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5.2 三角恒等变换
基础篇
考点 三角恒等变换 其他常用变形
４)
α α α
1.
两角和与差的三角函数公式 α ２ｓｉｎ ｃｏｓ ２ｔａｎ
ｓｉｎ ２ ＝ ２α ２α＝ ２α ꎻ
α β α β α β ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｔａｎ ＋１
ｓｉｎ( ＋ )＝ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ꎻ (Ｓα ＋ β) ２α ２α ２α
α β α β α β α ｃｏｓ －ｓｉｎ １－ｔａｎ
ｓｉｎ( － )＝ ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ｓｉｎ ꎻ (Ｓα － β) ｃｏｓ ２ ＝ ２α ２α＝ ２αꎻ
ｃｏｓ ＋ｓｉｎ １＋ｔａｎ
α β α β α β
ｃｏｓ( ＋ )＝ ｃｏｓ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｓｉｎ ꎻ (Ｃα ＋ β) æ α αö ２
α ç ÷
α β α β α β
ｃｏｓ( － )＝ ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ ꎻ (Ｃα － β) １±ｓｉｎ ＝èｓｉｎ ２ ±ｃｏｓ ２ ø ꎻ
α β
α α α
α β ｔａｎ ＋ｔａｎ
ｔａｎ( ＋ )＝ α βꎻ (Ｔα ＋ β) ｔａｎ ＝ ｓｉｎ α＝ １－ｃｏｓ α .
１－ｔａｎ ｔａｎ
２ １＋ｃｏｓ ｓｉｎ
α β 4.
辅助角公式
α β ｔａｎ －ｔａｎ .
ｔａｎ( － )＝ α β (Ｔα － β)
１＋ｔａｎ ｔａｎ
2. 二倍角公式
ａ
ｓｉｎ
α
＋
ｂ
ｃｏｓ
α
＝
ａ２
＋
ｂ２
ｓｉｎ(
α
＋
φ
)ꎬ
ａ ｂ ｂ
α α α 其中 φ φ φ .
ｓｉｎ ２ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ꎻ (Ｓ２ α) ｃｏｓ ＝
ａ２ ｂ２
ꎬｓｉｎ ＝
ａ２ ｂ２
ꎬｔａｎ ＝ ａ
α ２α ２α ２α ２α ＋ ＋
ｃｏｓ ２ ＝ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝２ｃｏｓ －１＝１－２ｓｉｎ ꎻ 5. 角的拆分与组合
(Ｃ２ α) 用已知角表示未知角
α １)
α ２ｔａｎ . 例 α α β α β β α β α β
ｔａｎ ２ ＝ ２α (Ｔ２ α) ꎬ２ ＝( ＋ )＋( － )ꎬ２ ＝( ＋ )－( － )ꎬ
１－ｔａｎ
3. α α β β α β β
公式的变形与应用 ＝( ＋ )－ ＝( － )＋ ꎬ
æ ö æ ö
两角和与差的正切公式的变形 α çπ α÷ π çα π÷ π.
１) ＝è ＋ ø－ ＝è － ø＋
α β α β α β ４ ４ ３ ３
ｔａｎ ＋ｔａｎ ＝ｔａｎ( ＋ )(１－ｔａｎ ｔａｎ )ꎻ 互余与互补关系
α β α β α β . ２)
ｔａｎ －ｔａｎ ＝ｔａｎ( － )(１＋ｔａｎ ｔａｎ ) æ ö æ ö
升幂公式 例 çπ α÷ ç３π α÷
２) ꎬè ＋ ø＋è － ø ＝πꎬ
４ ４
α α
æ ö æ ö
１＋ｃｏｓ α ＝２ｃｏｓ ２ ꎻ１－ｃｏｓ α ＝２ｓｉｎ ２ . çπ α÷ çπ α÷ π.
２ ２ è ＋ ø＋è － ø ＝
３ ６ ２
降幂公式
３) 非特殊角转化为特殊角
３)
α α
ｓｉｎ
２α
＝
１－ｃｏｓ ２
ꎻｃｏｓ
２α
＝
１＋ｃｏｓ ２ . 例
ꎬ１５
°
＝４５
°
－３０
°
ꎬ７５
°
＝４５
°
＋３０
°.
２ ２
专
题
五
三
角
函
数
与
解
三
角
形
２６１
综合篇
考法 三角函数式的求值和化简
π π π α π αꎬ
∴ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｃｏｓ ｓｉｎ －ｓｉｎ ｃｏｓ
1. 三角函数式的化简原则 １２ １２ １２ １２
æ ö
π çα π÷.
