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5.3 三角函数的图象及性质
基础篇
考点 一 三角函数的图象及其变换 ω
ｆ １ 相位 ωｘ φ 初相 φ.
＝ Ｔ ＝ ꎬ : ＋ ꎬ :
1. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 ２π
4.
由函数 ｙ ｘ 的图象通过变换得到 ｙ
正弦函数ｙ ｘ ｘ 的图象中 五个关 ＝ｓｉｎ ＝
１) ＝ｓｉｎ ꎬ ∈[０ꎬ２π] ꎬ Ａ ωｘ φ Ａ ω 图象的途径
æ ö æ ö ｓｉｎ( ＋ )( >０ꎬ >０)
键点 çπ ÷ ç３π ÷ . 先平移后伸缩
:(０ꎬ０)ꎬè ꎬ１øꎬ(πꎬ０)ꎬè ꎬ－１ø ꎬ(２πꎬ０) １)
２ ２
余弦函数ｙ ｘ ｘ 的图象中 五个关
２) ＝ｃｏｓ ꎬ ∈[０ꎬ２π] ꎬ
æ ö æ ö
键点 çπ ÷ ç３π ÷ .
:(０ꎬ１)ꎬè ꎬ０øꎬ(πꎬ－１)ꎬè ꎬ０øꎬ(２πꎬ１)
２ ２
2.
用“五点法”画 ｙ Ａ ωｘ φ Ａ ω 在
＝ ｓｉｎ( ＋ )( ꎬ ≠０)
一个周期内的简图
用五点法画 ｙ Ａ ωｘ φ Ａ ω 在一个
＝ ｓｉｎ( ＋ )( ꎬ ≠０)
先伸缩后平移
周期内的简图时 一般先列表 后描点 连线
２)
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
其中所列表如下
:
ωｘ φ π ３π
＋ ０ π ２π
２ ２
φ φ φ φ φ
ｘ π π－ ３π ２π－
－ω －ω＋ ω ω ω－ω ω
２ ２
ｙ Ａ
＝ Ａ Ａ
(ωｘ φ) ０ ０ － ０
ｓｉｎ ＋ 特别提醒
3.
ｙ Ａ ωｘ φ Ａ ω ｘ 表
＝ ｓｉｎ( ＋ )( >０ꎬ >０ꎬ ∈[０ꎬ＋∞))
１
.平移前后两个三角函数的名称如果不一致ꎬ应先利用
诱导公式化为同名函数. .ω为负时应先变成正值.
示一个振动量时 振幅 Ａ 周期 Ｔ ２π 频率 ２
ꎬ : ꎬ : ＝ ω ꎬ :
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
２６４
考点 二 三角函数的性质及其应用
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ
＝ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ＝ｔａｎ
{ }
定义域 Ｒ Ｒ ｘ ｘ ｋ πꎬｋ Ｚ
≠ π＋ ∈
２
图象
值域 [ ꎬ ] [ ꎬ ] Ｒ
－１ １ －１ １
对称轴:ｘ ｋ (ｋ Ｚ)ꎻ
对称轴:ｘ ｋ π(ｋ Ｚ)ꎻ ＝ π ∈ æｋ ö
对称性 ＝ π＋ ∈ æ ö 对称中心:ç πꎬ ÷(ｋ Ｚ) ２ 对称中心:çｋ πꎬ ÷(ｋ Ｚ) è ０ø ∈
对称中心:(ｋ ꎬ )(ｋ Ｚ) è π＋ ０ø ∈ ２
π ０ ∈ ２续表
函数 ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ
＝ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ＝ｔａｎ
最小正周期
２π ２π π
é
单调增区间: ê ê ｋ πꎬ ｋ
ë２ π－ ２ π＋
２ 单调增区间:[ ｋ ꎬ ｋ ](ｋ æ ö
ù ２ π－π ２ π ∈ 单调增区间: çｋ πꎬｋ π ÷
单调性 π û ú ú (ｋ ∈ Ｚ)ꎻ单调减区间: Ｚ)ꎻ单调减区间:[ ２ ｋ π ꎬ ２ ｋ π＋π ] è π－ ２ π＋ ２ ø
２ (ｋ Ｚ) (ｋ Ｚ)
é ù ∈ ∈
êê ｋ πꎬ ｋ ３πúú(ｋ Ｚ)
ë２ π＋ ２ π＋ û ∈
２ ２
奇偶性 奇 偶 奇
特别提醒 .正切曲线相邻的两个对称中心之间距离的 倍是一
３ ２
.正弦曲线和余弦曲线相邻的两条对称轴之间距离的 个周期.
