冲刺985、211名校之2023届新高考题型模拟训练专题14直线与圆综合问题（单选+多选+填空）（新高考通用）解析版_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_专项复习

【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】 专题14 直线与圆综合问题（单选+多选+填空） （新高考通用） 一、单选题 1．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知点 ，若在圆 上存在点 满足 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 ，由 ，化简可得 ，点 既在圆 上， 也在圆 上，所以圆 与圆 有公共点，由圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】设 ，由 ，得 ， 整理得 ，即 ； 记圆 ，则点 既在圆 上，也在圆 上，所以圆 与圆 有公共点， 所以 ，即 ，解得 . 故选：C. 2．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考阶段练习）已知直角 的 直角顶点 在圆 上，若点 ， ，则 的取值范围 为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的性质，结合圆与圆的位置关系进行求解即可. 【详解】因为圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，直角 的直角顶点 在圆 上， 所以有 ， 因为直角 的直角顶点为 ， 所以点A在以 为直径的圆上，因此圆心坐标为 ，半径为 ， 因为点 在圆 上， 所以这两个圆位置关系为相交或内切或外切， 所以有 ， 故选：C 3．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）过原点的动直线 与圆 交于不同的两点 .记线段 的中点为 ，则当直线 绕原点转动时，动点 的轨迹 长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件求可得点 到 的中点的距离为定值，由此可求点 的轨迹，再求其 轨迹长度. 【详解】方程 可化为 ， 所以圆 的圆心为 ，半径为 ， 设 的中点为 ， 因为线段 的中点为 ， 所以 ，又原点 在直线 上， 所以 ，所以 ， 设 ，则 ， 如图，设圆 与 的交点为联立 ，可得 ， ， 则 ， 因为点 在圆 内， 所以点 的轨迹方程为 ， ， 因为 ，所以 ， 同理 由对称性可得 ， 所以圆弧 的长度为 . 故选：D. 4．（2023·浙江·校联考三模）在平面直角坐标系上，圆 ，直线 与圆 交于 两点， ，则当 的面积最大时， （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点到直线距离公式表示出圆心到直线距离 ，并由 的范围确定 的范围； 利用垂径定理表示出 ，由 ，根据基本不等式取等条 件可构造方程求得结果. 【详解】由圆的方程知：圆心 ，半径 ，则圆心 到直线 的距离 ， ， ， ， ， （当且仅当 时 取等号）， 则当 的面积最大时， ，又 ，解得： . 故选：C. 5．（2023·福建福州·统考二模）已知 ， 关于直线 对称的圆记为 ，点E，F分别为 ， 上的动点，EF长度的最 小值为4，则 （ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】D 【分析】画出图形，当 过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于对称轴时， 长度最 小，此时圆心 到对称轴的距离为4，根据点到直线的的公式建立方程即可求解. 【详解】 由题易知两圆不可能相交或相切，则如图，当 过两圆圆心且与对称轴垂直又接近于 对称轴时， 长度最小， 此时圆心 到对称轴的距离为4，所以 ，解得 或 . 故选：D 6．