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专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 ８９
３．２ 函数的基本性质
§
减区间 有多个时 不能用 连接 而应该用 和 或 连接．
） ， “∪” ， “ ” “，”
例如 ｙ １ 的单调减区间为 和 但不能写成
： ＝ ｘ （－∞，０） （０，＋∞），
考点一 函数的单调性及最值 ．
（－∞，０）∪（０，＋∞）
１．函数的单调性 ２．函数的最值
单调函数的定义
（１） 前提 一般地 ， 设函数ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的定义域为Ｉ ， 如果存在实数Ｍ满足
增函数 减函数 对于任意的 ｘ Ｉ 都有 对于任意的 ｘ Ｉ 都有
（１） ∈ ， （１） ∈ ，
一般地 设函数ｆ ｘ 的定义域为Ｉ．区间Ｄ Ｉ 如果对于 ｆ（ｘ） Ｍ ｆ（ｘ） Ｍ
， （ ） ⊆ ， 条件 ⑤ ≤ ⑦ ≥
任意ｘ ｘ Ｄ 且ｘ ｘ 存 在 ｘ Ｉ 使 得 存在ｘ Ｉ 使得 ｆ（ｘ ）
１， ２∈ ， １＜ ２ （２） ０ ∈ ， （２） ０∈ ， ⑧ ０
ｆ（ｘ ） Ｍ Ｍ
定义 都有 ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ ） 都有 ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ ） ⑥ ０ ＝ ＝
① １ ＜ ２ ② １ ＞ ２ 结论 Ｍ是ｆ ｘ 的 最大值 Ｍ是ｆ ｘ 的 最小值
（ ） ⑨ （ ） ⑩
函数ｆ ｘ 在区间 Ｄ上是 函数 ｆ ｘ 在区间 Ｄ 上是
（ ） （ ）
增函数 减函数 考点二 函数的奇偶性
③ ④
１．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
图象描述 一般地 如果对于函数ｆ ｘ 的定义域内
， （ ）
偶函数 任意一个ｘ 都有 ｆ（ ｘ） ｆ（ｘ） 那么 关于 ｙ轴对称
， － ＝ ，
自左向右看图象是下降的 函数ｆ ｘ 就叫做偶函数
自左向右看图象是上升的 （ ）
一般地 如果对于函数ｆ ｘ 的定义域内
知识拓展 单调函数的定义有以下两种等价形式 ， （ ）
（ａ） ： 奇函数 任意一个ｘ 都有 ｆ（ ｘ） ｆ（ｘ） 那 关于 原点对称
， － ＝－ ，
ｘ ｘ ａ ｂ 且ｘ ｘ 么函数ｆ ｘ 就叫做奇函数
∀ １， ２∈［ ， ］， １≠ ２， （ ）
ｆ ｘ ｆ ｘ
（ １）－（ ２） ｆ ｘ 在 ａ ｂ 上是增函数 ２．奇、偶函数的性质
（ｉ） ｘ ｘ ＞０⇔（ ） ［ ， ］ ；
１－ ２ 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 偶
ｆ ｘ ｆ ｘ （１） ，
（ １）－（ ２） ｆ ｘ 在 ａ ｂ 上是减函数． 函数在关于原点对称的区间上的单调性 相反 ．
ｘ ｘ ＜０⇔（ ） ［ ， ］
１－ ２ 在公共定义域内
ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 在 ａ ｂ 上是增函数 （２） ，
（ｉｉ）（ １－ ２）［ （ １）－（ ２）］＞０⇔（ ） ［ ， ］ ； 两个奇函数的和是奇函数 两个奇函数的积是偶函数
ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 在 ａ ｂ 上是减函数． （ｉ） ， ；
（ １－ ２）［ （ １）－（ ２）］＜０⇔（ ） ［ ， ］ 两个偶函数的和 积都是偶函数
复合函数的单调性 （ｉｉ） 、 ；
（ｂ） 一个奇函数 一个偶函数的积是奇函数．
函数ｙ ｆ ｕ ｕ φ ｘ 在函数ｙ ｆ φ ｘ 的定义域上 如果ｙ （ｉｉｉ） 、
＝ （ ）， ＝ （ ）， ＝ （ （ ）） ，
ｆ ｕ ｕ φ ｘ 的单调性相同 那么ｙ ｆ φ ｘ 单调递增 如果ｙ 考点三 函数的周期性
＝ （ ）， ＝ （ ） ， ＝ （ （ ）） ； ＝
ｆ ｕ ｕ φ ｘ 的单调性相反 那么ｙ ｆ φ ｘ 单调递减．
（ ）， ＝ （ ） ， ＝ （ （ ）） １．周期函数的概念
函数单调性的常用结论
（ｃ） 对于函数ｆ ｘ 如果存在一个非零常数Ｔ 使得当ｘ取定义
若ｆ ｘ ｇ ｘ 均为区间 Ａ上的增 减 函数 则 ｆ ｘ （ ）， ，
（ｉ） （ ）， （ ） （ ） ， （ ）＋ 域内的任何值时 都有 ｆ（ｘ Ｔ） ｆ（ｘ） 那么函数ｆ ｘ 叫做周
ｇ ｘ 也是区间Ａ上的增 减 函数． ， ＋ ＝ ， （ ）
（ ） （ ） 期函数 非零常数Ｔ叫做ｆ ｘ 的周期．如果所有的周期中存在一
若ｋ 则ｋｆ ｘ 与ｆ ｘ 的单调性相同 若ｋ 则ｋｆ ｘ ， （ ）
（ｉｉ） ＞０， （ ） （ ） ， ＜０， （ ） 个最小的正数 那么这个最小正数就叫做ｆ ｘ 的最小正周期．
与ｆ ｘ 的单调性相反． ， （ ）
（ ）
２．关于函数周期性的几个常用结论
函数ｙ ｆ ｘ ｆ ｘ 在公共定义域内与ｙ ｆ ｘ ｙ
（ｉｉｉ） ＝ （ ）（ （ ）＞０） ＝－ （ ）， 若ｆ ｘ ａ ｆ ｘ ｂ ａ ｂ 则ｆ ｘ 的周期是 Ｔ ａ ｂ ．
（１） （ ＋ ）＝ （ ＋ ）（ ≠ ）， （ ） ＝｜ － ｜
１ 的单调性相反． 若ｆ ｘ ａ ｆ ｘ 则ｆ ｘ 的周期是 Ｔ ａ ．
＝ｆ ｘ （２） （ ＋ ）＝－（ ）， （ ） ＝２｜ ｜
（ ）
若ｆ ｘ ａ １ 或 ｆ ｘ ａ １ 其中 ｆ ｘ 则
函数ｙ ｆ ｘ ｆ ｘ 在公共定义域内与ｙ ｆ ｘ （３） （ ＋ ）＝ ｆ ｘ （ ＋ ）＝ －ｆ ｘ ， （ ）≠０，
（ｉｖ） ＝ （ ）（ （ ）≥０） ＝ （ ） （ ） （ ）
的单调性相同． ｆ ｘ 的周期是 Ｔ ａ ．
（ ） ＝２｜ ｜
单调区间的定义 设ｆ ｘ 是Ｒ上的偶函数 且图象关于直线ｘ ａ ａ
（２） （４） （ ） ， ＝ （ ≠０）
若函数ｆ ｘ 在区间Ｄ上是单调增函数或单调减函数 则称 对称 则ｆ ｘ 是周期函数 ａ 是它的一个周期．
（ ） ， ， （ ） ，２｜ ｜
函数ｆ ｘ 在这一区间上具有 严格的 单调性 区间Ｄ叫做ｙ 设ｆ ｘ 是Ｒ上的奇函数 且图象关于直线ｘ ａ ａ
（ ） （ ） ， ＝ （５） （ ） ， ＝ （ ≠０）
ｆ ｘ 的单调区间． 对称 则ｆ ｘ 是周期函数 ａ 是它的一个周期．
（ ） ， （ ） ，４｜ ｜
注意 单调区间只能用区间表示 当一个函数的增区间 或
， （
９０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
考点二 函数的奇偶性
ｘ
５．若函数ｆ ｘ 为奇函数 则ａ
考点一 函数的单调性及最值 （ ）＝ ｘ ｘ ａ ， ＝ （ ）
（２ －１）（ ＋ ）
１．下列说法中正确的个数是
（ ） １ ２ ３
ｆ ｘ ｆ ｘ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．１
①
ｆ （ ｘ
若
） 在
对任
Ｉ上
意
是
ｘ
增
１，
函
ｘ ２
数
∈
；
Ｉ ， 当 ｘ １＜ ｘ ２ 时 ， （ １ ｘ ）
１
－
－
ｘ （
２
２） ＞０， 则 ｙ ＝
６．设
答
ｆ
２
（
案
ｘ ） 为
Ａ
定义在Ｒ
３
上的奇函数 ， 当
４
ｘ ≥０ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝３ ｘ －７ ｘ ＋２ ｂ
② 函数ｙ ＝ ｘ２ 在Ｒ上是增函数 ； （ ｂ为常数 ）， 则ｆ （－２）＝ （ ）
函数ｙ １ 在定义域上是增函数 Ａ．６ Ｂ．－６ Ｃ．４ Ｄ．－４
③ ＝－ ｘ ； 答案 Ａ
７．已知奇函数 ｆ ｘ 在 上单调递增 且 ｆ 若
函数ｙ １ 的单调区间是 ． （ ） （０，＋∞） ， （１）＝ ０，
④ ＝ ｘ （－∞，０）∪（０，＋∞） ｆ ｘ 则ｘ的取值范围为
（ －１）＞０， （ ）
ｘ ｘ 或ｘ ｘ ｘ 或ｘ
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ Ａ．｛ ｜０＜ ＜１ ＞２｝ Ｂ．｛ ｜ ＜０ ＞２｝
答案 Ｂ ｘ ｘ 或ｘ ｘ ｘ 或ｘ
Ｃ．｛ ｜ ＜０ ＞３｝ Ｄ．｛ ｜ ＜－１ ＞１｝
２．下列函数在 上是单调递增函数的是 答案 Ａ
（０，２） （ ）
Ａ． ｙ ＝ｘ １ Ｂ． ｙ ＝ｌｏｇ１ ２（２－ ｘ ） 考点三 函数的周期性
－２
ｙ
(
１
)ｘ －２
ｙ ｘ
８．已知函数ｆ
（
ｘ
）
是定义在 Ｒ上的偶函数
，
并且满足 ｆ
（
ｘ
＋２）＝
Ｃ． ＝ Ｄ． ＝ ２－
２ １ 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 则ｆ ．
答案 Ｂ －ｆ ｘ ， ２≤ ≤３ ， （ ）＝ ， （１０５５）＝ （ ）
（ ）
３．函数ｙ
＝ｌｏｇ１ ２（－
ｘ２
＋
ｘ
＋６）
的单调增区间为
（ ） Ａ．－２
．
５ Ｂ．２
．
５ Ｃ．５
．
５ Ｄ．－５
．
５
( ) ( ) ( ) 答案 Ｂ
１ １ １
Ａ． ，３ Ｂ． －２， Ｃ．（－２，３） Ｄ． ，＋∞ ９．奇函数ｆ ｘ 的定义域为 Ｒ 若 ｆ ｘ 为偶函数 且 ｆ
２ ２ ２ （ ） ， （ ＋１） ， （－１）＝
答案 Ａ 则ｆ ｆ
－１， （２０１８）＋（２０１９）＝ （ ）
４．已知函数ｆ ｘ 为Ｒ上的增函数 若ｆ ａ２ ａ ｆ ａ 则实数ａ
（ ） ， （ － ）＞（ ＋３）， Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．０ Ｄ．１
的取值范围为 ． 答案 Ｂ
答案 １０．设ｆ ｘ 是定义在Ｒ上以 为周期的偶函数 当ｘ 时
（－∞，－１）∪（３，＋∞） （ ） ２ ， ∈［０，１］ ，
ｆ ｘ ｘ 则函数ｆ ｘ 在 上的解析式是
（ ）＝ｌｏｇ２（ ＋１）， （ ） ［１，２］
．
答案 ｆ ｘ ｘ
（ ）＝ｌｏｇ２（３－ ）
答案 Ｂ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ａ单调递增 则ｆ ｘ
≤１ ， （ ）＝２ ＋２＋ ， （ ）≤
ｆ ａ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 单调递减 则ｆ ｘ
（１）＝ ＋４； ＞１ ， （ ）＝ｌｏｇ１ ２（ ＋１） ， （ ）＜
ｆ 因为函数有最大值 所以 ａ 解得ａ 故
（１）＝－１， ， ４＋ ≥－１， ≥－５，
考点一 函数的单调性及最值
选 ．
Ｂ
{ａｘ ｘ [ ]
１．（２０２０北京房山一模，７）已知函数 ｆ ｘ ， ＞－１， 若 ３．已知函数ｆ ｘ ｘ ｇ ｘ ｘ ａ 若存在ｘ ｘ １ 使
（ ）＝ ｂｘ ｘ ． （ ）＝ｌｏｇ２ ， （ ）＝２ ＋ ， １， ２∈ ，２ ，
＋１， ≤－１ ２
ｆ 且ｆ ｘ 在Ｒ上单调递增 则ａ的取值范围是 得ｆ ｘ ｇ ｘ 则实数ａ的取值范围是
（－２）＝０， （ ） ， （ １）＝ （ ２）， （ ）
（ ） Ａ．［－５，０］ Ｂ．（－∞，－５］∪［０，＋∞）
Ａ．（０，２］ Ｂ．（１，２］ Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．［２，＋∞） Ｃ．（－５，０） Ｄ．（－∞，－５）∪（０，＋∞）
[ ]
答案 Ｂ 由ｆ ｂ 得ｂ １ 又由ｆ ｘ 在Ｒ上 答案 Ａ 由ｆ ｘ ｘ ｘ １ 得ｆ ｘ ．
（－２）＝－２ ＋１＝０， ＝ ， （ ） （ ）＝ｌｏｇ２ ， ∈ ，２ ， （ ）∈［－１，１］
２ ２
{ａ [ ]
＞１， 若存在ｘ ｘ １ 使得ｇ ｘ ｆ ｘ
单调递增 得 即 ａ 故选Ｂ． １， ２∈ ，２ ， （ ２）＝ （ １），
， ａ－１ １ １＜ ≤２， ２
≥－ ＋１， 则ｇ ｘ ｇ ａ 解得ａ
２ （ ）ｍａｘ＝ （２）＝４＋ ≥－１， ≥－５，
易错警示 分段函数递增 减 既需要每段均为增函数 减函 ( )
（ ）， （ ｇ ｘ ｇ １ ａ 解得ａ ．
数 还需要考虑各段定义域临界点处的函数值大小关系． （ ）ｍｉｎ＝ ＝１＋ ≤１， ≤０
）， ２
２．（２０２０ 甘 肃、 青 海、 宁 夏 联 考， ６） 若 函 数 ｆ ｘ 综上 ａ 故选 ．
（ ） ＝ ，－５≤ ≤０， Ａ
{ ｘ ａ ｘ ４．（２０１７ 浙江绍兴教学质量调测（３ 月），９）记 ｘ ｙ
２ ＋２＋ ， ≤１， 有最大值 则ａ的取值范围为 ｍｉｎ｛ ， ｝ ＝
ｘ ｘ ， （ ） {ｙ ｘ ｙ
ｌｏｇ１ ２（ ＋１）， ＞１ ， ≥ ，设ｆ ｘ ｘ２ ｘ３ 则
ｘ ｘ ｙ （ ）＝ｍｉｎ｛ ， ｝， （ ）
Ａ．（－５，＋∞） Ｂ．［－５，＋∞） Ｃ．（－∞，－５） Ｄ．（－∞，－５］ ， ＜ ，
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 ９１
存在ｔ ｆ ｔ ｆ ｔ ｆ ｔ ｆ ｔ ｆ ｘ 为奇函数 ｆ ｘ 为偶函数
Ａ． ＞０，｜ （ ）＋（－）｜＞（ ）－（－） Ｃ． （ ＋３） Ｄ． （ ＋４）
存在ｔ ｆ ｔ ｆ ｔ ｆ ｔ ｆ ｔ 答案 ＡＢＣ 本题主要考查函数的奇偶性 周期性 考查逻
Ｂ． ＞０，｜ （ ）－（－）｜＞（ ）－（－） ， ，
存在ｔ ｆ ｔ ｆ ｔ ｆ ｔ ｆ ｔ 辑推理的核心素养．
Ｃ． ＞０，｜ （１＋）＋（１－）｜＞（１＋）＋（１－）
存在ｔ ｆ ｔ ｆ ｔ ｆ ｔ ｆ ｔ ｆ ｘ 为奇函数 ｆ ｘ ｆ ｘ
Ｄ． ＞０，｜ （１＋）－（１－）｜＞（１＋）－（１－） ∵ （ ＋１） ，∴ （－ ＋１）＝－（ ＋１），
答案 Ｃ 作出函数ｆ ｘ ｘ２ ｘ３ 的图象 显然该函数 ｆ ｘ ｆ ｘ
（ ）＝ｍｉｎ｛ ， ｝ ， ∴ （－ ）＝－（ ＋２），
是单调递增的 所以对任意的ｔ 均有 ｆ ｔ ｆ ｔ ｆ ｔ 又 ｆ ｘ 为奇函数 ｆ ｘ ｆ ｘ
， ＞０ ｜ （ ）－ （－ ）｜＝ （ ）－ ∵ （ ＋２） ，∴ （－ ＋２）＝－（ ＋２），
ｆ ｔ 且 ｆ ｔ ｆ ｔ ｆ ｔ ｆ ｔ 因此排除 ． ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ
（－）， ｜ （１＋）－（１－）｜＝ （１＋）－（１－）， Ｂ，Ｄ ∴ （－ ）＝－（ ＋４），∴ －（ ＋２）＝－（ ＋４），
考虑选项 当 ｔ 时 ｆ ｔ ｔ３ ｆ ｔ ｔ３ 则 ｆ ｘ ｆ ｘ 即ｆ ｘ ｆ ｘ
Ａ， ０≤≤１ ， （ ）＝ ， （－）＝－ ， ∴ （ ＋２）＝ （ ＋４）， （ ＋２）＝ （ ），
ｆ ｔ ｆ ｔ ｔ３ ｔ ３ ｔ３ ｔ３ ｔ３ ｆ ｔ ｆ ｔ ｆ ｘ 是周期为 的奇函数 ｆ ｘ 是奇函数．
｜ （ ）＋（－）｜＝｜ ＋（－） ｜＝ － ＝０≤２ ＝ （ ）－（－）； ∴ （ ） ２ ，∴ （ ＋４）
当ｔ 时 ｆ ｔ ｔ２ ｆ ｔ ｔ３ 则 ｆ ｘ 的周期为 且ｆ ｘ 是奇函数
＞１ ， （ ）＝ ， （－）＝－ ， ∵ （ ） ２， （ ＋１） ，
ｆ ｔ ｆ ｔ ｔ２ ｔ３ ｔ３ ｔ２ ｆ ｔ ｆ ｔ ｔ２ ｔ３ ｆ ｘ ｆ ｘ 是奇函数 故 ， ， 均正确．
｜ （ ）＋（－）｜＝｜ － ｜＝ － ， （ ）－（－）＝ ＋ ， ∴ （ ＋３）＝ （ ＋１） ， Ａ Ｂ Ｃ
又ｔ３ ｔ２ ｔ２ ｔ３ ｔ２ 小题巧解 由函数ｆ ｘ 和ｆ ｘ 均为奇函数 根据函数图
－ －（ ＋ ）＝－２ ＜０， （ ＋１） （ ＋２） ，
所以 ｆ ｔ ｆ ｔ ｆ ｔ ｆ ｔ 排除 故选 ． 象的平移变换可得点 和 均为函数ｆ ｘ 图象的对称
｜ （ ）＋（－）｜＜（ ）－（－）， Ａ． Ｃ （１，０） （２，０） （ ）
中心．所以函数ｆ ｘ 的周期为 利用数形结合即可求解．
（ ） ２，
２．（２０１８北京房山一模，５）下列函数中 与函数ｙ ｘ３ 的单调性
， ＝
和奇偶性相同的是
（ ）
ｙ ｘ ｙ ｘ
Ａ． ＝ Ｂ． ＝ｌｎ
ｙ ｘ ｙ ｘ － ｘ
Ｃ． ＝ｔａｎ Ｄ． ＝ｅ －ｅ
答案 Ｄ 由定义域可得ｙ ｘ和ｙ ｘ是非奇非偶函数
＝ ＝ｌｎ ，
( )
故排除 ｙ ｘ 的单调增区间是 ｋ π ｋ π ｋ
Ａ、Ｂ； ＝ｔａｎ π－ ， π＋ ， ∈
５．若函数ｆ ｘ １ 在区间 ａ 上的最大值与最小值的和为 ３ ２ ２
（ ）＝ ｘ ［２， ］ ， Ｚ 故排除 只有 符合要求 故选 ．
４ ， Ｃ； Ｄ ， Ｄ
则ａ ． ３．（２０１７北京海淀二模，６）已知ｆ ｘ 是Ｒ上的奇函数 则 ｘ
＝ （ ） ， “ １＋
答案 ｘ 是 ｆ ｘ ｆ ｘ 的
４ ２＝０” “ （ １）＋（ ２）＝０” （ ）
充分而不必要条件 必要而不充分条件
解析 ｆ ｘ １ 在 上是减函数 因为 ａ Ａ． Ｂ．
