文档内容
押北京卷 17 题
空间向量与立体几何
核心考点 考情统计 考向预测 备考策略
线面垂直，二面
2022·北京卷T13
角
预测2024年新高 三角恒等变换是利用三角恒等式(两角
考命题方向将继
线面平行，线面 和与差、二倍角的正弦、余弦、正切
2020·北京卷T14 续 线 面 位 置 关
角 公式)进行变换，“角”的变换是三角
系，二面角展开
命题． 恒等变换的核心
点的位置，二面
2019·北京卷T9
角
1.（2023·北京卷T16）如图，在三棱锥 中， 平面 ， ．
(1)求证： 平面PAB；
(2)求二面角 的大小．
【解】（1）因为 平面 平面 ，
所以 ，同理 ，
所以 为直角三角形，
又因为 ， ，所以 ，则 为直角三角形，故 ，
又因为 ， ，
所以 平面 .
（2）由（1） 平面 ，又 平面 ，则 ，
以 为原点， 为 轴，过 且与 平行的直线为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即
令 ，则 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
又因为二面角 为锐二面角，
所以二面角 的大小为 .
2.（2022·北京卷T17）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面
， ，M，N分别为 ，AC的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解】（1）取 的中点为 ，连接 ，
由三棱柱 可得四边形 为平行四边形，
而 ，则 ，
而 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
而 ，则 ，同理可得 平面 ，
而 平面 ，
故平面 平面 ，而 平面 ，故 平面 ，
（2）因为侧面 为正方形，故 ，
而 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，故 平面 ，
因为 ，故 平面 ，
因为 平面 ，故 ，
若选①，则 ，而 ， ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，所以 ，而 ， ，故 平面 ，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，从而 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则
.
若选②，因为 ，故 平面 ，而 平面 ，
故 ，而 ，故 ，
而 ， ，故 ，
所以 ，故 ，
而 ， ，故 平面 ，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，从而 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则
.3.（2021·北京卷T17）如图：在正方体 中， 为 中点， 与平面 交于点 ．
（1）求证： 为 的中点；
（2）点 是棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
【解】(1)如图所示，取 的中点 ，连结 ，
由于 为正方体， 为中点，故 ，
从而 四点共面，即平面CDE即平面 ，
据此可得：直线 交平面 于点 ，
当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点 与点 重合，
即点 为 中点.
(2)以点 为坐标原点， 方向分别为 轴， 轴， 轴正方向，建立空间直角坐标系 ，不妨设正方体的棱长为2，设 ，
则： ，
从而： ，
设平面 的法向量为： ，则：
，
令 可得： ，
设平面 的法向量为： ，则：
，
令 可得： ，
从而： ，
则： ，
整理可得： ，故 （ 舍去）.1.直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为l与α所成的角，
则sin θ＝｜cos＜a，n＞｜＝
【提醒】直线与平面所成角的范围为 ，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值.
2.平面与平面的夹角
（1）平面与平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 90°的
二面角称为平面α与平面β的夹角，如图①.若平面α，β的法向量分别是n 和n ，则平面α与平面β的夹
1 2
角即为向量n 和n 的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝｜cos＜n ，n ＞｜＝
1 2 1 2
；
（2）二面角：二面角α－l－β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则｜cos φ｜＝cos θ＝ ，如图②③.
【提醒】注意二面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的范围为[0，π]，两个平面的夹角的范围为
3.用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)注意两异面直线所成角的范围是 ，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对
值.
4.向量法求直线与平面所成角的主要方法是：
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角
就是斜线和平面所成的角.5.向量法求平面与平面夹角（二面角）的方法
（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得
到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；
（2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，
则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
1．如图所示，将边长为2的正方形 沿对角线 折起，得到三棱锥 ， 为 的中点.
(1)证明：
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角 的余弦值及点 到平面
的距离．
① ；②
【解】（1）证明：正方形 沿对角线 折起后的不变关系为
.
连接 ， ，如下图：
因为 ，所以 ，同理得 ，
又因为 平面 且 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）若选择①， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，由（1）可得 ，
所以 ， ， 两两垂直，建立 空间直角坐标系，如下图所示：
则 ， ， ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，取 时， ，即 ，
因为 平面 ，
所以平面 的一个法向量 ，
于是， ，
所以结合图像可知，二面角 的余弦值为 .
， ，
点 到平面 的距离 ，
所以A到平面 的距离为 .
