专题05一元函数的导数及其应用（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习知识清单（新高考专用）

专题 05 一元函数的导数及其应用 一、知识速览 二、考点速览 知识点1 导数的概念1、函数y＝f(x)在x＝x 处的导数 0 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率＝lim为函数y＝f(x)在x＝x 处的导数，记作f′(x)或y′|x＝ 0 0 0 x，即f′(x)＝lim＝lim． 0 0 2、导数的几何意义 函数f(x)在点x 处的导数f′(x)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x ，y)处的切线的斜率(瞬时速度就是 0 0 0 0 位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y＝f′(x)(x－x)． 0 0 0 3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数． 知识点2 导数的运算 1、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝log x(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ a f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ 2、导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 知识点3 利用导数研究函数的单调性 1、导数与函数的单调性的关系 在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增； 如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内 （ ）是函数 在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数 在 上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有 （ ） 且 在 上的任何子区间内都不恒为零． 2、导数法求函数单调区间的步骤 f x （1）确定函数 的定义域； fx （2）求 （通分合并、因式分解）；fx0 （3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递增区间； fx0 （4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 知识点4 导数与函数的极值、最值 1、函数的极值 （1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝ 0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝ f(x)的极小值． （2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝ 0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝ f(x)的极大值． 2、函数的最值 （1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． （2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上 单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 一、求曲线“在”与“过”某点的切线 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤  x , f x  f(x ) 第一步（求斜率）：求出曲线在点 0 0 处切线的斜率 0 y f(x ) f(x )(xx ) 第二步（写方程）：用点斜式 0 0 0 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤 Q  x , f x  第一步：设切点为 0 0 ； y  f(x) x f(x ) 第二步：求出函数 在点 0处的导数 0 ； f(x )k x f(x ) 第三步：利用Q在曲线上和 0 PQ，解出 0及 0 ； y f(x ) f(x )(xx ) 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为 0 0 0 ． 【典例1】（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知函数 ，则曲线 在 点 处的切线方程为（ ） A． B． C． D．【答案】B 【解析】 ，切点为 ， ， 所以切线方程为 ，即 故选：B 【典例2】（2023·西藏日喀则·统考一模）已知直线 是曲线 在点 处的切线方程， 则 【答案】e 【解析】由题设， 且 ，则 ， 所以，切线方程为 ，即 ， 所以 ，故 . 【典例3】（2023·云南·校联考模拟预测）曲线 过坐标原点的切线方程为 . 【答案】 【解析】设切点为 ，则 ， ，切线的斜率为 ， 所以切线方程为 ， 又切线过原点，所以 ，即 ， 解得 ，所以切线方程为 【典例4】（2023·陕西宝鸡·统考二模）若过点 可作曲线 的三条切线，则 的取 值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设切点为 ， 由函数 ，可得 ，则 所以在点 处的切线方程为 ， 因为切线过点 ，所以 ，整理得 ， 设 ，所以 ， 令 ，解得 或 ，令 ，解得 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 要使得过点 可作曲线 的三条切线， 则满足 ，解得 ，即 的取值范围是 ．故选：C． 二、含参函数单调性讨论依据 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知函数 ，求函数 的 单调区间． 【答案】答案见解析. 【解析】函数 的定义域为 ，求导得 ， 当 时， ，由 ，得 ，由 ，得 ， 因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时，由 ，得 或 ， 当 或 时， ，当 时， ， 因此 在 ， 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 恒成立，当且仅当 时取等号，因此 在 上单调递 增； 当 时，当 或 时， ，当 时， ， 因此 在 ， 上单调递增，在 上单调递减， 所以当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ； 当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间； 当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .【典例2】（2023·全国·高三专题练习）讨论函数 的单调性． 【答案】答案见解析 【解析】函数 的定义域为 ， 求导得 ， 令 ，得 ，其中 . 当 时， ，故 在 上单调递增； 当 时， ，则 ，故 在 上单调递增； 当 时， ，由 得 ， ， 所以 或 时， ； 时， ， 所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减． 