文档内容
押新高考 6 题
指 对 幂 函 数 及 函 数 的 基 本 性 质
考点 4年考题 考情分析
2023年新高考Ⅰ卷第4题
2023年新高考Ⅱ卷第4题
2022年新高考Ⅰ卷第7题 指数对数幂函数难度较易，函数的基本性质难度一般或较
难，纵观近几年的新高考试题，分别考查单调性中参数求
指对幂函数 2022年新高考Ⅱ卷第8题
解、奇偶性中参数求解、周期性等性质、大小比较等知识
及函数的基
点，本内容是新高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测
本性质 2021年新高考Ⅰ卷第13题
2024年新高考命题方向将继续以指对幂函数直接或间接
2021年新高考Ⅱ卷第7、8题 命题来考查函数中的基本性质．
2020年新高考Ⅰ卷第6、8题
2020年新高考Ⅱ卷第7、8题
1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第4题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .故选：D
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第4题）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】
根据偶函数性质，利用特殊值法求出 值，再检验即可.
【详解】
因为 为偶函数，则 ，解得 ，
当 时， ， ，解得 或 ，
则其定义域为 或 ，关于原点对称.
，
故此时 为偶函数.
故选：B.
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第7题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
【详解】方法一：构造法
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第8题）已知函数 的定义域为R，且
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的
的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可
得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．因为
， ， ，
， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中 知 ，
解得 ，取 ，
所以 ，则
，所以
符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以 ，
由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，
简单明了，是该题的最优解.
5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第13题）已知函数 是偶函数，则 .
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数 的值.
【详解】因为 ，故 ，
因为 为偶函数，故 ，
时 ，整理得到 ，
故 ，
故答案为：16．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第7题）已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较 、 与 的大小关系，由此可得出结论.
【详解】 ，即 .
故选：C.
7．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第8题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇
函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数 是以 为周期的周期函数，由已知条件得出 ，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知.
故选：B.
1. 单调性
（1）单调性的运算①增函数（↗） 增函数（↗） 增函数↗
②减函数（↘） 减函数（↘） 减函数↘
③ 为↗，则 为↘， 为↘
④增函数（↗） 减函数（↘） 增函数↗
⑤减函数（↘） 增函数（↗） 减函数↘
⑥增函数（↗） 减函数（↘） 未知（导数）
（2）复合函数的单调性
2. 奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数： ，图象关于原点对称
偶函数： ，图象关于 轴对称
③奇偶性的四则运算
3. 周期性（差为常数有周期）
①若 ，则 的周期为：
②若 ，则 的周期为：
③若 ，则 的周期为： （周期扩倍问题）④若 ，则 的周期为： （周期扩倍问题）
4. 对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若 ，则 的对称轴为
②若 ，则 的对称轴为
点对称
①若 ，则 的对称中心为
，则 的对称中心为
②若
5. 周期性对称性综合问题
①若 ， ，其中 ，则 的周期为：
②若 ， ，其中 ，则 的周期为：
③若 ， ，其中 ，则 的周期为：
6. 奇偶性对称性综合问题
①已知 为偶函数， 为奇函数，则 的周期为：
②已知 为奇函数， 为偶函数，则 的周期为：
7. 对数的性质与运算法则①两个基本对数：① ，②
②对数恒等式：① ，② 。
③换底公式： ；
推广1：对数的倒数式
推广2： 。
④积的对数： ；
⑤商的对数： ；
⑥幂的对数：❶ ，❷ ，
❸ ，❹
8. 幂函数
恒过定点
（1）幂函数的单调性（2）幂函数的奇偶性
9. 与指数函数相关的奇函数和偶函数
f (x)=ax +a−x ，（ ，且 ）为偶函数，
，（ ，且 ）为奇函数
和 ，（ ，且 ）为其定义域上的奇函数
和 ，（ ，且 ）为其定义域上的奇函数
为偶函数
10.与对数函数相关的奇函数和偶函数
，（ 且 ）为奇函数，
，（ 且 ）为奇函数
1．（2024·江苏·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，则实数 （ ）
A．－1 B．0 C． D．1
【答案】C
【分析】利用奇函数定义求解.
