ ＝５＋２０＝２５，∴ ＝±５，
１ ３ ３ ３ ＡＢ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ｜ ｜
２ ２ ４ ４ ∴ ×５＝２ ５× ５，
答案 Ｄ 由已知可得圆心到直线 ａｘ ｂｙ 的距离ｄ ２
２ ＋ －２＝０ ＝ 解得 ＡＢ ．
｜ ｜＝４
２ 则直线被圆截得的弦长为 ４ 化简 思路分析 由题意结合圆的切线性质可得Ｏ Ａ ＡＯ 由勾股
４
ａ２
＋
ｂ２ ， ２ ４－
４
ａ２
＋
ｂ２ ＝２ ３，
定理可得 ｍ的值 再用三角形等面积法求得Ａ
１
Ｂ
⊥
的长度
２，
．
，
得 ａ２ ｂ２ ． ｔ ａ ｂ２ １ ａ ｂ２
４ ＋ ＝４ ∴ ＝ １＋２ ＝ ·（２ ２ ）· １＋２ ≤
２ ２
１ ａ ２ ｂ２ ２ １ ａ２ ｂ２ ９ 当且
［（２ ２ ） ＋（ １＋２ ） ］＝ （８ ＋２ ＋１）＝ ，
４ ２ ４ ２ ４ ２
专题九 圆锥曲线 ５９９
考法一 两直线的位置关系
例１ 已知直线ｌ ａｘ ｙ 和ｌ ｘ ａ ｙ ａ２ ．
１： ＋２ ＋６＝０ ２： ＋（ －１） ＋ －１＝０
试判断ｌ 与ｌ 是否平行 解析 由题意得圆心为Ｃ（ ， ），半径ｒ ．
（１） １ ２ ； １ ２ ＝２
当ｌ ｌ 时 求ａ的值．
（２） １⊥２ ， （ ） （ ）２ （ ）２ ， 点Ｐ在圆Ｃ上．
解析 解法一：（ ）当ａ 时，直线ｌ 的方程为ｘ ｙ １ ∵ ２＋１－１ ＋ ２－ ２－２ ＝４ ∴
１ ＝１ １ ＋２ ＋６＝
０ ，直线ｌ ２ 的方程为ｘ ＝０ ，ｌ １ 不平行于ｌ ２ ； 又ｋ ＰＣ＝ ２－ ２－２ ＝－１ ， ∴ 切线的斜率ｋ ＝－ｋ １ ＰＣ ＝１ ．
ａ ２＋１－１
当ａ 时，两条直线的方程可化为 ｌ ：ｙ ｘ ，ｌ ：ｙ 过点Ｐ的圆Ｃ的切线方程是ｙ （ ） ｘ （ ），即
≠１ １ ＝－ －３ ２ ＝ ∴ － ２－ ２ ＝ － ２＋１
２
{ ａ ｘ ｙ ．
１ ， － ＋１－２ ２＝０
１ ｘ （ａ ），由ｌ ｌ － ＝ ａ 解得ａ ． （ ） （ ）２ （ ）２ ， 点Ｍ在圆Ｃ外部．
ａ － ＋１ １∥２⇔ ２ １－ ＝－１ ２ ∵ ３－１ ＋ １－２ ＝５＞４ ∴
１－ （ａ ）， 当过点Ｍ的直线的斜率不存在时，直线方程为ｘ ，即ｘ
－３≠－ ＋１ ＝３ －３
综上可知，当ａ 时，ｌ ｌ ，否则ｌ 与ｌ 不平行． ．又点Ｃ（ ， ）到直线ｘ 的距离ｄ ｒ，
＝－１ １∥２ １ ２ ＝０ １ ２ －３＝０ ＝３－１＝２＝
（ ）当ａ 时，直线ｌ 与ｌ 不垂直； 直线ｘ 是圆的切线．
２ ＝１ １ ２ ∴ －３＝０
ａ 当切线的斜率存在时，设切线方程为ｙ ｋ（ｘ ），即ｋｘ ｙ
当ａ 时，两条直线的方程可化为 ｌ ：ｙ ｘ ，ｌ ：ｙ －１＝ －３ －
≠１ １ ＝－ －３ ２ ＝ ｋ ｋ
２ ｋ ，则圆心Ｃ到切线的距离ｄ ｜ －２＋１－３ ｜ ｒ ，
１
ａ
ｘ
－
（ａ
＋１
），由ｌ
１⊥
ｌ
２
得
－
ａ
· １
ａ＝－１
，解得ａ
＝
２ ．
＋１－３ ＝０ ＝
ｋ２ ＋１
＝ ＝２
１－ ２ １－ ３
解法二：（ １ ）由Ａ １ Ｂ ２－ Ａ ２ Ｂ １＝０ ，得ａ（ａ －１ ） －１×２＝０ ； 解得ｋ ＝ ４ ３ ． ∴ 切线方程为ｙ －１＝ ４ ３ （ｘ －３ ），即 ３ ｘ －４ ｙ －５＝０ ．
由Ａ Ｃ Ａ Ｃ ，得ａ（ａ２ ） ， 综上可得，过点Ｍ的圆Ｃ的切线方程为ｘ 或 ｘ ｙ ．
１ ２－ ２ １≠０ －１ －１×６≠０ －３＝０ ３ －４ －５＝０
因此ｌ ｌ
{ａ（ａ
－１
）
－１×２＝０
， {ａ２
－
ａ
－２＝０
，
ａ ． ＭＣ （ ）２ （ ）２ ，
１∥２⇔ ａ（ａ２ ） ⇔ ａ（ａ２ ） ⇒ ＝－１ ∵ ｜ ｜＝ ３－１ ＋ １－２ ＝ ５
－１ －１×６≠０ －１ ≠６ 过点Ｍ的圆Ｃ的切线长为 ＭＣ ２ ｒ２ ．
故当ａ 时，ｌ ｌ ，否则ｌ 与ｌ 不平行． ∴ ｜ ｜ － ＝ ５－４＝１
＝－１ １∥２ １ ２ 方法总结 １．求过圆上一点（ｘ ，ｙ ）的切线方程的方法
（ ）由Ａ Ａ Ｂ Ｂ ，得ａ （ａ ） ，故ａ ２ ． ０ ０
２ １ ２＋ １ ２＝０ ＋２ －１ ＝０ ＝ ３ 若切线斜率存在且不为零 ， 则先求切点和圆心连线的斜率
方法总结 位置关系的判断方法选择 ｋ 由垂直关系知切线斜率为 １ 由点斜式可求切线方程 若切
， － ｋ ， ；
１．若给的是斜截式方程 则选择运用斜率ｋ和截距ｂ来判断
， ； 线斜率不存在或为零 则可直接写出直线的方程为 ｘ ｘ 或ｙ
２．若给的是一般式方程 则用一般式方程Ａｘ Ｂｙ Ｃ 中的 ， ＝ ０ ＝
， ＋ ＋ ＝０ ｙ 检验该直线是不是切线．
系数Ａ Ｂ来判断． ０，
， ２．求过圆外一点（ｘ ，ｙ ）的圆的切线方程的方法
０ ０
几何法 当切线斜率存在时 设斜率为ｋ 则切线方程为
例 ｌ ｘ （ ｙ ２０１８ ｌ 广东 ｘ 江 ｍｙ 门４ 若 月模 ｌ 拟 关 ， 于 ３） ｌ 已 对 知 称 三 的 条 直 直 线 线 与 ｌ １ ｌ ：４ 垂 ｘ ＋ 直 ｙ ＝１ 则 ， ｙ 径 － 列 ｙ ０ （ 出 ＝ １ ｋ 关 ） （ ｘ 于 － ｘ ｋ ０） 的 ， ： 即 方程 ｋｘ － 解 ｙ ＋ 方 ｙ ０－ 程 ｋｘ 即 ０＝ 可 ０ 得 ， 由 ， 到 圆 ｋ 心 的 到 值 切 从 线 ， 而 的 可 距 得 离 切 等 线 于半 方
２： － ＝０，３：２ － ＝３， １ ２ ３ ， ， ，
实数ｍ的值是 程 当切线斜率不存在时 可直接写出切线的方程为ｘ ｘ ．
（ ） ； ， ＝ ０
代数法 当切线斜率存在时 设斜率为ｋ 则切线方程为
１ １ （２） ： ， ，
Ａ．－８ Ｂ．－ Ｃ．８ Ｄ． ｙ ｙ ｋ ｘ ｘ 即ｙ ｋｘ ｋｘ ｙ 代入圆的方程 得到一个关于ｘ
２ ２ － ０＝ （ － ０）， ＝ － ０＋ ０， ，
解析 易知直线ｌ ： ｘ ｙ 关于直线ｌ ：ｘ ｙ 对称的直 的一元二次方程 由Δ 求得ｋ值 从而得到切线方程 当切线
１ ４ ＋ ＝１ ２ － ＝０ ， ＝０ ， ；
线方程为ｘ ｙ ，又ｌ ： ｘ ｍｙ ，故由题意得 （ ｍ） 斜率不存在时 可直接写出切线的方程为ｘ ｘ ．
＋４ ＝１ ３ ２ － ＝３ １×２＋４× － ， ＝ ０
例３ 已知以点Ａ 为圆心的圆与直线ｌ ｘ ｙ
， ｍ １ ，故选 ． （－１，２） １： ＋２ ＋７＝
＝０ ∴ ＝ Ｄ 相切 过点Ｂ 的动直线ｌ与圆Ａ相交于Ｍ Ｎ两点 Ｑ是
２ ０ ， （－２，０） ， ，
答案 Ｄ ＭＮ的中点．
求圆Ａ的方程
（１） ；
当 ＭＮ 时 求直线ｌ的方程．
（２） ｜ ｜＝２ １９ ，
考法二 直线和圆的位置关系 解题导引 由直线ｌ 与圆Ａ相切求出圆Ａ的半径ｒ 从
（１） １ ，
例２ 已知点Ｐ （ ２＋１，２－ ２）， Ｍ （３，１）， 圆Ｃ ：（ ｘ －１） ２ ＋（ ｙ 而求出圆Ａ的方程． （２） 当直线ｌ的斜率不存在时 ， 写出直线ｌ的
方程 检验是否满足条件 当直线ｌ的斜率存在时 设出直线ｌ的
－２） ２ ＝４ ． ， ； ，
求过点Ｐ的圆Ｃ的切线方程 方程 由 ＭＮ ｒ２ ｄ２ ｒ２ ＡＱ ２ 及点到直线的
（１） ； ， ｜ ｜＝２ － ＝２ －｜ ｜ ＝２ １９
求过点Ｍ的圆Ｃ的切线方程 并求出切线长． 距离公式 可求出直线ｌ的斜率ｋ 从而得出ｌ的方程．
（２） ， ， ，
解题导引 解析 （ ）设圆Ａ的半径为ｒ，因为圆Ａ与直线ｌ ：ｘ ｙ
１ １ ＋２ ＋７＝
６００ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
解析 易 知 两 圆 相 交． 联 立 两 圆 的 方 程 得
０相切，所以ｒ ｜－１＋４＋７｜ ，
＝
５
＝２ ５ {ｘ２
＋
ｙ２
－２
ｘ
＋１０
ｙ
－２４＝０
，
两式相减整理得ｘ ｙ ，
所以圆Ａ的方程为（ｘ ＋１ ）２ ＋ （ｙ －２ ）２ ＝２０ ． ｘ２ ＋ ｙ２ ＋２ ｘ ＋２ ｙ －８＝０ ， －２ ＋４＝０
（
２
）当直线ｌ垂直于ｘ轴时，直线ｌ的方程为ｘ
＝－２
， 即为两圆公共弦所在直线的方程．
将ｘ
＝－２
代入圆Ａ的方程，得（
－２＋１
）２
＋
（ｙ
－２
）２
＝２０
，解得ｙ 解法一：设两圆相交于点Ａ，Ｂ，
，此时 ＭＮ ，则ｘ 符合题意． {ｘ ｙ ，
＝２± １９ ｜ ｜＝２ １９ ＝－２ 则Ａ，Ｂ两点的坐标满足方程组 －２ ＋４＝０
当直线ｌ与ｘ轴不垂直时，设直线ｌ的斜率为ｋ， ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ，
＋ ＋２ ＋２ －８＝０
则直线ｌ的方程为ｙ ｋ（ｘ ），即ｋｘ ｙ ｋ ． {ｘ ， {ｘ ，
＝ ＋２ － ＋２ ＝０ 解得 ＝－４ 或 ＝０
连接ＡＱ，因为Ｑ是ＭＮ的中点，所以ＡＱ ＭＮ， ｙ ｙ ．
⊥ ＝０ ＝２
所以 ( ｜ ＭＮ ｜ ) ２
＝
ｒ２
－｜
ＡＱ
｜
２，又
｜
ＭＮ
｜＝２ １９
，ｒ
＝２ ５
， 所以
｜
ＡＢ
｜＝
（
０＋４
）２
＋
（
２－０
）２
＝２ ５
，
２ 即公共弦长为 ．
所以 ＡＱ ． ２ ５
｜ ｜＝ ２０－１９＝１ 解法二：ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 可化为（ｘ ）２ （ｙ ）２ ，
ｋ ＋ －２ ＋１０ －２４＝０ －１ ＋ ＋５ ＝５０
