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专题五 三角函数与解三角形 ２７７
５．３ 三角函数的图象、性质及应用
§
特别提醒 平移前后两个三角函数的名称如果不一
（１）
致 应先利用诱导公式化为同名函数．
，
ω为负时应先变成正值．
考点一 三角函数的图象及其变换 （２）
１．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 考点二 三角函数的性质及其应用
正弦函数ｙ ｘ ｘ 的图象中 五个关键点 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
（１）
( )
＝ｓｉｎ ，
(
∈［０，２π
)
］ ， ：
π ３ ， ． 函数
（０，０）， ，１ ，（π，０），① π －１ ，（２π，０） ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ
２ ２ 性质 ＝ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ＝ｔａｎ
余弦函数ｙ ｘ ｘ 的图象中 五个关键点
（２） ( ) ＝ｃｏｓ ， ∈ ( ［０，２π ) ］ ， ： { ｘ ｘ ≠ ｋ π＋
π （ ， ） ３π ． 定义域 Ｒ Ｒ
（０，１）， ，０ ，② π －１ ， ，０ ，（２π，１） }
２ ２ π ｋ Ｚ
２．用“五点法”画ｙ＝Ａ （ωｘ＋φ）（Ａ，ω ）在一个周期内的
２
， ∈
ｓｉｎ ≠０
简图
用五点法画ｙ Ａ ωｘ φ Ａ ω 在一个周期内的简图 图象
＝ ｓｉｎ（ ＋ ）（ ， ≠０）
时 一般先列表 后描点 连线 其中所列表如下
， ， ， ， ：
φ φ φ φ φ 值域 Ｒ
ｘ π π－ ３π ２π－ ［－１，１］ ［－１，１］
－ω －ω ＋ ω ω ω－ω ω
２ ２ 对称轴 ｘ ｋ 对称轴 ｘ ｋ ｋ
： ＝ π＋ ： ＝ π（ 对称中心
Ｚ 对称中心 ：
ωｘ ＋ φ ０ π π ３π ２π 对称性 π （ ｋ ∈ Ｚ ）； ∈ ( ）； ) ： (ｋ π )
２ ２ ２ ｋ π， ，０
对称中心 ③ π＋ ０ ２
： ２ ｋ Ｚ
ｙ ＝ Ａ ｓｉｎ（ ωｘ Ａ Ａ （ ｋ π，０）（ ｋ ∈ Ｚ ） （ ｋ ∈ Ｚ ） （ ∈ ）
φ ０ ０ － ０
＋ ） 周期
２π ２π π
３．ｙ Ａ （ωｘ φ）（Ａ ，ω ，ｘ ［ ， ））的物理意义 单调增区间
＝ ｓｉｎ ＋ ＞０ ＞０ ∈ ０ ＋∞ ：
[
ｙ ＝ Ａ ｓｉｎ（ ωｘ ＋ φ ）（ Ａ ＞ 振幅 周期 频率 相位 初相 ④ ２ ｋ π－ π，
０， ω ＞０）， ｘ ∈［０， ] ２ 单调增区间 单调增区间
量 ＋∞ 时 ） 表示一个振动 Ａ Ｔ ＝ ２ ω π ｆ ＝ Ｔ １ ＝ ２ ω π ωｘ ＋ φ φ ２ ｋ π＋ π ２ ［ ｋ ２ ｋ π Ｚ －π， ： ２ ｋ π］ ⑥ ( ｋ π－ ： π，
单调性 ｋ Ｚ （ ∈ ）； ２
４．由函数ｙ ｘ的图象变换得到ｙ Ａ （ωｘ φ）（Ａ ，ω ） （ ∈ ）； 单调减区间 )
＝ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ＋ ＞０ ＞０ 单调减区间 ： ｋ π
图象的步骤 ： ｋ ｋ π＋
[ ［２ π，２ π＋π］ ２
ｋ π， ｋ ｋ Ｚ ｋ Ｚ
⑤ ２ π＋ ２ π （ ∈ ） （ ∈ ）
２
]
３π ｋ Ｚ
＋ （ ∈ ）
２
奇偶性 奇 偶 奇
特别提醒 正弦曲线和余弦曲线相邻的两个对称轴之
（１）
间距离的 倍是一个周期．
２
正弦曲线和余弦曲线相邻两个对称中心之间的距离的
（２）
倍是一个周期．
２
正弦曲线和余弦曲线相邻的一个对称轴和一个对称中
（３）
心之间距离的 倍是一个周期．
４
正切曲线相邻的两个对称中心之间距离的 倍是一个
（４） ２
上述两种变换的区别 先相位变换再周期变换 伸缩变换 周期．
： （ ），
平移的量是 φ 个单位 而先周期变换 伸缩变换 再相位变换 不能认为 ｙ ｘ 在定义域上为增函数 应在区间
｜ ｜ ； （ ） ， （５） ＝ｔａｎ ，
( )
φ
平移的量是｜ ｜ ω 个单位．原因在于相位变换和周期变换都 ｋ π ｋ π ｋ Ｚ 内为增函数．
ω （ ＞０） π－ ， π＋ （ ∈ ）
２ ２
是针对ｘ而言的．
２７８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
４．将函数ｆ ｘ ｘ φ φ 的图象向左平移π个单位长
（ ）＝２ｓｉｎ（２ ＋ ）（ ＜０）
３
度 得到偶函数ｇ ｘ 的图象 则φ的最大值是 ．
， （ ） ，
考点一 三角函数的图象及其变换
答案 π
( ) －
１．将函数ｙ ｘ π 图象上所有的点向左平移 π 个单位长 ６
＝ｓｉｎ ＋
６ ４ 考点二 三角函数的性质及其应用
度 再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 倍 纵坐标不
， ２ （
变 则所得图象的解析式为 ５．已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ 则下列说法不正确的为
）， （ ） （ ）＝（ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ）ｓｉｎ ，
( ) ( ｘ )
ｙ ｘ ５π ｙ ５π （ ）
Ａ． ＝ｓｉｎ ２ ＋ Ｂ． ＝ｓｉｎ ＋ 函数ｆ ｘ 的最小正周期为
１２ ２ １２ Ａ． （ ） π
( ｘ ) ( ｘ ) [ ]
ｙ π ｙ ５π ｆ ｘ 在 ３π ７π 上单调递减
Ｃ． ＝ｓｉｎ － Ｄ． ＝ｓｉｎ ＋ Ｂ． （ ） ，
２ １２ ２ ２４ ８ ８
答案 Ｂ
ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ π对称
( ) Ｃ． （ ） ＝－
２．函数ｆ ｘ ωｘ φ ω φ π 的图象如图所示 为了 ８
（ ）＝ｓｉｎ（ ＋ ） ＞０，｜ ｜＜ ，
２ 将ｆ ｘ 的图象向右平移π个单位长度 再向下平移 １ 个单
得到ｇ ｘ ｘ的图象 只需将ｆ ｘ 的图象 Ｄ． （ ） ，
（ ）＝ｓｉｎ３ ， （ ） （ ） ８ ２
位长度后会得到一个奇函数的图象
答案 Ｄ
６．将函数ｆ ｘ ｘ ２ｘ 的图象向右平移π个单位
（ ）＝ｓｉｎ ２ ＋２ ３ｃｏｓ － ３
１２
长度 再把各点的横坐标伸长到原来的 倍 纵坐标不变 得
， ２ （ ），
向右平移π个单位长度 向左平移π个单位长度 到函数ｇ ｘ 的图象 则下列说法中正确的是
Ａ． Ｂ． （ ） ， （ ）
４ ４ ｇ ｘ 的最小正周期为
Ａ． （ ） π
向右平移π个单位长度 向左平移π个单位长度 ｇ ｘ 是偶函数
Ｃ． Ｄ． Ｂ． （ ）
１２ １２
答案 Ｃ ｇ ｘ 的图象关于直线ｘ π对称
Ｃ． （ ） ＝
３．函数ｆ ｘ Ａ ωｘ φ Ａ ω φ 是常 ( ) １２
（ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ）（ ， ，
数 ， Ａ ＞０， ω ＞０） 的部分图象如图所示 ， 则 Ｄ． ｇ （ ｘ ） 在 － π ， π 上单调递增
( ) ６ ３
ｆ π 的值是 ． 答案 Ｄ
－ ( )
３
７．已知函数ｆ ｘ ωｘ π ωｘ ω 的最小正周期为
（ ）＝ｓｉｎ ｓｉｎ － （ ＞０） π，
答案 ６ ３
－ 则函数ｆ ｘ 图象的一个对称中心可以是
２ （ ） （ ）
( ) ( )
π π １
Ａ． ，０ Ｂ． － ，－
６ １２ ４
( ) ( )
π １ π
Ｃ． ， Ｄ． ，０
３ ４ ３
答案 Ｂ
( )
的图象向左平移π个单位得到ｙ ｘ π 的图象．故选 ．
＝ｓｉｎ ２ ＋ Ａ
６ ３
( )
２．（２０１７北京平谷零模，６）若将函数ｆ ｘ ｘ π 的图象
考点一 三角函数的图象及其变换 （ ）＝ｓｉｎ ２ ＋
６
１．（２０２０山东师范大学附属中学第三次月考，３）为了得函数ｙ
＝
向右平移φ个单位
，
所得图象关于ｙ轴对称
，
则φ的最小正值
( ) 是
（ ）
ｘ π 的图象 只需把函数ｙ ｘ的图象
ｓｉｎ ２ ＋ ， ＝ｓｉｎ２ （ ）
３ π ３π ２π ５π
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ４ ３ １２
向左平移π个单位 向左平移π个单位 答案 Ａ 把函数ｆ ｘ 的图象向右平移φ个单位 可得函数
Ａ． Ｂ． （ ） ，
６ ３ [ ] ( )
ｇ ｘ ｘ φ π ｘ φ π 的图象．由于所得
向右平移π个单位 向右平移π个单位 （ ）＝ ｓｉｎ ２（ － ）＋ ＝ｓｉｎ ２ －２ ＋
Ｃ． Ｄ． ６ ６
６ ３ ｋ
( ) [ ( )] 图象关于ｙ轴对称 故有 φ π ｋ π ｋ Ｚ 即φ π
答案 Ａ ｙ ｘ π ｘ π 即将 ｙ ｘ ， －２ ＋ ＝ π＋ ， ∈ ， ＝－ －
＝ｓｉｎ ２ ＋ ＝ｓｉｎ ２ ＋ ， ＝ｓｉｎ ２ ６ ２ ２
３ ６
专题五 三角函数与解三角形 ２７９
[ ]
π ｋ Ｚ 故φ的最小正值为π 故选 于直线ｘ π对称 则函数ｆ ｘ 在 π π 上的值域是
， ∈ ， ， Ａ． ＝ ， （ ） － ，
６ ３ ３ ８ ８
３．（２０１９ 四川成都石室中学 ４ 月月考，７） 函数 ｆ ｘ
（ ） ＝ （ ）
( ) é ù
ωｘ π ω 的零点构成一个公差为π的等差数列 要 êê ２ úú
ｓｉｎ ＋ （ ＞０） ， Ａ．［－１，２］ Ｂ．［－ ３，２］ Ｃ．ë－ ，１û Ｄ．［－ ２，２］
６ ( ) ２ ２
得到ｇ （ ｘ ）＝ｃｏｓ ωｘ ＋ π 的图象 ， 可将ｆ （ ｘ ） 的图象 （ ） 答案 Ｄ 本题主要考查三角函数图象的平移 ， 三角函数值
域的求解 考查学生的逻辑思维能力 考查的核心素养为逻辑
６
， ，
向右平移π个单位 向左平移π个单位 推理 数学运算．
Ａ． Ｂ． ，
４ ４
将函数ｆ ｘ ｘ φ φ 图象向右平移π个单位长
向左平移π个单位 向右平移π个单位 （ ）＝２ｓｉｎ（３ ＋ ）（０＜ ＜π）
Ｃ． Ｄ． ８
２ ２ [ ( ) ]
( ) 度后 得到的函数解析式为 ｙ ｘ π φ
答案 Ｂ 根据函数 ｆ ｘ ωｘ π ω 的图象与 ｘ ， ＝ ２ｓｉｎ ３ － ＋ ＝
（ ）＝ｓｉｎ ＋ （ ＞０） ８
６ ( )
ｘ ３π φ 由题意得 π ３π φ ｋ π ｋ Ｚ 得φ
轴的交点的横坐标构成一个公差为π的等差数列 可得函数 ２ｓｉｎ ３ － ＋ ， ３× － ＋ ＝ π＋ （ ∈ ），
， ８ ３ ８ ２
２
( ) ｋ π ｋ Ｚ 又 φ 所以 φ ７π 所以 ｆ ｘ
的周期为 即２π 得ω 即ｆ ｘ ｘ π ． ＝ π－ （ ∈ ）， ０＜ ＜π， ＝ ， （ ）＝
π， ω ＝π， ＝２， （ ）＝ｓｉｎ ２ ＋ ８ ８
６ ( ) [ ] [ ]
( ) ( ) [ ( ) ] ｘ ７π 当 ｘ π π 时 ｘ ７π π ５π 则
ｇ ｘ ｘ π π ｘ π ｘ π π ２ｓｉｎ ３ ＋ ， ∈ － ， ，３ ＋ ∈ ， ，
（ ）＝ｃｏｓ ２ ＋ ＝ｓｉｎ ＋２ ＋ ＝ｓｉｎ ２ ＋ ＋ ， ８ ８ ８ ８ ２ ４
所以把ｆ （ ｘ ）＝ｓｉｎ ６ ( ２ ｘ ＋ π ) ２ 的图象向 ６ 左平移π个单 ４ 位 ， 可 ６ 得函 ｓｉｎ ( ３ ｘ ＋ ７ ８ π ) ∈ é ë êê － ２ ２ ，１ ù û úú ， 所以 ２ｓｉｎ ( ３ ｘ ＋ ７ ８ π ) ∈［－ ２，２］， 故函
６ ４ [ ]
数ｇ （ ｘ ） 的图象 ， 故选 Ｂ． 数ｆ ｘ 在 π π 上的值域是 故选 ．
４．（２０２０黑龙江大庆实验中学４ 月模拟，９）已知函数 ｆ ｘ （ ） － ８ ， ８ ［－ ２，２］， Ｄ
( ) ( ) （ ）＝ ６．（２０１９湖南宁乡一中、攸县一中４月联考，１４）已知函数ｆ ｘ
ａ ｘ π ｘ π 是偶函数．若将曲线ｙ ｆ ｘ 向左 （ ）
ｃｏｓ － ＋ ３ｓｉｎ － ＝ （２ ）
３ ３ ｘ ｘ 将ｙ ｆ ｘ 的图象向左平移π个单位长度
＝ｓｉｎ２ － ３ｃｏｓ２ ， ＝ （ ） ，
平移π个单位长度后 得到曲线ｙ ｇ ｘ 则不等式ｇ ｘ ６
， ＝ （ ）， （ ）≤１ 再向上平移 个单位长度得到函数 ｙ ｇ ｘ 的图象 则
１２ １ ＝ （ ） ，
的解集是 ( )
（ ） ｇ ３π 的值为 ．
{ } －
ｘ ｋ ５π ｘ ｋ π ｋ Ｚ ４
Ａ． π－ ≤ ≤ π＋ ， ∈ 答案
１２ ４ ３
{ } ( )
ｘ ｋ π ｘ ｋ ３π ｋ Ｚ 解析 ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ π 将ｙ ｆ ｘ 的
Ｂ． π＋ ≤ ≤ π＋ ， ∈ （ ）＝ｓｉｎ ２ － ３ｃｏｓ ２ ＝２ｓｉｎ ２ － ， ＝ （ ）
１２ ４ ３
{ } [ ( ) ]
ｘ ｋ ３π ｘ ｋ ７π ｋ Ｚ 图象向左平移π个单位长度得到函数ｙ ｘ π π
Ｃ． π－ ≤ ≤ π＋ ， ∈ ＝２ｓｉｎ ２ ＋ －
８ ４ ６ ６ ３
{ } ｘ的图象 再将函数ｙ ｘ的图象向上平移 个单
ｘ ｋ ５π ｘ ｋ π ｋ Ｚ ＝２ｓｉｎ２ ， ＝２ｓｉｎ ２ １
Ｄ． ２ π－ ≤ ≤２ π＋ ， ∈ ( )
６ ２ 位长度得到函数ｙ ｇ ｘ ｘ 的图象 所以ｇ ３π
æ ö ＝ （ ）＝ ２ｓｉｎ ２ ＋１ ， － ＝
答 案 Ａ 因 为 ｆ ｘ ａ ç １ ｘ ３ ｘ÷ ４
（ ） ＝ è ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ø ＋ ( )
２ ２ ３π ．
æ ö ( ) æ ö ２ｓｉｎ － ＋１＝３
ç １ ｘ ３ ｘ÷ １ ａ ３ ｘ ç ３ａ ３÷ ｘ 为 ２
３è ｓｉｎ － ｃｏｓ ø＝ － ｃｏｓ ＋è ＋ øｓｉｎ
２ ２ ２ ２ ２ ２ 考点二 三角函数的性质及其应用
偶函数
，
所以ｆ
（－
ｘ
）＝
ｆ
（
ｘ
），
所以 ３ａ
＋
３
＝０，
解得ａ
＝－１，
所以 １．（２０１７北京西城一模，３）函数ｆ
（
ｘ
）＝ｓｉｎ
２ｘ
－ｃｏｓ
２ｘ的最小正周
２ ２ 期是
（ ）
ｆ ｘ ｘ．将曲线ｙ ｆ ｘ 向左平移π个单位长度后 得
（ ）＝－２ｃｏｓ ＝ （２ ） ，
１２ π ３π
[ ( )] ( ) Ａ． Ｂ．π Ｃ． Ｄ．２π
２ ２
到曲线 ｙ ＝ －２ｃｏｓ ２ ｘ ＋ π ＝ －２ｃｏｓ ２ ｘ ＋ π ， 则ｇ （ ｘ ） ＝ 答案 Ｂ ｆ ｘ ２ｘ ２ｘ ｘ 所以最小正周期为 ．
１２ ６ （ ）＝ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝－ｃｏｓ２ ， π
( ) ( ) ２．（２０１９四川南充第二次适应性考试，６）已知函数 ｆ ｘ
ｘ π ．由 ｇ ｘ 得 ｘ π 得 （ ）＝
－２ｃｏｓ ２ ＋ （ ） ≤１， － ２ｃｏｓ ２ ＋ ≤ １，
６ ６ Ａ ωｘ φ Ａ ω 在ｘ π处取得最小值 则
( ) ｓｉｎ（ ＋ ）（ ＞０， ＞０） ＝ ， （ ）
ｘ π １ 则 ｋ ２π ｘ π ｋ ２π ｋ Ｚ 得 ６
ｃｏｓ ２ ＋ ≥－ ， ２ π－ ≤２ ＋ ≤２ π＋ （ ∈ ）， ( )
６ ２ ３ ６ ３ ｆ ｘ π 一定是奇函数
Ａ． ＋
ｋ ５π ｘ ｋ π ｋ Ｚ 所以不等式 ｇ ｘ 的解集是 ６
π－ ≤ ≤ π＋ （ ∈ ）， （ ）≤１ ( )
１２ ４ ｆ ｘ π 一定是偶函数
{ } Ｂ． ＋
ｘ ｋ ５ ｘ ｋ π ｋ Ｚ 故选 ． ６
π－ π≤ ≤ π＋ ， ∈ ， Ａ ( )
１２ ４ ｆ ｘ π 一定是奇函数
５．（２０２０甘肃顶级名校５月联考，９）将函数ｆ ｘ ｘ φ Ｃ． －
（ ）＝ ２ｓｉｎ（３ ＋ ） ６
( )
φ 图象向右平移π个单位长度后 得到函数的图象关 ｆ ｘ π 一定是偶函数
（０＜ ＜π） ， Ｄ． －
８ ６
２８０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
６．（２０１９ 安徽六安一中 ３ 月月考，１５） 若函数 ｆ ｘ
答案 Ｂ 因为函数ｆ ｘ Ａ ωｘ φ Ａ ω 在ｘ π （ ） ＝
（ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ）（ ＞０， ＞０） ＝ ( )
６ ωｘ π ω 在区间 内有最值 则ω的取值范
处取得最小值 ｓｉｎ ＋ （０＜ ＜１） （π，２π） ，
， ６
围为 ．
所以函数图象关于ｘ π对称 将ｆ ｘ Ａ ωｘ φ 的图象向
＝ ， （ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ） ( ) ( )
６ 答案 １ １ ２
( ) ( ) ， ∪ ，１
左平移π个单位后得到ｆ ｘ π 的图象 此时ｆ ｘ π 图象 ６ ３ ３
＋ ， ＋ ( )
６ ６ ６ 解析 函数ｆ ｘ ωｘ π ω 取最值时 ωｘ π
( ) （ ）＝ｓｉｎ ＋ （０＜ ＜１） ， ＋ ＝
关于ｙ轴对称 即ｆ ｘ π 一定是偶函数 故选 ． ６ ６
， ＋ ， Ｂ ( )
６ ｋ π ｋ Ｚ 即 ｘ １ ｋ π ｋ Ｚ 因为 ｆ ｘ 在区间
３．（２０１９新疆乌鲁木齐二模，９）若关于ｘ的方程 ｘ ｘ ２ π＋ ， ∈ ， ＝ ω π＋ （ ∈ ）， （ ）
（ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ） ＋ ２ ３
( )
ｘ ｍ在区间 上有两个根ｘ ｘ 且 ｘ ｘ π 则 内有最值 所以 １ ｋ π ｋ Ｚ 时 ｋ有
ｃｏｓ２ ＝ ［０，π） １， ２， ｜ １－ ２｜≥ ， （π，２π） ， ω π＋ （ ∈ ）∈（π，２π） ，
４ ３
实数ｍ的取值范围是 ì
（ ） ïω ｋ １
( ) ï ＜ ＋ ， ｋ
Ａ． 答 ［０ 案 ，２ ） Ｂ 关 Ｂ 于 ．［ ｘ ０， 的 ２］ 方程 （ｓｉ Ｃ ｎ ． ｘ ［ ＋ １， ｃｏｓ ２＋ ｘ ） １］ ２ ＋ｃｏ Ｄ ｓ ．［ ２ ｘ １， ＝ ｍ ２） 在区间 解 ， 所以 １＜ω １ · ｋ ＋ ３ １ ＜２， 即 î í ï ï ｋ ＋ １ ３ ＜ ω ⇒ ２ ＋ ６ １ ＜ ω ＜ ｋ ＋ ３ １ ．
上有两个根ｘ ｘ ２ ６
［０，π） １， ２， ( ) ｍ 由 ｋ １ ｋ １ 得ｋ １ ．当ｋ 时 １ ω １ 当ｋ 时 结
原方程即 ｘ ｘ ｍ 即 ｘ π －１ ＋ ＜ ＋ ＞－ ＝０ ， ＜ ＜ ， ＝１ ，
ｓｉｎ２ ＋ｃｏｓ２ ＝ －１， ｓｉｎ ２ ＋ ＝ ， ２ ６ ３ ３ ６ ３
４ ２
( ) ｍ 合 ω 得 ２ ω 所 以 ω 的 取 值 范 围 为
ｘ π －１在区间 上有两个根ｘ ｘ ０ ＜ ＜ １， ＜ ＜ １，
∴ ｓｉｎ ２ ＋
４
＝
２
［０，π） １， ２，
( ) ( )
３
１ １ ２ ．
且 ｘ ｘ π． ， ∪ ，１
｜ １－ ２｜≥ ６ ３ ３ ( )
４
７．（２０１９北京海淀期末，１５）已知函数 ｆ ｘ ａ π ｘ
[ ) ｍ （ ）＝ ｃｏｓ － －
ｘ ｘ π π ９π ２ －１ ２ 求得 ２
∵ ∈［０，π），∴２ ＋ ∈ ， ，∴ － ≤ ≤ ， ０ ｘ 其中ａ ．
４ ４ ４ ２ ２ ２ ｃｏｓ２ ， ＞０
ｍ 故选 ( ) ( )
≤ ≤２， Ｂ． 比较ｆ π 和ｆ π 的大小
（１） ；
４．（２０１９北京怀柔一模，１１）函数ｆ
（
ｘ