【详解】
为奇函数， ，
∴ ，即
∴ ，即 ，解得 ，
故选：C．
2．（2024·江苏宿迁·一模）已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解法一：判断函数 的单调性，再利用单调性解不等式即可.
解法二：特值排除法.
【详解】解法一：函数 的定义域为R，函数 分别是R上的增函数和减函数，
因此函数 是R上的增函数，由 ，得 ，解得 ，
所以原不等式的解集是 .
故选：A
解法二：特值当 时， ，排除B，D，当 时， ，排除C，
对A：当 时， ，因为函数 是R上的增函数，所以 ，故A成立.
故选A．
3．（2024·重庆·模拟预测）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据复合函数单调性的规则以及函数在 上有意义列不等式求解即可.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
所以 ，解得 .
故选：B.
4．（2024·重庆·模拟预测）已知 是周期为 的函数，且 都有 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的周期性与对称性可得解.
【详解】由已知 ，
即 ，
令 ，可知 ，即 ，
又函数 的周期为 ，
则 ，
故选：C.
5．（2024·湖南·模拟预测）已知函数 是定义在 上的偶函数，对任意实数 .当
时， .则 的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性以及 ，推出函数的周期，再结合 时函数解析式，即可求得答案.
【详解】由已知 为偶函数，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以函数 是周期为2的周期函数，
结合 时， ，
故 ，
故选：B.
6．（2024·山东青岛·一模） ， ， ，则 的值为
（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
【答案】B
【分析】
利用赋值法求出 的值，将 变形为 ，即可推出
，可得函数周期，由此即可求得答案.
【详解】由题意知 ， ， ，
令 ，则
显然 时， 不成立，故 ，
故 ，则 ，
即6为函数 的周期，
则 ，
故选：B
7．（2024·福建厦门·一模）已知函数 的定义域为 ， ， ，，若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】利用赋值法对 进行赋值结合函数的周期可得答案.
【详解】令 ，得 ，即 ，
令 ，得 ，得 ，所以函数 为偶函数，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
， 或 ，
若 ，解得 与已知 矛盾，
，即 ，解得 ， ，
令 ，得 ，
， ， ，
，所以函数 的周期为4.
.
故选：A.
8．（2024·浙江·二模）若函数 为偶函数，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】A
【分析】根据偶函数满足的关系即可化简求解.【详解】 的定义域为 ， ，
由于 为偶函数，故 ，即
，
故 ，解得
故选：A
9．（2024·河北沧州·一模）已知定义在 上的函数 满足： ，且
．若 ，则 （ ）
A．506 B．1012 C．2024 D．4048
【答案】C
【分析】根据条件得到函数 是周期为 的函数，再根据条件得出 ，即可求出
结果.
【详解】 ，①
，
即 ，所以 ，
所以函数 的图象关于 对称，
令 ，则 ，所以 ，
令 ， ，又 ，所以 ，
又 ， ，②即函数 的图象关于直线 对称，
且由①和②，得 ，
所以 ，则函数 的一个周期为4，
则 ，
所以 .
故选：C
10．（2024·安徽·模拟预测）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较
高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出
现的概率为 ，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用
此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若 （ ， ），则
k的值为（ ）
A．11 B．15 C．19 D．21
【答案】A
【分析】根据条件中的概率公式，结合求和公式，以及对数运算，即可求解.
【详解】 ，
即 ，则 ，得 .
故选：A
11．（2024·全国·模拟预测）万有引力定律是英国伟大的物理学家、数学家、天文学家牛顿提出来的，即
任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸引，其数学表达式为 ，其中 表示两个物体间的
引力大小， 为引力常数， 分别表示两个物体的质量， 表示两个物体间的距离.若地球与月球的近地点间的距离为 ，与月球的远地点间的距离为 ，地球与月球近地点间的引力大小为 ，与月球远地点
间的引力大小为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由对数的运算代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意知， ，两边同时取对数得 ， ，即
.
故选：A.