即 ｜ －２｜ ， （ｋ ）２ ｋ２ ．解得ｋ ３ ． 则圆心坐标为（ ， ），半径ｒ ．
ｋ２
＋１
＝１ ∴ －２ ＝ ＋１ ＝
４
１ －５ ＝５ ２
（ ）
圆心到直线ｘ ｙ 的距离ｄ ｜１－２× －５ ＋４｜ ，
所以直线ｌ的方程为ｙ ＝ ３ （ｘ ＋２ ），即 ３ ｘ －４ ｙ ＋６＝０ ． －２ ＋４＝０ ＝ １ ２ ＋ （ －２ ）２ ＝３ ５
综上，满足题意的直线ｌ的 ４ 方程为ｘ
＝－２
或
３
ｘ
－４
ｙ
＋６＝０
． 设两圆的公共弦长为ｌ，由ｒ２
＝
ｄ２
＋
( ｌ ) ２ ，得ｌ
＝２
ｒ２
－
ｄ２
＝
方法总结 圆的弦长的求法 几何法 设圆的半径为 ｒ ２
：① ： ，
( ｌ ) ２ ２ （ ５ ２ ）２ － （ ３ ５ ）２ ＝２ ５ ，即两圆的公共弦长为 ２ ５ ．
弦心距为ｄ
，
弦长为ｌ
，
则
＝
ｒ２
－
ｄ２
；②
代数法
：
设弦所在直线
答案
２ ２ ５
ｙ ｋｘ ｂ与圆 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ ｒ 相交于Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ
＝ ＋ （ － ） ＋（ － ） ＝ （ ＞０） （ １， １）， （ ２，
{ｙ ｋｘ ｂ
ｙ 两点 可列方程组 ＝ ＋ ， 消去 ｙ 后得到一个 例 （２０１８河南郑州外国语中学３月调研，９）已知圆Ｃ ｘ
２） ， ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ １：（ ＋
（ － ） ＋（ － ） ＝ ， ａ ２ ｙ２ 和圆Ｃ ｘ２ ｙ ｂ ２ 只有一条公切线 若ａ ｂ
关于ｘ的一元二次方程 从而求得 ｘ ｘ ｘ ｘ 则弦长 ＡＢ ２ ） ＋ ＝４ ２： ＋（ － ） ＝１ ， ， ∈
， １＋ ２， １ ２， ｜ ｜ ＝
１＋ ｋ２ （ ｘ １＋ ｘ ２） ２ －４ ｘ １ ｘ ２ ． Ｒ且ａｂ ≠０， 则 ａ １ ２ ＋ｂ １ ２ 的最小值为 （ ）
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．８ Ｄ．９
例 （２０１８河北衡水中学五调，１３）设直线ａｘ ｙ 与圆 ｘ 解析 由题意可知，圆Ｃ 的圆心为（ ａ， ），半径为 ，圆
－ ＋３＝０ （ １ －２ ０ ２
２ ｙ ２ 相交于Ａ Ｂ两点 且弦长为 则ａ的值是 Ｃ 的圆心为（ ，ｂ），半径为 ，因为两圆只有一条公切线，所以
－１） ＋（ －２） ＝４ ， ， ２ ３， ２ ０ １
．
两圆内切，所以 （ ａ ）２ （ ｂ）２ ，即 ａ２ ｂ２ ．所以
解析 由题可知圆心为（ ， ），半径ｒ ， 圆心到直线 －２ －０ ＋ ０－ ＝２－１ ４ ＋ ＝１
１ ２ ＝２ ∴ æ ö ｂ２ ａ２ ｂ２ ａ２
ａｘ ｙ 的距离ｄ ｜ ａ －２＋３｜ ｜ ａ ＋１｜ ，由垂径定理和勾股定 ａ １ ２ ＋ｂ １ ２ ＝è ç ａ １ ２ ＋ｂ １ ２ ø ÷·（ ４ ａ２ ＋ ｂ２） ＝５＋ａ２ ＋ ４ ｂ２ ≥５＋２ ａ２ ·４ ｂ２ ＝
－ ＋３＝０ ＝
ａ２
＋１
＝
ａ２
＋１ ，当且仅当 ｂ２ ４ ａ２ ，且 ａ２ ｂ２ ，即ａ２ １ ，ｂ２ １ 时等号成
（ａ ）２ ９ ａ２ ＝ ｂ２ ４ ＋ ＝１ ＝ ＝
理可得，弦长 ｌ ｒ２ ｄ２，即 ２ ＋１ ， ６ ３
＝２ － ２ ３ ＝２ ２ － ａ２ ∴ ３＝４－
＋１ 立，所以 １ １ 的最小值为 ．故选 ．
（ａ ）２ ａ２ ＋ｂ２ ９ Ｄ
＋１ ，即ａ２ （ａ ）２，解得ａ ．
ａ２ ＋１＝ ＋１ ＝０ 答案 Ｄ
＋１
答案 思路分析 由题意可得两圆内切，根据两圆的标准方程
０
求出圆心和半径，利用两圆内切的性质可得 ａ２ ｂ２ ，再利用
４ ＋ ＝１
“ ”的代换及基本不等式即可求得 １ １ 的最小值．
考法三 圆和圆的位置关系 １ ａ２ ＋ｂ２
例４ 已知圆Ｃ ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 和圆Ｃ ｘ２ ｙ２ ｘ
１： ＋ －２ ＋１０ －２４＝０ ２： ＋ ＋２
ｙ 则两圆的公共弦长为 ．
＋２ －８＝０，
解题导引
专题九 圆锥曲线 ６０１
６．（２０２０山东枣庄、滕州期末，７）已知直线ｌ ｋｘ ｙ ｋ Ｒ 与
１： ＋ ＝０（ ∈ ）
直线ｌ ｘ ｋｙ ｋ 相交于点Ａ 点Ｂ是圆 ｘ ２ ｙ ２
２： － ＋２ －２＝０ ， （ ＋２） ＋（ ＋３）
上的动点 则 ＡＢ 的最大值为
考法一 两直线的位置关系 ＝２ ， ｜ ｜ （ ）
１．（２０２０浙江高三部分校联考，４）已知直线ｌ ｘ ａ ｙ ａ Ａ．３ ２ Ｂ．５ ２ Ｃ．５＋２ ２ Ｄ．３＋２ ２
１： ＋（２ －１） ＋２ － 答案 Ｃ
３＝０，
ｌ
２：
ａｘ
＋３
ｙ
＋
ａ２
＋４＝０，
则
“
ａ
＝
２
３
”
是
“
ｌ
１∥
ｌ
２”
的
（ ）
７．（
经
２０
ｙ
１
轴
９
反
河
射
北
后
衡
所
水
在
金
直
卷
线
，１
与
４）
圆
过
ｘ２
Ｍ
ｙ
（
２
－３，
存
１）
在
，
Ｎ
公
（
共
０，
点
ａ
）
两
则
点
实
的
数
光
ａ
线
的
充分不必要条件 必要不充分条件 ＋ ＝１ ，
Ａ． Ｂ． 取值范围为 ．
充要条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ． [ ]
答案 Ｃ 答案 ５
－ ，１
２．（多选题）（２０２０江苏启东检测，９）已知直线ｌ
：（
ａ２
＋
ａ
＋１）
ｘ
－
ｙ
８．（２０２０江苏南
４
通、如皋教学质量调研（二），１７）已知圆Ｃ ｘ２
其中ａ Ｒ 下列说法正确的是 ： ＋
＋１＝０， ∈ ， （ ） ｙ２ ｘ ａｙ ａ Ｒ 过定点Ｐ 作斜率为 的直线交
当ａ 时 直线ｌ与直线ｘ ｙ 垂直 －４ ＋ ＋１＝０（ ∈ ）， （０，１） －１
Ａ． ＝－１ ， ＋ ＝０ 圆Ｃ于Ａ Ｂ两点 Ｐ为ＡＢ的中点．
若直线ｌ与直线ｘ ｙ 平行 则ａ 、 ，
Ｂ． － ＝０ ， ＝０ 求实数ａ的值
直线ｌ过定点 （１） ；
Ｃ． （０，１） 从圆外一点Ｍ 向圆 Ｃ 引一条切线 切点为 Ｎ 且有 ＭＮ
当ａ 时 直线ｌ在两坐标轴上的截距相等 （２） ， ， ＝
Ｄ． ＝０ ， ＭＰ 求ＭＮ的最小值．
答案 ＡＣ ２ ，
３．（２０２０浙江杭州四中月考，１７） 求两条垂直的直线 ｘ ａｙ 考法三 圆和圆的位置关系
（１） ２ ＋ ＋
和ｘ ｙ 的交点坐标
２＝０ ＋２ ＋１＝０ ； ９．（２０２０山东六地部分学校线上测试，７）已知圆Ｃ ｘ２ ｙ２ ｘ
（２） 求平行于直线ｘ － ｙ －２＝０， 且与它的距离为 ２ 的直线方程 ４ ｙ ＋４＝０， 圆Ｃ ２： ｘ２ ＋ ｙ２ －４ ｘ ＋４ ｙ －１＝０， 则圆Ｃ １ 与圆 １ Ｃ ： ２ ＋ （ ＋２ ） －
相交 外切 内切 外离
考法二 直线和圆的位置关系 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案 Ｄ
４．（２０２０山东聊城第一中学月考，５）已知圆Ｃ与直线ｙ ｘ及ｘ
＝－ １０．（２０２０山东聊城高考模拟，５）圆ｘ２ ｙ２ 与圆ｘ２ ｙ２ ｘ
ｙ 都相切 圆心在直线ｙ ｘ上 则圆Ｃ的方程为 ＋ ＝５０ ＋ －１２ －
＋ －４＝０ ， ＝ ， （ ） ｙ 的公共弦长为
ｘ ２ ｙ ２ ｘ ２ ｙ ２ ６ ＋４０＝０ （ ）
Ａ．（ －１） ＋（ －１） ＝２ Ｂ．（ －１） ＋（ ＋１） ＝２
ｘ ２ ｙ ２ ｘ ２ ｙ ２ Ａ． ５ Ｂ． ６ Ｃ．２ ５ Ｄ．２ ６
Ｃ．（ ＋１） ＋（ －１） ＝４ Ｄ．（ ＋１） ＋（ ＋１） ＝４ 答案 Ｃ
答案 Ａ
１１．（多选题）（２０１９山东枣庄期中，１０）已知圆Ｃ ｘ２ ｙ２ ｒ２ 圆
５．（多选题）（２０２０山东德州期末，６）已知点Ａ是直线ｌ ｘ ｙ １： ＋ ＝ ，
： ＋ － ２ Ｃ ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ ｒ 交于不同的 Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ
＝０
上一定点
，
点Ｐ
、
Ｑ是圆ｘ２
＋
ｙ２
＝１
上的动点
，
若
∠
ＰＡＱ的最
ｙ
２：
两
（
点
－ ）
下
＋
列
（
结
－
论
）
正
＝
确的
（
有
＞０） （ １， １）， （ ２，
大值为 ° 则点Ａ的坐标可以是 ２） ， （ ）
９０ ， （ ） ａ ｘ ｘ ｂ ｙ ｙ ａｘ ｂｙ ａ２ ｂ２
Ａ． （ １－ ２）＋ （ １－ ２）＝０ Ｂ．２ １＋２ １＝ ＋
Ａ．（０， ２） Ｂ．（１， ２－１） Ｃ．（ ２，０） Ｄ．（ ２－１，１） ｘ ｘ ａ ｙ ｙ ｂ
答案 ＡＣ Ｃ． １＋ ２＝ Ｄ． １＋ ２＝２
答案 ＡＢＣ
则实数ａ ．
＝
答案 或
（０，－２）；３ －１
解析 在直线ｌ 的方程中 令ｘ 得ｙ 则直线ｌ 过定
考法一 两直线的位置关系 １ ， ＝０， ＝－２， １
ａ２
点 ．由两直线平行得 ａ －３ 解得ａ 或 经检
１．（２０１８浙江９＋１高中联盟期中，３） ｍ 是 直线 ｘ ｍ ｙ （０，－２） － ＝－ ， ＝３ －１，
“ ＝２” “ ２ ＋（ ＋１） ２
与直线ｍｘ ｙ 平行 的 验知此时两直线平行．