）＝ｓｉｎ
ｘ
ｃｏｓ
ｘ
＋ｃｏｓ
２ｘ
－
１ 的 ６ ２
[ ]
２ 求函数ｆ ｘ 在区间 π π 上的最小值．
最小正周期是 ｆ ｘ 的取值范围是 ． （２） （ ） － ，
， （ ） ２ ２
é ù ( ) ａ ( ) ( )
答案 π；ë êê － ２ ， ２ û úú 解析 （１） 因为ｆ π ６ ＝ ２ － ２ １ ， ｆ π ２ ＝ ａ ＋１， 所以ｆ π ２ －
２ ２ ( ) ( ａ ) ａ ａ
解析 ｆ ｘ ｘ ｘ ２ｘ １ １ ｘ １＋ｃｏｓ２ ｘ １ ｆ π ＝（ ａ ＋１）－ － １ ＝ ＋ ３ ．因为ａ ＞０， 所以 ＋ ３ ＞０，
（ ）＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ － ＝ ｓｉｎ ２ ＋ － ＝ ６ ２ ２ ２ ２ ２ ２
２ ２ ２ ２ ( ) ( )
( ) 所以ｆ π ｆ π ．
１ ｘ １ ｘ １ ｘ ｘ ２ ｘ π 所以 ＞
ｓｉｎ２ ＋ ｃｏｓ２ ＝ （ｓｉｎ２ ＋ｃｏｓ ２ ）＝ ｓｉｎ ２ ＋ ， ２ ６
２ ２ ２ ２ ４ 因为ｆ ｘ ａ ｘ ｘ ａ ｘ ２ｘ ２ｘ
（２） （ ）＝ ｓｉｎ －ｃｏｓ ２ ＝ ｓｉｎ －（１－２ｓｉｎ ）＝ ２ｓｉｎ ＋
函数ｆ ｘ ｘ ｘ ２ｘ １ 的最小正周期是 ｆ ｘ 的取 ａ ｘ ．
（ ）＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ － π， （ ） ｓｉｎ －１
２ [ ]
é ù 设ｔ ｘ 因为ｘ π π
值范围是êê ２ ２úú． ＝ｓｉｎ ， ∈ － ， ，
ë－ ， û ２ ２
２ ２ 所以ｔ
５．（２０１７ 江苏南通中学高三上学期期中，７） 函数 ｙ ∈［－１，１］，
＝ ａ
( ) 所以ｙ ｔ２ ａｔ 其图象的对称轴为直线ｔ ．
ｘ π 的图象与ｙ轴最近的对称轴方程是 ． ＝２ ＋ －１， ＝－
２ｓｉｎ ２ － ４
６ ａ
当ｔ 即ａ 时 在ｔ 处取得最小值 ａ
答案 ｘ π ＝－ ＜－１， ＞４ ， ＝－１ １－ ；
＝－ ４
６ ａ ａ ａ２
ｋ 当ｔ 即 ａ 时 在ｔ 处取得最小值 ．
解析 由 ｘ π π ｋ ｋ Ｚ 得ｘ π π ｋ Ｚ ＝－ ≥－１， ０＜ ≤４ ， ＝－ － －１
２ － ＝ ＋ π（ ∈ ） ＝ ＋ （ ∈ ）， ４ ４ ８
６ ２ ３ ２
因此与ｙ轴最近的对称轴方程是ｘ π．
＝－
６
专题五 三角函数与解三角形 ２８１
考法一 三角函数的图象
例１ （２０２０ 山东潍坊 ６ 月模拟改编）已知函数
（１）
( )
ｆ ｘ Ａ ωｘ φ Ａ ω φ π 的图象如图所示 则
（ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ） ＞０， ＞０，｜ ｜＜ ，
２
ｆ ｘ 的解析式为
（ ） ；
( )
将函数ｆ（ｘ） ｘ π 的图象向右平移π个单位后
② ＝２ｓｉｎ ２ ＋
６ ６
[ ( ) ] ( )
得到ｙ ｘ π π ｘ π 的图象，再将得到
＝２ｓｉｎ ２ － ＋ ＝２ｓｉｎ ２ －
６ ６ ６
的图象上各点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，得到函
４
( ) ( ｘ ) ｘ
已知函数ｆ ｘ ｘ π ２ｘ． 数ｇ（ｘ） ＝２ｓｉｎ － π 的图象，由 － π ＝ ｋ π （ｋ ∈ Ｚ）得ｘ ＝２ ｋ π
（２） （ ）＝－ ３ｃｏｓ ２ ＋ ＋１－２ｓｉｎ ２ ６ ２ ６
２ ( )
用 五点作图法 在给定的坐标系中 画出函数 ｆ ｘ 在 π（ｋ Ｚ），故ｇ（ｘ）图象的对称中心为 ｋ π， （ｋ Ｚ）．
① “ ” ， （ ） ＋ ∈ ２ π＋ ０ ∈
上的图象 ３ ３
［０，π］ ； ( )
答案 （ ）ｆ（ｘ） ｘ π
１ ＝２ｓｉｎ ２ ＋
３
方法总结 １．根据图象确定函数解析式
求函数ｙ Ａ ωｘ φ Ｂ Ａ ω φ 解析式的方
＝ ｓｉｎ（ ＋ ）＋ （ ＞０， ＞０，｜ ｜＜π）
法与步骤
Ｍ ｍ
求Ａ Ｂ 确定函数的最大值Ｍ和最小值ｍ 则Ａ －
（１） 、 ， ， ＝ ，
２
Ｍ ｍ
Ｂ ＋ ．
＝
２
先将函数ｙ ｆ ｘ 的图象向右平移π个单位 再将得到的
ω由周期得到．
② ＝ （ ） ， （２）
６ 利用峰点 谷点或零点列出关于φ的方程 结合φ的范
图象上各点的横坐标伸长为原来的 倍 纵坐标不变 得到函数 （３） 、 ，
４ ， ， 围解得φ的值 所列方程如下
ｙ ｇ ｘ 的图象 求ｇ ｘ 图象的对称中心． ， ：
＝ （ ） ， （ ）
峰点 ωｘ φ π ｋ 谷点 ωｘ φ π ｋ ．
解析 （ ） ｆ（ｘ） 且Ａ ， Ａ ． ： ＋ ＝ ＋２ π； ： ＋ ＝－ ＋２ π
１ ∵ ｍｉｎ＝－２ ＞０ ∴ ＝２ ２ ２
( ) 利用零点时 要区分该零点是升零点 还是降零点．
由题图可知：最小正周期Ｔ ７π π ， ω ２π ． ， ，
＝４× － ＝π ∴ ＝ Ｔ ＝２ 升零点 图象上升时与ｘ轴的交点的横坐标 ωｘ φ ｋ
１２ ３ （ ）： ＋ ＝２ π；
( ) ( ) 降零点 图象下降时与 ｘ 轴的交点的横坐标 ωｘ φ
又ｆ ７π ７π φ ， ７π φ π ｋ （ｋ Ｚ）， （ ）： ＋ ＝π
＝２ｓｉｎ ＋ ＝－２ ∴ ＋ ＝－ ＋２ π ∈ ｋ ．
１２ ６ ６ ２ ＋２ π
解得φ ５π ｋ （ｋ Ｚ）， （
以上ｋ
∈
Ｚ
）
＝－ ３ ＋２ π ∈ ( ) ２．画函数ｙ ＝ Ａ ｓｉｎ（ ωｘ ＋ φ ）（ Ａ ＞０， ω ＞０） 图象的两种常用方法
又 ｜ φ ｜＜ π， ∴ φ ＝ π， ∴ ｆ（ｘ） ＝２ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π ． （１） 五点法作图 ： 用 “ 五点法 ” 作ｙ ＝ Ａ ｓｉｎ（ ωｘ ＋ φ ） 的简图 ， 主
２ ３ ３
( ) 要是通过变量代换 设ｚ ωｘ φ 由ｚ取 π ３ 来求出
（
２
）
①
ｆ（ｘ）
＝－ ３ｃｏｓ ２
ｘ
＋
π
＋１－２ｓｉｎ
２ｘ ， ＝ ＋ ， ０，
２
，π，
２
π，２π
２ 相应的ｘ 通过列表 计算得出五点坐标 描点后得出图象．
( ) ， ， ，
ｘ ｘ ｘ π ． 图象变换法 由函数ｙ ｘ 的图象通过变换得到 ｙ
＝ ３ｓｉｎ２ ＋ｃｏｓ２ ＝２ｓｉｎ ２ ＋ （２） ： ＝ｓｉｎ ＝
６ Ａ ωｘ φ 的图象有两种途径 先平移后伸缩 与 先伸缩后
列表如下： ｓｉｎ（ ＋ ） ：“ ” “
平移 ．
”
ｘ π ５π ２π １１π
０ π
６ １２ ３ １２
ｆ（ｘ）
１ ２ ０ －２ ０ １
描点、连线．函数ｆ（ｘ）在区间［ ， ］上的图象如图．
０ π
２８２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
( )
１ ωｘ φ ω φ π 的图象向右平移 π 个单位长度
ｓｉｎ（２ ＋ ） ＞０，｜ ｜＜
例 （２０２０重庆育才中学３月月考，１０）函数ｆ ｘ ２ ２ １２
（ ）＝ｃｏｓ 得到ｇ ｘ 的图象 ｇ ｘ 图象关于原点对称 向量 ｍ
( ) （ ） ， （ ） ；② ＝
ωｘ φ ω φ π 的部分图象如图所示 则函数ｇ ｘ ( )
（ ＋ ） ＞０，｜ ｜＜ ， （ ）＝ ωｘ ωｘ ｎ １ ωｘ １ ω ｆ ｘ ｍ ｎ
２ （ ３ｓｉｎ ，ｃｏｓ２ ）， ＝ ｃｏｓ ， ， ＞０， （ ）＝ · ；
２ ４
ｆ ｘ ３ φ 的最小正周期为 ( )
（ ）－ （ ） 函数ｆ ｘ ωｘ ωｘ π １ ω 这三个条件中任选
π ③ （ ）＝ｃｏｓ ｓｉｎ ＋ － （ ＞０）
６ ４
一个 补充在下面问题中 并解答．已知 函数ｆ ｘ 的图
， ， ， （ ）
象相邻两条对称轴之间的距离为π．
２
若 θ π 且 θ ２ 求ｆ θ 的值
（１） ０＜ ＜ ， ｓｉｎ ＝ ， （ ） ；
π ２ ２
Ａ．π Ｂ．２π Ｃ．４π Ｄ． 求函数ｆ ｘ 在 上的单调递减区间．
２ （２） （ ） ［０，２π］
( ) 解析 方案一：选条件 ．
解析 根据函数ｆ（ｘ） （ωｘ φ） ω ， φ π 的部分 ①
＝ｃｏｓ ＋ ＞０ ｜ ｜＜
２
Ｔ 由题意可知，Ｔ ２π ， ω ， ｆ（ｘ） １ （ ｘ φ），
图象，可得 ７π π π Ｔ ２π ω ． ＝ ω＝π ∴ ＝１ ∴ ＝ ｓｉｎ ２ ＋
＝ － ＝ ⇒ ＝π＝ ω⇒ ＝２ ( ２ ) ２
４ １２ ３ ４
( ) ｇ（ｘ） １ ｘ φ π ，又函数 ｇ（ｘ）图象关于原点对
点 π， 是五点作图的第二个点，则 π φ π φ ∴ ＝ ｓｉｎ ２ ＋ －
０ ２× ＋ ＝ ⇒ ＝ ２ ６
３ ３ ２
( ) 称， φ ｋ π，ｋ Ｚ，
π， ｆ （ｘ） ｘ π ， ｇ （ｘ） ｆ（ｘ） ３ φ ∴ ＝ π＋ ∈
－ ∴ ＝ ｃｏｓ ２ － ∴ ＝ － ＝ ６ ( )
６ ６ π
( ) ( ) φ π， φ π， ｆ（ｘ） １ ｘ π ．
ｘ π １ ，易知ｙ ｇ（ｘ）与 ｙ ｘ π １ 的最 ∵ ｜ ｜＜ ∴ ＝ ∴ ＝ ｓｉｎ ２ ＋
ｃｏｓ ２ － ＋ ＝ ＝ｃｏｓ ２ － ＋ ２ ６ ２ ６
６ ２ ６ ２
（ ） θ π， θ ２，
小正周期相同，均为Ｔ ２π ．故选 ． １ ∵０＜ ＜ ｓｉｎ ＝
＝ ＝π Ａ ２ ２
２ ( )
答案 Ａ θ π， ｆ（θ） ｆ π １ ２ ３．
∴ ＝ ∴ ＝ ＝ ｓｉｎ π＝
思路分析 由函数的图象求出ω，由五点作图法求出φ ４ ４ ２ ３ ４
的值，可得ｇ（ｘ）的解析式，再利用三角函数的周期性，得出 （ ）由π ｋ ｘ π ３ ｋ ，ｋ Ｚ，
２ ＋２ π≤２ ＋ ≤ π＋２ π ∈
结论． ２ ６ ２
例 （２０１８河南天一联考，１４）已知函数ｆ （ ｘ ）＝２ｓｉｎ（ ωｘ ＋ φ ） 得π ＋ ｋ π≤ ｘ ≤ ２ π＋ ｋ π ，ｋ ∈ Ｚ，
( ) ６ ３
ω ＞０，－ π ＜ φ ＜０ 的部分图象如图所示 ， 则φ ＝ ． 令ｋ ＝０ ，得π ≤ ｘ ≤ ２ π ，令ｋ ＝１ ，得 ７ π≤ ｘ ≤ ５ π ，
２
６ ３ ６ ３
函 数 ｆ （ｘ） 在 ［ ， ］ 上 的 单 调 递 减 区 间 为
∴ ０ ２π
[ ] [ ]
π，２ ， ７ ，５ ．
π π π
６ ３ ６ ３
方案二：选条件 ．
②
( )
ｍ （ ωｘ， ωｘ），ｎ １ ωｘ，１ ， ｆ（ｘ） ｍ
∵ ＝ ３ｓｉｎ ｃｏｓ ２ ＝ ｃｏｓ ∴ ＝
２ ４
æ ö
·ｎ ３ ωｘ ωｘ １ ωｘ １ ç ３ ωｘ １ ωｘ÷
＝ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ２ ＝ è ｓｉｎ２ ＋ ｃｏｓ２ ø ＝
解析 由 Ｔ １１ ２ π，得Ｔ ，又知Ｔ ２π， ω ( ２ ) ４ ２ ２ ２ ( )
４ ＝ １２ π－ ３ π＝ ４ ＝π ＝ ω ∴ ＝ １ ωｘ π ，又Ｔ ２π ， ω ， ｆ（ｘ） １ ｘ π ．
( ) ( ) ｓｉｎ ２ ＋ ＝ ω＝π ∴ ＝１ ∴ ＝ ｓｉｎ ２ ＋
， ｆ（ｘ） （ ｘ φ）．又知ｆ １１ ， １１ φ ２ ６ ２ ２ ６
２ ∴ ＝２ｓｉｎ ２ ＋ π ＝－２ ∴ ２ｓｉｎ π＋ ＝
１２ ６ （ ） θ π， θ ２，
( ) １ ∵０＜ ＜ ｓｉｎ ＝
，即 １１ φ ． １１ φ ｋ ３ （ｋ Ｚ）． ２ ２
－２ ｓｉｎ π＋ ＝－１∴ π＋ ＝２ π＋ π ∈ ( )
６ ６ ２ θ π， ｆ（θ） ｆ π １ ２ ３．
∴ ＝ ∴ ＝ ＝ ｓｉｎ π＝
φ ｋ π（ｋ Ｚ），又 π φ ， φ π． ４ ４ ２ ３ ４
∴ ＝２ π－ ∈ ∵ － ＜ ＜０ ∴ ＝－
３ ２ ３ （ ）由π ｋ ｘ π ３ ｋ ，ｋ Ｚ，
２ ＋２ π≤２ ＋ ≤ π＋２ π ∈
答案 π ２ ６ ２
－
３ 得π ｋ ｘ ２ ｋ ，ｋ Ｚ，
＋ π≤ ≤ π＋ π ∈
６ ３
令ｋ ，得π ｘ ２ ，令ｋ ，得 ７ ｘ ５ ，
考法二 三角函数的单调性、奇偶性、周期性与对 ＝０ ≤ ≤ π ＝１ π≤ ≤ π
６ ３ ６ ３
称性 函 数 ｆ （ｘ） 在 ［ ， ］ 上 的 单 调 递 减 区 间 为
∴ ０ ２π
[ ] [ ]
例２ （２０２０ 山东泰安期末，１７）在 将函数 ｆ ｘ π，２ ， ７ ，５ ．
① （ ）＝ π π π
６ ３ ６ ３
方案三：选条件 ．
③
专题五 三角函数与解三角形 ２８３
( ) 单调区间时 要视 ωｘ φ 为一个整体 通过解不等式求解．如果
ｆ（ｘ） ωｘ ωｘ π １ ， “ ＋ ” ，
＝ｃｏｓ ｓｉｎ ＋ － ω 那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．
６ ４ ＜０，
( ) ２．已知三角函数的单调区间求参数 先求出函数的单调区
ωｘ ωｘ π ωｘ π １ ，
＝ｃｏｓ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ － 间 然后利用集合间的关系求解．
６ ６ ４ ，
３ ωｘ ωｘ １ ２ωｘ １ ３ ωｘ １ ωｘ
＝ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ － ＝ ｓｉｎ２ ＋ ｃｏｓ２
２ ２ ４ ４ ４
æ ö ( ) 例 （２０１９重庆巴蜀中学二诊，９）已知 ｘ ＝－ π 是函数 ｆ
１ ç ３ ωｘ １ ωｘ÷ １ ωｘ π ， １２
＝ è ｓｉｎ２ ＋ ｃｏｓ２ ø＝ ｓｉｎ ２ ＋
２ ２ ２ ２ ( ６ ) （ ｘ ）＝ｓｉｎ（ ωｘ ＋ φ ）（ ω ＞０，０＜ φ ＜π） 的零点 ， 直线ｘ ＝－ π是函数ｆ
又Ｔ ２π ， ω ， ｆ（ｘ） １ ｘ π ． ３
＝ ω＝π ∴ ＝１ ∴ ＝ ｓｉｎ ２ ＋ ( )
２ ２ ６ ｘ 的图象的一条对称轴 若ｆ ｘ 在区间 π π 内单调 则φ
（ ） ， （ ） ， ， ＝
（ ） θ π， θ ２， ６ ２
１ ∵０＜ ＜ ｓｉｎ ＝
２ ２ （ ）
( )
θ π， ｆ（θ） ｆ π １ ２ ３． ５π ２π π π
∴ ＝ ∴ ＝ ＝ ｓｉｎ π＝ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
４ ４ ２ ３ ４ ６ ３ ( ) ３ ６
（ ２ ）由π ＋２ ｋ π≤２ ｘ ＋ π ≤ ３ π＋２ ｋ π ，ｋ ∈ Ｚ， 解析 ∵ ｆ（ｘ）在区间 π，π 内单调， ∴ π － π ＝ π ≤
６ ２ ２ ６ ３
２ ６ ２
Ｔ
得π ＋ ｋ π≤ ｘ ≤ ２ π＋ ｋ π ，ｋ ∈ Ｚ， ２ ，即Ｔ ≥ ２ ３ π，
６ ３
令ｋ ，得π ｘ ２ ，令ｋ ，得 ７ ｘ ５ ． 则２ ω π ≥ ２π，则 ０＜ ω ≤３ ， ∵ ｘ ＝－ π是函数ｆ（ｘ） ＝ｓｉｎ （ωｘ ＋ φ）
＝０ ≤ ≤ π ＝１ π≤ ≤ π ３ １２
６ ３ ６ ３
函 数 ｆ （ｘ） 在 ［ ， ］ 上 的 单 调 递 减 区 间 为 （ω ， φ ）的零点，直线ｘ π是函数ｆ（ｘ）的图象的一条
[ ∴ ] [ ] ０ ２π ＞０ ０＜ ＜π ＝－
３
π，２ ， ７ ，５ ． ( ) ( )
π π π 对称轴， π π π，
６ ３ ６ ３ ∴ － － － ＝
例３ （多选题）（２０２０山东济宁一中５月检测，１０）将函 １２ ３ ４
Ｔ
( ) 若π ，则Ｔ ，此时２π ，得ω ，满足条件，
数ｆ ｘ ｘ π 的图象向左平移π个单位长度 再 ＝ ＝π ω ＝π ＝２
（ ）＝ ３ｃｏｓ ２ ＋ －１ ， ４ ４
３ ３ Ｔ
向上平移 个单位长度 得到函数ｇ ｘ 的图象 则下列关于函数 若π ３ ，则Ｔ π，此时２π π，得ω ，不满足条件，
１ ， （ ） ， ＝ ＝ ω ＝ ＝６
ｇ ｘ 的说法正确的是 ４ ４ ３ ３
（ ） （ ）
则ｆ（ｘ） （ ｘ φ）， ｘ π是函数ｆ（ｘ）的图象的一条
最大值为 图象关于直线ｘ π对称 ＝ｓｉｎ ２ ＋ ∵ ＝－
Ａ． ３， ＝ ３
１２ 对称轴，
图象关于ｙ轴对称
Ｂ．
最小正周期为 π φ ｋ π，即φ ｋ ７π，ｋ Ｚ，
∴ － ×２＋ ＝ π＋ ＝ π＋ ∈
Ｃ． ( π ) ３ ２ ６
图象关于点 π 对称 φ ， 当ｋ 时，φ π，故选
Ｄ． ，０ ∵０＜ ＜π ∴ ＝－１ ＝ Ｄ．
４ ( ) ６
解析 将函数ｆ（ｘ） ｘ π 的图象向左平移π 答案 Ｄ
＝ ３ｃｏｓ ２ ＋ －１
３ ３ 例 （２０１９ 广西百色一模，１） 设函数 ｆ ｘ
[ ( ) ] （ ） ＝ ｓｉｎ
个单位长度，得到ｙ ｘ π π （ ｘ ） ( )
＝ ３ｃｏｓ ２ ＋ ＋ －１＝ ３ｃｏｓ ２ ＋π － ｘ π 的图象为曲线Ｃ 则下列结论中正确的是
３ ３ ２ ＋ ， （ ）
ｘ 的图象，再向上平移 个单位长度，得到函数 ６
１＝－ ３ｃｏｓ ２ －１ １ 函数ｆ ｘ 的最小正周期是
Ａ． （ ） ２π
ｇ（ｘ） ｘ的图象，对于函数ｇ（ｘ），它的最大值为 ，由
＝－ ３ｃｏｓ２ ３ 曲线Ｃ关于直线ｘ π对称
Ｂ． ＝
于当ｘ π时，ｇ（ｘ） ３ ，不是最值，故ｇ（ｘ）的图象不关于直线 ６
＝ ＝－
１２ ２ 曲线Ｃ可由函数ｇ ｘ ｘ的图象向左平移π个单
Ｃ． （ ）＝ｓｉｎ ２
ｘ π对称，故 错误；由于函数ｇ（ｘ）为偶函数，故它的图象关 ３
＝ Ａ 位长度得到
１２
( )
于ｙ轴对称，故 正确；ｇ（ｘ）的最小正周期为２π ，故 正确； 函数ｆ ｘ 在区间 π π 上是增函数
Ｂ ＝π Ｃ Ｄ． （ ） － ，
２ １２ ２
( ) ( )
当ｘ π时，ｇ（ｘ） ，故函数ｇ（ｘ）的图象关于点 π， 对 解析 由ｆ（ｘ） ｘ π ，得Ｔ ２π ，故 错；
＝ ＝０ ０ ① ＝ｓｉｎ ２ ＋ ＝ ＝π Ａ
４ ４ ６ ２
称，故 正确．故选 ． ( ) ( )
Ｄ ＢＣＤ ｆ π π π ，故 正确；
答案 ＢＣＤ ② ＝ｓｉｎ ２× ＋ ＝１ Ｂ
６ ６ ６
方法总结 三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略 ｇ（ｘ） ｘ 图象向左平移 π 个单位得到函数 ｙ
③ ＝ ｓｉｎ ２ ＝
１．已知三角函数解析式求单调区间
( ) ( )
３
求函数的单调区间应遵循简单化原则 将解析式进行化 ｘ π ｘ ２π 的图象，故 错；
（１） ， ｓｉｎ２ ＋ ＝ｓｉｎ ２ ＋ Ｃ
简 并注意复合函数单调性规律 同增异减 ． ３ ３
， “ ”
求形如ｙ Ａ ωｘ φ 或ｙ Ａ ωｘ φ 其中ω 的
（２） ＝ ｓｉｎ（ ＋ ） ＝ ｃｏｓ（ ＋ ）（ ＞０）
２８４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
故ω ｋ ，ｋ Ｚ，又 ω ，所以ω ．
[ ] ＝６ ＋２ ∈ ０＜ ＜３ ＝２
由ｙ ｘ的增区间为 ｋ π， ｋ π （ｋ Ｚ），得 ( )
④ ＝ｓｉｎ ２ π－ ２ π＋ ∈ （ ）由（ ）得ｆ（ｘ） ｘ π ，
２ ２ ２ １ ＝ ３ｓｉｎ ２ －
( ) ３
ｆ（ｘ） ｘ π 的增区间为 ｋ π ｘ π ｋｘ π，ｋ ( ) ( )
＝ｓｉｎ ２ ＋ ２ π－ ≤２ ＋ ≤２ ＋ π－ 所以ｇ（ｘ） ｘ π π ｘ π ．
６ ２ ６ ２ ＝ ３ｓｉｎ ＋ － ＝ ３ｓｉｎ －
４ ３ １２
π ｘ ｋ π，故 错．故选 ． [ ] [ ]
≤ ≤ π＋ Ｄ Ｂ 因为ｘ π，３π ，所以ｘ π π，２π ，
３ ６ ∈ － － ∈ －
答案 Ｂ ４ ４ １２ ３ ３
当ｘ π π，即ｘ π时，ｇ（ｘ）取得最小值 ３ ．
－ ＝－ ＝－ －