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知圆C： ， 过点 的直线与圆C交于A，B两点．若 ，则r的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，取 中点为 ，由勾股定理可得 ，然后再根据 的坐标 得到 ,列出方程即可得到 . 【详解】 取 中点为 ，则可得 ， 因为 ，则 ，即 为等边三角形， 所以 ， ， 在直角三角形 中， ， 则 又因为 ，即 所以 ，解得 故选:A 7．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，圆 ，点为直线 上一动点，过点 引圆 的两条切线，切点分别为 ；若两 条切线 与 轴分别交于 两点，则 的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用 到切线的距离等于 列方程，结合根与系数关系，求得 的表达式， 进而求得 的最小值. 【详解】解：由题知，切线的斜率存在， 设切线方程为 ，即 . 设圆心 到切线的距离为 ， 则 ，化简得 ，则 ， 设两条切线 的斜率分别为 ， 则 ， . 在切线 中，令 ，解得 ， 所以 ，即 ， 所以 ，此时故 的最小值为 . 故选：B. 8．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且 ，球体O表面上动点P满足 ，则点P的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，根据 确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两 球的交线，计算球心距 ，对应圆的半径为 ，再计算周长得 到答案. 【详解】以 所在的平面建立直角坐标系， 为 轴， 的垂直平分线为 轴， ，则 ， ，设 ， ， 则 ，整理得到 ， 故 轨迹是以 为圆心，半径 的圆， 转化到空间中：当 绕 为轴旋转一周时， 不变，依然满足 ， 故空间中 的轨迹为以 为球心，半径为 的球， 同时 在球 上，故 在两球的交线上，为圆. 球心距为 ， 为直角三角形，对应圆的半径为 ， 周长为 .故选：D 二、多选题 9．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知圆 ，点 是直线 上的动点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 、 ，则下列说法正 确的是（ ） A．切线长 的最小值为 B．四边形 面积的最小值为 C．若 是圆 的一条直径，则 的最小值为 D．直线 恒过定点 【答案】ABD 【分析】利用勾股定理可求得切线长 的最小值，可判断A选项；利用三角形的面 积公式可判断B选项；利用平面向量数量积的运算性质以及 的最小值，可判断C 选项；设点 ，求出直线 的方程，可求得直线 恒过定点的坐标，可判断 D选项. 【详解】圆心为 ，圆 的半径为 ，由圆的几何性质可知， ， . 对于A选项， ，当 时， 取最小值，且 ， 所以， ，A对； 对于B选项，由切线长定理可知， ， ， ， 所以， ，所以， ，B对； 对于C选项，易知 为 的中点， ，C错； 对于D选项，设点 ，则 ， 线段 的中点为 ， ， 所以，以 为直径的圆 的方程为 ， 即圆 的方程为 ， 将圆 的方程与圆 的方程作差可得 ， 即 ，故直线 的方程为 ， 变形可得 . 由 可得 ，所以，直线 恒过定点 ，D对. 故选：ABD.10．（2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）已知圆 ，点P为直线 上一动点，下列结论正确的是（ ） A．直线l与圆C相离 B．圆C上有且仅有一个点到直线l的距离等于1 C．过点P向圆C引一条切线PA，A为切点，则 的最小值为 D．过点P向圆C引两条切线PA和PB，A、B为切点，则直线AB过定点 【答案】ACD 【分析】根据圆心到直线的距离判断A，由圆心到直线的距离与圆的半径差判断B， 根据勾股定理转化为求直线上点到圆心距离最小值判断C，求出过 的直线方程，根 据方程求定点判断D. 