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10.2 二项式定理
基础篇
考点 二项式定理 对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式
１) : “ ”
1. 系数相等 即 ｍ ｎ － ｍ.
二项式定理 ꎬ Ｃｎ ＝Ｃｎ
增减性与最大值 对于二项式系数 ｋ ｋ
ａ ｂ ｎ ０ａｎ １ａｎ －１ｂ１ ｋａｎ － ｋｂｋ ２) : Ｃｎ( ＝０ꎬ
( ＋ ) ＝Ｃｎ ＋Ｃｎ ＋＋Ｃｎ ＋＋
ｎ
Ｃ
ｎ
ｎ
ｂｎ
(
ｎ
∈
Ｎ
)
.
１ꎬ２ꎬꎬ
ｎ
)ꎬ
当 ｋ
<
＋１时
ꎬ
二项式系数是递增
这个公式所表示的定理叫做二项式定理 等 ２
ꎬ ｎ
号右边的多项式叫做 ａ ｂ ｎ 的二项展开式 的 当 ｋ ＋１时 二项式系数是递减的.
( ＋ ) ꎬ ꎻ > ꎬ
２
ｋ ｋ ｎ 叫做二项式系数.二项展
Ｃｎ( ＝０ꎬ１ꎬ２ꎬꎬ ) 当 ｎ 是偶数时 二项展开式的中间一项
ꎬ
开式中的 Ｃ ｋ ｎ ａｎ － ｋｂｋ 叫做二项展开式的通项 ꎬ æ ｎ ö
ç第 项÷的二项式系数最大 即最大的二
用 Ｔ 表示 即通项为展开式的第 ｋ 项 è ＋１ ø ꎬ
ｋ ＋１ ꎬ ＋１ : ２
ｎ
Ｔ ｋａｎ － ｋｂｋ. 项式系数为 ２ 当 ｎ 是奇数时 二项展开式
ｋ ＋１ ＝Ｃｎ Ｃｎꎻ ꎬ
2. ａ ｂ ｎ 的展开式的特点 æ ｎ ｎ ö
( ＋ ) 的中间两项ç第 ＋１项和第 ＋３项÷的二项式
è ø
项数为 ｎ . ２ ２
１)
各项的次
＋
数
１
都等于二项式的幂指数 ｎ 即 ａ
系数最大
ꎬ
即最大的二项式系数为
Ｃ
ｎ
ｎ
－
２
１ 和
Ｃ
ｎ
ｎ
＋
２
１.
２) ꎬ
二项式系数的和
与 ｂ 的指数之和为 ｎ. ３)
ａ ｂ ｎ 的展开式的各个二项式系数的和等
字母 ａ 按降幂排列 从第一项开始 次数由 ｎ ( ＋ )
３) ꎬ ꎬ
逐项减 直到 字母 ｂ 按升幂排列 从第一
于
２
ｎ
ꎬ
即
Ｃ ０ ｎ＋Ｃ １ ｎ＋Ｃ ２ ｎ＋＋Ｃ
ｋ
ｎ＋＋Ｃ
ｎ
ｎ＝２
ｎ.
１ ０ꎻ ꎬ
二项展开式中 偶数项的二项式系数的和等
项开始 次数由 逐项增 直到 ｎ. ꎬ
ꎬ ０ １
于奇数项的二项式系数的和 即
二项式系数从 ０ １ 一直到 ｎ －１ ｎ. ꎬ Ｃ １ ｎ＋Ｃ ３ ｎ＋Ｃ ５ ｎ＋
４) ＣｎꎬＣｎ Ｃｎ ꎬＣｎ
3. 二项式系数的性质 ＝Ｃ ０ ｎ＋Ｃ ２ ｎ＋Ｃ ４ ｎ＋＝２ ｎ －１.