＋４＝０ ＋３ －２＝０ ” （ ）
充分不必要条件 ３．（２０１７天津和平四模，１２）经过圆ｘ２ ｘ ｙ２ 的圆心 且与
Ａ． ＋２ ＋ ＝０ ，
必要不充分条件 直线ｘ ｙ 垂直的直线方程是 ．
Ｂ． ＋ －２＝０
充分必要条件 答案 ｘ ｙ
Ｃ． － ＋１＝０
既不充分也不必要条件 解析 将圆的方程化为标准方程 即 ｘ ２ ｙ２
Ｄ． ， （ ＋１） ＋ ＝１，
答案 Ａ 当ｍ 时 两直线不平行． 可得圆心坐标为 ．
＝－１ ， （－１，０）
ｍ 直线ｘ ｙ 的斜率为
当ｍ 时 由两直线平行可得 ２ 且 ４ ２ 解 ∵ ＋ －２＝０ －１，
≠－１ ， －ｍ ＝－ ， －ｍ ≠ ， 与直线ｘ ｙ 垂直的直线的斜率为 ．
＋１ ３ ＋１ ３ ∴ ＋ －２＝０ １
得ｍ 或ｍ 则所求直线方程为ｙ ｘ 即ｘ ｙ ．
＝２ ＝－３， －０＝１×（ ＋１）， － ＋１＝０
ｍ 是 直线 ｘ ｍ ｙ 与直线ｍｘ ｙ 平 解题分析 本题考查两直线垂直与斜率的关系 是基础题．
∴ “ ＝２” “ ２ ＋（ ＋１） ＋４＝０ ＋３ －２＝０ ，
行 的充分不必要条件 故选 ．
” ， Ａ
２．（２０１８浙江高考模拟卷，１１）已知直线ｌ ａｘ ｙ ｌ ａ２ 考法二 直线和圆的位置关系
１： ＋ ＋２＝０， ２：（ －
ｘ ｙ 若ａ Ｒ 则直线ｌ 过定点 若ｌ ｌ １．（２０１８浙江新高考调研卷五（绍兴一中），６）在平面直角坐标
３） ＋２ ＋１＝０， ∈ ， １ ； １∥ ２，
６０２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
系ｘＯｙ中 以 为圆心 且与直线ｍｘ ｙ ｍ ｍ Ｒ 解析 将ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 化为标准方程为 ｘ ２ ｙ
， （０，１） ， － －２ －１＝０（ ∈ ） ＋ ＋１０ ＋１０ ＝０ （ ＋５） ＋（ ＋
相切的所有圆中 ， 面积最大的圆的标准方程是 （ ） ５） ２ ＝５０， 则圆心坐标为 （－５，－５）， 半径为 ５ ２ ．
ｘ２ ｙ ２ ｘ２ ｙ ２ 由题意可知圆心Ｃ在ＡＯ的垂直平分线ｙ 上
Ａ． ＋（ －１） ＝２ Ｂ． ＋（ －１） ＝４ ＝－３ ，
ｘ２ ｙ ２ ｘ２ ｙ ２ 因为圆心Ｃ在点 与原点的连线ｙ ｘ上
Ｃ． ＋（ －１） ＝８ Ｄ． ＋（ －１） ＝１６ （－５，－５） ＝ ，
答案 Ｃ 直线ｍｘ ｙ ｍ 过定点 故圆心到定 所以点 Ｃ 的坐标为 则圆 Ｃ 的半径 ｒ
－ －２ －１＝０ （２，－１）， （－ ３， － ３）， ＝
点的距离为 以此为半径 圆的面积最大．故选 ．
２ ２， ， Ｃ （－３－０） ２ ＋（－３－０） ２ ＝３ ２ ．
２．（２０１７天津河西一模，６）已知双曲线的中心在原点
，
焦点在ｘ
所以圆Ｃ的方程为 （ ｘ ＋３） ２ ＋（ ｙ ＋３） ２ ＝１８ ．
轴上 ， 若其渐近线与圆ｘ２ ＋ ｙ２ －４ ｙ ＋３＝０ 相切 ， 则此双曲线的离 ２．（２０１７天津十二区县二模，１２）已知两圆ｘ２ ＋ ｙ２ ＝１０ 和 （ ｘ －１） ２
心率等于
（ ） ＋（ ｙ － ａ ） ２ ＝２０ 相交于Ａ 、 Ｂ两个不同的点 ， 且直线ＡＢ与直线 ３ ｘ
ｙ 垂直 则实数ａ ．
１ － ＋１＝０ ， ＝
Ａ． Ｂ．２ Ｃ． ３ Ｄ． ２
２ 答案
３
答案 Ｂ 取双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的一条渐近线ｙ 解析 由题意 两圆相减可得ＡＢ ｘ ａｙ ａ２
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ＝
直线 ＡＢ与直线
，
ｘ ｙ 垂直
：２ ＋２ － ＋９＝０，
ｂ ∵ ３ － ＋１＝０ ，
ｘ 即ｂｘ ａｙ ．
ａ ， － ＝０ １ ａ ．
∴ － ａ ×３＝－１，∴ ＝３
将圆ｘ２ ＋ ｙ２ －４ ｙ ＋３＝０ 化为ｘ２ ＋（ ｙ －２） ２ ＝１， 则圆心坐标为 （０， 解题分析 本题考查圆与圆的位置关系 考查两条直线垂直
半径ｒ ． ，
２）， ＝１ 位置关系的运用 属于中档题．
∵
渐近线与圆ｘ２
＋
ｙ２
－４
ｙ
＋３＝０
相切
， ３．（２０１９江苏如东
，
高级中学高三第二次学情检测，１３）在平面直
ａ
∴
｜
ｂ
２
２ ＋
｜
ａ２ ＝１，
即
３
ａ２
＝
ｂ２． 角坐
２
标系
相
ｘ
交
Ｏｙ
于
中
Ａ ，
圆
Ｂ两
Ｏ
： 点
ｘ２
＋ 若
ｙ２
在 ＝
ｒ
直
２
（ 线
ｒ
＞０ Ａ ） Ｂ
与
上
圆
存在
Ｍ
： 一 （ 点
ｘ
－２ Ｐ ）
２
使 ＋（ Ｐ→Ｏ
ｙ
－２
３） ＝４ ， ， ， ·
该双曲线的离心率ｅ
ｃ ｃ２ ａ２
＋
ｂ２
． Ｐ→Ｍ 成立 则ｒ的取值范围是 ．
∴ ＝ ａ ＝ ａ２ ＝ ａ２ ＝ １＋３＝２ ≤０ ，
答案
故选 ． （２，２ ５］
Ｂ 解析 圆Ｏ与圆Ｍ相交于Ａ Ｂ两点
解题分析 熟练掌握双曲线的渐近线方程 直线与圆相切的 ∵ ， ，
、 ｒ ＯＭ ｒ ．
性质 点到直线的距离公式 离心率的计算公式是解题的关键． ∴ ｜ －２｜＜｜ ｜＜ ＋２
、 、
３．（２０１７天津耀华中学二模，１０）已知圆的方程为ｘ２ ＋ ｙ２ －６ ｘ －８ ｙ 又Ｏ （０，０）， Ｍ （２，２ ３），
＝０，
设该圆过点
（３，５）
的最长弦和最短弦分别为ＡＣ和ＢＤ
，
则
∴ ｜
ｒ
－２｜＜４＜
ｒ
＋２，∴２＜
ｒ
＜６
．
四边形ＡＢＣＤ的面积为 ． 直线ＡＢ上存在一点Ｐ 使Ｐ→Ｏ Ｐ→Ｍ 成立
∵ ， · ≤０ ，
答案 直线ＡＢ与线段ＯＭ相交
解析 ２ 圆 ０ 的 ６ 标准方程为 （ ｘ －３） ２ ＋（ ｙ －４） ２ ＝２５， 则ＡＣ ＝２ ｒ ＝１０， ∴ 联立两圆的方程 {ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ｒ２ ， ， ①
又点 （３，５） 到圆心的距离为 １，∴ ＢＤ ＝２ ｒ２ －１＝４ ６， 又易知 （ ｘ －２） ２ ＋（ ｙ －２ ３） ２ ＝４，②
可得直线ＡＢ的方程为 ｘ ｙ ｒ２ ．
ＡＣ ＢＤ 四边形ＡＢＣＤ的面积为 １ ． ①－② ４ ＋４ ３ －１２－ ＝０
⊥ ，∴ ×１０×４ ６＝２０ ６ ＡＢ与ＯＭ相交
２ ∵ ，
则点Ｍ 在直线ＡＢ的右上方
考法三 圆和圆的位置关系 （２，２ ３） ，
因此 ｒ２
１．（２０１８江苏镇江期末）已知圆Ｃ与圆ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 相切 ８＋２４－１２－ ≥０，
＋ ＋１０ ＋１０ ＝０ ｒ２ ｒ ．
于原 点 且 过 点 Ａ 则 圆 Ｃ 的 标 准 方 程 ∴ ≤２０，∴０＜ ≤２ ５
， （０， － ６）， 又 ｒ ｒ ．
为 ． ∵２＜ ＜６，∴２＜ ≤２ ５
答案 （ ｘ ＋３） ２ ＋（ ｙ ＋３） ２ ＝１８ 故ｒ的取值范围为 （２，２ ５］ ．
考点 直线、圆的位置关系
Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７
１．（２０２０课标Ⅲ文，８，５分）点 到直线ｙ ｋ ｘ 距离的 答案 Ａ
（０，－１） ＝ （ ＋１）
最大值为 ４．（２０２０课标Ⅰ文，６，５分）已知圆ｘ２ ｙ２ ｘ 过点 的
（ ） ＋ －６ ＝０， （１，２）
直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
（ ）
Ａ．１ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ．２
答案 Ｂ
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
２．（２０２０课标Ⅱ，文８，理５，５分）若过点 的圆与两坐标轴 答案 Ｂ
（２，１）
都相切 则圆心到直线 ｘ ｙ 的距离为 ５．（２０２０课标Ⅲ理，１０，５分）若直线ｌ与曲线ｙ ｘ和圆ｘ２ ｙ２
， ２ － －３＝０ （ ） ＝ ＋ ＝
５ ２ ５ ３ ５ ４ ５ １ 都相切 则ｌ的方程为
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ， （ ）
５ ５ ５ ５ ５
答案 Ｂ
ｙ ｘ ｙ ｘ １ ｙ １ ｘ ｙ １ ｘ １
３．（２０２０北京，５，４分）已知半径为 的圆经过点 则其圆 Ａ． ＝２ ＋１ Ｂ． ＝２ ＋ Ｃ． ＝ ＋１ Ｄ． ＝ ＋
１ （３，４）， ２ ２ ２ ２
心到原点的距离的最小值为 答案 Ｄ
（ ）
专题九 圆锥曲线 ６０３
６．（２０２０课标Ⅰ理，１１，５分）已知 ☉ Ｍ ： ｘ２ ＋ ｙ２ －２ ｘ －２ ｙ －２＝０， 直线ｌ ：２ ｘ ＋ Ｐ æ ç ３ ö ÷ Ａ Ｂ是圆Ｃ ｘ２ ( ｙ １ ) ２ 上的两个动点 满足
ｙ Ｐ为ｌ上的动点．过点Ｐ作 Ｍ的切线ＰＡ ＰＢ 切点为Ａ è ，０ø， ， ： ＋ － ＝３６ ，
＋２＝０， ☉ ， ， ， ２ ２
Ｂ 当 ＰＭ ＡＢ 最小时 直线ＡＢ的方程为 ＰＡ ＰＢ 则 ＰＡＢ面积的最大值是 ．
， ｜ ｜·｜ ｜ ， （ ） ＝ ， △
ｘ ｙ ｘ ｙ 答案
Ａ．２ － －１＝０ Ｂ．２ ＋ －１＝０
１０ ５
Ｃ．
答
２ ｘ
案
－ ｙ ＋１
Ｄ