（ ）＝ ｘ （０，＋∞） ， ［２， ］⫋（０， 充分必要条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ．
＋∞），
所以ｆ
（
ｘ
）＝
１
ｘ
在
［２，
ａ
］
上也是减函数
，
所以 ｆ
（
ｘ
）ｍａｘ＝ 从
答
而
案
ｆ ｘ
Ａ
ｆ
若
ｘ
ｘ １＋ ｘ ２＝
故
０
充
， 则
分
ｘ
性
１＝
成
－
立
ｘ ２， ｆ （ ｘ １）＝ ｆ （－ ｘ ２）＝－ ｆ （ ｘ ２），
（ １）＋（ ２）＝０， ；
ｆ １ ｆ ｘ ｆ ａ １ 所以 １ １ ３ 所以ａ ． 若ｆ ｘ 则ｘ ｘ 时 ｆ ｘ ｆ ｘ 但ｘ ｘ
（２）＝
２
， （ ）ｍｉｎ＝ （ ）＝ ａ ，
２
＋ ａ ＝
４
， ＝４
故必
（
要
）
性
＝
不
０，
成立
１＝
所
１，
以
２＝
ｘ
２
ｘ
， （
是
１）＋
ｆ
（
ｘ
２）＝
ｆ
０
ｘ
， １＋
的
２≠
充
０
分
，
ｘ ， “ １＋ ２＝０” “ （ １）＋ （ ２）＝０”
６．（２０２０浙江百校联考，１１）若函数ｆ ｘ 为奇函 而不必要条件．
（ ）＝ ｘ ｘ ａ
（ ＋２）（ － ） ４．（２０１７安徽淮南一模，７）函数ｙ ｆ ｘ 在 上单调递增 且
数 则实数 ａ 的值为 当 ｘ 时 ｆ ｘ 的最大值 ＝ （ ） ［０，２］ ，
， ； ≥４ ， （ ） 函数ｆ ｘ 是偶函数 则下列结论成立的是
为 ． （ ＋２） ， （ ）
( ) ( ) ( ) ( )
ｆ ｆ ５ ｆ ７ ｆ ７ ｆ ｆ ５
答案 １ Ａ． （１）＜ ＜ Ｂ． ＜（１）＜
２； ２ ２ ２ ２
３ ( ) ( ) ( ) ( )
解析 本题考查函数的奇偶性 函数的最值 考查学生数学 ｆ ７ ｆ ５ ｆ ｆ ５ ｆ ｆ ７
， ； Ｃ． ＜ ＜（１） Ｄ． ＜（１）＜
运算的能力和数形结合的思想 考查了数学运算的核心素养． ２ ２ ２ ２
； 答案 Ｂ 函数ｙ ｆ ｘ 在 上单调递增 且函数ｆ ｘ
由函数 ｆ ｘ 是奇函数知 ｆ ｘ ｆ ｘ 恒成立 即 ∵ ＝ （ ） ［０，２］ ， （ ＋
（ ） （－ ） ＝ － （ ） ， 是偶函数
ｘ ｘ ２） ，
－ 恒成立 则ｘ２ ａ ｘ ａ ｘ２ 函数ｙ ｆ ｘ 在 上单调递减 且在 上函数 ｙ
ｘ ｘ ａ ＝－ ｘ ｘ ａ ， ＋（ －２） －２ ＝ ∴ ＝ （ ） ［２，４］ ， ［０，４］ ＝
（－ ＋２）（－ － ） （ ＋２）（ － ） ( )
ａ ｘ ａ 恒成立 所以 ａ ａ 即 ａ ．所以 ｆ ｘ ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｆ ｆ ７ ｆ
＋（２－ ） －２ ， －２＝２－ ， ＝２ （ ）＝ （ ） （２－ ）＝ （２＋ ），∴ （１）＝ （３）， ＜ （３）＜
ｘ ｘ ２
１ ． ( ) ( ) ( )
（
ｘ
＋２）（
ｘ
－２）
＝ｘ２
－４
＝
ｘ ４
ｆ ５
，
即ｆ ７
＜
ｆ
（１）＜
ｆ ５ ．故选
Ｂ
．
－ ｘ ２ ２ ２
５．（２０１８江苏南京、盐城高三二模，１０）已知函数ｆ ｘ 是定义在
（ ）
当ｘ
≥４
时
，
ｇ
（
ｘ
）＝
ｘ
－
４
ｘ
单调递增
，
所以ｇ
（
ｘ
）≥４－
４
＝３，
Ｒ上的偶函数
，
且当ｘ
≥０
时
，
ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ２
＋
ｘ．若ｆ
（
ａ
）＋
ｆ
（－
ａ
）＜４，
４ 则实数ａ的取值范围为 ．
则ｆ ｘ １ １ 即当ｘ 时 ｆ ｘ 的最大值为 １ ． 答案
（ ）＝
ｘ ４
≤
３
， ≥４ ， （ ）
３
（－１，１）
－ ｘ 解析 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ ｘ为增函数
≥０ ， （ ）＝ ＋ ，
小题巧解 根据定义域关于原点对称可以直接得出ａ ． ｆ ｘ 为定义在Ｒ上的偶函数
＝２ ∵ （ ） ，
ｆ ａ ｆ ａ ｆ ａ
∴ （ ）＋（－ ）＝２（ ）＜４，
考点二 函数的奇偶性 ｆ ａ ｆ
∴ （ ）＜２＝ （１），
１．（多选题）函数ｆ ｘ 的定义域为Ｒ 且ｆ ｘ 与ｆ ｘ 都为奇 由ｆ ｘ 是偶函数 得ｆ ａ ｆ ａ
（ ） ， （ ＋１） （ ＋２） （ ） ， （ ）＝ （｜ ｜），
函数 则 ｆ ａ ｆ
， （ ） ∴ （｜ ｜）＜（１），
ｆ ｘ 为奇函数 ｆ ｘ 为周期函数 ａ
Ａ． （ ） Ｂ． （ ） ∴ ｜ ｜＜１，
９２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ａ ． 函数ｆ ｘ 是以 为周期的周期函数
∴ －１＜ ＜１ ∴ （ ） ８ ，
又由 ｆ ｘ ｆ ｘ 可得ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 因为
６．（２０１８浙江台州第一次调考（４月），１３）若函数ｆ ｘ ａ ２ （ －４）＝－ （ ） （ ＋２）＝－ （ ＋６）＝－ （ －２），
（ ）＝ － ｘ ｆ ｘ 是奇函数 所以ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 所以ｆ ｘ 的
２ －１ （ ） ， （ ＋２）＝－ （ －２）＝ （２－ ）， （ ）
ａ Ｒ 是奇函数 则 ａ 函数 ｆ ｘ 的值 图象关于ｘ 对称 结合在 上为增函数 可得函数的大
（ ∈ ） ， ＝ ， （ ） ＝２ ， ［０，２］ ，
域为 ． 致图象如图 由图看出 四个交点中的左边两个交点的横坐标
， ，
答案 之和为 另两个交点的横坐标之和为 所以ｘ ｘ
－１；（－∞，－１）∪（１，＋∞） ２×（－６）， ２×２， １＋ ２
解析 由已知得函数ｆ ｘ 的定义域为 ｘ ｘ ．故选
（ ） （－∞，０）∪（０，＋∞）， ＋ ３＋ ４＝－８ Ｂ．
ｆ ｘ 是奇函数
∵ （ ） ，
æ ö
ｆ ｘ ｆ ｘ ａ ２ çａ ２ ÷
∴ （－ ）＝－（ ），∴ － － ｘ ＝－è － ｘ ø，
２ －１ ２ －１
ｘ ｘ
ａ １ １ １ ２ １－２ ． ４．（多选题）（２０２１届山东潍坊一模）已知函数ｆ ｘ ｘ Ｒ 满
∴ ＝ ｘ ＋ － ｘ ＝ ｘ ＋ ｘ＝ ｘ ＝－１ （ ），∀ ∈ ，
２ －１ ２ －１ ２ －１ １－２ ２ －１ 足ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 若ｆ ａ ｆ ａ
（ ）＝－（６－ ），（ ＋１）＝ （－ ＋１）， （ ）＝－ （２ ０２０）， ∈
ｆ ｘ ２ 当ｘ 时 ｘ ｘ 且ｆ ｘ 在 上为单调函数 则下列结论正确的是
∴ （ ）＝－１－ ｘ ， ∈（０，＋∞） ，２ ＞１，∴２ －１＞０， ［５，９］， （ ） ［５，９］ ，
２ －１
（ ）
１ ｆ ｘ ｆ
∴ ｘ ＞０，∴ （ ）＜－１； Ａ． （３）＝０
２ －１ ａ
Ｂ． ＝８
当ｘ 时 ｘ ｘ １ ｆ ｘ 是周期为 的周期函数
∈（－∞，０） ，０＜２ ＜１，∴ －１＜２ －１＜０，∴ ｘ ＜－１， Ｃ． （ ） ４
２ －１ ｙ ｆ ｘ 的图象关于点 对称
Ｄ． ＝ （ ） （１，０）
２ ｆ ｘ 故函数ｆ ｘ 为值域为 答案 ＡＢ ｘ Ｒ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ
∴ － ｘ ＞２，∴ （ ）＞１， （ ） （－∞，－１）∪（１， ∵ ∀ ∈ ， （ ）＝－（６－ ）， （ ＋１）＝ （－
２ －１ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ
． ＋１），∴ （ ）＝－（６－ ）＝－（－（ －５）＋１）＝－ （ －５＋１）＝－ （ －
＋∞） ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ
４），∴ （ －４）＝－（ ），∴ （ －８）＝ （ －４－４）＝－（ －４）＝ （ ），
考点三 函数的周期性 故ｆ ｘ 的周期Ｔ ．
（ ） ＝８
因为Ｔ 故 错．
１．（２０２０河南模拟，７）已知定义在Ｒ上的奇函数ｆ ｘ 对任意 ＝８， Ｃ
（ ）， ｆ ａ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ
( ] （ ）＝－（２０２０）＝－（２５２×８＋４）＝－（４）＝－（３＋１）＝－（－２）＝
实数ｘ 恒有ｆ ｘ ｆ ｘ 且当ｘ ３ 时 ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｆ ｆ 由ａ 且ｆ ｘ 在 上单调
， （ ＋３）＝－（ ）， ∈ ０， ， （ ）＝ －６ －［－（６－（－２））］＝ （８）， ∈［５，９］ （ ） ［５，９］ ，
２ 易得ａ ．故 对．
则ｆ ｆ ｆ ｆ ＝８ Ｂ
＋８， （０）＋（１）＋（２）＋…＋（２０２０）＝ （ ） ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｆ ｆ ｆ 故
∵ （ ）＝－（６－ ），∴ （３）＝ － （６－３）＝ － （３）⇒ （３）＝ ０，
Ａ．６ Ｂ．３ Ｃ．０ Ｄ．－３ 对．
答案 Ｂ 根据题意 对任意实数ｘ 恒有ｆ ｘ ｆ ｘ 则 Ａ
， ， （ ＋３）＝－ （ ）， ｆ ｘ ｆ ｘ 直线ｘ 为对称轴 故 错．
有ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 即函数ｆ ｘ 是周期为 的周期函 ∵ （ ＋１）＝ （－ ＋１），∴ ＝１ ， Ｄ
（ ＋６）＝－（ ＋３）＝ （ ）， （ ） ６ 故选ＡＢ．
数 又由ｆ ｘ 为定义在Ｒ上的奇函数 得ｆ 则ｆ
， （ ） ， （０）＝ ０， （３）＝ ５．（２０１８浙江新高考调研卷五（绍兴一中），８）设函数ｙ ｆ ｘ 是
( ] ＝ （ ）
ｆ 又由当ｘ ３ 时 ｆ ｘ ｘ２ ｘ 得ｆ 定义在Ｒ上的偶函数 对任意 ｘ Ｒ 都有 ｆ ｘ ｆ ｘ
－（０）＝０， ∈ ０， ， （ ）＝ －６ ＋８， （１）＝３， ， ∈ ， （ ＋８）＝ （ ） ＋
２ ｆ 则满足条件的ｆ ｘ 可以是
ｆ ｆ ｆ ｆ （８）， （ ） （ ）
（２）＝ （－１＋３）＝－（－１）＝ （１）＝３，
ｘ ｘ
ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｘ π ｆ ｘ π
（４）＝ （１＋３）＝－（１）＝－３，（５）＝ （２＋３）＝－（２）＝－３， Ａ． （ ）＝３ｃｏｓ Ｂ． （ ）＝３ｓｉｎ
则有ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ４ ４
（０）＋（１）＋（２）＋（３）＋（４）＋（５）＝０， ｘ ｘ
则ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｘ ２ π ｆ ｘ ２ π
（０）＋（１）＋ （２）＋…＋ （２ ０２０）＝［ （０）＋ （１）＋ （２）＋…＋ Ｃ． （ ）＝３ｓｉｎ Ｄ． （ ）＝３ｓｉｎ
ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ．故选 ． ８ １６
（５）］×３３６＋（０）＋（１）＋（２）＋（３）＋（４）＝３ Ｂ 答案 Ｃ 根据 ｆ ｘ 是定义在 Ｒ 上的偶函数 排除 ．
解后反思 已知ａ 若ｆ ｘ ａ ｆ ｘ 则函数ｆ ｘ 的周期 （ ） ， Ｂ
≠０， （ ＋ ）＝－（ ）， （ ） ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ 令 ｘ 得 ｆ ｆ ｆ
为 ａ ． ∵ （ ＋８）＝ （ ）＋ （８），∴ ＝０， （８）＝ （０）＋ （８）⇒
２｜ ｜ ｆ 排除 ．再令ｘ 得ｆ ｆ ｆ ｆ
２．（２０１８河南洛阳一模，６）已知函数ｙ ｆ ｘ 满足ｙ ｆ ｘ 和ｙ （０）＝０， Ａ ＝－８， （０）＝ （－８）＋ （８）⇒ （８）＝０，
＝ （ ） ＝ （－ ） ＝ ｆ ｘ ｆ ｘ 故ｆ ｘ 是周期为 的周期函数 故选 ．
∴ （ ＋８）＝ （ ）， （ ） ８ ， Ｃ
ｆ ｘ 是偶函数 且ｆ π 设Ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 则Ｆ ６．（２０１９ 浙 江 杭 州 二 模 （４ 月）， ８） 设 函 数 ｆ ｘ
（ ＋２） ， （１）＝ ， （ ）＝ （ ）＋（－ ）， （３）＝ （ ） ＝
３ ( ) ｜ ｘ ｜ ( ) ｜ ｘ ｜
１ １ １ 则函数ｙ ｆ ｆ ｘ
（ ） － － ， ＝ （ （ ）） （ ）
２ ２ ２
π ２π ４π 是偶函数也是周期函数
Ａ． Ｂ． Ｃ．π Ｄ． Ａ．
３ ３ ３ 是偶函数但不是周期函数
答案 Ｂ 由ｙ ｆ ｘ 和ｙ ｆ ｘ 是偶函数知ｆ ｘ ｆ ｘ Ｂ．
＝ （－ ） ＝ （ ＋２） （－ ）＝ （ ）， 不是偶函数是周期函数
且ｆ ｘ ｆ ｘ 则ｆ ｘ ｆ ｘ 则ｆ ｘ ｆ ｘ ．所以 Ｃ．
（ ＋２）＝ （－ ＋２）， （ ＋２）＝ （ －２）， （ ）＝ （ ＋４） 既不是偶函数也不是周期函数
Ｄ．
Ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ２π．故选 ． ｘ ｙ ｘ ｙ
（３）＝ （３）＋（－３）＝２（３）＝２（－１）＝２（１）＝ Ｂ 答案 Ａ 由恒等式 ｘ ｙ ＋ ＋｜ － ｜知
３ ｍａｘ｛ ， ｝＝ ，
３．（２０１６内蒙古包头一模，９）定义在Ｒ上的奇函数ｆ ｘ 满足ｆ ( ) ｘ ( ) ｘ ２
（ ） ｜ ｜ ｜ ｜
（ ｘ －４）＝－ ｆ （ ｘ ）， 且在 ［０，２］ 上为增函数 ， 若方程ｆ （ ｘ ）＝ ｍ （ ｍ ＞０） ｆ （ ｘ ）＝ １ － １ － １
在区间 上有四个不同的根ｘ ｘ ｘ ｘ 则ｘ ｘ ｘ ｘ { ２ ２ ( ) ２ ｘ }
［－８，８］ １， ２， ３， ４， １＋ ２＋ ３＋ ４ １ １ ｜ ｜ １
的值为 ＝ｍａｘ － ，－２· ＋ ，
（ ） ２ ２ ２
{ ( ) ｆ ｘ }
Ａ．８ Ｂ．－８ Ｃ．０ Ｄ．－４ 从而ｆ ｆ ｘ １ １ ｜（）｜ １ ．
答案 Ｂ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ （ （ ））＝ｍａｘ － ，－２· ＋
∵ （ －４）＝－（ ），∴ （ －８）＝ （ ）， ２ ２ ２
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 ９３
作出函数ｙ ｆ ｘ 的图象 如图． ( ) ｜ ｆ （ ｘ ）｜ [ ]
＝ （ ） ， 所以 １ １ ３ １
－２· ＋ ∈ － ， － ２ ，
２ ２ ２ ２
( ) ｆ ｘ
｜（）｜
所以 １ １ １
－２· ＋ ＜－ ，
２ ２ ２
[ ) 故ｆ ｆ ｘ １ 所以ｙ ｆ ｆ ｘ 是偶函数也是周期函数 故
由图可知 其值域为 １ １ （ （ ））＝－ ， ＝ （ （ ）） ，
， － ， ， ２
２ ２ 选 ．
Ａ
考法一 判断函数单调性的方法
例１ 已知ｆ ｘ ｘ － ｘ．证明 ｆ ｘ 在 上为增函数．
（ ）＝ｅ ＋ｅ ： （ ） （０，＋∞）
解题导引 证法一 任取ｘ ｘ 且ｘ ｘ 然后 [ ]
： １， ２∈（０，＋∞）， １＜ ２， 由图可知函数的增区间为 ，１ ．
作差ｆ ｘ ｆ ｘ 变形 定号 判断． ０
（ １）－（ ２）， 、 、 ２
证法二 先求导数ｆ ′ ｘ 然后判断ｆ ′ ｘ 与零的大小关系 答案 Ｂ
： （ ）， （ ） ，
最后作出判断．
方法总结 １．用图象法求单调区间的步骤 求定义域 作
证明 证法一：任取ｘ ，ｘ （ ， ），且ｘ ｘ ，则ｆ（ｘ ） ： →
１ ２∈ ０ ＋∞ １＜ ２ １ － 图象 结合图象的升 降 单调区间．
→ 、 →
ｆ（ｘ ２ ） ＝ｅ ｘ １＋ｅ － ｘ １－ｅ ｘ ２－ｅ － ｘ ２＝ （ ｅ ｘ ２－ｅ ｘ １ ） æ è ç ｅ ｘ １ １＋ ｘ ２ －１ ö ø ÷． ∵０＜ ｘ １＜ ｘ ２ ， ∴ ｅ ｘ ２－ｅ ｘ １ 减 ２ 函 ．性 数 质 则 法 ： ｙ 在 ｆ 公 ｘ 共定 ｇ 义 ｘ 域 为增 内 ， 减 若 ｙ 函 ＝ 数 ｆ （ ｘ ）， ｙ ＝ ｇ （ ｘ ） 都为增
（ ） ， ＝ （ ）＋ （ ） （ ） ；
＞０ ， ∵ ｅ＞１ ，ｘ １＋ ｘ ２＞０ ， ∴ ｅ ｘ １＋ ｘ ２ ＞１ ， ∴ ｅ ｘ １ １＋ ｘ ２ －１＜０ ， ∴ ｆ（ｘ １ ） － ｆ（ｘ ２ ） ＜０ ， ｙ ｆ 在 ｘ 公 ｇ 共 ｘ 定 为 义 增 域 函 内 数 ， 若 ｙ ｙ ＝ ｇ ｆ （ ｘ ｘ ） 为 ｆ 增 ｘ 函 为 数 减 ， ｙ 函 ＝ 数 ｇ （ ． ｘ ） 为减函数 ， 则
ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ ）， ｆ（ｘ）在（ ， ）上为增函数． ＝ （ ）－ （ ） ， ＝ （ ）－（ ）