１２ ３ ４ ２
方法总结 求三角函数最值的常见函数形式
考法三 三角函数的最值
( ) ｙ ａ ｘ ｂ ｘ ａ２ ｂ２ ｘ φ 其中 φ
例４ （２０１７山东，１６，１２分）设函数ｆ ｘ ωｘ π （１） ＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝ ＋ ｓｉｎ（ ＋ ）， ｃｏｓ ＝
（ ）＝ｓｉｎ － ＋ ａ ｂ
６ φ ａ ｂ ．
(
ωｘ π
)
其中 ω ．已知ｆ
(
π
)
．
ａ２
＋
ｂ２ ，ｓｉｎ ＝ ａ２
＋
ｂ２ （ ≠０， ≠０）
ｓｉｎ － ， ０＜ ＜３ ＝０ 降次 整理
２
求ω
６
（２）
ｙ
＝
ａ
ｓｉｎ
２ｘ
＋
ｂ
ｃｏｓ
２ｘ
＋
ｃ
ｓｉｎ
ｘ
ｃｏｓ
ｘ
（
ａ
≠０，
ｂ
≠０）
、
→
ｙ
（１） ； Ｂ
将函数ｙ ｆ ｘ 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 Ａ ｘ Ｂ ｘ Ｃ Ａ２ Ｂ２ ｘ φ Ｃ 其中 φ 再
（２） ＝ （ ） ２ ＝ ｓｉｎ２ ＋ ｃｏｓ２ ＋ ＝ ＋ ｓｉｎ（２ ＋ ）＋ ， ｔａｎ ＝ Ａ，
倍 纵坐标不变 再将得到的图象向左平移 π 个单位 得到函 利用有界性处理．
（ ）， ，
[ ]
４
（３）
ｙ
＝
ａ
ｓｉｎ
２ｘ
＋
ｂ
ｃｏｓ
ｘ
＋
ｃ
（
ａ
≠０，
ｂ
≠０）
可转化为关于
ｃｏｓ
ｘ的
数ｙ ｇ ｘ 的图象 求ｇ ｘ 在 π ３π 上的最小值． 二次函数求解．
＝ （ ） ， （ ） － ，
( ４ ４ ) ( ) ｙ ａ ｘ ｃ ａ ｂ ｃ 令 ｘ ｔ 则转化为求ｙ
解析 （ ）因为ｆ（ｘ） ωｘ π ωｘ π ， （４） ＝ ｓｉｎ ＋ｂ ｘ（ ， ， ＞０）， ｓｉｎ ＝ ， ＝
１ ＝ｓｉｎ － ＋ｓｉｎ － ｓｉｎ
６ ２ ｃ
ａｔ ｔ 且ｔ 的最值 一般可结合图象求解．
所以ｆ（ｘ） ３ ωｘ １ ωｘ ωｘ ３ ωｘ ３ ωｘ ＋ｂｔ（－１≤≤１， ≠０） ，
＝ ｓｉｎ － ｃｏｓ －ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ － ｃｏｓ
２ ２ ２ ２ ｙ ａ ｘ ｘ ｂ ｘ ｘ ｃ ａ ｂ 型常用换
æ ö ( ) （５） ＝ （ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ）＋ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ （ ≠０， ≠０）
ç １ ωｘ ３ ωｘ÷ ωｘ π ． ｔ２
＝ ３è ｓｉｎ － ｃｏｓ ø＝ ３ｓｉｎ － 元法 令ｔ ｘ ｘ ｔ 则 ｘ ｘ －１ 把三角问题
２ ２ ３ ， ＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ，｜ ｜≤ ２， ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ，
( ) ω ２
由题设知ｆ π ，所以 π π ｋ ，ｋ Ｚ． 转化为代数问题求解．
＝０ － ＝ π ∈
６ ６ ３
长度
( )
将ｙ ｘ π 的图象Ｃ 沿ｘ轴方向向右平移１１π个单
Ｂ． ＝ｓｉｎ ２ ＋ ２
３ １２
考法一 三角函数的图象 位长度
１．（多选题）（２０２０山东威海三模，１１）已知函数ｆ ｘ ωｘ 先作Ｃ 关于ｘ轴对称的图象Ｃ 再将图象Ｃ 沿ｘ轴方向向
（ ）＝ｓｉｎ（ ＋ Ｃ． ２ ３， ３
φ ω φ ．将ｙ ｆ ｘ 的图象上所有点向左平移π个单 右平移５π个单位长度
）（ ＞０，０＜ ＜π） ＝ （ ）
３ １２
先作Ｃ 关于ｘ轴对称的图象Ｃ 再将图象Ｃ 沿ｘ轴方向向
位长度 ， 然后纵坐标不变 ， 横坐标缩短为原来的 １ ， 得到函数ｙ Ｄ． ２ ３， ３
２ 左平移π个单位长度
ｇ ｘ 的图象．若ｇ ｘ 为偶函数 且最小正周期为π 则 １２
＝ （ ） （ ） ， ， 答案 ＡＢＣ
２
( ) （ ） ３．（２０２０山东日照、潍坊、临沂部分学校６月模拟，１５）函数ｆ （ ｘ ）＝
( )
Ａ． ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 图象关于点 π ，０ 对称 ωｘ φ ω φ π 的部分图象如图所示 则φ
１２ ｓｉｎ（ ＋ ） ＞０，｜ ｜＜ ， ＝ ；
( ) ２
( )
ｆ ｘ 在 ５π 上单调递增
Ｂ． （ ） ０， 将函数ｆ ｘ 的图象沿ｘ轴向右平移ｂ ｂ π 个单位长度后 得
１２ （ ） ０＜ ＜ ，
( ｘ ) ( ) ２
ｆ ｘ ｇ 在 ５π 上有且仅有 个解 到一个偶函数的图象 则ｂ ．
Ｃ． （ ）＝ ０， ３ ， ＝
２ ４
( )
ｇ ｘ 在 π ５π 上有且仅有 个极大值点
Ｄ． （ ） ， ３
１２ ４
答案 ＡＣ
２．（多选题）（２０２０山东菏泽一中月考，１１）要得到ｙ ｘ的
＝ｃｏｓ ２
( )
图象Ｃ 只要将ｙ ｘ π 的图象Ｃ 怎样变换得到
１， ＝ｓｉｎ ２ ＋ ２
３
（ ） 答案 π ３π
( ) ；
将ｙ ｘ π 的图象Ｃ 沿ｘ轴方向向左平移π个单位 ４ ８
Ａ． ＝ｓｉｎ ２ ＋ ２
３ １２
专题五 三角函数与解三角形 ２８５
考法二 三角函数的单调性、奇偶性、周期性与对 单调 ｆ ｘ 在 上有 个零点 ｆ ｘ 的最大值为 ．其
；③（ ） ［－π，π］ ４ ；④（ ） ２
称性 中所有正确结论的序号是
（ ）
４．（２０１９ 河南郑州一模，８）已知函数 ｆ ｘ ωｘ θ Ａ．①②④ Ｂ．②④
（ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ）
( )
Ｃ．①④ Ｄ．①③
ω ＞０，－ π ≤ θ ≤ π 的图象相邻的两个对称中心之间的距离 答案 Ａ
２ ２
９．（２０２０山东滨州期末，７）已知函数ｆ ｘ ｘ φ 的图象
为π 若将函数ｆ ｘ 的图象向左平移π个单位长度后得到偶 ( ) （ ）＝２ｓｉｎ（２ ＋ ）
， （ ）
２ ６ 过点Ａ π 则
函数ｇ ｘ 的图象 则函数ｆ ｘ 的一个单调递减区间为 ，２ ， （ ）
（ ） ， （ ） （ ） ６
[ ] [ ]
Ａ． － π ， π Ｂ． π ， ７π Ａ． 把ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的图象向右平移 π 个单位长度得到函数 ｙ ＝
３ ６ ４ １２ ６
[ ] [ ] ｘ的图象
π π ５π ２ｓｉｎ２ ( )
Ｃ． ０， Ｄ． ，
３ ２ ６ 函数ｆ ｘ 在区间 π 上单调递减
答案 Ｂ Ｂ． （ ） － ，０
２
５．（多选题）（２０２０山东青岛三模，１０）将函数ｆ ｘ ωｘ ω 函数ｆ ｘ 在区间 内有五个零点
（ ）＝ｓｉｎ （ ＞ Ｃ． （ ） ［ [ ０，２π］ ]
的图象向右平移π个单位长度得到函数ｙ ｇ ｘ 的图象 若 函数ｆ ｘ 在区间 π 上的最小值为
０） ＝ （ ） ， Ｄ． （ ） ０， １
１２ ３
[ ] 答案 Ｄ
函数ｇ ｘ 在区间 π 上是单调增函数 则实数 ω可能的
（ ） ０， ， １０．（２０２０山东烟台二模，１７）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ
２ （ ）＝１－２ ３ｓｉｎ ｃｏｓ －
取值为 ２ｘ ｍ在Ｒ上的最大值为 ．
（ ） ２ｃｏｓ ＋ ３
求ｍ的值及函数ｆ ｘ 的单调递增区间
２ ５ （１） （ ） ；
Ａ． Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．２ 若锐角 ＡＢＣ 中 角 Ａ Ｂ Ｃ 所对的边分别为 ａ ｂ ｃ 且
３ ６ （２） △ ， 、 、 、 、 ，
答案 ＡＢＣ ｂ
ｆ Ａ 求 的取值范围．
６．（２０２０天津六校联考，６）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ 则 （ ）＝０， ｃ
（ ）＝ｃｏｓ ２ ＋ ３ｓｉｎ ２ ，
下列说法中 正确的是
， （ ） 考法三 三角函数的最值
ｆ ｘ 的最小值为
Ａ． （ ） －１
[ ] １１．（２０２０山东仿真联考 ３，７）已知函数 ｆ ｘ ωｘ φ
ｆ ｘ 在区间 π π 上单调递增 ( ) （ ）＝ ２ｓｉｎ（ ＋ ）
Ｂ． （ ） － ，
６ ６ ω φ π 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π 将
ｆ ｘ 的图象关于点 ( π ｋ ) ｋ Ｚ对称 ＞０，｜ ｜＜ ２ ２ ，
Ｃ． （ ） ＋ π，０ ， ∈
６ ２ 函数ｆ ｘ 的图象向左平移π个单位长度后 得到函数ｇ ｘ
将ｆ ｘ 图象上所有点的纵坐标保持不变 横坐标缩短为原 （ ） ３ ， （ ）
Ｄ． （ ） ， ( )
( )
来的 １ ， 可得到ｇ （ ｘ ）＝２ｃｏｓ π － ｘ 的图象 的图象 ， 若函数ｇ （ ｘ ） 为偶函数 ， 则函数ｆ （ ｘ ） 在区间 ０， π ２ 上
２ ３
的值域是
答案 Ｂ
（ ）
( ]
( )
７．（２０２０山东滕州一中３ 月模拟，６）函数ｆ （ ｘ ）＝ ４ｓｉｎ ωｘ ＋ π Ａ． － ２ １ ，１ Ｂ．（－１，１）
３
ω 的最小正周期是 则其图象向左平移π个单位长度 Ｃ．（０，２］ Ｄ．（－１，２］
（ ＞０） ３π， 答案 Ｄ
６
后得到的函数图象的一条对称轴是 １２．（２０２０山东省实验中学第二次诊断，１８）已知函数 ｆ ｘ
（ ） （ ）＝
( ) ( )
ｘ π ｘ π ｘ π ｘ π ｘ ａ的最大值为 ．
Ａ． ＝ Ｂ． ＝ ２ ３ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＋ ＋ｓｉｎ２ ＋ １
４ ３ ４ ４
求实数ａ的值
ｘ ５π ｘ １９π （１） ；
Ｃ． ＝ Ｄ． ＝
６ １２ 若将ｆ ｘ 的图象向左平移π个单位长度 得到函数ｇ ｘ
答案 Ｄ （２） （ ） ， （ ）
６
[ ]
８．（２０２０福建三明质量检查（５月），８）关于函数ｆ ｘ ｘ
（ ）＝ｃｏｓ ｜ ｜＋ 的图象 求函数 ｇ ｘ 在区间 π 上的最大值和最
( ) ， （ ） ０，
ｘ 给出下列结论 ｆ ｘ 是偶函数 在区间 π 上 ２
｜ｃｏｓ ｜， ：①（ ） ；② － ，０ 小值．
２
２８６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
考法一 三角函数的图象
１．（２０１９北京朝阳一模，５）如图 函数ｆ ｘ 的图象是由正弦曲
， （ ）
线或余弦曲线经过变换得到的 则ｆ ｘ 的解析式可以是
， （ ）
（ ）
答案 ６
－
２
Ｔ
解析 由题图可知Ａ ７ π π 即Ｔ 又知
＝ ２， ＝ π－ ＝ ， ＝π，
４ １２ ３ ４
( )
Ｔ ２π ω 函数ｆ ｘ ｘ φ ．由题图得ｆ ７
＝ ω，∴ ＝２，∴ （ ）＝ ２ｓｉｎ（２ ＋ ） π
１２
( ) ( )
( ) ( ) 即 ７ φ ７ φ
ｆ ｘ ｘ π ｆ ｘ ｘ π ＝－ ２， ２ｓｉｎ ２× π＋ ＝－ ２，∴ ｓｉｎ π＋ ＝－１，
Ａ． （ ）＝ｓｉｎ ２ ＋ Ｂ． （ ）＝ｓｉｎ ４ ＋ １２ ６
３ ６
( ) ( )
７ φ ｋ ３ ｋ Ｚ． φ ｋ π ｋ Ｚ ｆ ｘ
ｆ ｘ ｘ π ｆ ｘ ｘ π ∴ π＋ ＝２ π＋ π， ∈ ∴ ＝２ π＋ （ ∈ ），∴ （ ）＝ ２
Ｃ． （ ）＝ｃｏｓ ２ ＋ Ｄ． （ ）＝ｃｏｓ ４ ＋ ６ ２ ３
３ ６ ( ) ( ) ( ) ( )
( )
ｘ ｋ π ｘ π ． ｆ π π
答案 Ａ Ｔ ７π π π ω 排除 ｓｉｎ ２ ＋２ π＋ ＝ ２ｓｉｎ ２ ＋ ∴ － ＝ ２ｓｉｎ － ＝
∵ ＝２× － ＝２× ＝π，∴ ｜ ｜＝２， Ｂ、 ３ ３ ３ ３
１２ １２ ２
( )
由ｆ π 排除 只有 选项符合 故选 ． ６．
Ｄ； ＝１， Ｃ， Ａ ， Ａ －
１２ ２
２．（２０１９ 四川成都二诊，８）将函数 ４．（２０１８北京海淀二模，１５）如图 已知函数ｆ ｘ Ａ ωｘ φ
， （ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ）
ｆ ｘ 的图象上的所有点向右平移 ( ) ( )
（ ） Ａ ω φ π 在一个周期内的图象经过 Ｂ π
＞０， ＞０，｜ ｜＜ ，０ ，
π个单位长度 得到函数 ｇ ｘ 的 ２ ６
， （ ） ( ) ( )
４ Ｃ ２π Ｄ ５π 三点．
图 象 若 函 数 ｇ ｘ ，０ ， ，２
， （ ） ＝ ３ １２
( ) 写出Ａ ω φ的值
Ａ ωｘ φ Ａ ω φ π （１） ， ， ；
ｓｉｎ（ ＋ ） ＞０， ＞０，｜ ｜＜ ( )
２ 若α ５π ２π 且ｆ α 求 α的值．
的部分图象如图所示 则函数ｆ ｘ 的解析式为 （２） ∈ ， ， （ ）＝１， ｃｏｓ２
， （ ） （ ） １２ ３
( ) ( )
ｆ ｘ ｘ ５π ｆ ｘ ｘ ２π
Ａ． （ ）＝ｓｉｎ ＋ Ｂ． （ ）＝－ｃｏｓ ２ ＋
１２ ３
( ) ( )
ｆ ｘ ｘ π ｆ ｘ ｘ ７π
Ｃ． （ ）＝ｃｏｓ ２ ＋ Ｄ． （ ）＝ｓｉｎ ２ ＋
３ １２
Ｔ ( )
答案 Ｃ 由题图知 Ａ π π π 即函数
＝１， ＝ － － ＝ ，
２ ３ ６ ２
ｇ ｘ 的周期Ｔ 则２π 得ω 即ｇ ｘ ｘ φ 解析 Ａ ω φ π．
（ ） ＝π， ω ＝π， ＝２， （ ）＝ｓｉｎ（２ ＋ ）， （１） ＝２， ＝２， ＝－
３
( ) ( ) ( )
点 π 在ｇ ｘ 的图象上 ２π φ 由 得 ｆ ｘ ｘ π ．
∵ ，０ （ ） ，∴ ｓｉｎ ＋ ＝０， （２） （１） ， （ ）＝２ｓｉｎ ２ －
３ ( ３ ) ( ) ３
φ π φ π 则ｇ ｘ ｘ π 将ｇ ｘ 图象上的 因为ｆ α 所以 α π １ ．
∵ ｜ ｜＜ ，∴ ＝ ， （ ）＝ｓｉｎ ２ ＋ ， （ ） （ ）＝１， ｓｉｎ ２ － ＝
２ ３ ３ ３ ２
( ) ( )
所有点向左平移 π 个单位长度得到 ｆ （ ｘ ） 的图象 ， 即 ｆ （ ｘ ）＝ 因为α ∈ ５π ， ２π ， 所以 ２ α － π ∈ π ，π ．
[ ( ) ４ ] ( ) ( ) １２ ３ ３ ２
ｘ π π ｘ π π ｘ π 故选
ｓｉｎ ２ ＋ ＋ ＝ｓｉｎ ２ ＋ ＋ ＝ｃｏｓ ２ ＋ ， Ｃ． 所以 α π ５π 所以 α ７π 所以 α ７π ３．
４ ３ ２ ３ ３ ２ － ＝ ， ２ ＝ ， ｃｏｓ２ ＝ｃｏｓ ＝－
３．（２０１８广东肇庆二模，１４）函数ｆ ｘ Ａ ωｘ φ Ａ ω φ是 ３ ６ ６ ６ ２
（ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ）（ ， ，
( )
常数 Ａ ω 的部分图象如图所示 则 ｆ π 的值是
考法二 三角函数的单调性、奇偶性、周期性与对
， ＞０， ＞０） ， －
３ 称性
．
１．（２０１９北京石景山一模文，７）已知 ｆ ｘ ２πｘ 则 ｆ
（ ）＝ｓｉｎ ， （０）＋
５
ｆ ｆ ｆ ｆ
（１）＋（２）＋（３）＋…＋（２０１９）＝ （ ）
Ａ．０ Ｂ．５０５ Ｃ．１０１０ Ｄ．２０２０
专题五 三角函数与解三角形 ２８７
( )
答案 Ａ 函数ｆ ｘ ２πｘ的周期是２π 只需算 ４．（２０１８重庆万州二模，８）已知函数 ｆ ｘ ｘ ３π ｘ
∵ （ ）＝ｓｉｎ ＝５，∴ （ ）＝ ｓｉｎ ２ － （ ∈
５ ２π ２
Ｒ 下列说法错误的是
５ ）， （ ）
出一个周期内的函数值的和即可． 函数ｆ ｘ 的最小正周期是
Ａ． （ ） π
函数ｆ ｘ 是偶函数
ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ２π ４π ６π ８π Ｂ． （ ）
（０）＋（１）＋（２）＋（３）＋（４）＝０＋ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ( )
５ ５ ５ ５ 函数ｆ ｘ 的图象关于 π 对称
Ｃ． （ ） ，０
２π ４π ４π ２π ｆ ｆ ｆ ４
＝０＋ｓｉｎ ＋ｓｉｎ －ｓｉｎ －ｓｉｎ ＝０，∴ （０）＋ （１）＋ （２）＋ [ ]
５ ５ ５ ５
ｆ ｆ ．故选 ． 函数ｆ ｘ 在 π 上是增函数
（３）＋…＋（２０１９）＝４０４×０＝０ Ａ Ｄ． （ ） ０，
２
２．（２０１９第一次全国大联考（课标Ⅲ卷），６）已知函数 ｆ ｘ ( )
( ) （ ）＝ 答案 Ｄ 函数ｆ ｘ ｘ ３π ｘ Ｒ 的最小正周期为
ｓｉｎ ２ ωｘ － π （ ω ＞０） 的最小正周期为π ， 则下列说法正确的是 （ ）＝ｓｉｎ ２ － ２ （ ∈ ）
３ ２
２π 故 正确 由于ｆ ｘ ｘ 故函数ｆ ｘ 是偶函数 故
＝π， Ａ ； （ ）＝ｃｏｓ ２ ， （ ） ，
（ ）
２
ω
Ａ． ＝１ ( ) 正确 令ｘ π 求得ｆ ｘ π 故函数ｆ ｘ 的图象关
函数ｆ ｘ 在 π π 上单调递增 Ｂ ； ＝ ４ ， （ ）＝ｃｏｓ ２ ＝０， （ ）
Ｂ． （ ） ， ( ) [ ]
４ ２
于 π 对称 故 正确 当ｘ π 时 ｘ 函
函数ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ π对称 ，０ ， Ｃ ； ∈ ０， ，２ ∈［０，π］，
Ｃ． （ ） ＝ ４ ２
[ ]
２
( ) 数ｆ ｘ ｘ在 π 上是减函数 故 错误 故选
函数ｆ ｘ 的图象关于点 π 对称 （ ）＝ｃｏｓ２ ０， ， Ｄ ， Ｄ．
Ｄ． （ ） ，０ ２
３ ( )
５．（２０１９ 辽宁葫芦岛一模，１４）函数 ｆ ｘ ｘ ｘ π
答案 Ｄ 由已知Ｔ ２π π 解得ω （ ）＝ ２ｃｏｓ ｓｉｎ ＋ －
＝ ω＝ ， ＝２， ３
２ ２ [ ]
( ) ２ｘ ｘ ｘ在ｘ π π 时的值域为 ．
故ｆ ｘ ｘ π ３ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ ∈ － ，
（ ）＝ｓｉｎ ４ － ， ４ ６
３ 答案
( ) ( ) ［－１，２］
若ｘ π π 则 ｘ π ２π ５π 由正弦函数的图象可 ( )
∈
４
，
２ (
， ４ －
) ３
∈
３
，
３
， 解析 ｆ
（
ｘ
）＝２ｃｏｓ
ｘ
ｓｉｎ
ｘ
＋
π
－ ３ｓｉｎ
２ｘ
＋ｓｉｎ
ｘ
ｃｏｓ
ｘ
３
知函数ｆ ｘ 在 π π 上有增有减 若ｘ π 则 ｘ π ５π
（ ） ， ； ＝ ， ４ － ＝ ， æ ö
４ ２ ２ ３ ３ ｘç １ ｘ ３ ｘ÷ ２ｘ ｘ ｘ
＝２ｃｏｓ è ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ø－ ３ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ
此时函数ｆ ｘ 取不到最大值或者最小值 故 ｘ π 不是函数 ２ ２
（ ） ， ＝ ( )
２ ｘ π ．
＝２ｓｉｎ ２ ＋
ｆ ｘ 图象的对称轴 若ｘ π 则 ｘ π 此时函数ｆ ｘ ３
（ ） ； ＝ ， ４ － ＝π， （ ）＝０， [ ] [ ]
３ ３ 由ｘ π π 得 ｘ π π ２π
( ) ∈ － ， ， ２ ＋ ∈ － ， ，
故ｆ ｘ 的图象关于点 π 对称．答案为 ． ４ ６ ３ ６ ３
（ ） ，０ Ｄ ( )
３ 所以 １ ｘ π 则函数的值域为 ．
３．（２０１８四川师范大学附中２月月考，１０）若函数ｆ ｘ ａ ωｘ － ≤ｓｉｎ ２ ＋ ≤１， ［－１，２］