【详解】对于A，圆心 到直线 的距离 ， 所以直线与圆相离，故A正确； 对于B，由A知 ， ，故圆C上有2个点到直线l的距离等 于1，故B错误； 对于C， ，当且仅当PC与直线 垂直时 等号成立，所以 的最小值为 ，故C正确； 对于D，设点 ，则 ，即 ， 由切线性质可知 四点共圆，且圆的直径为 ， 所以圆的方程为 ， 两圆的方程作差，得公共弦 所在直线方程为 ， 即 ，整理可得 ，解方程 ，解得 ， 所以直线AB过定点 ，故D正确. 故选：ACD 11．（2023·山东菏泽·统考一模）已知圆 ，下列说法正确有（ ） A．对于 ，直线 与圆 都有两个公共点 B．圆 与动圆 有四条公切线的充要条件是 C．过直线 上任意一点 作圆 的两条切线 （ 为切点），则四 边形 的面积的最小值为4 D．圆 上存在三点到直线 距离均为1 【答案】BC 【分析】对于选项A，转化为判断直线恒过的定点与圆的位置关系即可；对于选项 B，转化为两圆外离，运用几何法求解即可；对于选项C，由 ，转化为求 最小值即可；对于选项D，设圆心到直线 的距离为d，比较 与1的关系即可. 【详解】对于选项A，因为 ，即： ， 所以 ，所以直线恒过定点 ， 又因为 ，所以定点 在圆O外， 所以直线 与圆O可能相交、相切、相离，即交点个数可 能为0个、1个、2个.故选项A错误； 对于选项B，因为圆O与动圆C有4条公切线，所以圆O与圆C相离，又因为圆O的圆心 ，半径 ，圆C的圆心 ，半径 ， 所以 ，即： ，解得： .故选项B正确； 对于选项C， ， 又因为O到P的距离的最小值为O到直线 的距离，即： ， 所以四边形PAOB的面积的最小值为 .故选项C正确； 对于选项D，因为圆O的圆心 ，半径 ，则圆心O到直线 的距离 为 ， 所以 ，所以圆O上存在两点到直线 的距离为1.故选项D 错误. 故选：BC. 12．（2023·山东临沂·统考一模）已知圆 ，点 ，点 在圆 上， 为坐标原点，则（ ） A．线段 长的最大值为6 B．当直线 与圆 相切时， C．以线段 为直径的圆不可能过原点 D． 的最大值为20 【答案】ABD 【分析】由定点到圆上点的距离范围可得A正确；根据切线长公式即可求得 ，根据直径所对圆周角为直角可知，当 在 轴上时以线段 为直径的圆 过原点 ；利用向量数量积的坐标表示即可得出结论. 【详解】根据题意可知 的圆心 ，半径 ，如下图所示：易知 ，当且仅当 三点共线（且 点在中间）时， 等号成立，即A正确； 当直线 与圆 相切时，由勾股定理可得 ，所以 B正确； 若以线段 为直径的圆过原点 ，由直径所对圆周角为直角可得 ， 易知当 在 轴上时，满足题意； 所以以线段 为直径的圆可能过原点 ，即C错误； 设点 ，易知 ， 则 所以 ，即 的最大值为20，即D正确； 故选：ABD 13．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知 ．点 分别在 上．则（ ） A． 的最大值为9 B． 的最小值为 C．若 平行于x轴，则 的最小值为 D．若 平行于y轴，则 的最 大值为 【答案】AB 【分析】根据圆心距和两圆的位置关系可得选项AB正确；将 沿 轴方向向左平移的过程，使得平移后的圆与 有公共点的最短平移距离即 的最小值，可求得 的最小值为 ，同理可得 的最大值为 ，即CD错误. 【详解】因为 的圆心为 ，半径 ， 的圆心为 ，半径 ， 的圆心为 ，半径 ， 所以 , 两圆相离； ， 两圆内含. 对于选项A： ，当且仅当 四点共线时取到等 号，故A正确； 对于B：因为 ，所以两圆内含，则 ，当且仅当 四点共线时取到等号，故B正确． 对于C：试想一个将 向左平移的过程，使得平移后的圆与 有公共点的最短平移 距离即 的最小值，如下图所示： 当 平移到 （图中虚线位置）时与 相切，此时 ， 易知 ，所以 ， 所以 ，故C错误；同理如下图所示： 当 平移到 （图中虚线位置）时与 相切，作 垂直于 轴， ， 所以 ，所以 ， ， 所以 ，即 的最大值为 ， 可得D错误. 故选：AB 14．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知圆 ，直线 ， 为直线 上的动点，过点 作圆 的切线 ， ，切点为 ， ， 则下列结论正确的是（ ） A．当 最大时， B．当 最大时，直线 的方程为 C．