12．（2024·全国·模拟预测）在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度
量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为 ，则经过 秒后这段声音的声强变为 ，其
中 是一个常数．把混响时间 定义为声音的声强衰减到原来的 所需的时间，则 约为（参考数据：
）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知公式及对数运算可得结果.
【详解】由题意， ，即 ，等号两边同时取自然对数得
，即 ，所以 ．
故选：C．
13．（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为 ，首次改良工艺后排
放的废水中含有的污染物数量为 ，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量 满足函数
模型 （ ， ），其中 为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量， 为
首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不
超过 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）
（参考数据： ， ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】D
【分析】由题意，根据指数幂和对数运算的性质可得 ，由 ，解不等式即可求
解.
【详解】由题意知 ， ，
当 时， ，故 ，解得 ，
所以 ．
由 ，得 ，即 ，
得 ，又 ，
所以 ，
故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次．
故选：D
14．（2024·河北·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，
则（ ）A． 是奇函数且在 上单调递减
B． 是奇函数且在 上单调递增
C． 是偶函数且在 上单调递减
D． 是偶函数且在 上单调递增
【答案】A
【分析】令 ，求出 ，令 ，求出 ，再分别令 ， ，即可求出函数
的解析式，进而可得出答案.
【详解】令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为 ，且定义域关于原点对称，所以函数 是奇函数，
由反比例函数的单调性可得函数 在 上单调递减.
故选：A.
15．（2024·全国·模拟预测）已知函数 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】C
【分析】由偶函数定义域关于原点对称，可得 ，又由题可得 是奇函数，后由奇函数定义
可得答案.【详解】由题易知 ，即 定义域为 或 ．
又函数 是偶函数，其定义域关于坐标原点对称，故 ． 定义域为 .
令 ，注意到 ，即 是奇函数．
令 ，因 为偶函数，则 一定是奇函数，
则
所以 ，所以 .
故选:C．
16．（2024·全国·模拟预测）若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 ．构造函数 ，再结合 ，利用函数
为增函数求解．
【详解】解：法一：因为 ，
所以 ．
构造函数 ， 的定义域为 ，且 为增函数．
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，所以 ，
即 的取值范围为 ．
故选：A．法二：因为 ，
所以 ．
构造函数 ， 的定义域为 ，且 为增函数．
因为 ，
所以 ，所以 ，
即 的取值范围为 ．
故选：A．
17．（2024·湖南岳阳·二模）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数性质得出 ， ， ，然后利用作差法比较 与 的大小关系即可.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，所以 ，即 ；
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，即 ；
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，即 ；
又因为 ，
且 ，
所以 ，所以 ，所以 ；
综上所述， .
故选：A.
18．（2024·全国·二模）已知 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数、对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.
【详解】因为 ， ，又 ，
所以 ，又 ，
所以 .
故选：A
19．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意利用指、对数函数单调性以及指、对数运算分析判断.
【详解】因为 ， ，所以 ；
又因为 ，则 ，
即 ，所以 ，即 ；
所以 ．
故选：A．
20．（2024·云南贵州·二模）若函数 的定义域为 且图象关于 轴对称，在 上是增函数，且
，则不等式 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先分析不等式在 上的解，再根据对称性得出不等式在上 的解即可.
【详解】因为 在 上是增函数且 ，所以 在 范围内的解为 .
因为函数 在定义域 上图象关于 轴对称，所以 在 内的解为 ，所以不等式
在R内的解为 .
故选：C
21．（2024·河北·模拟预测）定义在 上的函数 周期为 ，且 为奇函数，则（ ）
A． 为偶函数 B． 为偶函数
C． 为奇函数 D． 为奇函数
【答案】D
【分析】根据周期性与奇偶性的定义推导B、D，利用反例说明A、C.
【详解】定义在 上的函数 周期为 ，所以 ，
又 为奇函数，所以 ，
即 ，所以 为奇函数，故B错误；
所以 ，则 ，
所以 ，则 为奇函数，故D正确；
由 ，所以 ，则 关于 对称，
令 ，则 ，满足函数 周期为 ，
且 满足 为奇函数，
但是 为奇函数，故A错误；令 ，则 ，满足函数 周期为 ，
又 满足 为奇函数，
但是 为偶函数，故C错误.