１ ２
倍是一个周期. .不能认为 ｙ ｘ 在定义域上为增函数ꎬ应在区间
４ ＝ｔａｎ
.正弦曲线和余弦曲线相邻的一条对称轴和一个对称 æ ö
２ çｋ πꎬｋ π÷(ｋ Ｚ)内为增函数.
è π－ π＋ ø ∈
中心之间距离的 倍是一个周期. ２ ２
４
专
题
五
三
角
函
数
与
解
三
角
形
２６５
综合篇
考法 一 根据图象确定函数解析式
右平移π个单位长度后得到图象对应的函数
求函数 ｙ Ａ ωｘ φ Ｂ Ａ ω φ ３
＝ ｓｉｎ( ＋ )＋ ( >０ꎬ >０ꎬ｜ ｜<π) 解析式为 ( )
解析式的方法与步骤
: æ ö
求 Ａ Ｂ 确定函数的最大值 Ｍ 和最小值 ｍ ｙ ｘ ｙ ç ｘ π÷
１) 、 ꎬ ꎬ Ａ. ＝ ２ｓｉｎ ２ Ｂ. ＝ ２ｓｉｎè２ ＋ ø
３
Ｍ ｍ Ｍ ｍ
则 Ａ － Ｂ ＋ . æ ö æ ö
＝ ꎬ ＝ ｙ ç ｘ π÷ ｙ ç ｘ π÷
２ ２ Ｃ. ＝ ２ｓｉｎè２ － ø Ｄ. ＝ ２ｓｉｎè２ － ø
３ ６
ω 由周期得到.
Ｔ
２)
解析 由题图知ꎬＡ ꎬ ７π π πꎬ解
利用峰点 谷点或零点列出关于 φ 的方程 ＝ ２ ＝ － ＝
３) 、 ꎬ ４ １２ ３ ４
结合 φ 的范围解得 φ 的值 所列方程如下
ꎬ : 得 Ｔ ꎬ所以 ω ２π ꎬ所以函数 ｆ(ｘ)
＝ π ＝ Ｔ ＝ ２ ＝
峰点 ωｘ φ π ｋ 谷点 ωｘ φ π ｋ .
: ＋ ＝ ＋２ πꎻ : ＋ ＝－ ＋２ π
( ｘ φ).
２ ２ ２ｓｉｎ ２ ＋
利用零点时 要区分该零点是升零点 还是
æ ö
ꎬ ꎬ 又函数图象经过点çπꎬ ÷(下降零点)ꎬ所以
降零点.升零点 图象上升时与 ｘ 轴的交点的 è ０ø
( ３
横坐标 ωｘ φ ｋ 降零点 图象下降时 æ ö
): ＋ ＝２ πꎻ ( ç π φ÷ ꎬ所以２π φ ｋ ꎬｋ Ｚꎬ
２ｓｉｎè２× ＋ ø ＝０ ＋ ＝２ π＋π ∈
与ｘ 轴的交点的横坐标 ωｘ φ ｋ . 以
３ ３
): ＋ ＝π＋２ π (
上 ｋ Ｚ φ ｋ πꎬｋ Ｚꎬ又 φ πꎬ所以 φ πꎬ所以
∈ ) ＝２ π＋ ∈ ０< < ＝
例1 ( 重庆十一中月考ꎬ )函数ｆ(ｘ) ３ ２ ３
２０２２ ５ ＝ æ ö
Ａ ( ωｘ φ ) ｆ(ｘ) ç ｘ π÷.将函数 ｆ(ｘ)的图象向右
ｓｉｎ ＋ ＝ ２ｓｉｎè２ ＋ ø
３
æ ö
çＡ ꎬω ꎬ φ π÷的部 é æ ö
è >０ >０ ０< < ø 平移π个单位长度后ꎬ得 ｙ ê ê çｘ π ÷
２ ＝ ２ｓｉｎ ë２ è － ø＋
３ ３
分图象如图所示ꎬ将其向
ù æ ö
π ú ú ç ｘ π÷的图象ꎬ故选 .