四边形 面积的最大值为 D．四边形 面积的最小值为 【答案】BD 【分析】由题意可知：当 时，四边形 面积最小，且 最大，利用三 角形的面积公式可判断 选项；结合题意可知：四边形 为正方形，利用正方形的几何性质可判断 选项. 【详解】如图所示： 由圆的几何性质可得 ， ， 由切线长定理可得 ，因为 ， ，所以 ， 所以 ，因为 ，当 时， 取最小值，且 ， 所以四边形 的面积的最小值为 ， 因为 无最大值，即 无最大值，故四边形 面积无最大值， 错 对 因为 为锐角， ，且 ， 故当 最小时， 最大，此时 最大，此时 ， 错 由上可知，当 最大时， 且 ， 故四边形 为正方形，且有 ，则 的方程为 ， 联立 可得 即点 ，由正方形的几何性质可知，直线 过 线段 的中点 ，此时直线 的方程为 ， 对 故选： ．15．（2023·湖北·统考模拟预测）已知直线 交 轴于点P，圆 ，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线 与 交 于点C，则（ ） A．若直线l与圆M相切，则 B．当 时，四边形 的面积为 C．直线 经过一定点 D．已知点 ，则 为定值 【答案】ACD 【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出 即可判断A；根据 求出 ，进而求出 ，根据相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和， 根据三角形面积公式即可求出结果；根据相切可知 四点共圆，且 为直径， 求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，进而判断C；根据直线 过定点及 可得 ，即C在以 为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点 ，即 可判断D. 【详解】解：对于A，若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离 ， 解得 ，所以A正确； 对于B，当 时， ， ， ， 因为 为圆的两条切线，所以 ， 所以四边形 的面积 ， 所以B错误； 对于C，因为 ， ，且 ，所以 四点共圆，且 为直径， 所以该圆圆心为 ，半径为 ， 所以圆的方程为： ， 因为 是该圆和圆 的相交弦， 所以直线 的方程为两圆方程相减， 即 ， 化简可得： ， 所以直线 经过定点 ，所以C正确； 对于D，因为 ，所以 ， 因为 在直线 上，所以 即点C在以 为直径的圆上，因为 ， ， 所以圆心为 ，半径为 ， 所以圆的方程为： ，圆心为 ， 因为点C在该圆上，所以 为定值 ，所以D正确． 故选：ACD 16．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知直线 ，则下列说法正确的是（ ） A．直线 一定不过原点 B．存在定点 ，使得点 到直线 的距离为定值 C．点 到直线 的最小值为 D．若直线 分别与 轴， 轴交于 两点，则 的周长可以等于12【答案】ABD 【分析】将原点 代入直线方程解 判断A，设 ，利用点到直线距离公式 判断B，由B可得直线 为圆 的切线，利用直线和圆的位置关 系判断C，利用特殊点判断选项D. 【详解】选项A：将 代入直线 得 ，即 ，其 中 ， ， 因为 ，所以 无解，选项A正确； 选项B：设点 ，则点 到直线 的距离 ， 令 解得 ， 故当 点坐标为 时，点 到直线 的距离为定值 ，选项B正确； 选项C：由选项B可知直线 为圆 的切线， 设点 到切线的距离为 ， 所以 ，所以点 到直线 的最小值 ，选项C错误； 选项D：由图像可知随直线 斜率由 ， 的周长先减小，再增大，存在最小值， 不妨在圆上取一点 作切线，记为 ，即 ， 所以 ， 的周长为 ，选项D正确； 故选：ABD 17．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知 为圆 上的两点， 为直线 上一动点，则（ ） A．直线 与圆 相离 B．当 为两定点时，满足 的点 有2个 C．当 时， 的最大值是 D．