专
题
十
计
数
原
理
３２１
综合篇
考法 一 求二项展开式中的特定项或特定项 (ｘ )５ 的展开式的通项为 Ｔ ｋｘ５－ ｋ( )ｋ
－１ ｋ ＋１ ＝Ｃ５ －１ ＝
的系数 ( )ｋ ｋｘ５－ ｋꎬｋ ꎬ ꎬ ꎬꎬ ꎬ
－１ Ｃ５ ＝０ １ ２ ５
令 ｋ ꎬ得( )３ ３ｘ２ ｘ２ꎬ则 ｘ２( ｘ２)
求二项展开式中指定项或指定项的系数 ＝３ －１ Ｃ５ ＝－１０ －１０ ＝
ꎬ
ｘ４ꎻ令 ｋ ꎬ 得 ( )２ ２ｘ３ ｘ３ꎬ 则
通常是根据已知条件
ꎬ
利用通项求 ｋ
ꎬ
再求 Ｔ
ｋ ＋１
－
ｘ
１
(
０
ｘ３)
＝
ｘ
２
４ꎻ令 ｋ
－
ꎬ
１
得(
Ｃ５
)
＝
１ｘ
１
４
０
ｘ４ꎬ
或 Ｔ 的系数 有时还需先求幂指数 ｎ 再求 ｋ － １０ ＝ －１０ ＝１ －１ Ｃ５ ＝－５
ｋ ＋１ ꎬ ꎬ ꎬ (ｘ２ ｘ )(ｘ )５ 的展开式中 ｘ４ 的系数为
才能求出 Ｔ 或 Ｔ 的系数. ∴ － ＋１ －１
ｋ ｋ
＋１ ＋１ ( ) ( ) ( ) .故选 .
例1 ( 江苏常州高级中学模拟)(ｘ２ ｘ －１０ ＋ －１０ ＋ －５ ＝ －２５ Ａ
２０２２ － ＋ 答案
Ａ
)(ｘ )５ 的展开式中 ｘ４ 的系数为 ( )
１ －１
考法 二 二项式系数的和与各项的系数和
Ａ.－２５ Ｂ.２５ Ｃ.－５ Ｄ.５
解析 (ｘ２
－
ｘ
＋１
)(ｘ
－１
)５
＝
ｘ２(ｘ
－１
)５
－
ｘ(ｘ
－
1. 对于形如
(
ａｘ
＋
ｂ
)
ｎ
ꎬ(
ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
)
ｍ
(
ａ
ꎬ
ｂ
ꎬ
ｃ
∈
Ｒ
)
)５ (ｘ )５ꎬ 的式子 求其展开式的各项系数之和 常用赋
１ ＋ －１ ꎬ ꎬ
值法 只需令 ｘ 即可 对于形如 ａｘ ｂｙ ｎ ａ (ｘ )２ ａ (ｘ )８ꎬ则 ａ .
ꎬ ＝１ ꎻ ( ＋ ) ＋ ２ ＋１ ＋ ＋ ８ ＋１ ３ ＝
ａ ｂ Ｒ 的式子 求其展开式各项系数之 解析 由题意可知 ｘ８ [(ｘ ) ]８ꎬ
( ꎬ ∈ ) ꎬ ＝ ＋１ －１
和 只需令 ｘ ｙ 即可. [(ｘ ) ]８ 的展开式的通项为 Ｔ ｋ
ꎬ ＝ ＝１ ＋１ －１ ｋ ＋１ ＝ Ｃ８
2. 一般地
ꎬ
对于
(
ａ
＋
ｂｘ
)
ｎ
＝
ａ
０ ＋
ａ
１
ｘ
＋
ａ
２
ｘ２
＋＋
(ｘ
＋１
)８－ ｋ(
－１
)ｋꎬ
ａ
ｎ
ｘｎ
ꎬ
令 ｆ
(
ｘ
)＝ (
ａ
＋
ｂｘ
)
ｎ
ꎬ
则
(
ａ
＋
ｂｘ
)
ｎ 展开式中 由 ｘ８
＝
ａ
０
＋
ａ
１
(ｘ
＋１
)
＋
ａ
２
(ｘ
＋１
)２
＋
＋
ａ
８
(ｘ
＋１
)８ꎬ
各项系数之和为 ｆ 奇数项系数之和为 ａ 得出所求对应的项是 ａ (ｘ )３.
(１)ꎬ ０ ３ ＋１
＋
ａ
２ ＋
ａ
４ ＋＝
ｆ (１)＋ ｆ (－１)
ꎬ
偶数项系数之和为 令 ８－ ｋ ＝３ ꎬ得 ｋ ＝５ ꎬ所以 ａ
３
＝ ( －１ )５ ×Ｃ ５
８
＝－５６ .
