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２６４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
５．２ 三角恒等变换
§
其他常用变形
（４）
α α α
α ２ｓｉｎ ｃｏｓ ２ｔａｎ
ｓｉｎ２ ＝ ２α ２α＝ ２α ；
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｔａｎ ＋１
考点 三角函数式的求值和化简
２α ２α ２α
α ｃｏｓ －ｓｉｎ １－ｔａｎ
１．两角和与差的三角函数公式 ｃｏｓ２ ＝ ２α ２α＝ ２α；
ｃｏｓ ＋ｓｉｎ １＋ｔａｎ
ｓｉｎ（ α ＋ β ）＝ｓｉｎ α ｃｏｓ β ＋ｃｏｓ α ｓｉｎ β ； （Ｓα ＋ β） α ( α α ) ２
α β α β α β １±ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ±ｃｏｓ ；
ｓｉｎ（ － ）＝① ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ｓｉｎ ； （Ｓα － β） ２ ２
α β α β α β α α α
ｃｏｓ（ ＋ ）＝ｃｏｓ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｓｉｎ ； （Ｃα ＋ β） ｓｉｎ １－ｃｏｓ ．
α β α β α β ｔａｎ ＝ α＝ α
ｃｏｓ（ － ）＝② ｃ
α
ｏｓ ｃｏｓ
β
＋ｓｉｎ ｓｉｎ ； （Ｃα － β） ４．辅 ２ 助角 １ 公 ＋ｃ 式 ｏｓ ｓｉｎ
α β ｔａｎ ＋ｔａｎ
ｔａｎ（ ＋ ）＝
１－ｔａｎ
α
ｔａｎ
β； （Ｔα ＋ β） ａ
ｓｉｎ
α
＋
ｂ
ｃｏｓ
α
＝④
ａ２
＋
ｂ２
ｓｉｎ
（α
＋
φ）
，
α β ａ ｂ ｂ
ｔａｎ（ α － β ）＝ １ ｔａ ＋ ｎ ｔａｎ － α ｔ ｔ ａ ａ ｎ ｎ β ． （Ｔα － β） 其中 ｃｏｓ φ ＝ ａ２ ｂ２ ，ｓｉｎ φ ＝ ａ２ ｂ２ ，ｔａｎ φ ＝ ａ ．
２．二倍角公式 ＋ ＋
５．角的拆分与组合
α α α
ｓｉｎ２ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ； （Ｓ２ α） 用已知角表示未知角
ｃｏｓ２
α
＝ｃｏｓ
２α
－
α
ｓｉｎ
２α
＝③ ２ｃｏｓ
２α
－１ ＝１－２ｓｉｎ
２α
； （Ｃ２ α）
（
例
１
如
）
，２
α
＝（
α
＋
β
）＋（
α
－
β
），２
β
＝（
α
＋
β
）－（
α
－
β
），
α ２ｔａｎ ． α α β β α β β
ｔａｎ２ ＝ １－ｔａｎ ２α （Ｔ２ α） ＝（ ( ＋ ）－ ) ＝（ － ( ）＋ ， )
３．公式的变形与应用 α π α π α π π．
＝ ＋ － ＝ － ＋
两角和与差的正切公式的变形 ４ ４ ３ ３
互余与互补关系
（１）
（２）
α β α β α β ( ) ( )
ｔａｎ ＋ｔａｎ ＝ｔａｎ（ ＋ ）（１－ｔａｎ ｔａｎ ）； 例如 π α ３π α
α β α β α β ． ， ＋ ＋ － ＝π，
ｔａｎ －ｔａｎ ＝ｔａｎ（ － ）（１＋ｔａｎ ｔａｎ ） ４ ４
升幂公式 ( ) ( )
（２） π α π α π．
α α ＋ ＋ － ＝
α ２ α ２ ． ３ ６ ２
１＋ｃｏｓ ＝２ｃｏｓ ；１－ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ 非特殊角转化为特殊角
２ ２ （３）
降幂公式 例如 ° ° ° ° ° °．
（３） ，１５ ＝４５ －３０ ，７５ ＝４５ ＋３０
α α
２α １－ｃｏｓ２ ２α １＋ｃｏｓ２ ．
ｓｉｎ ＝ ；ｃｏｓ ＝
２ ２
２ ５ ３ ５ ２ ５ ３ １０
Ａ． Ｂ．－ Ｃ．－ Ｄ．－
５ １０ ５ １０
答案 Ｃ
考点 三角函数式的求值和化简
( ) ( )
１．在平面直角坐标系中
，
角α的始边与ｘ轴的非负半轴重合
，
终 ４．已知
ｓｉｎ
α
＝
１０
，
α
∈ ０，
π
，
则
ｃｏｓ ２
α
＋
π 的值为
（ ）
( ) ( ) １０ ２ ６
边与单位圆交于点Ｐ ３ ４ 则 α π
－ ， ， ｓｉｎ ＋ ＝ （ ） ４ ３－３ ４ ３＋３
５ ５ ４ Ａ． Ｂ．
１０ １０
２ ２ ７ ２ ７ ２
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－ ４－３ ３ ３ ３－４
１０ １０ １０ １０ Ｃ． Ｄ．
答案 Ａ １０ １０
答案 Ａ
° °
２．２ｓｉｎ４７ － ３ｓｉｎ１７ ５．（多选题）下列式子的运算结果为 的是
° ＝ （ ） ３ （ ）
ｃｏｓ１７
° ° ° °
Ａ．ｔａｎ２５ ＋ｔａｎ３５ ＋ ３ｔａｎ２５ ｔａｎ３５
Ａ．－ ３ Ｂ．－１ Ｃ． ３ Ｄ．１ ° ° ° °
答案 Ｄ Ｂ．２（ｓｉｎ３５ ｃｏｓ２５ ＋ｃｏｓ３５ ｃｏｓ６５ ）
°
( ) α ２α １＋ｔａｎ１５
３．已知 α π １ 且π α 则ｓｉｎ２ －２ｃｏｓ 等于 Ｃ． °
ｔａｎ ＋ ＝－ ， ＜ ＜π， ( ) １－ｔａｎ１５
４ ２ ２ α π
ｓｉｎ － π
４ ｔａｎ
６
（ ） Ｄ．
２ π
１－ｔａｎ
６
专题五 三角函数与解三角形 ２６５
答案 ＡＢＣ ( ｘ ) ( ｘ )
７．函数ｆ ｘ ｘ Ｒ．
６．在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中 点Ｐ ｘ ｙ 在单位圆 Ｏ 上 设 （ ）＝ｃｏｓ － ＋ｓｉｎ π－ ， ∈
， （ ０， ０） ， ２ ２
( ) ( ) 求ｆ ｘ 的最小正周期
ｘＯＰ α 且α π ３π ．若 α π ４ 则ｘ 的值为 （１） （ ） ；
∠ ＝ ， ∈ ， ｃｏｓ ＋ ＝－ ， ０ ( ) ( )
４ ４ ４ ５ 若ｆ α ２ １０ α π 求 α π 的值．
． （２） （ ）＝ ， ∈ ０， ， ｔａｎ ＋
５ ２ ４
答案 ２
－
１０
解析 α α ．
∵ ｔａｎ（π＋ ）＝２，∴ ｔａｎ ＝２
２α ２α α α ２α α
α α ｃｏｓ －ｓｉｎ ＋２ｓｉｎ ｃｏｓ １－ｔａｎ ＋２ｔａｎ
ｃｏｓ ２ ＋ｓｉｎ ２ ＝ ２α ２α ＝ ２α ＝
ｃｏｓ ＋ｓｉｎ １＋ｔａｎ
考点 三角函数式的求值和化简
２
１－２ ＋２×２ １ ．
１．（２０１８ 浙江金华十校第一学期期末调研，３） ° ° ２ ＝
ｓｉｎ ５ ｃｏｓ ５５ － １＋２ ５
° °的结果是 ５．（２０１９河南顶级名校第四次联合质量测评，１６）已知 α
ｃｏｓ１７５ ｓｉｎ５５ （ ） ∈
( ) ( ) α β
１ １ ３ ３ π β π α β ３ β 则ｔａｎ（ ＋ ）
Ａ．－ Ｂ． Ｃ．－ Ｄ． ０， ， ∈ ０， ，ｓｉｎ（２ ＋ ）＝ ｓｉｎ ， α
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ｔａｎ
答案 Ｄ ° ° ° ° ° ° ．
ｓｉｎ ５ ｃｏｓ ５５ －ｃｏｓ １７５ ｓｉｎ ５５ ＝ｓｉｎ ５ ｃｏｓ ５５ ＋ ＝
答案
５
° ° ° ° ° ３ 故选 ．
ｃｏｓ５ ｓｉｎ５５ ＝ｓｉｎ（５ ＋５５ ）＝ｓｉｎ６０ ＝ ， Ｄ 解析 因为 α β ３ β
２ ｓｉｎ（２ ＋ ）＝ ｓｉｎ ，
° ２
２．（２０２０陕西汉中第六次模拟，５）化简 ｓｉｎ１０
： °＝ （ ） 即 α β α ３ α β α
１－ ３ｔａｎ１０ ｓｉｎ［（ ＋ ）＋ ］＝ ｓｉｎ［（ ＋ ）－ ］，
２
１ １ ３ 则 α β α α β α
Ａ． Ｂ． Ｃ．１ Ｄ．－ ｓｉｎ（ ＋ ）ｃｏｓ ＋ｃｏｓ（ ＋ ）ｓｉｎ
４ ２ ３
答案 Ａ 本题主要考查同角三角函数的基本关系 二倍角 ３ α β α α β α
、 ＝ ［ｓｉｎ（ ＋ ）ｃｏｓ －ｃｏｓ（ ＋ ）ｓｉｎ ］，
公式以及辅助角公式的应用 通过代数式的化简考查学生的运 ２
， 有 α β α α β α 得到 α β α 所
算求解能力． ｓｉｎ（ ＋ ）ｃｏｓ ＝５ｃｏｓ（ ＋ ）ｓｉｎ ， ｔａｎ（ ＋ ）＝５ｔａｎ ，
α β
° ° ° ° ° 以ｔａｎ（ ＋ ） ．
ｓｉｎ１０ ｓｉｎ１０ ｃｏｓ１０ ２ｓｉｎ１０ ｃｏｓ１０ α ＝５
°＝ ° °＝ æ ö ｔａｎ
１－ ３ｔａｎ１０ ｃｏｓ１０ － ３ｓｉｎ１０ ４è ç １ ｃｏｓ１０ ° － ３ ｓｉｎ１０ ° ø ÷ 解题关键 把 ｓｉｎ（２ α ＋ β ）＝ ３ ｓｉｎ β 变为 ｓｉｎ（ α ＋ β ＋ α ）＝
２ ２ ２
°
ｓｉｎ２０ １ 故选 ３ α β α 恰当变角是解决本题的关键．
＝ ° ° ＝ ， Ａ． ｓｉｎ（ ＋ － ），
４ｓｉｎ（３０ －１０ ） ４ ２
方法点拨 三角函数式化简的步骤 差异分析 观察角 函 ６．（２０１８贵州凯里一中１ 月月考，１５）已知 α β 均为锐角 且
：（１） ： 、 ， ，
数名称间的差异 探寻联系 运用相关公式 找出差异之间
α
；（２） ： ， α β ｓｉｎ 则 α的最大值是 ．
的内在联系 合理转化 选择恰当的公式 促使差异转化 ｃｏｓ（ ＋ ）＝ β， ｔａｎ
；（３） ： ， ， ｓｉｎ
即 变角变名变结构 ．
“ ” 答案 ２
( )
３．（２０１９ 镇海中学期中考试，７）已知 π α ２ 则 ４
ｓｉｎ － ＝－ ， 解析 因为α β均为锐角 所以 α β ．