＝０ Ｄ．２ ｘ ＋ ｙ ＋１＝０ １２．（
于
２０
Ａ
１
，
Ｂ
８
两
课
点
标
，
Ⅰ
则
，１
｜
Ａ
５
Ｂ
，５
｜＝
分 ） 直 线 ｙ
．
＝ ｘ ＋１ 与圆ｘ２ ＋ ｙ２ ＋２ ｙ －３＝０ 交
７．（２０１８课标Ⅲ，８，５分）直线ｘ ｙ 分别与ｘ轴 ｙ轴交于
＋ ＋２＝０ ， 答案
Ａ ， Ｂ两点 ， 点Ｐ在圆 （ ｘ －２） ２ ＋ ｙ２ ＝２ 上 ， 则 △ ＡＢＰ面积的取值范 １３．（２０１６ 课 ２ 标 ２ Ⅰ，１５，５分）设直线ｙ ｘ ａ与圆Ｃ ｘ２ ｙ２ ａｙ
围是 ＝ ＋２ ： ＋ －２ －
（ ） 相交于 Ａ Ｂ 两点 若 ＡＢ 则圆 Ｃ 的面
２＝ ０ ， ， ｜ ｜ ＝ ２ ３，
Ａ．［２，６］ Ｂ．［４，８］ 积为 ．
Ｃ．［ ２，３ ２］ Ｄ．［２ ２，３ ２］ 答案
答案 Ａ ４π
８．（２０１６ 课标Ⅱ，４，５分）圆ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 的圆心到直线
１４．（２０１６课标Ⅲ，１５，５分）已知直线ｌ
：
ｘ
－ ３
ｙ
＋６＝０
与圆ｘ２
＋
ｙ２
＋ －２ －８ ＋１３＝０ 交于Ａ Ｂ两点 过Ａ Ｂ分别作ｌ的垂线与ｘ轴交于Ｃ Ｄ
ａｘ ｙ 的距离为 则ａ ＝１２ ， ， ， ，
＋ －１＝０ １， ＝ （ ） 两点．则 ＣＤ ．
｜ ｜＝
４ ３ 答案
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． ３ Ｄ．２ ４
３ ４ １５．（２０１８江苏，１２，５分）在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中 Ａ为直线
答案 Ａ ，
ｌ ｙ ｘ上在第一象限内的点 Ｂ 以ＡＢ为直径的圆Ｃ
９．（２０１６北京，５，５分）圆 ｘ ２ ｙ２ 的圆心到直线ｙ ｘ ： ＝２ ， （５，０），
（ ＋１） ＋ ＝２ ＝ ＋３
的距离为 与直线ｌ交于另一点 Ｄ．若→ＡＢ Ｃ→Ｄ 则点 Ａ 的横坐标为
（ ） · ＝０，
．
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ． ２ Ｄ．２ ２ 答案
答案 Ｃ
３
１０．（２０１ ８ 北京，７，５ 分）在平面直角坐标系中 记 ｄ 为点 １６．（２０１７课标Ⅲ，２０，１２分）在直角坐标系ｘＯｙ中 ， 曲线ｙ ＝ ｘ２ ＋
Ｐ （ｃｏｓ θ ，ｓｉｎ θ ） 到直线ｘ － ｍｙ －２＝０ 的距离．当 θ ， ， ｍ变化时 ， ｄ ｍ 时 ｘ － 解 ２ 答 与 下 ｘ轴 列问 交 题 于Ａ ， Ｂ两点 ， 点Ｃ的坐标为 （０，１） ．当ｍ变化
的最大值为
， ：
（ ） 能否出现ＡＣ ＢＣ的情况 说明理由
（１） ⊥ ？ ；
Ａ． 答 １ 案 Ｃ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 证明过Ａ Ｂ Ｃ三点的圆在ｙ轴上截得的弦长为定值．
（２） ， ，
１１．（２０２０江苏，１４，５ 分）在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中 已知
，
考点 直线、圆的位置关系 ｋ ｋ
反射光线所在直线与圆相切 ｜－３ －２－２ －３｜ 解得ｋ
１．（２０１２浙江理，３，５分）设ａ Ｒ 则 ａ 是 直线ｌ ａｘ ｙ ∵ ，∴ ｋ２ ＝１， ＝
∈ ， “ ＝１” “ １： ＋２ － ＋１
与直线ｌ ｘ ａ ｙ 平行 的
１＝０ ２： ＋（ ＋１） ＋４＝０ ” （ ） ４ 或ｋ ３ ．
充分不必要条件 必要不充分条件 － ＝－
Ａ． Ｂ． ３ ４
充分必要条件 既不充分也不必要条件 评析 本题主要考查直线和圆的位置关系．
Ｃ． Ｄ．
ａ ４．（２０１５重庆理，８，５分）已知直线ｌ ｘ ａｙ ａ Ｒ 是圆Ｃ
答案 Ａ 由ｌ ｌ 得 １ 解得ａ 或ａ 代入 ： ＋ －１＝０（ ∈ ） ：
１∥２， －
２
＝－ａ
＋１
， ＝１ ＝－２， ｘ２
＋
ｙ２
－４
ｘ
－２
ｙ
＋１＝０
的对称轴．过点Ａ
（－４，
ａ
）
作圆Ｃ的一条切
检验符合 即 ａ 是 ｌ ｌ 的充分不必要条件 故选 ． 线 切点为Ｂ 则 ＡＢ
， “ ＝１” “ １∥２” ， Ａ ， ， ｜ ｜＝ （ ）
评析 本题考查两直线平行和充要条件的判断，考查运算求解
能力． Ａ．２ Ｂ．４ ２ Ｃ．６ Ｄ．２ １０
答案 Ｃ 圆Ｃ的标准方程为 ｘ ２ ｙ ２ ２ 圆心为
２．（２０１５广东理，５，５分）平行于直线
２
ｘ
＋
ｙ
＋１＝０
且与圆ｘ２
＋
ｙ２
＝ Ｃ 半 径ｒ 由直线 ｌ 是圆
（
Ｃ
－２
的
）
对
＋（
称轴
－１）
知
＝
直
２
线
，
ｌ 过点
相切的直线的方程是 （２，１）， ＝２， ，
５ （ ） Ｃ 所以 ａ ａ 所以Ａ 于是 ＡＣ ２
， ２＋ ×１－１＝０， ＝－１， （－４，－１）， ｜ ｜ ＝４０，
ｘ ｙ 或 ｘ ｙ ｘ ｙ 或 ｘ ｙ
Ａ．２ ＋ ＋５＝０ ２ ＋ －５＝０ Ｂ．２ ＋ ＋ ５＝０ ２ ＋ － ５＝０ 所以 ＡＢ ＡＣ ２ ２ ．故选 ．
ｘ ｙ 或 ｘ ｙ ｘ ｙ 或 ｘ ｙ ｜ ｜＝ ｜ ｜ －２ ＝ ４０－４＝６ Ｃ
Ｃ．２ － ＋５＝０ ２ － －５＝０ Ｄ．２ － ＋ ５＝０ ２ － － ５＝０ ５．（２０１４课标Ⅱ文，１２，５分）设点Ｍ ｘ 若在圆Ｏ ｘ２ ｙ２
答案 Ａ 切线平行于直线 ｘ ｙ 故可设切线方程为 （ ０，１）， ： ＋ ＝１
２ ＋ ＋１＝０， 上存在点Ｎ 使得 ＯＭＮ ° 则ｘ 的取值范围是
ｃ ， ∠ ＝４５ ， ０ （ ）
ｘ ｙ ｃ ｃ 结合题意可得｜ ｜ 解得ｃ ．故选 ． [ ] é ù
２ ＋ ＋ ＝０（ ≠１）， ＝ ５， ＝±５ Ａ ． ． １ １ ． ．êê ２ ２úú
５ Ａ［－１，１］ Ｂ － ， Ｃ［－ ２， ２］ Ｄ ë－ ， û
３．（２０１５山东理，９，５分）一条光线从点 射出 经ｙ轴反射 ２ ２ ２ ２
（－２，－３） ， 答案 Ａ 解法一 过Ｍ作圆Ｏ的两条切线ＭＡ ＭＢ 切点分
后与圆 （ ｘ ＋３） ２ ＋（ ｙ －２） ２ ＝１ 相切 ， 则反射光线所在直线的斜率为 别为Ａ Ｂ 若 在圆Ｏ ： 上存在点Ｎ 使 ＯＭＮ ° 、 则 ， ＯＭＢ
、 ， ， ∠ ＝４５ ， ∠ ≥
（ ） ＯＭＮ ° 所以 ＡＭＢ ° 所以 ｘ 故选 ．
∠ ＝４５ ， ∠ ≥９０ ， －１≤ ０≤１， Ａ
５ 或 ３ ３ 或 ２ ５ 或 ４ ４ 或 ３ 解法二 过Ｏ作ＯＰ ＭＮ于Ｐ 则 ＯＰ ＯＭ °
Ａ．－ － Ｂ．－ － Ｃ．－ － Ｄ．－ － ： ⊥ ， ｜ ｜＝｜ ｜ｓｉｎ４５ ≤１，
３ ５ ２ ３ ４ ５ ３ ４
答案 Ｄ 由题意可知反射光线所在直线过点 设反 ＯＭ 即 ｘ２
（２，－３）， ∴ ｜ ｜≤ ２， ０＋１≤ ２，
射光线所在直线方程为ｙ ｋ ｘ 即ｋｘ ｙ ｋ ． ｘ２ 即 ｘ 故选 ．
＋３＝ （ －２）， － －２ －３＝０ ∴ ０≤１， －１≤ ０≤１， Ａ
６０４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
圆Ｏ ｘ２ ｙ２ ｍ２ 有公共点 所以 ｍ ＯＣ ｍ 易知
： ＋ ＝ ， ｜ －１｜≤｜ ｜≤ ＋１，
ＯＣ 所以 ｍ 故ｍ的最大值为 ．选 ．
｜ ｜＝５， ４≤ ≤６， ６ Ｂ
１０．（２０１３重庆理，７，５ 分）已知圆Ｃ ｘ ２ ｙ ２ 圆
１：（ －２） ＋（ －３） ＝１，
Ｃ ｘ ２ ｙ ２ Ｍ Ｎ分别是圆Ｃ Ｃ 上的动点 Ｐ为
２：（ －３） ＋（ －４） ＝９， ， １， ２ ，
ｘ轴上的动点 则 ＰＭ ＰＮ 的最小值为
， ｜ ｜＋｜ ｜ （ ）
Ａ．５ ２－４ Ｂ． １７－１ Ｃ．６－２ ２ Ｄ． １７
答案 Ａ 圆Ｃ Ｃ 如图所示．
评析 本题考查直线与圆的位置关系，体现了数形结合的思想 １， ２
方法．
６．（２０１４浙江文，５，５分）已知圆ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ａ 截直线ｘ ｙ
＋ ＋２ －２ ＋ ＝０ ＋
所得弦的长度为 则实数ａ的值是
＋２＝０ ４， （ ）
Ａ．－２ Ｂ．－４ Ｃ．－６ Ｄ．－８
答案 Ｂ 将圆的方程化为标准方程为 ｘ ２ ｙ ２
（ ＋１） ＋（ －１） ＝２－
ａ 所以圆心为 半径ｒ ａ 圆心到直线ｘ ｙ
， （－１，１）， ＝ ２－ ， ＋ ＋２＝０
的距离ｄ ｜－１＋１＋２｜ 故ｒ２ ｄ２ 即 ａ 所以ａ
＝ ＝ ２， － ＝４， ２－ －２＝４， ＝
２
故选 ． 设Ｐ是ｘ轴上任意一点 则 ＰＭ 的最小值为 ＰＣ 同理
－４， Ｂ ， ｜ ｜ ｜ １｜－１，
７．（２０１４安徽文，６，５分）过点Ｐ
（－ ３，－１）
的直线ｌ与圆ｘ２
＋
ｙ２ 可得
｜
ＰＮ
｜
的最小值为
｜
ＰＣ
２｜－３，
则
｜
ＰＭ
｜＋｜
ＰＮ
｜
的最小值为
＝１
有公共点
，
则直线ｌ的倾斜角的取值范围是
（ ） ｜
ＰＣ
１｜＋｜
ＰＣ
２｜－４
．作Ｃ
１
关于ｘ轴的对称点Ｃ
１
′
（２，－３），
连接Ｃ′
( ] ( ] [ ] [ ] Ｃ 与ｘ轴交于点Ｐ 连接ＰＣ 根据三角形两边之和大于第三
Ａ． ０， π Ｂ． ０， π Ｃ． ０， π Ｄ． ０， π １ 边 ２， 可知 ＰＣ ＰＣ ， 的最小值 １， 为 Ｃ′Ｃ 则 ＰＭ ＰＮ 的最