当 为圆 的两条切线时，直线 过定点 【答案】AD 【分析】利用点到直线的距离判断A；确定 最大时的情况判断B；取AB中点 D，由线段PD长判断C；求出直线AB的方程判断D作答. 【详解】对于A，因为 到直线 的距离 ，即直线 与圆 相离，A 正确； 对于B，当A，B为过点P的圆O的切线的切点时， 最大，而 ， 显然 是锐角，正弦函数在 上单调递增， ， 因此 最大，当且仅当 最大，当且仅当 最小，则有 ，此时 ， 所以当 为两定点时，满足 的点 只有1个，B错误；对于C，令AB的中点为D，则 ， ，点D在以O为圆 心， 为半径的圆上， ，显然当 在 上运动时， 无最大值，C不正确； 对于D，设 ，当 为切线时， ，点 在以 为直 径的圆上， 此圆的方程为 ，于是直线 为 ，即 ， 所以直线 过定点 ，D正确. 故选：AD 18．（2023·广东汕头·统考一模）已知直线 ： ， ： ，圆 C： ，若圆C与直线 ， 都相切，则下列选项一定正确的是（ ） A． 与 关于直线 对称B．若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9 C．圆C的圆心在直线 或直线 上 D．与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个 【答案】ACD 【分析】对于A，将线关于线对称转化为点关于线对称，利用点关于线对称的解决办 法及点在直线上即可求解； 对于B，根据已知条件设出圆心，利用直线与圆的相切的条件及点到直线的距离公式 即可求解； 对于C，利用圆的标准方程得出圆心和半径，利用直线与圆的相切的条件及点到直线 的距离公式，结合点在直线上即可求解； 对于D，根据已知条件及选项C的结论，利用点到坐标轴的距离公式及半径的定义， 结合点在直线上即可求解. 【详解】对于A，设直线 ： 上任意一点 关于直线 对称 的点为 ，则 ，解得 ，所以点 在直线 ： 上，所以 与 关于直线 对称，故A正确； 对于B，因为圆C的圆心在x轴上，设圆心为 ，因为圆C与直线 ， 都相切， 所以 ，解得 或 ，当 时， ；当 时， ，故B错误； 对于C，由圆C： ，得圆心为 ，半径为 ，因为圆C与直线 ， 都相切，所以 ，解得 或 ，所以圆心 在直线 或直线 上，故C正确； 对于D，由圆C： ，得圆心为 ，半径为 ，因为圆 与两坐标 轴都相切，得圆心到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ，所以 且 ，即 ，解得 或 ，当 时，由题意可知 ，解得 或 ，当 时，此时不满足，所以与两坐标轴都 相切的圆C有且只有2个，故D正确. 故选：ACD. 19．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知圆C： 点P在直线l： 上运动，以线段PC为直径的圆D与圆C相交于A，B两点，则下列结论正确的 是（ ） A．直线l与圆 相离 B．圆D的面积的最小值为 C．弦长 的最大值为2 D．直线AB过定点 【答案】ABD 【分析】根据圆心 到直线 的距离与半径1的大小关系可判断A；设 ，利用 两点间的距离公式求出圆 的半径，从而可得半径的最小值，可判断B；结合点 的 坐标，可表示圆 的方程，再求出相交弦 的直线方程，从而可判断D；根据圆 直径为2，弦 不过圆心，所以小于2，可判断C. 【详解】解：由题设得圆 的圆心 ，半径为1， 对于选项A：圆心 到直线 的距离 ，所以直线 与圆 相离，A正确；对于选项B：由于点 在直线 上运动，设 ，则圆 的圆心 ， 所以圆 的半径 ， 故当 时半径 有最小值 ， 所以圆 的面积的最小值为 ，故B正确； 对于选项D：由上面的B选项可知圆 的方程为 ， 将圆 的方程与圆 的方程相减可得相交弦 的直线方程为： ， 整理得 ， 令 ，解得 ， 所以直线 过定点 ，故D正确； 对于选项C：由C得，弦 的直线方程为： ， 若弦 过圆心 ， 则 ，方程无解， 所以弦 不过圆心 ，从而小于圆 直径，圆 直径为2，故C错误． 故选：ABD． 20．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知点 ，圆C： ，点P是圆C上的一点，则下列说法正确的是（ ）A．若 ，则 B． 