６ ３ ， ， ｃｏｓ ≠０，ｃｏｓ ≠０
α α α α
ｃｏｓ２ ＋ ３ｓｉｎ２ ＝ （ ） 由 α β ｓｉｎ 得 α β α β ｓｉｎ
ｃｏｓ（ ＋ ）＝ β ｃｏｓ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ β，
１０ １０ ５ ５ ｓｉｎ ｓｉｎ
Ａ． Ｂ．－ Ｃ．－ Ｄ． 则 β β α ２β α
９ ９ ９ ９ ｓｉｎ ｃｏｓ －ｔａｎ ｓｉｎ ＝ｔａｎ ，
即 ２β α β β
答案 Ａ 设 π α ｔ 则 ｔ ２ α α （１＋ｓｉｎ ）ｔａｎ ＝ｓｉｎ ｃｏｓ ，
－ ＝ ， ｓｉｎ ＝－ ，ｃｏｓ ２ ＋ ３ｓｉｎ ２ ＝ β β β β β
６ ３ 所以 α ｓｉｎ ｃｏｓ ｓｉｎ ｃｏｓ ｔａｎ １
( ) ( ) ｔａｎ ＝ ２β ＝ ２β ２β＝ ２β ＝ ，
２ｓｉｎ ２ α ＋ π ＝２ｓｉｎ π －２ ｔ ＝２ｃｏｓ ２ ｔ ＝２（ｃｏｓ ２ｔ －ｓｉｎ ２ｔ ）＝ ２× １＋ｓｉｎ ２ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ２ｔａｎ ＋１ ２ｔａｎ β ＋ ｔａｎ １ β
６ ２
( )
７ － ２ ＝ １０ ， 选 Ａ． 因为β为锐角 ， 所以 ｔａｎ β ＞０， 所以 ２ｔａｎ β ＋ ｔａｎ １ β≥２ ２， 得 ｔａｎ α
９ ９ ９
４．（２０１８贵州贵阳第二次适应性考试，１３）已知 α ( )
ｔａｎ（π＋ ）＝ ２， １ ２ 当且仅当 β ２时等号成立 ． α的最大
则 α α ． ≤ ＝ ｔａｎ ＝ ∴ ｔａｎ
ｃｏｓ２ ＋ｓｉｎ２ ＝ ２ ２ ４ ２
答案 １ 值为 ２．
５ ４
２６６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
考法一 三角函数式的化简方法
α
例１ 已知α为第二象限角 则 α １－ｓｉｎ α
（１） ， ｃｏｓ α＋ｓｉｎ
１＋ｓｉｎ
α
１－ｃｏｓ ． ２．三角函数式化简的方法
· α＝
１＋ｃｏｓ 化简三角函数式的常见方法有弦切互化 异名化同名 异角
( θ θ ) ， ，
θ θ 化同角 降幂与升幂等．
（１＋ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ）· ｓｉｎ －ｃｏｓ ，
化简 ２ ２ θ ３．三角函数式化简的要求
（２） ： θ （０＜ ＜π）＝
２＋２ｃｏｓ 使三角函数式的项数最少 次数最低 角与函数名称的
． （１） 、 、
种类最少
æ α ö ( α ) ；
化简 １ α ． 尽量使分母不含三角函数
（３） ：ç ç α－ｔａｎ ２ ÷ ÷· １＋ｔａｎ ｔａｎ ２ ＝ （２） 尽量使被开方数不含三角函 ； 数．
èｔａｎ ø （３）
２ 例２ 求下列各式的值
解析 （ ）因为α为第二象限角，所以 α ， α ． ：
１ ｓｉｎ ＞０ ｃｏｓ ＜０
２ ° １
α （ α）２ （ α）２ ° ｓｉｎ ３５ －
因为 １－ｓｉｎ １－ｓｉｎ １－ｓｉｎ ｓｉｎ１０ ２
１＋ｓｉｎ α ＝ （ １＋ｓｉｎ α）（ １－ｓｉｎ α）＝ ｃｏｓ ２α ＝ （１） １－ ３ｔａｎ１０ °；（２） ｃｏｓ１０ ° ｃｏｓ８０ °；
｜１－ｓｉｎ
α
｜ １－ｓｉｎ
α
， １－ｃｏｓ
α （
１－ｃｏｓ
α）２
２ｃｏｓ１０
°
－２ ３ｃｏｓ（－１００
°
）
α ＝ α α ＝ （ α）（ α） ＝ （３） ° ；
｜ｃｏｓ ｜ －ｃｏｓ １＋ｃｏｓ １＋ｃｏｓ １－ｃｏｓ １－ｓｉｎ１０
（
１－ｃｏｓ
α）２
｜１－ｃｏｓ
α
｜ １－ｃｏｓ
α
，所以原式 α · ｃｏｓ２０
°
° ° ° °．
＝ α ＝ α ＝ ｃｏｓ （４） °·ｃｏｓ１０ ＋ ３ｓｉｎ１０ ｔａｎ７０ －２ｃｏｓ４０
２α ｜ｓｉｎ ｜ ｓｉｎ ｓｉｎ２０
ｓｉｎ 解题导引 将分母中的切函数化成弦函数形式 再用
( α) α （１） ，
１－ｓｉｎ α·１－ｃｏｓ α α．
－ α ＋ｓｉｎ α ＝ｓｉｎ －ｃｏｓ 二倍角公式及两角差的正弦公式化简求值
ｃｏｓ ｓｉｎ ；
( θ θ θ ) ( θ θ ) 将分子中 次幂逆用二倍角余弦公式 将其降幂升倍
２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋２ｃｏｓ ２ · ｓｉｎ －ｃｏｓ 分母 （ 利 ２ 用 ） 两角互余 ２ 逆用二倍角正弦公式化简后 ， 求值 ，
（ ）原式 ２ ２ ２ ２ ２ 、 ；
２ ＝ θ 利用诱导公式将 ° 写成 ° °形
（３） ｃｏｓ（－１００ ） －ｃｏｓ ８０ ＝－ｓｉｎ １０
４ｃｏｓ ２ 式 利用 ° ° ° ° ° ２ 将分母开
２ ； １－ｓｉｎ１０ ＝１－２ｓｉｎ５ ｃｏｓ５ ＝（ｓｉｎ５ －ｃｏｓ５ ） ，
( θ θ ) θ 方 注意比较 °正 余弦值的大小
２ ２ · θ ， ５ 、 ；
θ ｓｉｎ －ｃｏｓ －ｃｏｓ ｃｏｓ 根据已知条件中代数式的结构特征 多个分式相加减形
· ２ ２ ２ ． （４） ，
＝ｃｏｓ θ ＝ θ 式 确定变形的方向 即 遇到分式要通分 遇到切函数化成弦
２ ， ， “ ”“
ｃｏｓ ｃｏｓ 函数 找到公因式 通分化简求值即可．
２ ２ ”， ，
θ θ ° ° °
θ ， π， ， 原式 θ． 解析 （ ） ｓｉｎ１０ ｓｉｎ１０ ｃｏｓ１０
∵０＜ ＜π ∴０＜ ２ ＜ ２ ∴ ｃｏｓ ２ ＞０ ∴ ＝－ｃｏｓ １ °＝ ° °
１－ ３ｔａｎ１０ ｃｏｓ１０ － ３ｓｉｎ１０
α α æ α ö
° ° °
ｃｏｓ ２ －ｓｉｎ ２ ç α ｓｉｎ ÷ ２ｓｉｎ１０ ｃｏｓ１０ ｓｉｎ２０ １ ．
（ ３ ）原式 ＝ α ２ · ２ α ·ç ç１＋ ｃ ｓｉ ｏ ｎ ｓ α · ２ α ÷ ÷ ＝ ４ æ è ç １ ｃｏｓ１０ ° － ３ ｓｉｎ１０ ° ö ø ÷ ＝ ４ｓｉｎ （ ３０ ° －１０ °）＝ ４
ｓｉｎ ｃｏｓ è ｃｏｓ ø ２ ２
２ ２ ２ °
α α α α ２ ° １ １－ｃｏｓ７０ １ １ °
２ ２ α α ｓｉｎ ３５ － － － ｃｏｓ７０
ｃｏｓ －ｓｉｎ ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ （ ） ２ ２ ２ ２ ．
２ ２ · ２ ２ ２ ° °＝ ° °＝ ＝－１
＝ α α α ｃｏｓ１０ ｃｏｓ８０ ｃｏｓ１０ ｓｉｎ１０ １ °
· α· ｓｉｎ２０
ｓｉｎ ｃｏｓ ｃｏｓ ｃｏｓ ２
２ ２ ２ ° （ °） ° °
α （ ）２ｃｏｓ１０ －２ ３ｃｏｓ －１００ ２ｃｏｓ１０ ＋２ ３ｓｉｎ１０
２ｃｏｓ
α
·
ｃｏｓ
２ ２ ．
３ １－ｓｉｎ１０ ° ＝ １－ｓｉｎ１０ °
＝ α α ＝ α æ ö
ｓｉｎ α· ｓｉｎ ç １ ° ３ °÷
ｃｏｓ ｃｏｓ ４è ｃｏｓ１０ ＋ ｓｉｎ１０ ø °
２ ２ ２ ４ｃｏｓ５０
＝ ° ° ＝ ° °
答案 （ ） α α （ ） θ （ ） ２ １－２ｓｉｎ５ ｃｏｓ５ ｃｏｓ５ －ｓｉｎ５
１ ｓｉｎ －ｃｏｓ ２ －ｃｏｓ ３ α ° °
ｓｉｎ ４ｃｏｓ５０ ４ｃｏｓ５０ ．
方法总结 １．三角函数式的化简原则 ＝ æ ö ＝ °＝２ ２
ç ２ ° ２ °÷ ２ｃｏｓ５０
２è ｃｏｓ５ － ｓｉｎ５ ø
２ ２
° ° ° °
（ ）原式 ｃｏｓ２０ ｃｏｓ１０ ３ｓｉｎ１０ ｓｉｎ７０ °
４ ＝ ° ＋ ° －２ｃｏｓ４０
ｓｉｎ２０ ｃｏｓ７０
专题五 三角函数与解三角形 ２６７
° ° ° °
先根据已知条件 将所求角β写成两个 已知角 α与
ｃｏｓ２０ ｃｏｓ１０ ３ｓｉｎ１０ ｃｏｓ２０ ° （４） ， “ ”
＝ ° ＋ ° －２ｃｏｓ４０
ｓｉｎ２０ ｓｉｎ２０ α β 之差的形式 即β α α β 由 α β １０确
°（ ° °） （ － ） ， ＝［ －（ － ）］， ｓｉｎ（ － ）＝－
ｃｏｓ２０ ｃｏｓ１０ ＋ ３ｃｏｓ１０ ° １０
＝ ° －２ｃｏｓ４０
ｓｉｎ２０ 定 π α β π 求出 α β ３ １０ 再求出 β α α
°· （ ° °） － ＜ － ＜ ， ｃｏｓ（ － ）＝ ， ＝［ －（ －
ｃｏｓ２０ ２ｓｉｎ １０ ＋３０ ° ２ ２ １０
＝ ° －２ｃｏｓ４０ β 的一个三角函数值 从而确定角β的值．
ｓｉｎ２０ ）］ ，
°· ° ° α β
ｃｏｓ２０ ４ｓｉｎ２０ ｃｏｓ２０ ° 解析 （ ）由 α β ，得ｓｉｎ ｓｉｎ ，
＝ ° －２ｃｏｓ４０ １ ｔａｎ －ｔａｎ ＝３ α－ β＝３
ｓｉｎ２０ ｃｏｓ ｃｏｓ
＝４ｃｏｓ ２ ２０ ° －２ （ ２ｃｏｓ ２ ２０ ° －１ ） ＝２ ． 即ｓｉｎ α ｃｏｓ β －ｃｏｓ α ｓｉｎ β ．
α β ＝３
ｃｏｓ ｃｏｓ
例 （２０１７ 豫 北 名 校 ４ 月 联 考， １４） 计 算 （α β） α β．
： ∴ ｓｉｎ － ＝３ｃｏｓ ｃｏｓ
ｃｏｓ１０ ° － ３ｃｏｓ（－１００ ° ） ． 用数字作答 又α － β ＝ π， ∴ ｃｏｓ α ｃｏｓ β ＝ １ ．
° ＝ （ ） ６ ６
１－ｓｉｎ１０
° （ °） ° ° 又 （α β） α β α β ３，
解析 ｃｏｓ１０ － ３ｃｏｓ －１００ ｃｏｓ１０ ＋ ３ｃｏｓ８０ ｃｏｓ － ＝ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ ＝
° ＝ ° ＝ ２
１－ｓｉｎ１０ １－ｃｏｓ８０
