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专题十 计数原理
10.1 计数原理、排列与组合
基础篇
考点 计数原理、排列、组合 全排列 ｎ 个不同元素全部取出的一个排列
２) : ꎬ
叫做ｎ 个不同元素的一个全排列 ｎ ｎ ｎ
1.
计数原理 ꎬＡｎ＝ (
ｎ ｎ .于是排列
完成一件事有ｎ 类办法 各类办法相互独立 －１)( －２)３２１＝ !
１) ꎬ ꎬ
ｎ
每类办法中又有多种不同的方法 则完成这 数公式写成阶乘形式为 ｍ ! .
ꎬ Ａｎ ＝ ｎ ｍ
件事的不同方法数是各类不同方法种数的 ( － )!
规定 .
和 这就是分类计数原理. :０!＝１
ꎬ 3. 组合
完成一件事 需要分成ｎ 个步骤 每一步的完
２) ꎬ ꎬ ｍ
ｎ ｎ ｎ ｍ
成有多种不同的方法 则完成这件事的不同 计算公式 ｍ Ａｎ ( －１)( － ＋１)
ꎬ １) :Ｃｎ ＝ ｍ ＝ ｍ ｍ ＝
方法种数是各步骤的不同方法数的乘积 这
Ａｍ ( －１)１
ꎬ ｎ
就是分步计数原理.
ｍ ｎ
!
ｍ
.由于
０!＝１ꎬ
故
Ｃ
０
ｎ＝１
.
!( － )!
2.
排列
组合数的性质 ｍ ｎ － ｍ ｍ ｍ ｍ －１.
排列数公式 ｍ ｎ ｎ ｎ ｍ .
２) :Ｃｎ ＝Ｃｎ ꎻＣｎ ＋１ ＝Ｃｎ＋Ｃｎ
１) :Ａｎ ＝ ( －１)( － ＋１)
专
题
十
计
数
原
理
３１９
综合篇
考法 一 排列、组合问题的解决方法
例1 ( 届重庆质量检测ꎬ )用 ꎬ ꎬ ꎬ
２０２３ ５ １ ２ ３
ꎬ 这九个数字组成的无重复数字的四位偶
９
数中ꎬ各位数字之和为奇数的有 ( )
个 个
Ａ.６００ Ｂ.５４０
个 个
Ｃ.４８０ Ｄ.４２０
解析 依题意ꎬ要使各位数字之和为奇数ꎬ则
可能是 个奇数 个偶数或 个偶数 个
３ １ ３ １
奇数.
若为 个奇数 个偶数ꎬ则偶数一定排在个位ꎬ
３ １
则有
１ ３
个ꎻ
Ｃ４Ａ５ ＝２４０
若为 个偶数 个奇数ꎬ则有
１ １ ３
个.
３ １ Ｃ５Ｃ３Ａ４ ＝３６０
综上ꎬ一共有 个.故选 . 共有 种安排方法
２４０＋３６０＝６００ Ａ Ａ. １８
答案 若甲、乙被安排在同一社区ꎬ则有 种安排
Ａ Ｂ. ６
例2 ( 浙江ꎬ ꎬ 分)从 男 女共 名 方法
２０１７ １６ ４ ６ ２ ８
学生中选出队长 人ꎬ副队长 人ꎬ普通队员 若 Ａ 社区需要两名志愿者ꎬ则有 种安排
１ １ ２ Ｃ. ２４
人组成 人服务队ꎬ要求服务队中至少有 名女 方法
４ １
生ꎬ共有 种不同的选法.(用数字作答) 若甲被安排在 Ａ 社区ꎬ则有 种安排方法
Ｄ. １２
解析 从 人中选出 人ꎬ且至少有 名女 解析 对于 ꎬ 名志愿者先分为 组ꎬ再分
８ ４ １ Ａ ４ ３
学生的选法种数为
４ ４
.从 人中选出队 配到 个社区ꎬ所以有
２ ３
种安排方法ꎬ
Ｃ８ －Ｃ６ ＝５５ ４ ３ Ｃ４Ａ３ ＝３６
长 人ꎬ副队长 人ꎬ普通队员 人的选法为 错误ꎻ
１ １ ２ Ａ
２
种.故总共有 种选法. 对于 ꎬ甲、乙被安排在同一社区ꎬ先从 个社
Ａ４ ＝１２ ５５×１２＝６６０ Ｂ ３
答案 区中选 个安排甲与乙ꎬ剩余两名志愿者进行
６６０ １
全排列ꎬ所以有
１ ２
种安排方法ꎬ 正确ꎻ
考法 二 分组与分配问题的解题方法
Ｃ３Ａ２ ＝６ Ｂ
对于 ꎬＡ 社区需要两名志愿者ꎬ所以先从 名
Ｃ ４
志愿者中选择 名安排到 Ａ 社区ꎬ再把剩余
２ ２
名志愿者进行全排列ꎬ所以有
２ ２
种安排
Ｃ４Ａ２ ＝１２
方法ꎬ 错误ꎻ
Ｃ
对于 ꎬ甲安排在 Ａ 社区ꎬ分为两种情况ꎬ第一
Ｄ
种是 Ａ 社区安排了两名志愿者ꎬ所以从剩余
３
名志愿者中选择一个ꎬ分到 Ａ 社区ꎬ再把剩余
例3 (多选)( 届重庆八中月考一ꎬ )将 ２
２０２３ ９ 名志愿者进行全排列ꎬ有 １ ２ 种安排方法ꎻ
甲、乙、丙、丁 名志愿者分别安排到 ＡꎬＢꎬＣ 三
Ｃ３Ａ２
４ 第二种是 Ａ 社区只安排了甲志愿者ꎬ此时剩余
个社区进行暑期社会实践活动ꎬ要求每个社区
名志愿者分为两组ꎬ再分配到剩余的两个社
３
至少安排一名志愿者ꎬ则下列选项正确的是
区中ꎬ此时有
２ ２
种安排方法ꎬ
( )
Ｃ３Ａ２
所以一共有
１ ２ ２ ２
安排方法ꎬ 正确.
Ｃ３Ａ２ ＋Ｃ３Ａ２ ＝１２ Ｄ
答案
ＢＤ
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
３２０