的最小值为 C．设线段PA的中点为Q，则点Q到直线 的距离的取值范围是 D．过直线 上一点T引圆C的两条切线，切点分别为M，N，则 的 取值范围是 【答案】AD 【分析】由圆的方程，设圆上一点 ，判断A，B，C的正误，数形 结合，得 ，判断D的正误. 【详解】设 ， 对于A， ，故A正确； 对于B， ， ，所以 ， 所以当 ，即P点为 时， ，故B错误； 对于C， ，所以点Q到直线 的距离 ，故C错误；对于D，如图所示， ，又CM TM，CN TN， 所以 ， ，所以 ， 所以 ，所以 ，故D正确． 故选：AD． 三、填空题 21．（2023·安徽·统考一模）已知圆 ，直线 （ 是参数），则直线 被圆 截得的弦长的最小值为 __________. 【答案】 【分析】求出直线所过定点A，判断定点在圆内，数形结合知直线 截圆 所得弦长最 小时，弦心距最大，此时 ，即可由勾股定理求出此时的弦长. 【详解】直线l可化为 ， 令 ，所以直线l恒过定点 ， 易知点A在圆C内，所以直线 截圆 所得弦长最小时，弦心距最大，此时 ， 圆 ，圆心 ，半径为5， ， 直线 截圆 所得弦长的最小值为 .故答案为： 22．（2023·山东淄博·统考一模）在平面直角坐标系 中，已知点 ，直线 与圆 交于 ， 两点，若 为正三角形，则实数 ______. 【答案】 【分析】结合作图，可求得直线的斜率，以及原点到直线的距离，利用点到直线的距 离公式，求得答案. 【详解】由题意可知 在圆上，如图： 设MN中点为H，连接PH，因为 为正三角形，则PH过点O,且 ， 则直线MN的斜率为： ， 故 即为 ， 因为 为正三角形，则O点为 的中心，由中心及重心性质知， ，故 ，解得 ， 结合 在圆上， 是圆的内接正三角形，可知 ，即 . 故答案为： ， 23．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）过直线 上一点 作圆 的两条切线 ，切点分别为 ， ，则 的最小值为__________. 【答案】 ## 【分析】设 ，利用 与圆 的关系，得到 ， ，进而得到点均在以 为直径的圆 上，进而得到圆 的方程，则直线 为两圆的公共弦， 进而可求出直线 以及该直线所过的定点，即可求得 的最小值 【详解】设 ，则有 ①， 又由圆 的圆心 为 ，直线 ， 是圆的两条切线， 为切点，则 ， ， 则点 均在以 为直径的圆上，设 的中点为 ， 则圆 的方程为 ， 化简得 ； 直线 即为两圆的公共弦，所以对于 和 ， 两式相减可得直线 的方程为 ， 由①可得， ，整理得 ， 由 得 故直线过定点 ， 因为 ，说明 在圆 内， 当 时，此时 最小，为故答案为： 24．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）若直线 上存在点P，过点P作圆 O： 的两条切线，A，B为切点，满足 ，则k的取值范围是 ____________． 【答案】 【分析】利用数形结合及数量积 可求得P点轨迹为 ，根据题意 可知直线 与 有交点，由直线和圆的位置关系即可求得k的取值范 围. 【详解】如下图所示，已知圆心 ，半径 设 ，令 ，则 ， 且 ，所以 ，由 可得： ， 整理得 ， 解得 （舍去）或 ，则 ，即 所以满足条件的P点轨迹为 ，又点P在直线 上， 所以直线 与 有交点，即 ，解得 ，所以 ． 故答案为： 25．（2023·湖南张家界·统考二模）已知直线 与圆心坐标为 （ 为整 数）且经过点 的圆C相切，直线m： 与圆C相交于A、B两点， 则下列说法正确的是______. ①圆C的标准方程为 ； ②若 ，则实数 的值为2； ③若 ，则直线 的方程为 或 ； ④弦 的中点M的轨迹方程为 . 【答案】①③ 【分析】根据点在圆上和直线与圆的位置关系求参数 可求解①；利用直径所对的圆周 角为直角可求解②；利用直线被圆截得的弦长公式可求解③；利用轨迹方程的求解方 法结合的取值范围可求解④. 