° ° （ ° °） α β ３ １ ．
ｃｏｓ１０ ＋ ３ｓｉｎ１０ ２ｓｉｎ １０ ＋３０ ． ∴ ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ －
· ° ＝ · ° ＝ ２ ２ ６
２ ｓｉｎ４０ ２ ｓｉｎ４０ æ ö
答案 ∴ ｃｏｓ （α ＋ β） ＝ｃｏｓ α ｃｏｓ β －ｓｉｎ α ｓｉｎ β ＝ １ －è ç ３ － １ ø ÷ ＝ １ －
２ ６ ２ ６ ３
３．故选 ．
考法二 三角函数式的求值方法 Ｄ
２
例３ （２０１９山西康杰中学等名校９月联考，１２）已 α β
（１） （ ）由已知得， α ｓｉｎ １＋ｓｉｎ ，
２ ｔａｎ ＝ α＝ β
知α － β ＝ π ，ｔａｎ α －ｔａｎ β ＝３， 则 ｃｏｓ（ α ＋ β ） 的值为 （ ） 去分母得， α β ｃｏｓ α ｃｏｓ α β，
６ ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ
所以 α β α β α， （α β） α
ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ｓｉｎ － ＝ ｃｏｓ ＝
１ ３ １ ３ ( )
Ａ． ＋ Ｂ． － π α ，
２ ３ ２ ３ ｓｉｎ －
２
１ ３ １ ３
Ｃ． ＋ Ｄ． － 又因为 π α β π， π α π，
３ ２ ３ ２ － ＜ － ＜ ０＜ － ＜
( ) ２ ２ ２ ２
（２０２０ 山东潍坊开学考，７） 设 α π β
（２） ∈ ０， ， ∈ 所以α β π α，即 α β π，故选 ．
２ － ＝ － ２ － ＝ Ｃ
( ) β ２ ２
π 且 α １＋ｓｉｎ 则 ( ) ( )
０， ， ｔａｎ ＝ β ， （ ） （ ） α π ， π α ，
２ ｃｏｓ ３ ∵ ｔａｎ － ＝２ ∴ ｔａｎ － ＝－２
６ ６
α β π α β π ( ) ( )
Ａ．３ － ＝ Ｂ．３ ＋ ＝ π α π α
２ ２ ( ) ｓｉｎ － ｃｏｓ ＋
即 π α ６ ３ ，
α β π α β π ｔａｎ － ＝ ( ) ＝ ( ) ＝－２
Ｃ．２ － ＝ Ｄ．２ ＋ ＝ ６ π α π α
２ ２ ｃｏｓ － ｓｉｎ ＋
( ) [ ] α α ６ ３
已知 α π α π ７π 则 ( ) ( )
（３） ｔａｎ － ＝２， ∈ ， ， ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ α π α π ．
６ ６ ６ ２ ２ ∴ ｃｏｓ ＋ ＝－２ｓｉｎ ＋
α ３ ３
２ ３ ． [ ] [ ]
３ｃｏｓ － ＝ α π，７ ， α π π，３ ．
２ ２ ∵ ∈ π ∴ ＋ ∈ π
６ ６ ３ ２ ２
已知 α ５ α β １０ α β均为锐角 则β ( ) ( )
（４） ｓｉｎ ＝ ，ｓｉｎ（ － ）＝－ ， ， ， 又知 ２ α π ２ α π ，
５ １０ ｃｏｓ ＋ ＋ｓｉｎ ＋ ＝１
． ３ ３
＝ ( ) ( )
解题导引 把切化为弦 逆用两角差的正弦公式得 所以 α π ２ ５， α π ５．
（１） 、 ｃｏｓ ＋ ＝－ ｓｉｎ ＋ ＝
α β α β 先求出 α β的值 再求出 α β ３ ５ ３ ５
ｓｉｎ（ － ）＝３ｃｏｓ ｃｏｓ ， ｃｏｓ ｃｏｓ ， ｓｉｎ ｓｉｎ α α α
的值 从而求得 α β 的值． 则 ２ ３ １ α ３ α
， ｃｏｓ（ ＋ ） ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ ３ｃｏｓ － ＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝
先将 α切化弦 再将分式化成整式 逆用两角差的正 ２ ２ ２ ２ ２ ２
（２） ｔａｎ ， ， ( )
弦公式 转化为两个三角函数值相等的形式 根据已知角的范 α π ５．
， ， ｓｉｎ ＋ ＝
围 确定角之间的关系 最后得出答案． ３ ５
， ，
( ) ( ) （ ）因为α，β均为锐角，所以 π α β π．
把切化为弦 得 α π α π 由平方关 ４ － ＜ － ＜
（３） ， ｃｏｓ ＋ ＝－２ｓｉｎ ＋ ， ２ ２
３ ３
( ) ( )
系得 ｃｏｓ α ＋ π ，ｓｉｎ α ＋ π 的值 ， 把所求式子化为 又 ｓｉｎ （α － β） ＝－ １０，
３ ３ １０
( )
α π 求解． 所以 （α β） ３ １０．
ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ － ＝
３ １０
２６８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
殊角的三角函数值问题 另外此类问题也常通过代数变形 比
又 α ５，所以 α ２ ５， ， （
ｓｉｎ ＝ ｃｏｓ ＝ 如 正负项相消 分子 分母约分等 的方式来求值．
５ ５ ： ， 、 ）
所以 β ［α （α β）］ α （α β） α （α β） ２．给值求值 给出某些角的三角函数值 求另外一些角的三
ｓｉｎ ＝ｓｉｎ － － ＝ｓｉｎ ｃｏｓ － －ｃｏｓ ｓｉｎ － ： ，
æ ö 角函数值 解题的关键在于 变角 如α α β β α α β
＝ ５ ５ × ３ １０ １０ － ２ ５ ５ ×è ç － １ １ ０ ０ ø ÷ ＝ ２ ２．所以β ＝ π ４ ． ＋（ α － β ） 等 ， ， 把待求三角函数 “ 值的 ” 角 ， 用含 ＝ 已 （ 知 ＋ 角 ） 的 － 式 ，２ 子 ＝ 表 （ 示 ＋ ， 求 ）
解时要注意对角的范围的讨论．
答案 （ ）Ｄ （ ）Ｃ （ ） ５ （ ） π ３．给值求角 实质上可转化为 给值求值 问题 先求所求角
１ ２ ３ ４ ： “ ” ，
５ ４ 的某一三角函数值 再结合所求角的范围及三角函数的单调性
方法总结 １．给角求值 一般所给出的角都是非特殊角 要 ，
： ， 求角．
观察所给角与特殊角间的关系 利用三角恒等变换转化为求特
，
求 α β 的值．
（２） ｃｏｓ（ －２ ）
考法二 三角函数式的求值方法
考法一 三角函数式的化简方法 ( )
７．（２０１９ 江西九江十校联考，８）已知 α π ３ 则
ｃｏｓ － ＝ ，
１．（２０１９山东夏津一中月考，４） ｃｏｓ ４ π －ｓｉｎ ４ π ＝ （ ） ( ) １２ ５
８ ８ ５π α 的值为
ｓｉｎ －２ （ ）
３
２ ２
Ａ．０ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．１
２ ２ ７ ７ ２４ ２４
答案 Ｃ Ａ．－ ２５ Ｂ． ２５ Ｃ． ２５ Ｄ．－ ２５
答案 Ｂ
２．（２０２０四川邻水实验学校月考一，２）２ｓｉｎ５
°
－ｃｏｓ２５
°
( ) (
° ＝（ ） ８．（２０２０山东滨州三校联考，７）若 π α １ 则 π
３ｓｉｎ２５ ｓｉｎ － ＝ ， ｃｏｓ ＋
３ ４ ３
Ａ．２ Ｂ． ３ Ｃ．１ Ｄ．－１ )
答案 Ｄ α
２ ＝ （ ）
( ) ( )
３．（２０２０山东潍坊期末，５）已知 α π ３ α π
ｓｉｎ － ＝ ， ∈ ０， ， ７ １ １ ７
４ ５ ２ Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．
则 ｃｏｓ α ＝ （ ） 答案 ８ Ａ ４ ４ ８
２ ３ ２ ２ ７ ２ ９．（２０２０福建宁德模拟考，８）已知 α １ α β １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ｃｏｓ ＝ ，ｃｏｓ（ ＋ ）＝－ ，
１０ １０ ２ １０ ３ ３
答案 Ａ ( )
且α β π 则 α β 的值等于
θ ， ∈ ０， ， ｃｏｓ（ － ） （ ）
４．（２０２０ 山东青岛二模，１３）已知 θ 则 ｃｏｓ ２
ｔａｎ ＝３ ３， θ °
ｓｉｎ（ －６０ ） １ １ １ ２３
． Ａ．－ Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．
＝ ２ ２ ３ ２７
答案 Ｄ
答案 ３
( )
３ １０．（２０２０山东滨州三模，１５）已知α β γ π α γ
( ) ， ， ∈ ０， ，ｓｉｎ ＋ｓｉｎ
２
５．（２０２０ 江苏苏州五校月考，８）已知 ｃｏｓ θ ＋ π ＝ ５ ， θ ∈ ＝ｓｉｎ β ，ｃｏｓ β ＋ｃｏｓ γ ＝ｃｏｓ α ， 则 ｃｏｓ（ α － β ）＝ ， α － β
４ ５
( ) ( ) ．
π 则 θ π 的值为 ． ＝
０， ， ｓｉｎ ２ －
２ ４ 答案 １ π
；－
２ ３
答案 ２ １１．（２０２０江苏扬州高邮开学考，１７）在平面直角坐标系ｘＯｙ中
－ ，
１０ 锐角α的顶点为坐标原点Ｏ 始边为ｘ轴的非负半轴 终边上
， ，
６．（２０２０江苏南通海门中学检测，１７）已知 α π π β 有一点Ｐ ．
０＜ ＜ ， ＜ ＜π，
（１，２）
２ ２
求 α α
（１） ｃｏｓ２ ＋ｓｉｎ２ ；
α ４ β ５． ( )
ｔａｎ２ ＝－ ，ｓｉｎ ＝
３ ５ 若 α β １０ 且β π 求角β的值．
求 α的值 （２） ｓｉｎ（ － ）＝ ， ∈ ０， ，
１０ ２
（１） ｔａｎ ；
专题五 三角函数与解三角形 ２６９
３
即 ｘ ２ ３ ．故选 ．
ｔａｎ ＝ ＝ Ｃ
１－（－１） ４
考法一 三角函数式的化简方法
３．（２０２０全国卷２４ 省４ 月联考，５）已知 α ° ３ 则