６ ３ ６ ３ ｜ １｜＋｜ ２｜ ｜ １ ２｜， ｜ ｜＋｜ ｜
答案 Ｄ 过Ｐ点作圆的切线ＰＡ ＰＢ 连接ＯＰ 如图所示． 小值为 ．选 ．
、 ， ， ５ ２－４ Ａ
评析 本题考查了圆的标准方程及圆的几何性质等知识，同
时又考查了数形结合思想、转化思想．把折线段长的和转化成
两点间的距离是本题的关键．
１１．（２０１１浙江文，１２，４分）若直线ｘ ｙ 与直线 ｘ ｍｙ
－２ ＋５＝０ ２ ＋ －６
互相垂直 则实数ｍ ．
＝０ ， ＝
答案
１
显然 ， 直线ＰＡ的倾斜角为 ０， 又ＯＰ ＝ （－ ３） ２ ＋（－１） ２ ＝２， ＰＡ 解析 依题意ｍ 所以由 ( ２ ) １ 得ｍ ．
≠０， －ｍ × ＝－１， ＝１
ＯＡ 因此 ＯＰＡ π 由对称性知 直线ＰＢ的倾斜角 ２
＝ ３， ＝１， ∠ ＝ ， ， 评析 本题考查两条直线垂直的充要条件，属容易题．注意与
６
平行的区别．
为π．若直线ｌ与圆有公共点 由图形知其倾斜角的取值范围
， １２．（２０１９天津理，１２，５ 分）设 ａ Ｒ 直线 ａｘ ｙ 和圆
３ ∈ ， － ＋２＝０
[ ] {ｘ θ
是 π ．故选 ． ＝２＋２ｃｏｓ ， θ为参数 相切 则ａ的值为 ．
０， Ｄ ｙ θ （ ） ，
３ ＝１＋２ｓｉｎ
８．（２０１６山东文，７，５分）已知圆Ｍ ｘ２ ｙ２ ａｙ ａ 截直线
： ＋ －２ ＝０（ ＞０） 答案 ３
ｘ ＋ ｙ ＝０ 所得线段的长度是 ２ ２ ．则圆Ｍ与圆Ｎ ：（ ｘ －１） ２ ＋（ ｙ － 解析 本 ４ 题考查了圆的方程和直线与圆的位置关系 通过
１） ２ ＝１ 的位置关系是 （ ） 直线与 圆相切的条件考查了数学运算和数形结合的思 ， 想方
内切 相交
Ａ．
外切
Ｂ．
相离
法 体现了直观想象 数学运算的核心素养．
， 、
Ｃ．
答案 Ｂ 由题意知圆Ｍ的
Ｄ
圆
．
心为 ａ 半径Ｒ ａ 因为
解法一
：
由圆的参数方程知圆心为
（２，１），
半径ｒ
＝２，
因为直
（０， ）， ＝ ， 线与圆相切 所以圆心到直线的距离等于半径 即
圆Ｍ截直线ｘ ｙ 所得线段的长度为 所以圆心Ｍ到直 ， ，
＋ ＝０ ２ ２， ａ
ａ ｜２ －１＋２｜ 解得ａ ３ ．
线ｘ
＋
ｙ
＝０
的距离ｄ
＝
｜ ｜
＝
ａ２
－２（
ａ
＞０），
解得ａ
＝２，
又知圆Ｎ
ａ２ ＋（－１） ２
＝２， ＝
４
２ 解法二 如图 由圆的参数方程消去θ 得普通方程为 ｘ ２
的圆心为 半径ｒ 所以 ＭＮ 则Ｒ ｒ Ｒ ｒ ： ， ， （ －２） ＋
（１，１）， ＝１， ｜ ｜＝ ２， － ＜ ２＜ ＋ ， ｙ ２ 设圆心为Ｃ 圆与ｙ轴切于点Ｄ 易知直线过定点
所以两圆的位置关系为相交 故选 ． （ －１） ＝４， ， ，
， Ｂ
思路分析 利用直线被圆所截得的线段的长度构造关于ａ的 Ａ 设 ＣＡＤ θ 易求得 θ 则ａ １
（０，２）， ∠ ＝ ， ｔａｎ ＝２， ＝ ° θ ＝
方程 从而求出圆Ｍ的圆心及半径 根据两圆圆心距及两圆半 ｔａｎ（１８０ －２ ）
， ， １ １－ｔａｎ ２θ ３ ．
径和与差的大小关系判断两圆的位置关系． － θ＝－ θ ＝
ｔａｎ２ ２ｔａｎ ４
９．（２０１４北京文，７，５分）已知圆Ｃ ｘ ２ ｙ ２ 和两点
：（ －３） ＋（ －４） ＝１
Ａ ｍ Ｂ ｍ ｍ ．若圆 Ｃ 上存在点 Ｐ 使得 ＡＰＢ
（－ ，０）， （ ，０）（ ＞０） ， ∠ ＝
° 则ｍ的最大值为
９０ ， （ ）
Ａ．７ Ｂ．６ Ｃ．５ Ｄ．４
答案 Ｂ 若 ＡＰＢ ° 则点Ｐ的轨迹是以ＡＢ为直径的
∠ ＝９０ ，
圆 其方程为ｘ２ ｙ２ ｍ２．由题意知圆Ｃ ｘ ２ ｙ ２ 与
， ＋ ＝ ：（ －３） ＋（ －４） ＝１
专题九 圆锥曲线 ６０５
１３．（２０１８天津理，１２，５分）已知圆ｘ２ ｙ２ ｘ 的圆心为Ｃ 直 ａ ａ
＋ －２ ＝０ ， Ｃ ａ 到直线 ＡＢ 的距离为 即 ｜ ＋ －２｜ 解得
ì ï （１， ） ３， ａ２ ＝ ３，
ｘ ２ｔ ＋１
线í ï ＝－１＋ ２ ， ｔ为参数 与该圆相交于Ａ Ｂ两点 则 ＡＢＣ ａ ＝４± １５ ．经检验均符合题意 ， 则ａ ＝４± １５ ．
ï （ ） ， ， △ 评析 本题考查过定点的直线与圆相交的弦长问题，以及数
ïｙ ２ｔ
î ＝３－ 形结合的思想方法，对综合能力要求较高．
２
的面积为 ． １７．（２０１５课标Ⅰ文，２０，１２分）已知过点Ａ 且斜率为ｋ的
（０，１）
答案 １ 直线ｌ与圆Ｃ ：（ ｘ －２） ２ ＋（ ｙ －３） ２ ＝１ 交于Ｍ ， Ｎ两点．
２
求ｋ的取值范围
解析 本题考查直线的参数方程和直线与圆的位置关系． （１） ；
若Ｏ→Ｍ Ｏ→Ｎ 其中Ｏ为坐标原点 求 ＭＮ ．
圆Ｃ的标准方程为 ｘ ２ ｙ２ 消去参数ｔ得直线的普通 （２） · ＝１２， ， ｜ ｜
（ －１） ＋ ＝１， 解析 由题设 可知直线ｌ的方程为ｙ ｋｘ ．
（１） ， ＝ ＋１
方程为ｘ ｙ ．圆心Ｃ 到直线的距离ｄ ｜１＋０－２｜ ｋ
＋ －２＝０ （１，０） ＝ ＝ 因为ｌ与Ｃ交于两点 所以｜２ －３＋１｜ ．
２ ， ｋ２ ＜１
æ ö２ １＋
２ ＡＢ ２ ç ２÷
，｜ ｜＝２ １ －è ø ＝ ２， 解得４－ ７ ｋ ４＋ ７．
２ ２ ＜ ＜
３ ３
所以 ＡＢＣ的面积为 １ ＡＢ ｄ １ ２ １ ． æ ö
△ ｜ ｜· ＝ × ２× ＝ 所以ｋ的取值范围为ç４－ ７ ４＋ ７÷． 分
２ ２ ２ ２ è ， ø （５ ）
方法总结 有关直线与圆相交的计算问题 通常利用点到直 ３ ３
， 设Ｍ ｘ ｙ Ｎ ｘ ｙ ．
线的距离和勾股定理求解． （２） （ １， １）， （ ２， ２）
将ｙ ｋｘ 代入方程 ｘ ２ ｙ ２ 整理得
１４．（２０１６课标Ⅲ理，１６，５分）已知直线ｌ ｍｘ ｙ ｍ 与 ＝ ＋１ （ －２） ＋（ －３） ＝１，
： ＋ ＋３ － ３＝０ ｋ２ ｘ２ ｋ ｘ ．
圆ｘ２ ｙ２ 交于Ａ Ｂ两点 过Ａ Ｂ分别作ｌ的垂线与ｘ轴交 （１＋ ） －４（１＋ ） ＋７＝０
＋ ＝１２ ， ， ， ｋ
于Ｃ ， Ｄ两点．若 ｜ ＡＢ ｜＝２ ３， 则 ｜ ＣＤ ｜＝ ． 所以ｘ １＋ ｘ ２＝ ４（ １ １ ＋ ＋ ｋ２ ） ， ｘ １ ｘ ２＝ １＋ ７ ｋ２ ． （７ 分 ）
答案
４ Ｏ→Ｍ Ｏ→Ｎ ｘ ｘ ｙ ｙ
解析 由题意可知直线ｌ过定点 该定点在圆ｘ２ · ＝ １ ２＋ １ ２
（－３， ３）， ＋ ｋ２ ｘ ｘ ｋ ｘ ｘ
ｙ２
＝１２
上
，
不妨设点Ａ
（－３， ３），
由于
｜
ＡＢ
｜＝２ ３，
ｒ
＝２ ３，
所 ＝（
ｋ
１＋ ）
ｋ
１ ２＋ （ １＋ ２）＋１
４ （１＋ ） ．
以圆心到直线ＡＢ的距离为ｄ ＝ （２ ３） ２ －（ ３） ２ ＝３， 又由点 ＝ １＋ ｋ２ ＋８
ｋ ｋ
到直线的距离公式可得ｄ ＝ ｜３ ｍ ｍ － ２ ＋ ３ １ ｜ ＝３， 解得ｍ ＝－ ３ ３ ， 所以 由 所 题 以 设 ｌ的 可 方 得 程 ４ 为 １ （ ＋ １ ｋ ｙ ＋ ２ ） ｘ ＋８ ． ＝１２， 解得ｋ ＝１，
＝ ＋１
直线ｌ的斜率ｋ ｍ ３ 即直线ｌ的倾斜角为 °．如图 过 故圆心Ｃ在ｌ上 所以 ＭＮ ． 分
＝－ ＝ ， ３０ ， ， ｜ ｜＝２ （１２ ）
３ １８．（２０１５广东理，２０，１４分）已知过原点的动直线ｌ与圆Ｃ ｘ２
点Ｃ作ＣＨ ＢＤ 垂足为Ｈ 所以 ＣＨ 在 ＣＨＤ中 １：
⊥ ， ， ｜ ｜＝２ ３， Ｒｔ△ ， ｙ２ ｘ 相交于不同的两点Ａ Ｂ．
＋ －６ ＋５＝０ ，
ＨＣＤ ° 所以 ＣＤ ２ ３ ． 求圆Ｃ 的圆心坐标
∠ ＝３０ ， ｜ ｜＝ °＝４ （１） １ ；
ｃｏｓ３０ 求线段ＡＢ的中点Ｍ的轨迹Ｃ的方程
（２） ；
是否存在实数ｋ 使得直线Ｌ ｙ ｋ ｘ 与曲线Ｃ只有一
（３） ， ： ＝ （ －４）
个交点 若存在 求出 ｋ 的取值范围 若不存在 说明
？ ， ； ，
理由．
解析 圆Ｃ 的方程ｘ２ ｙ２ ｘ 可化为 ｘ ２
（１） １ ＋ －６ ＋５＝０ （ －３）
ｙ２ 所以圆心坐标为 ．
＋ ＝４， （３，０）
设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ ｘ ｘ Ｍ ｘ ｙ
解后反思 涉及直线与圆的位置关系的问题要充分利用圆 （２） （ １， １）， （ ２， ２）（ １≠ ２）， （ ０， ０），
ｘ ｘ ｙ ｙ
的性质 利用数形结合的思想方法求解． 则ｘ １＋ ２ ｙ １＋ ２．
， ０＝ ， ０＝
１５．（２０１５江苏，１０，５分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 以点 ２ ２
， （１，０） 由题意可知直线 ｌ 的斜率必存在 设直线 ｌ 的方程为 ｙ
为圆心且与直线ｍｘ ｙ ｍ ｍ Ｒ 相切的所有圆中 半 ，
－ －２ －１＝０（ ∈ ） ， ｔｘ．
径最大的圆的标准方程为 ． ＝
将上述方程代入圆Ｃ 的方程 化简得 ｔ２ ｘ２ ｘ ．
答案 ｘ ２ ｙ２ １ ， （１＋ ） －６ ＋５＝０
（ －１） ＋ ＝２
解析 由ｍｘ ｙ ｍ 可得ｍ ｘ ｙ 由ｍ Ｒ知 由题意 可得Δ ｔ２ ｘ ｘ ６
－ －２ －１＝０ （ －２）＝ ＋１， ∈ ， ＝３６－２０（１＋ ）＞０（∗）， １＋ ２＝ ｔ２，
该直线过定点 从而点 与直线ｍｘ ｙ ｍ １＋
（２，－１）， （１，０） － －２ －１＝０ ｔ