【详解】对于①，设圆C的半径为 ， 由题意可得圆C的方程为 （t为整数）， 根据点 是圆C上的点，且圆C与直线 相切， 得 解得 或 （舍去）， 则圆C的标准方程为 ，故①正确； 对于②，由①知圆C的标准方程为 ，圆心 ， ∵点 在圆C上，且 ， ∴线段AB为圆C的直径，∵直线 与圆C相交于A，B两点， ∴圆心 在直线 上，∴ ， 解得 ，故②错误； 对于③，由①知圆C的半径为2，圆心 ， 则圆心C到直线m的距离 ， ∵ ，即 ，解得 ， ∴ ，整理得 ， 解得 或 ， 则直线m的方程为 或 ，故③正确； 对于④，直线m的方程可化为 ，过定点 ， 由圆的性质可得 ， ∴点M的轨迹是以线段CN为直径的圆弧， 则此圆弧的圆心为线段CN的中点， 其坐标为 ，半径为 ， 则该圆的方程为 ， 联立 与 ， 解得两圆的交点坐标为 与 ， 故弦AB的中点M的轨迹方程为 ， ，故④错误. 故答案为：①③. 26．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知 为圆 内一点， AB，CD是过点P且互相垂直的两条弦，则四边形ABCD面积S的最大值为________．【答案】6 【分析】根据圆的半径、半弦长、弦心距的关系及矩形的面积公式得到矩形面积的表 达式，再利用均值不等式求最值即可. 【详解】设圆心O到直线AB，CD的距离分别为 ， 则 ， ， 所以 ， 又 ， ，当且仅当 时等号成立. 所以 . 故答案为：6 27．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）已知圆 和圆 ，若对于 上的任意一点 ，使得过点 都可作一条射 线与圆 依次交于点 ，满足 ，则 的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由两圆的位置关系，得两圆半径与圆心距的关系；再将 上任意一点P，都 可以作射线与圆 依次交于A，B两点，满足 ，转化为两圆上点的距离的取 值范围问题，解出r的范围. 【详解】因为 上任意一点P，都可以作射线与圆 依次交于A，B两点， 所以 ，即 ，又因为 上任意一点P，都可以作射线与圆 依次交于A，B两点，满足 ， 而 ，所以 上任意一点P，都有 ，即 ，解得 ， 综上， . 故答案为： . 28．（2023·浙江·模拟预测）已知直线 与曲线 有两 个交点，则m的取值范围为____________． 【答案】 【分析】先求出直线 所过定点 ，再将曲线 转化为 ，可知其为半圆，结合图像，即可求出 的取值范围. 【详解】由题意得，直线 的方程可化为 ，所以直线 恒过定点 ， 又曲线 可化为 ，其表示以 为圆心，半径 为2的圆的下半部分，如图. 当 与该曲线相切时，点 到直线的距离 ，解得 ， 设 ，则 ， 由图可得，若要使直线 与曲线 有两个交点，须得 ，即m的取值范围为 . 故答案为： . 29．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆 ，圆 ．若圆 上存在两点A，B，且圆 上恰好存在一点P，使得四边形OAPB为矩形，则实数a的取值集合是_________． 【答案】 【分析】设 ，OP中点 ，求出P点的轨迹方程 ，因 P又在圆 上，所以两圆有且仅有一个公共点，所以 或 ，求解即可得出答案. 【详解】设 ，OP中点 ，D也是AB中点， ， 因为D也是AB中点，所以 ， ， 因为 在圆 内，所以 ，∴ ， 又因为 ， ，所以 ， ∴ ，∴P在 上，P又在圆 上，满足条件的P恰好有一个点， ∴两圆有且仅有一个公共点， ∴ 或 ， 或 或0或2，所以a的取值集合 ． 故答案为： . 30．（2023·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知圆 ， ，直线 与圆 相切，与圆 相交于 ， 两点，分别以点 ， 为 切点作圆 的切线 ， 设直线 ， 的交点为 ，则 的最大值为__________． 【答案】 ## 【分析】设 ， ，由相切关系，建立点A，B坐标所满足的方程，即 弦 所在直线的方程，由直线 与圆 相切，得 ，求出m的最大值. 【详解】设点 ， ， ， ， 因为分别以点A，B为切点作圆 的切线 ， ． 设直线 ， 的交点为 ，所以 ，则 ， 即 ，所以 ，因为 ， 所以 ，即 是方程 的解， 所以点 在直线 上， 同理可得 在直线 上，所以弦 所在直线的方程为 ， 因为直线 与圆 相切，所以 ， 解得 ，得 ， 即 的最大值为 ． 故答案为：3.5