北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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5.2 三角恒等变换
考点 三角恒等变换
1+√5 α
1.(2023新课标Ⅱ,7,5分,中)已知α为锐角,cos α= ,则sin = ( )
4 2
3−√5 −1+√5 3−√5 −1+√5
A. B. C. D.
8 8 4 4
答案 D ∵cos α=1-2sin2α=1+√5,∴sin2α=3−√5=6−2√5=(√5−1) 2,
2 4 2 8 16 16
α α √5−1
∵α为锐角,∴ 也为锐角,∴sin = .故选D.
2 2 4
1 1
2.(2023新课标Ⅰ,8,5分,中)已知sin(α-β)= ,cos αsin β= ,则cos(2α+2β)= ( )
3 6
7 1 1 7
A. B. C.- D.-
9 9 9 9
1 1 1 1 1
答案 B ∵sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β= ,cos αsin β= ,∴sin αcos β= + = ,
3 6 3 6 2
2
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β= ,
3
8 1
∴cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1- = ,故选B.
9 9
π 5π
3.(2021全国乙文,6,5分)cos2 −cos2 =( )
12 12
1 √3 √2 √3
A. B. C. D.
2 3 2 2
答案 D 解析 解法一:cos2
π 5π π (π π ) π π π √3.
−cos2 =cos2 −cos2 − =cos2 −sin2 =cos =
12 12 12 2 12 12 12 6 2北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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解法二:cos2 π 5π (π π) (π π)
−cos2 =cos2 − −cos2 +
12 12 4 6 4 6
=( π π π π) 2 ( π π π π) 2
cos cos +sin sin − cos cos −sin sin
4 6 4 6 4 6 4 6
2 2
=(√2 √3 √2 1) (√2 √3 √2 1)
× + × − × − ×
2 2 2 2 2 2 2 2
=(√6+√2) 2 (√6−√2) 2
−
4 4
=(√6+√2 √6−√2) (√6+√2 √6−√2) √3.
+ × − =
4 4 4 4 2
4.(2021全国甲理,9,5分)若α∈( π),tan 2α= cosα ,则tan α= ( )
0,
2 2−sinα
√15 √5 √5 √15
A. B. C. D.
15 5 3 3
答案 A 解题指导:先将切化弦,再将分式化为整式,利用两角差的余弦公式及二倍角公式将异角化为同
角,最后利用同角三角函数的基本关系求解.
解析 ∵tan 2α= cosα ,且α∈( π),
0,
2−sinα 2
sin2α cosα
∴ = ,
cos2α 2−sinα
∴2sin 2α=cos αcos 2α+sin αsin 2α,
即4sin αcos α=cos(2α-α)=cos α,又cos α≠0,
1 √15 √15
∴4sin α=1,∴sin α= ,∴cos α= ,∴tan α= .故选A.
4 4 15
sin2α
疑难突破 将tan 2α转化为 是本题的突破口.
cos2α
sinθ(1+sin2θ)
5.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tan θ=-2,则 = ( )
sinθ+cosθ
6 2 2 6
A.- B.− C. D.
5 5 5 5北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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sinθ(1+sin2θ) sinθ(sin2θ+cos2θ+2sinθ·cosθ) sinθ(sinθ+cosθ) 2
答案 C = =
sinθ+cosθ sinθ+cosθ sinθ+cosθ
=sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θ·cos θ=sin2θ+sinθ·cosθ tan2θ+tanθ (−2) 2−2 2.故选
= = =
sin2θ+cos2θ tan2θ+1 (−2) 2+1 5
C.
6.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin(α+β)+cos(α+β)=2 ( π)sin β,则 ( )
√2cos α+
4
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1
答案 C 因为sin(α+β)+cos(α+β)=sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β,2 ( π)sin
√2cos α+
4
β=(2cos α-2sin α)sin β=2cos αsin β-2sin αsin β,所以sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2cos
αsin β-2sin αsin β,即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,进而得sin(α-β)+cos(α-β)=0,又知
cos(α-β)≠0,所以tan(α-β)=-1,故选C.
1
7.(2018课标Ⅲ,理4,文4,5分)若sin α= ,则cos 2α=( )
3
8 7
A. B.
9 9
7 8
C.- D.-
9 9
答案 B 本题考查三角恒等变换.由sin α=1,得cos 2α=1-2sin2α=1-2×(1) 2 =1-2=7.故选B.
3 3 9 9
4
8.(2017课标Ⅲ文,4,5分)已知sin α-cos α= ,则sin 2α=( )
3
7 2 2 7
A.- B.- C. D.
9 9 9 9
答案 A ∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α=(4) 2 =16,∴sin 2α=-7.
3 9 9
解后反思 涉及sin α±cos α,sin αcos α的问题,通常利用公式(sin α±cos α)2=1±2sin α·cos α进行转换.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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3
9.(2017山东文,4,5分)已知cos x= ,则cos 2x=( )
4
1 1 1 1
A.- B. C.- D.
4 4 8 8
答案 D 本题考查二倍角余弦公式.
因为cos x=3,所以cos 2x=2cos2x-1=2×(3) 2 -1=1.