û＝ ２ｓｉｎè２ － ø Ｃ
３ ３
答案 Ｚ .其中 Ａ ω φ 为常数 Ａ ω .
Ｃ ) ꎬ ꎬ ꎬ ≠０ꎬ ≠０
例2 ( 全国甲文ꎬ ꎬ 分) 已知函数 3. 三角函数的周期性
２０２１ １５ ５
ｆ(ｘ) (ωｘ φ)的部分图象如图所示ꎬ则 求三角函数的最小正周期 一般先通过恒等
＝ ２ｃｏｓ ＋ ꎬ
æ ö 变换把解析式化为 ｙ Ａ ωｘ φ Ｂ 或 ｙ
ｆçπ÷ . ＝ ｓｉｎ( ＋ )＋ ＝
è ø ＝ Ａ ωｘ φ Ｂ 或 ｙ Ａ ωｘ φ Ｂ Ａ ω
２
ｃｏｓ( ＋ )＋ ＝ ｔａｎ( ＋ )＋ ( ꎬ ꎬ
φ为常数 Ａ ω 的形式 再应用公式 Ｔ
ꎬ ≠０ꎬ ≠０) ꎬ
２π 正弦 余弦型 或Ｔ π 正切型 求解.
＝ ω ( 、 ) ＝ ω ( )
｜ ｜ ｜ ｜
4.
æ ö æ ö 三角函数的对称性
解析 由题图可知点çπꎬ ÷ꎬç１３πꎬ ÷在ｆ(ｘ)
è ０ø è ２ø 函数 ｆ ｘ Ａ ωｘ φ Ｂ Ａ ω φ 为常数 Ａ
３ １２
( )＝ ｓｉｎ( ＋ )＋ ( ꎬ ꎬ ꎬ
Ｔ
的图象上ꎬ ３ １３π π ３πꎬ则 Ｔ ꎬ所以 ω 图象的对称轴一定经过图象的最
∴ ＝ － ＝ ＝π ≠０ꎬ ≠０)
４ １２ ３ ４ 高点或最低点 对称中心的横坐标一定是函
ꎬ
ω ２π ꎬ不妨取 ω ꎬ则函数 ｆ(ｘ) 数的零点 因此在判断直线 ｘ ｘ 或点 ｘ
｜ ｜ ＝ Ｔ ＝ ２ ＝ ２ ＝ ꎬ ＝ ０( ( ０ꎬ
是不是函数图象的对称轴 或对称中心
æ ö ０)) ( )
( ｘ φ)ꎬ将ç１３πꎬ ÷代入得ꎬ １３π φ
２ｃｏｓ ２ ＋ è ２ø ２× ＋ ＝ 时 可通过检验 ｆ ｘ 的值进行.
１２ １２ ꎬ ( ０)
例3 (多选)( 山东烟台、德州一模ꎬ )
ｋ ꎬｋ Ｚꎬ解得 φ １３π ｋ ꎬｋ Ｚꎬ ２０２２ ９
２ π ∈ ＝－ ＋２ π ∈
６
将函数 ｙ ｘ 的图象向右平移π个单位长
æ ö æ ö ＝ｓｉｎ ２
ｆçπ÷ ç π １３π ｋ ÷ ꎬｋ Ｚ. ６
∴ è ø ＝２ｃｏｓè２× － ＋２ πø ＝－ ３ ∈
２ ２ ６ 度后得到函数 ｆ(ｘ)的图象ꎬ则 ( )
答案
æ ö
－ ３
ｆ(ｘ) ç ｘ π÷
考法 二 三角函数的性质的应用 Ａ. ＝ ｃｏｓè２ ＋ ø
６
1. æ ö
三角函数的单调性 çπꎬ ÷是 ｆ(ｘ)图象的一个对称中心
Ｂ.è ０ø
求函数的单调区间应遵循简单化原则 将解 ６
１) ꎬ
析式进行化简 并注意复合函数单调性法则 当 ｘ π时ꎬ ｆ(ｘ)取得最大值
ꎬ Ｃ. ＝－
１２
同增异减 .