∴ 证 １ 法 ＜ 二： ２ 易求 ∴ 得ｆ ′（ｘ） ０ ＋ ｘ ∞ － ｘ － ｘ（ ２ ｘ ）． 例３ 求函数ｆ （ ｘ ）＝ｌｏｇ１ ２（－ ｘ２ －２ ｘ ＋３） 的单调区间．
＝ｅ －ｅ ＝ｅ ｅ －１ 解题导引 先求定义域 然后拆分函数式为ｙ ｕ ｕ
ｘ （ ， ）， － ｘ ， ２ ｘ ， ， ＝ｌｏｇ１ ２ ， ＝
∵
ｆ
∈
′（ｘ）
０ ＋∞
， ｆ（
∴
ｘ）
ｅ
在
＞
（
０
，
ｅ －１
）
＞
上
０
为增函数． －
ｘ２
－２
ｘ
＋３，
判断单调性得单调区间．
∴
方法总结
＞０ ∴
用定义
０
法
＋
判
∞
断函数ｆ ｘ 在给定区间Ｄ上的
解析 由已知得
－
ｘ２
－２
ｘ
＋３＞０
，
∴ －３＜
ｘ
＜１
．
单调性的一般步 骤
（１） （ ）
∴
ｆ（ｘ）的定义域为｛ｘ
｜－３＜
ｘ
＜１
｝．令ｕ
＝－
ｘ２
－２
ｘ
＋３
，
－３＜
ｘ
＜１
．
： ｕ ｘ２ ｘ 在区间（ ， ）上单调递增，在区间［ ，
∵ ＝－ －２ ＋３ －３ －１ －１
）上单调递减，ｙ ｕ为减函数，
１ ＝ｌｏｇ１ ２
∴
由复合函数单调性的判断方法得：ｆ（ｘ）
＝ｌｏｇ１ ２
（
－
ｘ２
－２
ｘ
＋３
）的
单调递减区间是（ ， ），单调递增区间是［ ， ）．
－３ －１ －１ １
方法总结 判断复合函数ｙ ｆ ｇ ｘ 的单调性的步骤如下
＝ （ （ ）） ：
求定义域
（１） ；
将复合函数分解成基本初等函数ｙ ｆ ｕ ｕ ｇ ｘ
（２） ＝ （ ）， ＝ （ ）；
分别确定这两个函数的单调性
（３） ；
若这两个函数同增或同减 则ｙ ｆ ｇ ｘ 为增函数 若
（４） ， ＝ （ （ ）） ；
用导数法判断函数单调性的步骤为求定义域 求导 一增一减 则ｙ ｆ ｇ ｘ 为减函数 即同增异减．
（２） → → ， ＝ （ （ ）） ，
解不等式ｆ′ ｘ 或ｆ′ ｘ 单调性．解析式为三次或分式
（ ）＞０（ （ ）＜０）→ 考法二 函数单调性的应用
或指数 对数式的复合函数的单调性常用导数法判断．
、
例２ 函数ｙ ＝｜ ｘ ｜（１－ ｘ ） 的增区间为 （ ） 例４ （２０１９河北衡水中学二调，６）已知函数ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 在
[ ] ( ) 区间 内单调递增 且ｆ ｘ ｆ ｘ 若ａ ｆ ｂ
Ａ．（－∞，０） Ｂ． ０， １
２
Ｃ．［０，＋∞） Ｄ． １
２
，＋∞
ｆ －１
（
． ２
－∞
ｃ
，０
ｆ
） (
１
)
则ａ ｂ
，
ｃ的大
（－
小
）
关
＝
系
（
为
）， ＝ （ｌｏｇ１ ２３）， ＝
（２ ）， ＝ ， ， ， （ ）
解题导引 去绝对值符号转化为分段函数 画图象得增区间． ２
，
ａ ｃ ｂ ｂ ｃ ａ ｂ ａ ｃ ａ ｂ ｃ
{ｘ（ ｘ）（ｘ ）， { ｘ２ ｘ（ｘ ）， Ａ． ＞ ＞ Ｂ． ＞ ＞ Ｃ． ＞ ＞ Ｄ． ＞ ＞
解析 ｙ ｘ （ ｘ） １－ ≥０ － ＋ ≥０ 解题导引 由ｆ ｘ ｆ ｘ 得 ｆ ｘ 为偶函数 然后得出
＝｜ ｜ １－ ＝ ｘ（ ｘ）（ｘ ） ＝ ｘ２ ｘ（ｘ ） ＝ （－ ）＝ （ ） （ ） ，
ì ï ( ｘ １ ) ２ １ （ｘ ）， － １－ ＜０ － ＜０ ｆ （ ｘ ） 在 （０，＋∞） 上的单调性 ， 从而比较大小．
í ï－ － ２ ＋ ４ ≥０ 画出图象如图所示． 解析 易知ｆ（ｘ）为偶函数，因为ａ ＝ ｆ（ ｌｏｇ１ ２３ ） ＝ ｆ（ －ｌｏｇ２３ ） ＝
( )
î ï ï ｘ － １ ２ － １ （ｘ ＜０ ）． ｆ（ ｌｏｇ２３ ），且 ｌｏｇ２３＞ １ ， ０＜２ －１ ． ２ ＜２ －１ ＝ １ ，所以 ｌｏｇ２３＞ １ ＞２ －１ ． ２ ＞
２ ４ ２ ２ ２
９４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
．又ｆ（ｘ）在区间（ ， ）内单调递增，且 ｆ（ｘ）为偶函数，所以 [ ]
０ －∞ ０ ａ的取值范围是 １ ，３ ，故选 ．
( ) ∴ Ｃ
ｆ（ｘ）在区间（ ， ）内单调递减，所以 ｆ（ ） ｆ １ ３ ４
０ ＋∞ ｌｏｇ１ ２ ３ ＜ ＜ 答案 （ ）Ｄ （ ）Ｃ
ｆ（ －１ ． ２），所以ｂ ｃ ａ．故选 ． ２ １ ２
２ ＞ ＞ Ｂ 方法总结 利用单调性求参数．视参数为已知数 依据函数
答案 Ｂ ，
的图象或单调性定义 确定函数的单调区间 与已知单调区间比
方法总结 应用函数单调性比较大小时应将自变量转化到 ， ，
较求参数．
同一个单调区间内
，
然后利用函数的单调性解决．
需注意 若函数在区间 ａ ｂ 上是单调的 则该函数在此
：① ［ ， ］ ，
例５ （２０２０河北邯郸空中课堂备考检测，１２）设ｆ ｘ 区间的任意子集上也是单调的
（ ）＝
{ ｘ ｘ ｘ 对于分段函数的单调性 ； 除注意各段的单调性外 还要注
ｅ ＋ ＋１， ≥０，若对任意的ｘ ｍ ｍ 不等式ｆ ｘ ｆ ｘ ② ， ，
－ ｘ ｘ ｘ ． ∈［ ， ＋１］， （２－ ）≥（ ＋ 意衔接点的取值．
ｅ － ＋１， ＜０
ｍ 恒成立 则ｍ的最大值为
２ ） ， （ ）
考法三 函数奇偶性的判断及应用
Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２
解题导引 先判断 ｆ ｘ 的奇偶性 然后判断单调性 得 例７ 判断下列函数的奇偶性．
（ ） ， ，
｜２－
ｘ
｜≥｜
ｘ
＋２
ｍ
｜，
变形得到
（
ｍ
＋１）
ｘ
－１＋
ｍ２
≤０，
根据一次函数性
ｘ ｘ２
质
，
列出不等式组求解．
（１）
ｆ
（
ｘ
）＝（
ｘ
－１）
１
１
＋
－ ｘ；（２）
ｆ
（
ｘ
）＝
ｌ
｜
ｇ
ｘ
（
－
１
２
－
｜－
）
２ ；
时， －
解
ｘ ＞
析
０ ， 则
当
ｆ（
ｘ
－
＞
ｘ
０
） ＝
时
ｅ
，
－ ｘ
－
－
ｘ
ｘ
＜
＋
０
１
，
＝
则
ｆ（
ｆ
ｘ
（
）
－
，
ｘ
所
）
以
＝ｅ
对
ｘ ＋
任
ｘ ＋
意
１
ｘ
＝
∈
ｆ（
（
ｘ
－
）
∞
；当
， ０
ｘ
）
＜
∪
０
（３）
ｆ
（
ｘ
）＝
{ｘ
ｘ
２
２
＋
－
ｘ
ｘ
（
（
ｘ
ｘ
＜
＞
０
０
）
）
，
； （４）
ｆ
（
ｘ
）＝ ３－
ｘ２
＋
ｘ２
－３；
（
０
，
＋∞
），都有ｆ（
－
ｘ）
＝
ｆ（ｘ）．所以ｆ（ｘ）为偶函数．显然ｆ（ｘ）在［
０
，
（５） ｆ （ ｘ ）＝ ｘ２ －｜ ｘ － ａ ｜＋２ ．
）上递增，在（ ， ）上递减，所以 ｘ ｘ ｍ ，两边平
方 ＋∞ 得 ｘ ｘ２ ｘ － ２ ∞ ０ ｍｘ ｍ２，整理得 ｜２ （ － ｍ ｜≥ ） ｜ ｘ ＋２ ｍ ｜ ２ ，则 解析 （ １ ）由１＋ ｘ ｘ≥０ ，得定义域为［ －１ ， １ ），不关于原点对
有
{（ｍ ４－
＋
４
１
） ＋ ·（ ≥ ｍ
＋１
） ＋
－
４
１＋
ｍ ＋ ２ ４
≤０
， ＋１ －１＋ ≤０ 称，故ｆ（ｘ）为非奇非 １－ 偶函数．
（ 解 ｍ ＋ 得 １ － ） １ · ≤ ｍ ｍ － ≤ １＋ ０ ｍ ， ２ 所 ≤ 以 ０ ， ｍ的最大值为 ０ ． （ ２ ）由 { １ ｜ ｘ － － ｘ２ ２ ＞ ｜ ０ － ， ２≠０ ， 得定义域为（ －１ ， ０ ） ∪ （ ０ ， １ ），关于原
答案 Ｂ
点对称，这时ｆ（ｘ） ｌｇ
（
１－
ｘ２）
ｌｇ
（
１－
ｘ２）
．
方法总结 解此类不等式主要是利用函数的单调性脱去函 ＝ （ｘ ） ＝－ ｘ
－ －２ －２
数符号．可按下列步骤进行． ［ （ ｘ）２］
ｆ（ ｘ） ｌｇ １－ －
先将不等式化为ｆ ｘ ｆ ｘ 的形式． ∵ － ＝－ － ｘ
立解 （ （ 不 １ ２ 等 ） ） 若 式 函 组 数 若 在 函 （ ａ 数 ， ｂ 在 ） 内 ａ （ 递 ｂ １ 增 ） 内 ＜ ， 则 （ 递 由 ２ 减 ） ａ 则 ＜ ｘ 由 １＜ ｂ ａ ， ａ ｘ ＜ ｘ ２ ｂ ＜ ｂ ａ ， ｘ ｘ １＜ ｘ ｂ ２ 联 ｘ ＝ ｌｇ （ １ ｘ － ｘ２） ＝－ ｆ（ｘ）， ∴ ｆ（ｘ）为奇函数．
ｘ 联立解不等 ； 式组． （ ， ） ， ＜ １＜ ， ＜ ２＜ ， １ （ ）当ｘ 时， ｘ ，则ｆ（ ｘ） （ ｘ）２ （ ｘ） ｘ２ ｘ ｆ（ｘ）；
＞ ２ 写出不等式的解集． 当 ３ ｘ 时 ＜０ ， ｘ － ，则 ＞０ ｆ（ ｘ） － （ ＝ ｘ）２ － （ － ｘ） － ｘ２ ＝ ｘ ＋ ｆ（ｘ ＝ ）．
（３） ＞０ － ＜０ － ＝ － ＋ － ＝ － ＝
是 减函
例
数
６
则
（
ａ
１
的
）
若
取
函
值
数
范
ｙ
围
＝
为
ｌｏｇ１ ２（
ｘ２
－
ａｘ
＋３
ａ
）
在区间
（２，＋∞）
上
∴
故
对
ｆ（
任
ｘ）
意
为偶
ｘ
∈
函
（
数
－∞
．
，
０
）
∪
（
０
，
＋∞
）都有ｆ（
－
ｘ）
＝
ｆ（ｘ），
， （ ） { ｘ２ ，
Ａ．（－∞，－４）∪［２，＋∞） Ｂ．（－４，４］ （ ）由 ３－ ≥０ 得ｘ 或ｘ ，
４ ｘ２ ， ＝－ ３ ＝ ３
Ｃ．［－４，４） Ｄ．［－４，４］ －３≥０
（２０１９ 福建三明模拟， ７） 已知函数 ｆ ｘ 函数ｆ（ｘ）的定义域为｛ ， ｝．
（２） （ ） ＝ ∴ － ３ ３
{ｘ２
＋（４
ａ
－３）
ｘ
＋３
ａ
，
ｘ
＜０， ａ 且ａ 在Ｒ上单调递减 则ａ的 又 对任意的ｘ ｛ ， ｝， ｆ（ｘ） ，
ｘ ｘ （ ＞０ ≠１） ， ∵ ∈ － ３ ３ ＝０
ｌｏｇａ（ ＋１）＋１， ≥０ ｆ（ ｘ） ｆ（ｘ），且ｆ（ ｘ） ｆ（ｘ）．
取值范围是 ∴ － ＝ － ＝－
（ ） ｆ（ｘ）既是奇函数又是偶函数．
[ ) ( ] ∴
３ ３ （ ）函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ．
Ａ． ，１ Ｂ． ０， ５
４ ４ 当ａ 时， ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ）， ｆ（ｘ）是偶函数；
[ ] ( ] ＝０ ＝ － ∴
１ ３ １ 当ａ 时， ｆ（ａ） ａ２ ， ｆ（ ａ） ａ２ ａ ， ｆ（ａ）
Ｃ． ， Ｄ． ０， ≠０ ＝ ＋２ － ＝ －２｜ ｜＋２ ≠
３ ４ ３ ( )
解析 （
１
）令ｔ
＝
ｘ２
－
ａｘ
＋３
ａ，则ｙ
＝ｌｏｇ１ ２
ｔ， ｆ（
－
ａ），且ｆ（ａ）
＋
ｆ（
－
ａ）
＝２
（ａ２
－｜
ａ
｜＋２
）
＝２ ｜
ａ
｜－
１ ２
＋
７
≠０
，
( ａ ) ( ａ ) ２ ２
易知ｔ ｘ２ ａｘ ａ在 ， 上单调递减，在 ， 上 ｆ（ｘ）是非奇非偶函数．
＝ － ＋３ －∞ ＋∞ ∴
２ ２ 方法总结 判断函数奇偶性的一般方法
单调递增．
∵
ｙ
＝ｌｏｇ１ ２
（ｘ２
－
ａｘ
＋３
ａ）在区间（
２
，
＋∞
）上是减函数，
∴
ｔ
＝
ｘ２
－
１．定义法
ａ
ａｘ ａ在（ ， ）上是增函数，且在（ ， ）上ｔ ， ，且
＋３ ２ ＋∞ ２ ＋∞ ＞０ ∴２≥
２
ａ ａ ， ａ ［ ， ］．故选 ．
４－２ ＋３ ≥０ ∴ ∈ －４ ４ Ｄ
ì ａ ，
ï０＜ ＜１
ï ａ
（ ）由题意得í ４ －３ ， 解得 １ ａ ３ ．
２ ï－ ≥０ ≤ ≤
ï ２ ３ ４
î ａ （ ） ， ２．图象法
３ ≥ｌｏｇａ ０＋１ ＋１
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 ９５
ｆ（ ） ｆ（ ） ｆ（ ） ｆ（ ） ｆ（ ），
１１ ＝ ３ ＝ －１＋４ ＝－ －１ ＝ １
又 奇函数ｆ（ｘ）在区间［ ， ］上是增函数，
∵ ０ ２
ｆ（ｘ）在区间［ ， ］上是增函数，
∴ －２ ２
ｆ（ ） ｆ（ ） ｆ（ ），即ｆ（ ） ｆ（ ） ｆ（ ），故选 ．
∴ －１ ＜ ０ ＜ １ －２５ ＜ ８０ ＜ １１ Ｄ
３．性质法 （
２
）因为ｆ（ｘ）是Ｒ上的奇函数，所以ｆ（ｘ）的图象关于点（
０
，
若ｆ ｘ ｇ ｘ 在其公共定义域上具有奇偶性 则奇 奇 奇 ０ ）对称，且ｆ（ ０ ） ＝０ ，又ｇ（ｘ） ＝ ｆ（ｘ ＋２ ）是奇函数，所以ｆ（ｘ）的图
奇 奇 偶 （ ） 偶 ， （ 偶 ） 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇． ， ＋ ＝ ； 象关于点（ ２ ， ０ ）对称，所以 ２× （ ２－０ ） ＝４ 是ｆ（ｘ）的一个周期，所
× 例 ＝ ８ ， 已 ＋ 知函 ＝ 数 ， ｆ ｘ × ＝ ２ ｜ ｘ ｜＋ ， １ ＋ ｘ × ３ ＋２ ＝ 的最大值为Ｍ 最小值 以ｆ（ ２０２０ ） ＝ ｆ（ ４×５０５ ） ＝ ｆ（ ０ ） ＝０ ．
（ ）＝ ２ ｜ ｘ ｜ ＋１ ， 答案 （ １ ）Ｄ （ ２ ） ０
为ｍ 则Ｍ ｍ等于 方法总结 周期性与奇偶性的综合问题多为求值问
， ＋ （ ） （１）
题 常利用奇偶性和周期性将问题进行转换 即将所求值的自变
Ａ．０ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ．８ ， ，
解析 易知ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ， 量转化到已知解析式的自变量范围内求解．
·（ ｜ ｘ ｜ ） ｘ３ ｘ３ 求抽象函数周期的方法
ｆ（ｘ） ２ ２ ＋１ ＋ ， （２）
＝ ｜ ｘ ｜ ＝２＋ ｜ ｘ ｜ 递推法 若 ｆ ｘ ａ ｆ ｘ 则 ｆ ｘ ａ ｆ ｘ ａ ａ
２ ＋１ ２ ＋１ ： （ ＋ ）＝ － （ ）， （ ＋２ ）＝ ［（ ＋ ）＋ ］＝
ｘ３ ｆ ｘ ａ ｆ ｘ 所以 ａ为ｆ ｘ 的一个周期．
设ｇ（ｘ） ，则ｇ（ ｘ） ｇ（ｘ）（ｘ Ｒ）， －（ ＋ ）＝ （ ）， ２ （ ）
＝ ｜ ｘ ｜ － ＝－ ∈ 换元法 若 ｆ ｘ ａ ｆ ｘ ａ 令 ｘ ａ ｔ 则 ｘ ｔ ａ 则
２ ＋１ ： （ ＋ ）＝ （ － ）， － ＝ ， ＝ ＋ ，
ｇ（ｘ）为奇函数， ｇ（ｘ） ｇ（ｘ） ． ｆ ｔ ａ ｆ ｔ ａ ａ ｆ ｔ ａ ａ ｆ ｔ 所以 ａ为 ｆ ｘ 的一个
∴ ∴ ｍａｘ＋ ｍｉｎ＝０ （ ＋２ ）＝ （ ＋ ＋ ）＝ （ ＋ － ）＝ （ ）， ２ （ ）
Ｍ ｆ（ｘ） ｇ（ｘ） ，ｍ ｆ（ｘ） ｇ（ｘ） ， 周期．
∵ ＝ ｍａｘ＝２＋ ｍａｘ ＝ ｍｉｎ＝２＋ ｍｉｎ
Ｍ ｍ ｇ（ｘ） ｇ（ｘ） ，故选 ．
∴ ＋ ＝２＋ ｍａｘ＋２＋ ｍｉｎ＝４ Ｃ 考法五 函数值域的求解方法
答案 Ｃ
例１０ 求下列函数的值域
方法总结 函数奇偶性的应用 ：
ｘ
已知函数的奇偶性求函数的解析式． ｙ ５ －１ ｘ ｙ ｘ ｘ
（１） （１） ＝ ｘ ， ∈［－３，－１］；（２） ＝２ ＋ １－２ ；
抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式 或充分 ４ ＋２
， ｘ２ ｘ
利用奇偶性得出关于ｆ ｘ 的方程 从而可得ｆ ｘ 的解析式． ｙ ｘ ｘ２ ｙ ２ ＋４ －７
（ ） ， （ ） （３） ＝ ＋４＋ ９－ ；（４） ＝ ｘ２ ｘ ；
已知带有字母系数的函数的表达式及其奇偶性 求参 ＋２ ＋３
（２） ， ｙ ｘ ．
数．常常采用待定系数法 利用ｆ ｘ ｆ ｘ 得到关于字母的 （５） ＝ｌｏｇ３ ＋ｌｏｇｘ３－１
， （ ）± （－ ）＝ ０ 解题导引
恒等式 由系数的对等性可得出字母的值．
，
求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域 函数的
（３） ， ，
增减区间都是其定义域的子集 其次掌握一次函数 二次函数等
； 、
基本初等函数的单调区间．常用方法有 根据定义 利用图象和单
： ，
调函数的性质等．
奇函数 图象关于原点对称
（４） ⇔ ；
偶函数 图象关于ｙ轴对称．
⇔
因此在关于原点对称的区间上 奇函数的单调性相同 偶函
， ；
数的单调性相反．
考法四 函数周期性的确定及应用
例９ 已知定义在Ｒ上的奇函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ
（１） （ ） （ －４）＝
ｆ ｘ 且在区间 上是增函数 则
－（ ）， ［０，２］ ， （ ）
ｆ ｆ ｆ
Ａ． （－２５）＜（１１）＜（８０）
ｆ ｆ ｆ ｘ
Ｂ． （８０）＜（１１）＜（－２５） 解析 （ ）由ｙ ５ －１可得ｙ ５ ７ ． ｘ ，
ｆ ｆ ｆ １ ＝ ｘ ＝ － （ ｘ ） ∵ －３≤ ≤－１
Ｃ． （１１）＜（８０）＜（－２５） ４ ＋２ ４ ４ ２ ＋ [ １ ]
Ｄ． ｆ （－２５）＜ ｆ （８０）＜ ｆ （１１） ７ ７ ７ ， ８ ｙ ，即ｙ ８ ， ．
（２０２０福建漳州高中毕业班第二次高考适应性测试） ∴
２０
≤－
４
（
２
ｘ
＋１
）≤
４
∴
５
≤ ≤３ ∈
５
３
（２）