ｓｉｎ（ ＋１５ ）＝ ，
１．（２０１８ 北京通州期中，２） 已知 α ３ α 则 ５
ｃｏｓ ＝ ，０＜ ＜π， α °
５ ｃｏｓ（ －３０ ）＝ （ ）
( )
α π ７ ２ ２ ７ ２或 ２ ７ ２或 ２
ｔａｎ ＋ ＝ （ ） Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ． －
４ １０ １０ １０ １０ １０ １０
１ １ 答案 Ｄ α ° ３ α ° ４ 或 ４ ．当
Ａ． Ｂ．－１ Ｃ． Ｄ．－７ ∵ ｓｉｎ（ ＋１５ ）＝ ，∴ ｃｏｓ（ ＋１５ ）＝ －
５ ７ ５ ５ ５
答案 Ｄ α ３ α α ° ４ 时 α ° α ° ° α
∵ ｃｏｓ ＝ ，０＜ ＜π， ｃｏｓ（ ＋１５ ）＝ ，ｃｏｓ（ －３０ ）＝ｃｏｓ［（ ＋１５ ）－４５ ］＝ｃｏｓ（
５ ５
( )
∴ ｓｉｎ α ＝ ５ ４ ，∴ ｔａｎ α ＝ ３ ４ ， ＋１５ ° ）ｃｏｓ４５ ° ＋ｓｉｎ（ α ＋１５ ° ）ｓｉｎ ４５ ° ＝ ２ × ４ ＋ ３ ＝ ７ ２ ； 当
２ ５ ５ １０
( α π ) ｔａｎ α ＋ｔａｎ π ４ １＋ｔａｎ α １＋ ３ ４ ． ｃｏｓ（ α ＋１５ ° ）＝－ ４ 时 ，ｃｏｓ（ α －３０ ° ）＝ｃｏｓ［（ α ＋１５ ° ）－４５ ° ］＝ｃｏｓ
∴ ｔａｎ ＋ ＝ ＝ α＝ ＝－７ ５
４ α π １－ｔａｎ ４ ( )
１－ｔａｎ ｔａｎ １－ α ° ° α ° ° ２ ４ ３
４ ３ （ ＋１５ ）·ｃｏｓ ４５ ＋ｓｉｎ（ ＋１５ ）ｓｉｎ ４５ ＝ × － ＋ ＝－
故选 ． ２ ５ ５
Ｄ
( ｘ ) ( ｘ ) ２ α ° ７ ２或 ２ 故选 ．
２．（２０１９广西南宁摸底考试，６）若 π π ，∴ ｃｏｓ（ －３０ ）＝ － ， Ｄ
ｔａｎ ＋ ＋ｔａｎ － ＝ １０ １０ １０
２ ４ ２ ４ ( )
４．（２０２０ 百师联盟第五次联考，１３） 已知 θ π
３ 则 ｘ ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ
， ｔａｎ ＝ （ ） ６
２ ( ) ( )
３ ３ π θ １５ 则 θ π ．
Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ． Ｄ．－ － ＝ ， ｓｉｎ ２ ＋ ＝
４ ４ ３ ８ ３
[( ｘ ) ( ｘ ) ]
答案 Ｃ ｘ π π 答案 １５
ｔａｎ ＝ｔａｎ ＋ ＋ －
２ ４ ２ ４ ４
( ｘ ) ( ｘ ) ( ) ( ) ( ) [
π π 解析 θ π π θ θ π π
ｔａｎ ＋ ＋ｔａｎ － ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ － ＝ ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ －
２ ４ ２ ４ ６ ３ ６ ２
＝ ( ｘ ) ( ｘ )， ( ) ] ( ) ( ) ( )
１－ｔａｎ ２ ＋ π ４ ｔａｎ ２ － π ４ θ ＋ π ＝ｓｉｎ θ ＋ π ｃｏｓ θ ＋ π ＝ １ ｓｉｎ ２ θ ＋ π ＝ １５ ， 所
６ ６ ６ ２ ３ ８
ｘ ｘ
( )
( ｘ ) １＋ｔａｎ ( ｘ ) ｔａｎ －１ 以 θ π １５．
π ２ π ２ ｓｉｎ ２ ＋ ＝
ｔａｎ ＋ ＝ ｘ ，ｔａｎ － ＝ ｘ ， ３ ４
２ ４ ２ ４
１－ｔａｎ １＋ｔａｎ
２ ２
( ｘ ) ( ｘ )
则 π π
ｔａｎ ＋ ·ｔａｎ － ＝－１，
２ ４ ２ ４
考点 三角函数式的求值和化简 ( )
３．（２０２０ 课标Ⅲ文，５，５ 分）已知 θ θ π 则
１．（２０２０课标Ⅰ理，９，５分）已知α ∈（０，π）， 且 ３ｃｏｓ ２ α －８ｃｏｓ α ( ) ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＋ ３ ＝１，
＝５， 则 ｓｉｎ α ＝ （ ） ｓｉｎ θ ＋ π ＝ （ ）
６
５ ２ １ ５
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． １ ３ ２ ２
３ ３ ３ ９ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案 Ａ ２ ３ ３ ２
( ) 答案 Ｂ
２．（２０２０课标Ⅲ理，９，５分）已知 θ θ π 则 θ ( )
２ｔａｎ －ｔａｎ ＋ ＝７， ｔａｎ ＝ ４．（２０１９课标Ⅱ，１０，５ 分）已知 α π α α
４ ∈ ０， ，２ｓｉｎ ２ ＝ｃｏｓ２ ＋
２
（ ） 则 α
１， ｓｉｎ ＝ （ ）
Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ．２
答案 Ｄ
１ ５
Ａ． Ｂ．
５ ５
２７０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
．
３ ２ ５
Ｃ． Ｄ．
３ ５ 答案 １
答案 Ｂ
９
( ) ９．（２０１６ 浙江，１０，６ 分）已知 ２ｘ ｘ Ａ ωｘ φ
５．（２０１６课标Ⅱ，９，５分）若 π α ３ 则 α ２ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ２ ＝ ｓｉｎ（ ＋ ）＋
ｃｏｓ － ＝ ， ｓｉｎ２ ＝ （ ） ｂ Ａ 则Ａ ｂ ．
４ ５ （ ＞０）， ＝ ， ＝
答案
７ １ １ ７ ２；１
Ａ． Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－ ( )
２５ ５ ５ ２５ １０．（２０１７江苏，５，５分）若 α π １ 则 α ．
答案 Ｄ ｔａｎ － ＝ ， ｔａｎ ＝
４ ６
( )
６．（２０２０江苏，８，５分）已知 ２ π α ２ 则 α的值是 答案 ７
ｓｉｎ ＋ ＝ ， ｓｉｎ ２
４ ３ ５
． α
１１．（２０１９ 江苏， １３， ５ 分） 已知 ｔａｎ ２ 则
( ) ＝ － ，
答案 １ α π ３
ｔａｎ ＋
３ ４
７．（２０２０浙江，１３，６ 分）已知 θ 则 θ ( )
ｔａｎ ＝２， ｃｏｓ ２ ＝ ， α π 的值是 ．
( ) ｓｉｎ ２ ＋
θ π ． ４
ｔａｎ － ＝
４ 答案 ２
答案 ３ １ １０
－ ；
５ ３
８．（２０２０ 课标Ⅱ文，１３，５ 分） 若 ｘ ２ 则 ｘ
ｓｉｎ ＝ － ， ｃｏｓ ２ ＝
３
考点 三角恒等变换 ( ) ２
２α １ ２ ７ ．故选 ．
１．（２０１８课标Ⅰ文，１１，５分）已知角α的顶点为坐标原点 始边 １－２ｓｉｎ ＝１－２×
３
＝１－
９
＝
９
Ｂ
，
与ｘ轴的非负半轴重合 终边上有两点 Ａ ａ Ｂ ｂ 且 ３．（２０１７课标Ⅲ文，４，５分）已知 α α ４ 则 α
， （１， ）， （２， ）， ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ ， ｓｉｎ２ ＝
３
α ２ 则 ａ ｂ
ｃｏｓ２ ＝ ， ｜ － ｜＝ （ ） （ ）
３
７ ２ ２ ７
１ ５ ２ ５ Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．１ ９ ９ ９ ９
５ ５ ５ 答案 Ａ α α ２ α α α
答案 Ｂ 本题主要考查三角函数的定义及三角恒等变换． ∵ （ｓｉｎ －ｃｏｓ ） ＝１－２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝１－ｓｉｎ ２ ＝
( )
２
ｂ ａ ４ １６ α ７ ．
由题可知 α － ｂ ａ 又 α ２α ２α ＝ ，∴ ｓｉｎ２ ＝－
ｔａｎ ＝ ＝ － ， ｃｏｓ ２ ＝ ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝ ３ ９ ９
２－１ 解后反思 涉及 α α α α的问题 通常利用公式
２α ２α ２α ｂ ａ ２ ｓｉｎ ±ｃｏｓ ，ｓｉｎ ｃｏｓ ，
ｃｏｓ ２α －ｓｉｎ ２α＝ １－ｔａｎ ２α＝ １－（ ｂ － ａ ） ２ ＝ ２ ， （ｓｉｎ α ±ｃｏｓ α ） ２ ＝１±２ｓｉｎ α ｃｏｓ α进行转换．
ｃｏｓ ＋ｓｉｎ １＋ｔａｎ １＋（ － ） ３
４．（２０１７山东文，４，５分）已知 ｘ ３ 则 ｘ
ｂ ａ ２ 得 ｂ ａ ２ １ ｃｏｓ ＝ ， ｃｏｓ２ ＝ （ ）
∴５（ － ） ＝１， （ － ） ＝ ， ４
５
１ １ １ １
即 ｂ ａ ５ 故选 ． Ａ．－ Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．
｜ － ｜＝ ， Ｂ ４ ４ ８ ８
５ 答案 Ｄ 本题考查二倍角余弦公式．
方法归纳 三角函数求值与化简的常用方法 ( )
： ２
α
因为
ｃｏｓ
ｘ
＝
３
，
所以
ｃｏｓ２
ｘ
＝２ｃｏｓ
２ｘ
－１＝２×
３
－１＝
１ ．
弦切互化法 主要利用公式 α ｓｉｎ 化成正弦 余弦 ４ ４ ８
（１） ： ｔａｎ ＝ α 、 ；
和积转换法 利用 θ θ ２
ｃｏｓ
θ θ进行变形
５．（２０１６课标Ⅲ理，５，５分）若
ｔａｎ
α
＝
３
，
则
ｃｏｓ
２α
＋２ｓｉｎ２
α
＝
（２） ： （ｓｉｎ ±ｃｏｓ ） ＝１±２ｓｉｎ ｃｏｓ 、 ４
转化
； （ ）
巧用 的变换 ２θ ２θ ２θ ２θ π． ６４ ４８ １６