（ ）＝ ｓｉｎ ２ ３
ｂ ωｘ ω ａｂ 的图象的一条对称轴的方程是 ｘ ６．（２０１７江西七校第二次联考，１８）已知函数ｆ ｘ ωｘ
＋ ｃｏｓ （０＜ ＜５， ≠０） ＝ （ ）＝ ４ｃｏｓ ·
( ) ( )
π 函数ｆ ′ ｘ 的图象的一个对称中心是 π 则ｆ ｘ 的 ωｘ π ω 的最小正周期是 ．
ω， （ ） ，０ ， （ ） ｓｉｎ － （ ＞０） π
４ ８ ６
最小正周期是 求函数ｆ ｘ 在区间 上的单调递增区间
（ ） （１） （ ） （０，π） ；
[ ]
π π 求ｆ ｘ 在 π ３π 上的最大值和最小值．
Ａ． Ｂ． Ｃ．π Ｄ．２π （２） （ ） ，
４ ２ ８ ８
答案 Ｃ 函数ｆ ｘ ａ ωｘ ｂ ωｘ ａ２ ｂ２ ωｘ φ ( )
（ ）＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝ ＋ ｓｉｎ（ ＋ ） 解析 ｆ ｘ ωｘ ωｘ π
( ｂ ) （１） （ ）＝４ｃｏｓ ｓｉｎ －
其中 φ ｆ ｘ 图象的一条对称轴的方程是ｘ π ６
ｔａｎ ＝ ａ ， （ ） ＝ ω， æ ö
( ａ π ｂ π ) ２ ａ２ ｂ２ 解得ａ ｂ ４ ＝４ｃｏｓ ωｘ è ç ２ ３ ｓｉｎ ωｘ － ２ １ ｃｏｓ ωｘ ø ÷
∴ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝ ＋ ， ＝ ，
４ ４
( ) ＝２ ３ｓｉｎ
ωｘ
ｃｏｓ
ωｘ
－２ｃｏｓ
２ωｘ
ｆ ｘ ａ ωｘ ａ ωｘ ａ ωｘ π
∴ （ ）＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝ ２ ｓｉｎ ＋ ４ ( ， ) ＝ ３ｓｉ ( ｎ２ ωｘ －ｃｏ ) ｓ２ ωｘ －１
函数ｆ ′ ｘ 的图象的一个对称中心是 π ωｘ π
∵ （ ） ，０ ， ＝２ｓｉｎ ２ － －１，
８ ６
( ) ( )
ｆ ′ ｘ ａω ωｘ π 的图象过 π 且ｆ ｘ 的最小正周期是２π 所以ω
∴ （ ）＝ ２ ｃｏｓ ＋ ，０ ， （ ） ω＝π， ＝１，
４ ８ ２
( )
πω π ｋ π ｋ Ｚ 从而ｆ ｘ ｘ π ．
∴ ＋ ＝ π＋ ， ∈ ， （ ）＝２ｓｉｎ ２ － －１
８ ４ ２ ６
又 ω
∵０＜ ＜５， 令 π ｋ ｘ π π ｋ ｋ Ｚ
ｋ ω － ＋２ π≤２ － ≤ ＋２ π（ ∈ ），
∴ ＝０， ＝２， ２ ６ ２
函数ｆ ｘ 的最小正周期是２π 故选 ． 解得 π ｋ ｘ π ｋ ｋ Ｚ
∴ （ ） ＝π， Ｃ － ＋ π≤ ≤ ＋ π（ ∈ ），
２ ６ ３
２８８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
所以 函 数 ｆ ｘ 在 上 的 单 调 递 增 区 间 为
( ] [ （ ) ） （０， π） 所以当 ２ ｘ － π ＝ π ， 即ｘ ＝ π时 ， ｆ （ ｘ ） 取得最小值 ６－ ２ －１，
π 和 ５π ． ６ １２ ８ ２
０， ，π
３ [ ６ ] [ ] 当 ２ ｘ － π ＝ π ， 即ｘ ＝ π时 ， ｆ （ ｘ ） 取得最大值 １，
当ｘ π ３π 时 ｘ π ３π ６ ２ ３
（２） ∈ ， ，２ ∈ ， ， [ ]
８ ８ ４ ４
[ ] 所以ｆ ｘ 在 π ３π 上的最大值和最小值分别为 ６－ ２
所以 ｘ π π ７π （ ） ， １、
２ － ∈ ， ， ８ ８ ２
６ １２ １２ ．
( ) é ù －１
ｘ π êê ６－ ２ úú
２ｓｉｎ ２ － ∈ë ，２û，
６ ２
考点一 三角函数的图象及其变换 ( ) ( )
ｘ π π ｘ
( ) Ａ．ｓｉｎ ＋ Ｂ．ｓｉｎ －２
１．（２０２０课标Ⅰ，文７，理７，５分）设函数ｆ ｘ ωｘ π 在 ３ ３
（ ）＝ｃｏｓ ＋ ( ) ( )
６ ｘ π ５π ｘ
的图象大致如图 则ｆ ｘ 的最小正周期为 Ｃ．ｃｏｓ ２ ＋ Ｄ．ｃｏｓ －２
［－π，π］ ， （ ） （ ） ６ ６
答案 ＢＣ
５．（２０１６课标Ⅲ，１４，５分）函数ｙ ｘ ｘ的图象可由函
＝ｓｉｎ － ３ｃｏｓ
数ｙ ｘ ｘ的图象至少向右平移 个单位长度
＝ｓｉｎ ＋ ３ｃｏｓ
得到．
答案 ２
π
３
１０π ７π ４π ３π
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ６．（２０１６江苏，９，５分）定义在区间 上的函数 ｙ ｘ
９ ６ ３ ２ ［０，３π］ ＝ｓｉｎ ２
答案 Ｃ 的图象与ｙ ｘ的图象的交点个数是 ．
＝ｃｏｓ
( ) 答案
２．（２０１８天津，６，５分）将函数ｙ ｘ π 的图象向右平移 ７
＝ｓｉｎ ２ ＋
５
考点二 三角函数的性质及其应用
π个单位长度 所得图象对应的函数
， （ ） ( )
１０ ７．（２０２０天津，８，５ 分）已知函数 ｆ ｘ ｘ π ．给出下列
[ ] （ ）＝ ｓｉｎ ＋
在区间 ３π ５π 上单调递增 ３
Ａ． ， 结论
[ ４ ４ ] ：
在区间 ３π 上单调递减 ① ｆ （ ｘ ） 的最小正周期为 ２π；
Ｂ． ，π ( )
４
[ ] ｆ π 是ｆ ｘ 的最大值
在区间 ５π ３π 上单调递增 ② （ ） ；
Ｃ． ， ２
４ ２
[ ] 把函数ｙ ｘ的图象上所有点向左平移π个单位长度 可
在区间 ３π 上单调递减 ③ ＝ｓｉｎ ，
Ｄ． ，２π ３
２ 得到函数ｙ ｆ ｘ 的图象．
答案 Ａ ＝ （ ）
其中所有正确结论的序号是
( ) （ ）
３．（２０１６ 北京，７，５ 分）将函数 ｙ ｘ π 图象上的点
＝ｓｉｎ ２ － Ａ．① Ｂ．①③
３
( )
Ｐ π ， ｔ 向左平移ｓ （ ｓ ＞０） 个单位长度得到点Ｐ′．若Ｐ′位于函 Ｃ． 答 ② 案 ③ Ｂ Ｄ．①②③
４
数ｙ ｘ的图象上 则
＝ｓｉｎ２ ， （ ） ８．（２０１９课标Ⅱ，９，５ 分）下列函数中 以 π 为周期且在区间
，
２
ｔ １ ｓ的最小值为π ｔ ３ ｓ的最小值为π ( )
Ａ． ＝ ２ ， ６ Ｂ． ＝ ２ ， ６ π π 单调递增的是
， （ ）
４ ２
ｔ １ ｓ的最小值为π ｔ ３ ｓ的最小值为π ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ
Ｃ． ＝ ， Ｄ． ＝ ， Ａ． （ ）＝ ｜ｃｏｓ２ ｜ Ｂ． （ ）＝ ｜ｓｉｎ２ ｜
２ ３ ２ ３
答案 Ａ Ｃ． ｆ （ ｘ ）＝ｃｏｓ｜ ｘ ｜ Ｄ． ｆ （ ｘ ）＝ｓｉｎ｜ ｘ ｜
４．（多选题 ）（２０２０新高考Ⅰ，１０，５分）如图是函数ｙ ωｘ 答案 Ａ
φ ） 的部分图象 ， 则 ｓｉｎ（ ωｘ ＋ φ ）＝ ＝ｓ （ ｉｎ （ ） ＋ ９．（多选题）（２０２１ 新高考适应卷，１２，５ 分）设函数 ｆ （ ｘ ）＝
ｘ
ｃｏｓ２ 则
ｘ ｘ， （ ）
２＋ｓｉｎ ｃｏｓ
ｆ ｘ ｆ ｘ
Ａ． （ ）＝ （ ＋π）
ｆ ｘ 的最大值为 １
Ｂ． （ ）
２
( )
ｆ ｘ 在 π 单调递增
Ｃ． （ ） － ，０
４
专题五 三角函数与解三角形 ２８９
( ) １４．（２０１７天津，７，５分）设函数ｆ ｘ ωｘ φ ｘ Ｒ 其中
ｆ ｘ 在 π 单调递减 （ ）＝２ｓｉｎ（ ＋ ）， ∈ ，
Ｄ． （ ） ０， ( ) ( )
４ ω φ ．若ｆ ５π ｆ １１π 且ｆ ｘ 的最小正周期
答案 ＡＤ ＞０，｜ ｜＜π ＝２， ＝０， （ ）
８ ８
１０．（２０１８课标Ⅱ，１０，５分）若ｆ ｘ ｘ ｘ在 ａ ａ 是减 大于 则
（ ）＝ｃｏｓ －ｓｉｎ ［－ ， ］ ２π， （ ）
函数 则ａ的最大值是
， （ ） ω ２ φ π ω ２ φ １１π
Ａ． ＝ ， ＝ Ｂ． ＝ ， ＝－
π π ３π ３ １２ ３ １２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．π
４ ２ ４ ω １ φ １１π ω １ φ ７π
答案 Ａ Ｃ． ＝ ， ＝－ Ｄ． ＝ ， ＝
３ ２４ ３ ２４
１１．（２０１６ 课标Ⅰ，１２，５ 分）已知函数 ｆ ｘ ωｘ φ 答案 Ａ
（ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ）
( ) ( )
ω φ π ｘ π为ｆ ｘ 的零点 ｘ π为ｙ ｆ ｘ 图 １５．（２０２０江苏，１０，５分）将函数ｙ ｘ π 的图象向右平
＞０，｜ ｜≤ ， ＝－ （ ） ， ＝ ＝ （ ） ＝３ｓｉｎ ２ ＋
２ ４ ４ ４
( )
象的对称轴 且ｆ ｘ 在 π ５π 单调 则ω的最大值为 移π个单位长度 则平移后的图象中与ｙ轴最近的对称轴的
， （ ） ， ， ，
１８ ３６ ６
方程是 ．
（ ）
． ． ． ．
Ａ１１ Ｂ９ Ｃ７ Ｄ５ 答案 ｘ ５
答案 Ｂ ＝－ π
２４
１２．（２０１９天津，７，５分）已知函数ｆ ｘ Ａ ωｘ φ Ａ ω １６．（２０２０北京，１４，５分）若函数ｆ ｘ ｘ φ ｘ的最大
（ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ）（ ＞０， ＞ （ ）＝ｓｉｎ（ ＋ ）＋ｃｏｓ
φ 是奇函数 将ｙ ｆ ｘ 的图象上所有点的横坐标伸 值为 则常数φ的一个取值为 ．
０，｜ ｜＜π） ， ＝ （ ） ２，
长到原来的 倍 纵坐标不变 所得图象对应的函数为
２ （ ）， 答案 π
( ) ( )
ｇ ｘ ．若ｇ ｘ 的最小正周期为 且ｇ π 则ｆ ３π ２
（ ） （ ） ２π， ４ ＝ ２， ８ ＝ １７．（２０２０课标Ⅲ理，１６，５分）关于函数ｆ ｘ ｘ １ 有如
（ ）＝ｓｉｎ ＋ ｘ
ｓｉｎ
（ ） 下四个命题
：
Ａ．－２ Ｂ．－ ２ Ｃ． ２ Ｄ．２ ｆ ｘ 的图象关于ｙ轴对称．
答案 Ｃ ①（ ）
ｆ ｘ 的图象关于原点对称．
１３．（２０１９上海，１５，５ 分）已知 ω Ｒ 函数 ｆ ｘ ｘ ２ ②（ ）
∈ ， （ ）＝ （ －６） ·
ωｘ 存在常数ａ Ｒ 使得ｆ ｘ ａ 为偶函数 则ω的值可 ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ π对称．
ｓｉｎ（ ）， ∈ ， （ ＋ ） ， ③（ ） ＝
能为 ２
（ ） ｆ ｘ 的最小值为 ．
④（ ） ２
π π π π 其中所有真命题的序号是 ．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２ ３ ４ ５ 答案
答案 Ｃ ②③
考点一 三角函数的图象及变换 [ ( )]
ｘ π
ｃｏｓ ２ ＋ ，
１．（２０１７ 课标Ⅰ理，９，５ 分）已知曲线 Ｃ ｙ ｘ Ｃ ｙ １２
( )
１： ＝ｃｏｓ ， ２： ＝
由ｙ ｘ的图象得到ｙ ｘ的图象 需将曲线Ｃ 上各点
ｘ ２π 则下面结论正确的是 ＝ｃｏｓ ＝ｃｏｓ ２ ， １
ｓｉｎ ２ ＋ ， （ ）
３ 的横坐标缩短到原来的 １ 纵坐标不变 由ｙ ｘ的图象得
把Ｃ 上各点的横坐标伸长到原来的 倍 纵坐标不变 再把
２
， ； ＝ｃｏｓ２
Ａ． １ ２ ， ， [ ( )]
得到的曲线向右平移π个单位长度 得到曲线Ｃ 到ｙ
＝ｃｏｓ ２
ｘ
＋
π 的图象
，
需将ｙ
＝ｃｏｓ ２
ｘ的图象上的各点
， ２ １２
６
Ｂ．
把Ｃ
１
上各点的横坐标伸长到原来的
２
倍
，
纵坐标不变
，
再把
向左平移π个单位长度 ， 故选 Ｄ ．
１２
得到的曲线向左平移 １ π ２ 个单位长度 ， 得到曲线Ｃ ２ 方法总结 （１） 三角函数图象变换 ：
伸缩变换 将ｙ ｘ图象上的各点的横坐标变为原来的ω
把Ｃ 上各点的横坐标缩短到原来的 １ 纵坐标不变 再把 ① ： ＝ｓｉｎ ( )
Ｃ． １ ２ ， ， 倍 纵坐标不变 可得到ｙ １ ｘ 的图象 将ｙ ｘ图象
， ， ＝ｓｉｎ ω ； ＝ｓｉｎ
得到的曲线向右平移π个单位长度 得到曲线Ｃ
６ ， ２ 上各点的纵坐标变为原来的 Ａ 倍 ， 横坐标不变 ， 可得到 ｙ ＝
Ａ ｘ的图象．
把Ｃ 上各点的横坐标缩短到原来的 １ 纵坐标不变 再把 ｓｉｎ
Ｄ． １ ， ， 平移变换 函数图象的平移变换遵循 左加右减 的法则 但
２ ② ： “ ” ，
是要注意平移量是指自变量ｘ的变化量．
得到的曲线向左平移π个单位长度 得到曲线Ｃ
， ２ 解决三角函数图象变换题时 若两函数异名 则通常利用
１２ （２） ， ，
答案 Ｄ 本题考查三角函数的诱导公式及图象变换． ( ) ( )
公式 ｘ ｘ π 和 ｘ ｘ π 将异名三角函数转
首先利用诱导公式化异名为同名． ｓｉｎ ＝ｃｏｓ － ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ＋
２ ２
( ) ( ) ( ) 化为同名三角函数 然后分析变换过程．
ｙ ｘ ２π ｘ ２π π ｘ π ，
＝ ｓｉｎ ２ ＋ ＝ ｃｏｓ ２ ＋ － ＝ ｃｏｓ ２ ＋ ＝ ２．（２０１６课标Ⅱ理，７，５分）若将函数ｙ ｘ的图象向左平
３ ３ ２ ６ ＝２ｓｉｎ ２
２９０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
移π个单位长度 则平移后图象的对称轴为
， （ ）
１２
ｋ ｋ
ｘ π π ｋ Ｚ ｘ π π ｋ Ｚ
Ａ． ＝ － （ ∈ ） Ｂ． ＝ ＋ （ ∈ ）
２ ６ ２ ６
ｋ ｋ
ｘ π π ｋ Ｚ ｘ π π ｋ Ｚ
Ｃ． ＝ － （ ∈ ） Ｄ． ＝ ＋ （ ∈ ）
２ １２ ２ １２
答案 Ｂ 将函数ｙ ｘ的图象向左平移π个单位长度
＝２ｓｉｎ２
１２
[ ( )] ( )
得到函数ｙ ｘ π ｘ π 的图象 由 ｘ π
＝２ｓｉｎ ２ ＋ ＝２ｓｉｎ ２ ＋ ， ２ ＋
１２ ６ ６
ｋ
ｋ π ｋ Ｚ 可得ｘ π π ｋ Ｚ ．则平移后图象的对
＝ π＋ （ ∈ ）， ＝ ＋ （ ∈ ）
２ ２ ６
ｋ
称轴为ｘ π π ｋ Ｚ 故选 ．
＝ ＋ （ ∈ ）， Ｂ ( ) ( )
２ ６ ｙ ｘ π ｙ ｘ π
易错警示 本题易犯的错误是将原函数的图象平移后得到函 Ａ． ＝２ｓｉｎ ２ － Ｂ． ＝２ｓｉｎ ２ －
(
６
) (
３
)
( )
数ｙ ＝２ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π 的图象． Ｃ． ｙ ＝２ｓｉｎ ｘ ＋ π ６ Ｄ． ｙ ＝２ｓｉｎ ｘ ＋ π ３
１２ ( ) Ｔ ( )
３．（２０１６课标Ⅰ文，６，５分）将函数ｙ ｘ π 的图象向右 答案 Ａ 由题图可知Ａ ＝２， ＝ π － － π ＝ π ， 则Ｔ ＝π，
＝２ｓｉｎ ２ ＋ ２ ３ ６ ２
６ ( )
所以ω 则ｙ ｘ φ 因为题图经过点 π 所以
平移 １ 个周期后 所得图象对应的函数为 ＝２， ＝２ｓｉｎ（２ ＋ ）， ，２ ，
， （ ） ３
４ ( )
( ) ( ) π φ 所以２π φ ｋ π ｋ Ｚ 即φ ｋ π
ｙ ｘ π ｙ ｘ π ２ｓｉｎ ２× ＋ ＝２， ＋ ＝２ π＋ ， ∈ ， ＝２ π－ ，
Ａ． ＝２ｓｉｎ ２ ＋ Ｂ． ＝２ｓｉｎ ２ ＋ ３ ３ ２ ６
４ ３ ( )
( ) ( ) ｋ Ｚ 当ｋ 时 φ π 所以ｙ ｘ π 故选 ．
ｙ ｘ π ｙ ｘ π ∈ ， ＝０ ， ＝－ ， ＝２ｓｉｎ ２ － ， Ａ
Ｃ． ＝２ｓｉｎ ２ － Ｄ． ＝２ｓｉｎ ２ － ６ ６
４ ３ 评析 本题考查由三角函数的图象确定函数的解析式，其中Ａ
答案 Ｄ 该函数的周期为 将其图象向右平移π个单位 由函数最值确定，ω由周期确定，相邻的最高点与最低点之间
π，
[ ( )
４
]
的水平距离为半个周期，φ通过确定点的坐标来求即可．
后 得到的图象对应的函数为 ｙ ｘ π π ６．（２０１５课标Ⅰ理，８，５分）函数ｆ ｘ ωｘ φ 的部分图象
， ＝ ２ｓｉｎ ２ － ＋ ＝ （ ）＝ｃｏｓ（ ＋ ）
( ) ４ ６ 如图所示 则ｆ ｘ 的单调递减区间为
， （ ） （ ）
ｘ π 故选 ．
２ｓｉｎ ２ － ， Ｄ
３
易错警示 三角函数图象的平移变换中 左加右减 是对 ｘ
，“ ”
而言的 将ｘ变为ｘ π 而不是将 ｘ变为 ｘ π．
， － ， ２ ２ －
４ ４
评析 本题主要考查三角函数图象的平移变换，注意“左加右
减”仅针对ｘ． ( ) ( )
( ) ｋ １ ｋ ３ ｋ Ｚ ｋ １ ｋ ３ ｋ Ｚ
Ａ． π－ ， π＋ ， ∈ Ｂ． ２ π－ ，２ π＋ ， ∈
４．（２０１６四川理，３，５分）为了得到函数ｙ ｘ π 的图象 ４ ４ ４ ４
＝ｓｉｎ ２ － ， ( ) ( )
３
ｋ １ ｋ ３ ｋ Ｚ ｋ １ ｋ ３ ｋ Ｚ
只需把函数ｙ ｘ的图象上所有的点 Ｃ． － ， ＋ ， ∈ Ｄ． ２ － ，２ ＋ ， ∈
＝ｓｉｎ２ （ ） ４ ４ ４ ４
Ｔ
向左平行移动π个单位长度 答案 Ｄ 由题图可知 ５ １ 所以Ｔ ．结合题图
Ａ． ＝ － ＝１， ＝２
３ ２ ４ ４
[ ]
向右平行移动π个单位长度 可知 在 ３ ５ ｆ ｘ 的一个周期 内 函数ｆ ｘ 的单调递
Ｂ． ， － ， （ （ ） ） ， （ ）
３ ４ ４
( )
向左平行移动π个单位长度 减区间为 １ ３ ．由ｆ ｘ 是以 为周期的周期函数可知
Ｃ． － ， （ ） ２ ，
６ ４ ４
( )
向右平行移动π个单位长度 ｆ ｘ 的单调递减区间为 ｋ １ ｋ ３ ｋ Ｚ 故选 ．
Ｄ． （ ） ２ － ，２ ＋ ， ∈ ， Ｄ
６ ４ ４
７．（２０１５陕西理，３，５分）如图 某港口一天 时到 时的水深
答案 Ｄ 将ｙ ｘ的图象向右平行移动π个单位长度 ， ６ １８
＝ｓｉｎ ２ ( )
６ 变化曲线近似满足函数ｙ πｘ φ ｋ 据此函数可知 这
[ ( )] ( ) ＝３ｓｉｎ ＋ ＋ ， ，
得到ｙ ｘ π ｘ π 的图象 故选 ． ６
＝ｓｉｎ ２ － ＝ｓｉｎ ２ － ， Ｄ 段时间水深 单位 的最大值为
６ ３ （ ：ｍ） （ ）
( ) [ ( )]
评析 将 ｙ ｘ π 化 为 ｙ ｘ π 是
＝ ｓｉｎ ２ － ＝ ｓｉｎ ２ －
３ ６
解题的关键．
５．（２０１６课标Ⅱ文，３，５分）函数ｙ Ａ ωｘ φ 的部分图象如
＝ ｓｉｎ（ ＋ ）
图所示 则
， （ ）
专题五 三角函数与解三角形 ２９１
( )
２
Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１０ 所以 π ５π ２ ２ 解得ω π．
( ) ω－ ω ＋（ ２＋ ２） ＝（２ ３） ， ＝
答案 Ｃ 因为函数ｙ πｘ φ ｋ的最小值为 所以 ４ ４ ２
＝３ｓｉｎ ＋ ＋ ２， １１．（２０１４ 重庆文，１３，５ 分） 将函数 ｆ ｘ ωｘ φ
６ （ ） ＝ ｓｉｎ（ ＋ ）
ｋ 得ｋ 故这段时间水深的最大值为 ( )
－３＋ ＝２， ＝５， ３＋５＝８（ｍ）， ω π φ π 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一
选 ． ＞０，－ ≤ ＜
Ｃ ２ ２
评析 在解答应用题时，正确理解函数模型中各变量的实际意
半 纵坐标不变 再向右平移π个单位长度得到ｙ ｘ的图
义是解题的关键．在形如ｙ Ａ （ωｘ φ） ｋ的函数模型中，往 ， ， ＝ｓｉｎ
＝ ｓｉｎ ＋ ＋ ( ) ６
往是由函数图象的最高点和最低点的纵坐标来确定Ａ，ｋ的值．
象 则ｆ π ．
， ＝
８．（２０１４课标Ⅰ理，６，５分）如图 圆Ｏ的半
６
，
径为 Ａ是圆上的定点 Ｐ是圆上的动点 角
１， ， ， 答案 ２
ｘ的始边为射线ＯＡ 终边为射线ＯＰ 过点Ｐ
２
， ，
作直线ＯＡ的垂线 垂足为Ｍ 将点Ｍ到直线 向左平移π个