２ 答案
－５６
ｆ ｆ
ａ ａ ａ (１)－ (－１). 例4 ( 届长沙雅礼中学月考ꎬ )若(
１
＋
３
＋
５
＋＝ ２０２３ １４ １－
２
ａ ａ
例2 (多选)( 南京天印高级中学模拟ꎬ ｘ)２０２２ ａ ａ ｘ ａ ｘ２ ａ ｘ２０２２ꎬ则 １ ２
２０２２ ２ ＝ ０ ＋ １ ＋ ２ ＋ ＋ ２０２２ ＋ ２ ＋
æ ö ２ ２
６
)çｘ ２÷ 的展开式中ꎬ下列结论正确的是 ａ
１０ è ＋ｘ ø ２０２２的值为 .
＋
２０２２
( ) ２
ａ
展开式共 项 解析 令 ｘ ꎬ得 ａ ꎻ令 ｘ １ꎬ得 ａ １
Ａ. ６ ＝０
０
＝１ ＝
０
＋ ＋
常数项为 ２ ２
Ｂ. １６０ ａ ａ ａ ａ ａ
所有项的系数之和为 ２ ２０２２ ꎬ所以 １ ２ ２０２２ .
Ｃ. ７２９ ＋ ＋ ＝０ ＋ ＋ ＋ ＝－１
２ ２０２２ ２ ２０２２
所有项的二项式系数之和为 ２ ２ ２ ２ ２
Ｄ. ６４ 答案
æ ö －１
６
解析 因为çｘ ２÷ 的展开式的项数是 ꎬ故 例5 ( 浙江ꎬ ꎬ 分)已知多项式(ｘ )
è ＋ｘ ø ７ ２０２２ １２ ６ ＋２
不正确ꎻ
(ｘ
－１
)４
＝
ａ
０
＋
ａ
１
ｘ
＋
ａ
２
ｘ２
＋
ａ
３
ｘ３
＋
ａ
４
ｘ４
＋
ａ
５
ｘ５ꎬ则 ａ
２
Ａ
ꎬａ ａ ａ ａ ａ .
æ çｘ ２ ö ÷ ６ 的展开式的通项为 Ｔ ｋｘ６－ ｋ æ ç２ ö ÷ ｋ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＝
è ＋ｘ ø ｋ ＋１ ＝Ｃ６ è ｘ ø 解析 由(ｘ )(ｘ )４ ａ ａ ｘ ａ ｘ２ ａ ｘ３
＋２ －１ ＝
０
＋
１
＋
２
＋
３
＋
ｋ ｋｘ６－２ ｋꎬ令 ｋ ꎬ得 ｋ ꎬ则常数项为 ａ ｘ４ ａ ｘ５ꎬ知含 ｘ２ 的项是由 ｘ 中的 ｘ 和 分
＝Ｃ６２ ６－２ ＝ ０ ＝ ３ ４ ＋ ５ ＋２ ２
３ ３
ꎬ故 正确ꎻ 别与(ｘ )４ 的展开式中含 ｘ 和 ｘ２ 的项相乘后
Ｃ６２ ＝１６０ Ｂ －１
æ ö
６
æ ö
６
再相加得到的ꎬ所以ａ ３( )３ ２( )２ .
对于çｘ ２÷ ꎬ令 ｘ ꎬ可得ç ２÷ ６ ꎬ ２ ＝Ｃ４ －１ ＋２Ｃ４ －１ ＝８
è ＋ｘ ø ＝１ è１＋
１
ø ＝３ ＝７２９ 对于(ｘ
＋２
)(ｘ
－１
)４
＝
ａ
０
＋
ａ
１
ｘ
＋
ａ
２
ｘ２
＋
ａ
３
ｘ３
＋
ａ
４
ｘ４
æ ö
即çｘ ２÷ ６ 的展开式的所有项的系数之和为 ａ ｘ５ꎬ
＋
è ＋ｘ ø ５
令 ｘ ꎬ得 ａ ( )４ ꎻ
ꎬ故 正确ꎻ ＝０ ０ ＝２× －１ ＝２
７２９ Ｃ 令 ｘ ꎬ得 ａ ａ ａ ａ ａ ａ ꎬ
所有项的二项式系数之和为 ６ ꎬ故 正确. ＝１ ０ ＋ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＝０
２ ＝６４ Ｄ 所以 ａ ａ ａ ａ ａ .
5 故选 . １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＝－２
ＢＣＤ 答案
年
高 答案 ８ －２
考 ＢＣＤ
3 例3 ( 广州三模ꎬ )若 ｘ８ ａ ａ (ｘ )
年 ２０２２ １３ ＝ ０ ＋ １ ＋１
模
拟
A
版
高
考
数
学
３２２