定义在Ｒ上的函数ｆ
（
ｘ
）
为奇函数
，
且ｇ
（
ｘ
）＝
ｆ
（
ｘ
＋２）
也是奇函 （
２
）（代数换元法）令ｔ
＝ １－２
ｘ（ｔ
≥０
），则ｘ
＝
１－ ｔ２ ．
∴
ｙ
＝－
ｔ２
数 则ｆ ． ２
， （２０２０）＝ ( )
２
解题导引 由单调性比较函数值的大小时 若自变量 ｔ ｔ １ ５ （ｔ ）． 当ｔ １，即ｘ ３ 时，ｙ取最大值，
（１） ， ＋ ＋１＝－ － ＋ ≥０ ∴ ＝ ＝
的值不在同一个单调区间内 要利用函数的性质 转化到同一个 ２ ４ ２ ８
( ]
， ，
单调区间上进行比较． ｙ
ｍａｘ＝
５，且ｙ无最小值，
∴
函数的值域为
－∞
，５ ．
４ ４
利用函数的奇偶性 图象的对称性以及函数的周期性将
（ ）（三角换元法）令ｘ θ，θ ［ ， ］，
（２） 、 ３ ＝３ｃｏｓ ∈ ０ π
自变量转化到指定区间内 然后求值． ( )
， 则ｙ θ θ θ π ．
解析 （ ） ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ）， ＝３ｃｏｓ ＋４＋３ｓｉｎ ＝３ ２ｓｉｎ ＋ ＋４
１ ∵ －４ ＝－ ４
ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ）， ｆ（ｘ）的周期为 ， ( )
∴ －８ ＝ ∴ ８ θ ， π θ π ５π， ２ θ π ．
ｆ（ ） ｆ（ ）， ｆ（ ） ｆ（ ）， ∵０≤ ≤π ∴ ≤ ＋ ≤ ∴ － ≤ｓｉｎ ＋ ≤１
∴ －２５ ＝ －１ ８０ ＝ ０ ４ ４ ４ ２ ４
９６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｙ ， 函数的值域为［ ， ］． 值域是［ ， ）．
∴１≤ ≤３ ２＋４ ∴ １ ３ ２＋４ ２ ４
（ ）（判别式法）观察函数式，将已知的函数式变形为ｙｘ２ 答案 （ ）Ｃ （ ）Ｂ
４ ＋ １ ２
ｙｘ ｙ ｘ２ ｘ ，整理得（ｙ ）ｘ２ （ｙ ）ｘ ｙ ．（ ） 方法总结 求函数值域 最值 的方法
２ ＋３ ＝２ ＋４ －７ －２ ＋２ －２ ＋３ ＋７＝０ ※ （ ）
显然ｙ （运用判别式法之前，应先讨论ｘ２ 的系数）．
分离常数法
≠２
将（ ）式看作关于ｘ的一元二次方程． （１）
※ ｃｘ ｄ
易知原函数的定义域为Ｒ，则上述关于 ｘ 的一元二次方程 形如ｙ ＝ａｘ ＋ ｂ（ ａｃ ≠０） 的函数的值域经常使用 “ 分离常数法 ” 求解．
＋
有实根，所以Δ ［ （ｙ ）］２ （ｙ ）（ ｙ ） ．解不等式得 配方法
＝ ２ －２ －４ －２ [ ３ ＋７ ≥ ) ０ （２）
－ ９ ≤ ｙ ≤２ ．又ｙ ≠２ ， ∴ 原函数的值域为 － ９ ， ２ ． 配方法是求 “ 二次函数型函数 ” 值域的基本方法 ， 形如Ｆ （ ｘ ）＝
２ ２ ａ ｆ ｘ ２ ｂｆ ｘ ｃ ａ 的函数的值域问题 均可使用配方法．
［ （ ）］ ＋ （ ）＋ （ ≠０） ，
（ ）ｙ ｘ 变形得ｙ ｘ １ ． 换元法
５ ＝ｌｏｇ３ ＋ｌｏｇｘ３－１ ＝ｌｏｇ３ ＋ ｘ－１ （３）
ｌｏｇ３ 代数换元．形如ｙ ａｘ ｂ ｃｘ ｄ ａ ｂ ｃ ｄ为常数 ａｃ
① ＝ ＋ ± ＋ （ ， ， ， ， ≠０）
① 当 ｌｏｇ３ ｘ ＞０ ，即ｘ ＞１ 时，ｙ ＝ｌｏｇ３ ｘ ＋
ｌｏｇ
１
３
ｘ－１≥２－１＝１ ， 的函数
，
可设 ｃｘ
＋
ｄ
＝
ｔ
（
ｔ
≥０），
转化为二次函数求值域．
当且仅当 ｘ ，即ｘ 时取“ ”． 三角换元 如ｙ ｘ ｘ２ 可令ｘ θ θ ．
ｌｏｇ３ ＝１ ＝３ ＝ ② ： ＝ ＋ １－ ， ＝ｃｏｓ ， ∈［０，π］
当 ｘ ，即ｘ 时，ｙ ．当且仅当 ｘ ，即ｘ 利用换元法求值域 一定要注意新元的范围对值域的影响．
② ｌｏｇ３ ＜０ ＜１ ≤－２－１＝－３ ｌｏｇ３ ＝－１ ，
判别式法
１时取“ ”．综上所述，原函数的值域为（ ， ］ ［ ， ）． （４）
＝ ＝ －∞ －３ ∪ １ ＋∞ 把函数转化成关于ｘ的一元二次方程 通过方程有实根 知
３ ， ，
例１１ 用 ａ ｂ ｃ 表示ａ ｂ ｃ三个数中的最小值． ａ ｘ２ ｂ ｘ ｃ
（１） ｍｉｎ｛ ， ， ｝ ， ， 判别式Δ 从而求得原函数的值域 形如ｙ １ ＋ １ ＋ １ ａ
设ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 则ｆ ｘ 的最大值为 ≥０， ， ＝ａ ｘ２ ｂ ｘ ｃ （ １，
（ ）＝ｍｉｎ｛２ ， ＋２，１０－ ｝（ ≥０）， （ ） （ ） ２ ＋ ２ ＋ ２
ａ 不同时为零 的函数的值域常用此法求解．
Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ ２ ）
（２０１９陕西西安高新区一中模拟，６）已知函数ｆ ｘ 用判别式法求值域的注意事项 函数的定义域应为 Ｒ
（２） （ ）＝ ５ ：① ；
ｘ ｘ 则ｆ ｘ 的值域是 分式的分子 分母没有公因式．
－ｌｏｇ３ ， ∈（３，２７］， （ ） （ ） ② 、
有界性法
Ａ．（２，４］ Ｂ．［２，４） Ｃ．［－４，４） Ｄ．（６，９］ （５）
解题导引 画出函数ｆ ｘ 的图象 由图象得最大值． 形如 α ｆ ｙ ｘ２ ｇ ｙ ａｘ ｈ ｙ 等 由 α ｘ２
（１） （ ） ， ｓｉｎ ＝ （ ）， ＝ （ ）， ＝ （ ） ， ｜ｓｉｎ ｜≤１， ≥
函数ｆ ｘ ｘ为减函数 利用单调性求值域．
ａｘ 可解出ｙ的范围 从而求出其值域．
（２） （ ）＝５－ｌｏｇ３ ， ０， ＞０
数形结合法
，
解析 （ ）作出ｆ（ｘ）的图象（如图实线部分），可知Ａ（ ， ） （６）
１ ４ ６ 若函数的解析式的几何意义较明显 如距离 斜率等 可用
为函数ｆ（ｘ）图象的最高点． ， 、 ，
数形结合的方法．
基本不等式法
（７）
利用基本不等式 ａ ｂ ａｂ ａ ｂ ．
： ＋ ≥２ （ ＞０， ＞０）
用此法求函数值域时 要注意条件 一正 二定 三相等 ．
， “ ， ， ”
单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求最值．
（８） ： ，
图象法 先作出函数的图象 再观察其最高点 最低点
（９） ： ， 、 ，
求出最值．
导数法 先求导 然后求出在给定区间上的极值 最后
（１０） ： ， ，
结合端点值 求出最值．
（ ）因为ｙ ｘ为增函数，所以ｆ（ｘ） ｘ为减函数． ，
２ ＝ｌｏｇ３ ＝５－ｌｏｇ３
因为 ｘ ，所以 ｘ ，所以 ｆ（ｘ） ，即ｆ（ｘ）的
３＜ ≤２７ １＜ｌｏｇ３ ≤３ ２≤ ＜４
考法二 函数单调性的应用
３．已知偶函数ｆ ｘ 在区间 上单调递增 则满足ｆ ｘ
（ ） ［０，＋∞） ， （２ －１）
考法一 判断函数单调性的方法 ( )
ｆ １ 的ｘ的取值范围是
１．已知函数ｆ ｘ 满足 对任意ｘ ｘ 且ｘ ｘ 都有 ＜ （ ）
（ ） ：① １， ２∈（０，＋∞） １≠ ２， ３
ｆ ｘ ｆ ｘ ( ) [ )
（ １）－（ ２） 对定义域内的任意ｘ 都有ｆ ｘ ｆ ｘ 则 １ ２ １ ２
ｘ ｘ ＞０；② ， （ ）＝ （－ ）， Ａ． ， Ｂ． ，
符合 １ 上 － 述 ２ 条件的函数是 ( ３ ３ ) [ ３ ３ )
（ ） １ ２ １ ２
Ｃ． ， Ｄ． ，
Ａ．
ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ２
＋｜
ｘ
｜＋１ Ｂ．
ｆ
（
ｘ
）＝
１
ｘ －
ｘ
答
２
案
３
Ａ
２ ３
Ｃ．
ｆ
（
ｘ
）＝ｌｎ｜
ｘ
＋１｜ Ｄ．
ｆ
（
ｘ
）＝ｃｏｓ
ｘ ４．若函数ｆ
（
ｘ
）＝ｌｏｇａ（
ａｘ２
－
ｘ
）
在闭区间
［２，４］
上是增函数
，
则实数
答案 Ａ ａ的取值范围是 ．
２．已知函数ｆ
（
ｘ
）＝ｌｏｇａ（－
ｘ２
－２
ｘ
＋３）（
ａ
＞０
且ａ
≠１），
若ｆ
（０）＜０，
则 答案
（１，＋∞）
此函数的单调递增区间是
（ ）
考法三 函数奇偶性的判断及应用
Ａ．（－∞，－１］ Ｂ．［－１，＋∞）
５．（２０２０广东揭阳摸底）已知偶函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｘ２ － ｘ ｘ
Ｃ．［－１，１） Ｄ．（－３，－１］ （ ） （ ）＝ ＋２ （
答案 Ｃ 则ｆ ｘ 在 上
≤０）， （ ） （０，＋∞） （ ）
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 ９７
单调递增 单调递减
Ａ． Ｂ． １ １ １ １
先递增后递减 先递减后递增 Ａ． Ｂ．－ Ｃ．－ Ｄ．
Ｃ． Ｄ． ４ ４ ５ ５
答案 Ａ 答案 Ｄ
６．已知ｆ ｘ ｇ ｘ 分别是定义在Ｒ上的偶函数和奇函数 且ｆ ｘ １１．已知函数的定义域为Ｒ 且满足下列三个条件
（ ）， （ ） ， （ ） ， ：
－
ｇ
（
ｘ
）＝
ｘ３
＋
ｘ２
＋１，
则ｆ
（１）＋
ｇ
（１）＝ （ ） 对任意的ｘ ｘ 当ｘ ｘ 时 都有
ｆ
（
ｘ
１）－
ｆ
（
ｘ
２）
① １， ２∈［４，８］， １＜ ２ ， ｘ ｘ ＞０；
Ａ．－３ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ．３ １－ ２
答案 Ｃ ｆ ｘ ｆ ｘ
②（ ＋４）＝－（ ）；
ｙ ｆ ｘ 是偶函数．
７．已知ｆ ｘ ｘ２ ｇ ｘ ｘ 则下列结论正确的是 ③ ＝ （ ＋４）
（ ）＝ ４－ ， （ ）＝ ｜ －２｜， 若ａ ｆ ｂ ｆ ｃ ｆ 则ａ ｂ ｃ的大小关系正确
＝ （６）， ＝ （１１）， ＝ （２ ０１７）， ， ，
（ ） 的是
ｈ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ 是偶函数 （ ）
Ａ． （ ）＝ （ ）＋ （ ）
ａ ｂ ｃ ｂ ａ ｃ
ｈ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ 是奇函数 Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜
Ｂ． （ ）＝ （ ）· （ ）
ａ ｃ ｂ ｃ ｂ ａ
ｇ ｘ ｆ ｘ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜
Ｃ． ｈ （ ｘ ）＝ （ ）· ｘ （ ）是偶函数 答案 Ｂ
２－
ｈ ｘ ｆ （ ｘ ） 是奇函数 １２．已知偶函数ｆ （ ｘ ） 的定义域为Ｒ ， 若ｆ （ ｘ －１） 为奇函数 ， 且ｆ （２）
Ｄ． （ ）＝ ｇ ｘ 则ｆ ｆ 的值为
２－ （ ） ＝３， （５）＋（６） （ ）
答案 Ｄ
Ａ．－３ Ｂ．－２ Ｃ．２ Ｄ．３
８．（２０２０福建龙岩质量检查）已知ｆ ｘ 为奇函数 且当ｘ 时 答案 Ｄ
（ ） ， ≥０ ，
( )
ｆ ｘ ｘ 则ｆ １ 考法五 函数值域的求解方法
（ ）＝ｅ －１， ｌｎ ＝ （ ）
２
ｘ
１ １ １３．函数ｙ ２－ ｘ ｍ ｎ 的最小值为 则ｍ的取值范围是
Ａ．－ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ． ＝ｘ ， ∈（ ， ］ ０，
２ ２ ＋１
答案 Ｂ
（ ）
９．（２０２１届江苏南京六校联考）已知奇函数ｆ ｘ 的定义域为Ｒ
（ ） ， Ａ．（１，２） Ｂ．（－１，２）
且ｆ ｘ ｆ ｘ ．当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 则
(
（１
)
＋ ）＝ （１－ ） ∈（０，１］ ， （ ）＝ ｌｏｇ２（２ ＋３）， Ｃ．
答
［１
案
，２）
Ｄ
Ｄ．［－１，２）
ｆ ９３ 的值是 {
（ ）
２ １ ｘ ｍ ｘ
１４．（２０１９皖东名校联盟，１５）若函数 ｆ ｘ － ＋ ， ＜ｅ，的
Ａ．－３ Ｂ．－２ Ｃ．２ Ｄ．３ （ ）＝ ２
答案 Ｂ ｘ ｘ ｘ
－ｌｎ ， ≥ｅ
值域是 其中 是自然对数的底数 则实数ｍ的最
［ｅ－１，＋∞）， ｅ ，
考法四 函数周期性的确定及应用 小值是 ．
１０．定义在Ｒ上的奇函数ｆ ｘ 满足 ｆ ｘ ｆ ｘ 且当 ｘ
（ ） ： （ ＋１）＝ （ －１）， －１＜ 答案 ３ｅ
时 ｆ ｘ ｘ 则ｆ 等于 －１
＜０ ， （ ）＝２ －１， （ｌｏｇ２２０） （ ） ２
偶函数 且在 上是减函数
Ｄ． ， （０，ｅ）
答案 Ｄ ｆ ｘ 的定义域为 关于原点对称．
（ ） （－ｅ，ｅ），
ｆ ｘ ｘ ｘ ｆ ｘ 函数ｆ ｘ 是偶函数
（－ ）＝ｌｎ（ｅ－ ）＋ｌｎ（ｅ＋ ）＝ （ ），∴ （ ） ，
考法一 判断函数单调性的方法 ｘ
在 上 ｆ ′ ｘ １ １ －２ 则函数ｆ ｘ 在
１．（２０１６ 北京东城（上）期中）定义在 Ｒ 上的函数 ｆ （ ｘ ） 满足 （０，ｅ） ， （ ）＝ ｅ＋ ｘ－ ｅ－ ｘ＝ ｅ ２ － ｘ２＜０， （ ） （０，ｅ）
上单调递减 故选
ｆ ｘ ｆ ｘ
ｆ ｘ ｆ ｘ 对于任意ｘ ｘ （ ２）－（ １） ｘ ， Ｄ．
（－ ）＝ （ ）， １， ２∈［０，＋∞）， ｘ ｘ ＜０（ ２≠ ３．函数ｆ ｘ ｘ ｘ２ ３ ２的单调递减区间为
ｘ 则 ２－ １ [ （ ）＝ ] （６－ － ） [ ] （ ）
１）， （ ）
Ａ． －
１
，２ Ｂ． －３，－
１
ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ２ ２
Ａ． （－１）＜ （－２）＜ （３） Ｂ． （３）＜ （－１）＜ （－２） [ ) ( ]
ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ １ １
Ｃ． （－２）＜ （－１）＜ （３） Ｄ． （３）＜ （－２）＜ （－１） Ｃ． － ，＋∞ Ｄ． －∞，－
答案 Ｄ 由ｆ ｘ ｆ ｘ 得ｆ ｘ 为偶函数 对于任意ｘ ２ ２
（－ ）＝ （ ）， （ ） ， １，
ｆ ｘ ｆ ｘ 答案 Ａ 解法一 ｆ ′ ｘ ３ ｘ ｘ２ １ ２ ｘ
ｘ 则 ２∈ ｆ （ ［ ３ ０ ） ， ＜ ＋ ｆ ∞ （２ ） ） ， ＜ ｆ （ （１ ２ ｘ ） ） ２ ， － － 易 ｘ （ １ 得 １） ｆ （ ＜ ３ ０ ） ， ＜ 即 ｆ （ 当 －２ ｘ ） ≥ ＜ ｆ ０ （－ 时 １ ， ）， ｆ 故 （ ｘ 选 ） 为 Ｄ 减 ． 函数 ， 由 { 题意 ｘ 令 ｘ２ ｆ ′ （ ｘ ）≤０， ： （ ）＝ ２ （６－ － ） （－２ －１），
２．（２０１７河南商丘二模，３）设函数ｆ （ ｘ ）＝ｌｎ（ｅ＋ ｘ ）＋ｌｎ（ｅ－ ｘ ）， 则ｆ 得 ６ － － ２ ｘ － －１≤ ≥ ０ ０ ， ，解得 － ２ １ ≤ ｘ ≤２ ．故选 Ａ ．
（
ｘ
）
是
（ ）
解法二
：
令
６－
ｘ
－
ｘ２
≥０，
得
－３≤
ｘ
≤２
．
奇函数 且在 上是增函数 故ｆ ｘ 的定义域为 ．
Ａ． ， （０，ｅ） （ ） ［－３，２］
奇函数 且在 上是减函数 [ ]
Ｂ． 偶函数 ， 且在 （０，ｅ） 上是增函数 ∵ ｔ ＝－ ｘ２ － ｘ ＋６ 在 － １ ，２ 上为减函数 ， 而ｙ ＝ ｔ３ ２ 在 ［０，＋∞） 上
Ｃ． ， （０，ｅ） ２
９８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
[ ] æ ｘ ｘ ö
为增函数 所以ｆ ｘ ｘ ｘ２ ３ ２ 在 １ 上为减函数．故 ｘ ｘ ç １＋ ２ ａ÷
， （ ）＝（６－ － ） － ２ ，２ ＝（ １－ ２）è ｘ２ ｘ２ － ø，
选 ． １＋１＋ ２＋１
Ａ 因为 ｘ ｘ２ ｘ ｘ２
４．（２０１７河南中原名校第一次质检，３）函数ｙ ＝ｌｏｇ１ ２（－ ｘ２ ＋ ｘ ＋６） ０≤ １＜ ｘ １ ｘ ＋１，０＜ ２＜ ２＋１，
的单调增区间为 所以 １＋ ２ ．
( ) ( ) （ ） ０＜ ｘ２ ｘ２ ＜１
１ １
１＋１＋ ２＋１
Ａ． ，３ Ｂ． －２， 因为ａ ｘ ｘ 所以ｆ ｘ ｆ ｘ
２ ２ ≥１， １－ ２＜０， （ １）－（ ２）＞０，
( ) 故ｆ ｘ 在 上单调递减．
１ （ ） ［０，＋∞）
Ｃ．（－２，３） Ｄ． ，＋∞ 任取ｘ ｘ 且 ｘ ｘ
２ （３） １， ２∈［１，＋∞）， １≤ １＜ ２，
答案 Ａ 令ｔ ｘ２ ｘ 由ｔ 得 ｘ 故函数的定义 æ ｘ ｘ ö
＝－ ＋ ＋６， ＞０， －２＜ ＜３， 由 知ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ ｘ ç １＋ ２ ａ÷
域
在
为
（－
（
２
－
，
２
３
，
）
３
上
），
的
由
单
复
调
合
减
函
区
数
间
的
即
单
可
调
．利
性
用
知
二
， 只
次
需
函
求
数
函
( 的
数
性
ｔ
质
＝
) 可
－ ｘ
得
２ ＋
ｔ
ｘ
＝
＋
－
６
因
（
为
２）
