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3.2 二次函数与幂函数
基础篇
考点 一 二次函数
考点 二 幂函数
1.
二次函数的三种形式：
1. 定义：一般地 函数 ｙ ｘα 叫做幂函数 其中
一般式 ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ . ꎬ ＝ ꎬ
: ( )＝ ＋ ＋ ( ≠０) ｘ 是自变量 α 是常数.
顶点式 ｆ ｘ ａ ｘ ｍ ２ ｎ ａ . ꎬ
: ( )＝ ( － ) ＋ ( ≠０) 2. 几个常用幂函数的图象
零点式 ｆ ｘ ａ ｘ ｘ ｘ ｘ ａ .
: ( )＝ ( － １)( － ２)( ≠０)
2.
二次函数的图象和性质
ｙ ａｘ２ ｂｘ ｃ(ａ ) ｙ ａｘ２ ｂｘ ｃ(ａ )
＝ ＋ ＋ >０ ＝ ＋ ＋ <０
图象
定义域 ( ꎬ ) ( ꎬ ) 3.
－∞ ＋∞ －∞ ＋∞ 几个常用幂函数的性质
é ａｃ ｂ２ ö æ ａｃ ｂ２ù
值域
ë
êê４
ａ
－ ꎬ
＋∞ø
÷
è
ç
－∞
ꎬ４
ａ
－
û
úú ｙ
＝
ｘ ｙ
＝
ｘ２ ｙ
＝
ｘ３ ｙ
＝
ｘ１
２
ｙ
＝
ｘ－１
４ ４
( ꎬ )
定义域 Ｒ Ｒ Ｒ [ ꎬ ) －∞ ０ ∪
在 é êê ｂ ꎬ ÷ ö 上 在 æ ç ꎬ ｂ ù úú 上 单 调 ０ ＋∞ ( ꎬ )
ë－ ａ ＋∞ø è－∞ － ａû ０ ＋∞
２ ２ ( ꎬ )
单调递增ꎬ 递增ꎬ 值域 Ｒ [ ꎬ ) Ｒ [ ꎬ ) －∞ ０ ∪
单调性 ０ ＋∞ ０ ＋∞ ( ꎬ )
æ ｂ ù é ｂ ö ０ ＋∞
在 ç ꎬ úú 上 在 êê ꎬ ÷ 上 单 调 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
è－∞ － ａû ë－ ａ ＋∞ø
２ ２
单调递减 递减
ｙ
＝
ｘ ｙ
＝
ｘ２ ｙ
＝
ｘ３ ｙ
＝
ｘ１
２
ｙ
＝
ｘ－１
当ｂ 时为偶函数ꎬ当 ｂ 时为非奇非偶 在( ꎬ ) 在( ꎬ
奇偶性 ＝０ ≠０ －∞ ０ －∞
函数 上 减ꎬ 在 ) 上减ꎬ
单调性 增 增 增 ０
顶点 ( ꎬ ) 在 ( ꎬ
æ ç ｂ ꎬ４ ａｃ － ｂ２ö ÷ ０ ＋ ∞ ０
坐标 è－ ａ ａ ø 上增 )上减
２ ４ ＋∞
定点 ( ꎬ )ꎬ( ꎬ ) ( ꎬ )
ｂ ０ ０ １ １ １ １
对称性 图象关于直线ｘ 对称
＝－ ａ
２
专
题
三
函
数
的
概
念
与
基
本
初
等
函
数
２３７
综合篇
考法 一 求二次函数在闭区间上的最值（值
域）的方法
二次函数最值 或值域 问题的解法 可归
( ) ꎬ
纳为 三点一轴 数形结合.三点指的是区间
:“ ”、
两个端点及顶点 一轴是指对称轴.结合配方
ꎬ
法 根据函数图象即可求解 轴在区间外 端 例1 ( 广东深圳六校联考二ꎬ )若不等
ꎬ :“ ꎬ ２０２２ ２
点取最值 轴在区间内 顶点占一个 .解题思 式 ａｘ２ ｂｘ 的解集为{ｘ ｘ }ꎬ则二次
ꎬ ꎬ ” ＋ ＋２>０ ｜－２< <１
路可以在下面的流程图中明确 函数 ｙ ｂｘ２ ｘ ａ 在区间[ ꎬ ]上的最大值、
: ＝２ ＋４ ＋ ０ ３
最小值分别为 ( )
１７ꎬ舍去ꎻ
＝－
ꎬ ꎬ
６
Ａ.－１ －７ Ｂ.０ －８
ｍ æ ö
ꎬ ꎬ
Ｃ.１ －１ Ｄ.１ －７ 当 ç ꎬ３ ÷ꎬ即 ｍ ( ꎬ )时ꎬｙ ｔ２ ｍｔ
－ ∈è０ ø ∈ －３ ０ ＝ ＋ ＋２
解析 不等式 ａｘ２ ｂｘ 的解集为{ｘ ２ ２
∵ ＋ ＋２>０ ｜－
é ｍö æ ｍ ù
ｘ }ꎬ ꎬ 是关于 ｘ 的方程 ａｘ２ ｂｘ 在ê ꎬ ÷上单调递减ꎬ在ç ꎬ３ ú上单调递
２< <１ ∴ －２ １ ＋ ＋２＝０ ë ê ０ － ø è－ û ú
的两个实数根ꎬ且 ａ ꎬ ２ ２ ２
<０ ｍ２
ì ｂ 增ꎬ则 ｙ ꎬ解得 ｍ ꎬ故 ｍ
ï ( ) ꎬ ｍｉｎ ＝－ ＋２＝０ ＝±２ ２ ＝
ï ï －２ ＋１＝－ａ {ａ ꎬ ４
í 解得 ＝－１ ｙ ｂｘ２ ｘ ａ ꎬ综上所述.ｍ .