， ， ( )
ＯＰ的距离表示成ｘ的函数ｆ ｘ 则ｙ ｆ ｘ 解析 ｙ ｘ ６ ｙ ｘ π
（ ）， ＝ （ ） ＝ｓｉｎ 单位长度 → ＝ｓｉｎ ＋
在 上的图象大致为 ６
［０，π］ （ ） 纵坐标不变 ( )
ｙ １ ｘ π
横坐标变为原来的 倍→ ＝ｓｉｎ ＋ ，
２ ２ ６
( ) ( ) ( )
即ｆ ｘ １ ｘ π ｆ π π π π ２．
（ ）＝ｓｉｎ ＋ ，∴ ＝ｓｉｎ ＋ ＝ｓｉｎ ＝
２ ６ ６ １２ ６ ４ ２
１２．（２０１３课标Ⅱ文，１６，５分）函数ｙ ｘ φ φ
＝ｃｏｓ（２ ＋ ）（－π≤ ＜π）
( )
的图象向右平移π个单位后 与函数ｙ ｘ π 的图象
， ＝ｓｉｎ ２ ＋
２ ３
重合 则φ ．
， ＝
答案 Ｃ 由题图可知 当ｘ π时 ＯＰ ＯＡ 此时ｆ ｘ 答案 ５
： ＝ ， ⊥ ， （ ）＝０， π
( ) ２ ６
排除 当ｘ π 时 ＯＭ ｘ 设点Ｍ到直线ＯＰ的 解析 令ｙ ｆ ｘ ｘ φ 将其图象向右平移π个单
Ａ、Ｄ； ∈ ０， ， ＝ｃｏｓ ， ＝ （ ）＝ｃｏｓ（２ ＋ ），
２ ２
ｄ ( ) [ ( ) ]
距离为ｄ 则 ｘ 即ｄ ＯＭ ｘ ｘ ｘ 位后得 ｆ ｘ π ｘ π φ ｘ φ
， ＯＭ＝ｓｉｎ ， ＝ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ｃｏｓ ， － ＝ｃｏｓ ２ － ＋ ＝ｃｏｓ（２ ＋ －π）＝
２ ２
[ ] ( )
ｆ ｘ ｘ ｘ １ ｘ １ 排除 故选 ． ｘ φ π ｘ φ π 因为与 ｙ
∴ （ ）＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ２ ≤ ， Ｂ， Ｃ ｓｉｎ （２ ＋ －π）＋ ＝ ｓｉｎ ２ ＋ － ， ＝
２ ２ ２ ２
( )
９．（２０１２课标文，９，５分）已知ω φ 直线ｘ π和ｘ ５π ｘ π 的图象重合 所以φ π π ｋ ｋ Ｚ 所以
＞０，０＜ ＜π， ＝ ＝ ｓｉｎ ２ ＋ ， － ＝ ＋２ π（ ∈ ），
４ ４ ３ ２ ３
是函数ｆ ｘ ωｘ φ 图象的两条相邻的对称轴 则φ
（ ）＝ｓｉｎ（ ＋ ） ， ＝ φ ｋ ５ ｋ Ｚ 又 φ 所以φ ５ ．
＝２ π＋ π（ ∈ ）， －π≤ ＜π， ＝ π
（ ） ６ ６
( )
π π π ３π １３．（２０１１浙江文，１８，１４ 分）已知函数 ｆ ｘ Ａ πｘ φ ｘ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （ ）＝ ｓｉｎ ＋ ，
４ ３ ２ ４ ３
( )
答案 Ａ 由题意得２π ５ π ω ｆ ｘ Ｒ Ａ φ π．ｙ ｆ ｘ 的部分图象如图所示 Ｐ Ｑ分别为
ω ＝２ π－ ，∴ ＝１， ∴ （ ）＝ ∈ ， ＞０，０＜ ＜ ＝ （ ） ， 、
４ ４ ２
该图象的最高点和最低点 点Ｐ的坐标为 Ａ ．
ｘ φ π φ ｋ π ｋ Ｚ φ ｋ π ｋ Ｚ 又 φ ， （１， ）
ｓｉｎ（ ＋ ），∴ ＋ ＝ π＋ （ ∈ ）， ＝ π＋ （ ∈ ）， ０＜
４ ２ ４
φ π 故选 ．
＜π，∴ ＝ ， Ａ
４
评析 本题考查了三角函数的图象和性质，掌握相邻对称轴的
求ｆ ｘ 的最小正周期及φ的值
距离为周期的一半是关键． （１） （ ） ；
１０．（２０１５湖南文，１５，５分）已知ω 在函数ｙ ωｘ与ｙ 若点Ｒ的坐标为 ＰＲＱ ２π 求Ａ的值．
＞０， ＝２ｓｉｎ ＝ （２） （１，０），∠ ＝ ，
ωｘ的图象的交点中 距离最短的两个交点的距离为 ３
２ｃｏｓ ， ２
３， 则ω ＝ ． 解析 （１） 由题意得 ， Ｔ ＝ ２π ＝６ ．
π
答案 π ３
( )
２ {ｙ ωｘ 因为Ｐ （１， Ａ ） 在ｙ ＝ Ａ ｓｉｎ πｘ ＋ φ 的图象上 ，
解析 由 ＝２ｓｉｎ ，消去ｙ 得 ωｘ ωｘ ３
ｙ ωｘ ， ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝０， ( )
＝２ｃｏｓ 所以 π φ ．
( ) ｋ ｓｉｎ ＋ ＝１
即 ωｘ π 解得ｘ π π ｋ Ｚ． ３
２ｓｉｎ － ＝０， ＝ ω＋ ω， ∈
４ ４ 又因为 φ π 所以φ π．
( ) ０＜ ＜ ， ＝
取ｋ 可得距离最短的两个交点的坐标为 π ２ ６
＝０，１， ω， ２ ， 设点Ｑ的坐标为 ｘ Ａ ．
４ （２） （ ０，－ ）
( )
５π 又两交点的距离为 由题意可知πｘ π ３π 得ｘ 所以Ｑ Ａ ．
ω，－ ２ ， ２ ３， ０＋ ＝ ， ０＝４， （４，－ ）
４ ３ ６ ２
２９２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ω [ )
连接ＰＱ 在 ＰＲＱ中 ＰＲＱ ２π 由余弦定理得 π π １１π ４９π
， △ ，∠ ＝ ， ∴ ＋ ∈ ， ，
３ １０ ５ ２５ １００
ＲＰ２ ＲＱ２ ＰＱ２
ＰＲＱ ＋ － ４９π π
ｃｏｓ∠ ＝ ＲＰ ＲＱ ∵ ＜ ，
２ · １００ ２
Ａ２ Ａ２ Ａ２ ( ω ) ( )
＋９＋ －（９＋４ ） １ π π π π
＝
２
Ａ
· ９＋
Ａ２ ＝－
２
， ∴
５
，
１０
＋
５
⊆ ０，
２
，
解得Ａ２ ＝３ ． ｙ ｔ在ｔ ( π ω π π ) 上单调递增．
∴ ＝ｓｉｎ ∈ ， ＋
又Ａ 所以Ａ ． ５ １０ ５
＞０， ＝ ３ ( )
ｙ ｆ ｘ 在 π 上单调递增 故 正确．
∴ ＝ （ ） ０， ， ③
１０
故选 ．
Ｄ
解题关键 令ｔ ωｘ π ω 利用整体思想将原函数转
评析 本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基 ① ＝ ＋ （ ＞０），
５
础知识．在（ ）中，求出点Ｑ坐标，根据 ＰＲＱ的边角关系，列 化为ｙ ｔ来研究．
２ △
＝ｓｉｎ
( )
出关于Ａ的方程是求解关键．
当ω 时 ｙ ωｘ π 的图象可由ｙ ｘ的图象经过
② ＞０ ， ＝ｓｉｎ ＋ ＝ｓｉｎ
５
考点二 三角函数的性质及其应用 ( )
平移 伸缩变换得到 ｙ ωｘ π 的增 减区间可通过讨论
( ) 、 ， ＝ｓｉｎ ＋ 、
１．（２０１９课标Ⅲ理，１２，５ 分）设函数 ｆ ｘ ωｘ π ω ５
（ ）＝ ｓｉｎ ＋ （ ＞ ｙ ｘ的增 减区间得到．
５ ＝ｓｉｎ 、
已知ｆ ｘ 在 有且仅有 个零点．下述四个结论 ｘ
０）， （ ） ［０，２π］ ５ ： ２．（２０１８课标Ⅲ文，６，５分）函数ｆ ｘ ｔａｎ 的最小正周期为
ｆ ｘ 在 有且仅有 个极大值点 （ ）＝ ２ｘ
①（ ） （０，２π） ３ １＋ｔａｎ
ｆ ｘ 在 有且仅有 个极小值点
②（ ） （０，２π） ２ （ ）
( )
ｆ ｘ 在 π 单调递增 π π
③（ ） ０， Ａ． Ｂ． Ｃ．π Ｄ．２π
１０ ４ ２
[ ) 答案 Ｃ 本题考查三角函数的周期．
ω的取值范围是 １２ ２９
④ ， { }
５ １０ 解法一 ｆ ｘ 的定义域为 ｘ ｘ ｋ π ｋ Ｚ ．
其中所有正确结论的编号是 ： （ ） ≠ π＋ ， ∈
（ ） ２
ｘ
Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．①②③ Ｄ．①③④ ｓｉｎ
答案 Ｄ 本题主要考查三角函数的图象 性质及其应用 ｘ
函数 ( 的 零点 ) 、 极值点 、 单调性等知识 ， 通过 、 对函数 ｆ （ ｘ ）＝ ， ｆ （ ｘ ）＝ １＋ ( ｃ ｓ ｏ ｉ ｓ ｎ ｘ ｘ ) ２ ＝ｓｉｎ ｘ ·ｃｏｓ ｘ ＝ ２ １ ｓｉｎ２ ｘ ，
ｃｏｓ
ωｘ π 图象的研究 考查学生将复杂图象化归为简单图
ｓｉｎ ＋ ５ ， ∴ ｆ （ ｘ ） 的最小正周期Ｔ ＝ ２π ＝π ．
象 将陌生问题转化为熟悉问题的能力 考查了直观想象的核 ２
， ，
心素养． 解法二 ｆ ｘ ｔａｎ（ ｘ ＋π） ｔａｎ ｘ ｆ ｘ 是ｆ ｘ
： （ ＋π）＝ ２ ｘ ＝ ２ｘ＝ （ ），∴ π （ ）
１＋ｔａｎ（ ＋π） １＋ｔａｎ
令ｔ ωｘ π ω ｘ ( ) ( )
＝ ＋ （ ＞０），∵ ∈［０，２π］，
[ ５ ] ( ) ｔａｎ ｘ ＋ π ( ) ｓｉｎ ｘ ＋ π
的周期． ｆ ｘ π ２ 而 ｘ π ２
ｔ π ω π 且ｙ ｔ ＋ ＝ ( )， ｔａｎ ＋ ＝ ( )
∴ ∈ ５ ，２ π＋ ５ ＝ｓｉｎ ， ２ １＋ｔａｎ ２ ｘ ＋ π ２ ｃｏｓ ｘ ＋ π
ｆ ｘ 在 上有且仅有 个零点 ２ ２
∵ （ ） ［０，２π］ ５ ， ｘ ( ) ｘ
[ ]
ｃｏｓ １ ｆ ｘ π ｔａｎ ｆ ｘ
∴
ｙ
＝ｓｉｎ
ｔ在 π
，２
ω
π＋
π 上有且仅有
５
个零点
，
＝
－ｓｉｎ
ｘ＝－
ｔａｎ
ｘ，∴ ＋
２
＝－
１＋ｔａｎ
２ｘ≠（ ），
５ ５
π不是ｆ ｘ 的周期 π也不是ｆ ｘ 的周期．故选 ．
ω π ∴ （ ） ，∴ （ ） Ｃ
∴２ π＋ ∈［５π，６π）， ２ ４
５
[ ) 方法总结 函数周期的求法
∴ ω ∈ １２ ， ２９ ， 故 ④ 正确． 定义法 若ｆ ｘ Ｔ ｆ ｘ ： Ｔ 则Ｔ是ｆ ｘ 的一个周期．
５ １０ （１） ： （ ＋ ）＝ （ ）， ≠０， （ ）
[ ] 若Ｔ是函数ｙ ｆ ｘ 的周期 则ｋＴ ｋ Ｚ且ｋ 也是ｙ
ｙ ｔ在 π ω π 上极值点的个数即为ｆ ｘ 在 （２） ＝ （ ） ， （ ∈ ≠０） ＝
＝ｓｉｎ ，２ π＋ （ ） ［０，２π］ ｆ ｘ 的周期．
５ ５ （ ）
上极值点的个数．
若定义域内都有ｆ ｘ ａ ｆ ｘ 或ｆ ｘ ａ １ ｆ ｘ
[ ] （３） （ ＋ ）＝－ （ ） （ ＋ ）＝ｆ ｘ （ （ ）≠
由ｙ ｔ在 π ω π 上的图象可知ｆ ｘ 在 有 （ ）
＝ｓｉｎ ，２ π＋ （ ） ［０，２π］
５ ５ 或ｆ ｘ ａ １ ａ是常数且ａ ｆ ｘ 则ｆ ｘ 是
且仅有 个极大值点 有 个或 个极小值点 故 正确 ０） （ ＋ ）＝－ｆ ｘ （ ≠０， （ ）≠０）， （ ）
３ ， ２ ３ ， ① ，② （ ）
错误． 以 ａ 为周期的周期函数．
２｜ ｜
( ) ( ω ) 若ｆ ｘ 的图象关于直线 ｘ ａ 和 ｘ ｂ 对称 则 ａ ｂ 是
当ｘ π 时 ｔ π π π （４） （ ） ＝ ＝ ， ２｜ － ｜
∈ ０， ，∈ ， ＋ ， ｆ ｘ 的一个周期 若ｆ ｘ 的图象关于点 ａ ｂ 对称 则
１０ ５ １０ ５ （ ） ； （ ） （ ，０），（ ，０） ，
[ ) ａ ｂ 是ｆ ｘ 的一个周期 若ｆ ｘ 关于点 ａ 和直线ｘ ｂ
又ω １２ ２９ ２｜ － ｜ （ ） ； （ ） （ ，０） ＝
∈ ， ， 对称 则 ａ ｂ 是ｆ ｘ 的一个周期．
５ １０ ， ４｜ － ｜ （ ）
专题五 三角函数与解三角形 ２９３
３．（２０１８课标Ⅰ文，８，５分）已知函数ｆ ｘ ２ｘ ２ｘ 则 ( )
（ ）＝２ｃｏｓ －ｓｉｎ ＋２， ７．（２０１６课标Ⅱ文，１１，５分）函数ｆ ｘ ｘ π ｘ 的
（ ）＝ｃｏｓ ２ ＋６ｃｏｓ －
（ ） ２
ｆ ｘ 的最小正周期为 最大值为 最大值为
Ａ． （ ） π， ３ （ ）
ｆ ｘ 的最小正周期为 最大值为
Ｂ． （ ） π， ４ Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７
ｆ ｘ 的最小正周期为 最大值为 ( ) ２
Ｃ． （ ） ２π， ３ 答案 Ｂ ｆ ｘ ２ｘ ｘ ｘ ３ １１ 当
ｆ ｘ 的最小正周期为 最大值为 （ ）＝ １－２ｓｉｎ ＋６ｓｉｎ ＝－２ ｓｉｎ － ＋ ，
Ｄ． （ ） ２π， ４ ２ ２
答案 Ｂ 本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质． ｘ 时 ｆ ｘ 取得最大值 故选 ．
ｓｉｎ ＝１ ， （ ） ５， Ｂ
ｆ
（
ｘ
）＝２ｃｏｓ
２ｘ
－ｓｉｎ
２ｘ
＋２＝２（１－ｓｉｎ
２ｘ
）－ｓｉｎ
２ｘ
＋２＝４－３ｓｉｎ
２ｘ
＝４－３×
思路分析 利用二倍角的余弦公式及诱导公式将 ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ ｘ ( )
１－ｃｏｓ２ ５ ３ｃｏｓ２ ｆ ｘ 的最小正周期Ｔ 当 ｘ ｘ π ｘ 转化为关于 ｘ的二次函数 通过配方来
＝ ＋ ，∴ （ ） ＝π， ｃｏｓ ２ ＝ ｃｏｓ２ ＋６ｃｏｓ － ｓｉｎ ，
２ ２ ２ ２
时 ｆ ｘ 取最大值 为 ．故选 ． 求最值 注意不要忘记 ｘ ．
１ ，（ ） ， ４ Ｂ ， ｓｉｎ ∈［－１，１］
解题关键 解题关键是通过三角恒等变换化简函数解析式 ８．（２０１６山东理，７，５分）函数ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ
（ ）＝（ ３ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ）（ ３ｃｏｓ －
( )
４．（２０１７课标Ⅱ文，３，５分）函数ｆ ｘ ｘ π 的最小正周 ｓｉｎ ｘ ） 的最小正周期是 （ ）
（ ）＝ｓｉｎ ２ ＋
３
期为 π ３π
Ａ． Ｂ．π Ｃ． Ｄ．２π
（ ） ２ ２
π 答案 Ｂ ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
Ａ．４π Ｂ．２π Ｃ．π Ｄ． ∵ （ ）＝ （ ３ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ）（ ３ｃｏｓ －ｓｉｎ ）＝
２ ( ) ( ) ( )
答案 Ｃ 本题考查三角函数的性质． ｘ π ｘ π ｘ π Ｔ ２π 故
４ｓｉｎ ＋ · ｃｏｓ ＋ ＝２ｓｉｎ ２ ＋ ，∴ ＝ ＝π，
( ) ６ ６ ３ ２
由题意得ω 所以函数ｆ ｘ ｘ π 的最小正周期Ｔ 选 ．
＝２， （ ）＝ｓｉｎ ２ ＋ ＝ Ｂ
３ 评析 本题主要考查辅助角公式及三角恒等变换，属中档题．
２
ω
π
＝π
．故选
Ｃ
． ９．（２０１６浙江，５，５分）设函数ｆ
（
ｘ
）＝ｓｉｎ
２ｘ
＋
ｂ
ｓｉｎ
ｘ
＋
ｃ
，
则ｆ
（
ｘ
）
的
最小正周期
５．（２０１７山东文，７，５分）函数ｙ ｘ ｘ的最小正周 （ ）
＝ ３ｓｉｎ ２ ＋ｃｏｓ ２ 与ｂ有关 且与ｃ有关 与ｂ有关 但与ｃ无关
期为 Ａ． ， Ｂ． ，
（ ） 与ｂ无关 且与ｃ无关 与ｂ无关 但与ｃ有关
Ｃ． ， Ｄ． ，
π ２π 答案 Ｂ ｆ ｘ ２ｘ ｂ ｘ ｃ 若ｂ 则ｆ ｘ ２ｘ ｃ
Ａ． Ｂ． Ｃ．π Ｄ．２π （ ）＝ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ ＋ ， ＝０， （ ）＝ｓｉｎ ＋ ＝
２ ３
答案 Ｃ 本题考查三角函数辅助角公式及三角函数的 １ ｘ ｃ 此时ｆ ｘ 的周期为 若ｂ 则ｆ ｘ 的周
（１－ｃｏｓ２ ）＋ ， （ ） π； ≠０， （ ）
性质． ２
期为 所以选 ．
( ) ２π， Ｂ
ｙ ｘ ｘ ｘ π １０．（２０１５安徽理，１０，５分）已知函数ｆ ｘ Ａ ωｘ φ Ａ ω
＝ ３ｓｉｎ２ ＋ｃｏｓ２ ＝２ｓｉｎ ２ ＋ ， （ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ）（ ， ，
６
从而最小正周期Ｔ ２π ． φ均为正的常数 ） 的最小正周期为 π， 当ｘ ＝ ２π时 ， 函数ｆ （ ｘ ）
＝ ＝π ３
２ ( ) 取得最小值 则下列结论正确的是
６．（２０１７ 课标Ⅲ文，６，５ 分）函数 ｆ ｘ １ ｘ π ， （ ）
（ ）＝ ｓｉｎ ＋ ＋ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ
５ ３ Ａ． （２）＜ （－２）＜ （０） Ｂ． （０）＜ （２）＜ （－２）
( ) ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ
ｘ π 的最大值为 Ｃ． （－２）＜ （０）＜ （２） Ｄ． （２）＜ （０）＜ （－２）
ｃｏｓ － （ ） ( )
６ 答案 Ａ ω Ｔ ２π ω ．又Ａ ｆ ２π
∵ ＞０，∴ ＝ ω ＝π，∴ ＝２ ＞０，∴ ＝
６ ３ １ ３
Ａ． Ｂ．１ Ｃ． Ｄ． ( )
５ ５ ５ Ａ 即 ４π φ 得φ ４π ｋ ３π ｋ Ｚ 即φ ｋ
( ) ( ) － ， ｓｉｎ ＋ ＝－１， ＋ ＝２ π＋ ， ∈ ， ＝２ π
答案 Ａ ｆ ｘ １ ｘ π ｘ π ３ ３ ２
∵ （ ）＝ ｓｉｎ ＋ ＋ｃｏｓ － ( )
５ ３ ６ π ｋ Ｚ 又 φ 可取ｆ ｘ Ａ ｘ π ｆ
æ ö ＋ ， ∈ ， ∵ ＞０，∴ （ ）＝ ｓｉｎ ２ ＋ ，∴ （２）＝
＝ １ è ç １ ｓｉｎ ｘ ＋ ３ ｃｏｓ ｘ ø ÷ ＋ ３ ｃｏｓ ｘ ＋ １ ｓｉｎ ｘ ６ ( ) ( ) ６
５ ２ ２ ２ ２ Ａ π ｆ Ａ π ｆ Ａ π．
ｓｉｎ ４＋ ， （－２）＝ ｓｉｎ －４＋ ， （０）＝ ｓｉｎ ∵ π＜４＋
６ ６ ６
３ ｘ ３ ３ ｘ
＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ π ３π ｆ ． ７π π 且 ｙ ｘ 在
５ ( ５ ) ＜ ， ∴ （２）＜０ ∵ － ＜－４＋ ＜－π， ＝ｓｉｎ
６ ２ ６ ６
３ ｘ π ( ) ( ) ( )
＝ ×２ｓｉｎ ＋ ７π 上为减函数 π ７π π
５ ( ) ３ － ，－π ，∴ ｓｉｎ －４＋ ＜ｓｉｎ － ＝ｓｉｎ ，
６ ６ ６ ６
６ ｘ π ( )
＝ ｓｉｎ ＋ ， 且 π 从而有 ｆ ｆ ．故有ｆ
５ ３ ｓｉｎ －４＋ ＞ｓｉｎ（－π）＝ ０， ０＜ （－２）＜ （０）
ｆ ｘ 的最大值为 ６ ． ６
∴ （ ） ｆ ｆ ．
５
（２）＜（－２）＜（０）
故选 ． 评析 本题考查三角函数的周期性、单调性、最值和三角函数
Ａ
( ) ( )
一题多解 ｘ π π ｘ 值的大小比较．准确判断 π与 π的范围是解题的关键．
∵ ｃｏｓ － ＝ｃｏｓ － ４＋ －４＋
６ ６ ６ ６
[ ( )] ( ) １１．（２０１４课标Ⅰ文，７，５分）在函数 ｙ ｘ ｙ ｘ
π π ｘ π ｘ ① ＝ｃｏｓ｜２ ｜，② ＝｜ｃｏｓ ｜，
＝ｓｉｎ － － ＝ｓｉｎ ＋ ， ( ) ( )
２ ６ ３ ｙ ｘ π ｙ ｘ π 中 最小正周期为 的
( ) ③ ＝ｃｏｓ ２ ＋ ，④ ＝ｔａｎ ２ － ， π
ｆ ｘ ６ ｘ π ｆ ｘ ６ ．故选 ． ６ ４
∴ （ ）＝ ｓｉｎ ＋ ，∴ （ ）ｍａｘ＝ Ａ 所有函数为
５ ３ ５ （ ）
２９４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
． ． ． ． ( )
Ａ①②③ Ｂ①③④ Ｃ②④ Ｄ①③ ｙ ｆ ｘ 在 π 单调递减 其图象关于直线ｘ π对称
答案 Ａ ｙ ｘ ｘ 最小正周期为 Ｃ． ＝ （ ） ０， ， ＝
① ＝ｃｏｓ｜２ ｜＝ｃｏｓ２ ， π； ２ ４
由图象知ｙ ｘ 的最小正周期为 ( )
② ＝｜ｃｏｓ ｜ π； ｙ ｆ ｘ 在 π 单调递减 其图象关于直线ｘ π对称
( ) Ｄ． ＝ （ ） ０， ， ＝
ｙ ｘ π 的最小正周期Ｔ ２π ２ ( ) ( ) ２
③ ＝ｃｏｓ ２ ＋ ＝ ＝π；
６ ２ 答案 Ｄ ｆ ｘ ｘ π ｘ π
( ) （ ） ＝ ｓｉｎ ２ ＋ ＋ｃｏｓ ２ ＋ ＝ ２ ·
ｙ ｘ π 的最小正周期Ｔ π． ( ) ４ ４
④ ＝ｔａｎ ２ － ＝
４ ２ ｘ π ｘ 其部分图象如图．故选 ．
