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8.3 实数及其简单运算（第2课时 实数的性质及运算）（分层作
业）
基础训练
1.实数 的相反数是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据定义计算判断即可．
本题考查了相反数的定义即只有符号不同的两个数，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选C．
2.已知实数 ，则实数 的倒数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将绝对值化简，再求倒数即可．
【详解】解： ，2024的倒数为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查求有理数的绝对值，倒数，解题关键是掌握乘积等于1的两个数互为倒
数．
3．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和3 D． 和
答案．C
【分析】本题考查了实数的相反数，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“ ”号，
化简各项数字后再判断求解即可．
【详解】解：A、由 ，得3和 不互为相反数，故A选项不符合题意；
B、由 ，得 和 不互为相反数，故B选项不符合题意；C、由 ，得 和3互为相反数，故C选项符合题意；
D、由 ，得 和 不互为相反数，故D选项不符合题意；
故选：C．
4．关于无理数，下列说法正确的有（ ）
①无理数都是无限小数；②无限小数都是无理数；③无理数也能用数轴上的点表示；④无
理数与有理数的和是无理数；⑤无理数与无理数的和是无理数；
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②⑤
【答案】B
【分析】本题主要考查了无理数，实数、数轴的应用，熟练掌握相关知识的定义是解题的
关键．无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，所有实数都可以用数轴上的点
表示，无理数是指无限不循环小数，根据以上内容判断即可．
【详解】解：①无理数都是无限小数，原说法正确；
②无限循环小数是有理数，原说法不正确；
③无理数也能用数轴上的点表示，原说法正确；
④无理数与有理数的和是无理数；原说法正确；
⑤无理数与无理数的和不一定是无理数；原说法不正确；
正确的有①③④，
故选：B．
5． 的相反数为 ，倒数为 ，绝对值为 ，绝对值与相反数的和
为 ．
【答案】 / 0
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，倒数，绝对值和实数的运算，只有符号不同
的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，正数和0的绝对值是它本身，负数的
绝对值是它的相反数，据此求解即可．
【详解】解： 的相反数是 ，
∵ ，∴ 的倒数是 ；
的绝对值是 ，
的绝对值和相反数的和为 ，
故答案为： ； ； ； ．
6．绝对值等于 的数是
【答案】
【分析】本题考查了实数绝对值，根据相反数和绝对值的概念即可得出答案．
【详解】解：绝对值等于 的数是 ，
故答案为：
7． 的相反数是 ，绝对值是 ．
【答案】 / /
【分析】本题考查了实数的性质，相反数的定义，绝对值的意义，根据相反数的定义和绝
对值的定义即可得答案，实数的相反数与有理数的相反数相同，实数的绝对值与有理数的
绝对值相同．
【详解】解： 的相反数是 ，
∵ ，
∴ 绝对值是 ，
故答案为： ， ．
8．(1) 的倒数是 ， ．
(2) 的绝对值是(3) 的相反数是 .
(4)计算 ．
(5) 的相反数是 ， 的绝对值是 ，0的平方根是
【答案】 (1) /
(2) 2
(3) /
(4)
(5) / / 0
【分析】本题考查了实数的性质，无理数的估算；
(1) 两个乘积是1的数互为倒数，据此计算 的倒数；首先比较 与 的大小，
然后化简绝对值即可．
(2) 先求 的值，再根据绝对值的定义求即可
(3) 本题考查了无理数的认识，相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反
数，据此即可作答．
(4) 本题考查了实数的性质，实数的大小比较，熟练掌握绝对值的化简是解题的
关键；先根据实数的大小比较判断 的正负，再根据绝对值化简即可．
(5) 本题主要考查了倒数、绝对值、平方根的性质．根据倒数、绝对值、平方根
的性质，即可求解．
【详解】解：(1) ∵ ，
∴ 的倒数是 ，
∵ ，
∴ ．故答案为： ， ， ．
(2) 的绝对值是
(3)依题意， ，
则 的相反数是 ，
故答案为：
(4) ，
，
，
故答案为： ．
(5) 的相反数为 ，
的绝对值是 ，
0的平方根是0．
故答案为： ， ，0．
9．计算；
(1) ；
(2) ．
(3) ；
(4) ．
(5)：
【答案】(1)5(2)
(3)10
(4)
(5)
【分析】本题主要考查算术平方根、立方根，实数的混合运算，掌握实数的混合运算法则
是解题的关键．
（1）根据算术平方根化简，求立方根的计算化简，再运用有理数的加减运算计算即可；
（2）先化简算术平方根，立方根，绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可．
（3）分别求立方根，算术平方根，以及绝对值，再进行加减即可；
（4）分别计算负整数指数幂，零指数幂和化简绝对值，再进行相加减即可．
(5)本题考查了实数的混合运算，先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可得
解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