若选择②，
由（1）得， ， ， 平面 ， ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ， ， 两两垂直，建立 空间直角坐标系，如下图所示：
则 ， ， ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，取 时， ，即 ，
因为 平面 ，
所以平面 的一个法向量 ，
于是， ，
所以结合图像可知，二面角 的余弦值为 .
， ，
点 到平面 的距离 ，
所以A到平面 的距离为 .
2．如图，在五面体 中，底面 为正方形， .
(1)求证： ；(2)若 为 的中点， 为 的中点， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择
一个作为已知，求直线 与平面 所成角的正弦值.
条件①： ；
条件②： .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
【解】（1）证明：底面 为正方形,则 ，又 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，又平面 平面 ， 平面 ，故 .
（2）选①，取 中点G,连接 ，因为 ，所以 ，
易知 为梯形 的中位线，则 ，
又 平面 ，故 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，且 必相交，故 平面 ，
延长GM交BC于P,则P为中点，易得 ，故 为矩形.
以M为原点， 所在直线为z轴，MG所在直线为x轴，过M作CB平行线为y轴，建立空间直角坐标
系如图：
则 ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 .
选②：取 中点G, 连接 ，易知 为梯形 的中位线， ，则 ，由题 ， ，则 ，故
又 平面 ，故 平面 ，
延长GM交BC于P,则P为中点，易得 ，故 为矩形.
以M为原点， 所在直线为z轴，MG所在直线为x轴，过M作CB平行线为y轴，建立空间直角坐标
系如图：
则 ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 .
.
3．如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的正方形， ， ，E为BC的中点，
F为PD的中点．
(1)求证： 平面PAB；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AD与平面AEF所成角的正弦值．
条件①： ；条件②： ．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解】（1）取PA中点G，连接GB，GF，如图所示：
因为F为PD的中点，所以 ， ，
因为四边形ABCD为正方形，E为BC中点，
所以 ， ．
所以 ， ．
所以四边形BEFG为平行四边形，
所以 ，又 平面PAB， 平面PAB．
所以 平面PAB．
（2）选条件①： ，且 ，又 ， 平面PAB， 平面PAB，
所以 平面PAB，又 平面PAB，所以 ，且 ，
以点A为坐标原点建立空间直角坐标系 ，如图所示：
所以 ， ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面AEF的法向量为 ，则 ，故 ，
令 ，则 ，所以 ，所以直线AD与平面AEF所成角 ,则 ．
所以直线AD与平面AEF所成角的正弦值为 .
选条件②： ．由于 ，所以 ，故 ，
由于 ，且 ， 平面ABCD， 平面ABCD，
故 平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形， ，
以点A为坐标原点建立空间直角坐标系 ，如图所示：
所以 ， ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面AEF的法向量为 ， ，故 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以直线AD与平面AEF所成角 ，则 ，
所以直线AD与平面AEF所成角的正弦值为 .
4．如图，在五面体 中，四边形 是矩形，平面 平面 ， 是正三角形，
， ， ．(1)求证： ；
(2)求二面角 的余弦值．
【解】（1）因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，
所以 ；
（2）如图，分别取 的中点 ，连接 ，
则 ，
因为 是正三角形，所以 ， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
因为 平面 ，
所以 即为平面 的一条法向量，则 ，
所以二面角 的余弦值为 ．
5．如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形， ， ， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的余弦值．
【解】（1）
如图，连接 ，设 ，连接 ．
因为在三棱柱 中，四边形 是平行四边形，所以 为 的中点．
因为 为 的中点，所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为 ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又因 平面 ，所以 ．又 ，所以 ， ， 两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ．
所以 ， ．
设平面 的法间量为 ，则 即 ，
令 ，则 ， 于是 ．
因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量．
所以 ．
由题设，二面角 的平面角为钝角，
所以二面角 的余弦值为 ．
6．如图，在直三棱柱 中， 分别为 的中点
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.【解】（1）连接 ，因为 分别为 的中点，所以
在三棱柱 中， .所以 四点共面.
因为 分别为 的中点，所以 .
所以四边形 为平行四边形.
所以 .因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）由题设 平面 ，所以 .
因为 ，
所以 两两垂直.如图建立空间直角坐标系 .
所以 .
.
平面 的一个法向量是 ，设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，则 .于是 ，
设二面角 的平面角为 ，则 ，由图可知 为锐角，所以 .
7．如图，在四棱锥 中， 为 的中点， 平面 .
(1)求证： ；
(2)若 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，
使四棱锥 存在且唯一确定.