ｆ （ ｘ ） 在
（
［
１）
１，
－
＋
（
∞
２
）
）
上
＝
单
（
调
１－
递
２）
增
è
，
ｘ２ １＋１＋ ｘ２ ２＋１ － ø，
ｘ２ ＋ ｘ ＋６ 在定义域 （－２，３） 上的单调减区间为 １ ，３ ， 故原函 所以ｆ （ ｘ １）－ ｆ （ ｘ ２）＜０， 又ｘ １－ ｘ ２＜０，
２ ｘ ｘ
( ) 所以 １＋ ２ ａ 恒成立
数的单调增区间为 １
２
，３ ，
故选
Ａ
． ｘ２
１＋１＋
ｘ２
２＋１
－ ＞０ ，
５．讨论函数ｆ ｘ ａｘ ａ 在 上的单调性．
因为
１≤
ｘ
１＜
ｘ
２⇒２
ｘ２
１≥
ｘ２
１＋１，２
ｘ２
２＞
ｘ２
２＋１，
（ ）＝ｘ２ （ ＞０） （－１，１） 所以 ｘ ｘ２ ｘ ｘ２
－１ ２ １≥ １＋１， ２ ２＞ ２＋１，
解析 解法一
ａ
（
ｘ
定义
ａ
法
ｘ
）： 任取ｘ １， ｘ ２∈（－１，１）， 且ｘ １＜ ｘ ２， 两式相加得 ２（ ｘ １＋ ｘ ２）＞ ｘ２ ２＋１＋ ｘ２ １＋１，
ｆ （ ａ ｘ ｘ １） ｘ － ２ ｆ （ ａ ｘ ｘ ２）＝ ａｘ ｘ２ １ ｘ － ２ １ １ － ａ ｘ ｘ ２ ２－ ２ １ 则 ２ ２ ＜ ｘ２ １＋ ｘ １ １ ＋ ＋ ｘ ２ ｘ２ ２＋１ ＜１， 所以 ０＜ ａ ≤ ２ ２．
１ ２－ １－ ２ １＋ ２
＝ ｘ２ ｘ２ 考法二 函数单调性的应用
（ １－１）（ ２－１）
ａ （ ｘ ２－ ｘ １）（ ｘ １ ｘ ２＋１）． １．已知函数 ｆ （ ｘ ）＝ ｓｉｎ ｘ ＋３ ｘ ， ｘ ∈（－１，１）， 如果 ｆ （１－ ａ ）＜
＝ （ ｘ２ １－１）（ ｘ２ ２－１） － ｆ （１－ ａ２ ）， 则实数ａ的取值范围是 （ ）
ｘ ｘ
∵ －１＜ １＜ ２＜１，
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ２ ｘ２ ． Ａ．（１， ２） Ｂ．（－∞，－２）∪（１，＋∞）
∴ 又ａ ２－ １＞０ ｆ ， ｘ １ ２＋１ ｆ ＞ ｘ ０，（ １－１）（ ２－１）＞０ Ｃ．（－∞，－２） Ｄ．（１，＋∞）
故函
＞
数
０，
ｆ
∴
ｘ
（
在
１）－（ ２）
上
＞０
单
，
调递减．
答案 Ａ 易知函数 ｆ
（
ｘ
）
是奇函数
，
且在
（－１，１）
上单调
（ ） （－１，１） 递增
解法二 导数法 ，
（ ）： ｆ ａ ｆ ａ２ ｆ ａ ｆ ａ２
ｆ ′ ｘ （ ａｘ ） ′ （ ｘ２ －１）－ ａｘ （ ｘ２ －１） ′ ∵ { （１－ ａ ） ａ ＜ ２ －（１－ ），∴ （１－ ）＜（ －１），
（ ）＝ ｘ２ ２ １－ ＜ －１，
（ －１） ａ 解得 ａ 故选 ．
ａ ｘ２ ａｘ２ ∴ －１＜１－ ＜１， １＜ ＜ ２， Ａ
（ －１）－２ ａ２
＝ ｘ２ ２ －１＜１－ ＜１，
（ －１） { ｘ２ ｘ ｘ
ａ ｘ２ ２．设函数ｆ ｘ － ＋４ ， ≤４，若函数ｙ ｆ ｘ 在区间 ａ ａ
（－ －１） （ ）＝ ｘ ｘ ． ＝ （ ） （ ， ＋１）
＝ ｘ２ ２ ｌｏｇ２ ， ＞４
（ －１） 上单调递增 则实数ａ的取值范围是
ａ ｘ２ ， （ ）
（ ＋１）．
＝－ ｘ２ ２ Ａ．（－∞，１］ Ｂ．［１，４］
（ －１）
ａ ｘ Ｃ．［４，＋∞） Ｄ．（－∞，１］∪［４，＋∞）
∵ ＞０， ∈（－１，１）， 答案 Ｄ 函数图象如图．
ｆ ′ ｘ ．
∴ （ ）＜０
ｆ ｘ 在 上单调递减．
∴ （ ） （－１，１）
６．已知函数ｆ ｘ ｘ２ ａｘ 其中ａ ．
（ ）＝ ＋１－ ， ＞０
若 ｆ ｆ 求ａ的值
（１） ２（１）＝ （－１）， ；
证明 当ａ 时 函数 ｆ ｘ 在区间 上为单调减
（２） ： ≥１ ， （ ） ［０，＋∞）
函数
；
若函数ｆ ｘ 在区间 上是增函数 求ａ的取值范围． 函数在 ａ ａ 上单调递增 ａ 或ａ ．
（３） （ ） ［１，＋∞） ， ∵ （ ， ＋１） ，∴ ＋１≤２ ≥４
解析 由 ｆ ｆ 可得 ａ ａ 即 ａ ａ 或ａ ．
（１） ２ （１）＝ （－１）， ２ ２－２ ＝ ２＋ ， ３ ＝ ∴ ≤１ ≥４
３．（２０１７河南平顶山一模，１２）已知ｆ ｘ 是定义在 上的
（ ） （０，＋∞）
２，∴ ａ ＝ ３ ２． 函数 对任意两个不相等的正数ｘ ｘ 都有 ｘ ２ ｆ （ ｘ １）－ ｘ １ ｆ （ ｘ ２）
（
则
２）
ｆ
证
ｘ
明 ： 当
ｆ ｘ
ａ ≥１ 时
ｘ
，
２
任取
ａ
ｘ
ｘ
１， ｘ ２∈
ｘ２
［０，＋
ａ
∞
ｘ
）， 且 ０≤ ｘ １＜ ｘ ２，
记
，
ａ ｆ （３ ０ ． ２ ） ｂ ｆ （０ ． ３ ２ ） ｃ ｆ （ｌ
１
ｏ
，
ｇ２５
２，
） 则
ｘ １－ ｘ ２ ＞
（ １）－（ ２）＝ １＋１－ １－ ２＋１＋ ２ ０， ＝ ０ ． ２ ， ＝ ． ２ ， ＝ ， （ ）
ｘ２ ｘ２ ａ ｘ ｘ ３ ０３ ｌｏｇ２５
＝ １＋１－ ２＋１－ （ １－ ２） ａ ｂ ｃ ｂ ａ ｃ
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜
＝ ｘ２
ｘ２
１－
ｘ２
２ ｘ２ － ａ （ ｘ １－ ｘ ２） Ｃ． 答 ｃ ＜ 案 ａ ＜ ｂ Ｂ ｆ ｘ 是定义在 Ｄ． ｃ ＜ ｂ ＜ ａ 上的函数 对任意两个
１＋１＋ ２＋１ ∵ （ ） （０，＋∞） ，
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 ９９
ｘ ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ ｘ ｂｘ是偶函数
不相等的正数ｘ ｘ 都有 ２ （ １）－ １ （ ２） ∵ （ ）＝ｌｇ（１０ ＋１）＋ ，
１， ２， ｘ ｘ ＞０， ｇ ｘ ｇ ｘ 对任意的ｘ都成立
１－ ２ ∴ （－ ）＝ （ ） ，
ｘ ｘ 与ｘ ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ 同号 － ｘ ｂｘ ｘ ｂｘ
∴ １－ ２ ２ （ １）－ １ （ ２） ， ∴ ｌｇ（１０ ＋１）－ ＝ｌｇ（１０ ＋１）＋ ，
ｘ ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ æ ｆ ｘ ｆ ｘ ö ｘ
则ｘ
１－
ｘ
２
与 ２ （ １）
ｘ
－
ｘ
１ （ ２）
è
ç即（
ｘ
１）
－
（
ｘ
２）
ø
÷同号
， ∴ ｌｇ
１０ ＋
ｘ
１
＝ｌｇ（１０
ｘ
＋１）＋２
ｂｘ
，
ｆ ｘ １ ２ １ ２ １０ ｘ ｘ ｘ ｂｘ
函数 （ ）是 上的增函数 ∴ ｌｇ（１０ ＋１）－ ＝ｌｇ（１０ ＋１）＋２ ，
∴ ｘ （０，＋∞） ，
ｘ ｂｘ对一切ｘ恒成立 ｂ １
∵１＜３ ０ ． ２ ＜２，０＜０ ． ３ ２ ＜１，ｌｏｇ２５＞２， ∴ － ＝２ ，∴ ＝－ ２ ，
∴０
ｂ
． ３
ａ
２ ＜
ｃ
３
．
０
故
． ２ ＜
选
ｌｏｇ２５，
∴
ａ
＋
ｂ
＝ ２
１
，
故选
Ｄ
．
∴ ＜ ＜ Ｂ．
４．（２０１８安徽蚌埠二模，１１）已知单调函数ｆ ｘ 对任意的ｘ Ｒ ３．（２０１７河北“五个一名校联盟”二模，６）设函数ｆ （ ｘ ） 是定义在Ｒ
都有ｆ ［ ｆ （ ｘ ）－２ ｘ ］＝６， 则ｆ （２）＝ （ ）， （ ∈ ） 上的奇函数 且ｆ ｘ { ｌｏｇ３（ ｘ ＋１）， ｘ ≥０，则ｇ ｆ
， （ ）＝ ｇ ｘ ｘ （ （－８））＝ （ ）
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８ （ ）， ＜０，
答案 Ｃ 设ｔ ｆ ｘ ｘ 则ｆ ｔ 且ｆ ｘ ｘ ｔ 令ｘ ｔ
＝ （ ）－２ ， （ ）＝６， （ ）＝２ ＋， ＝ ， Ａ．－１ Ｂ．－２ Ｃ．１ Ｄ．２
则 即 ｆ ｆ （ （ ｔ ｘ ） ） ＝ ＝ ２ ２ ｔ ｘ ＋ ＋ ｔ ２ ＝ ， ６ 则 ，∵ ｆ （ ｆ ２ （ ） ｘ ） ＝ 是 ４＋ 单 ２ 调 ＝６ 函 ， 故 数 选 ， ｆ Ｃ （ ． ２）＝２ ２ ＋２＝６，∴ ｔ ＝２， { ｌ 答 ｏｇ３ 案 （ ｘ ＋１ Ａ ） ， ｘ ∵ ≥ 函 ０， 数 ｆ ｆ （ ｘ ） 是定 ｆ 义在Ｒ上的奇函数 ， ｇ 且 ｆ ｆ （ ｘ ）＝
( ) ｇ ｘ ｘ ∴ （－８）＝－（８）＝－ｌｏｇ３９＝－２，∴ （ （－８））
５．已知函数ｆ ｘ ｘ ａ ｘ ａ 对于 １ 内的任意两个相 （ ）， ＜０，
（ ）＝ ＋ ｌｎ （ ＞０）， ，１ ｇ ｆ ｆ ．故选
２ ＝ （－２）＝ （－２）＝－（２）＝－ｌｏｇ３３＝－１ Ａ．
４．（２０１７浙江模拟训练冲刺卷五，１０）已知定义在Ｒ上的函数
异实数ｘ ｘ 恒有 ｆ ｘ ｆ ｘ １ １ 则ａ的取值范围
１， ２， ｜ （ １）－（ ２）｜＞ ｘ －ｘ ， ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 函数 ｇ ｘ ｘ３ ｘ 若函数
１ ２ （ ） （ ）＋ （－ ）＝ －２， （ ）＝ －ｓｉｎ －１，
是 ． ｙ ｆ ｘ 与ｙ ｇ ｘ 的图象相交于点Ｐ ｘ ｙ Ｐ ｘ ｙ Ｐ
答 案 [ ３ ，＋∞ ) （ ＝ ｘ ｎ， （ ｙ
ｎ
ｎ ） ）（ ｎ ∈ ＝ Ｎ （ ∗ ） ） ， 则 （ ｘ １＋ ｙ １）＋（ ｘ ２＋ ｙ
ｎ
２ １ ） （ ＋ １ … ， ＋ １ （ ） ｘ ， ｎ＋ ２ ｙ （ ｎ） ２ ＝ ， ２） （ ， … ， ） ｎ
２ Ａ．－２ ＋２ Ｂ．－２
解析 因为ａ 所以ｆ ′ ｘ ａ ｘ ＋ ａ 在 上 Ｃ．－ ｎ ＋１ Ｄ．－ ｎ
＞０， （ ）＝１＋ ｘ ＝ ｘ ＞０ （０，＋∞） 答案 Ｄ 由ｆ ｘ ｆ ｘ 得ｆ ｘ ｆ ｘ 设
恒成立 ， 故函数ｆ （ ｘ ） 在 （０，＋∞） 上单调递增 ， 设ｘ １＜ ｘ ２， 则ｆ （ ｘ １） ｈ
（
ｘ
）＝
ｆ
（
ｘ
） ＋１，
则 （ ｙ ）
＝
＋ ｈ
（
（ ｘ －
）
是 ）＝ Ｒ －２ 上 ， 的奇 （－ 函 ） 数 ＋ ． １ 令 ＝－ φ ［
（
（ ｘ
）
）
＝
＋ ｇ １
（
］ ｘ ，
）＋
＜ ｆ （ ｘ ２）， 所以ｆ （ ｘ ２）－ ｆ （ ｘ １）＞ｘ １
１
－ｘ １
２
， 可得ｆ （ ｘ ２）＋ｘ １
２
＞ ｆ （ ｘ １）＋ｘ １
１
，
象
１，
相
则
交
φ （
于
ｘ ）
点
也
Ｐ
是
１（ ｘ
Ｒ
１，
上
ｙ １
的
），
奇
Ｐ ２
函
（ ｘ
数
２，
，
ｙ
若
２）
函
，…
数
， Ｐ
ｙ
ｎ
＝
（
ｆ
ｘ
（
ｎ
ｘ
，
）
ｙ
与
ｎ）（
ｙ
ｎ
＝
∈
ｇ （
Ｎ
ｘ
∗
）
）
的
，
图
则
令ｈ ｘ ｆ ｘ １ 则问题转化为函数 ｈ ｘ ｆ ｘ １ 在 函数ｙ ｈ ｘ 与ｙ φ ｘ 的图象相交于点Ｑ ｘ ｙ Ｑ ｘ
（ ）＝ （ ）＋ ｘ ， （ ）＝ （ ）＋ ｘ ＝ （ ） ＝ （ ） １（ １， １＋１）， ２（ ２，
( ) ( )
ｙ
２＋１），…，
Ｑ
ｎ（
ｘ
ｎ，
ｙ
ｎ＋１）（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
．由函数ｙ
＝
ｈ
（
ｘ
）
与ｙ
＝
φ
（
ｘ
）
１ 上单调递增 即ｘ２ ａｘ 在 １ 上恒成立 则ａ 都是Ｒ上的奇函数 知两函数图象共有奇数个交点 其中一个
，１ ， ＋ －１≥０ ，１ ， ， ，
２ ２ ｎ
( ｘ２ ) [ ) 为原点 另外ｎ 个交点 恰好是 －１对关于原点对称的点 所
１－ ３ 故ａ的取值范围是 ３ ． ， －１ ， ，
≥ ｘ ＝ ， ，＋∞ ２
ｍａｘ ２ ２ 以 ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ 故 ｘ ｙ ｘ
解题关键 题中出现绝对值 利用导数判断ｆ ｘ 的单调性 从 （ １＋ １＋１）＋（ ２＋ ２＋１）＋…＋（ ｎ＋ ｎ＋１）＝０， （ １＋ １）＋（ ２
， （ ） ， ｙ ｘ ｙ ｎ．
而去绝对值 将问题转化为恒成立问题求解． ＋ ２）＋…＋（ ｎ＋ ｎ）＝－
， ５．（２０１７青海西宁联考，９）函数ｆ ｘ 在定义域Ｒ上不是常数函
（ ）
考法三 函数奇偶性的判断及应用 数 且ｆ ｘ 满足条件 对任意ｘ Ｒ 都有ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ
， （ ） ： ∈ ， （ ＋２）＝ （２－ ）， （１
ｘ ｆ ｘ 则ｆ ｘ 是
１．（２０１３北京文，３，５分）下列函数中 既是偶函数又在区间 ＋ ）＝－（ ）， （ ） （ ）
， （０， 奇函数 偶函数
上单调递减的是 Ａ． Ｂ．
＋∞） （ ） 非奇非偶函数 既奇又偶函数
Ｃ． Ｄ．
ｙ １ ｙ － ｘ ｙ ｘ２ ｙ ｘ 答案 Ｂ 对任意ｘ Ｒ 都有ｆ ｘ ｆ ｘ
Ａ． ＝ ｘ Ｂ． ＝ｅ Ｃ． ＝－ ＋１ Ｄ． ＝ｌｇ｜ ｜ ∵ ∈ ， （１＋ ）＝－（ ），
ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ
答案 Ｃ Ａ 中 ｙ ＝ １ ｘ 是奇函数 ，Ａ 不正确 ；Ｂ 中 ｙ ＝ｅ － ｘ ＝ ∴ ｘ ）］ （ ＝ ２＋ － ｆ （ ） １ ＝ － ｘ ［ ） １ ＝ ＋（ － １ ｆ ［ ＋ １＋ ） （ ］ － ＝ ｘ － ）］ （ ＝ １ ｆ ＋ （－ ） ｘ ＝ ） ． （ ）， （２－ ）＝ ［１＋（１－
( )ｘ 又 对任意ｘ Ｒ 都有ｆ ｘ ｆ ｘ
１ 是非奇非偶函数
，Ｂ
不正确
；Ｃ
中ｙ
＝－
ｘ２
＋１
是偶函数且 ∵
ｆ ｘ ｆ ｘ
∈
．故
，
ｆ ｘ 为
（
偶
２＋
函
）
数
＝
．
（２－ ），
ｅ ∴ （ ）＝ （－ ） （ ）
在 上单调递减 正确 中ｙ ｘ 在 上是 又 只有常数函数既是奇函数又是偶函数 函数ｆ ｘ 在定义
（０，＋∞） ，Ｃ ；Ｄ ＝ｌｇ｜ ｜ （０，＋∞） ∵ ， （ ）
增函数 不正确．故选 ． 域Ｒ上不是常数函数 函数ｆ ｘ 不可能为奇函数．故选 ．
，Ｄ Ｃ ，∴ （ ） Ｂ
ｘ ａ ６．已知函数ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的奇函数．当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２
２．函数ｆ ｘ ９ － 的图象关于原点对称 ｇ ｘ ｘ ｂｘ （ ） ＜０ ， （ ）＝ －
（ ）＝ ｘ ， （ ）＝ｌｇ（１０ ＋１）＋ 则当 ｘ 时 ｆ ｘ 不等式 ｆ ｘ 的解集
３ ４， ＞０ ， （ ）＝ ； （ ）＜０
是偶函数 则ａ ｂ 为 ．
， ＋ ＝ （ ）
答案 ｘ２
１ １ － ＋４；（－２，０）∪（２，＋∞）
Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．－ Ｄ． 解析 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２
２ ２ ＜０ ， （ ）＝ －４，
ｘ ａ 设ｘ 则 ｘ
答案 Ｄ ｆ ｘ ９ － 的图象关于原点对称 ＞０， － ＜０，
∵ （ ）＝ ｘ ， ｆ ｘ ｘ２
３ ∴ （－ ）＝ －４，
函数ｆ ｘ 是奇函数 ｆ ａ ． 又 ｆ ｘ 为奇函数 ｆ ｘ ｆ ｘ
∴ （ ） ，∴ （０）＝０，∴ ＝１ ∵ （ ） ，∴ （－ ）＝－（ ），
１００ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｆ ｘ ｆ ｘ 解析 ｆ ｆ 因为ｆ ｆ ｆ ｆ
∴ （ ）＝－（－ ）， （４）＝ （－２）＝０， （１）＝１，（２）＝２，（３）＝ （－３）
ｆ ｘ ｘ２ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ 所以ｆ
∴ （ ）＝－ ＋４， ＝－１，（４）＝０，（５）＝ （－１）＝－１， （６）＝ （０）＝ ０， （１）＋
当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ ． ｆ ｆ
∴ ＞０ ， （ ）＝－ ＋４ （２）＋…＋（６）＝１，
{ｘ {ｘ 又因为
由ｆ ｘ 得不等式组 ＞０， 或 ＜０， ２０１７＝６×３３６＋１，
（ ）＜０ ：① ｘ２ ② ｘ２ 所以ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ
－ ＋４＜０ －４＜０， （１）＋ （２）＋ （３）＋…＋ （２ ０１６）＋ （２ ０１７）＝ ３３６×１＋１
解不等式组 得 ｘ ｘ ．
① ｛ ｜ ＞２｝， ＝３３７
解不等式组 得 ｘ ｘ ５．已知ｆ ｘ 对任意的ｘ Ｒ 都有ｆ ｘ ｆ ｘ ．当ｘ
② ｛ ｜－２＜ ＜０｝， （ ） ∈ ， （ －１）＝ （ ＋１） ∈（－２，０］
由 可知ｆ ｘ 的解集为 ｘ ｘ 或ｘ ． ｆ ｘ
