文档文本内容
3.5 函数与方程及函数的综合应用
基础篇
考点 一 函数的零点 续表
函数模型 函数解析式
1.
函数的零点
幂函数模型 ｆ(ｘ) ａｘｎ ｂ(ａꎬｂ为常数ꎬａ ꎬｎ )
函数零点的定义 对于一般函数 ｙ ｆ ｘ 把 ＝ ＋ ≠０ ≠０
１) : ＝ ( )ꎬ
知识拓展
使ｆ ｘ 的实数ｘ 叫做函数ｙ ｆ ｘ 的零点.
( )＝ ０ ＝ ( )
ａ
注意 零点不是点ꎬ是满足ｆ(ｘ) 的实数ｘ. “对勾”函数ｆ(ｘ) ｘ (ａ )的性质
＝ ０ ＝ ＋ ｘ >０
三个等价关系 方程 ｆ ｘ 有实数解 函
２) : ( )＝ ０ ⇔ .在( ꎬ ａ]和[ ａꎬ )上单调递增ꎬ在( ａꎬ )和
１ －∞ － ＋∞ － ０
数 ｙ ｆ ｘ 有零点 函数 ｙ ｆ ｘ 的图象与 ｘ
＝ ( ) ⇔ ＝ ( ) ( ꎬ ａ)上单调递减.
０
轴有公共点.
.当ｘ 时ꎬ在ｘ ａ时取最小值 ａꎻ
２ >０ ＝ ２
2.
函数零点存在定理
当ｘ 时ꎬ在ｘ ａ时取最大值 ａ.
<０ ＝－ －２
ｙ ＝ ｆ ｘ 在区间 ａ ｂ 上的图象
( ) [ ꎬ ] 2.
三种函数模型性质的比较
→是一条连续不断的曲线
条件
函数 ｙ ａｘ ｙ ｘ ｙ ｘｎ
ｆ ａ ｆ ｂ < ＝ ＝ｌｏｇａ ＝
→ ( ) ( ) ０ 性质 (ａ ) (ａ ) (ｎ )
结论 存在 ｃ ａ ｂ 使得 ｆ ｃ ＝ >１ >１ >０
→ ∈ ( ꎬ )ꎬ ( ) ０
在( ꎬ )
注意 ０ ＋∞ 单调递增 单调递增 单调递增
上的单调性
函数零点存在定理只能判断函数在某区间上是否存在
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
零点ꎬ并不能判断零点的个数ꎬ但如果函数在区间上是
单调函数ꎬ则该函数在区间上至多有一个零点. 随ｘ的增大 随ｘ的增大
图象的 随 ｎ 值变化
逐渐表现为 逐渐表现为
3. 变化 而各有不同
二分法的定义
与ｙ轴平行 与ｘ轴平行
对于在区间 ａ ｂ 上图象连续不断且 ｆ ａ
[ ꎬ ] ( ) 值的比较 存在一个ｘ ꎬ当ｘ ｘ 时ꎬ有 ｘ ｘｎ ａｘ
ｆ ｂ 的函数 ｙ ｆ ｘ 通过不断地把它的 ０ > ０ ｌｏｇａ < <
( )<０ ＝ ( )ꎬ
零点所在区间一分为二 使所得区间的两个
ꎬ
端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的
ꎬ
方法叫做二分法.
考点 二 函数模型及应用
1.
几种常见的函数模型
5
年
函数模型 函数解析式
高
考
一次函数模型 ｆ(ｘ) ａｘ ｂ(ａꎬｂ为常数ꎬａ )
3 ＝ ＋ ≠０
年
模 二次函数模型 ｆ(ｘ) ａｘ２ ｂｘ ｃ(ａꎬｂꎬｃ为常数ꎬａ )
＝ ＋ ＋ ≠０
拟
ｆ(ｘ) ｂａｘ ｃ(ａꎬｂꎬｃ 为常数ꎬａ 且 ａ
A 指数函数模型 ＝ ＋ >０
版 ꎬｂ )
≠１ ≠０
高 ｆ(ｘ) ｂ ｘ ｃ(ａꎬｂꎬｃ为常数ꎬａ 且
考 对数函数模型 ＝ ｌｏｇａ ＋ >０
数
ａ ꎬｂ )
学 ≠１ ≠０
２４６
综合篇
考法 一 判断函数零点所在区间和零点的
考法 二 已知函数有零点（方程有根）求参
个数
数值（或取值范围）
1.
判断函数零点所在区间的常用方法
1.
直接法：利用零点构建关于参数的方程
函数零点存在定理 使用条件是函数图象是
１) ꎬ 组 或不等式 组 直接求解.