的距离的最大值为 （２－１） ２ ＋（－１－０） ２ ＝ ２， 故所求圆的标 所以ｘ ０＝ ３ ｔ２， 代入直线ｌ的方程 ， 得ｙ ０＝ ３ ｔ２ ．
准方程为 （ ｘ －１） ２ ＋ ｙ２ ＝２ ． １＋ ｔ２ ｔ２ １＋
１６．（２０１４重庆理，１３，５分）已知直线ａｘ ＋ ｙ －２＝０ 与圆心为Ｃ的 因为ｘ２ ０＋ ｙ２ ０＝ ９ ｔ２ ２ ＋ ９ ｔ２ ２ ＝ ９（１＋ ｔ２ ） ２ ＝ ９ ｔ２ ＝３ ｘ ０，
圆 ｘ ２ ｙ ａ ２ 相交于Ａ Ｂ两点 且 ＡＢＣ为等边三 ( ) （１＋ ） （１＋ ） （１＋ ） １＋
（ －１） ＋（ － ） ＝４ ， ， △ ２
角形
，
则实数ａ
＝
． 所以 ｘ ０－
２
３ ＋ ｙ２ ０＝
４
９ ．
答案
４± １５ 由 解得ｔ２ ４ 又ｔ２ 所以 ５ ｘ ．
解析 易知 ＡＢＣ 是边长为 的等边三角形 故圆心 （∗） ＜ ， ≥０， ＜ ０≤３
△ ２ ， ５ ３
６０６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
( )
２
所以线段ＡＢ的中点Ｍ的轨迹Ｃ的方程为 ｘ ３ ｙ２ 又 ＯＭ ＯＰ Ｏ到ｌ的距离为４ １０ ＰＭ ４ １０
－ ＋ ＝ ｜ ｜＝｜ ｜＝２ ２， ，｜ ｜＝ ，
( ) ２ ５ ５
９ ５ ｘ ． 所以 ＰＯＭ的面积为１６．
＜ ≤３ △
４ ３ ( ] ５
评析 本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系，在解
由 知 曲线Ｃ是在区间 ５ 上的一段圆弧．
（３） （２） ，
３
，３ 决直线与圆的相关问题时，利用图形的几何性质可简化运算．
如图 Ｄ
æ
ç ５ ２ ５
ö
÷ Ｅ
æ
ç ５ ２ ５
ö
÷ Ｆ 直线 Ｌ 过定
２０．（２０１３江苏，１７，１４分）如图
，
在平面直角坐标系ｘＯｙ中
，
点
， è ， ø， è ，－ ø， （３，０）， Ａ 直线ｌ ｙ ｘ ．
３ ３ ３ ３ （０，３）， ： ＝２ －４
点Ｇ ． 设圆Ｃ的半径为 圆心在ｌ上．
（４，０） １，
联立直线Ｌ的方程与曲线Ｃ的方程 消去 ｙ 整理得 若圆心Ｃ也在直线ｙ ｘ 上 过点Ａ作圆Ｃ的切线 求
， （１＋ （１） ＝ －１ ， ，
ｋ２ ｘ２ ｋ２ ｘ ｋ２ ． 切线的方程
） －（３＋８ ） ＋１６ ＝０ ；
令判别式Δ 解得 ｋ ３ 由求根公式解得交点的横 （２） 若圆Ｃ上存在点 Ｍ ， 使 ＭＡ ＝２ ＭＯ ， 求圆心 Ｃ 的横坐标 ａ
＝０， ： ＝±
４
， 的取值范围．
( ]
坐标为ｘ １２ ５ 由图可知 要使直线Ｌ与曲线
Ｈ ， Ｉ＝ ∈ ，３ ， ：
５ ３
Ｃ只有一个交点 则 ｋ ｋ ｋ ｋ ｋ 即 ｋ
， ∈［ ＤＧ， ＥＧ］∪｛ ＧＨ， ＧＩ｝， ∈
é ù { }
êê ２ ５ ２ ５úú ３ ３ ．
ë－ ， û∪ － ，
７ ７ ４ ４
解析 由题意知 圆心Ｃ是直线ｙ ｘ 和ｙ ｘ 的
（１） ， ＝２ －４ ＝ －１
交点 解得点Ｃ 于是切线的斜率必存在．设过Ａ
， （３，２）， （０，３）
的圆Ｃ的切线方程为ｙ ｋｘ
＝ ＋３，
ｋ
１９．（２０１４课标Ⅰ文，２０，１２分）已知点Ｐ 圆Ｃ ｘ２ ｙ２ 由题意得 ｜３ ＋１｜ 解得ｋ 或 ３
８ ｙ ＝０， 过点Ｐ的动直线ｌ与圆Ｃ交于 （ Ａ ２ ， ， Ｂ ２） 两 ， 点 ， 线 ： 段 ＋ ＡＢ － ， ｋ２ ＋１ ＝１， ＝０ － ４ ，
的中点为Ｍ
，
Ｏ为坐标原点． 故所求切线方程为ｙ
＝３
或
３
ｘ
＋４
ｙ
－１２＝０
．
（１）
求Ｍ的轨迹方程
； （２）
因为圆心在直线ｙ
＝２
ｘ
－４
上
，
所以圆Ｃ的方程为
（
ｘ
－
ａ
）
２
＋
（２） 当 ｜ ＯＰ ｜＝｜ ＯＭ ｜ 时 ， 求ｌ的方程及 △ ＰＯＭ的面积． ［ ｙ －２（ ａ －２）］ ２ ＝１ ．
解析 圆Ｃ的方程可化为ｘ２ ｙ ２ 所以圆心为 设点Ｍ ｘ ｙ 因为ＭＡ ＭＯ 所以 ｘ２ ｙ ２ ｘ２ ｙ２
（１） ＋（ －４） ＝１６， （ ， ）， ＝２ ， ＋（ －３） ＝２ ＋ ，
Ｃ 半径为 ． 化简得ｘ２ ｙ２ ｙ 即 ｘ２ ｙ ２ 所以点 Ｍ 在以
（０，４）， ４ ＋ ＋２ －３＝０， ＋（ ＋１） ＝４，
设Ｍ （ ｘ ， ｙ ）， 则Ｃ→Ｍ ＝（ ｘ ， ｙ －４）， Ｍ→Ｐ ＝（２－ ｘ ，２－ ｙ ） ．由题设知Ｃ→Ｍ Ｄ （０，－１） 为圆心 ，２ 为半径的圆上．
由题意 点Ｍ ｘ ｙ 在圆Ｃ上 所以圆Ｃ与圆Ｄ有公共点 则
Ｍ→Ｐ 故ｘ ｘ ｙ ｙ 即 ｘ ２ ｙ ２ ， （ ， ） ， ，
·
由
＝２
于
．
点
＝０
Ｐ
，
在圆
（
Ｃ
２－
的
）
内
＋
部
（
，
－
所
４
以
）（
Ｍ
２－
的
）
轨
＝
迹
０，
方程
（
是
－
（
１）
ｘ －
＋
１
（
） ２ ＋
－
（
３
ｙ
）
－ 由
｜２－
５
１
ａ
｜
２
≤
－１
Ｃ
２
Ｄ
ａ ＋
≤
８
２
≥
＋
０
１
，
，
得
即
ａ
１
∈
≤
Ｒ ；
ａ２ ＋（２ ａ －３） ２ ≤３ ．
３） ２ ＝２ ． 由 ５ ａ２ －１２ ａ ≤０， 得 ０≤ ａ ≤ １２．
由 可知Ｍ的轨迹是以点Ｎ 为圆心 为半径 ５
（２） （１） （１，３） ， ２ [ ]
的圆． 所以点Ｃ的横坐标ａ的取值范围为 １２ ．
０，
由于 ＯＰ ＯＭ 故Ｏ在线段ＰＭ的垂直平分线上 又Ｐ在 ５
｜ ｜＝｜ ｜， ， 评析 本题考查直线与圆的方程，直线与直线、直线与圆、圆
圆Ｎ上 从而ＯＮ ＰＭ．
， ⊥ 与圆的位置关系等基础知识和基本技能，考查运用数形结合、
因为ＯＮ的斜率为 所以ｌ的斜率为 １ 故ｌ的方程为ｙ 待定系数法等数学思想方法分析问题、解决问题的能力．
３， － ， ＝
３
１ ｘ ８ ．
－ ＋
３ ３
时间： 分钟 分值： 分
６０ ８２
一、单项选择题 每题 分 共 分 ２．（２０２１届河北衡水中学期中，７）已知点Ｍ ａ ｂ ａｂ 是圆
（ ５ ， ３５ ） （ ， ）（ ≠０）
１．（２０２１届广东东华高级中学第二次联考，４） ａ 是 Ｃ ｘ２ ｙ２ ｒ２ 内一点 直线ｌ是以Ｍ为中点的弦所在的直线 直
“ ∈（１，４）” ： ＋ ＝ ， ，
直线ｘ ｙ ａ 与圆Ｃ ｘ ２ ｙ ２ 相交 的 线ｍ的方程为ｂｘ ａｙ ｒ２ 那么
“ ＋ － ＝０ ：（ －１） ＋（ －２） ＝２ ” （ ） － ＝ ， （ ）
充分不必要条件 充要条件 ｌ ｍ且ｍ与圆Ｃ相切 ｌ ｍ且ｍ与圆Ｃ相切
Ａ． Ｂ． Ａ． ⊥ Ｂ． ∥
必要不充分条件 既不充分也不必要条件 ｌ ｍ且ｍ与圆Ｃ相离 ｌ ｍ且ｍ与圆Ｃ相离
Ｃ． Ｄ． Ｃ． ⊥ Ｄ． ∥
答案 Ａ 答案 Ｃ
专题九 圆锥曲线 ６０７
３．（２０２１届河北衡水中学期中，８）若圆ｘ２ ｙ２ ａｘ ｙ 和圆 点 且圆心在ｘ轴的负半轴上 直线ｌ ｙ ｘ 被该圆
＋ － ＋２ ＋１＝０ （－１，０）， ， ： ＝ ＋１
ｘ２ ｙ２ 关于直线ｙ ｘ 对称 过点Ｃ ａ ａ 的圆Ｐ与ｙ轴 所截得的弦长为 则圆Ｃ的标准方程为 ．
＋ ＝１ ＝ －１ ， （－ ， ） ２ ２，
相切 ， 则圆心Ｐ的轨迹方程是 （ ） 答案 （ ｘ ＋３） ２ ＋ ｙ２ ＝４
ｙ２ ｘ ｙ ｙ２ ｘ ｙ １１．（２０２１届江苏南京航空航天大学附属高级中学期中，１６）在
Ａ． －４ ＋４ ＋８＝０ Ｂ． ＋２ －２ ＋２＝０
Ｃ．
ｙ２
＋４
ｘ
－４
ｙ
＋８＝０ Ｄ．
ｙ２
－２
ｘ
－
ｙ
＋１＝０
平面直角坐标系ｘＯｙ中
，
过点Ｐ向圆Ｏ
：
ｘ２
＋
ｙ２
＝４
和圆Ｃ
：（
ｘ
＋
答案 Ｃ
２）
２
＋（
ｙ
－２）
２
＝４
各引一条切线
，
切点分别为 Ａ
，
Ｂ
，
若
｜
ＰＢ
｜ ＝
４．（２０２０山东济宁第一中学质量检测，３）过点Ｐ 的直线与 ＰＡ 且平面上存在一定点Ｍ 使得Ｐ到Ｍ的距离为定值．
（１，２） ２｜ ｜， ，
圆ｘ２ ｙ２ 相切 且与直线ａｘ ｙ 垂直 则实数ａ的值为 则点Ｍ的坐标为 ．
＋ ＝１ ， ＋ －１＝０ ，
( )
（ ） 答案 ２ ２
，－
４ 或 ４ ４ ３ ３
Ａ．０ Ｂ．－
３
Ｃ．０
３
Ｄ．
３
１２．（２０２１届安徽淮北、宿州一模，１５）已知圆Ｏ
：
ｘ２
＋
ｙ２
＝１，
定点
答案 Ｃ Ｍ 过点Ｍ的直线ｌ与圆Ｏ交于Ｐ Ｑ两点 Ｐ Ｑ两点均
（３，０）， 、 ， 、
５．（２０１９重庆綦江中学模拟，９）已知圆Ｃ ｘ２ ｙ２ 点Ｐ为直线 在ｘ轴的上方 如图 若ＯＰ平分 ＭＯＱ 则直线 ｌ 的方程为
： ＋ ＝１， ， ， ∠ ，
ｘ ｙ 上一动点 过点Ｐ向圆Ｃ引两条切线ＰＡ ＰＢ且Ａ ．
＋２ －４＝０ ， ， ，
Ｂ分别为切点 则直线ＡＢ经过定点
， （ ）
( ) ( ) æ ö æ ö
１ １ １ １ ç ３ ÷ ç ３÷
Ａ． ， Ｂ． ， Ｃ．è ，０ø Ｄ．è０， ø
２ ４ ４ ２ ４ ４
答案 Ｂ
６．（２０２１届山东枣庄期中，１３）已知两定点Ａ Ｂ
（－２，０）， （１，０），
如果动点Ｐ满足 ＰＡ ＰＢ 点Ｑ是圆 ｘ ２ ｙ ２
｜ ｜＝２｜ ｜， （ －２） ＋（ －３） ＝３
上的动点 则 ＰＱ 的最大值为
， ｜ ｜ （ ）
Ａ．５－ ３ Ｂ．５＋ ３ Ｃ．３＋２ ３ Ｄ．３－２ ３
答案 Ｂ
答案 ｙ ５ ｘ