①② （ ）＜０ ｛ ｜－２＜ ＜０ ＞２｝ 时 ｆ ｘ ｘ 则当 ｘ 时 （ ）的最大值为 ．
， （ ）＝ ＋１， ２＜ ≤４ ， ｘ
考法四 函数周期性的确定及应用
答案 １
１．（２０１７浙江台州一模，３）若函数ｙ ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的周期
＝ （ ） ４
为 的奇函数 则ｆ 解析 由ｆ ｘ ｆ ｘ 得ｆ ｘ ｆ ｘ
２ ， （２０１７）＝ （ ） （ －１）＝ （ ＋１）， （ ）＝ （ ＋２），
所以ｆ ｘ 是周期为 的周期函数
Ａ．－２０１７ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２０１７ （ ） ２ ，
答案 Ｂ ｙ ｆ ｘ 是Ｒ上周期为 的周期函数 即ｆ ｘ 当 ｘ 时 ｘ
＝ （ ） ２ ， （ ）＝ ２＜ ≤４ ，－２＜ －４≤０，
ｆ ｘ 令ｘ 知 ｆ ｆ ｆ 所以 ｆ 因此ｆ ｘ ｘ ｘ
（ ＋２）， ＝－１， （１）＝ （－１）＝ － （１）， （１）＝ （ －４）＝（ －４）＋１＝ －３，
ｆ ．因此ｆ ｆ 故选 ． ｆ ｘ ｘ
（－１）＝０ （２０１７）＝ （１）＝０， Ｂ 所以当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ （ ） －３ ３
２．已知函数ｆ ｘ 的定义域为Ｒ．当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ｘ 当 ２＜ ≤４ ， （ ）＝ －３， ｘ ＝ ｘ ＝１－ ｘ ，
（ ） ＜０ ， （ ）＝ｌｎ（－ ）＋ ；
ｘ 时 ｆ ｘ ｆ ｘ 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｆ ｘ 则 其在 上单调递增
－ｅ≤ ≤ｅ ， （－ ）＝ － （ ）； ＞１ ， （ ＋２）＝ （ ）， （２，４］ ，
ｆ ．
（８）＝ 故它的最大值为ｆ ３ １ ．
答案 （４）＝１－ ＝
２－ｌｎ２ ４ ４
解析 ｘ 时 ｆ ｘ ｆ ｘ 规律总结 几种常见抽象函数的周期
∵ ＞１ ， （ ＋２）＝ （ ），
∴ ｆ （８）＝ ｆ （８－３×２）＝ ｆ （２）， ｆ ｘ ａ ｆ （ ｘ ＋ ａ ） ｆ （ ｘ ＋ ａ ） ｆ ｘ ａ ｆ ｘ ａ ｆ ｘ ｆ （２ ａ － ｘ ）＝ ｆ （ ｘ ）
性质 （ ＋ ） （ ＋ ）＝ （ ＋）＝ （ 且ｆ ｂ ｘ ｆ ｘ
∵２＜ｅ， ｆ ｘ １ １ ｆ ｘ ａ ｂ ａ ｂ （２ － ）＝ （ ）
∴ ｆ （２）＝－ ｆ （－２）＝－（ｌｎ２－２）＝２－ｌｎ２ ． ＝－（ ） ＝ｆ （ ｘ ） ＝－ｆ （ ｘ ） （ － ） ＋ ）（ ≠ ） （ ａ ≠ ｂ ）
∴ ｆ （８）＝２－ｌｎ２ ． 周期 ２｜ ａ ｜ ２｜ ａ ｜ ２｜ ａ ｜ ２｜ ａ ｜ ｜ ａ － ｂ ｜ ２｜ ｂ － ａ ｜
３．（２０１８浙江“七彩阳光”联盟期中，１６）已知函数ｆ ｘ 是定义
（ ）
在Ｒ上的奇函数 对任意的ｘ Ｒ都有ｆ ｘ ｆ ｘ 且当ｘ
， ∈ （１＋ ）＝ （１－ ），
考法五 函数值域的求解方法
时 ｆ ｘ ｘ 则当ｘ 时 方程ｆ ｘ １
∈［０，１］ ，（ ）＝２ －１， ∈［－２，６］ ， （ ）＝－ １．（２０１７ 河南安阳期中，５） 已知函数 ｆ ｘ 的值域为
２ （ ）
所有根之和为 ． [ ]
３ ３ 则函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 的值域为
答案 － ， ， （ ）＝ （ ）＋ １－２（ ） （ ）
４ ２ ８
解析 由ｆ ｘ ｆ ｘ 得ｆ ｘ ｆ ｘ 又函数ｆ ｘ 是 [ ] [ ]
（１＋ ）＝ （１－ ）， （ ＋２）＝ （－ ）， （ ） １ ７ １
奇函数 Ａ． ， Ｂ． ，１
， ２ ８ ２
所以ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 从而有ｆ ｘ ｆ ｘ 即ｆ ｘ 是 [ ] ( ] [ )
（ ＋２）＝ （－ ）＝－（ ）， （ ＋４）＝ （ ）， （ ） ７ １ ７
以 为周期的函数． Ｃ． ，１ Ｄ． ０， ∪ ，＋∞
４ ８ ２ ８
又由题意知 函数ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ 对称 从而其图象
， （ ） ＝１ ， 答案 Ｂ 设ｔ ｆ ｘ 则ｆ ｘ １ ｔ２ ｆ ｘ
关于直线ｘ 也对称 由周期性知函数图象关于直线ｘ ｋ ＝ １－２（ ）， （ ）＝ （１－ ），∵ （ ）∈
１， ｋ ∈ Ｚ对称 ＝ ． － 由 １ 题意知函 ， 数ｆ （ ｘ ） 在区间 ［０，１］ 是增函数 ， ＝ 其 ２ 值 ＋ [ ３ ３ ] １ ｔ ．设 ｙ １－ ｔ２ ｔ ２ １ ｔ ２
－ ， ，∴ ≤ ≤２ ＝ ＋ ＝ － （ －１） ＋１
域为 此时方程ｆ ｘ １ 无解 由对称性知函数ｆ ｘ 在 ( ２ ８ ) ２ ２ ２
［０，１］， （ ）＝－ ２ ， （ ） １ ｔ 易知当ｔ 时 ｙ取得最大值 当ｔ 时 ｙ取得
≤≤２ ， ＝１ ， １， ＝２ ，
区间 是减函数 其值域为 此时方程ｆ ｘ １ 也 ２ [ ]
［１，２］ ， ［０，１］， （ ）＝－
２ 最小值 １ 函数ｇ ｘ 的值域是 １ ．故选 ．
，∴ （ ） ，１ Ｂ
无解．由函数图象关于原点对称知方程ｆ ｘ １ 在区间 ２ ２
（ ）＝－ ［－２， ２．（２０１７江西吉安一中期中，１６）已知ａ 且ａ 函数ｆ ｘ
２ ＞０ ≠１， （ ）＝
和 上各有一根 由对称性知两根之和为 ．由周期 ａｘ ｘ
－１］ ［－１，０］ ， －２ ５ ａｘ ＋３ ＋４ｌｏｇａ １＋ ｘ， 其中 － １ ≤ ｘ ≤ １ ， 则函数ｆ （ ｘ ） 的最大值与
性知方程ｆ ｘ １ 在区间 和 上各有一根 由对 ＋１ １－ ４ ４
（ ）＝－ ［２，３］ ［３，４］ ， 最小值之和为 ．
２
称性知两根之和为 ．由对称性知 在区间 上方程ｆ ｘ 答案
６ ， ［４，６］ （ ）＝ ８
ａｘ ｘ ａｘ ｘ
１ 无解 故在区间 上共有 个根 其和为 ． 解析 ｆ ｘ －１ １＋ 令ｇ ｘ －１ １＋
－ ， ［－２，６］ ４ ， ４ （ ）＝ ４＋ａｘ ＋４ｌｏｇａ ｘ， （ ）＝ａｘ ＋４ｌｏｇａ ｘ，
２ ＋１ １－ ＋１ １－
４．（２０１８浙江高考模拟卷，１２）定义在Ｒ上的函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ 可知ｇ ｘ ｇ ｘ 故函数ｇ ｘ 的图象关于原点对称 故函
（ ） （ （－ ）＝－ （ ）， （ ） ，
{ ｘ ２ ｘ 数ｆ ｘ 的图象关于点 对称 故函数ｆ ｘ 的最大值与最小
ｆ ｘ ．当ｘ 时 ｆ ｘ －（ ＋２） ，－３≤ ＜－１，则 （ ） （０，４） ， （ ）
＋６）＝ （ ） ∈［－３，３） ， （ ）＝ ｘ ｘ 值之和为 ．
，－１≤ ＜３， ８
ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ
（４）＝ ； （１）＋ （２）＋ （３）＋…＋ （２ ０１６）＋ （２ ３．已知ｘ 则函数ｙ １ ｘ的最小值为 ．
． ＞１， ＝ｘ ＋
０１７）＝ －１
答案 答案
０；３３７ ３
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １０１
解析 ｘ ｘ ｘ２ ｇ ｘ ｘ 则 ｆ ｘ ｇ ｘ 的最小值为 ．
∵ ＞１，∴ －１＞０， ＝ －２， （ ）＝－ ， ｍａｘ（ （ ）， （ ））
答案
ｙ １ ｘ １ ｘ １ ｘ －１
∴ ＝ｘ ＋ ＝ｘ ＋（ －１）＋１≥２ ｘ ·（ －１）＋１＝３， 解析 因为ｆ ｘ ｇ ｘ ｘ２ ｘ ｘ２ ｘ 当ｘ２ ｘ
－１ －１ －１ （ ）－ （ ）＝ －２－（－ ）＝ ＋ －２， ＋ －２≥０
时 解得ｘ 或ｘ ．
当且仅当 １ ｘ 即ｘ 时 成立． ， ≥１ ≤－２
ｘ ＝ －１， ＝２ “＝” 当 ｘ 时 ｘ２ ｘ 即ｆ ｘ ｇ ｘ
－１ －２＜ ＜１ ， ＋ －２＜０， （ ）＜ （ ），
{ ａ ｘ ａ ｘ { ｘ ｘ
４．已知函数ｆ ｘ （２－ ） ＋３ ， ＜１，的值域为Ｒ 则实数ａ的取 所以 ｆ ｘ ｇ ｘ － ，－２＜ ＜１， 作出图象如图所
（ ）＝ ｘ ｘ ， ｍａｘ（ （ ）， （ ））＝ ｘ２ ｘ 或ｘ
ｌｏｇ２ ， ≥１ －２， ≥１ ≤－２，
值范围是 ． 示 由图象可知最小值在Ａ处取得 所以最小值为ｆ ．
， ， （１）＝－１
答案
［－１，２）
{ ａ ｘ ａ ｘ
解析 函数ｆ ｘ （２－ ） ＋３ ， ＜１，的值域为Ｒ
（ ）＝ ｘ ｘ ，
ｌｏｇ２ ， ≥１
ｙ ｘ是增函数
∵ ＝ｌｏｇ２ ，
ｙ ａ ｘ ａ也是增函数 且 ａ ａ
∴ ＝（２－ ） ＋３ ， （２－ ）×１＋３ ≥ｌｏｇ２１，
ａ ａ 解得 ａ ．
∴２－ ＞０，２ ＋２≥０， －１≤ ＜２
实数ａ的取值范围是 ．
∴ ［－１，２）
{ｘ ｘ ｘ
５．对任意两个实数ｘ ｘ 定义 ｘ ｘ １， １≥ ２，若ｆ ｘ
１， ２， ｍａｘ（ １， ２）＝ ｘ ｘ ｘ ． （ ）
２， １＜ ２
考点一 函数的单调性及最值 是奇函数 且在Ｒ上是增函数
Ａ． ，
１．（２０２０新高考Ⅱ，７，５分）已知函数ｆ
（
ｘ
）＝ｌｇ（
ｘ２
－４
ｘ
－５）
在
（
ａ
， Ｂ．
是偶函数
，
且在Ｒ上是增函数
单调递增 则ａ的取值范围是 是奇函数 且在Ｒ上是减函数
＋∞） ， （ ） Ｃ． ，
是偶函数 且在Ｒ上是减函数
Ａ．（－∞，－１］ Ｂ．（－∞，２］ Ｃ．［２，＋∞） Ｄ．［５，＋∞） Ｄ． ，
答案 Ｄ 答案 Ａ
２．（２０２０课标Ⅱ理，９，５分）设函数ｆ ｘ ｘ ｘ ６．（２０１９北京，１３，５ 分）设函数 ｆ ｘ ｘ ａ － ｘ ａ 为常数 ．若
（ ）＝ｌｎ｜２ ＋１｜－ｌｎ｜２ －１｜， （ ）＝ ｅ ＋ ｅ （ ）
则ｆ ｘ ｆ ｘ 为奇函数 则ａ 若ｆ ｘ 是Ｒ上的增函数 则ａ
（ ） （ ） （ ） ， ＝ ； （ ） ，
( ) 的取值范围是 ．
是偶函数 且在 １ 单调递增
Ａ． ， ，＋∞ 答案
２ －１；（－∞，０］
( ) ７．（２０１６天津，１３，５分）已知ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的偶函数 且
是奇函数 且在 １ １ 单调递减 （ ） ，
Ｂ． ， － ２ ， ２ 在区间 上单调递增．若实数ａ满足ｆ ｜ ａ －１｜ ｆ
( ) （－∞，０） （２ ）＞ （－ ２），
是偶函数 且在 １ 单调递增 则ａ的取值范围是 ．
Ｃ． ， －∞，－
( )
２
( ) 答案 １ ３
是奇函数 且在 １ 单调递减 ，
Ｄ． ， －∞，－ ２ ２
２
答案 Ｄ 考点二 函数的奇偶性
３．（２０１９课标Ⅲ，１１，５分）设ｆ ｘ 是定义域为Ｒ的偶函数 且
（ ） ， ８．（２０２０新高考Ⅰ，８，５分）若定义在Ｒ的奇函数ｆ ｘ 在 单
在 单调递减 则 （ ） （－∞，０）
（０，＋∞） ， （ ） 调递减 且ｆ 则满足ｘｆ ｘ 的ｘ的取值范围是
( ) ， （２）＝０， （ －１）≥０
Ａ． ｆ ｌｏｇ３ １ ＞ ｆ （２ －２ ３ ）＞ ｆ （２ －３ ２ ） （ ）
４
( ) Ａ．［－１，１］∪［３，＋∞） Ｂ．［－３，－１］∪［０，１］
ｆ １ ｆ －３ ２ ｆ －２ ３
Ｂ． ｌｏｇ３ ＞（２ ）＞（２ ） Ｃ．［－１，０］∪［１，＋∞） Ｄ．［－１，０］∪［１，３］
４ 答案 Ｄ
( )
ｆ －２ ３ ｆ －３ ２ ｆ １ ９．（２０２０江苏，７，５分）已知ｙ ｆ ｘ 是奇函数 当ｘ 时 ｆ ｘ
Ｃ． （２ ）＞（２ ）＞ ｌｏｇ３ ＝ （ ） ， ≥０ ， （ ）
４
( ) ｘ２ ３ 则ｆ 的值是 ．
Ｄ． ｆ （２ －３ ２ ）＞ ｆ （２ －２ ３ ）＞ ｆ ｌｏｇ３ １ ＝ 答案 ， （－８）
４ －４
答案 Ｃ
考点三 函数的周期性
４．（２０１７课标Ⅰ，５，５分）函数ｆ ｘ 在 单调递减 且为
（ ） （－∞，＋∞） ，
奇函数．若ｆ 则满足 ｆ ｘ 的ｘ的取值范围是 １０．（２０１８课标Ⅱ，１１，５分）已知ｆ ｘ 是定义域为 的
（１）＝－１， －１≤（ －２）≤１ （ ） （－∞，＋∞）
奇函数 满足ｆ ｘ ｆ ｘ ．若 ｆ 则 ｆ ｆ
（ ） ， （１－ ）＝ （１＋ ） （１）＝ ２， （１）＋ （２）＋
ｆ ｆ
Ａ．［－２，２］ Ｂ．［－１，１］ Ｃ．［０，４］ Ｄ．［１，３］ （３）＋…＋（５０）＝ （ ）
答案 Ｄ
Ａ．－５０ Ｂ．０
( )ｘ
５．（２０１７北京，５，５分）已知函数ｆ ｘ ｘ １ 则ｆ ｘ Ｃ．２ Ｄ．５０
（ ）＝３ － ， （ ） 答案 Ｃ
３
１１．（２０１６山东，９，５ 分）已知函数 ｆ ｘ 的定义域为 Ｒ．当 ｘ
（ ） （ ） ＜０
１０２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
答案 ｘ 答案不唯一
时 ｆ ｘ ｘ３ 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｆ ｘ 当ｘ １ 时 ｓｉｎ π （ ）
， （ ）＝ －１； －１≤ ≤１ ， （－ ）＝－（ ）； ＞ ， １３．（２０１６四川，１４，５分）已知函数ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的周期
２ （ ）
( ) ( ) ( )
ｆ ｘ １ ｆ ｘ １ ．则ｆ 为 的奇函数 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 则ｆ ５ ｆ
＋ ＝ － （６）＝ （ ） ２ ， ０＜ ＜１ ， （ ）＝ ４ ， － ＋ （１）＝
２ ２ ２
．
Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．０ Ｄ．２
答案 Ｄ 答案
－２
１２．（２０２１新高考适应卷，１５，５分）写出一个最小正周期为 的
２
奇函数ｆ ｘ ．
（ ）＝
考点一 函数的单调性及最值
ｘ ｘ 即 ｘ２ ｘ 解得 １ ｘ 故选 ．
１．（２０１９北京文，３，５分）下列函数中 在区间 上单调递 ∴ ｜ ｜＞｜２ －１｜， ３ －４ ＋１＜０，
３
＜ ＜１， Ａ
增的是 ， （０，＋∞） ４．（２０１６浙江，７，５分）已知函数ｆ ｘ 满足 ｆ ｘ ｘ 且ｆ ｘ
（ ） ：（ ）≥｜ ｜ （ ）≥
（ ） ｘ ｘ Ｒ．
Ａ． ｙ ＝ ｘ１ ２ Ｂ． ｙ ＝２ － ｘ Ｃ． ｙ ＝ｌｏｇ１ ２ ｘ Ｄ． ｙ ＝ １ ｘ ２ Ａ． ， 若 ∈ ｆ （ ａ ）≤｜ ｂ ｜， 则ａ ≤ ｂ Ｂ． 若ｆ （ ａ ）≤２ ｂ ， 则ａ ≤ ｂ （ ）
答案 Ａ 本题主要考查指数函数 对数函数 幂函数的单 若ｆ ａ ｂ 则ａ ｂ 若ｆ ａ ｂ 则ａ ｂ
调性 考 查数 形结合的思想．考查的核心 、 素养是直 、 观想象． Ｃ． 答案 （ ） Ｂ ≥｜ 依 ｜ 题 ， 意得 ≥ ｆ ａ Ｄ ａ ． （ ）≥２ ， ≥
（ ）≥２ ，
， 若ｆ ａ ｂ 则 ａ ｆ ａ ｂ ａ ｂ
Ａ 选项 ， １ ＞０， 所以幂函数ｙ ＝ ｘ１ ２在 （０，＋∞） 上单调递增． 又ｙ （ ） ｘ ≤ 是 ２ Ｒ ， 上 ２ 的 ≤ 增函 （ 数 ）≤２ ａ ，∴ ｂ ２ ．故 ≤ 选 ２ ， ．
２ ＝２ ，∴ ≤ Ｂ
( )ｘ ｘ
Ｂ 选项 ， 指数函数ｙ ＝２ － ｘ ＝
２
１ 在 （０，＋∞） 上单调递减． ５．（２０１６北京文，１０，５ 分）函数 ｆ （ ｘ ）＝ ｘ
－１
（ ｘ ≥２） 的最大
值为 ．
选项 因为 １ 所以对数函数ｙ ｘ在 上单
Ｃ ， ０＜ ２ ＜１， ＝ｌｏｇ１ ２ （０，＋∞） 答案 ２
调递减．
解析 解法一 ｆ ′ ｘ －１ ｘ 时 ｆ ′ ｘ 恒
：∵ （ ）＝ ｘ ２，∴ ≥２ ， （ ）＜０
选项 反比例函数ｙ １ 在 上单调递减． （ －１）
Ｄ ， ＝ ｘ （０，＋∞） 成立
，
解题关键 熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解决本题 ｆ ｘ 在 上单调递减
∴ （ ） ［２，＋∞） ，
的关键．
∴
ｆ
（
ｘ
）
在
［２，＋∞）
上的最大值为ｆ
（２）＝２
．
２．（２０１６北京文，４，５分）下列函数中
，
在区间
（－１，１）
上为减函
解法二 ：∵ ｆ （ ｘ ）＝ｘ
ｘ
＝
ｘ
－ ｘ １＋１ ＝１＋ｘ １ ，
数的是 －１ －１ －１
（ ）
ｆ ｘ 的图象是将ｙ １ 的图象向右平移 个单位 再向上平
ｙ １ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ － ｘ ∴ （ ） ＝ ｘ １ ，
Ａ． ＝ ｘ Ｂ． ＝ｃｏｓ Ｃ． ＝ｌｎ（ ＋１） Ｄ． ＝２