（３） “１” ：１＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ｃｏｓ （１＋ｔａｎ ）＝ｔａｎ Ａ． Ｂ． Ｃ．１ Ｄ．
４ ２５ ２５ ２５
２．（２０１８课标Ⅲ，理４，文４，５分）若
ｓｉｎ
α
＝
１
，
则
ｃｏｓ２
α
＝
答案 Ａ 当
ｔａｎ
α
＝
３ 时
，
原式
＝ｃｏｓ
２α
＋４ｓｉｎ
α
ｃｏｓ
α
＝
３ ４
（ ） ３
２α α α α １＋４×
８ ７ ｃｏｓ ＋４ｓｉｎ ｃｏｓ １＋４ｔａｎ ４ ６４ 故选 ．
Ａ． Ｂ． ２α ２α ＝ ２α ＝ ＝ ， Ａ
９ ９ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｔａｎ ＋１ ９ ２５
＋１
７ ８ １６
Ｃ．－ Ｄ．－ 解后反思 将所求式子的分母 用 ２α ２α代替 然后分
９ ９ １ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ，
子 分母同除以 ２α 得到关于 α的式子 这是解决本题的
答案 Ｂ 本题考查三角恒等变换．由 α １ 得 α 、 ｃｏｓ ， ｔａｎ ，
ｓｉｎ ＝ ， ｃｏｓ ２ ＝ 关键．
３
专题五 三角函数与解三角形 ２７１
评析 本题主要考查三角恒等变换，用 ２α ２α代替 是 ( )
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ １ α π
解题关键．． ( ) １＋ｃｏｓ ２ ＋ α
答案 Ａ ２ α π ２ １－ｓｉｎ２ 把
ｃｏｓ ＋ ＝ ＝ ，
６．（２０１６课标Ⅲ文，６，５分）若 θ １ 则 θ ４ ２ ２
ｔａｎ ＝－ ， ｃｏｓ２ ＝ （ ）
３ α ２ 代入 原式 １ ．选 ．
ｓｉｎ２ ＝ ， ＝ Ａ
３ ６
Ａ．－
４
Ｂ．－
１
Ｃ．
１
Ｄ．
４ 评析 本题考查了三角函数的化简求值，考查了降幂公式、诱
５ ５ ５ ５
导公式的应用．
２θ ２θ
答案 Ｄ 解法一 θ ２θ ２θ ｃｏｓ －ｓｉｎ ( )
：ｃｏｓ２ ＝ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝ ｃｏｓ ２θ ＋ｓｉｎ ２θ １１．（２０１８课标Ⅱ文，１５，５分）已知 ｔａｎ α － ５π ＝ １ ， 则 ｔａｎ α ＝
２θ ４ ５
１－ｔａｎ ４ ．故选 ． ．
＝ ２θ＝ Ｄ
１＋ｔａｎ ５
答案 ３
解法二 由 θ １ 可得 θ １
： ｔａｎ ＝－ ， ｓｉｎ ＝± ， ２
３ １０ 解析 本题主要考查两角差的正切公式．
因而
ｃｏｓ２
θ
＝１－２ｓｉｎ
２θ
＝ ５
４ ．
( ) ｔａｎ α －ｔａｎ ５π α
评析 本题考查化归与转化的能力．属中档题．
ｔａｎ
α
－
５π
＝
４
＝
ｔａｎ －
α
１
＝
１
，
４ α ５π １＋ｔａｎ ５
７．（２０１５课标Ⅰ理，２，５分） ° ° ° ° １＋ｔａｎ ｔａｎ
ｓｉｎ２０ ｃｏｓ１０ －ｃｏｓ１６０ ｓｉｎ１０ ＝ ４
（ ） 解得 α ３ ．
ｔａｎ ＝
Ａ．－ ３ Ｂ． ３ Ｃ．－ １ Ｄ． １ ２ ( )
２ ２ ２ ２ １２．（２０１７ 课标Ⅰ文，１５，５ 分）已知 α π α 则
答案 Ｄ 原式 ° ° ° ° ° ∈ ０， ，ｔａｎ ＝２，
＝ｓｉｎ ２０ ｃｏｓ １０ ＋ｃｏｓ ２０ ｓｉｎ １０ ＝ｓｉｎ（２０ ＋ ( ) ２
１０ ° ）＝ｓｉｎ３０ ° ＝ １ ， 故选 Ｄ ． ｃｏｓ α － π ＝ ．
４
２
( )
α ３π 答案 ３ １０
ｃｏｓ －
８．（２０１５重庆理，９，５分）若 α π 则 １０ １０
ｔａｎ ＝２ｔａｎ ， ( ) ＝ ( ) α
５ α π 解析 因为 α π 且 α ｓｉｎ 所以 α
ｓｉｎ － ∈ ０， ， ｔａｎ ＝ α＝２， ｓｉｎ ＝
５ ２ ｃｏｓ
（ ） α 又 ２α ２α 所以 α ２ ５ α ５ 则
２ｃｏｓ ， ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１， ｓｉｎ ＝ ，ｃｏｓ ＝ ，
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ５ ５
( ) [ ( )] ( ) ( )
α ３π π α ３π α π α π α π α π ５ ２ ２ ５ ２
答案 Ｃ ｃｏｓ ( － １０ ) ＝ ｓｉｎ ２ ( ＋ － １ ) ０ ＝ ｓｉｎ ( ＋ ５ ) ＝ ｃｏｓ － ４ ＝ｃｏｓ ｃｏｓ ４ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ ４ ＝ ５ × ２ ＋ ５ × ２
α π α π α π
ｓｉｎ － ｓｉｎ － ｓｉｎ － ３ １０．
５ ５ ５ ＝
１０
α π α π α π 易错警示 在求三角函数值时 常用到 ２α ２α 和
ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ｔａｎ ＋ｔａｎ ， ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１ ｔａｎ
５ ５ ５ α
＝ ， α ｓｉｎ 同时要注意角的范围 以确定三角函数值的正负．
α π α π α π ＝ α， ，
ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ｓｉｎ ｔａｎ －ｔａｎ ｃｏｓ
５ ５ ５ １３．（２０１６ 课标Ⅰ文，１４，５ 分）已知 θ 是第四象限角 且
( ) ，
α ３π π ( ) ( )
ｃｏｓ － ３ｔａｎ θ π ３ 则 θ π ．
α π １０ ５ ．故选 ． ｓｉｎ ＋ ＝ ， ｔａｎ － ＝
∵ ｔａｎ ＝２ｔａｎ ，∴ ( ) ＝ ＝３ Ｃ ４ ５ ４
５ α π π
ｓｉｎ － ｔａｎ 答案 ４
５ ５ －
３
９．（２０１５重庆文，６，５分）若 α １ α β １ 则 β ( )
ｔａｎ ＝ ３ ，ｔａｎ（ ＋ ）＝ ２ ， ｔａｎ ＝ 解析 解法一 θ π ２ θ θ ３
：∵ ｓｉｎ ＋ ＝ ×（ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ）＝ ，
４ ２ ５
（ ）
１ １ ５ ５ θ θ ３ ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ∴ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ①，
７ ６ ７ ６ ５
答案 Ａ ｔａｎ β ＝ｔａｎ［（ α ＋ β ）－ α ］ ＝ １＋ ｔａ ｔａ ｎ ｎ （ （ α α ＋ ＋ β β ） ） － · ｔａｎ ｔａｎ α α＝ ∴２ｓｉｎ θ ｃｏｓ θ ＝－ ２ ７ ５ ．
θ是第四象限角 θ θ
∵ ，∴ ｓｉｎ ＜０，ｃｏｓ ＞０，
１ １
－
２ ３ １ 故选 ． θ θ θ θ ４ ２
＝ ， Ａ ∴ ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝－ １－２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝－ ②，
１ １ ７ ５
１＋ ×
２ ３ 由 得 θ ２ θ ７ ２ θ １
( ) ①② ｓｉｎ ＝－ ，ｃｏｓ ＝ ，∴ ｔａｎ ＝－ ，
１０．（２０１３课标Ⅱ文，６，５分）已知 α ２ 则 ２ α π １０ １０ ７
ｓｉｎ２ ＝ ， ｃｏｓ ＋ ＝ ( ) θ
３ ４ θ π ｔａｎ －１ ４ ．
∴ ｔａｎ － ＝ θ＝－
（ ） ４ １＋ｔａｎ ３
( ) ( )
１ １ １ ２ 解法二 θ π π θ π
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ：∵ ＋ ＋ － ＝ ，
６ ３ ２ ３ ４ ４ ２
２７２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
( ) ( ) 已知θ 函数ｆ ｘ θ 是偶函数 求θ的值
θ π π θ ３ （１） ∈［０，２π）， （ ＋ ） ， ；
∴ ｓｉｎ ＋ ＝ｃｏｓ － ＝ ， [ ( )] [ ( )]
２ ２
４ ４ ５ 求函数ｙ ｆ ｘ π ｆ ｘ π 的值域．
（２） ＝ ＋ ＋ ＋
又 ｋ π θ ｋ ｋ Ｚ １２ ４
２ π－ ＜ ＜２ π， ∈ ， 解析 本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识
２ ，
同时考查运算求解能力．考查的数学素养是逻辑推理及数学
ｋ π θ π ｋ π ｋ Ｚ
∴２ π－ ＜ ＋ ＜２ π＋ ， ∈ ， 运算 考查了化归与转化思想．满分 分．
４ ４ ４ ， １４
( ) ( )
因为ｆ ｘ θ ｘ θ 是偶函数 所以 对任意实数ｘ都
θ π ４ π θ ４ （１） （ ＋ ）＝ｓｉｎ（ ＋ ） ， ，
∴ ｃｏｓ ＋ ＝ ，∴ ｓｉｎ － ＝ ， 有 ｘ θ ｘ θ
４ ５ ( ) ４ ５ ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ（－ ＋ ），
即 ｘ θ ｘ θ ｘ θ ｘ θ
( ) ｓｉｎ π － θ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ＝－ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ，