“ ” é ù
求形如ｙ Ａ ωｘ φ Ｂ 或ｙ Ａ ωｘ φ 函数 ｆ(ｘ)在区间ê ê ꎬ５π ú ú 上单调递增
２) ＝ ｓｉｎ( ＋ )＋ ＝ ｃｏｓ( ＋ )＋ Ｄ. ëπ û
４
Ｂ 其中ω 的单调区间时 要视 ωｘ φ 为
( >０) ꎬ “ ＋ ”
解析 将函数 ｙ ｘ 的图象向右平移π个
一个整体 通过解不等式求解.但如果 ω 那 ＝ｓｉｎ ２
ꎬ <０ꎬ ６
么一定先借助诱导公式将ｘ 的系数化为正数.
é æ öù
单位长度后得到函数 ｆ(ｘ) ê çｘ π÷ ú
已知三角函数的单调区间求参数 先求出函 ＝ ｓｉｎ ë ê ２è － øû ú ＝
３) ꎬ ６
5 数的单调区间 然后利用集合间的关系求解. æ ö æ ö
年 ꎬ ç ｘ π÷ ç ｘ π÷的图象ꎬ故 错误ꎻ
高 2. 三角函数的奇偶性 ｓｉｎè２ － ø ＝－ｃｏｓè２ ＋ ø Ａ
考 ３ ６
3 对于 ｙ Ａ ωｘ φ 若为奇函数 则 φ æ ö æ ö æ ö
年 ＝ ｓｉｎ( ＋ )ꎬ ꎬ ＝ ｆ çπ÷ ç π π÷ ꎬ则çπꎬ ÷是 ｆ(ｘ)图象
模 è ø ＝ｓｉｎè２× － ø ＝０ è ０ø
拟 ６ ６ ３ ６
ｋ ｋ Ｚ 若为偶函数 则 φ π ｋ ｋ
π( ∈ )ꎻ ꎬ ＝ ＋ π( ∈ 的一个对称中心ꎬ故 正确ꎻ
A
２ Ｂ
版
Ｚ .对于 ｙ Ａ ωｘ φ 若为奇函数 则 φ æ ö æ ö
) ＝ ｃｏｓ( ＋ )ꎬ ꎬ ＝ ｆ ç π÷ ç π π÷ ꎬ故当 ｘ π时ꎬ
高
è－ ø ＝ｓｉｎè－２× － ø ＝－１ ＝－
考
１２ １２ ３ １２
数 π ｋ ｋ Ｚ 若为偶函数 则 φ ｋ ｋ
学 ＋ π( ∈ )ꎻ ꎬ ＝ π( ∈ ｆ(ｘ)取得最小值ꎬ故 错误ꎻ
２ Ｃ
２６６
é ù é ù 例4 ( 浙江ꎬ ꎬ 分)设函数 ｆ(ｘ)
由 ｘ ê ꎬ５π úꎬ可得 ｘ π ê ５πꎬ１３π ú ２０２１ １８ １４ ＝
∈ ë ê π û ú ２ － ∈ ë ê û ú ⫋ ｘ ｘ(ｘ Ｒ).
４ ３ ３ ６
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ∈
é ù é ù
ë ê ê ３ ２ πꎬ５ ２ π û ú ú ꎬ易知函数 ｙ ＝ｓｉｎ ｘ 在 ë ê ê ３ ２ πꎬ５ ２ π û ú ú 上单 ( １ )求函数 ｙ ＝ é ë ê ê ｆ æ è çｘ ＋ π ö ø ÷ ù û ú ú ２ 的最小正周期ꎻ
２
æ ö
调递增ꎬ则函数 ｆ (ｘ) ＝ ｓｉｎè ç ２ ｘ － π ３ ø ÷ 在区间 ( ２ )求函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)ｆ æ è çｘ － π ö ø ÷在 é ë ê ê ０ ꎬπ ù û ú ú 上的最
４ ２
é ù
ê ꎬ５π ú上单调递增ꎬ故 正确.故选 . 大值.