１－
移 个单位得到的． ｙ １ 在 上单调递减
答案 Ｄ 选项 中 ｙ １ １ 的图象是将ｙ １ 的 １ ∵ ＝ ｘ ［２，＋∞） ，
Ａ ， ＝ ｘ＝ ｘ ＝－ ｘ
１－ －（ －１） ｆ ｘ 在 上单调递减 故ｆ ｘ 在 上的最大值
∴ （ ） ［２，＋∞） ， （ ） ［２，＋∞）
图象向右平移 个单位得到的 故ｙ １ 在 上为增函 为ｆ ．
１ ， ＝ ｘ （－１，１） （２）＝２
１－
数 不符合题意 选项 中 ｙ ｘ在 上为增函数 在 解法三 由题意可得 ｆ ｘ １ ．
， ； Ｂ ， ＝ｃｏｓ （－１，０） ， ： （ ）＝１＋ｘ
上为减函数 不符合题意 选项 中 ｙ ｘ 的图象 －１
（０，１） ， ； Ｃ ， ＝ｌｎ（ ＋１）
是将ｙ ｘ的图象向左平移 个单位得到的 故ｙ ｘ 在 ｘ ｘ １
＝ｌｎ １ ， ＝ｌｎ（ ＋１） ∵ ≥２，∴ －１≥１，∴０＜ｘ ≤１，
上为增函数 不符合题意 选项 符合题意． －１
（－１，１） ， ； Ｄ ｘ
评析 本题考查了基本函数的图象和性质以及图象的变换，属 １ 即 ．
∴１＜１＋ｘ ≤２， １＜ｘ ≤２
中档题． －１ －１
故ｆ ｘ 在 上的最大值为 ．
（ ） ［２，＋∞） ２
３．（２０１５课标Ⅱ文，１２，５分）设函数ｆ ｘ ｘ １ 则 评析 本题考查函数的最值，有多种解法，属中档题．
（ ）＝ｌｎ（１＋｜ ｜）－ １＋ ｘ２， {ｘ２ ｘ
使得ｆ （ ｘ ）＞ ｆ （２ ｘ －１） 成立的ｘ的取值范围是 （ ） ６．（２０１５浙江文，１２，６分）已知函数ｆ ｘ ， ≤１， 则
( ) ( ) （ ）＝ ｘ ６ ｘ
＋ ｘ －６， ＞１，
１ １
Ａ． ３ ，１ Ｂ． －∞， ３ ∪（１，＋∞） ｆ ｆ ｆ ｘ 的最小值是 ．
( ) ( ) ( ) （ （－２））＝ ， （ ）
Ｃ． － １ ， １ Ｄ． －∞，－ １ ∪ １ ，＋∞ 答案 － １ ；２ ６－６
３ ３ ３ ３
２
答案 Ａ 当ｘ ＞０ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ｌｎ（１＋ ｘ ）－
１＋
１ ｘ２，∴ ｆ ′ （ ｘ ）＝
１＋
１ ｘ＋ 解析 ｆ （－２）＝（－２） ２ ＝４， ｆ （ ｆ （－２））＝ ｆ （４）＝４＋
４
６ －６＝－
２
１ ．
２
ｘ
ｆ ｘ 在 上为增函数 ｆ ｘ ｆ ｘ
当ｘ
≤１
时
，
ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ２
≥０，
ｘ２ ２＞０，∴ （ ） （０，＋∞） ，∵ （－ ）＝ （ ），
（１＋ ） 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ６
ｆ ｘ 为偶函数 由ｆ ｘ ｆ ｘ 得ｆ ｘ ｆ ｘ ＞１ ，（ ）＝ ＋ ｘ －６≥２ ６－６，
∴ （ ） ， （ ）＞（２ －１） （｜ ｜）＞（｜２ －１｜），
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １０３
当且仅当ｘ 时 等号成立 由题意可知ｆ ｆ ｘ 时 ｆ ｘ ｘ３ ｘ２
＝ ６ ， ， （２）＝－（－２），∵ ∈（－∞，０） ， （ ）＝ ２ ＋ ，
ｆ ｆ ．
又 所以ｆ ｘ ． ∴ （２）＝－（－２）＝－［２×（－８）＋４］＝－（－１２）＝１２
２ ６－６＜０， （ ）ｍｉｎ＝２ ６－６
６．（２０１５课标Ⅰ理，１３，５分）若函数ｆ ｘ ｘ ｘ ａ ｘ２ 为偶
（ ）＝ ｌｎ（ ＋ ＋ ）
考点二 函数的奇偶性 函数 则ａ ．
， ＝
１．（２０１５北京文，３，５分）下列函数中为偶函数的是 答案
（ ） １
Ａ． ｙ ＝ ｘ２ ｓｉｎ ｘ Ｂ． ｙ ＝ ｘ２ ｃｏｓ ｘ Ｃ． ｙ ＝｜ｌｎ ｘ ｜ Ｄ． ｙ ＝２ － ｘ 解析 由已知得ｆ （－ ｘ ）＝ ｆ （ ｘ ）， 即 － ｘ ｌｎ（ ａ ＋ ｘ２ － ｘ ）＝ ｘ ｌｎ（ ｘ ＋
答案 Ｂ 中函数为奇函数 中函数为偶函数 与 中
Ａ ，Ｂ ，Ｃ Ｄ ａ ｘ２ 则 ｘ ａ ｘ２ ａ ｘ２ ｘ
函数均为非奇非偶函数 故选 ． ＋ ）， ｌｎ（ ＋ ＋ ）＋ｌｎ（ ＋ － ）＝０，
２．（２０１４课标Ⅰ，理３，文 ， ５，５分 Ｂ ）设函数ｆ ｘ ｇ ｘ 的定义域都 ∴ ｌｎ［（ ａ ＋ ｘ２ ） ２ － ｘ２ ］＝０， 得 ｌｎ ａ ＝０，∴ ａ ＝１ ．
（ ）， （ ） ７．（２０１４课标Ⅱ文，１５，５分）偶函数ｙ ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ
为Ｒ 且ｆ ｘ 是奇函数 ｇ ｘ 是偶函数 则下列结论中正确的是 ＝ （ ）
， （ ） ， （ ） ， 对称 ｆ 则ｆ ．
＝２ ， （３）＝３， （－１）＝
（ ） 答案
ｆ ｘ ｇ ｘ 是偶函数 ｆ ｘ ｇ ｘ 是奇函数 ３
Ａ． （ ） （ ） Ｂ．｜ （ ）｜ （ ） 解析 函数ｙ ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ 对称
ｆ ｘ ｇ ｘ 是奇函数 ｆ ｘ ｇ ｘ 是奇函数 ∵ ＝ （ ） ＝２ ，
Ｃ． （ ）｜ （ ）｜ Ｄ．｜ （ ） （ ）｜ ｆ ｘ ｆ ｘ 对任意ｘ恒成立
答案 Ｃ 由题意可知 ｆ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ ｇ ｘ 对于选 ∴ （２＋ ）＝ （２－ ） ，
（－ ）＝－（ ）， （－ ）＝ （ ）， 令ｘ 得ｆ ｆ
项 ｆ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ 所以ｆ ｘ ｇ ｘ 是奇函 ＝１， （１）＝ （３）＝３，
Ａ， （－ ）· （－ ）＝ － （ ）· （ ）， （ ） （ ） ｆ ｆ ．
数 故 项错误 对于选项 ｆ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ ∴ （－１）＝ （１）＝３
ｆ ， ｘ Ａ ｇ ｘ 所以 ； ｆ ｘ ｇ Ｂ ｘ ，｜ 是 （ 偶 － 函 ）｜ 数 （－ 故 ）＝ 项 ｜－ 错 （ 误 ）｜ 对 （ 于 ） 选 ＝ ８．（２０１２课标文，１６，５分）设函数ｆ ｘ （ ｘ ＋１） ２ ＋ｓｉｎ ｘ 的最大值
项
｜ （ ）｜
ｆ
（
ｘ
），
ｇ ｘ
｜ （ ）｜
ｆ
（
ｘ
）
ｇ ｘ 所以
，
ｆ
Ｂ
ｘ ｇ ｘ
；
是奇函
（ ）＝ ｘ２
＋１
Ｃ， （－ ）｜ （－ ）｜＝－（ ）｜ （ ）｜， （ ）｜ （ ）｜ 为Ｍ 最小值为ｍ 则Ｍ ｍ ．
数 故 项正确 对于选项 ｆ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ ， ， ＋ ＝
， Ｃ ； Ｄ，｜ （－ ） （－ ）｜＝｜－（ ） （ ）｜＝ 答案
ｆ ｘ ｇ ｘ 所以 ｆ ｘ ｇ ｘ 是偶函数 故 项错误 选 ． ２
评
｜ （
析
） （
本题
）｜
考
，
查函
｜
数
（
奇
）
偶
（
性
）
的
｜
定义及其
，
应用
Ｄ
，考查学
，
生的
Ｃ
知识 解析 ｆ ｘ
ｘ２
＋１＋２
ｘ
＋ｓｉｎ
ｘ
２
ｘ
＋ｓｉｎ
ｘ
令 ｇ ｘ
应用 能力及逻辑推理论证能力，准确理解函数奇偶性的定义是
（ ）＝ ｘ２
＋１
＝ １＋ ｘ２
＋１
， （ ）＝
ｘ ｘ
解决本题的关键． ２ ＋ｓｉｎ 则ｇ ｘ 为奇函数 有 ｇ ｘ ｇ ｘ 故 Ｍ ｍ
３．（２０１１课标，理２，文３，５ 分）下列函数中 既是偶函数又在
ｘ２
＋１
， （ ） ， （ ）ｍａｘ＋ （ ）ｍｉｎ＝０， ＋
， ．
单调递增的函数是 ＝２
（０，＋∞） （ ）
Ａ． ｙ ＝ ｘ３ Ｂ． ｙ ＝｜ ｘ ｜＋１ Ｃ． ｙ ＝－ ｘ２ ＋１ Ｄ． ｙ ＝２ －｜ ｘ ｜ 考点三 函数的周期性
答案 Ｂ ｙ ｘ３ 是奇函数 ｙ ｘ２ 和ｙ －｜ ｘ ｜在 上
＝ ， ＝－ ＋１ ＝２ （０，＋∞） （２０１７山东文，１４，５分）已知ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的偶函数
都是减函数 故选 ． （ ） ，
， Ｂ 且ｆ ｘ ｆ ｘ ．若当 ｘ 时 ｆ ｘ － ｘ 则
评析 本题考查函数的奇偶性和单调性的判定，属容易题． （ ＋４）＝ （ －２） ∈［－３，０］ ， （ ）＝ ６ ，
ｆ ．
４．（２０１８课标Ⅲ文，１６，５分）已知函数ｆ ｘ ｘ２ ｘ （９ 答 １９ 案 ）＝
（ ）＝ｌｎ（ １＋ － ）＋
１，
ｆ
（
ａ
）＝４，
则ｆ
（－
ａ
）＝
． 解析 ６ 本题考查函数的奇偶性与周期性．
答案
解析 本
－２
题考查函数的奇偶性．
由
故
ｆ
ｆ
（
ｘ
ｘ
＋
是
４）
周
＝
ｆ
期
（
ｘ
为
－２）
的
得
函
ｆ
（
数
ｘ
＋
．
６）＝
ｆ
（
ｘ
），
易知ｆ （ ｘ ） 的定义域为Ｒ ， 所以 （ ｆ （ ） ９１９）＝ ｆ （６× ６ １５３＋１）＝ ｆ （１） ．
令ｇ ｘ ｘ２ ｘ 因为ｆ ｘ 为Ｒ上的偶函数 所以ｆ ｆ ．
（ ）＝ｌｎ（ １＋ － ）， （ ） ， （１）＝ （－１）
则ｇ ｘ ｇ ｘ 又ｘ 时 ｆ ｘ － ｘ 所以ｆ －（－１） ．
（ ）＋ （－ ）＝０， ∈［－３，０］ ， （ ）＝６ ， （－１）＝６ ＝６
ｇ ｘ 为奇函数 从而ｆ 故ｆ ．
∴ （ ） ， （１）＝６， （９１９）＝６
ｆ ａ ｆ ａ 又ｆ ａ ｆ ａ ． 方法小结 函数周期性的判断
∴ （ ）＋（－ ）＝２， （ ）＝４，∴ （－ ）＝－２ ：
解题关键 观察出函数ｇ
（
ｘ
）＝ｌｎ（ １＋
ｘ２
－
ｘ
）
为奇函数． 一般地
，
若ｆ
（
ｘ
＋
Ｔ
）＝
ｆ
（
ｘ
），
则Ｔ为函数的一个周期
；
５．（２０１７课标Ⅱ文，１４，５分）已知函数ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的奇 若ｆ ｘ Ｔ ｆ ｘ 则 Ｔ为函数的一个周期
（ ） （ ＋ ）＝－（ ）， ２ ；
函
答
数
案
， 当ｘ ∈（－∞，０） 时 ， ｆ （ ｘ ）＝２ ｘ３ ＋ ｘ２ ， 则ｆ （２）＝ ． 若ｆ
（
ｘ
＋
Ｔ
）＝ｆ
１
ｘ （
ｆ
（
ｘ
）≠０），
则
２
Ｔ为函数的一个周期．
（ ）
１２
解析 本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值．
时间： 分钟 分值： 分
６０ ９５
一、单项选择题 每题 分 共 分 分别是定义在实数集 Ｒ 上的奇函数和偶函数且满足 ｆ ｘ
（ ５ ， ５０ ） （ ）－
１．（２０１９山东单县五中９月月考，８）若函数ｙ ｆ ｘ 在Ｒ上单调 ｇ ｘ ｘ 则有
＝ （ ） （ ）＝ｅ ， （ ）
递增 且ｆ ｍ２ ｆ ｍ 则实数ｍ的取值范围是 ｆ ｆ ｇ ｇ ｆ ｆ
， （ ＋１）＞（－ ＋１）， （ ） Ａ． （２）＜（３）＜ （０） Ｂ． （０）＜（３）＜（２）
ｆ ｇ ｆ ｇ ｆ ｆ
Ａ．（－∞，－１） Ｂ．（０，＋∞） Ｃ． （２）＜ （０）＜（３） Ｄ． （０）＜（２）＜（３）
答案 Ｄ
Ｃ．（－１，０） Ｄ．（－∞，－１）∪（０，＋∞）
答案 Ｄ ３．（２０１９山东师范大学附中二模，１０）函数ｆ ｘ 是Ｒ 上的偶函
（ ）
２．（２０２０四川绵阳南山中学９月月考，６）已知函数ｆ ｘ ｇ ｘ 数 且ｆ ｘ ｆ ｘ 若ｆ ｘ 在 上单调递减 则函数
（ ）、 （ ） ， （ ＋１）＝－ （ ）， （ ） ［－１，０］ ，
１０４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｆ ｘ 在 上是 二、多项选择题 每题 分 共 分
（ ） ［３，５］ （ ） （ ５ ， １０ ）
增函数 减函数 １１．（２０２１届山东潍坊四中检测，１２）德国著名数学家狄利克雷
Ａ． Ｂ．
先增后减的函数 先减后增的函数 在数学领域成就显著 是解析数论的创始人之一 以其名字命
Ｃ． Ｄ． ， ，
答案 Ｄ { ｘ为有理数
名的函数ｆ ｘ １， ，称为狄利克雷函数 则关于
４．（２０２０福建南平第一次综合质量检测）下列函数中 既是奇函 （ ）＝ ｘ为无理数 ，
， ０，
数又在 上单调递减的是 ｆ ｘ 下列说法正确的是
（０，＋∞） （ ） （ ）， （ ）
ｙ ｘ － ｘ ｙ ｘ ｘ ｘ Ｒ ｆ ｆ ｘ
Ａ． ＝２ －２ Ｂ． ＝ ｔａｎ Ａ．∀ ∈ ，（ （ ））＝１
函数ｆ ｘ 是偶函数
ｙ ｘ ｘ ｙ １ ｘ Ｂ． （ ）
Ｃ． ＝ －ｓｉｎ Ｄ． ＝ ｘ －２ 对任意一个非零有理数Ｔ ｆ ｘ Ｔ ｆ ｘ 对任意ｘ Ｒ恒成立
Ｃ． ，（ ＋ ）＝ （ ） ∈
答案 Ｄ 存在三个点Ａ ｘ ｆ ｘ Ｂ ｘ ｆ ｘ Ｃ ｘ ｆ ｘ 使
Ｄ． （ １， （ １））， （ ２， （ ２））， （ ３， （ ３）），
５．（２０２０山西平遥中学第一次月考，６）已知定义在Ｒ上的函数 得 ＡＢＣ为等边三角形
△
ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 且当ｘ 时 答案 ＡＢＣＤ
（ ） （－ ）＝－（ ）， （ ＋１）＝ （１－ ）， ∈［０，１］ ，
ｆ ｘ ｘ 则ｆ １２．（２０２１届江苏扬州期中检测，１１）已知函数ｙ ｆ ｘ 的定义域
（ ）＝ｌｏｇ２（ ＋１）， （３１）＝ （ ） ＝ （ ）
为Ｒ ｆ ｘ 为奇函数 且ｆ ｘ ｆ ｘ 则
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．－１ Ｄ．３ ，（ ＋１） ， （２＋ ）＝ （２－ ）， （ ）
答案 Ｃ ｆ
Ａ． （１）＝０
６．（２０２０福建高三毕业班质量检查测试）已知ｆ ｘ 是定义在Ｒ ｆ ｘ ｆ ｘ
（ ） Ｂ． （ ）＝ （ ＋４）
上的偶函数 其图象关于点 对称 给出下列关于ｆ ｘ 的 ｆ ｘ ｆ ｘ
， （１，０） ， （ ） Ｃ． （ ＋１）＝－（－ －１）
结论 ｙ ｆ ｘ 在区间 上至少有 个零点
： Ｄ． ＝ （ ） ［０，５０］ ２５
ｆ ｘ 是周期函数 答案 ＡＢＤ
①（ ） ；
ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 三、填空题 每题 分 共 分
②（ ） （ ）＝ （４－ ）； （ ５ ， １５ ）
ｆ ｘ 在 上单调递减 ｘ
③（ ） （０，２） ； １３．（２０２０河南南阳一中第一次月考，１３）函数ｆ ｘ ｘ
ｘ （ ）＝ － ＋１
ｆ ｘ π 是满足条件的一个函数． ２
④（ ）＝ｃｏｓ 的最小值为 ．
２
其中正确结论的个数是 答案
（ ） －１
Ａ．４ Ｂ．３ Ｃ．２ Ｄ．１ ｘ２
答案 Ｂ １４．（２０１９天津和平期末，１３）已知函数 ｆ （ ｘ ）＝ ｘ ４－ ， 若
｜ ＋３｜－３
７．（２０２０ 吉林白城通榆一中第一次月考，６）函数 ｙ ＝ ２－ ｆ
（
ａ
）＝－４，
则ｆ
（－
ａ
）
的值为 ．
ｘ２ ｘ的值域是 答案
－ ＋４ （ ） ４
１５．（２０１９北京师范大学附中期中，１４）已知函数ｆ ｘ 是定义在
Ａ．［－２，２］ Ｂ．［１，２］ Ｃ．［０，２］ Ｄ．［－ ２， ２］ （ ）
答案 Ｃ Ｒ上的奇函数 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ ａｘ ａ 其中ａ Ｒ．
( )
， ＞０ ， （ ）＝ －２ ＋ ， ∈
８．（２０２０福建漳州高中毕业班第二次高考适应性测试）已知函
ｆ １
数ｇ （ ｘ ）＝ （ ｘ ＋１） ｘ ｅ ｘ － ｘ ＋１ ， 则下列说法错误的是 （ ） ① 若 － ｆ ２ ｘ 的 ＝ 值 域 是 Ｒ ； 则ａ的取值范围是 ．
ｅ ＋１ ② （ ） ，
ｇ ｘ 的定义域是Ｒ ｇ ｘ 是偶函数 答案 １
Ａ．
ｇ
（
ｘ
）
在 上单 调 递 减
Ｂ．
ｇ
（
ｘ
）
的最小值为
①－
４
②（－∞，０］∪［１，＋∞）
Ｃ． （ ） （０，＋∞） Ｄ． （ ） １
答案 Ｃ 四、解答题 共 分
（ ２０ ）
９．（２０１９山西长治二模，７）定义在Ｒ上的函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ １６．（２０２０山西太原五中９月阶段性检测（理），１７）定义在Ｒ上
（ ） （ ＋６）
ｆ ｘ 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ２ 当 ｘ 时 ｆ ｘ 的单调函数ｆ ｘ 满足 ｆ 且对任意 ｘ ｙ Ｒ 都有
＝ （ ）， －３≤ ＜－１ ， （ ）＝－（ ＋２） ， －１≤ ＜３ ， （ ） （ ） （３）＝ ｌｏｇ２３， ， ∈
ｘ 则ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ ｆ ｙ ．
＝ ， （１）＋（２）＋（３）＋…＋（２０１９）＝ （ ） （ ＋ ）＝ （ ）＋（ ）