π θ ４ ４ 故 ｘ θ
∴ ｔａｎ － ＝ ( ) ＝ ， ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝０，
４ π θ ３ 所以 θ ．
ｃｏｓ － ｃｏｓ ＝０
４
( ) ( ) 又θ 因此θ π或３π．
θ π π θ ４ ． ∈［０，２π）， ＝
∴ ｔａｎ － ＝－ｔａｎ － ＝－ ２ ２
４ ４ ３ [ ( )] ２ [ ( )] ２
评析 本题主要考查了三角恒等变换，熟练掌握同角三角函 ｙ ｆ ｘ π ｆ ｘ π
（２） ＝ ＋ ＋ ＋
数关系式及诱导公式是解题的关键．
( )
１２
( )
４
２ ｘ π ２ ｘ π
１４．（２０１６四川理，１１，５分） ｃｏｓ ２ π －ｓｉｎ ２ π ＝ ． ＝ｓｉｎ ( ＋ １２ ＋ｓ ) ｉｎ ＋ ４ ( )
８ ８
ｘ π ｘ π
１－ｃｏｓ ２ ＋ １－ｃｏｓ ２ ＋
答案 ２ ６ ２
＝ ＋
２ ２ ２
æ ö
解析 由二倍角公式易得 ２ π ２ π π ２． １ ç ３ ｘ ３ ｘ÷
ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ＝ ＝１－ è ｃｏｓ２ － ｓｉｎ２ ø
８ ８ ４ ２ ２ ２ ２
( )
１５．（２０１５江苏，８，５分）已知 ｔａｎ α ＝－２，ｔａｎ（ α ＋ β ）＝ １ ， 则 ｔａｎ β ＝１－ ３ ｃｏｓ ２ ｘ ＋ π ．
７ ２ ３
的值为 ．
答案 因此 函数的值域是
é
êê ３ ３
ù
úú．
３ ， ë１－ ，１＋ û
２ ２
解析 β α β α ｔａｎ（ α ＋ β ）－ｔａｎ α 思路分析 根据偶函数的定义 知ｆ ｘ θ ｆ ｘ θ 恒成
ｔａｎ ＝ ｔａｎ［（ ＋ ） － ］ ＝ α β α ＝ （１） ， （－ ＋ ）＝ （ ＋ ）
１＋ｔａｎ（ ＋ ）ｔａｎ 立 利用三角恒等变换 得出 θ 从而求出θ的值．
， ， ｃｏｓ ＝０，
１ 将函数解析式化简为ｙ Ａ ωｘ φ Ｂ或ｙ Ａ ωｘ
－（－２） （２） ＝ ｓｉｎ（ ＋ ）＋ ＝ ｃｏｓ（ ＋
７ ． φ Ｂ的形式 利用三角函数的性质求值域．
＝３ ）＋ ，
１
１＋ ×（－２） ２０．（２０１８江苏，１６，１４分）已知α β为锐角 α ４ α
７ ， ，ｔａｎ ＝ ，ｃｏｓ（ ＋
１６．（２０１５四川理，１２，５分） ° °的值是 ． ３
ｓｉｎ１５ ＋ｓｉｎ７５
β ５．
答案 ６ ）＝－
５
２ 求 α的值
解析 ° ° ° ° ° ° （１） ｃｏｓ２ ；
ｓｉｎ１５ ＋ｓｉｎ ７５ ＝ｓｉｎ １５ ＋ｃｏｓ １５ ＝ ２ｓｉｎ（１５ ＋４５ ） 求 α β 的值．
（２） ｔａｎ（ － ）
解析 本小题主要考查同角三角函数关系 两角差及二倍
° ６． 、
＝ ２ｓｉｎ６０ ＝
２
角的三角函数 考查运算求解能力．
１７．（２０１５四川文，１３，５分）已知 α α 则 α α ，
ｓｉｎ ＋２ｃｏｓ ＝０， ２ｓｉｎ ｃｏｓ 因为 α ４ α ｓｉｎ α
２α的值是 ． （１） ｔａｎ ＝ ，ｔａｎ ＝ α，
－ｃｏｓ ３ ｃｏｓ
答案
－１ 所以 α ４ α．
解析 由 α α 得 α ． ｓｉｎ ＝ ｃｏｓ
ｓｉｎ ＋２ｃｏｓ ＝０ ｔａｎ ＝－２ ３
α α ２α α 因为 ２α ２α
α α ２α ２ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ２ｔａｎ －１ ２×（－２）－１ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１，
２ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ＝ ２α ２α ＝ ２α ＝ ２
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｔａｎ ＋１ （－２） ＋１ 所以 ２α ９
ｃｏｓ ＝ ，
－５ ． ２５
＝ ＝－１
５ 所以 α ２α ７ ．
１８．（２０１４课标Ⅱ理，１４，５分）函数ｆ ｘ ｘ φ φ ｃｏｓ２ ＝２ｃｏｓ －１＝－
（ ）＝ｓｉｎ（ ＋２ ）－２ｓｉｎ ｃｏｓ ２５
ｘ φ 的最大值为 ． 因为α β为锐角
（ ＋ ） （２） ， ，
答案 所以α β ．
１ ＋ ∈（０，π）
解析 ｆ ｘ ｘ φ φ φ ｘ φ
（ ）＝ｓｉｎ［（ ＋ ）＋ ］－２ｓｉｎ ｃｏｓ（ ＋ ） 又因为 α β ５
ｘ φ φ ｘ φ φ φ ｘ φ ｃｏｓ（ ＋ ）＝－ ，
＝ｓｉｎ（ ＋ ）ｃｏｓ ＋ｃｏｓ（ ＋ ）ｓｉｎ －２ｓｉｎ ｃｏｓ（ ＋ ） ５
ｘ φ φ φ ｘ φ
＝ｓｉｎ（ ｘ ＋ φ ）ｃ φ ｏｓ －ｓｉｎ ｃｏｓ（ ＋ ） 所以 ｓｉｎ（ α ＋ β ）＝ １－ｃｏｓ ２ （ α ＋ β ）＝ ２ ５ ，
＝ｓｉｎ（ ＋ － ） ５
ｘ 因此 α β ．
＝ｓｉｎ ， ｔａｎ（ ＋ ）＝－２
ｆ ｘ 的最大值为 ．
∴ （ ） １ 因为 α ４
１９．（２０１９浙江，１８，１４分）设函数ｆ ｘ ｘ ｘ Ｒ． ｔａｎ ＝ ，
（ ）＝ｓｉｎ ， ∈ ３
专题五 三角函数与解三角形 ２７３
α ( )
所以 α ２ｔａｎ ２４． 求 ５π α 的值．
ｔａｎ２ ＝ ２α＝－ （２） ｃｏｓ －２
１－ｔａｎ ７ ６
α α β ( )
因此 α β α α β ｔａｎ２ －ｔａｎ（ ＋ ） ２ ． 解析 因为α π α ５
ｔａｎ（ － ）＝ｔａｎ［２ －（ ＋ ）］＝ α α β ＝－ （１） ∈ ，π ，ｓｉｎ ＝ ，
１＋ｔａｎ２ ｔａｎ（ ＋ ） １１ ２ ５
２１．（２０１５广东文，１６，１２分）已知 α ．
( ) ｔａｎ ＝２ 所以 α ２α ２ ５．
求 α π 的值 ｃｏｓ ＝－ １－ｓｉｎ ＝－ ５
（１） ｔａｎ ＋ ； ( )
４ 故 π α π α π α
求 ｓｉｎ２ α 的值． ｓｉｎ ４ ＋ ＝ｓｉｎ ４ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ４ ｓｉｎ
（２）
ｓｉｎ
２α
＋ｓｉｎ
α
ｃｏｓ
α
－ｃｏｓ２
α
－１ æ ö
解析 因为 α ２ ç ２ ５÷ ２ ５ １０．
（１） ｔａｎ ＝２， ＝ ×è－ ø＋ × ＝－
２ ５ ２ ５ １０
α π æ ö
所以 ( α π ) ｔａｎ ＋ｔａｎ ４ ２＋１ ． （２） 由 （１） 知 ｓｉｎ２ α ＝２ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝２× ５ ×è ç － ２ ５ ø ÷ ＝－ ４ ，
ｔａｎ ＋ ＝ ＝ ＝－３ ５ ５ ５
４ α π １－２×１
１－ｔａｎ ·ｔａｎ æ ö２
４ α ２α ç ５÷ ３
α ｃｏｓ２ ＝１－２ｓｉｎ ＝１－２×è ø ＝ ，
因为 α 所以 ｓｉｎ２ ５ ５
（２） ｔａｎ ＝２，
ｓｉｎ
２α
＋ｓｉｎ
α
ｃｏｓ
α
－ｃｏｓ２
α
－１ 所以
(
５π α
)
５π α ５π α
α α ｃｏｓ －２ ＝ｃｏｓ ｃｏｓ２ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ２
２ｓｉｎ ｃｏｓ ６ ６ ６
＝ ２α α α ２α ２α ２α ２α æ ö ( )
ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ －（ｃｏｓ －ｓｉｎ ）－（ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ） ç ３÷ ３ １ ４ ４＋３ ３．
α α α ＝è－ ø× ＋ × － ＝－
２ｓｉｎ ｃｏｓ ２ｔａｎ ２×２ ． ２ ５ ２ ５ １０
＝ ２α α α ２α＝ ２α α ＝ ２ ＝１ 评析 本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的
ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ －２ｃｏｓ ｔａｎ ＋ｔａｎ －２ ２ ＋２－２
( ) 正、余弦公式及二倍角公式，考查运算求解能力．
２２．（２０１４江苏，１５，１４分）已知α π α ５．
∈ ，π ，ｓｉｎ ＝
２ ５
( )
求 π α 的值
（１） ｓｉｎ ＋ ；
４
时间： 分钟 分值： 分
６０ ９０
一、单项选择题 每题 分 共 分 矿的话 那么可以把黄金分割比作钻石矿． 黄金三角形有两
（ ５ ， ４０ ） ， ”
( ) ( ) 种 其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美
１．（２０２１届广东调研，５）已知 α π 则 α π ，
ｔａｎ ＋ ＝－２， ｔａｎ ＋ ＝ 的三角形．它是一个顶角为 °的等腰三角形 另一种是顶角
１２ ３ ３６ （
为 °的等腰三角形 ．例如 五角星由五个黄金三角形与一个
（ ） １０８ ） ，
ＢＣ
１ １ 正五边形组成 如图所示 在其中一个黄金 ＡＢＣ 中
Ａ．３ Ｂ． Ｃ．－３ Ｄ．－ ， ， △ ，ＡＣ＝
３ ３
答案 Ｄ
５－１．根据这些信息 可得 °
２．（２０２１届山东济宁鱼台第一中学第一次月考，３）已知 ２α ， ｃｏｓ３２４ ＝ （ ）
ｃｏｓ ＝ ２
α 则 α
ｓｉｎ ， ｃｏｓ２ ＝ （ ）