综上所述，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 ， 上单调递增， 在 上单调递减． 三、已知函数的单调性求参数 （1）函数 f x 在区间D上单调增（单减） f(x)（0 0） 在区间D上恒成立； （2）函数 f x 在区间D上存在单调增（单减）区间 f(x)（0 0） 在区间D上能成立； f x f(x) （3）已知函数 在区间D内单调 不存在变号零点 f x f(x) （4）已知函数 在区间D内不单调 存在变号零点 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值 为（ ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【解析】依题可知， 在 上恒成立，显然 ，所以 ，设 ，所以 ，所以 在 上单调递增， ，故 ，即 ，即a的最小值为 ．故选：C． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上不单调，则 的取值范 围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意 ，故 在 上有零点， 令 ，令 ，得 ， 令 ，则 ， 由 ，得 ， 单调递增，又由 ，得 ， 故 ，所以， 的取值范围 故选：A 【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若函数 恰有三个单调区间，则实数a的取值 范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得函数 的定义域为 ， ， 要使函数 恰有三个单调区间， 则 有两个不相等的实数根，∴ ，解得 且 ， 故实数a的取值范围为 ，故选：C. 四、构造函数法解决函数问题中的常见类型 关系式为“加”型构造： f(x)g(x) f(x)g(x) [f(x)g(x)] f(x)g(x) f(x)g(x) （1） 构造 xf '(x) f(x)0 [xf(x)]'  xf'(x) f(x) （2） 构造f '(x) f(x)0 [ex f(x)]' ex[f '(x) f(x)] （3） 构造 xf '(x)nf(x)0 [xnf(x)]'  xnf '(x)nxn1f(x) xn1[xf'(x)nf(x)] x （4） 构造 （注意 的符号） f(x)f(x) [f(x)ex] f(x)ex f(x)ex ex[f(x)f(x)] （5） 构造 关系式为“减”型构造： f(x) f(x)g(x) f(x)g(x) [ ] f(x)g(x) f(x)g(x) g(x) [g(x)]2 （6） 构造 f(x) xf '(x) f(x) [ ]'  （7） xf '(x) f(x)0 构造 x x2 f(x) f'(x)ex  f(x)ex f '(x) f(x) [ ]'   f '(x) f(x)0 ex (ex)2 ex （8） 构造 f(x) xnf'(x)nxn1f(x) xf '(x)nf(x) [ ]'   xf '(x)nf(x)0 xn (xn)2 xn1 x （9） 构造 （注意 的符号） f(x) f(x)ex f(x)ex f(x)f(x) [ ]  f(x)f(x) ex [ex]2 ex （10） 构造 【典例1】（2023春·重庆·高二校联考期中）已知定义在 上的函数 满足： ，且 ，则 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 ， ， 因为 ，所以 ，所以 在 单调递增， 因为 ，所以 ， 由 ，且 得 ，则 ， 所以 ，又 在 单调递增，所以 ，故选：A． 【典例2】（2023春·江西南昌·高二校联考阶段练习）若定义域为 的函数 满足 ，则不等式 的解集为 .【答案】 【解析】由 时，函数 满足 ，可得 ， 设 ，则 ，故 在 上单调递增， 由 ，即 ，即 ， 所以 ，解得 ，所以 的解集为 . 【典例3】（2023春·四川宜宾·高二校考期中）已知 是定义在 上的函数，导函数 满足 对于 恒成立，则（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】D 【解析】设函数 ，由 ，可得 ， 所以 在R上单调递减， 则 ，得 ，即 ， 则 ，得 ，即 .故选：D 五、单变量不等式恒成立问题 一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： m f x m f x xD 1、 ， min m f x m f x xD 2、 ， max m f x m f x xD 3、 ， max m f x m f x xD 4、 ， min 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若对于 ，不等式 恒成立，则参数a的取值范 围为 ．【答案】 【解析】令 ，可得 ， 若 时， ， 单调递减， 又由 ，所以当 时，可得 ，不符合题意，舍去； 若 时，令 ，可得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 又由 ，所以存在 ，使得 ，不符合题意，舍去； 若 时，令 ，可得 ， 当 时， ， 单调递增，且 ， 所以当 时， 恒成立，符合题意， 所以实数 的取值范围为 ． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对任意的 ， 恒成 立，求实数 的取值范围． 【答案】 【解析】解法一，由 在 上恒成立，得 在 上恒成立， 即 在 上恒成立 令 ， ，则 ． 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 因为 ， ，所以 ，所以 ，即实数 的取值范围为 ． 解法二，由 在 上恒成立，得 在 上恒成立． 令 ， ，则 满足 即可 ，当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ． 因为 ， ，所以 ， 所以 ，即实数 的取值范围为 ． 六、双变量不等式与等式 y f x,xa,b ygx,xc,d 一般地，已知函数 ， 1、不等关系 （1）若 x 1 a,b ， x 2 c,d ，总有 f x 1 gx 2  成立，故 f x max gx min ； （2）若 x 1 a,b ， x 2 c,d ，有 f x 1 gx 2  成立，故 f x max gx max ； （3）若 x 1 a,b ， x 2 c,d ，有 f x 1 gx 2  成立，故 f x min gx min ； （4）若 x 1 a,b ， x 2 c,d ，有 f x 1 gx 2  成立，故 f x min gx max ． 2、相等关系 记 y f x,xa,b 的值域为A, ygx,xc,d 的值域为B, （1）若 x 1 a,b ， x 2 c,d ，有 f x 1 =gx 2  成立，则有AB； （2）若 x 1 a,b ， x 2 c,d ，有 f x 1 =gx 2  成立，则有AB； （3）若 x 1 a,b ， x 2 c,d ，有 f x 1 =gx 2  成立，故AB； 一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： m f x m f x xD 1、 ， min m f x m f x xD 2、 ， max m f x m f x xD 3、 ， max m f x m f x xD 4、 ， min【典例1】（2023春·四川宜宾·高二校考期中）已知函数 ， ，对任 意的 ，都有 成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，则 ， 令 ，解得 或 ；令 ， 解得 ， ，故 在 单调递减，在 单调递增，在 单调递减， 且 ，故 ， 任意的 ，都有 成立，则 ， 因为 ，则 ， 当 时， 在 单调递增， 所以 ， 故 ，即 (舍去)； 当 时，令 ，解得 ；令 ， 解得 ， 故 在 上单调递减， 在 上单调递增， 所以 ， 所以 ，即 ， 解得 ， 综上所述，实数 的取值范围为 .