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押北京卷 5 题
函数的性质
核心考点 考情统计 考向预测 备考策略
定义域 2020·北京卷T11
可以预测 2024 年新高 函数的基本性质单选题一般为中档题，纵观近
考命题方向将继续以函 几年的新高考试题，分别考查函数的单调性、
单调性 2023·北京卷T4 数的基本性质等问题展 奇偶性、周期性及对称性，考点综合性强，思
开命题． 维难度较大，是高考冲刺的重点复习内容。
奇偶性 2022·北京卷T4
1．（2023·北京卷T4）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故A错误；
对于B，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故B错误；
对于C，因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，所以 在 上单调递增，故C正确；
对于D，因为 ， ，
显然 在 上不单调，D错误.
故选：C.
2．（2022·北京卷T4））已知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
3．（2020·北京卷T11））函数 的定义域是 ．
【答案】
【解析】由题意得 ，
1.求函数的定义域应关注三点
①要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：(ⅰ)分式的分母不为0；(ⅱ)
偶次根式的被开方数非负；(ⅲ)y＝x0要求x≠0.
②不对解析式化简变形，以免定义域变化．
③当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义
的公共部分的集合．
2.函数单调性
x ⋅x ∈[a,b],x ≠x
设 1 2 1 2那么f(x )−f(x )
1 2 >0⇔f(x)在[a,b]
x −x
1 2 上是增函数；
f(x )−f(x )
1 2 <0⇔f(x)在[a,b]
x −x
1 2 上是减函数.
设函数
y=f (x)
在某个区间内可导，如果
f' (x)>0
，则
f (x)
为增函数；如果
f' (x)<0
，则
f (x)
为减
函数.
3.奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
f (−x)=−f(x)
奇函数： ，图象关于原点对称
f (−x)=f (x)
y
偶函数： ，图象关于 轴对称
4.周期性（差为常数有周期）
f (x+a)=f (x)⇒T=a
f (x+a)=−f (x)⇒T=2a
1
f (x+a)=± ⇒T=2a
f (x)
5.对称性（和为常数有对称轴）
a+b (a+b c)
f (x+a)=f (−x+b)⇒对称轴= f (x+a)+f (—−x+b)=c⇒对称中心为 ,
2 2 2
1．已知 ，且 ，则 =（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题意知 ，且 ，
用 代换x，则 ，即得 ，故选B2．函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 ，故选C.
3．若函数 为奇函数，则实数 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由题意可得， ， ， ，
整理可得， 对任意 都成立， ， ，故选B
4．在下列函数中，即是偶函数又在 上单调递增的函数的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，函数 是奇函数，在 上单调递减，故A不符合；
对于B，函数 是定义在 上的偶函数，又函数在 上单调递减的函数，故B不符合；
对于C，函数 是定义在 上的奇函数，故C不符合；
对于D，函数 ，定义域为 ，所以 为偶函数，又 时， ，
所以函数在 上单调递增的函数，故D符合.
故选：D．5．已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，显然它定义域关于原点对称，
且 ，
所以 为奇函数，
，则 ，
所以 ， .
故选：C.
6．已知函数 在定义域 上是增函数，且 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 在定义域 上是增函数，且 ，
则有 ，则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ，故选C.
7．已知函数 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． 的图像关于原点对称
C． 在定义域内是增函数 D． 存在最大值
【答案】B
【解析】对于选项A:因为 ，可得 ，故选项A错误；对于选项B:因为 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
且 ，可得 为奇函数，故选项B正确；
对于选项C: 因为 的定义域为 ，
当 时， 在 为单调递增，
所以 在 为单调递增，
由于 关于原点对称，所以 在 为单调递增，
所以 在 ， 单调递增，
不满足在定义域 单调递增，（可取特殊值排除），故选项C错误；
对于选项D: 在 为单调递增，故无最大值，故选项D错误.
故选：B.
8．函数 是定义在 上的增函数，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知函数 是定义在 上的增函数，
则由 ，得 ，解得 ，即 ，故选D
9．下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A： ，则 ，偶函数，
另外当 时， ，函数单调递减，A错误；对于B： ，则 ，偶函数，
另外当 时， ，函数单调递增，B正确；
对于C： ，则 ，奇函数，C错误；
对于D： ，则 ，偶函数，
另外当 时， ，函数单调递减，D错误.
故选：B.
10．定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，则 （ ）
A． B．1 C．3 D．9
【答案】C
【解析】由函数 满足 ，所以 的周期为3，
，故选：C.
11．已知函数 ，设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 的定义域为 ， ，
函数 是偶函数，当 时， 是增函数，而 ，
所以 ，即 .
故选：A
12．已知 是定义在 上的偶函数，对任意的 ，且 ，都有
，则（ ）．
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】因为对任意的 ，且 ，都有 ，
所以由函数单调性的定义可知 在 上单调递减，所以 ，
又 是偶函数， ，
所以 ，
故选：A
13．函数 的定义域是 .
【答案】
【解析】由 的解析式可得 ，解得 ；
所以其定义域为 .
14．函数 的值域为 .
【答案】
【解析】当 时， ，
当 时，则 ，即 ，
综上 的值域为 ，
15．函数 在 上是单调递减函数，则 的单调递增区间是
【答案】
【解析】函数 的定义域为 ，故函数 的定义域为 ，即 的定义域为 .
由于 在 上单调递减，在 上单调递增，而 在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故单调递增区间是 .
16．求函数 的单调增区间为
【答案】 和
【解析】 ，画出函数图象（如图所示）
结合图象得函数 的单调递增区间为 和 .
17．设奇函数 的定义域为 ．若当 时， 的图象如图，则不等式 的解集是
．
【答案】
【解析】因为函数 是奇函数，所以利用函数 的图象关于原点对称，
可得 的解集为 ．
18．设函数f(x)＝ ，则f( )＋f( )＋…＋f( )＝ ．
【答案】1 012【解析】∵ f(x)＝ ，∴ f(1－x)＝ ＝ ，
∴ f(x)＋f(1－x)＝ ＋ ＝1.
S＝f( )＋f( )＋…＋f( ) ①，
S＝f( )＋f( )＋…＋f( ) ②，
①＋②，得2S＝[f( )＋f( )]＋[f( )＋f( )]＋…＋[f( )＋f( )]＝2 024，
∴ S＝ ＝1 012.
19．写出一个值域为 ，且满足 的周期函数： .
【答案】 （答案不唯一）
【解析】因为 ，所以 是奇函数.
又 是值域为 的周期函数，所以可设 .
因为 ，所以 的图象关于直线 对称，所以 ，
所以 .
20．写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ： ，
① ；②当 时， 为增函数；③ 为R上偶函数.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由性质①可联想到幂函数，
由性质②可知该幂函数的指数大于0，
由性质③可考虑将该幂数函数的自变量加上绝对值，或指数为偶数，或指数为分式形式且分子为偶数，
综上，可考虑 或 （ 为正偶数）或 （ 为偶数， ），不妨取
，得 .