∴ ｓｉｎ ＝ｓｉｎè － ø
６ １２
æ ö
α ç ꎬπ÷ꎬ
∵ ∈è０ ø
２
æ ö
α π ç πꎬ５π÷ꎬ
∴ － ∈è－ ø
１２ １２ １２
π α πꎬ
2. 三角函数式求值的基本类型及解法 ∴ ＝ －
６ １２
给角求值 化为特殊角的三角函数值
１) :① ꎻ α π π π.
∴ ＝ ＋ ＝
化为正负相消的项 消去求值 化分子
１２ ６ ４
② ꎬ ꎻ③ 、
分母 使其出现公约数 然后约分求值.
答案 π
ꎬ ꎬ
给值求值 解题的关键在于 变角 如α α ４
２) : “ ”ꎬ ＝( 例2 ( 重庆涪陵实验中学期中ꎬ )若
β β α α β α β 等 把待求三角 ２０２２ １５
＋ )－ ꎬ２ ＝( ＋ )＋( － ) ꎬ
é ù
函数值的角用含已知角的式子表示出来 求 ê ú
ꎬ α ５ꎬ (β α) １０ꎬ且 α ê πꎬ ú ꎬ
ｓｉｎ ２ ＝ ｓｉｎ － ＝ ∈ë πû
解时要注意角的范围的讨论. ５ １０ ４
é ù
给值求角 实质上可转化为 给值求值 问 β ê ꎬ３ ú ꎬ则 α β 的值是 .
３) : “ ” ∈ë ê π πû ú ＋
题 先求所求角的某一三角函数值 再利用 ２
ꎬ ꎬ é ù é ù
ê ú ê ú
该三角函数值结合所求角的范围求得角. 解析 因为 α πꎬ ꎬ所以 α πꎬ ꎬ
ê ú ê ú
∈ë πû ２ ∈ë ２πû
例1 ( 石家庄一模ꎬ ) 已知角 α ４ ２
２０２２ １４ ∈ é ù
ê ú
因为 α ５ꎬ所以 α πꎬ ꎬ即 α
ê ú
α π ｓｉｎ ２ ＝ ２ ∈ ë πû ∈
æ ö ｓｉｎ －ｓｉｎ ５ ２
ç ꎬπ÷ꎬ π １２ꎬ则 α .
é ù
è０ ø ｔａｎ ＝ ＝ ê ú
２ １２ α π ê πꎬπ ú ꎬ 所 以 α ２ α
ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ë û ｃｏｓ ２ ＝ － １－ｓｉｎ ２ ＝
４ ２
１２
解析 π ｓｉｎ α －ｓｉｎ １ π ２ꎬ － １－ æ è çç ５ ö ø ÷÷ ２ ＝ － ２ ５. 因为 α ∈ é ë ê ê πꎬπ ù û ú ú ꎬβ ∈
∵ ｔａｎ ＝ ５ ５ ４ ２
１２ α π é ù é ù
ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ê ꎬ３ ú ꎬ所以 β α ê πꎬ５ ú ꎬ
ê ú ê ú
１２ ëπ πû － ∈ë πû
２ ２ ４
π α π
ｓｉｎ ｓｉｎ －ｓｉｎ
5 １２ １２ꎬ 因为 (β α) １０ꎬ所以 (β α)
年 ∴ ＝ ｓｉｎ － ＝ ｃｏｓ － ＝
高 π α π １０
考 ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ æ ö
１２ １２ ２
3 æ ö æ ö ２(β α) çç １０ ÷÷ ３ １０.
年 模 ∴ ｓｉｎ π è ç ｃｏｓ α ＋ｃｏｓ π ø ÷ ＝ｃｏｓ π è ç ｓｉｎ α －ｓｉｎ π ø ÷ꎬ － １－ｓｉｎ － ＝ － １－è １０ ø ＝－ １０
拟
１２ １２ １２ １２ 所以 (β α) (β α α) (β α)
A ｃｏｓ ＋ ＝ ｃｏｓ － ＋２ ＝ ｃｏｓ －
版 π α π π α (β α) α
∴ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ ｃｏｓ ２ －ｓｉｎ － ｓｉｎ ２
１２ １２ １２
高
æ ö æ ö
考
数 π α π πꎬ çç ３ １０ ÷÷ çç ２ ５ ÷÷ １０ ５ ２.
学 ＝ｃｏｓ ｓｉｎ －ｃｏｓ ｓｉｎ ＝è－ ø×è－ ø－ × ＝
１２ １２ １２ １０ ５ １０ ５ ２
２６２
é ù é ù
ê ú ê ú
因为 α πꎬπ ꎬβ ꎬ３ ꎬ所以 β α 答案 ７π
ê ú ê ú
∈ ë û ∈ ëπ πû ＋ ∈
４ ２ ２ ４
é ù
ê ú
５ ꎬ ꎬ所以 α β ７π.
ê ú
ë π ２πû ＋ ＝
４ ４
专
题
五
三
角
函
数
与
解
三
角
形
２６３