求证 ｆ ｘ 为奇函数
Ａ．３３６ Ｂ．３３７ Ｃ．３３８ Ｄ．３３９ （１） ： （ ） ；
答案 Ｃ 若ｆ ｋ ｘ ｆ ｘ ｘ 对任意ｘ Ｒ恒成立 求实数
（２） （ ·３ ）＋（３ －９ －２）＜０ ∈ ，
ｘ ｋ的取值范围．
１０．（２０１９福建厦门模拟，７）已知函数ｆ ｘ １＋ ｘ 且ｆ ａ
（ ）＝ｌｎ ｘ＋ ， （ ）＋ １７．（２０２１届广东云浮郁南蔡朝焜纪念中学９月月考，２０）已知
１－
ｆ
（
ａ
＋１）＞０，
则ａ的取值范围为
（ ） ｆ ｘ
ｐｘ２
＋２是奇函数 且ｆ ５ ．
( ) ( ) ( ) ( ) （ ）＝ ｘ ｑ ， （２）＝
１ １ １ １ ３ ＋ ３
Ａ． －１，－ Ｂ． － ，０ Ｃ． － ，１ Ｄ． － ，＋∞ 求实数ｐ ｑ的值
２ ２ ２ ２ （１） ， ；
答案 Ｂ 判断函数ｆ ｘ 在 上的单调性 并证明．
（２） （ ） （－∞，－１） ，
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １０５
１．（２０１７北京朝阳期中）已知函数ｆ ｘ ａｘ２ ｘ 若对任意ｘ ｘ
（ ）＝ － ， １， ２ １ ．故选
ｆ ｘ ｆ ｘ － －１ ＋３＝１ Ｃ．
且ｘ ｘ 不等式 （ １）－（ ２） 恒成立 则实数 ２
∈［２，＋∞）， １≠ ２， ｘ ｘ ＞０ ， ６．（２０１８甘肃庆阳一中５ 月模拟，１０）设奇函数ｆ ｘ 的定义域
１－ ２ （ ）
ａ的取值范围是 为Ｒ 且ｆ ｘ ｆ ｘ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 则ｆ ｘ 在
（ ） ， （ ＋４）＝ （ ）， ∈（４，６］ ，（ ）＝２ ＋１， （ ）
( ) [ ) 区间 上的表达式为
１ １ ［－２，０） （ ）
Ａ． ２ ，＋∞ Ｂ． ２ ，＋∞ Ａ． ｆ （ ｘ ）＝２ ｘ ＋１ Ｂ． ｆ （ ｘ ）＝－２ － ｘ ＋４ －１
( １ ) [ １ ) Ｃ． ｆ （ ｘ ）＝２ － ｘ ＋４ ＋１ Ｄ． ｆ （ ｘ ）＝２ － ｘ ＋１
Ｃ． ４ ，＋∞ Ｄ． ４ ，＋∞ 答案 Ｂ 当ｘ 时 ｘ ｘ
答案 Ｄ 由题意知函数 ｆ （ ｘ ） 在 ［２，＋∞） 上单调递增 ， 则 又 当 ｘ ∈ 时 ［ ｆ －２ ｘ ，０） ｘ ，－ ∈ ｆ （０， ｘ ２］，∴ － － ｘ ＋ ＋ ４ ４∈ ．又 （４，６ ｆ ］， ｘ
{ａ ∵ ∈（４，６］ ，（ ）＝２ ＋１，∴ （－ ＋４）＝２ ＋１ ∵ （
＞０， ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 又 函数ｆ ｘ 是Ｒ上的奇函
解得ａ １ 故选 ． ＋４）＝ （ ），∴ （－ ＋４）＝ （－ ）， ∵ （ ）
１ ≥ ， Ｄ 数 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ － ｘ ＋４ 当 ｘ 时
ａ≤２， ４ ，∴ （－ ）＝－ （ ），∴ － （ ）＝ ２ ＋１，∴ ∈［－２，０） ，
２ ｆ ｘ － ｘ ＋４ ．故选
２．（２０１８河北石家庄一模，９）设ｆ ｘ 是定义在 ｂ ｂ 上的 （ ）＝－２ －１ Ｂ．
（ ） ［－２ ，３＋ ］ { ｘ ｘ
偶函数 且在 ｂ 上为增函数 则ｆ ｘ ｆ 的解集为 ７．（２０１９北京朝阳一模，４）若函数ｆ ｘ ２ ， ＜１， 则函数
， ［－２ ，０］ ， （ －１）≥（３） （ ）＝ ｘ ｘ
－ｌｏｇ２ ， ≥１，
（ ） ｆ ｘ 的值域是
（ ） （ ）
Ａ．［－３，３］ Ｂ．［－２，４］ Ｃ．［－１，５］ Ｄ．［０，６］
答案 Ｂ 因为ｆ ｘ 是定义在 ｂ ｂ 上的偶函数 Ａ．（－∞，２） Ｂ．（－∞，２］
（ ） ［－２ ，３＋ ］ ，
所以有 ｂ ｂ 解得ｂ Ｃ．［０，＋∞） Ｄ．（－∞，０）∪（０，２）
－２ ＋３＋ ＝０， ＝３， 答案 Ａ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ．如图 ｆ ｘ 为单调递增函
由函数ｆ ｘ 在 上为增函数 得ｆ ｘ 在 上为减函 ＜１ ， （ ）＝ ２ ， （ ）
（ ） ［－６，０］ ， （ ） （０，６］ 数 值域为
数 故ｆ ｘ ｆ ｆ ｘ ｆ ｘ 故 ｘ ， （０，２）；
， （ －１）≥（３）⇒（｜ －１｜）≥ （３）⇒｜ －１｜≤３， －２≤
．选
≤４ Ｂ．
３．（２０１８广东省际名校（茂名）联考（二），４）设函数 ｆ ｘ 在 Ｒ
（ ）
上为增函数 则下列结论一定正确的是
， （ ）
ｙ １ 在Ｒ上为减函数
Ａ． ＝ｆ ｘ
（ ）
ｙ ｆ ｘ 在Ｒ上为增函数
Ｂ． ＝｜ （ ）｜
ｙ １ 在Ｒ上为增函数
Ｃ． ＝－ｆ ｘ
（ ）
Ｄ． ｙ ＝－ ｆ （ ｘ ） 在Ｒ上为减函数 当ｘ ≥１ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝－ｌｏｇ２ ｘ．如图 ， ｆ （ ｘ ） 为单调递减函数 ， 值域为
．
答案 Ｄ 错 如ｆ ｘ ｘ３ 则ｙ １ 的定义域为 （－∞，０］
Ａ ， （ ）＝ ， ＝ｆ ｘ （－∞，０）
（ ）
在定义域上无单调性 错 如 ｆ ｘ ｘ３ 则 ｙ
∪（０，＋∞）， ；Ｂ ， （ ）＝ ， ＝
ｆ ｘ 在Ｒ上无单调性 错 如ｆ ｘ ｘ３ 则ｙ １ 的定义
｜ （ ）｜ ；Ｃ ， （ ）＝ ， ＝－ｆ ｘ
（ ）
域为 在定义域上无单调性．故选
（－∞，０）∪（０，＋∞）， Ｄ．
４．（２０１８浙江绍兴高三３月适应性模拟，４）已知ａ Ｒ 则 ａ
∈ ， “ ＝
是 ｆ ｘ ｘ２ ａｘ是偶函数 的
０” “ （ ）＝ ＋ ” （ ）
充分不必要条件 必要不充分条件 综上 ｆ ｘ 的值域为 ．故选 ．
Ａ． Ｂ． ， （ ） （－∞，２） Ａ
充分必要条件 既不充分也不必要条件 ８．（２０１９江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学联考，１３）已知
Ｃ． Ｄ．
答案 Ｃ 当ａ 时 ｆ ｘ ｘ２ 是偶函数 充分性成立 当 {ａ ｘ ｘ
＝０ ， （ ）＝ ， ； ｌｎ（－ ）（ ＜０），
ｆ ｘ ｘ２ ａｘ是偶函数时 ｆ ｘ ｆ ｘ 解得ａ 必要性成 函数ｆ ｘ 的图象上存在点关于 ｙ 轴对
（ ）＝ ＋ ， （－ ）＝ （ ）， ＝０， （ ）＝ １ ｘ ｘ
立 所以 ａ 是 ｆ ｘ ｘ２ ａｘ是偶函数 的充分必要条件．故 ｘ（ ＞０， ≠２ｅ）
， “ ＝０” “ （ ）＝ ＋ ” ２ｅ－
选 ． 称 则实数ａ的取值范围是 ．
Ｃ ，
{ ｘ ｘ
５．（２０１８吉林长春二模，４）若 ｆ ｘ ２ －３， ＞０，是奇函数 则 答案 ａ 或ａ １
（ ）＝ ｇ ｘ ｘ ， ＜０ ≥
（ ）， ＜０ ｅ
ｆ ｇ 的值为 解析 设 ｘ ｙ ｘ 为函数 ｙ ｆ ｘ 的图象上任一点 则
（ （－２）） （ ） （ ， ）（ ＞０） ＝ （ ） ，
５ ５ ｘ ｙ 也在ｙ ｆ ｘ 的图象上 则有 １ ａ ｘ
Ａ． Ｂ．－ （－ ， ） ＝ （ ） ， ｘ＝ ｌｎ ，
２ ２ ２ｅ－
Ｃ．１ Ｄ．－１ １ ｘ ｘ．
{ ｘ ｘ ∴ ａ ＝（２ｅ－ ）ｌｎ
答案 Ｃ ｆ ｘ ２ －３， ＞０，是奇函数 ｘ 时 ｇ ｘ
∵ （ ）＝ ｇ ｘ ｘ ，∴ ＜０ ， （ ）＝ 设ｇ ｘ ｘ ｘ ｘ
（ ）， ＜０ （ ）＝（２ｅ－ ）ｌｎ （ ＞０），
ｘ
１ ｇ １ ｆ ｇ ｆ ｇ 则ｇ′ ｘ ｘ ２ｅ－ ｘ ２ｅ
－ ｘ＋３，∴ （－２）＝－ －２ ＋３＝－１， （ （－２））＝ （－１）＝ （－１）＝ （ ）＝－ｌｎ ＋ ｘ ＝－ｌｎ ＋ ｘ －１，
２ ２
１０６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
{ ｘ为有理数
ｇ″ ｘ １ ２ｅ 则ｇ″ ｘ 且ｇ′ Ｄ ｘ １， ， Ｄ ｘ Ｔ 正确．
（ ）＝－ ｘ －ｘ２， （ ）＜０ （ｅ）＝０， ∵ （ ＋１）＝ ｘ为无理数 ＝ （ ），∴ ＝１，（３）
０，
当ｘ 时 ｇ′ ｘ 当ｘ 时 ｇ′ ｘ Ｄ Ｄ Ｄ 显然Ｄ ｘ 不是单调函数
∴ ∈（０，ｅ） ， （ ）＞０， ∈（ｅ，＋∞） ， （ ）＜０， ∵ （ ２）＝０， （２）＝１， （ ５）＝０， （ ） ，
ｇ ｘ ｇ 正确．
∴ （ ）≤ （ｅ）＝ｅ， ∴ （４）
１ ａ 或ａ １ ．
１２．（２０１９启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校联考，１６）已知
∴ ａ ≤ｅ，∴ ＜０ ≥
９．（２０１７天津河北二模，１ ｅ ４）设函数ｙ ｆ ｘ 是定义在Ｒ上以 函数ｆ （ ｘ ）＝ｅ ｘ － ｍ ｘ －２ ｘ是定义在 ［－１，１］ 上的奇函数 （ 其中 ｅ
＝ （ ） １
ｅ
为周期的函数 ， 若 ｇ （ ｘ ）＝ ｆ （ ｘ ）－２ ｘ 在区间 ［２，３］ 上的值域为 是自然对数的底数 ．
）
［－２，６］，
则函数ｇ
（
ｘ
）
在
［－２０１７，２０１７］
上的值域为 ． 求实数ｍ的值
（１） ；
答案
［－４０３０，４０４４］
（２）
若ｆ
（
ａ
－１）＋
ｆ
（２
ａ２
）≤０，
求实数ａ的取值范围．
解析 由ｇ （ ｘ ） 在区间 ［２，３］ 上的值域为 ［－２，６］， 可设ｇ （ ｘ ０） 解析 因为ｆ ｘ ｘ ｍ ｘ是定义在 上的奇
ｇ ｘ ｘ ｘ 则ｇ ｘ ｆ ｘ ｘ ． （１） （ ）＝ｅ － ｘ－２ ［－１，１］
＝－２， （ １）＝６， ０， １∈［２，３］， （ ０）＝ （ ０）－２ ０＝－２ ｅ
ｙ ｆ ｘ 是定义在Ｒ上以 为周期的函数 函数 所以ｆ 所以ｍ ． 分
∵ ＝ （ ） １ ， ， （０）＝０， ＝１ （４ ）
对于任意ｎ Ｎ∗ ｇ ｘ ｎ ｆ ｘ ｎ ｘ ｎ ｆ ｘ ｘ
∴ ∈ ， （ ０＋ ）＝ （ ０＋ ）－２（ ０＋ ）＝ （ ０）－２ ０－ 当ｍ 时 ｆ ｘ ｘ １ ｘ ｆ ｘ １ ｘ ｘ ｆ ｘ 符
ｎ ｎ． ＝１ ， （ ）＝ｅ － ｘ－２ ， （－ ）＝ ｘ－ｅ ＋２ ＝－ （ ），
２ ＝－２－２ ｅ ｅ
同理ｇ ｘ ｎ ｎ 合题意． 分
（ １＋ ）＝６－２ ， （６ ）
又 于是ｇ ｘ 在
２０１７－３＝２０１４，－２０１７－２＝－２ ０１９， （ ） ［－２ ０１７， ｆ ′ ｘ ｘ １
上的最小值是 在 （２） （ ）＝ｅ ＋ ｘ－２，
２０１７］ －２－２×２ ０１４＝－４ ０３０； ［－２０１７，２ ０１７］ ｅ
上的最大值是 ．
６－２×（－２０１９）＝４０４４ 因为 ｘ １ 所以ｆ′ ｘ 当且仅当ｘ 时 ｆ′ ｘ
函数ｇ ｘ 在 上的值域为 ． ｅ ＋ ｘ≥２， （ ）≥０， ＝０ ， （ ）＝０，
∴ （ ） ［－２０１７，２０１７］ ［－４０３０，４０４４］ ｅ
解题分析 本题考查了函数的值域 函数的周期性及其应用 所以ｆ ｘ 在 上单调递增 分
、 ， （ ） ［－１，１］ ， （１０ ）
考查了利用所学知识解决问题的能力． { ａ
－１≤ －１≤１，
１０．（２０１９浙江金丽衢十二校２０１８ 学年高三第一次联考，１２） 所以 ａ２ 所以 ａ １ ． 分
－１≤２ ≤１， ０≤ ≤ （１４ ）
已知偶函数ｆ
( （
ｘ
） )
满足ｆ
（
ｘ
－１）＝
ｆ
（
ｘ
＋１），
且当 ｘ
∈［０，１］
时
，
ａ
－１≤－２
ａ２
，
２
忘记定义域扣 分
ｆ ｘ ｘ 则ｆ ４ ．若在区间 内 函数ｇ ｘ （ ２ ）
（ ）＝ ， ＝ ［－１，３］ ， （ ）
ｆ ｘ ｋｘ ｋ有 ３ 个零点 则实数ｋ的取值范围是 ． １３．（２０１９江苏沙溪高级中学检测）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ ａ １ － １ ｘ （ ａ ＞
＝ （ ）－ － ４ ，
( ]
答案 ２ １ ０， ｘ ＞０） ．
３ ； ０， ４ 求证 ｆ ｘ 在 上是增函数
解析 由已知可得函数 ｆ ｘ 是周期为 的偶函数 则 （１） ：（ ） [ （０，＋ ] ∞） [ ； ]
( ) ( ) ( ) （ ） ２ ， 若ｆ ｘ 在 １ 上的值域是 １ 求ａ的值．
（２） （ ） ，２ ，２ ，
ｆ ４ ｆ ２ ｆ ２ ２ ． ２ ２
３ ＝ － ３ ＝ ３ ＝ ３ 解析 设任意ｘ ｘ
当 当 － ｘ ， ｘ ｘ ∈ ∈ ［ ［１ － ， １ ２ ， ］ ０ 时 ） 时 ，２ ， － － ｘ ｘ ∈ ∈ ［ ［０ ０ ， ， １ １ ） ］ ， ， ∴ ∴ ｆ ｆ （ （ ｘ ｘ ） ） ＝ ＝ ｆ （ ｆ （ － ｘ ｘ ） － ＝ ２） － ＝ ｘ ， ｆ （２－ ｘ ）＝ ２ 则 因为 ｘ ２－ ｆ （ ｘ ｘ １＞ ２ （ ） ０ １ － ， ） ｘ ｆ （ １ ｘ ｘ ２ １ ＞ ） ０ ＝ ． ( ａ ２ １ ＞ － １ ｘ １ ＞０ ) ， － ( ａ １ －ｘ １ ) ＝ｘ １ －ｘ １ ＝ ｘ ｘ ２－ ｘ ｘ １ ＞０，
当ｘ ∈（２，３］ 时 ， ｘ －２∈（０，１］，∴ ｆ （ ｘ ）＝ ｆ （ ｘ －２）＝ ｘ －２， 从而在 所以ｆ ｘ ｆ ｘ ２ １ １ ２ １ ２
ì ï ïｘ － ｘ ｘ ， ｘ ∈［－１，０）， 所以ｆ （ （ ｘ ） ２） 在 ＞ （ （ ０， １ ＋ ） [ ∞ ， ） 上 ] 是增函数． [ ]
区间 上 ｆ ｘ 的解析式为ｆ ｘ í ， ∈［０，１］， 令 因为ｆ ｘ 在 １ 上的值域是 １
［－１，３］ ， （ ） （ ）＝ ï ｘ ｘ （２） （ ） ，２ ，２ ，
ï２－ ， ∈［１，２］， ２ ２
îｘ ｘ [ ]
－２， ∈（２，３］， 又由 得ｆ ｘ 在 １ 上是单调增函数
ｇ ｘ ｆ ｘ ｋ ｘ 则需保证两个函数ｙ ｆ ｘ 和ｙ ｋ （１） （ ） ，２ ，
（ ）＝０⇔（ ）＝ （ ＋１）， ＝ （ ） ＝ ２
ｘ 的图象有四个不同交点 画出图象 画图略 可得 ｋ ( )
（ ＋１） ， （ ） 所以ｆ １ １ ｆ 易知ａ ２ ．
( ] ＝ ， （２）＝２， ＝
１ ． ２ ２ ５
∈ ０， １４．（２０１８江苏泰州中学期中，１７）已知函数ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｘ
４ （ ）＝ ＋（ －１）·｜
{ ｘ为有理数 ａ ．
１１．（２０１８山东烟台期中，１６）设函数Ｄ ｘ １， ，则 － ｜
（ ）＝ ｘ为无理数 若ａ 求满足ｆ ｘ 的ｘ的取值集合
０， ， （１） ＝－１， （ ）＝１ ；
下列结论正确的是 ． 若函数ｆ ｘ 在Ｒ上单调递增 求实数ａ的取值范围
（２） （ ） ， ；
Ｄ ｘ 的值域为 若ａ 且不等式ｆ ｘ ｘ 对一切实数ｘ Ｒ恒成立
（１） （ ） ｛０，１｝； （３） ＜１ （ ）≥２ －３ ∈ ，
Ｄ ｘ 是偶函数 求ａ的取值范围．
（２） （ ） ；
Ｄ ｘ 是周期函数 { ｘ２ ｘ
（３） （ ） ； 解析 当ａ 时 有ｆ ｘ ２ －１， ≥－１，
Ｄ ｘ 不是单调函数． （１） ＝－１ ， （ ）＝ ｘ ．
（４） （ ） １， ＜－１
答案 当ｘ 时 ｘ２ 解得ｘ 或ｘ
（１）（２）（３）（４） ≥－１ ，２ －１＝１， ＝１ ＝－１，
解析 由题意可知 Ｄ ｘ 的值域为 正确． 当ｘ 时 ｆ ｘ 恒成立
， （ ） ｛０，１｝，（１） ＜－１ ， （ ）＝１ ，
{ ｘ为有理数 ｘ的取值集合为 ｘ ｘ 或ｘ ．
Ｄ ｘ １， ， Ｄ ｘ ∴ ｛ ｜ ≤－１ ＝１｝
∵ （－ ）＝ ｘ为无理数 ＝ （ ）， { ｘ２ ａ ｘ ａ ｘ ａ
０， ｆ ｘ ２ －（ ＋１） ＋ ， ≥ ，
Ｄ ｘ 是偶函数 正确． （２） （ ）＝ ａ ｘ ａ ｘ ａ
∴ （ ） ，（２） （ ＋１） － ， ＜ ，
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １０７
{ａ 则当ｘ ａ时 ａ ｇ ｘ 单调递减 其值域为 ａ２ ａ
＋１ ａ ＜ ，∵ ＜１，∴ （ ） ， （ －２ ＋３，＋
若ｆ ｘ 在Ｒ上单调递增 且ｆ ｘ 是连续的 则有 ≤ ， ．
（ ） ， （ ） ， ４ ∞）
ａ ＋１＞０， ∵ ａ２ －２ ａ ＋３＝（ ａ －１） ２ ＋２≥２，∴ ｇ （ ｘ ）≥０ 恒成立．
[ ) ａ (ａ )
解得ａ １ 即实数ａ的取值范围是 １ ． 当ｘ ａ 时 ａ ａ ＋３ ｇ ｘ ｇ ＋３ ａ
≥ ， ，＋∞ ≥ ，∵ ＜１，∴ ＜ ，∴ （ ）ｍｉｎ＝ ＝ ＋３－
３ ３ ４ ４
（３） 设ｇ （ ｘ ）＝ ｆ （ ｘ ）－（２ ｘ －３）， （ ａ ＋３） ２ 得 ａ ． ａ ａ
{ ｘ２ ａ ｘ ａ ｘ ａ ≥０， －３≤ ≤５∵ ＜１，∴ －３≤ ＜１，
则ｇ ｘ ２ －（ ＋３） ＋ ＋３， ≥ ， ８
（ ）＝ ａ ｘ ａ ｘ ａ． 综上 ａ的取值范围是 ．
（ －１） － ＋３， ＜ ， ［－３，１）
若不等式ｇ ｘ 对一切实数ｘ Ｒ恒成立
（ ）≥０ ∈ ，