∴ ï ｂ ꎬ∴ ＝２ ＋４ ＋ －２ ２ ＝－２ ２
ï( ) ２ꎬ ＝－１
ï
î －２ ×１＝ ａ
考法 二 一元二次方程根的分布
ｘ２ ｘ ꎬ其图象的开口向下ꎬ对称轴为直
＝－２ ＋４ －１
研究一元二次方程根的分布 需要从四个
线 ｘ ꎬ 函数 ｙ ｘ２ ｘ 在[ ꎬ )上单调
ꎬ
＝１ ∴ ＝－２ ＋４ －１ ０ １
方面考虑 对应二次函数图象开口方向 一
递增ꎬ在[ ꎬ ]上单调递减ꎬ ｆ(ｘ) ｆ( )
:１) ꎻ２)
１ ３ ∴ ｍａｘ ＝ １ ＝
元二次方程根的判别式 对应二次函数在所
ꎬ ｆ(ｘ) ｆ( ) .故选 .
ꎻ３)
１ ｍｉｎ ＝ ３ ＝ －１８＋１２－１＝－７ Ｄ
给区间端点处函数值的正负 对应二次函数
答案
ꎻ４)
Ｄ
例2 ( 安徽十校联盟联考ꎬ )已知函数 图象的对称轴与区间端点的位置关系.
２０２２ ２１
ｆ(ｘ) ＝ ４ ｘ ＋４ － ｘ ＋ ｍ( ２ ｘ －２ － ｘ).
设 ｘ
１、
ｘ
２
是实系数一元二次方程 ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
＝０
( )若 ｍ ꎬ求证: ｆ(ｘ) ꎻ (
ａ
>０)
的两实根
ꎬ
ｆ
(
ｘ
)＝
ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
ꎬ
则 ｘ
１、
ｘ
２
的
１ ＝２ ２ ≥０
分布范围与一元二次方程系数之间的关系如
( )若 ｆ(ｘ)在区间[ ꎬ ]上的最小值为 ꎬ求实
２ ０ １ ０
表所示.
数 ｍ 的值.
解析 ｆ(ｘ) ｘ － ｘ ｍ( ｘ － ｘ) ( ｘ － ｘ)２ 图象 满足条件
＝ ４ ＋４ ＋ ２ －２ ＝ ２ －２
ｍ( ｘ － ｘ)ꎬ令 ｔ ｘ － ｘꎬ易知 ｔ ｘ － ｘ为 ì ï Δ >０
＋２＋ ２ －２ ＝２ －２ ＝２ －２
ïï
ｂ
增函数ꎬｔ Ｒꎬ则 ｙ ｔ２ ｍｔ . í ｍ
∈ ＝ ＋ ＋２ ï－ ａ<
２
ï
( )证明:当 ｍ 时ꎬｙ ｔ２ ｔ (ｔ îｆ(ｍ)
１ ＝ ２ ２ ＝ ＋２ ２ ＋２＝ ＋ >０
)２ ꎬ故ｆ(ｘ) . ì ï Δ
>０
２ ≥０ ≥０ ïï
ｂ
é ù í ｍ
( ２ )当 ｘ ∈ [ ０ ꎬ １ ]时ꎬｔ ＝２ ｘ －２ － ｘ ∈ë ê ê ０ ꎬ３ û ú ú ꎬｙ ＝ ｔ２ ＋ ï ï － ２ ａ>
２ îｆ(ｍ)
>０
é ù
ｍｔ
＋２
ꎬｔ
∈ë
ê
ê ０
ꎬ３
û
ú
ú
ꎬｙ
＝
ｔ２
＋
ｍｔ
＋２
的图象的对称轴
２ ｆ(ｍ)
<０
ｍ
为直线 ｔ ꎬ
5 ＝－
ìΔ
年 ２ ï >０
高 ｍ é ù ï ｂ
考
3
当
－ ≤０
ꎬ即 ｍ
≥０
时ꎬｙ
＝
ｔ２
＋
ｍｔ
＋２
在
ë
ê
ê ０
ꎬ３
û
ú
ú
上
í
ïｍ
<－ ａ<
ｎ
２
年 ２ ２ ï
模 单调递增ꎬ函数的最小值为 ꎬ不合题意ꎬ舍去ꎻ ï ｆ(ｍ) >０
拟 ２ î ï ｆ(ｎ)
A ｍ >０
版
当
－ ≥
３ꎬ即 ｍ
≤－３
时ꎬｙ
＝
ｔ２
＋
ｍｔ
＋ ２
在
ì ï ｆ(ｍ)
２ ２ ï >０
高 íｆ(ｎ)
考 é ù ｍ ï <０
数 学 ë ê ê ０ ꎬ３ û ú ú 上单调递减ꎬ则 ｙ ｍｉｎ ＝ １７＋６ ＝０ ꎬ解得 ｍ î ï ｆ(ｐ) >０
２ ４
２３８
续表 ì ｍ ꎬ
ï
－１< <３
ï
图象 满足条件 ｍ 或 ｍ ꎬ
ï
ï ≤１ ≥９
解得íｍ ꎬ 即２ ｍ ꎬ
ì ï ï Δ ＝０ ï >０ < ≤１
３
í ｂ ï
ïïｍ ｎ ïｍ ２ꎬ
î <－ ａ< î ï >
２ ３
或ｆ(ｍ)ｆ(ｎ)
<０ æ ù
故 ｍ 的取值范围为ç２ꎬ ú.