（3）解：
；
（4）解：
．(5)
．
能力提升
1．实数 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知， ，则
， ，再运算绝对值即可求解．
【详解】解：由数轴可知， ，
， ，
，
故选：B．
2．对于任意的正数x，y定义运算“#”： ，则计算
的结果为（ ）
A． B． C．14 D．10
【答案】D
【分析】此题考查了新定义，算术平方根的意义，弄清题中的新定义是解本题的关键．原
式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】解：∵ ，∴
．
故选D．
3．若x为实数，在“ ”的“□”中添上一种运算符号（在“ ， ， ， ”中选择）后，
其运算的结果为有理数，则x不可能是（ ）
A．4 B． C． D．
答案：A
【分析】本题考查实数的运算，根据实数的相关运算法则即可求得答案，熟练掌握相关运
算法则是解题的关键．
根据选项代入判断即可．
【详解】A． 与4，无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合
题意；
B． ，均为有理数，故本选项不符合题意；
C． ，为有理数，故本选项不符合题意；
D． ，均为有理数，故本选项不符合题意．
故选：A．
4．已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数是它本身的正数，d是9的负平
方根．
(1) ， ， ， ．
(2)求 的值．
【答案】(1) ；0；1；
(2)1【分析】本题考查了实数的运算，实数的有关概念，解题的关键是∶
（1）根据已知可求得a、b、c、d的值；
（2）根据（1）中的值代入即可．
【详解】（1）解：∵a是最大的负整数，
∴ ，
∵b是绝对值最小的数，
∴ ，
∵c是倒数是它本身的正数，
∴ ，
∵d是9的负平方根．
∴ ，
故答案为： ；0；1； ；
（2）解∶ 由（1）知： ； ； ； ；
∴
．
5.已知点 、 、 在数轴上表示的数 、 、 的位置如图所示，化简：
．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根、立方根的性质，根据数轴可知 ，则可知
， ，即可根据平方根，立方根的性质进行化简．
【详解】根据数轴可知 ，则可知 ， ，
；故答案为： ．
6．一个正数x的两个不同的平方根分别是 和 ．
(1)求a和x的值；
(2)化简： ．
【答案】(1) ， ；
(2)7
【分析】本题考查了实数的性质，平方根，熟练掌握平方根和绝对值的性质是解题的关键．
（1）一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，由此列出 ，即可
求出a和x的值；
（2）把a、x的值代入，根据绝对值的性质化简即可．
【详解】（1）由题意，得 ，
解得 ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴
=7．
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拔高拓展
，未
1．若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记 表示
不大于n的最大完全平方数，记 ．例如： ．则．
答案．2024
【分析】本题考查了数的新定义的运用．理解新定义的意义是解决此类问题的关键；多个
分式相加，要注意找到计算规律和技巧．
分别求得 的值，得到所给代数式的分母和分子的规律，计算即可．
【详解】解：由题意得： ，
；
，
；
，
；
，
；
，
；
，
；
，
；
，；
，
．
分母的规律是从1开始到44；分子的规律从0开始，到分数的值为2结束．
，
故答案为：2024．
2．已知a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数，如：3的差倒数是 ．
已知 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的差倒数，…，以此类推， 为
的差倒数，则 ；若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的定义新运算，数字规律，有理数的混合运算，代入求值，理解定
义新运算的方法，理解新运算、找到规律是解题的关键．
根据差倒数的计算方法求出 的值，找出规律，再运用有理数的混合运算法则
即可求解．
【详解】解： ，，
，
，
…，
该列数是以 ，2这三个数循环出现，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
3．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无
理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果 ，其中 、 为有
理数， 为无理数，那么 ，且 ，运用上述知识可解决下列问题：若 ，
其中 、 为有理数，那么 ，且 ．
(1)如果 ，其中 、 为有理数，那么 ， ；
(2)如果 ，其中 、 为有理数，求 的算术平方根．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题主要考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信
息并熟练运用是解题的关键．
（1）利用材料中的规定列出 ， 的方程，解方程即可得出结论；（2）利用材料中的规定列出 ， 的方程，解方程求得 ， 的值，再利用平方根的意义
解答即可．
【详解】（1）解： ，
，
， ，
解得：a=2，b=4，
故答案为： ， ；
（2） ，
，
即 ，
，
，
的算术平方根为 ．