故选：A 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，函数 ，若对任意的，存在 ，使得 ，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意得 ． 因为 ， 当 时， ，故 在 上单调递增， ． 因为 ， 当 时， ，当 时， ， 故 在 上单调递增，在 上单调递减， ． 由 ，即 ，解得 ． 易错点1 复合函数求导错误 点拨：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即 。 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数． (1) ； (2) ； (3) (4) ； 【答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4) 【解析】（1）因为 ，所以 . （2）因为 ，所以 .（3）因为 ，所以 （4）因为 ，所以 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）求 的导函数. 【答案】 【解析】因为 ， 所以 . 故答案为： 易错点2 误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系 点拨：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于 0的点，而没有对这些点左右两 侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导 数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条 件是 两侧异号。 【典例1】（2022秋·辽宁鞍山·高三校联考期中）已知定义域为 的函数 的导函数为 ，且函 数 的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A． 有极小值 ，极大值 B． 有极小值 ，极大值 C． 有极小值 ，极大值 和 D． 有极小值 ，极大值【答案】D 【解析】观察图象知，当 时， 或 且 ， 当 时， 或 ， 而当 时， ，当 时， ， 因此当 或 时， ， 当 时， ，当且仅当 时取等号， 则 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 有极小值 ，极大值 ，A，B，C不正确；D正确.故选：D 【典例2】（2022秋·北京·高三北京铁路二中校考阶段练习）设函数 的定义域为 ， 是 的极大值点，以下四个结论中正确的命题序号是 . ① ， ； ② 是 的极大值点； ③ 是 的极小值点； ④ 是 的极小值点 【答案】②④ 【解析】对于①： 是 的极大值点，并不一定是最大值点，即①错误； 对于②：因为 与 的图象关于 轴对称， 且 是 的极大值点， 所以 应是 的极大值点，即②正确； 对于③：因为 与 的图象关于 轴对称， 且 是 的极大值点， 所以 应是 的极小值点， 且无法判定 是 的极小值点，即③错误； 对于④：因为 与 的图象关于 对称， 且 是 的极大值点， 所以 应是 的极小值点，即④正确；故答案为：②④. 【典例3】（2023·全国·高三对口高考）如果函数 在 处有极值 ，则的值为 ． 【答案】2 【解析】因为函数 在 处有极值 ， 所以 ， . 由于 ， 所以 ， ， 解得： 或 . 当 时， ， ，所以 单调递减，无极值. 所以 .故答案为：2 易错点3 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻 点拨：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于 0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此 区间上单调增（减）的充分条件。 【典例1】（2023·陕西西安·统考三模）若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范 围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数 在区间 上单调递增， 所以 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立， 令 ，则 ， 所以 在 上递增，又 ，所以 . 所以 的取值范围是 .故选：B【典例2】（2022秋·山东济宁·高三校考阶段练习）已知函数 ，若 在 内 为减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 ， ∵ 在 内为减函数， ∴ 在 内恒成立， ∴ ，即 ，解得 ． 所以实数a的取值范围是 ． 【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的单调递减区间为 ，则 的值 为（ ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【解析】由 ，所以 ， 单调递减区间是 ， 的解集为 ， 即 的解集为 ， ， ，经检验符合题意.故选：D. 易错点4 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚 点拨：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函 数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负。 【典例1】（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图是函数 的导函数 的图象，若 ， 则 的图象大致为（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 的图象可知，当 时， ， 则在区间 上，函数 上各点处切线的斜率在区间 内， 对于A，在区间 上，函数 上各点处切线的斜率均小于0，故A不正确； 对于B，在区间 上，函数 上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故B不正确； 对于C，在区间 上，函数 上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故C不正确； 对于D，由 的图象可知，当 时， ， 当 时， ，当 时， ， 所以函数 上各点处切线的斜率在区间 内，在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增， 而函数 的图象均符合这些性质，故D正确.故选：D 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知定义在 上的函数 ，其导函数 的大致图 像如图所示，则下列叙述正确的是（ ）A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】由题意得，当 时， ，所以函数 在 上单调递增， 因为 ，所以 ，C选项正确. 当 时， ，所以函数 在 上单调递减， 因为 ，所以 ，D选项正确.故选：CD