因此选 ． ｓｉｎ ２ ＋ ＝ ２ｃｏｓ２ ， Ｄ
Ａ ２
评析 本题考查三角函数的周期性，含有绝对值的函数可先
变形再判断，或运用图象判断其最小正周期．
( )
１２．（２０１２课标理，９，５分）已知ω 函数ｆ ｘ ωｘ π 在
＞０， （ ）＝ｓｉｎ ＋
４
( )
π 单调递减 则ω的取值范围是
，π ， （ ） 评析 本题考查三角恒等变换、诱导公式及三角函数的图象
２
[ ] [ ] 等知识，考查学生综合应用三角知识分析和解决问题的能力，
１ ５ １ ３
Ａ． ， Ｂ． ， 属中等难度试题．
２ ４ ２ ４
( ] ( )
１ １５．（２０１８课标Ⅲ理，１５，５分）函数ｆ ｘ ｘ π 在
Ｃ． ０， Ｄ．（０，２］ （ ）＝ｃｏｓ ３ ＋ ［０，π］
２ ６
ω 的零点个数为 ．
答案 Ａ 由π ｘ 得 π π ωｘ π ω π
＜ ＜π ＋ ＜ ＋ ＜ π＋ ， 答案
２ ２ ４ ４ ４ ３
( ) ( ) ｋ
又ｙ α在 π ３ 上递减 解析 令ｆ ｘ 得 ｘ π 解得ｘ π π ｋ
＝ｓｉｎ ， π ， （ ）＝０， ｃｏｓ ３ ＋ ＝０， ＝ ＋ （ ∈
２ ２ ６ ３ ９
ìω
ï ï π ＋ π ≥ π ， Ｚ ） ．当ｋ ＝０ 时 ， ｘ ＝ π ； 当ｋ ＝１ 时 ， ｘ ＝ ４π ； 当ｋ ＝２ 时 ， ｘ ＝ ７π ， 又
所以í ２ ４ ２ ９ ９ ９
ï ｘ 所以满足要求的零点有 个．
ïω π ３ ∈［０，π］， ３
î π＋ ≤ π， １６．（２０１８ 江 苏， ７， ５ 分） 已 知 函 数 ｙ ｘ φ
４ ２ ＝ ｓｉｎ （２ ＋ ）
( )
解得 １ ω ５ 故选 ． π φ π 的图象关于直线ｘ π对称 则φ的值是
≤ ≤ ， Ａ － ＜ ＜ ＝ ，
２ ４ ２ ２ ３
评析 本题考查了三角函数的单调性，考查了运用正弦函数
．
的减区间求参数的问题．
答案 π
１３．（２０１１课标理，１１，５分）设函数ｆ ｘ ωｘ φ ωｘ －
（ ）＝ｓｉｎ（ ＋ ）＋ｃｏｓ（ ＋ ６
( ) 解析 本题考查正弦函数的图象和性质．
φ ω φ π 的最小正周期为 且ｆ ｘ ｆ ｘ 则
） ＞０，｜ ｜＜ π， （－ ）＝ （ ），
２ 函数ｙ ｘ φ 的图象关于直线ｘ π 对称 ｘ π
∵ ＝ｓｉｎ（２ ＋ ） ＝ ，∴ ＝
（ ） ３ ３
( ) ( ) ( )
ｆ ｘ 在 π 单调递减 ｆ ｘ 在 π ３π 单调递减 时 函数取得最大值或最小值 ２π φ ．
Ａ． （ ） ０， Ｂ． （ ） ， ， ，∴ ｓｉｎ ＋ ＝±１
２ ４ ４ ３
( ) ( )
ｆ ｘ 在 π 单调递增 ｆ ｘ 在 π ３π 单调递增 ２π φ ｋ π ｋ Ｚ φ ｋ π ｋ Ｚ
Ｃ． （ ） ０， Ｄ． （ ） ， ∴ ＋ ＝ π＋ （ ∈ ），∴ ＝ π－ （ ∈ ），
２ ４ ４ ３ ２ ６
(
答案 Ａ ｆ ｘ ωｘ φ ωｘ φ ωｘ φ 又 π φ π φ π．
（ ）＝ｓｉｎ（ ＋ ）＋ｃｏｓ（ ＋ ）＝ ２ｓｉｎ ＋ ＋ － ＜ ＜ ，∴ ＝－
２ ２ ６
) ( )
π 周期Ｔ ２π ω ．又ｆ ｘ ｆ ｘ 即ｆ ｘ 为偶 １７．（２０１８北京理，１１，５ 分）设函数ｆ ｘ ωｘ π ω ．若
，∵ ＝ ω ＝π，∴ ＝２ （－ ）＝ （ ）， （ ） （ ）＝ｃｏｓ － （ ＞０）
４ ６
( )
函数 φ π ｋ π φ ｋ π ｋ Ｚ． ｆ ｘ ｆ π 对任意的实数ｘ都成立 则ω的最小值为 ．
，∴ ＋ ＝ π＋ ， ＝ π＋ ， ∈ （ ）≤ ，
４ ２ ４ ４
( )
又 φ π φ π ｆ ｘ ｘ π ｘ 易 答案 ２
｜ ｜＜ ，∴ ＝ ，∴ （ ）＝ ２ｓｉｎ ２ ＋ ＝ ２ｃｏｓ ２ ，
２ ４ ２ ３
( ) 解析 本题主要考查三角函数的性质及其应用．
得ｆ ｘ 在 π 上单调递减 故选 ．
（ ） ０， ， Ａ ( ) ( )
２ ｆ ｘ ｆ π 对任意的实数ｘ都成立 ｆ π
评析 本题考查三角公式和三角变换，考查三角函数ｙ Ａ ∵ （ ）≤ ，∴ ＝１，
＝ ｓｉｎ ４ ４
（ωｘ φ）的单调性、奇偶性的判定，属中等难度试题．
＋ π ω π ｋ ｋ Ｚ 整理得ω ｋ ２ ｋ Ｚ．
( ) ∴ · － ＝２ π， ∈ ， ＝８ ＋ ， ∈
１４．（２０１１ 课标文，１１，５ 分） 设函数 ｆ ｘ ｘ π ４ ６ ３
（ ）＝ ｓｉｎ ２ ＋ ＋
４ 又ω 当ｋ 时 ω取得最小值 ２ ．
( ) ＞０，∴ ＝０ ，
ｘ π 则 ３
ｃｏｓ ２ ＋ ， （ ）
４ 名师点睛 由题意知函数ｆ ｘ 在ｘ π处取得最大值 从而
( ) （ ） ＝ ，
ｙ ｆ ｘ 在 π 单调递增 其图象关于直线ｘ π对称 ４
Ａ． ＝ （ ） ０， ， ＝ 得出答案．
２ ４
( )
ｙ ｆ ｘ 在 π 单调递增 其图象关于直线ｘ π对称 １８．（２０１７ 课标Ⅱ理，１４，５ 分）函数 ｆ ｘ ２ｘ ｘ ３
Ｂ． ＝ （ ） ０， ， ＝ （ ）＝ ｓｉｎ ＋ ３ｃｏｓ －
２ ２ ４
专题五 三角函数与解三角形 ２９５
( [ ]) ２３．（２０１３课标Ⅰ，理１５，文１６，５分）设当ｘ θ时 函数ｆ ｘ
ｘ π 的最大值是 ． ＝ ， （ ）＝
∈ ０， ｘ ｘ取得最大值 则 θ ．
２ ｓｉｎ －２ｃｏｓ ， ｃｏｓ ＝
答案
１ 答案 ２ ５
解析 本题主要考查三角函数的最值． －
５
æ ö２ æ ö
由题意可得ｆ ｘ ２ｘ ｘ １ ç ｘ ３÷ ． 解析 由辅助角公式得 ｆ ｘ ç ５ ｘ ２ ５ ｘ÷
（ ）＝－ｃｏｓ ＋ ３ｃｏｓ ＋ ＝－èｃｏｓ － ø ＋１ ： （ ）＝ ５è ｓｉｎ － ｃｏｓ ø ＝
４ ２ ５ ５
[ ]
ｘ π ｘ ． ｘ φ 其中 φ ２ ５ φ ５ 由ｘ θ时 ｆ ｘ 取
∵ ∈ ０， ，∴ ｃｏｓ ∈［０，１］ ５ｓｉｎ（ － ）， ｓｉｎ ＝ ，ｃｏｓ ＝ ， ＝ ， （ ）
２
５ ５
当 ｘ ３时 ｆ ｘ ． 得最大值得 θ φ θ φ ｋ π ｋ Ｚ 即θ φ
∴ ｃｏｓ ＝ ， （ ）ｍａｘ＝１ ：ｓｉｎ（ － ）＝ １，∴ － ＝２ π＋ ， ∈ ， ＝ ＋
２ ２
１９．（２０１７课标Ⅱ文，１３，５分）函数ｆ ｘ ｘ ｘ的最大值 ( )
（ ）＝２ｃｏｓ ＋ｓｉｎ π ｋ θ φ π φ ２ ５．
为 ． ＋２ π，∴ ｃｏｓ ＝ｃｏｓ ＋ ＝－ｓｉｎ ＝－
２ ２ ５
答案 评析 本题考查了辅助角公式的应用，准确掌握辅助角的含
５
解析 本题主要考查三角函数的最值． 义是解题关键．
由题意可知ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ φ φ
２４．（２０１８ 北京文，１６，１３ 分） 已知函数 ｆ
（
ｘ
） ＝ ｓｉｎ
２ｘ
＋
（ ）＝２ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ＝ ５ｓｉｎ（ ＋ ）（ｔａｎ ＝２），
ｘ ｘ．
ｆ ｘ 的最大值为 ． ３ｓｉｎ ｃｏｓ
∴ （ ） ５ 求ｆ ｘ 的最小正周期
２０．（２０１５天津文，１４，５分）已知函数ｆ ｘ ωｘ ωｘ ω （１） （ ） ；
（ ）＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ （ ＞ [ ]
ｘ Ｒ．若函数ｆ ｘ 在区间 ω ω 内单调递增 且函数ｙ 若 ｆ ｘ 在区间 π ｍ 上的最大值为 ３ 求 ｍ 的最
０）， ∈ （ ） （－ ， ） ， ＝ （２） （ ） － ， ，
ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ ω对称 则ω的值为 ． ３ ２
（ ） ＝ ， 小值．
答案 π
解析 ｆ ｘ １ １ ｘ ３ ｘ
２ （１） （ ）＝ － ｃｏｓ２ ＋ ｓｉｎ２
( ) ２ ２ ２
解析 由已知得ｆ ｘ ωｘ π 令 ｋ π ωｘ ( )
（ ）＝ ２ｓｉｎ ＋ ， ２ π－ ≤ ＋ ｘ π １ ．
４ ２ ＝ｓｉｎ ２ － ＋
６ ２
ｋ ３ ｋ π
２ π－ π ２ π＋ 所以ｆ ｘ 的最小正周期为Ｔ ２π ．
π ｋ π ｋ Ｚ 由ω 得 ４ ｘ ４ （ ） ＝ ＝π
≤２ π＋ ， ∈ ， ＞０， ω ≤ ≤ ω ， ２
４ ２ ( )
[ ] 由 知ｆ ｘ ｘ π １ ．
ｋ Ｚ 当ｋ 时 得ｆ ｘ 的单调递增区间为 ３π π （２） （１） （ ）＝ｓｉｎ ２ － ＋
∈ ， ＝０ ， （ ） － ω， ω ， ６ ２
４ ４
[ ] 由题意知 π ｘ ｍ．
所以 ω ω ３π π － ≤ ≤
（－ ， ）⊆ － ω， ω ， ３
４ ４
所以 ５π ｘ π ｍ π．
ì ï ３π ω － ≤２ － ≤２ －
ï－ ω≤－ ， ６ [ ６ ] ６
所以í ï ïπ ４ ω 解得 ０＜ ω ≤ ２ π ， 要使得ｆ （ ｘ ） 在 － π ， ｍ 上的最大值为 ３ ，
î ω≥ ， ( ) [ ３ ] ２
４ 即 ｘ π 在 π ｍ 上的最大值为 ．
又ｙ ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ ω对称 所以ω２ π ｋ π ｓｉｎ ２ － ６ － ３ ， １
＝ （ ） ＝ ， ＋ ＝ π＋ ，
４ ２ 所以 ｍ π π
２ － ≥ ，
ｋ Ｚ 解得ω２ ｋ π ｋ Ｚ 又 ω π 所以ω π． ６ ２
∈ ， ＝ π＋ ， ∈ ， ０＜ ≤ ， ＝
４ ２ ２ 即ｍ π．
２１．（２０１４课标Ⅱ理，１４，５分）函数ｆ ｘ ｘ φ φ ≥
（ ）＝ｓｉｎ（ ＋２ ）－２ｓｉｎ ｃｏｓ ３
ｘ φ 的最大值为 ．
（ ＋ ） 所以ｍ的最小值为π．
答案
１ ３
解析 ｆ ｘ ｘ φ φ φ ｘ φ ２５．（２０１６山东文，１７，１２分）设ｆ ｘ ｘ ｘ
（ ）＝ｓｉｎ［（ ＋ ）＋ ］－２ｓｉｎ ｃｏｓ（ ＋ ） （ ）＝ ２ ３ｓｉｎ（π－ ）ｓｉｎ －（ｓｉｎ
ｘ φ φ ｘ φ φ φ ｘ φ ｘ ｘ ２．
＝ｓｉｎ（ ＋ ）ｃｏｓ ＋ｃｏｓ（ ＋ ）ｓｉｎ －２ｓｉｎ ｃｏｓ（ ＋ ） －ｃｏｓ ）
ｘ φ φ φ ｘ φ 求ｆ ｘ 的单调递增区间
＝ｓｉｎ（ ＋ ）ｃｏｓ －ｓｉｎ ｃｏｓ（ ＋ ） （１） （ ） ；
ｘ φ φ 把ｙ ｆ ｘ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍
＝ｓｉｎ（ ＋ － ） （２） ＝ （ ） ２
ｘ
＝ｓｉｎ ， 纵坐标不变 再把得到的图象向左平移π个单位 得
ｆ ｘ 的最大值为 ． （ ）， ，
∴ （ ） １ ( ) ３
２２．（２０１４课标Ⅱ文，１４，５分）函数ｆ （ ｘ ）＝ｓｉｎ（ ｘ ＋ φ ）－２ｓｉｎ φ ｃｏｓ ｘ 到函数ｙ ＝ ｇ （ ｘ ） 的图象 ， 求ｇ π 的值．
的最大值为 ． ６
答案 解析 ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ２
１ （１） （ ）＝２ ３ｓｉｎ（π－ ）ｓｉｎ －（ｓｉｎ －ｃｏｓ ）
解析 ｆ ｘ ｘ φ φ ｘ ２ｘ ｘ ｘ
（ ）＝ｓｉｎ（ ＋ ）－２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝２ ３ｓｉｎ －（１－２ｓｉｎ ｃｏｓ ）
ｘ φ ｘ φ φ ｘ ｘ ｘ
＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ －２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ３（１－ｃｏｓ２ ）＋ｓｉｎ２ －１
ｘ φ ｘ φ
＝ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ２ ｘ － ３ｃｏｓ２ ｘ ＋ ３－１
ｘ φ ( )
＝ｓｉｎ（ － ）≤１， ｘ π ．
所以ｆ ｘ ． ＝２ｓｉｎ ２ － ＋ ３－１
（ ）ｍａｘ＝１ ３
２９６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
[ ]
由 ｋ π ｘ π ｋ π ｋ Ｚ Ａ Ｂ π π ．
２ π－ ≤２ － ≤２ π＋ （ ∈ ）， ∩ ＝ － ，
２ ３ ２ １２ ４
[ ] [ ]
得ｋ π ｘ ｋ ５π ｋ Ｚ ． 所以 当ｘ π π 时 ｆ ｘ 在区间 π π 上单调递
π－ ≤ ≤ π＋ （ ∈ ） ， ∈ － ， ， （ ） － ，
１２ １２ ４ ４ １２ ４
[ ] [ ]
所以ｆ ｘ 的单调递增区间是 ｋ π ｋ ５π ｋ Ｚ ． 增 在区间 π π 上单调递减．
（ ） π－ ， π＋ （ ∈ ） ， － ，－
１２ １２ ４ １２
( ( ) ) 方法总结 研究三角函数的各类性质时 首先要将所研究函
或 ｋ π ｋ ５π ｋ Ｚ ，
π－ ， π＋ （ ∈ ） 数利用辅助角公式 降幂扩角公式及两角和差的正弦 余弦公
１２ １２ 、 、
( ) 式等价转化为ｆ ｘ Ａ ωｘ φ ｂ的形式 然后类比ｙ
由 知ｆ ｘ ｘ π ． （ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ）＋ ， ＝ｓｉｎ
（２） （１） （ ）＝２ｓｉｎ ２ － ＋ ３－１ ｘ的性质进行研究．
３
把ｙ
＝
ｆ
（
ｘ
）
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
２
倍
（
纵坐 评析 本题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角
标不变
的正弦公式和余弦公式，三角函数的定义域、最小正周期性、
），
( )
得到ｙ ｘ π 的图象 单调性等基础知识．考查运算求解能力．
＝２ｓｉｎ － ＋ ３－１ ，
３ ３２７（２０１６北京文，１６，１３ 分）已知函数 ｆ ｘ ωｘ ωｘ
（ ）＝ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋
再把得到的图象向左平移π个单位 ωｘ ω 的最小正周期为 ．
， ｃｏｓ２ （ ＞０） π
３ 求ω的值
得到ｙ ＝２ｓｉｎ ｘ ＋ ３－１ 的图象 ， （１） 求ｆ ｘ 的 ； 单调递增区间．
（２） （ ）
即ｇ ｘ ｘ ． 解析 因为ｆ ｘ ωｘ ωｘ ωｘ
（ ） ( ＝２ ) ｓｉｎ ＋ ３－１ （１） （ ）＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ２
所以ｇ π π ． ＝ｓｉｎ２ ωｘ ＋ｃｏｓ２ ωｘ
＝２ｓｉｎ ＋ ３－１＝ ３ ( )
方法总结 ６ 研究三角 ６ 函数的单调性 首先将函数化为ｙ Ａ ＝ ２ｓｉｎ ２ ωｘ ＋ π ， （３ 分 ）
， ＝ ｓｉｎ ４
ωｘ φ ｈ 或ｙ Ａ ωｘ φ ｈ 的形式 要视 ωｘ φ 为一
（ ＋ ）＋ （ ＝ ｃｏｓ（ ＋ ）＋ ） ， “ ＋ ” 所以ｆ ｘ 的最小正周期Ｔ ２π π． 分
个整体 另外注意Ａ的正负． （ ） ＝ ω＝ ω （４ ）
， ２
评析 本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质，考查
依题意 π 解得ω ． 分
三角函数图象变换．（ ）将函数化为ｙ Ａ （ωｘ φ） ｈ的形式 ，ω ＝π， ＝１ （６ ）
１ ＝ ｓｉｎ ＋ ＋
是解题的关键，要视“ωｘ φ”为一个整体．（ ）三角函数图象变 ( )
＋ ２ 由 知ｆ ｘ ｘ π ．
换仅对“ｘ”而言． （２） （１） （ ）＝ ２ｓｉｎ ２ ＋
４
( ) [ ]
２６．（２０１６天津理，１５，１３分）已知函数ｆ ｘ ｘ π ｘ 函数ｙ ｘ的单调递增区间为 ｋ π ｋ π ｋ Ｚ ．
（ ）＝４ｔａｎ ｓｉｎ － ＝ｓｉｎ ２ π－ ，２ π＋ （ ∈ ）
２ ２ ２
( ) 分
ｘ π ． （８ ）
·ｃｏｓ － － ３
３ 由 ｋ π ｘ π ｋ π ｋ Ｚ
求ｆ ｘ 的定义域与最小正周期 ２ π－ ≤２ ＋ ≤２ π＋ （ ∈ ），
（１） （ ） ； ２ ４ ２
[ ]
讨论ｆ ｘ 在区间 π π 上的单调性． 得ｋ ３π ｘ ｋ π ｋ Ｚ ． 分
（２） （ ） － ， π－ ≤ ≤ π＋ （ ∈ ） （１２ ）
４ ４ ８ ８
{ } [ ]
解析 ｆ ｘ 的定义域为 ｘ ｘ π ｋ ｋ Ｚ ． 所以ｆ ｘ 的单调递增区间为 ｋ ３π ｋ π ｋ Ｚ ．
（１） （ ） ≠ ＋ π， ∈ （ ） π－ ， π＋ （ ∈ ）
２ ８ ８
( ) 分
ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ π （１３ ）
（ ）＝４ｔａｎ ｃｏｓ ｃｏｓ － － ３ 易错警示 本题函数解析式中含有参数ω 在用倍角公式时
３ ，
( ) 要注意转化成 ωｘ 在求单调区间时 也要注意ｘ的系数．
ｘ ｘ π “２ ”， ，
＝４ｓｉｎ ｃｏｓ － － ３ 评析 本题考查了倍角公式、辅助角公式和正弦型函数的单
３
æ ö 调区间等知识，属中档题．
ｘç １ ｘ ３ ｘ÷
＝４ｓｉｎ è ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ø－ ３ ２８．（２０１５ 天津理，１５，１３ 分）已知函数 ｆ ｘ ２ｘ ２
２ ２ （ ）＝ ｓｉｎ －ｓｉｎ
( )
＝２ｓｉｎ
ｘ
ｃｏｓ
ｘ
＋２ ３ｓｉｎ
２ｘ
－ ３ ｘ π ｘ Ｒ．
－ ， ∈
ｘ ｘ ６
＝ｓｉｎ２ ＋ ３（１－ｃｏｓ２ ）－ ( ３ ) 求ｆ ｘ 的最小正周期
（１） （ ） ；
ｘ ｘ ｘ π ． [ ]
＝ｓｉｎ２ － ３ｃｏｓ２ ＝２ｓｉｎ ２ － 求ｆ ｘ 在区间 π π 上的最大值和最小值．
３ （２） （ ） － ，
所以 ｆ ｘ 的最小正周期Ｔ ２π ． 解析 由已知 有 ３ ４
， （ ） ＝ ＝π
２ （１） ， ( )
（２） 令ｚ ＝２ ｘ － π ， 易知函数 ｙ ＝２ｓｉｎ ｚ 的单调递增区间是 ｘ １－ｃｏｓ ２ ｘ － π æ ö
３ ｆ ｘ １－ｃｏｓ２ ３ １ ç １ ｘ ３ ｘ÷
[ ] （ ）＝ － ＝ è ｃｏｓ２ ＋ ｓｉｎ２ ø－
π ｋ π ｋ ｋ Ｚ． ２ ２ ２ ２ ２
－ ＋２ π， ＋２ π ， ∈ ( )
２ ２ １ ｘ ３ ｘ １ ｘ １ ｘ π ．
ｃｏｓ２ ＝ ｓｉｎ２ － ｃｏｓ２ ＝ ｓｉｎ ２ －
由 π ｋ ｘ π π ｋ 得 π ｋ ｘ ５π ２ ４ ４ ２ ６
－ ＋２ π≤２ － ≤ ＋２ π， － ＋ π≤ ≤ ＋
２ ３ ２ １２ １２ 所以 ｆ ｘ 的最小正周期Ｔ ２π ．
ｋ ｋ Ｚ． ， （ ） ＝ ＝π
π， ∈ ２
[ ] { } [ ]
设Ａ π π Ｂ ｘ π ｋ ｘ ５π ｋ ｋ Ｚ 易知 因为 ｆ ｘ 在区间 π π 上是减函数 在区间
＝ － ， ， ＝ － ＋ π≤ ≤ ＋ π， ∈ ， （２） （ ） － ，－ ，
４ ４ １２ １２ ３ ６
专题五 三角函数与解三角形 ２９７
[ ] ( ) ( ) 将ｙ ｆ ｘ 图象上所有点向左平行移动θ θ 个单位长
π π 上是增函数 ｆ π １ ｆ π １ （２） ＝ （ ） （ ＞０）
－ ， ， － ＝－ ， － ＝－ ， 度 得到ｙ ｇ ｘ 的图象．若ｙ ｇ ｘ 图象的一个对称中心
６ ４ ３ ４ ６ ２ ， ＝ （ ） ＝ （ ）
( ) [ ] ( )
ｆ π ３．所以 ｆ ｘ 在区间 π π 上的最大值为 ３ 为 ５π 求θ的最小值．
＝ ， （ ） － ， ， ，０ ，
４ ４ ３ ４ ４ １２