连续的. ( ) ( )ꎬ
2.
参数分离法：将参数与自变量分离 转化为
数形结合法 画出函数的图象 估算确定 ꎬ
２) : ꎬ 求函数的最值或值域.
区间.
3.
数形结合法：对 ｆ ｘ 适当变形 将求函
2. 判断函数零点个数的常用方法 ( )＝ ０ ꎬ
数零点问题转化为两个函数图象的交点问题
解方程法 令 ｆ ｘ 如果有解 则有几个 ꎬ
１) : ( )＝ ０ꎬ ꎬ 利用数形结合法求解.
不同解就有几个零点.
例2 ( 课标 理ꎬ ꎬ 分)已知函数ｆ(ｘ)
函数零点存在定理 利用该定理不仅要求函 ２０１８ Ⅰ ９ ５
２) : { ｘꎬｘ ꎬ
数图象在 ａ ｂ 上连续 且 ｆ ａ ｆ ｂ 还 ｅ ≤０ ｇ(ｘ) ｆ(ｘ) ｘ ａ.若 ｇ(ｘ)存在
[ ꎬ ] ꎬ ( ) ( )<０ꎬ ＝ ｘꎬｘ ꎬ ＝ ＋ ＋ ２
必须结合函数的图象和性质 如单调性 奇偶 ｌｎ >０
( 、 个零点ꎬ则 ａ 的取值范围是 ( )
性 周期性 对称性 才能确定函数有多少个
、 、 )
[ ꎬ ) [ ꎬ )
零点. Ａ. －１ ０ Ｂ. ０ ＋∞
[ ꎬ ) [ ꎬ )
数形结合法 转化为两个函数图象的交点的 Ｃ. －１ ＋∞ Ｄ. １ ＋∞
３) : 解析 ｇ(ｘ) ｆ(ｘ) ｘ ａ 存在 个零点等价
个数问题 有几个交点就有几个零点. ＝ ＋ ＋ ２
ꎬ { ｘꎬｘ ꎬ
例1 ( 重庆黔江新华中学二联ꎬ )若 ｘ 于函数ｆ(ｘ) ｅ ≤０ 与 ｈ(ｘ) ｘ ａ 的图象
２０２１ ５ ０ ＝ ｘꎬｘ ＝ － －
ｘ ꎬ则 ( ) ｌｎ >０
＝ｃｏｓ ０ 存在 个交点ꎬ如图ꎬ
æ ö æ ö ２
ｘ çπꎬπ÷ ｘ çπꎬπ÷ 当 ｘ 时ꎬｈ( ) ａꎬ
Ａ. ０∈è ø Ｂ. ０∈è ø ＝０ ０ ＝ －
３ ２ ４ ３
由图可知要满足 ｙ ｆ
æ ö æ ö ＝
ｘ çπꎬπ÷ ｘ ç ꎬπ÷
Ｃ. ０∈è ø Ｄ. ０∈è０ ø (ｘ)与 ｙ ｈ(ｘ)的图象存
６ ４ ６ ＝
解析 设函数 ｆ(ｘ) ｘ ｘꎬ则 ｆ(ｘ)在 在 个交点ꎬ需要 ａ
＝ －ｃｏｓ ２ － ≤
æ ö æ ö ꎬ即 ａ .故选 .
ç ꎬπ÷上单调递增ꎬ又ｆ( ) ꎬ ｆçπ÷ π １ ≥－１ Ｃ
è０ ø ０ ＝ －１<０ è ø ＝ － 答案
２ ６ ６ Ｃ
æ ö æ ö æ ö
３ ꎬ ｆçπ÷ π ２ ꎬ ｆçπ÷ π １ ꎬｆçπ÷
<０ è ø ＝ － >０ è ø ＝ － >０ è ø
２ ４ ４ ２ ３ ３ ２ ２
专
æ ö æ ö æ ö
题
π ꎬ所以有 ｆçπ÷ｆçπ÷ ꎬ ｆ( )ｆçπ÷
三
＝ >０ è ø è ø<０ ０ è ø>
２ ６ ４ ６
函
æ ö æ ö æ ö æ ö 数
ꎬ ｆçπ÷ｆçπ÷ ꎬ ｆçπ÷ｆçπ÷ ꎬ所以由函 的
０ è ø è ø>０ è ø è ø>０ 概
４ ３ ３ ２
念
数零点存在定理可知函数 ｆ(ｘ)的一个零点位 与
基
æ ö æ ö 本
于çπꎬπ÷内ꎬ即 ｘ çπꎬπ÷.故选 . 初
è ø ０∈è ø Ｃ 等
６ ４ ６ ４ 函
答案 数
Ｃ
２４７
