文档内容
专题 05 三角函数的图象与性质
目录
题型一： 三角函数的定义域...........................................................................................................3
题型二： 三角函数的值域...............................................................................................................4
题型三： 三角函数的单调性...........................................................................................................5
题型四： 三角函数的周期性、对称性、奇偶性..........................................................................6
题型五： 综合运用...........................................................................................................................9
知识点总结
知识点一、“五点法”作图
(1)在确定正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0,0)，， (π ，
0)，， (2π ， 0) ．
(2)在确定余弦函数y＝cos x在[－π，π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 ( － π ，－
1)，，(0,1)，， (π ，－ 1) ．
知识点二、三角函数的图象和性质
函数性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象(一
个周期)
｛ x|x≠kπ ＋ ，
定义域 R R
k∈Z｝
值域 [ － 1,1] [ － 1,1] R当 x＝＋2kπ 时，y
max 当x＝2kπ时，y ＝1；
最值 ＝1； max
无
当x＝2kπ＋π时，y ＝
(k∈Z) 当 x＝－＋2kπ 时， min
－1
y ＝－1
min
对称轴： 对称轴：
无对称轴；
对称性 x＝kπ＋； x ＝ k π ；
对称中心：
(k∈Z) 对称中心： 对称中心：
( k π ， 0)
最小正
2π 2π π
周期
单调递增区间： [2 k π －
单调性 单调递增区间：； π ， 2 k π] ； 单调递增区间：
(k∈Z) 单调递减区间： 单调递减区间： [2 k π ，
2 k π ＋ π]
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
例题精讲
题型一：三角函数的定义域
【要点讲解】根据函数解析式特征列出与三角函数有关的不等式,借助三角函数性质及图象
求解.
涉及与正切函数有关的定义域,要注意正切函数本身的定义域.
【例1】函数 的定义域为 ．
【变式训练1】（ 2022 春 • 南 阳 期 末 ） 函 数 的 定 义 域 是．
【变式训练2】（2023春•金牛区校级月考） 定义域为
A． B．
C． D．
【变式训练3】求下列函数的定义域：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
题型二：三角函数的值域
【要点讲解】(1)求解形如或可化为 或 的值
域,先求出 的范围,再结合三角函数的性质求最值.
(2)形如或可化为 的函数值域问题,可以通过换元转化为
二次函数最值问题.(3)形如或可化为 ,其中f(x),g(x)为正、余弦函数,常将已知条件式变形后,利用
正、余弦函数的有界性求解;
(4)形如 的三角函数,可先设 ,化为关
于t的二次函数再求值域(最值).
【例2】（2022秋•南关区校级期末）函数 的值域是
A． ， B． C． D．
【变式训练1】（2023春•郫都区校级期中）若函数 的最大值为 ，则 的值
等于
A．2 B． C．0 D．
【变式训练2】（2023春•全南县校级期中）已知函数 ，任取 ，记函数
在 ， 上的最大值为 ，最小值为 ，设 ，则函数 的值域为
A． B． C． D．
【变式训练3】（2023春•长葛市校级月考）求下列函数的值域，并求出最值．
（1） ， ，
（2） ．题型三：三角函数的单调性
【要点讲解】1.形如 的单调区间求法
将 看作一个整体,结合 的性质求解,若 时,先利用诱导公式将x的系数
化为正数.
2.已知单调区间求参数范围的两种方法
(1)求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解.
(2)由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,
列不等式(组)求解.
【例3】（2023春•凌源市月考）下列区间中，函数 单调递增的是
A． B． C． D．
【变式训练1】（2023秋•崂山区校级期末）下列区间中，函数 的单调递
增区间是
A． B． ， C． ， D． ，
【变式训练2】（2022•长治模拟）下列区间中，函数 单调递增的是
A． B． C． D．【变式训练3】（2022春•河北月考）函数 的单调递减区间为
A． B．
C． D．
题型四：三角函数的周期性、对称性、奇偶性
【要点讲解】1.三角函数周期的求法
① 求 或 或 ( 为 常 数 ,
)的周期直接应用公式 或 求解.
②形如y=|f (x)|(其中f(x)是三角函数)的周期,可以借助函数图象特征或定义求解.