最小值为 １ ． 解析 根据表中已知数据 解得Ａ ω φ π．
－ （１） ， ＝５， ＝２， ＝－
２ ６
ｘ ｘ 数据补全如下表
２９．（２０１５北京理，１５，１３分）已知函数ｆ ｘ ：
（ ）＝ ２ｓｉｎ ｃｏｓ －
２ ２ ωｘ φ π ３π
ｘ ＋ ０ π ２π
２ ． ２ ２
２ｓｉｎ
２ ｘ π π ７π ５π １３
求ｆ ｘ 的最小正周期 π
（１） （ ） ； １２ ３ １２ ６ １２
求ｆ ｘ 在区间 上的最小值． Ａ ωｘ φ
（２） （ ） ［－π，０］ ｓｉｎ（ ＋ ） ０ ５ ０ －５ ０
( )
解析 因为ｆ ｘ ２ ｘ ２ ｘ 且函数表达式为ｆ ｘ ｘ π ．
（１） （ ）＝ ｓｉｎ － （１－ｃｏｓ ） （ ）＝５ｓｉｎ ２ －
２ ２ ６
( ) ( )
ｘ π ２ 由 知 ｆ ｘ ｘ π
＝ｓｉｎ ＋ － ， （２） （１） （ ）＝５ｓｉｎ ２ － ，
４ ２ ６
所以ｆ ｘ 的最小正周期为 ． ( )
（ ） ２π 得ｇ ｘ ｘ θ π ．
（ ）＝５ｓｉｎ ２ ＋２ －
因为 ｘ 所以 ３π ｘ π π． ６
（２） －π≤ ≤０， － ≤ ＋ ≤ 因为ｙ ｘ图象的对称中心为 ｋ ｋ Ｚ
４ ４ ４ ＝ｓｉｎ （ π，０）， ∈ ，
当ｘ π π 即ｘ ３π时 ｆ ｘ 取得最小值． 令 ｘ θ π ｋ
＋ ＝－ ， ＝－ ， （ ） ２ ＋２ － ＝ π，
４ ２ ４ ６
( ) ｋ
所以ｆ ｘ 在区间 上的最小值为ｆ ３π ２． 解得ｘ ＝ π ＋ π － θ ， ｋ ∈ Ｚ．
（ ） ［－π，０］ － ＝－１－ ２ １２
４ ２ ( )
３０．（２０１５安徽文，１６，１２分）已知函数ｆ （ ｘ ）＝（ｓｉｎ ｘ ＋ｃｏｓ ｘ ） ２ ＋ 由于函数ｙ ＝ ｇ （ ｘ ） 的图象关于点 ５π ，０ 中心对称 ，
ｘ． １２
ｃｏｓ２ ｋ
求ｆ ｘ 的最小正周期 令 π π θ ５π
（１） （ ） ； ＋ － ＝ ，
[ ] ２ １２ １２
求ｆ ｘ 在区间 π 上的最大值和最小值． ｋ
（２） （ ） ０， 解得θ π π ｋ Ｚ．
２ ＝ － ， ∈
解析 因为ｆ ｘ ２ｘ ２ｘ ｘ ｘ ｘ ２ ３
（１） （ ）＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＋２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ２ ＝１＋
( ) 由θ 可知 当ｋ 时 θ取得最小值π．
ｘ ｘ ｘ π ＞０ ， ＝１ ，
ｓｉｎ２ ＋ｃｏｓ２ ＝ ２ｓｉｎ ２ ＋ ＋１， ６
４ ３２．（２０１４山东理，１６，１２分）已知向量ａ ｍ ｘ ｂ
＝（ ，ｃｏｓ ２ ）， ＝（ｓｉｎ
所以函数ｆ ｘ 的最小正周期为Ｔ ２π ． ( )
（ ） ＝ ＝π ｘ ｎ 函数ｆ ｘ ａ ｂ 且ｙ ｆ ｘ 的图象过点 π 和
２ ２ ， ）， （ ）＝ · ， ＝ （ ） ， ３
( ) １２
由 的计算结果知 ｆ ｘ ｘ π ． ( )
（２） （１） ，（ ）＝ ２ｓｉｎ ２ ＋ ＋１ 点 ２π ．
４ ，－２
[ ] [ ] ３
当ｘ π 时 ｘ π π ５π 求ｍ ｎ的值
∈ ０， ，２ ＋ ∈ ， ， （１） ， ；
２ ４ [ ４ ] ４ 将ｙ ｆ ｘ 的图象向左平移φ φ 个单位后得到函数
（２） ＝ （ ） （０＜ ＜π）
由正弦函数ｙ ＝ｓｉｎ ｘ在 π ４ ， ５ ４ π 上的图象知 ， ｙ ＝ ｇ （ ｘ ） 的图象 ， 若ｙ ＝ ｇ （ ｘ ） 图象上各最高点到点 （０，３） 的
距离的最小值为 求ｙ ｇ ｘ 的单调递增区间．
当 ｘ π π 即ｘ π时 ｆ ｘ 取最大值 １， ＝ （ ）
２ ＋ ＝ ， ＝ ， （ ） ２＋１； 解析 由题意知ｆ ｘ ａ ｂ ｍ ｘ ｎ ｘ．
４ ２ ８ （１） （ ）＝ · ＝ ｓｉｎ２ ＋ ｃｏｓ２
( ) ( )
当 ｘ π ５π 即ｘ π时 ｆ ｘ 取最小值 ． 因为ｙ ｆ ｘ 的图象经过点 π 和 ２π
２ ＋ ＝ ， ＝ ， （ ） ０ ＝ （ ） ， ３ ，－２ ，
４ ４ ２ １２ ３
[ ] ì
综上 ， ｆ （ ｘ ） 在 ０， π 上的最大值为 ２＋１， 最小值为 ０ ． ï ï ３＝ ｍ ｓｉｎ π ＋ ｎ ｃｏｓ π ，
２ 所以í ６ ６
评析 本题考查三角恒等变换，三角函数的周期性及最值． ï
ï ｍ ４π ｎ ４π
３１．（２０１５湖北理，１７，１１分）某同学用 五点法 画函数ｆ ｘ î－２＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ，
“ ” （ ）＝ ３ ３
( ) ì
ï
Ａ ωｘ φ ω φ π 在某一个周期内的图象时 列表 １ ｍ ３ｎ
ｓｉｎ（ ＋ ） ＞０，｜ ｜＜ ， ï ３＝ ＋ ，
２ 即í ２ ２
并填入了部分数据 如下表 ï
， ： ï ３ｍ １ ｎ
î－２＝－ － ，
ωｘ φ π ３π ２ ２
＋ ０ ２ π ２ ２π 解得ｍ ｎ ．
＝ ３， ＝１
( )
ｘ π ５π
由 知ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ π ．
３ ６ （２） （１） （ ）＝ ３ｓｉｎ２ ＋ｃｏｓ２ ＝２ｓｉｎ ２ ＋
６
Ａ ｓｉｎ（ ωｘ ＋ φ ） ０ ５ －５ ０ ( )
由题意知ｇ ｘ ｆ ｘ φ ｘ φ π ．
请将上表数据补充完整 并直接写出函数ｆ ｘ 的解析式 （ ）＝ （ ＋ ）＝２ｓｉｎ ２ ＋２ ＋
（１） ， （ ） ； ６
２９８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
设ｙ ｇ ｘ 的图象上符合题意的最高点为 ｘ [ ｋ ｋ ]
＝ （ ） （ ０，２）， 所以 函数 ｆ ｘ 的单调递增区间为 π ２ π π ２ π
由题意知ｘ２
０＋１＝１，
所以ｘ
０＝０，
， （ ） －
４
＋
３
，
１２
＋
３
，
即到点 的距离为 的最高点为 ． ｋ Ｚ．
（０，３） １ （０，２） ∈
( ) ( ) ( )
将其代入ｙ ｇ ｘ 得 φ π 由已知 有 α π ４ α π ２α ２α
＝ （ ） ｓｉｎ ２ ＋ ＝１， （２） ， ｓｉｎ ＋ ＝ ｃｏｓ ＋ （ｃｏｓ －ｓｉｎ ），
６ ４ ５ ４
因为 φ 所以φ π． 所以 α π α π
０＜ ＜π， ＝ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ
( ６ ) ( ４ ４ )
因此ｇ （ ｘ ）＝２ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π ＝２ｃｏｓ２ ｘ． ＝ ４ ｃｏｓ α ｃｏｓ π －ｓｉｎ α ｓｉｎ π （ｃｏｓ ２α －ｓｉｎ ２α ） ．
２ ５ ４ ４
由 ２ ｋ π－π≤２ ｘ ≤２ ｋ π， ｋ ∈ Ｚ ， 得ｋ π－ π ≤ ｘ ≤ ｋ π， ｋ ∈ Ｚ ， 即 ｓｉｎ α ＋ｃｏｓ α ＝ ５ ４ （ｃｏｓ α －ｓｉｎ α ） ２ （ｓｉｎ α ＋ｃｏｓ α ） ．
２
[ ]
所以函数ｙ ｇ ｘ 的单调递增区间为 ｋ π ｋ ｋ Ｚ． 当 ｓｉｎ α ＋ｃｏｓ α ＝０ 时 ， 由 α 是第二象限角 ， 知 α ＝ ３π ＋２ ｋ π，
＝ （ ） π－ ， π ， ∈ ４
２
ｋ Ｚ．
３３．（２０１４重庆理，１７，１３ 分）已知函数 ｆ ｘ ωｘ φ ∈
( ) （ ）＝ ３ｓｉｎ（ ＋ ） 此时 α α ．
，ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝－ ２
ω π φ π 的图象关于直线ｘ π对称 且图象上相
＞０，－ ２ ≤ ＜ ２ ＝ ３ ， 当 ｓｉｎ α ＋ｃｏｓ α ≠０ 时 ， 有 （ｃｏｓ α －ｓｉｎ α ） ２ ＝ ５ ．
邻两个最高点的距离为 ． ４
π
求ω和φ的值
（１） ； 由α是第二象限角 知 α α 此时 α α ５．
， ｃｏｓ －ｓｉｎ ＜０， ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝－
( α ) ( ) ( ) ２
若ｆ ３ π α ２π 求 α ３π 的值．
（２） ２ ＝ ４ ６ ＜ ＜ ３ ， ｃｏｓ ＋ ２ 综上所述 α α 或 ５．
解析 因为 ｆ ｘ 的图象上相邻两个最高点的距离为 ，ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝－ ２ － ２
（１） （ ） 评析 本题主要考查正弦型函数的性质，二倍角与和差角公
π，
所以ｆ
（
ｘ
）
的最小正周期Ｔ
＝π，
从而ω
＝
２
Ｔ
π
＝２
． 式，简 单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考
查分类与整合、化归与转化等数学思想．
又因为ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ π对称 所以
（ ） ＝ ， ３５．（２０１４ 天津理，１５，１３ 分）已知函数 ｆ ｘ ｘ
３ （ ）＝ ｃｏｓ ·ｓｉｎ
( )
π φ ｋ π ｋ ．由 π φ π得ｋ ｘ π ２ｘ ３ ｘ Ｒ．
２· ＋ ＝ π＋ ， ＝０，±１，±２，… － ≤ ＜ ＝０， ＋ － ３ｃｏｓ ＋ ， ∈
３ ２ ２ ２ ３ ４
求ｆ ｘ 的最小正周期
所以φ π ２π π． （１） （ ） ；
＝ － ＝－ [ ]
２ ３ ６ 求ｆ ｘ 在闭区间 π π 上的最大值和最小值．
( α ) ( α ) （２） （ ） － ，
由 得ｆ π ３ ４ ４
（２） （１） ＝ ３ｓｉｎ ２· － ＝ ， 解析 由已知 有
２ ２ ６ ４ （１） ，
( ) æ ö
所以 α π １ ． ｆ ｘ ｘ ç １ ｘ ３ ｘ÷ ２ｘ ３
ｓｉｎ － ＝ （ ）＝ｃｏｓ ·è ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ø－ ３ｃｏｓ ＋
６ ４ ２ ２ ４
由π α ２π得 α π π
＜ ＜ ０＜ － ＜ ， １ ｘ ｘ ３ ２ｘ ３
６ ３ ６ ２ ＝ ｓｉｎ ·ｃｏｓ － ｃｏｓ ＋
２ ２ ４
( ) ( ) ( )
２
所以 ｃｏｓ α － π ＝ １－ｓｉｎ ２ α － π ＝ １－ １ ＝ １５． ＝ １ ｓｉｎ２ ｘ － ３ （１＋ｃｏｓ２ ｘ ）＋ ３
( ６ ) [( ６ ) ] ４ ４ ４ ４ ４
因此 α ３π α α π π
ｃｏｓ ＋ ＝ｓｉｎ ＝ｓｉｎ － ＋ １ ｘ ３ ｘ
２ ６ ６ ＝ ｓｉｎ２ － ｃｏｓ２
( ) ( ) ４ ４
( )
α π π α π π
＝ｓｉｎ － ｃｏｓ ＋ｃｏｓ － ｓｉｎ １ ｘ π ．
６ ６ ６ ６ ＝ ｓｉｎ ２ －
２ ３
１ ３ １５ １ ３＋ １５． 所以ｆ ｘ 的最小正周期Ｔ ２π ．
＝ × ＋ × ＝ （ ） ＝ ＝π
４ ２ ４ ２ ８ ２
( ) [ ]
３４．（２０１４四川理，１６，１２分）已知函数ｆ ｘ ｘ π ． 因为 ｆ ｘ 在区间 π π 上是减函数 在区间
（ ）＝ｓｉｎ ３ ＋ （２） （ ） － ，－ ，
４ ４ １２
求ｆ ｘ 的单调递增区间 [ ]
（１） （ ） ； π π 上是增函数
( α ) ( ) － ， ，
若 α 是第二象限角 ｆ ４ α π α 求 １２ ４
（２） ， ＝ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ２ ， ( ) ( ) ( )
３ ５ ４ ｆ π １ ｆ π １ ｆ π １
α α的值． － ＝－ ， － ＝－ ， ＝ ，
ｃｏｓ －ｓｉｎ ４ ４ １２ ２ ４ ４
解析 因为函数 ｙ ｘ 的单调递增区间为 [ ]
（１） ＝ ｓｉｎ 所以函数ｆ ｘ 在闭区间 π π 上的最大值为 １ 最小值
[ ] （ ） － ， ，
π ｋ π ｋ ｋ Ｚ． ４ ４ ４
－ ＋２ π， ＋２ π ， ∈
２ ２ 为 １ ．
－
由 π ｋ ｘ π π ｋ ｋ Ｚ 得 ２
－ ＋２ π≤３ ＋ ≤ ＋２ π， ∈ ， 评析 本题主要考查两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦
２ ４ ２
ｋ ｋ 与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识．考
π ２ π ｘ π ２ π ｋ Ｚ．
－ ＋ ≤ ≤ ＋ ， ∈ 查基本运算能力．
４ ３ １２ ３
专题五 三角函数与解三角形 ２９９
３６．（２０１４江西理，１６，１２分）已知函数ｆ ｘ ｘ θ ａ ｘ {ａ
（ ）＝ｓｉｎ（ ＋ ）＋ ｃｏｓ（ ＝－１，
( ) 解得
θ 其中ａ Ｒ θ π π ． θ π．
＋２ ）， ∈ ， ∈ － ， ＝－
２ ２ ６
３７．（２０１３北京文，１５，１３分）已知函数ｆ ｘ ２ｘ ｘ
当ａ θ π时 求ｆ ｘ 在区间 上的最大值与最 （ ）＝（２ｃｏｓ －１）ｓｉｎ ２
（１） ＝ ２， ＝ ， （ ） ［０，π］
４ １ ｘ．
小值 ＋ ｃｏｓ４
； ２
( ) 求ｆ ｘ 的最小正周期及最大值
若ｆ π ｆ 求ａ θ的值． （１） （ ） ；
（２） ＝０， （π）＝１， ， ( )
２ 若α π 且ｆ α ２ 求α的值．
解析 当ａ θ π时 （２） ∈ ２ ，π ， （ ）＝ ２ ，
（１） ＝ ２， ＝ ，
( ) ( ４ ) 解析 因为ｆ ｘ ２ｘ ｘ １ ｘ
（１） （ ）＝（２ｃｏｓ －１）ｓｉｎ２ ＋ ｃｏｓ４
ｆ ｘ ｘ π ｘ π ２
（ ）＝ｓｉｎ ＋ ＋ ２ｃｏｓ ＋
４ ２
ｘ ｘ １ ｘ
＝ｃｏｓ２ ｓｉｎ２ ＋ ｃｏｓ４
２ ｘ ｘ ｘ ２
＝ （ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ）－ ２ｓｉｎ ( )
２
１ ｘ ｘ ２ ｘ π
( ) ＝ （ｓｉｎ４ ＋ｃｏｓ４ ）＝ ｓｉｎ ４ ＋ ，
２ ｘ ２ ｘ π ｘ ２ ２ ４
＝ ｃｏｓ － ｓｉｎ ＝ｓｉｎ － ，
２ ２ [ ４ ] 所以ｆ ｘ 的最小正周期为π 最大值为 ２．
由ｘ 知π ｘ ３π π ． （ ） ２ ， ２
∈［０，π］， － ∈ － ，
４ ４ ４ ( )
因为ｆ α ２ 所以 α π ．
故ｆ ｘ 在 上的最大值为 ２ 最小值为 ． （２） （ ）＝ ２ ， ｓｉｎ ４ ＋ ４ ＝１
（ ） ［０，π］ ， －１ ( ) ( )
{ ( ) ２ 因为α π 所以 α π ９π １７π ．
ｆ π { θ ａ θ ∈ ２ ，π ， ４ ＋ ４ ∈ ４ ， ４
由 ＝０，得 ｃｏｓ （１－２ ｓｉｎ ）＝０，
（２） ２ ａ ２θ θ ａ 所以 α π ５π．故α ９π．
ｆ ２ ｓｉｎ －ｓｉｎ － ＝１， ４ ＋ ＝ ＝
( （π）＝１ ) ４ ２ １６
由θ π π 知 θ
∈ － ， ｃｏｓ ≠０，
２ ２
时间： 分钟 分值： 分
７０ ８５
一、单项选择题 每题 分 共 分 长度得到
（ ５ ， ２０ ）
１．（２０２１届福建三明第一中学第一次月考，２）下列函数中 周期
， 函数ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ π对称
为 的奇函数为 Ｂ． （ ） ＝
２π （ ） ３
ｘ ｘ [ ]
ｙ ｙ ２ｘ 函数ｆ ｘ 在区间 π π 上单调递增
Ａ． ＝ｓｉｎ ｃｏｓ Ｂ． ＝ｓｉｎ Ｃ． （ ） － ，
２ ２ ３ ３
ｙ ｘ ｙ ｘ ｘ ( )
Ｃ． ＝ｔａｎ２ Ｄ． ＝ｓｉｎ２ ＋ｃｏｓ２ π 是函数ｆ ｘ 图象的一个对称中心
答案 Ａ Ｄ． － ，０ （ ）
１２
２．（２０２１届山东枣庄第三中学第二次阶段测试，８）若不等式 ｘ 答案 Ｄ
（｜
( ) ４．（２０２０湖北襄阳四中３月月考，１０）已知函数ｆ ｘ Ａ ωｘ
ａ ｂ ｘ π 对ｘ 恒成立 则ａ ｂ等于 （ ）＝ ｓｉｎ（ ＋
－ ｜－ ）ｓｉｎ π ＋ ≤０ ∈［－１，１］ ， ＋ ( )
６ φ Ａ ω φ π 的部分图象如图所示 若ｆ ａ ｘ ｆ ａ
） ＞０， ＞０，｜ ｜＜ ， （ ＋ ）＋ （
（ ） ２
ｘ 则 ａ 的最小值为
２ ５ － ）＝０， ｜ ｜ （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．１ Ｄ．２
３ ６
答案 Ｂ
３．（２０２１届天津四十一中１０月质检，８）若函数ｆ ｘ Ａ ｘ
（ ）＝ ｓｉｎ（２ ＋
( )
φ Ａ φ π 的部分图象如图所示 则下列叙述正确的是
） ＞０，０＜ ＜ ，
２
（ ）
π π π ５π
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１２ ６ ３ １２
答案 Ａ
二、多项选择题 每题 分 共 分
（ ５ ， ２５ ）
５．（２０２１届山东枣庄第三中学第一次月考，９）下列函数中 最小
，
正周期为 的偶函数是
π （ ）
ｙ ｘ ｙ ｘ
函数ｆ ｘ 的图象可由ｙ Ａ ｘ的图象向左平移π个单位 Ａ． ＝ｔａｎ Ｂ． ＝｜ｓｉｎ ｜
Ａ． （ ） ＝ ｓｉｎ ２
６
３００ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
( ) ９．（２０２１届河北石家庄二中期中，１１）已知函数ｆ ｘ ａ ｘ
ｙ ｘ ｙ π ｘ （ ）＝（ ｓｉｎ ＋
Ｃ． ＝２ｃｏｓ Ｄ． ＝ｓｉｎ －２
２ ｘ ｘ １ 的图象的一条对称轴为ｘ π 则下列结论中正
答案 ＢＤ ｃｏｓ ）ｃｏｓ － ＝ ，
２ ６
６．（２０２１届湖南、河北新高考联考１０ 月质量检测，１０）已知函 确的是
（ ）
( ) ｆ ｘ 是最小正周期为 的奇函数
数ｆ ｘ ｘ π 则下列结论正确的是 Ａ． （ ） π
（ ）＝ｓｉｎ ２ － ， （ ） ( )
６ ７π 是ｆ ｘ 图象的一个对称中心
ｆ ｘ 的最小正周期为 Ｂ． － ，０ （ ）
Ａ． （ ） π １２
[ ]
ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ ７ 对称 ｆ ｘ 在 π π 上单调递增
Ｂ． （ ） ＝－ π Ｃ． （ ） － ，
６ ３ ３
( )
ｆ ｘ 在 π π 上单调递增 先将函数ｙ ｘ图象上各点的纵坐标缩短为原来的 １
Ｃ． （ ） － ， Ｄ． ＝２ｓｉｎ２ ，
４ ６ ２
( )
ｙ ｆ ｘ ｆ ｘ π 的最小值为 然后把所得函数图象再向左平移 π 个单位长度 即可得到
Ｄ． ＝ （ ）＋ ＋ － ２ ，
４ １２
答案 ＡＢＤ 函数ｆ ｘ 的图象
（ ）
７．（２０２０ 山东滨州三模，１０）已知曲线 Ｃ ｙ ｘ Ｃ ｙ 答案 ＢＤ
１： ＝３ｓｉｎ ， ２： ＝
( )
ｘ π 则下面结论正确的是 三、填空题 共 分
３ｓｉｎ ２ ＋ ， （ ） （ ５ ）
４ １０．（２０２０ 湖南长沙明德中学 ３ 月月考，１５）设函数 ｆ ｘ
（ ）＝
把Ｃ 上各点的横坐标变为原来的 １ 纵坐标不变 再把得 ( )
Ａ． １ ， ， ωｘ φ ω φ π 的图象与 ｙ 轴交点的纵坐标为
２ ｓｉｎ（ ＋ ） ＞０，０＜ ＜
２
到的曲线向左平移π个单位长度 得到曲线Ｃ
， ２ ３ ｙ 轴右侧第一个最低点的横坐标为 π 则 ω 的值为
８ ， ，
２ ６
把Ｃ 上各点的横坐标变为原来的 １ 纵坐标不变 再把得 ．
Ｂ． １ ， ，
２ 答案
到的曲线向左平移π个单位长度 得到曲线Ｃ ７