５＋１ ５－１ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ５－２
２ ２ ２
答案 Ｄ
( )
３．（２０２１届福建龙岩六县（市区）期中联考，９）若 π α
ｓｉｎ －２ ＝
２
３ 则 ４α ４α的值为 ５－１ ５＋１ ５＋１ ４＋ ５
， ｓｉｎ －ｃｏｓ （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．
５ ４ ４ ４ ８
答案 Ｂ
４ ３ ４ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－ ６．（２０２１届江苏南京航空航天大学附属高级中学期中，５）已知
５ ５ ５ ５
答案 Ｄ ( )
４．（２０２１ 届广东广州执信、广雅、六中三校联考，６）已知α为锐 ｔａｎ θ ＋ １ θ＝４， 则 ｃｏｓ ２ θ ＋ π ＝ （ ）
ｔａｎ ４
( ) ( )
角 若 α π ４ 则 α π 的值为 １ １ １ １
， ｃｏｓ ＋ ＝ ， ｓｉｎ ２ － （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
６ ５ ６ ５ ４ ３ ２
答案 Ｂ
７ ７ ９ ９
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－
２５ ２５ ２５ ２５ ７．（２０２０天津河西一模，５）已知α α α ３ 则
答案 Ｂ ∈（０，π），ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ，
３
５．（２０２１届福建厦门外国语学校１０ 月月考，４） 世纪德国著 α
１７ ｃｏｓ２ ＝ （ ）
名的天文学家开普勒曾经这样说过 几何学里有两件宝 一
：“ ， ５ ５ ５ ５
个是勾股定理 另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金 Ａ．－ Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．
， ３ ３ ９ ９
２７４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
答案 Ａ
四、解答题 共 分
８．（２０１９河北五校４月联考，６）设函数ｆ ｘ ｘ ｘ 若对 （ ３５ ）
（ ）＝ｓｉｎ －ｃｏｓ ， １２．（２０２１届福建龙岩六县（市区）期中联考，９） 已知角α的
( ) （１）
于任意的ｘ Ｒ 都有ｆ θ ｘ ｆ ｘ 则 θ π ( )
∈ ， （２ － ）＝ （ ）， ｓｉｎ ２ － ＝（ ） α ３π α
３ ｓｉｎ（π－ ）－ｓｉｎ －
终边上有一点Ｐ 求 ２ 的值
（３，４）， ( ) ；
１ １ ３ ３ ３π α α
Ａ．－ Ｂ． Ｃ． Ｄ．－ ｃｏｓ ＋ ＋ｃｏｓ（π－ ）
２ ２ ２ ２ ２
答案 Ａ
已知α β π α β 求 α β 的值．
（２） ＋ ＝ ，ｔａｎ ＋ｔａｎ ＝２， ｃｏｓ（ － ）
二、多项选择题 共 分 ６
（ ５ ） １３．（２０２１届山东新泰一中第二次月考，１７）如图 在平面直角坐
９．（２０２１届福建厦门外国语学校１０月月考，９）下列各式中值为 ，
标系ｘＯｙ中 点Ａ 点Ｂ在单位圆上 ＡＯＢ θ θ
， （１，０）， ，∠ ＝ （０＜ ＜
１ 的是 ．
（ ） π）
２ ( ) ( )
° ° 若点Ｂ ３ ４ 求 θ π 的值
Ａ．２ｓｉｎ７５ ｃｏｓ７５ （１） － ， ， ｔａｎ ＋ ；
５ ５ ４
２ π ( )
Ｂ．１－２ｓｉｎ
１２ （２）
若
（
Ｏ→Ａ
＋
Ｏ→Ｂ
）·
Ｏ→Ｂ
＝
９
，
求
ｃｏｓ
２π
－２
θ ．
° ° ° ° ５ ３
Ｃ．ｓｉｎ４５ ｃｏｓ１５ －ｃｏｓ４５ ｓｉｎ１５
° ° ° °
Ｄ．ｔａｎ２０ ＋ｔａｎ２５ ＋ｔａｎ２０ ｔａｎ２５
答案 ＡＣ
三、填空题 每题 分 共 分
（ ５ ， １０ ）
( )
１０．（２０２１届河北张家口、邢台、衡水摸底联考，１４）已知 α π
ｔａｎ －
４
α
１ 则 α ｃｏｓ２ ．
＝ ， ｔａｎ ＝ ， ２α ２α＝ １４．（２０２１ 届江苏常州第一次调研，１９）已知 α β 且
２ ｓｉｎ －２ｃｏｓ ， ∈（０，π），
答案 ８ α β １ β １ ．
３；－ ｔａｎ（ － ）＝ ，ｔａｎ ＝－
７ ２ ７
１１．（２０２１届山东开学质量检测，１４）已知数列 ａ 满足 ａ 求 α的值
｛ ｎ｝ ｎ＝ （１） ｔａｎ ；
° Ｓ 求角 α β．
ｓｉｎ１ ａ 的前ｎ项和记为Ｓ 则 ６０ ． （２） ２ －
ｎ° ｎ °，｛ ｎ｝ ｎ， Ｓ ＝
ｃｏｓ ｃｏｓ（ －１） ３０
答案
３
专题五 三角函数与解三角形 ２７５
１．（２０１９山东淄博模拟文，４）
２ １＋ｓｉｎ４＋ ２＋２ｃｏｓ４＝ （ ） ２ ５ β ５ β １０
ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ＝－ ，
Ａ．２ｃｏｓ２ Ｂ．２ｓｉｎ２ ５ ５ １０
Ｃ．４ｓｉｎ２＋２ｃｏｓ２ Ｄ．２ｓｉｎ２＋４ｃｏｓ２ 即 β β ２ 又 ２β ２β 所以 β ２．故
答案 Ｂ １＋ｓｉｎ４＝ ｓｉｎ ２ ２＋２ｓｉｎ２ｃｏｓ２＋ｃｏｓ ２ ２ ２ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ＝－ ２ ， ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１， ｓｉｎ ＝ ２
选 ．
２ Ｂ
＝ （ｓｉｎ２＋ｃｏｓ２） ＝ｓｉｎ ２＋ｃｏｓ ２， ２＋２ｃｏｓ４ ＝ ２（１＋ｃｏｓ４）
５．（２０１９云南师大附中４月联考，４）已知 α β ３ β
２ ２ ｓｉｎ（ ＋２ ）＝ ，ｃｏｓ
＝ ２（１＋２ｃｏｓ ２－１）＝ ４ｃｏｓ ２＝－２ｃｏｓ２， ４
．
∴２ １＋ｓｉｎ４＋ ２＋２ｃｏｓ４＝２ｓｉｎ２＋２ｃｏｓ２－２ｃｏｓ２＝２ｓｉｎ２ １ α β为锐角 则 α β 的值为
故选 ． ＝ ， ， ， ｓｉｎ（ ＋ ） （ ）
Ｂ ３
２．（２０１８福建福州３月模拟，４） ３ｃｏｓ１５ ° －４ｓｉｎ ２ １５ ° ｃｏｓ１５ ° ＝ ３ ７－２ ２ ３－２ １４ ３ ７＋２ ２ ３＋２ １４
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（ ） １２ １２ １２ １２
答案 Ｄ 由 β １ １ β为锐角 得π β π β
１ ２ ｃｏｓ ＝ ＜ ， ， ＜ ＜ ，ｓｉｎ ＝
Ａ． Ｂ． Ｃ．１ Ｄ． ２ ３ ２ ３ ２
２ ２
答案 Ｄ 解法一 ° ２ ° ° ° ２ ２ 又α为锐角 ２π α β ３ ．
： ３ｃｏｓ １５ －４ｓｉｎ １５ ｃｏｓ １５ ＝ ３ｃｏｓ １５ － ， ，∴ ＜ ＋２ ＜ π
° ° ° ° ° ° ３ ３ ２
２ｓｉｎ１５ ·２ｓｉｎ １５ ｃｏｓ １５ ＝ ３ｃｏｓ １５ －２ｓｉｎ １５ ·ｓｉｎ ３０ ＝
３ｃｏｓ１５ ° －ｓｉｎ１５ ° ＝２ｃｏｓ（１５ ° ＋３０ ° ）＝２ｃｏｓ４５ ° ＝ ２ ．故选 Ｄ ． ∵ ｓｉｎ（ α ＋２ β ）＝ ３ ＞０，∴ ２π ＜ α ＋２ β ＜π，∴ ｃｏｓ（ α ＋２ β ）＝－ ７ ，
４ ３ ４
α β α β β
解法二 因为 ° ６＋ ２ ° ６－ ２ 所以 ° ∴ ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ［（ ＋２ ）－ ］
： ｃｏｓ１５ ＝ ，ｓｉｎ１５ ＝ ， ３ｃｏｓ１５ α β β α β β
４ ４ ＝ｓｉｎ（ ＋２ ）ｃｏｓ －ｃｏｓ（ ＋２ ）ｓｉｎ
æ ö２ æ ö
－４ｓｉｎ ２ １５ ° ·ｃｏｓ １５ ° ＝ ３× ６＋ ２ －４×è ç ６－ ２ ø ÷ × ６＋ ２ ＝ ＝ ３ × １ －è ç － ７ ø ÷ × ２ ２ ＝ ３＋２ １４ ， 故选 Ｄ ．
４ ４ ４ ４ ３ ４ ３ １２
æ ö ６．（２０１９安徽十校联考，５）已知α为锐角 且 α α
６＋ ２ ç ８－４ ３÷ ．故选 ． ， ７ｓｉｎ ＝２ｃｏｓ ２ ，
×è ３－ ø＝ ２ Ｄ ( )
４ ４ 则 α π
( ) ｓｉｎ ＋ ＝ （ ）
３．（２０２０ 山东省实验中学第二次诊断，６）已知 π α ３
ｃｏｓ － ＝
２ １＋３ ５ １＋５ ３ １－３ ５ １－５ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
α 且 α β １ 则 β的值为 ８ ８ ８ ８
２ｃｏｓ（π＋ ）， ｔａｎ（ ＋ ）＝
３
， ｔａｎ （ ） 答案 Ａ 由
７ｓｉｎ
α
＝２ｃｏｓ ２
α 得
７ｓｉｎ
α
＝２（１－２ｓｉｎ
２α
），
即
Ａ．－７ Ｂ．７ Ｃ．１ Ｄ．－１ ２α α 解得 α 舍去 或 α １
答案 Ｂ 本题考查了诱导公式及两角和的正切公式 重点 ４ｓｉｎ ＋７ｓｉｎ －２＝０， ｓｉｎ ＝－２（ ） ｓｉｎ ＝ ，
， ４
考查了运算能力． ( )
( ) 又由α为锐角 ， 可得 ｃｏｓ α ＝ １５ ，∴ ｓｉｎ α ＋ π ＝ １ ｓｉｎ α ＋
因为 π α α 所以 α α 即 α ４ ３ ２
ｃｏｓ － ＝２ｃｏｓ（π＋ ）， ｓｉｎ ＝－２ｃｏｓ ， ｔａｎ ＝
２
又 α β １ 则 ｔａｎ α ＋ｔａｎ β １ 代入 α ３ ｃｏｓ α ＝ １＋３ ５．
－２， ｔａｎ（ ＋ ）＝ ， α β＝ ， ｔａｎ ＝ ２ ８ ( ) ( )
３ １－ｔａｎ ｔａｎ ３