７．（ ２ ２ ＝ ０ ０ １ 的 ９ 圆 河 心 南 为 中原 Ｃ ， 名 直 校 线 联 ｌ 盟 过 第 （０ 三 ，３ 次 ）， 联 且 考 与 ， 圆 ９） Ｃ 设 交 圆 于 ｘ２ Ａ ＋ ， ｙ Ｂ ２ － 两 ２ ｘ 点 －２ ， ｙ 若 － １３．（２０２１ 届浙 ＝－ 江 ７ 之 （ 江 － 教 ３） 育评价联盟返校联考，１４）已知圆Ｃ １： ｘ２
｜ ＡＢ ｜＝２ ３， 则直线ｌ的方程为 （ ） 点 ＋
ｙ２
＋ 则 ２
ｘ
直 ＋８ 线
ｙ
－８ Ａ ＝ Ｂ ０ 的
和
方
圆
程
Ｃ
２ 是 ：
ｘ２
＋
ｙ２
－４
ｘ
－４
ｙ
－ 线 ２＝ 段 ０
相
ＡＢ
交
的
于
长
Ａ
， 度
Ｂ两
是
ｘ ｙ 或 ｘ ｙ ， ，
Ａ．３ ＋４ －１２＝０ ４ －３ ＋９＝０ ．
ｘ ｙ 或 ｘ ｙ
Ｂ．３ －４ ＋１２＝０ ４ ＋３ ＋９＝０
ｘ ｙ 或ｘ 答案 ｘ ｙ
Ｃ．４ －３ ＋９＝０ ＝０ ＋２ －１＝０；２ ５
ｘ ｙ 或ｘ １４．（２０２１届山东开学质量检测，１６）某中学开设了剪纸艺术社
Ｄ．３ ＋４ －１２＝０ ＝０
答案 Ｄ 团 该社团学生在庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切的
，
圆 其半径分别为 单位 则三个圆之
二、多项选择题 共 分 ， ３＋１，３－ ３， ３－１（ ：ｃｍ），
８．（２０２１届江苏
（
镇江
５
八校
）
期中联考，１２）已知圆Ｃ ｘ ２ ｙ
间空隙部分的面积为
ｃｍ
２．
：（ －３） ＋（ － æ ö
３） ２ ＝７２， 若直线ｘ ＋ ｙ － ｍ ＝０ 垂直于圆Ｃ的一条直径 ， 且经过这 答案 è ç ２ ３－ １０－４ ３ πø ÷
条直径的一个三等分点 则ｍ ３
， ＝ （ ）
四、解答题 共 分
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．１０ （ １２ ）
答案 ＡＤ １５．（２０２１届江苏南京航空航天大学附属高级中学期中，１８）在
平面直角坐标系ｘＯｙ中 已知圆Ｍ过点Ａ Ｂ
三、填空题 每题 分 共 分 ， （１，２）， （７，－６），
（ ５ ， ３０ ） 且圆心在直线ｘ ｙ 上．
９．（２０２１届百师联盟开学摸底联考，１４）若直线 ｘ ｙ ａ 与 ＋ －２＝０
３ ＋４ ＋ ＝０ 求圆Ｍ的标准方程
圆 ｘ ２ ｙ２ 有且仅有一个公共点 则实数 ａ 的值为 （１） ；
（ －２） ＋ ＝４ ， 设平行于ＯＡ的直线ｌ与圆Ｍ相交于Ｃ Ｄ两点 且ＣＤ
． （２） ， ， ＝
ＯＡ 求直线ｌ的方程．
答案 或 ２ ，
４ －１６
１０．（２０２１届河南新高三学期初第一次摸底考试，６）已知圆Ｃ过
６０８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１．（２０１９黑龙江哈尔滨第六中学高三１２月月考，５）过点
（１，０） Ａ．２ Ｂ．２ ２
且倾斜角为 °的直线被圆 ｘ ２ ｙ２ 所截得的弦长为
３０ （ －２） ＋ ＝１
Ｃ．２ ５ Ｄ．４ ２
（ ） 答案 Ｄ 易知抛物线的准线方程为ｘ 圆Ｃ的圆心坐
＝－２，
３ 标为 半 径 为 则 →ＣＡ Ｃ→Ｂ →ＢＡ
Ａ． Ｂ．１ Ｃ． ３ Ｄ．２ ３ （－ １， ０）， ３， ｜ － ｜ ＝ ｜ ｜ ＝ ２ ×
２
２ ２ 故选 ．
３ －［－１－（－２）］ ＝４ ２， Ｄ
答案 Ｃ 直线方程为ｙ ＝
３
３ （ ｘ －１）， ６．（２０１８湖北四地七校３月联考，８）若圆Ｏ １： ｘ２ ＋ ｙ２ ＝５ 与圆Ｏ ２：
即 ｘ ｙ （ ｘ ＋ ｍ ） ２ ＋ ｙ２ ＝２０ 相交于Ａ ， Ｂ两点 ， 且两圆在点Ａ处的切线互相
３ －３ － ３＝０， 垂直 则线段ＡＢ的长度是
， （ ）
圆心 到直线的距离ｄ ｜２ ３－ ３｜ １
（２，０） ＝ ＝ ， Ａ．３ Ｂ．４
１２ ２
Ｃ．２ ３ Ｄ．８
直线被圆截得的弦长ｌ １ ． 答案 Ｂ 连接Ｏ Ａ Ｏ Ａ
∴ ＝２× １－ ＝ ３ １ 、 ２ ，
４ 由于 Ｏ 与 Ｏ 在点Ａ处的切线互相垂直
故选 Ｃ ． 因此 ☉ Ｏ Ａ １ Ｏ ☉ Ａ ２ ，
２．（２０１９浙江高考模拟试卷（二），３）已知圆Ｍ ：（ ｘ －２） ２ ＋ ｙ２ ＝１ １ ⊥ ２ ，
所以Ｏ Ｏ２ Ｏ Ａ２ Ｏ Ａ２ 即ｍ２
和直线ｌ ｙ ｋｘ 则 ｋ ３ 是 直线ｌ与圆Ｍ相切 的 设ＡＢ交 １ ｘ ２＝ 轴于 １ 点 ＋ Ｃ ２ ． ， ＝５＋２０＝２５，
： ＝ ， “ ＝ ” “ ” （ ）
３
充分不必要条件 必要不充分条件
Ａ． Ｂ． 在 Ｏ ＡＯ 中 ＡＯ Ｏ ５
充分必要条件 既不充分也不必要条件 Ｒｔ△ １ ２ ，ｓｉｎ∠ ２ １＝ ，
Ｃ． Ｄ． ５
答案 Ａ 直线ｌ ｙ ３ｘ ｘ ｙ 则圆心 到直线ｌ 在 ＡＣＯ 中 ＡＣ ＡＯ ＡＯ Ｏ ５
： ＝ ⇒ － ３ ＝０， （２，０） ∴ Ｒｔ△ ２ ， ＝ ２·ｓｉｎ∠ ２ １＝２ ５× ＝２，
３ ５
的距离ｄ 直线ｌ与圆Ｍ相切 充分性成立 反之 当圆Ｍ ＡＢ ＡＣ ．故选 ．
＝１，∴ ， ； ， ： ∴ ＝２ ＝４ Ｂ
ｘ ２ ｙ２ 和直线ｌ相切时 ｋ ３ 必要性不成立． ｋ
（ －２） ＋ ＝１ ， ＝± ， ∴ “ ＝
３
３ 是直线ｌ与圆Ｍ相切的充分不必要条件．故选
” Ａ．
３
３．（２０１８浙江新高考调研卷三（杭州二中），６）已知直线ａｘ ｙ
＋ －２
与圆ｘ２ ｙ２ ｂ总有 个不同的交点 则ｂ的取值范围是
＝０ ＋ ＝ ２ ，
７．（２０１８北京顺义二模，８）已知点Ａ ．若曲线Γ上存在
（ ） （－１，－１）
两点Ｂ Ｃ 使 ＡＢＣ为正三角形 则称Γ为 正三角形 曲线．
Ａ．（２，＋∞） Ｂ．（４，＋∞） ， ， △ ， “ ”
给定下列三条曲线
Ｃ．（０，＋∞） Ｄ．（ ２，＋∞） ：
答案 Ｂ 直线ａｘ ｙ 过定点 要使直线与圆总 ｘ ｙ ｘ
＋ －２＝０ （０，２）， ① ＋ －３＝０（０≤ ≤３）；
有
２
个不同的交点
，
定点
（０，２）
必须在圆内
，
从而
０
２
＋２
２
＜
ｂ
，
即ｂ
②
ｘ２
＋
ｙ２
＝２（－ ２≤
ｘ
≤０）；
．故选 ．
＞４ Ｂ ｙ １ ｘ ．
４．（２０１８天津十二区县二模，４）已知ｍ为实数 直线ｌ ｍｘ ｙ ③ ＝－ ｘ （ ＞０）
， １： ＋ －１
ｌ ｍ ｘ ｍｙ 则 ｍ 是 ｌ ｌ 的 其中 正三角形 曲线的个数是
＝０，２：（３ －２） ＋ －２＝０， “ ＝１” “ １∥２” （ ） ，“ ” （ ）
充要条件
Ａ． Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３
充分不必要条件 答案 Ｃ 点Ａ不在ｘ ｙ ｘ 上 线段与坐标
Ｂ． ① ＋ －３＝０（０≤ ≤３） ，
必要不充分条件
Ｃ． 轴的交点为Ｍ Ｎ 此时 ＭＮ ＡＭ
既不充分也不必要条件 （０，３）， （３，０）， ｜ ｜＝３ ２，｜ ｜＝ １７，
Ｄ． ＡＮ ．因为 ＡＭ ＭＮ 所以存在两点 Ｂ Ｃ 使 ＡＢＣ
答案 Ａ 当ｍ 时 两直线方程分别为直线ｌ ｘ ｙ ｜ ｜＝ １７ ｜ ｜＜｜ ｜， ， ， △
＝１ ， １： ＋ －１＝０， 为正三角形 所以 是 正三角形 曲线．
ｌ ｘ ｙ 满足ｌ ｌ 即充分性成立．当ｍ 时 两直线方 ， ① “ ”
程
２：
分
＋
别
－
为
２＝
ｙ
０， １∥
ｘ
２，
不满足条件 当ｍ
＝０
时
，
则ｌ ｌ ②
ｘ２
＋
ｙ２
＝２（－ ２≤
ｘ
≤０）
表示ｙ轴左侧的半个圆
，
曲线与ｙ轴
ｍ ｍ
－１＝０，－２ －
ｍ
２＝０，
ｍ
； ≠０ ， １∥２
的交点为Ｍ Ｎ 此时 ＭＡＮ ° 可知三角形
３ －２ －２ 由３ －２ 得ｍ２ ｍ 解得ｍ 或 （０， ２）， （０，－ ２）， ∠ ＞６０ ，
⇒ ｍ ＝ ≠ ， ｍ ＝ －３ ＋２＝０， ＝１ ＡＭＮ不可能是正三角形 所以 不是 正三角形 曲线．
１ －１ １ ， ② “ ”
ｍ 利用数形结合思想 以Ａ为圆心作圆 由图象可知当圆与曲
ｍ 由 －２得ｍ 则ｍ 即必要性成立．故 ｍ 是 ③ ， ，
＝２， ≠ ≠２， ＝１， “ ＝１”
１ －１ 线ｙ １ ｘ 相交时 存在Ｂ Ｃ 使 ＡＢＣ为正三角形 所以
ｌ ｌ 的充要条件． ＝－ ｘ （ ＞０） ， ， ， △ ，
“ １∥２”
５．（２０１８北京通州一模，６）已知抛物线ｙ２ ｘ的准线与圆心为 为 正三角形 曲线．故选 ．
＝８ ③ “ ” Ｃ
Ｃ的圆ｘ２ ｙ２ ｘ 交于Ａ Ｂ两点 则 →ＣＡ Ｃ→Ｂ 等于 ８．（２０１７东北三省四市联考，９）已知圆Ｃ ｘ ２ ｙ ２
＋ ＋２ －８＝０ ， ， ｜ － ｜ ：（ － ３） ＋（ －１） ＝１
和两点Ａ ｔ Ｂ ｔ ｔ 若圆 Ｃ 上存在点 Ｐ 使得
（ ） （－ ，０）， （ ，０）（ ＞０）， ，
ＡＰＢ ° 则当ｔ取得最大值时 点Ｐ的坐标是
∠ ＝９０ ， ， （ ）
专题九 圆锥曲线 ６０９
æ ö æ ö
Ａ．è
ç ３
，
３ ２
ø
÷
Ｂ．è
ç３ ２
，
３
ø
÷ 由
①②
得ａ
＝
３＋ １７
⇒
ａ２
＝
２６＋６ １７
，
ｃ２
＝
２２＋２ １７．
２ ２ ２ ２ ２ ４ ４
æ ö æ ö
ç ３ ３ ３÷ ç３ ３ ３ ÷ ｅ２ ２３－５ １７．故选
Ｃ．è ， ø Ｄ．è ， ø ∴ ＝ Ｄ．
２ ２ ２ ２ ４
答案 Ｄ 解法一 设Ｐ的坐标为 ａ ｂ 由题意知 →ＡＰ Ｂ→Ｐ
： （ ， ）， ， ·
即 ａ ｔ ａ ｔ ｂ２ ａ２ ｔ２ ｂ２ 所以 ｔ２ ａ２ ｂ２