， ２ 四、解答题 共 分
４ （ ３５ ）
把Ｃ 向左平移π个单位长度 再把得到的曲线上各点的横 １１．（２０２１届山东枣庄第三中学第一次月考，１９）已知函数ｆ
（
ｘ
）
Ｃ． １ ， ( ) ( )
４
ｘ π ｘ ｘ π ．
坐标变为原来的 １ 纵坐标不变 得到曲线Ｃ ＝４ｔａｎ ｓｉｎ ２ － ｃｏｓ － ３ － ３
２ ， ， ２ 求ｆ ｘ 的定义域与最小正周期
（１） （ ） ；
[ ]
Ｄ．
把Ｃ
１
向左平移π
８
个单位长度
，
再把得到的曲线上各点的横
（２） 讨论ｆ （ ｘ ） 在区间 － π ， π 上的单调性．
４ ４
坐标变为原来的 １ ２ ， 纵坐标不变 ， 得到曲线Ｃ ２ １２．（２０２ ｘ ０山 ｘ 东泰 ４ 安 ｘ． 肥城一模，１７）已知函数 ｆ （ ｘ ）＝ ｃｏｓ ４ｘ －
答案 ＡＣ ２ｓｉｎ ｃｏｓ －ｓｉｎ
求ｆ ｘ 的单调递增区间
８．（２０２１届广东珠海摸底考试，１０）如图是函数ｆ ｘ Ａ ωｘ （１） （ ） [ ] ；
（ ）＝ ｓｉｎ（ ＋
φ ω 的部分图象 则 求ｆ ｘ 在 π 上的最小值及取最小值时ｘ的集合．
）（ ＞０） ， （ ） （２） （ ） ０，
２
１３．（２０２１届福建三明第一中学第一次月考，１８）已知函数ｆ ｘ
（ ）
( ｘ ｘ )
ａ ｂ 其 中 向 量 ａ ｂ
＝ ２ · ＋ １， ＝ ３ｓｉｎ ，ｃｏｓ ，
２ ２
( ｘ ｘ )
．
＝ ｃｏｓ ，－ｃｏｓ
２ ２
若 ＡＢＣ为锐角三角形 求ｆ Ａ 的取值范围
（１） △ ， （ ） ；
保持ｙ ｆ ｘ 图象上每点的纵坐标不变 将横坐标缩小到
（２） ＝ （ ） ，
( ) ( ) 原来的一半得到函数ｙ ｇ ｘ 的图象 求ｙ ｇ ｘ 在区间
ｆ ｘ １ ｘ π ｆ ｘ １ ｘ π ＝ （ ） ， ＝ （ ）
Ａ． （ ）＝２ｓｉｎ ＋ Ｂ． （ ）＝２ｓｉｎ ＋ [ ]
( ２ ４ ) ２ ２ π 上的单调递增区间．
０，
ｆ ｘ １ ｘ π ｆ ｘ １ ｘ ２
Ｃ． （ ）＝－２ｓｉｎ － Ｄ． （ ）＝２ｃｏｓ
２ ２ ２
答案 ＢＣＤ
专题五 三角函数与解三角形 ３０１
１．（２０１７陕西师大附中二模）函数ｆ （ ｘ ）＝ｓｉｎ（２ ｘ ＋ φ ）＋ ３ｃｏｓ（２ ｘ ＋ 根据图象对称性知ｘ ｘ π ７π ８π
φ 是偶函数的充要条件是 １＋ ２＝ ３ ＋ ３ ＝ ３ ，
） （ ） ( )
所以ｆ ｘ ｘ ｆ ８π ７π ３ ．
Ａ．
φ
＝
ｋ
π＋
π
，
ｋ
∈
Ｚ
Ｂ．
φ
＝２
ｋ
π＋
π
，
ｋ
∈
Ｚ （ １＋ ２）＝
３
＝３ｓｉｎ
６
＝－
２
６ ６ ４．（２０２０ 湖南永州祁阳二模，７）已知 ω 函数 ｆ ｘ
＞０， （ ）＝
φ ｋ π ｋ Ｚ φ ｋ π ｋ Ｚ ( ) ( )
Ｃ． ＝ π＋ ３ ， ∈ Ｄ． ＝２ π＋ ３ ， ∈ ｃｏｓ ωｘ － π 在 π ，π 上单调递减 ， 则ω的取值范围是
答案 Ａ 函数 ｆ ｘ ｘ φ ｘ φ ６ ２
∵ （ ）＝ ｓｉｎ（２ ＋ ）＋ ３ｃｏｓ（２ ＋ ）＝
( ) （ ）
ｘ φ π 是偶函数 φ π ｋ ｋ Ｚ 即φ ｋ π ｋ [ ] [ ]
２ｃｏｓ ２ ＋ － ，∴ － ＝ π， ∈ ， ＝ π＋ ， １ ５ １ ７
６ ６ ６ Ａ． ， Ｂ． ，
Ｚ．故选 ２ ４ ３ ６
∈ Ａ． ( ] [ ]
２．（２０１９ 河北衡水中学 ３ 月全国大联考，９）将曲线 Ｃ ｙ １ １ １３
１： ＝ Ｃ． ０， Ｄ． ，
( ) ６ ６ ６
ｘ π 上的点向右平移π个单位长度 再将各点横坐标 答案 Ｂ 本题考查了余弦型函数的单调区间 余弦型函数
２ｃｏｓ ２ － ， ，
６ ６ 的周期．
缩短为原来的 １ 纵坐标不变 得到曲线Ｃ 则Ｃ 的方程为
， ， ２， ２ 令 ｋ ωｘ π ｋ ｋ Ｚ
２ ２ π≤ － ≤２ π＋π（ ∈ ），
６
（ ）
( ) ｋ π ｋ ７π
Ａ． ｙ ＝２ｓｉｎ４ ｘ Ｂ． ｙ ＝２ｓｉｎ ４ ｘ － π 得 ２ π＋ ６ ｘ ２ π＋ ６ ｋ Ｚ 因为函数ｆ ｘ 在 ( π ) 上
３ ω ≤ ≤ ω （ ∈ ）， （ ） ，π
( ) ２
Ｃ． ｙ ＝２ｓｉｎ ｘ Ｄ． ｙ ＝２ｓｉｎ ｘ － π ３ ì ï ï２ ｋ π＋ π
( ) ï ω ６ ≤ π ，
答案 Ａ 将曲线Ｃ ｙ ｘ π 上的点向右平移 π 单调递减 所以í ２ 其中 ｋ Ｚ 解得 ｋ １ ω
１： ＝２ｃｏｓ ２ － ６ ６ ， ï ｋ ７π ∈ ， ４ ＋ ３ ≤ ≤
个单位长度 可得ｙ ｘ的图象 再将各点横坐标缩短为 ï２ π＋
， ＝２ｓｉｎ ２ ， ï ６
î ω ≥π，
原来的 １ 纵坐标不变 可得曲线Ｃ ｙ ｘ 故选 ．
， ， ２： ＝２ｓｉｎ４ ， Ａ ( )
２ ｋ ７ ｋ Ｚ ．又因为函数ｆ ｘ 在 π 上单调递减 所以Ｔ
３．（２０１９贵州贵阳第一次适应性考试，８）已知函数 ｆ ｘ ２ ＋ （ ∈ ） （ ） ，π ，
（ ）＝ ６ ２
( )
Ａ ωｘ φ Ａ ω φ π 的部分图象如图所示 点 ω 又ω 所以ｋ 故有 １ ω ７ ．故选
ｓｉｎ（ ＋ ） ＞０， ＞０，｜ ｜＜ ， ≥π⇒ ≤２， ＞０， ＝０， ≤ ≤ Ｂ．
２ ３ ６
( ) ( ) ( ) ( ) 方法总结 对于函数ｆ ｘ Ａ ωｘ φ 或ｆ ｘ Ａ ωｘ
３ π ７π 在图象上 若ｘ ｘ π ７π ｘ （ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ）（ （ ）＝ ｃｏｓ（ ＋
０，－ ， ，０ ， ，０ ， １， ２∈ ， ， １ φ ω 如果它在区间 ａ ｂ 上单调 那么基本的处理方法
２ ３ ３ ３ ３ ））（ ＞０）， （ ， ） ，
ｘ 且ｆ ｘ ｆ ｘ 则ｆ ｘ ｘ 是先求出ｆ ｘ 单调区间的一般形式 利用 ａ ｂ 是单调区间的
≠ ２， （ １）＝ （ ２）， （ １＋ ２）＝ （ ） （ ） ， （ ， ）
子集得到ω满足的不等式组 利用ω 和不等式组有解确定
， ＞０
整数ｋ的值即可．
(
５．（２０１８河南六市第一次联考，５）已知函数 ｆ ｘ ωｘ
（ ）＝ ２ｓｉｎ ＋
) ( )
π ω 的图象与函数ｇ ｘ ｘ φ φ π 的图象
（ ＞０） （ ）＝ｃｏｓ（２ ＋ ） ｜ ｜＜
６ ２
的对称中心完全相同 则φ为
， （ ）
３ ３ π π
Ａ．３ Ｂ． Ｃ．０ Ｄ．－ Ａ． Ｂ．－
２ ２ ６ ６
答案 Ｄ 由图可知函数 ｙ ｆ ｘ 的周期为 Ｔ
＝ （ ） ＝ ２× π π
( ) Ｃ． Ｄ．－
７π π 所以ω １ ３ ３
－ ＝４π， ＝ ， ( )
３ ３ ２ 答案 Ｄ 因为函数ｆ ｘ ωｘ π ω 的图象与函
( ) ( ) （ ）＝２ｓｉｎ ＋ （ ＞０）
又点 π ３ 在函数 ｙ ｆ ｘ 图象上 所以 ６
，０ ， ０，－ ＝ （ ） ， ( )
３ ２ 数ｇ ｘ ｘ φ φ π 的图象的对称中心完全相同
ì ( ) （ ）＝ｃｏｓ（２ ＋ ） ｜ ｜＜ ，
ïＡ π φ ２
ï ｓｉｎ ＋ ＝０，
í ６ 且 φ π 所以φ π Ａ 所以ω φ π π ｋ ｋ Ｚ
ï ｜ ｜＜ ， ＝－ ， ＝３， ＝２， ＝ － ＋ π（ ∈ ），
ïＡ φ ３ ２ ６ ６ ２
î ｓｉｎ ＝－ ，
２ 即φ π ｋ ｋ Ｚ φ π φ π 故选
( ) ＝－ ＋ π（ ∈ ），∵ ｜ ｜＜ ，∴ ＝－ ， Ｄ．
则ｆ ｘ １ ｘ π ３ ２ ３
（ ）＝３ｓｉｎ － ， ６．（２０１９湖南衡阳高中毕业班联考（二），４）将函数ｆ ｘ 的图象
２ ６ （ ）
( )
ｘ ｘ π ７π ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 向右平移π个单位长度 再将所得函数图象上的所有点的横
１， ２∈ ， ， １≠ ２， （ １）＝ （ ２）， ，
３ ３ ６
３０２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
坐标缩短到原来的 ２ 得到函数 ｇ ｘ Ａ ωｘ φ 当 ｆ ｍ ｆ ｎ 时 ｍ ｎ 的最小值为π １ ２π ω
， （ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ） ｜ （ ）－（ ）｜＝４ ，｜ － ｜ ＝ ·ω，∴ ＝
３ ３ ２
( ) ( )
Ａ ω φ π 的图象．已知函数ｇ ｘ 的部分图象如图所 故ｆ ｘ ｘ π ．
＞０， ＞０，｜ ｜＜ （ ） ３， （ ）＝２ｓｉｎ ３ ＋
２ ６
示 则函数ｆ ｘ 的 将函数ｆ ｘ 的图象向右平移φ φ 个单位长度后 得到ｙ
， （ ） （ ） （ ） （ ＞０） ， ＝
( )
ｘ φ π 的图象．根据所得函数图象关于ｙ轴对称 可
２ｓｉｎ ３ －３ ＋ ，
６
ｋ
得 φ π ｋ π ｋ Ｚ 即φ π π ｋ Ｚ 令ｋ 可
－３ ＋ ＝ π＋ ， ∈ ， ＝－ － ， ∈ ， ＝－１，
６ ２ ３ ９
得φ的最小值为２π．
９
( )
９．（２０１９海南文昌中学三模，１６）若函数ｆ ｘ ωｘ π ω
（ ）＝ｓｉｎ ＋ （０＜ ＜
最小正周期为 ２ 最大值为 ６
Ａ． π， ２ 在区间 内有最值 则ω的取值范围为 ．
３ ( ) １） （ ( π，２π） ) ( ， )
最小正周期为 图象关于点 π 中心对称 答案 １ １ ２
Ｂ． π， ，０ ， ∪ ，１
６ ６ ３ ３
最小正周期为 ２ 图象关于直线ｘ π对称 解析 若函数ｆ ｘ 有最值 则ωｘ π ｋ π ｋ Ｚ
Ｃ． π， ＝ （ ） ， ＋ ＝ π＋ ， ∈ ，
３ [ ] ６ ( ) ６ ２
最小正周期为 在区间 π π 上单调递减 即ωｘ ｋ π 即ｘ １ ｋ π ｋ Ｚ
Ｄ． π， ， ＝ π＋ ， ＝ ω π＋ ， ∈ ，
６ ３ ( ) ３ ３
答案 Ｄ 对于 ｇ ｘ 由题图可知 Ａ Ｔ ２π π ∵ ｆ （ ｘ ） 在区间 （π，２π） 内有最值 ，
（ ）， ， ＝２， ＝４ － ＝ ( )
９ １８
( ) １ ｋ π
２π ，∴ ω ＝ ２ Ｔ π ＝３ ．则ｇ （ ｘ ）＝２ｓｉｎ（３ ｘ ＋ φ ）， 又由ｇ ２π ＝２ 可得φ ∴ π＜ω ( π＋ ３ ) ＜２π，
３ ９
即 １ ｋ １ 即ω ｋ １ ω
＝－ π ＋２ ｋ π， ｋ ∈ Ｚ ， 而 ｜ φ ｜＜ π ，∴ φ ＝－ π． １＜ω ＋ ３ ＜２， ＜ ＋ ３ ＜２ ，
６ ( ) ２ ( ６ ) ì ï ï ω ＜ ｋ ＋ １ ，
∴ ｇ （ ｘ ）＝２ｓｉｎ ３ ｘ － π ，∴ ｆ （ ｘ ）＝２ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π ． 则í ３ ｋ Ｚ 由ｋ １ 得ｋ １ 当ｋ 时 １ ω
６ ６ ï ｋ ∈ ， ＋ ＞０ ＞－ ， ＝０ ， ＜ ＜
ｆ ｘ 的最小正周期为 选项 错误． î ïω ＞ ＋ １ ， ３ ３ ６
∴ （ ） π， Ａ，Ｃ ２ ６
ｋ
对于选项 Ｂ， 令 ２ ｘ ＋ π ＝ ｋ π（ ｋ ∈ Ｚ ）， 所以ｘ ＝ π － π ， ｋ ∈ Ｚ ， 所以 １ ， 当ｋ ＝１ 时 ， ２ ＜ ω ＜ ４ ，∵０＜ ω ＜１，∴ ２ ＜ ω ＜１，
６ ２ １２
(ｋ ) ３ ３ ３ ３
函数ｆ （ ｘ ） 图象的对称中心为 π － π ，０ （ ｋ ∈ Ｚ ）， 所以选项 Ｂ 综上所述 １ ω １ 或 ２ ω
２ １２ ， ＜ ＜ ＜ ＜１，
[ ] [ ] ６ ３ ３
错误 ； 当 ｘ ∈ π ， π 时 ，２ ｘ ＋ π ∈ π ， ５π ， 所以 ｆ （ ｘ ） 在 １０．（２０１６宁夏育才中学第四次月考，１６）关于函数ｆ （ ｘ ）＝ｃｏｓ ２ ｘ
６ ３ ６ ２ ６ ｘ ｘ有下列命题
[ ] －２ ３ｓｉｎ ｃｏｓ ：
π π 上是减函数 所以选项 正确．故选 若存在ｘ ｘ 有ｘ ｘ 则ｆ ｘ ｆ ｘ 成立
， ， Ｄ Ｄ． ① １， ２ １－ ２＝π， （ １）＝ （ ２） ；
６ ３ [ ]
７．（２０１９北京西城一模，１１）函数ｆ ｘ ｘ ｘ的最小正 ｆ ｘ 在区间 π π 上单调递增
（ ）＝ｓｉｎ ２ ＋ｃｏｓ ２ ②（ ） － ， ；
周期Ｔ 如果对于任意的ｘ Ｒ都有ｆ ｘ ａ 那么 ６ ３
＝ ； ∈ （ ）≤ ， ( )
实数ａ的取值范围是 ． 函数ｆ ｘ 的图象关于点 π 中心对称
③ （ ） ，０ ；
答案 １２
π；［ ２，＋∞） ( ) 将函数ｆ ｘ 的图象向左平移５π个单位后将与ｙ ｘ的
解析 ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ π ④ （ ） １２ ＝２ｓｉｎ２
∵ （ ）＝ｓｉｎ２ ＋ｃｏｓ２ ＝ ２ｓｉｎ ２ ＋
４
， 图象重合．
Ｔ ２π ２π ． 其中正确命题的序号是 ． 把你认为正确命题的序号
∴ ＝ ω ＝ ＝π （
｜ ｜ ２ 都填上
( ) ）
ｆ ｘ ｘ π 答案
∵ （ ）＝ ２ｓｉｎ ２ ＋ ≤ ２， ①③
４ ( )
∴ ａ ≥ ２ ． ∴ 实数ａ的取值范围是 ［ ２，＋∞） ． 解析 ｆ （ ｘ ）＝２ｃｏｓ ２ ｘ ＋ π ３ ， 可知函数的最小正周期Ｔ ＝π，
８．（２０２０河南六市一模，１５）已知函数 ｆ ｘ ωｘ ωｘ [ ]
（ ）＝ ３ｓｉｎ ＋ｃｏｓ 所以 正确 当ｘ π π 时 ｘ π 因为 ｙ
① ； ∈ － ， ，２ ＋ ∈［０，π］， ＝
ω 当 ｆ ｍ ｆ ｎ 时 ｍ ｎ 的最小值为π 若将函 ６ ３ ３
（ ＞０）， ｜ （ ）－（ ）｜＝４ ，｜ － ｜ ， [ ]
３ ｘ在 上是减函数 所以ｆ ｘ 在区间 π π 上单
数ｆ ｘ 的图象向右平移φ φ 个单位长度后所得函数图象 ｃｏｓ ［０，π］ ， （ ） － ，
（ ） （ ＞０） ６ ３
关于ｙ轴对称 则φ的最小值为 ． ( )
， 调递减 所以 错误 因为ｆ π π 所以 正确
， ② ； ＝２ｃｏｓ ＝０， ③ ；
答案 ２π １２ ２
( ) ( ) ( )
９ 因为ｆ ｘ ５π ｘ ５π π ｘ π ｘ
( ) ＋ ＝２ｃｏｓ ２ ＋ ＋ ＝－２ｃｏｓ ２ ＋ ≠２ｓｉｎ ２ ，
解析 函数ｆ ｘ ωｘ ωｘ ωｘ π ω １２ ６ ３ ６
（ ）＝ ３ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ ＋ （ ＞０）， 故 错误 故答案为 ．
６ ④ ， ①③
专题五 三角函数与解三角形 ３０３
( [ ]
１１．（２０１８ 北京海淀二模，１６）已知函数 ｆ ｘ ｘ ｘ 因为ｘ 所以 ｘ π π １１π ．
（ ）＝ ２ｃｏｓ ｓｉｎ － ∈［０，π］， ２ － ∈ － ，
６ ６ ６
) 列表如下
π ３． ：
＋
３ ２ ｘ π π π ３π １１π
写出ｆ ｘ 图象的相邻两条对称轴间的距离 ２ － － ０ π
（１） （ ） ； ６ ６ ２ ２ ６
若函数ｆ ｘ 在区间 α 上单调递增 求α的最大值．
（２） （ ） ［０， ］ ， ｘ π π ７π ５π
æ ö ０ π
解析 ｆ ｘ ｘç １ ｘ ３ ｘ÷ ３ １２ ３ １２ ６
（１） （ ）＝２ｃｏｓ è ｓｉｎ － ｃｏｓ ø＋ ｆ ｘ
２ ２ ２ （ ） －１ ０ ２ ０ －２ －１
ｘ ｘ ２ｘ ３
＝ｓｉｎ ｃｏｓ － ３ｃｏｓ ＋
２
ｘ
１ ｘ １＋ｃｏｓ２ ３
＝ ｓｉｎ２ － ３· ＋
２ ２ ２
( )
１ ｘ ３ ｘ ｘ π ．
＝ ｓｉｎ２ － ｃｏｓ２ ＝ｓｉｎ ２ －
２ ２ ３
所以函数ｆ ｘ 的最小正周期Ｔ ２π ．
（ ） ＝ ＝π
２
Ｔ
所以ｆ ｘ 图象的相邻两条对称轴间的距离为 即π．
（ ） ，
２ ２
分
（６ ）
( )
( )
（２） 由 （１） 可知ｆ （ ｘ ）＝ｓｉｎ ２ ｘ － π ３ ． １３．（２０１９四川绵阳一诊，１８）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ ３ｓｉｎ ２ ｘ － π ＋
[ ] ３
当ｘ ∈［０， α ］ 时 ，２ ｘ － π ∈ － π ，２ α － π ． ２ｘ 将函数ｆ ｘ 的图象向右平移π个单位 再向下平移
３ ３ ３ ４ｃｏｓ ， （ ） ， ２
[ ] ６
因为ｙ ｘ在 π π 上单调递增 且ｆ ｘ 在 α 上单 个单位 得到函数ｇ ｘ 的图象．
＝ｓｉｎ － ， ， （ ） ［０， ］ ， （ ）
２ ２ 求ｇ ｘ 的解析式
调递增 （１） （ ） ；
[ ]
，
[ ] [ ] 求ｇ ｘ 在 π ２π 上的单调递减区间及值域．
所以 π α π π π （２） （ ） ，
－ ，２ － ⊆ － ， ， ６ ３ ( )
３ ３ ２ ２
{α
＞０，
解析
（１）
ｆ
（
ｘ
）＝ ３ｓｉｎ ２
ｘ
－
π
＋４ｃｏｓ
２ｘ
所以 解得 α ５ ． ( ３ )
α π π ０＜ ≤ π
２ － ３ ≤ ２ ， １２ ＝ ３ ｓｉｎ２ ｘ ｃｏｓ π －ｃｏｓ２ ｘ ｓｉｎ π ＋２（１＋ｃｏｓ２ ｘ ）
３ ３
故α的最大值为 ５ ． 分
π （１３ ） ３ ｘ ３ ｘ ｘ
１２ ＝ ｓｉｎ２ － ｃｏｓ２ ＋２ｃｏｓ２ ＋２
１２．（２０１９ 北京东城一模文，１５）已知函数 ｆ ｘ ｘ ２ ２
（ ）＝ ４ｃｏｓ · ( )
( ) ３ ｘ １ ｘ ｘ π ．
ｘ π ． ＝ ｓｉｎ２ ＋ ｃｏｓ２ ＋２＝ｓｉｎ ２ ＋ ＋２
ｓｉｎ － ＋１ ２ ２ ６
６ [ ( ) ]
( ) 由题意得ｇ ｘ ｘ π π
求ｆ ２π 的值 （ ）＝ｓｉｎ ２ － ＋ ＋２－２，
（１） ； ６ ６
３ ( )
求ｆ ｘ 的最小正周期 并画出 ｆ ｘ 在区间 上的 化简得ｇ ｘ ｘ π ．
（２） （ ） ， （ ） ［０，π］ （ ）＝ｓｉｎ ２ －
图象． ６
( ) ( ) 由π ｘ ２π 可得π ｘ π ７π．
解析 ｆ ２π ２π ２π π ２π π （２） ≤ ≤ ， ≤２ － ≤
（１） ＝４ｃｏｓ ｓｉｎ － ＋１＝４ｃｏｓ ｓｉｎ ６ ３ ６ ６ ６
３ ３ ３ ６ ３ ２
( ) 当π ｘ π ７π即π ｘ ２π时 函数ｇ ｘ 单调递减．
１ ． 分 ≤２ － ≤ ≤ ≤ ， （ ）
＋１＝４× － ×１＋１＝－１ （３ ） ２ ６ ６ ３ ３
２ [ ] [ ]
( ) ｇ ｘ 在 π ２π 上的单调递减区间为 π ２π ．
ｆ ｘ ｘ ｘ π ∴ （ ） ， ，
（２） （ ）＝４ｃｏｓ ｓｉｎ － ＋１ ６ ３ ３ ３
６ [ ] [ ]
( ) ｇ ｘ 在 π π 上单调递增 在 π ２π 上单调递减
ｘ ｘ π ｘ π ∵ （ ） ， ， ， ，
＝４ｃｏｓ ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ｓｉｎ ＋１ ６ ３ ３ ３
６ ６ ( ) ( )
æ ö ｇ ｘ ｇ π π ．
ｘç ３ ｘ １ ｘ÷ ∴ （ ）ｍａｘ＝ ＝ｓｉｎ ＝１
＝４ｃｏｓ è ｓｉｎ － ｃｏｓ ø＋１ ( ) ３ ( ２ ) ( )
２ ２
又ｇ ２π ７π π π １ ｇ π
ｘ ｘ ２ｘ ｘ ｘ ＝ｓｉｎ ＝ｓｉｎ π＋ ＝－ｓｉｎ ＝－ ＜ ＝
＝２ ３ｓｉｎ ｃｏｓ －２ｃｏｓ ＋１＝ ３ｓｉｎ２ －ｃｏｓ２ ３ ６ ６ ６ ２ ６
æ ö ( )
ç ３ ｘ １ ｘ÷ ｘ π ． 分 π １ １ ｇ ｘ
＝２è ｓｉｎ２ － ｃｏｓ２ ø＝２ｓｉｎ ２ － （９ ） ｓｉｎ ＝ ，∴ － ≤ （ ）≤１，
２ ２ ６ ６ ２ ２
[ ] [ ]
所以ｆ ｘ 的最小正周期Ｔ ２π ． 分 即ｇ ｘ 在 π ２π 上的值域为 １ ．
（ ） ＝ ＝π （１０ ） （ ） ， － ，１
２ ６ ３ ２