解得 β 故选 ７．（２０１９吉林实验中学期中，１０）设 α π β π
－２， ｔａｎ ＝７， Ｂ． ∈ ０， ， ∈ ０， ，
２ ２
思路分析 由诱导公式得 ｓｉｎ α ＝－２ｃｏｓ α ， 由同角三角函数的 且 ｃｏｓ β ＝ｔａｎ α （１＋ｓｉｎ β ）， 则 （ ）
基本关系可得 α 再由两角和的正切公式得 α β
ｔａｎ ＝－２， ｔａｎ（ ＋ ） α β π α β π
α β Ａ． － ＝ Ｂ． ＋ ＝
ｔａｎ ＋ｔａｎ 将 α 代入运算即可． ４ ２
＝ α β， ｔａｎ ＝－２
１－ｔａｎ ｔａｎ α β π α β π
( ) Ｃ．２ － ＝ Ｄ．２ ＋ ＝
４．（２０１９四川成都二诊，６）若 α β π 且 α ２ ５ ２ ２
， ∈ ，π ， ｓｉｎ ＝ ， α
２ ５ 答案 Ｄ 由 β α β 可得 β ｓｉｎ
ｃｏｓ ＝ｔａｎ （１＋ｓｉｎ ）， ｃｏｓ ＝ α（１＋
α β １０ 则 β ( ) ｃｏｓ
ｓｉｎ（ － ）＝－ ， ｓｉｎ ＝ （ ）
１０ β β α α β α π α 即 α β
ｓｉｎ ），ｃｏｓ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ＝ｃｏｓ － ， ｃｏｓ（ ＋ ）
２
７ ２ ２ １ １ ( ) ( ) ( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． π α 又α π β π 则 α β
１０ ２ ２ １０ ＝ｃｏｓ － ， ∈ ０， ， ∈ ０， ， ＋ ∈（０，π），
( ) ２ ２ ２
答案 Ｂ 由 α β π 且 α ２ ５ 可得 α ( )
， ∈ ，π ， ｓｉｎ ＝ ， ｃｏｓ ＝ π α π ．故α β π α 即 α β π．故选
２ ５ － ∈ ０， ＋ ＝ － ， ２ ＋ ＝ Ｄ．
２ ２ ２ ２
æ ö２ 解后反思 三角恒等变换主要有以下四变
ç２ ５÷ ５． ：
－ １－è ø ＝－ 变角 目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角 其方法
５ ５ （１） ： ，
通常是 配凑 ．
由 α β １０ 可得 α β α β １０ “ ”
ｓｉｎ（ － ）＝－ ， ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ｓｉｎ ＝－ ， 变名 通过变换函数名称达到减少函数种类的目的 其手
１０ １０ （２） ： ，
２７６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
法通常有切化弦 正弦与余弦互化等． １１．（２０１７ 江苏盐城调研， ４） 若 α α 则
、 ３ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝ ０，
变幂 通过 升幂与降幂 把三角函数式的各项变成同次
（３） ： “ ”， ， １ 的值为 ．
目的是方便应用公式． ２α α α
ｃｏｓ ＋２ｓｉｎ ｃｏｓ
变式 根据式子的结构特征进行变形 使其更贴近某个公
（４） ： ， 答案 １０
式或某个期待的目标 其方法通常有 常值代换 逆用或变用公
， ： 、 ３
式 通分与约分 分解与组合 配方与平方等．
、 、 、 解析 α α α １
８．（２０２０河南、江西、湖南三省部分重点中学４ ∵３ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝０，∴ ｔａｎ ＝－ ，
３
月联考，７） 九章算术 是我国古代内容极为
《 》 １０
丰富的数学名著 书中有一个 引葭赴岸 问 １ ｓｉｎ ２α ＋ｃｏｓ ２α ｔａｎ ２α ＋１ ９ １０．
题 今有池方一
，
丈 葭生其中
“
央．出水一
”
尺
∴
ｃｏｓ
２α
＋２ｓｉｎ
α
ｃｏｓ
α＝
ｃｏｓ
２α
＋２ｓｉｎ
α
ｃｏｓ
α＝
１＋２ｔａｎ
α＝
１
＝
３
：“ ， ，
引葭赴岸 适与岸齐 问水深 葭长各几何 ３
， ， 、 ？”
其意思为 今有水池 丈见方 即 ＣＤ １２．（２０１８河南六市４ 月联考，４）已知 α １ α β
“ １ （ ＝１０ ｃｏｓ ＝ ，ｃｏｓ（ － ）＝
尺 芦苇生长在水的中央 长出水面的部分为 尺．将芦苇向 ７
）， ， １
池岸牵引 恰巧与水岸齐接 如图所示 ．试问水深 芦苇的长度 １３ 若 β α π 则β ．
， （ ） 、 ， ０＜ ＜ ＜ ， ＝
各是多少 设θ ＢＡＣ 现有下述四个结论 １４ ２
？” ＝∠ ， ：
水深为 尺 芦苇长为 尺 答案 π
① １２ ；② １５ ；
θ ( ) ３
③ｔａｎ ＝ ２ ；④ｔａｎ θ ＋ π ＝－ １７． 解析 由 ｃｏｓ α ＝ １ ，０＜ α ＜ π ， 得 ｓｉｎ α ＝ １－ｃｏｓ ２α ＝
２ ３ ４ ７
７ ２
其中所有正确结论的编号是
（ ） ( ) ２
１ ４ ３ 由 β α π 得 α β π．
Ａ．①③ Ｂ．①③④ Ｃ．①④ Ｄ．②③④ １－ ＝ ， ０＜ ＜ ＜ ， ０＜ － ＜
答案 Ｂ 本题以数学文化为背景考查二倍角公式 两角和 ７ ７ ２ ２
，
的正切公式 考查的核心素养为逻辑推理和数学运算． 又 α β １３
， ｃｏｓ（ － ）＝ ，
设ＢＣ ｘ尺 则ＡＣ ｘ 尺 在 ＡＢＣ中 １４
＝ ， ＝（ ＋１） ， Ｒｔ△ ， ( ) ２
∵ ＡＢ ＝５，∴５ ２ ＋ ｘ２ ＝（ ｘ ＋１） ２ ，∴ ｘ ＝１２ ． ∴ ｓｉｎ（ α － β ） ＝ １－ｃｏｓ ２ （ α － β ）＝ １－ １３ ＝ ３ ３．
θ １４ １４
由β α α β 得 β α α β α α β
２ｔａｎ θ ＝ －（ － ） ｃｏｓ ＝ｃｏｓ［ －（ － ）］＝ｃｏｓ ｃｏｓ（ － ）＋
θ １２ θ ２ １２ 解得 ２ 负根舍
∴ ｔａｎ ＝ ，∴ ｔａｎ ＝ θ ＝ ， ｔａｎ ＝ （ α α β １ １３ ４ ３ ３ ３ １ ．
５ ２ ５ ２ ３ ｓｉｎ ｓｉｎ（ － ）＝ × ＋ × ＝
１－ｔａｎ ７ １４ ７ １４ ２
２ ( )
( ) θ β π β π．
去 ． θ １２ θ π １＋ｔａｎ １７ 故正确结论的 ∵ ∈ ０， ，∴ ＝
） ∵ ｔａｎ ＝ ，∴ ｔａｎ ＋ ＝ θ＝－ ， ２ ３
５ ４ １－ｔａｎ ７ 思路分析 β α α β 求出 α与 α β 的值 即可
编号为 ． ＝ －（ － ）， ｓｉｎ ｓｉｎ（ － ） ，
①③④ 利用两角差的余弦公式求 β的值 从而得出β的大小．
９．（２０１６吉林东北师大附中等校联考，１４）已知 θ ｃｏｓ ，
( ) ０＜ ＜π， 解题关键 细化角的范围及合理利用凑角法是解决本题的关键．
ｔａｎ θ ＋ π ４ ＝ ７ １ ， 那么 ｓｉｎ θ ＋ｃｏｓ θ ＝ ． １３．（２０１９ 台州中学第一次模拟，１５）已知α ， β为锐角 ，ｔａｎ α ＝
答案 １ ４ α β ５ 则 α α β
－ ，ｃｏｓ（ ＋ ）＝ － ， ｃｏｓ ２ ＝ ，ｔａｎ（ － ）
５ ３ ５
( ) θ ．
解析 由 θ π ｔａｎ ＋１ １ 解得 θ ３ 即 ＝
ｔａｎ ＋ ＝ θ＝ ， ｔａｎ ＝－ ，
４ １－ｔａｎ ７ ４ 答案 ７ ２
θ － ；－
ｓｉｎ ３ θ ４ θ ２θ ２θ ２θ １６ ２θ ２５ １１
θ＝－ ，∴ ｃｏｓ ＝－ ｓｉｎ ，∴ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ ＝
ｃｏｓ ４ ３ ９ １６
２α ２α ２α １－
２５
ｓｉｎ
２θ
＝１，∵０＜
θ
＜π，∴ ｓｉｎ
θ
＝
３
，∴ ｃｏｓ
θ
＝－
４
，∴ ｓｉｎ
θ
＋ｃｏｓ
θ 解析
ｃｏｓ２
α
＝ｃｏｓ
２α
－ｓｉｎ
２α
＝
ｃｏｓ
２α
－ｓｉｎ
２α＝
１－ｔａｎ
２α＝
９
＝
９ ５ ５ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ １＋ｔａｎ １６
１＋
９
１ ．
＝－
５ ７ ．因为 α 所以 α ２４．由 α β 且
－ ２ ∈（０，π）， ｓｉｎ ２ ＝ ＋ ∈（０，π）
２５ ２５
１０．（２０１７甘肃兰州实战模拟）若 α β ３ α β
ｓｉｎ －ｓｉｎ ＝１－ ，ｃｏｓ －ｃｏｓ
２ α β ５ 得 α β ２ ５ 所以 α β α
ｃｏｓ（ ＋ ）＝－ ， ｓｉｎ（ ＋ ）＝ ， ｃｏｓ（ － ）＝ｃｏｓ［２
１ 则 α β ． ５ ５
＝ ， ｃｏｓ（ － ）＝ æ ö
２ α β α α β α α β ７ ç ５÷
－（ ＋ ）］＝ｃｏｓ２ ｃｏｓ（ ＋ ）＋ｓｉｎ ２ ｓｉｎ（ ＋ ）＝－ ×è－ ø＋
答案 ３ ２５ ５
２ ２４ ２ ５ １１ ５ α β α α β α α
× ＝ ，ｓｉｎ（ － ）＝ｓｉｎ［２ －（ ＋ ）］＝ｓｉｎ ２ ｃｏｓ（ ＋
解析 将已知条件两边平方得 ２α ２β α β ７ ２５ ５ ２５
ｓｉｎ ＋ｓｉｎ －２ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ æ ö
４ β α α β ２４ ç ５÷ ７ ２ ５ ２ ５ 所以
）－ｃｏｓ２ ｓｉｎ（ ＋ ）＝ ×è－ ø＋ × ＝－ ， ｔａｎ
２α ２β α β １ 两式相加并化简得 α ２５ ５ ２５ ５ ２５
－ ３，ｃｏｓ ＋ｃｏｓ －２ｃｏｓ ｃｏｓ ＝ ， ｃｏｓ（ α β
４ α β ｓｉｎ（ － ） ２ ．
（ － ）＝ α β ＝－
β ３． ｃｏｓ（ － ） １１
－ ）＝
２