故选：D
22．（2024·安徽淮北·一模）已知定义在 上奇函数 满足 ，当 时，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知推导出函数的周期， 的范围，利用已知和推导出的关系将所求转化为 内求
解.
【详解】因为 为奇函数且满足 .
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 是周期为4的周期函数.
因为 ,所以
所以
.
故选：B
23．（2024·辽宁大连·一模）设函数 则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数 ，利用奇偶性的定义与导数说明其奇偶
性和单调性，从而将所求转化为 ，进而得解.
【详解】因为 ，
所以
，
设 ，显然定义域为 ， ，
又 ，
所以 为 上的奇函数，
又 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
则满足 的 的取值范围是 ．
故选：C．
24．（2024·辽宁·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数， 也是定义在 上的
奇函数，则关于 的不等式 的解集为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据 为奇函数及 为偶函数可求 ，利用导数可判断 为 上的减函数，从而可
求不等式的解.
【详解】因为 ，故 ，
故 ，
因为 是定义在 上的奇函数，故 ，
故 ，故 ，故 ，
此时 ，故 为 上的减函数，
而 等价于 ，
即 即 ，故 或
故选：A .
25．（2024·广东·一模）已知函数 的定义域为 ，且满足 是偶函数，
，若 ，则 （ ）
A．202 B．204 C．206 D．208
【答案】C
【分析】根据条件得到函数 是周期为 的偶函数，再根据条件得出 ， ，即可求
出结果.
【详解】因为 ，所以 ①，即有 ②，由①②得到 ，所以函数 的周期为 ，
又 是偶函数，所以 ，得到 ，即函数 为偶函数，
又由 ，得到 ， ， ，
又 ，所以 ，故 ，
故选：C.
26．（2024·河南新乡·二模）已知函数 满足 ，则下列结论一定正确的是
（ ）
A． 是奇函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是奇函数
【答案】B
【分析】利用赋值法推得 ，从而得到 的对称性，再利用函数图象平移的性质可判
断B，举反例排除ACD，由此得解.
【详解】因为 ，
令 ，可得 ，则 ；
令 ，则 ，
故 的图象关于点 对称，
则 的图象关于点 对称，即 是奇函数，故B正确；
对于C，令 ，可得 ，则 ，
当 时， ，此时 不可能是奇函数，
由于无法确定 的值，故 不一定是奇函数，故C错误；
对于AD，取 ，满足题意，但易知D错误；故选：B.
27．（2024·山东烟台·一模）已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，探讨函数 的周期，再利用对数函数单调性及指对数运算计算即得.
【详解】在 上的奇函数 满足 ，则 ，
于是 ，即函数 的周期为4，
而 ，则 ， ，又当 时， ，
所以 .
故选：A
28．（2024·山东菏泽·一模）已知 ，其中 是奇函数且在 上为增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判断函数 的奇偶性和单调性，继而判断 的取值范围和大小关系，结合
函数的奇偶性和单调性，即可比较大小，即得答案.
【详解】由于 是奇函数且在 上为增函数，故 ，
当 时， ，且 为偶函数，
且 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，
故 ，
故选：C
29．（2024·山东济宁·一模）设函数 定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】由 为奇函数得到函数的对称中心，由 为偶函数得到函数的对称轴，进一步求得函
数的周期，然后将 与 转化到已知区间求解即可.
【详解】因为函数 定义域为 ， 为奇函数，所以 ，所以函数 关于点
中心对称，且 ，
因为 为偶函数，所以 ，所以函数 关于直线 轴对称，
又因为 ，所以函数 的周期为 ，
因为当 时， ，
所以 ， ，
所以 .
故选：C.
30．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集为 （ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】判断 的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式即可.
【详解】 ，定义域为 ，又 ，故 为偶函数；
又当 时， 均为单调增函数，故 为 上的单调增函数；
又 ，故当 时， ，则此时 为 上的单调增函数，故 时，
为单调减函数；
，即 ，则 ，即 ， ，
也即 ，解得 .
故选：A.