ê ú
ëπ û Ｄ ＢＤ
４ 解析 ( )解法一:由 ｆ(ｘ) ｘ ｘ(ｘ
答案 １ ＝ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ∈
考法 三 ＢＤ 三角函数的最值 Ｒ)ꎬ 得 ｙ ＝ é ë ê ê ｆ æ è çｘ ＋ π ö ø ÷ ù û ú ú ２ ＝ é ë ê ê ｓｉｎ æ è çｘ ＋ π ö ø ÷ ＋
２ ２
求三角函数最值常见的函数形式 æ çｘ π ö ÷ ù ú ú ２ ( ｘ ｘ)２ ｘ.所以该
ｃｏｓè ＋ ø û ＝ ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝１－ｓｉｎ ２
1. ｙ ａ ｘ ｂ ｘ ａ２ ｂ２ ｘ φ 其中 ２
＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝ ＋ ｓｉｎ( ＋ )ꎬ
ａ ｂ 函数的最小正周期 Ｔ ２π .
φ φ . ＝ ＝π
ｃｏｓ ＝ ꎬｓｉｎ ＝ ２
ａ２
＋
ｂ２ ａ２
＋
ｂ２
解法二:由辅助角公式得 ｆ(ｘ) ｘ ｘ
＝ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝
降次 整理
2.
ｙ ａ ２ｘ ｂ ２ｘ ｃ ｘ ｘ 、 ｙ æ ö
＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ｃｏｓ → ＝ çｘ π÷ꎬ
２ｓｉｎè ＋ ø
Ａ ｘ Ｂ ｘ Ｃ Ａ２ Ｂ２ ｘ φ Ｃ ４
ｓｉｎ ２ ＋ ｃｏｓ ２ ＋ ＝ ＋ ｓｉｎ(２ ＋ )＋ ꎬ
Ｂ 则 ｙ é ê ｆ æ çｘ π ö ÷ ù ú２ é ê ç æ ｘ ３π ö ÷ ù ú２
其中 φ 再利用有界性处理. ＝ ë ê è ＋ øû ú ＝ ë ê ２ｓｉｎ è ＋ øû ú
ｔａｎ ＝ Ａꎬ ２ ４
æ ö æ ö
3.
ｙ ａ ２ｘ ｂ ｘ ｃ 可转化为关于 ｘ 的二 ２çｘ ３π÷ ç ｘ ３π ÷ ｘꎬ
＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ è ＋ ø ＝１－ｃｏｓ è２ ＋ ø＝１－ｓｉｎ ２
４ ２
次函数式.
4. 所以该函数的最小正周期 Ｔ ２π .
ｙ ａ ｘ ｘ ｂ ｘ ｘ ｃ 型求最值常
＝ ＝π
＝ (ｓｉｎ ＋ｃｏｓ )＋ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋
２
用换元法 令 ｔ ｘ ｘ ｔ 则
æ ö æ ö
ꎬ ＝ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ꎬ ｜ ｜ ≤ ２ꎬ ( )ｙ ｆ(ｘ)ｆçｘ π÷ ç ｘ π÷ ２ꎬ由 ｘ
ｔ２ ２ ＝ è － ø ＝ｓｉｎè２ － ø＋ ∈
ｘ ｘ －１ 把三角问题转化为代数问 ４ ４ ２
ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ꎬ
é ù é ù
２ ê ꎬπ ú可得 ｘ π ê πꎬ３π úꎬ所以当 ｘ π
题求解. ë ê ０ û ú ２ － ∈ë ê － û ú ２ － ＝
２ ４ ４ ４ ４
ｃ æ ö
5. ｙ ａ ｘ ａ ｂ ｃ 令 ｘ ｔ ｔ πꎬ即 ｘ ３π时ꎬ函数 ｙ ｆ(ｘ)ｆçｘ π÷取最大值
＝ ｓｉｎ ＋ｂ ｘ( ꎬ ꎬ >０)ꎬ ｓｉｎ ＝ (－１≤ ＝ ＝ è － ø
ｓｉｎ ２ ８ ４
ｃ
且 ｔ 转化为求ｙ ａｔ ｔ
２.
≤１ꎬ ≠０)ꎬ ＝ ＋ｂｔ(－１≤ ≤１ꎬ １＋
２
且 ｔ 的最值 一般可结合图象求解.
≠０) ꎬ
专
题
五
三
角
函
数
与
解
三
角
形
２６７