ìｆ(ｍ) ú
ï ï ＝ ０ è １û
或í ｂ ｍ ｎ ３
î
ïïｍ
<－ ａ<
＋ 例4 已知 ｆ(ｘ)
＝
ｘ２
＋
(
２
ｔ
－１
)ｘ
＋１－２
ｔ.
２ ２
ìｆ(ｎ) ( )求证:对于任意ｔ Ｒꎬ关于ｘ 的方程ｆ(ｘ)
ï ï ＝ ０ １ ∈ ＝
或íｍ ｎ ｂ 必有实数根ꎻ
ïï ＋ ｎ １
î <－ ａ<
２ ２ æ ö
( )若方程 ｆ(ｘ) 在区间( ꎬ )和ç ꎬ１ ÷内
例3 已知方程 ｘ２ (ｍ )ｘ ｍ . ２ ＝ ０ －１ ０ è０
２
ø
＋ －３ ＋ ＝０
各有一个实数根ꎬ求实数 ｔ 的取值范围.
( )若此方程有两个正实根ꎬ求实数 ｍ 的取值
１
范围ꎻ
解析 (
１
)证明:方程 ｆ(ｘ)
＝ １⇒
ｘ２
＋
(
２
ｔ
－１
)ｘ
( )若此方程的两个正实根均在( ꎬ )内ꎬ求实 －２
ｔ
＝ ０
ꎬ因为 Δ
＝
(
２
ｔ
－１
)２
＋８
ｔ
＝ ４
ｔ２
＋４
ｔ
＋１ ＝
２ ０ ２
数 ｍ 的取值范围.
(
２
ｔ
＋１
)２
≥０
ꎬ所以方程 ｆ(ｘ)
＝ １
必有实数根.
( )因为方程 ｆ(ｘ) 在区间( ꎬ ) 和
解析 设 ｆ(ｘ) ｘ２ (ｍ )ｘ ｍ. ２ ＝ ０ － １ ０
＝ ＋ －３ ＋
ìｆ( ) ꎬ
ì ï ｍ ï －１ >０
－３ ꎬ ï
ï－ >０ æ ö ïｆ( ) ꎬ
ï ２ ç ꎬ１ ÷内各有一个实数根ꎬ所以í ０ <０ 即
( １ )由题意得ꎬí ï
ï
Δ
＝
(ｍ
－３
)２
－４
ｍ
≥０
ꎬ è０ ２ ø ï
ï ï ｆ
æ
ç１
ö
÷ ꎬ
ï î è ø>０
îｆ( ) ｍ ꎬ ２
０ ＝ >０
ì ( ｔ ) ｔ ꎬ
ì ï ｍ ꎬ ï １－ ２ －１ ＋１－２ >０
<３ ï
ï ï ｔ ꎬ
解得íｍ 或 ｍ ꎬ即 ｍ ꎬ í１－２ <０ 解得１ ｔ ３.所以实数
ï ≤１ ≥９ ０< ≤１ ï < <
î ï ｍ ꎬ ï１ １( ｔ ) ｔ ꎬ ２ ４
>０ î ï ＋ ２ －１ ＋１－２ >０
故 ｍ 的取值范围为( ꎬ ]. ４ ２
０ １ æ ö
ì ｍ ｔ 的取值范围是ç１ꎬ３ ÷.
ï
－３ ꎬ è ø
ï０<－ <２ ２ ４
ï ２
ï
( )由题意得ꎬíΔ (ｍ )２ ｍ ꎬ
２ ï ＝ －３ －４ ≥０
ïｆ( ) ｍ ꎬ
ï ０ ＝ >０
ï
îｆ( ) ｍ ꎬ
２ ＝ ３ －２>０
专
题
三
函
数
的
概
念
与
基
本
初
等
函
数
２３９