2.三角函数奇偶性判断及应用
三角函数奇偶性判断借助定义,而根据奇偶性求解问题则利用性质 为奇函
数,则 ,若 为偶函数,则 .
【例4】（2023春•镇巴县期末）已知函数 在 上单调递
减，且 ， ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1】（2023•镇安县校级模拟）若函数 在区间 上单调
递减，则正数 的取值范围为A． B． C． D．
【变式训练2】（2023•烟台模拟）已知函数 在 上单调
递增，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【变式训练3】（2023•宜春模拟）已知函数 满足 ，且
在 上单调，则 在 上的值域为
A． ， B． ， C． ， D．
【例5】（2023春•新邱区校级期中）函数 的最小正周期是
A． B． C． D．
【变式训练1】（2023春•凉州区期中）函数 的最小正周期和最大值
分别是
A． 和3 B． 和2 C． 和3 D． 和2
【变式训练2】（2023春•金安区校级期中）函数 的最小正周期为
，则
A．4 B．2 C．1 D．【变式训练3】（2023•广东模拟）已知函数 ， 的最小正
周期为 ，若 ，且 为函数 的极值点，则 的最小值为
A．3 B． C． D．
【例6】（2023春•房山区期中）已知函数 ．
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）求 的单调递减区间．
【变式训练1】（2023春•简阳市校级期中）已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）求当 时， 的值域．【例7】（2023春•合江县校级期中）下列直线中，是函数 图象的对称
轴的是
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【变式训练1】（2023•扬州三模）以点 为对称中心的函数是
A． B． C． D．
【变式训练2】（2023春•朝阳区校级月考）已知函数 的最
小正周期为 ，且 恒成立，则 图象的一个对称中心坐标是
A． B． C． D．
题型五：综合运用
【例8】（2023春•焦作期末）已知函数 的图象的一个对称中心
的横坐标在区间 内，且两个相邻对称中心之间的距离大于 ，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【变式训练1】（2023春•高安市校级期中）函数 ，则下列结
论正确的是
A． 的最大值为1
B． 的图象关于点 对称C． 在 上单调递增
D． 的图象关于直线 对称
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．（2023春•盐城期中）设函数 在区间 恰有三条对称轴、两个零
点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
2．（2023•唐山二模）函数 的单调递减区间为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2023•武侯区校级模拟）当 ， 时，函数 的值域是 ，
，则 的取值范围是
A． B． C． D．
4．（2023•武侯区校级模拟）已知函数 在 上单调递增，则
在 上的零点可能有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．（2023春•西城区校级期中）函数 的图象
A．关于直线 对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
6．（2023•广州二模）已知函数 ，若 恒成立，且
，则 的单调递增区间为
A． B．
C． D．
二．多选题（共2小题）
7．（2023春•振兴区校级期中）下列关于函数 的表述正确的是
A．函数 的最小正周期
B． 是函数 的一条对称轴
C． 是函数 的一个对称中心
D．函数 在区间 上是增函数
8．（2022秋•保定期末）已知函数 ，对 ， ， ， ，
且 ， 都有 ，满足 的实数 有且只有3个，则下列选
项中正确的是
A． 的取值范围是
B． 的最小值为C．满足条件的实数 有且只有2个
D．满足条件的实数 有且只有2个
三．填空题（共4小题）
9．（2023•湖北模拟）已知函数 ，若 是函数 的图像
的一条对称轴， 是函数 的图像的一个对称中心，则 的最小值为 ．
10．（2023•闵行区校级一模）已知 ，若在 上恰有两个不相等的
实数 、 满足 （a） （b） ，则实数 的取值范围是 ．
11．（2023•绵阳模拟）已知函数 ，则 在 ， 上的零点
个数为 ．
12．（2022秋•荔湾区校级期末）函数 图象的一个对称中心为 ，图
象的对称轴为 ．
四．解答题（共3小题）
13．（2022秋•金凤区校级月考）已知函数 ， ．
（1）求 的对称轴方程；
（2）求 在区间 上的单调区间．
14．（2022秋•河南月考）已知函数 的最大值为 ．
（1）求函数 的最小正周期以及单调递增区间；
（2）求使 成立的 的取值集合．
15．（2022春•凉州区校级期中）已知函数 ．（1）求 的值；
（2）求 的最小正周期；
（3）求函数 的单调递减区间．