（i）求证： 平面 ；
（ⅱ）设平面 平面 ，求二面角 的余弦值.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分.
【解】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 为 的中点，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 四点共面，
因为 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，所以 ；
（2）（i）取 的中点 ，连接 ，由（1）知 ，所以 ，
因为 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
选条件①： ，
因为 ，所以 与 全等，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，又因为 ，
、 平面 ，所以 平面 ；
（ⅱ）由（i）知 平面 ，而 平面 ，
所以 ，因为 ，
建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 , 则 ，即 ，
令 ，则 ，于是 ，
因为 为平面 的法向量, 且 ,所以二面角 的余弦值为 .
选条件③： ，
(i) 因为 ，所以 ，
因为 ，所以 与 全等，
所以 ，即 ，
因为 ，又因为 ， 、 平面 ，
所以 平面 ；
(ii) 同选条件①.
不可选条件②，理由如下：
由（i）可得 ，又 ，
， 、 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以 ，即 是由已知条件可推出的条件，
故不可选条件②.
8．如图，四棱柱 的底面 是边长为 的正方形，侧面 底面 ，
， 是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使二面角 唯一确定，并求二面角 的余弦值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【解】（1）证明：
方法一：在四棱柱 中，连结 ，设 ，
连结 ，在 中，因为 、 分别为 的中点，
所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
方法二：在四棱柱 中，设 中点为 ，
连结 ， ， ，
因为 ，所以 为平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
因为 ，所以 为平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
因为 平面 ，故平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ．（2）选择条件①：
因为底面 是正方形，所以 ，
侧面 平面 ，且侧面 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，又 平面 ，则 ，
即四边形 为矩形，因为 ，则 ，
与选择条件①： 等价，故条件 不能进一步确定 的夹角大小，故二面角
不能确定；
选择条件②：
连结 ，因为底面 是正方形，所以 ，
又因为侧面 平面 ，且侧面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
在 中，因为 ， ，所以 ，
在 中，因为 ， ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，又 ，
所以如图建立空间直角坐标系 ，其中 ， ， ， ，
且 ， ，易知 为平面 的一个法向量，设 为平面 面的一个法向量，则 即 .
不妨设 ，则 ，可得 ，所以 ，
因为二面角 的平面角是钝角，设为 ，故 ，
所以二面角 的余弦值为 .
选择条件③：
因为底面 是正方形，所以 ，
因为 ，且 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
因为侧面 平面 ，且侧面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 ，
所以如图建立空间直角坐标系 ，（下面同选择条件②）.
9．如图，在直三棱柱 中， ， 为 中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角 的余弦值．
条件①： ；
条件②： ．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解】（1）
连接 交 于点 ，连接 ，
因为四边形 为平行四边形， 为它的对角线 、 交点，
所以点 是 的中点，
因为 是 中点，
所以 是 的中位线，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）若选条件①： ，
因为 底面 ， 底面 ，
所以 ，
又因为 ，且 面 ，
所以 面 ，
而 面 ，
所以 ，
即 两两互相垂直，若选条件②： ，
因为 面 ， 面 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
因为点 是 中点，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
由前面分析可知 ，
所以 两两互相垂直，
综上，无论选条件①还是选条件②，都有 两两互相垂直，
故以点 为原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系：
由题意 ，
所以 ，
设平面 、平面 的法向量分别为 ，
从而有 ， ，也就是有 ， ，令 ，解得 ，
所以可取平面 、平面 的法向量分别为 ，
显然二面角 是锐角，
所以二面角 的余弦值为 .
10．如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， 为 的中点， 为 的中点，
， ．
(1)求证： ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)在线段 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
【解】（1）因为 底面 ， 平面 ，所以 .
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 .
（2）设点 到平面 的距离为 .
因为 底面 ， ， 为 的中点，
所以点 到平面 的距离为 .
又因为在 中， ， ， ．
则 ，
.
又因为 底面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 为 的中点，所以 ，
又因为由（1）知 平面 ， 平面 ，所以 ，
则 .
所以 ，则 ，
则 的面积为 ，
所以 ，解得 .
（3）线段 上当点 满足 ，使 平面 .
证明：取CH的中点K，连接MK，NK．
因为 为 的中点，
所以由 为 的中位线，可得 .
又因为 平面 ， 平面ABC，所以 平面 ；
由 ，可得 ，则 ，
又因为 平面ABC， 平面ABC，所以 平面 ．
又因为 平面 ，
所以平面 平面 ，
又因为 平面MNK，所以 平面ABC．