4 4 8
3
10.(2016课标Ⅲ理,5,5分)若tan α= ,则cos2α+2sin 2α=( )
4
64 48 16
A. B. C.1 D.
25 25 25
3
1+4×
3 cos2α+4sinαcosα 1+4tanα 4
答案 A 当tan α= 时,原式=cos2α+4sin αcos α= = = =
4 sin2α+cos2α tan2α+1 9
+1
16
64
,故选A.
25
解后反思 将所求式子的分母1用sin2α+cos2α代替,然后分子、分母同除以cos2α,得到关于tan α的式子,这
是解决本题的关键.
评析 本题主要考查三角恒等变换,用sin2α+cos2α代替1是解题关键..
1
11.(2016课标Ⅲ文,6,5分)若tan θ=- ,则cos 2θ=( )
3
4 1 1 4
A.- B.- C. D.
5 5 5 5
答案 D 解法一:cos
2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ−sin2θ
cos2θ+sin2θ
=1−tan2θ=4.故选D.
1+tan2θ 5
1 1
解法二:由tan θ=- ,可得sin θ=± ,
3 √10
4
因而cos 2θ=1-2sin2θ= .
5
评析 本题考查化归与转化的能力.属中档题.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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12.(2015课标Ⅰ理,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( )
√3 √3 1 1
A.- B. C.- D.
2 2 2 2
1
答案 D 原式=sin 20°cos 10°+cos 20°@sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°= ,故选D.
2
( 3π)
cos α−
13.(2015重庆理,9,5分)若tan α=2tan π,则 10 =( )
5 ( π)
sin α−
5
A.1 B.2 C.3 D.4
( 3π) [π ( 3π)] ( π) π π
cos α− sin + α− sin α+ sinαcos +cosαsin
10 2 10 5 5 5
答案 C = = = =
sin ( α− π) sin ( α− π) sin ( α− π) sinαcos π −cosαsin π
5 5 5 5 5
π
tanα+tan
5
,
π
tanα−tan
5
( 3π) π
cos α− 3tan
∵tan α=2tan π,∴ 10 = 5 =3.故选C.
5 sin ( α− π) tan π
5 5
1 1
14.(2015重庆文,6,5分)若tan α= ,tan(α+β)= ,则tan β=( )
3 2
1 1 5 5
A. B. C. D.
7 6 7 6
1 1
−
tan(α+β)−tanα 2 3 1
答案 A tan β=tan[(α+β)-α]= = = ,故选A.
1+tan(α+β)·tanα 1 1 7
1+ ×
2 3
15.(2013课标Ⅱ文,6,5分)已知sin 2α=2,则cos2( π)=( )
α+
3 4北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
( π)
( π) 1+cos 2α+ 1−sin2α 2 1
答案 A cos2 α+ = 2 = ,把sin 2α= 代入,原式= .选A.
4 2 3 6
2
评析 本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.
16.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos(π )=3,则sin 2α=( )
−α
4 5
7 1 1 7
A. B. C.- D.-
25 5 5 25
答案 D ∵cos(π )=3,
−α
4 5
∴sin 2α=cos(π )=cos [ (π )]
−2α 2 −α
2 4
=2cos2(π )-1=2×(3) 2 -1=- 7 .故选D.
−α
4 5 25
思路分析 利用诱导公式化sin 2α=cos(π ),再利用二倍角的余弦公式即可得答案.
−2α
2
一题多解 cos(π )=√2(cos α+sin α)=3⇒cos α+sin α=3√2⇒1+sin 2α=18,
−α
4 2 5 5 25
7
∴sin 2α=- .故选D.
25
导师点睛 求解三角函数的给值求值问题,关键是把待求三角函数值的角用已知角表示出来:
(1)已知角有两个时,待求三角函数值的角一般表示为已知角的和或差;
(2)已知角有一个时,待求三角函数值的角一般与已知角成“倍数关系”或“互补、互余关系”.
π
17.(2022浙江,13,6分)若3sin α-sin β=√10,α+β= ,则sin α= ,cos 2β= .
2
3√10 4
答案 ;
10 5北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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解析 设a=sin α,b=sin β=cos α,则{3a−b=√10,解得a=3√10,b=-√10.∴sin α=a=3√10,
a2+b2=1, 10 10 10
4
cos 2β=1-2sin2β=1-2b2= .
5
18.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= .
答案 √2;1
解析 ∵2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x= sin( π)+1,∴A= ,b=1.
√2 2x+ √2
4
19.(2018课标Ⅱ文,15,5分)已知tan( 5π)=1,则tan α= .
α−
4 5
3
答案
2
解析 本题主要考查两角差的正切公式.
5π
tanα−tan
( 5π) 4 tanα−1 1
tan α− = = = ,
4 5π 1+tanα 5
1+tanαtan
4
3
解得tan α= .
2
20.(2016课标Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin( π)=3,则tan( π)= .
θ+ θ−
4 5 4
4
答案 -
3
解析 解法一:∵sin( π)=√2×(sin θ+cos θ)=3,
θ+
4 2 5
3√2
∴sin θ+cos θ= ①,
5
7
∴2sin θcos θ=- .
25
∵θ是第四象限角,∴sin θ<0,cos θ>0,