＝０， （ ＋ ）·（ － ）＋ ＝０， － ＋ ＝０， ＝ ＋ ＝
ＯＰ ２ ＯＰ ２ ２ 即 ｔ 的最大值为 此时
｜ ｜ ，｜ ｜ｍａｘ＝ （ ３） ＋１ ＋１＝３， ３，
ｋ ３ 所以ＯＰ所在直线的倾斜角为 ° 所以点Ｐ的纵坐
ＯＰ＝ ， ３０ ，
３
æ ö
标为 １ ３ 横坐标为 ３ ３ ３ 即Ｐç３ ３ ３ ÷．
３× ＝ ， ３× ＝ ， è ， ø １１．（２０１８天津部分区县期末，１３）以点 ｂ 为圆心的圆与直
２ ２ ２ ２ ２ ２ （０， ）
线ｙ ｘ 相切于点 则该圆的方程为
解法二 设点Ｐ的坐标为 θ θ θ 由 ＝２ ＋１ （１，３），
： （ ３＋ｃｏｓ ，１＋ｓｉｎ ）（ ∈［０，２π］）， ．
题意知→ＡＰ Ｂ→Ｐ 所以 θ ｔ θ ｔ
· ＝０， （ ３＋ｃｏｓ ＋ ）（ ３＋ｃｏｓ － ）＋（１＋ｓｉｎ ( ) ２
( ) 答案 ｘ２ ｙ ７ ５
θ ） ２ ＝０， 得ｔ２ ＝５＋２ ３ｃｏｓ θ ＋２ｓｉｎ θ ＝５＋４ｓｉｎ θ ＋ π ， 当θ ＋ π ＝ ＋ － ２ ＝ ４
３ ３ 解析 以点 ｂ 为圆心的圆与直线ｙ ｘ 相切于点
æ ö ∵ （０， ） ＝２ ＋１
π ２ ， 即θ ＝ π ６ 时 ， ｔ取得最大值 ， 此时Ｐ è ç３ ２ ３ ， ３ ２ ø ÷． （１ ｂ ，３），∴ 两点 （０， ｂ ） 和 （１，３） 所在直线与 ( 直线 ) ｙ ＝２ ｘ ＋１ 垂直 ，
９．（２０１８ 河北衡水中学期中考试，１０）在平面直角坐标系 ｘＯｙ ∴ －３ ＝－ １ ， 解得ｂ ＝ ７ ，∴ 圆心坐标为 ０， ７ ，
０－１ ２ ２ ２
中 在以 为圆心且与直线 ｍ ｘ ｍ ｙ ｍ
， （－２，０） （３ ＋１） ＋（１－２ ） －５＝０（ ( ) ２
Ｒ 相切的所有圆中 面积最大的圆的标准方程是 圆的半径ｒ ２ ７ ５
∈ ） ， （ ） ∵ ＝ （０－１） ＋ －３ ＝ ，
ｘ ２ ｙ２ ｘ ２ ｙ２ ( ) ２ ２
Ａ．（ ＋２） ＋ ＝１６ Ｂ．（ ＋２） ＋ ＝２０ ２
Ｃ．（ ｘ ＋２） ２ ＋ ｙ２ ＝２５ Ｄ．（ ｘ ＋２） ２ ＋ ｙ２ ＝３６ ∴
圆的方程为ｘ２
＋
ｙ
－ ２
７
＝ ４
５ ．
答案 Ｃ 根据题意 记圆心为Ｐ １２．（２０１９５·３原创冲刺卷八，１５）在平面直角坐标系中 已知
， （－２，０）， ，
对于直线
（３
ｍ
＋１）·
ｘ
＋（１－２
ｍ
）
ｙ
－５＝０，
Ａ
（－１，０），
Ｂ
（１，０），
圆Ｃ
：
ｘ２
＋
ｙ２
－２
ｘ
－６
ｙ
＋２＝０，
动直线ｌ与圆Ｃ
变形可得ｍ ｘ ｙ ｘ ｙ 相交于Ｍ Ｎ两点 且 ＣＭＮ的面积为 ．若Ｐ为线段ＭＮ的
（３ －２ ）＋（ ＋ －５）＝０， ， ， △ ４
易知直线过定点Ｍ ． 中点 则 ＰＡＢ的面积的最大值为 ．
（２，３） ， △
故在以点 为圆心且与直线 ｍ ｘ ｍ ｙ 答案
（－２，０） （３ ＋１） ＋（１－２ ） －５＝０ ５
相切的圆中 ， 解析 由题易知圆 Ｃ ：（ ｘ －１） ２ ＋（ ｙ －３） ２ ＝８， 且 ＣＰ 垂直于
面积最大的圆的半径ｒ ＭＰ ｄ ｄ
则ｒ２ ＭＰ ２
＝｜ ｜， ＭＮ
，
设ＣＰ
＝
ｄ
（
ｄ
＞０），
则
×｜
ＭＮ
｜＝ ×２ ８－
ｄ２
＝４，
＝｜ ｜ ＝２５， ２ ２
故其标准方程为 ｘ ２ ｙ２ ． 解得ｄ 即Ｐ的轨迹是以Ｃ为圆心 为半径的圆．
（ ＋２） ＋ ＝２５ ＝２， ，２
故选 ． 又 ＡＢ Ｐ到ｘ轴的距离的最大值为 所以 ＰＡＢ
Ｃ ｜ ｜＝２， ３＋２＝５， △
１０．（２０１９浙江高考模拟试卷（二），９）如图 已知Ｆ Ｆ 为椭圆
， １， ２ 的面积的最大值为２×５ ．
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的两个焦点 Ｐ为椭圆上一点 过Ｆ 作直 ２
＝５
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， ， ２ １３．（２０１７江苏南通、扬州、泰州三模，１３）在平面直角坐标系
线ＰＦ 的垂线交椭圆于Ｐ Ｑ两点 设椭圆的离心率为ｅ 若圆 ｘＯｙ中 已知点Ａ 点Ｂ Ｐ为圆ｘ２ ｙ２ 上一
ｘ２ ｙ２ １ 与直线ＰＦ 相切 ， 且 ＱＦ ， 则ｅ２ 等于 ， 动点 则 ， ｜ ＰＢ ｜的最 （０ 大 ，－ 值 ２ 是 ）， （１，－ ． １）， ＋ ＝２
＋ ＝１ １ ， ｜ １｜＝６， （ ） ， ＰＡ
｜ ｜
答案
２
ＰＢ ２ ｘ ２ ｙ ２
解析 设Ｐ ｘ ｙ 则由已知可得｜ ｜ （ －１） ＋（ ＋１）
（ ， ）， ＰＡ ２ ＝ ｘ２ ｙ ２
｜ ｜ ＋（ ＋２）
ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ
＋ －２ ＋２ ＋２
＝ ｘ２ ｙ２ ｙ ，
＋ ＋４ ＋４
ＰＢ ２ ｘ ｙ ｘ ｙ
Ｐ ｘ ｙ 在圆ｘ２ ｙ２ 上 ｜ ｜ ２－２ ＋２ ＋２ ２－ ＋ ．
∵ （ ， ） ＋ ＝２ ，∴ ｜ ＰＡ ｜ ２ ＝ ２＋４ ｙ ＋４ ＝ ３＋２ ｙ
１３ ５－１ ｘ ｙ
Ａ． Ｂ． 令２－ ＋ ｔ 则ｘ ｔ ｙ ｔ
４ ２ ｙ ＝ ， ＋（２ －１） ＋３ －２＝０，
３＋２
Ｃ．５－２ １７ Ｄ． ２３－５
４
１７ 圆心到直线ｘ ＋（２ ｔ －１） ｙ ＋３ ｔ －２＝０ 的距离应满足 ｜３ ｔ －
ｔ
２｜
２
答案 Ｄ 设切点为Ｍ 连接ＯＭ 由题意得ＯＭ ＯＭ １＋（２ －１）
， ， ＝１， ∥ ＰＢ ２
ＰＦ Ｏ为Ｆ Ｆ 的中点 ＰＦ ＰＦ ａ 又 ＱＦ 解得 ｔ 故｜ ｜
２，∵ １ ２ ，∴ ｜ ２｜＝２，｜ １｜＝２ －２， ｜ １ ≤ ２， ０≤≤４， ＰＡ ２≤４，
ＱＦ ＱＦ ａ ＱＦ ａ ＰＱ ａ 在 ｜ ｜
｜＝
Ｐ
６
Ｆ
，｜
Ｆ 中
１｜＋
由
｜
勾股
２｜
定
＝２
理
，
得
∴ ｜
ａ
２｜＝
２
２
２
－６，
ｃ
∴
２
｜ ｜＝２ －４，
∴ ｜
Ｐ
Ｐ
Ｂ
Ａ ｜的最大值为 ２ ．
△ １ ２ ， （２ －２） ＋２ ＝４ ①， ｜ ｜
在 ＰＦ Ｑ中 由勾股定理得 ａ ２ ａ ２ ２ １４．（２０１８苏锡常镇四市高三教学情况调研（一），１３）已知直线
△ １ ， （２ －２） ＋（２ －４） ＝６ ②，
６１０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｌ ： ｘ － ｙ ＋２＝０ 与ｘ轴交于点Ａ ， 点Ｐ在直线ｌ上 ， 圆Ｃ ：（ ｘ －２） ２ ＋ ( ｔ －２ ) ２ ( ｔ ＋２ ) ２ ２ ｔ ．
ｙ２ 上有且仅有一个点Ｂ满足ＡＢ ＢＰ 则点Ｐ的横坐标的 ∴ ２－ ＋ ０－ ＝ ２＋ ｜ ＋２｜
＝２ ⊥ ， ２ ２ ２
取值集合为 ．
整理得 ｔ２ ｔ ｔ ．
{ } －４ ＋２０＝２＋｜ ＋２｜
答案 １
，５ （ｉ）
若ｔ
≥－２，
则
｜
ｔ
＋２｜＝
ｔ
＋２，∴
ｔ２
－４
ｔ
＋２０＝
ｔ
＋４，
３ ｔ２ ｔ ｔ２ ｔ ．
解析 设Ｐ ｔ ｔ Ｂ ｘ ｙ 则Ｂ→Ｐ ｔ ｘ ｔ ｙ ∴ －４ ＋２０＝ ＋８ ＋１６
（ ，＋２）， （ ， ）， ＝（ － ，＋２－ ），
直线ｌ ｘ ｙ 与ｘ轴交于点Ａ Ａ ｔ １ ．
∵ ： － ＋２＝０ ，∴ （－２，０）， ∴ ＝
３
→ＡＢ ｘ ｙ 若ｔ 则 ｔ ｔ ．
∴ ＝（ ＋２， ）， （ｉｉ） ＜－２， ｜ ＋２｜＝－ －２
∵
ＡＢ
⊥
ＢＰ
，∴
→ＡＢ
·
Ｂ→Ｐ
＝０， ∴
ｔ２
－４
ｔ
＋２０＝－
ｔ．
即
（
ｘ
＋２）（
ｔ
－
ｘ
）＋
ｙ
（
ｔ
＋２－
ｙ
）＝０
．
∴
ｔ２
－４
ｔ
＋２０＝
ｔ２
，∴
ｔ
＝５（
舍
）
．
整理得ｘ２ ｔ ｘ ｙ２ ｔ ｙ ｔ 内切时 ＣＮ ｒ ｒ
( ｘ ｔ －２ － ) （ ２ － ( ２ ｙ ） ｔ ＋ ＋ ２ ) － ２ （ ＋ （ ２ ｔ ＋ ） ２） ＝ ２ ２， ② ( ｔ ： ) ＝ ２ ２ ( － １， ｔ ) ２
∴ － ＋ － ＝ ， －２ ＋２ ２ ｔ ．
２ ２ ２ ∴ ２－ ＋ ０－ ＝ ｜ ＋２｜－ ２
又 Ｂ ｘ ｙ 在圆 ｘ ２ ｙ２ 上 ２ ２ ２
∵ （ ， ） （ －
(
２）
ｔ
＋
)
＝
２
２
(
，
ｔ ) ２ ｔ ２
整理得 ｔ２
－４
ｔ
＋２０＝｜
ｔ
＋２｜－２
．
∴ 点Ｂ 可理解为圆 ｘ － －２ ＋ ｙ － ＋２ ＝ （ ＋２） 与圆 （ ｘ － 若ｔ 则 ｔ ｔ ｔ２ ｔ ｔ
２ ２ ２ （ｉ） ≥－２， ｜ ＋２｜＝ ＋２，∴ －４ ＋２０＝ ，
２） ２ ＋ ｙ２ ＝２ 的交点 ， ∴ ｔ２ －４ ｔ ＋２０＝ ｔ２ ，∴ ｔ ＝５ ．
若ｔ 则 ｔ ｔ ．
易得 ｘ ２ ｙ２ 的圆心Ｃ 半径ｒ （ｉｉ） ＜－２， ｜ ＋２｜＝－ －２
（ －２） ＋ ＝２ （２，０）， １＝ ２，
设 ( ｘ ｔ －２ ) ２ ( ｙ ｔ ＋２ ) ２ （ ｔ ＋２） ２ 的圆心Ｎ (ｔ －２ ｔ ＋２ ) 半径ｒ ∴ ｔ２ －４ ｔ ＋２０＝－ ｔ －４ ．
－ ２ ＋ － ２ ＝ ２ ２ ， ２ ， ２ ｔ２ ｔ ｔ２ ｔ ｔ １ 舍 ．
∴ －４ ＋２０＝ ＋８ ＋１６，∴ ＝ （ ）
３
２ ｔ { }
＝ ｜ ＋２｜， 综上 ｔ １ ．
２ ：∈ ，５
由题意得圆Ｃ与圆Ｎ相切 ３
，
外切时 ＣＮ ｒ ｒ
① ： ＝ １＋ ２，
