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专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １１９
３．４ 指数与指数函数
§
的正分数指数幂等于 的负分数指数幂没有意义．
（ｉｉｉ）０ ⑤ ０ ，０
有理指数幂的性质
（２）
ａｒａｓ ａｒ ＋ ｓ ａ ｒ ｓ Ｑ
（ｉ） ＝ （ ＞０， ， ∈ ）；
考点 指数与指数函数 ａｒ ｓ ａｒｓ ａ ｒ ｓ Ｑ
（ｉｉ）（ ） ＝ （ ＞０， ， ∈ ）；
１．根式的概念 ａｂ ｒ ａｒｂｒ ａ ｂ ｒ Ｑ ．
（ｉｉｉ）（ ） ＝ （ ＞０， ＞０， ∈ ）
根式的概念 符号表示 备注 ４．指数函数的图象与性质
一般地 如果ｘｎ ａ 那么ｘ ａ ＞１ ０＜ ａ ＜１
， ＝ ， ｎ 且ｎ Ｎ∗
叫做ａ的ｎ次方根 ＞１ ∈
当ｎ是奇数时 正数的ｎ次 图象
，
方根是一个正数 负数的ｎ ｎａ 零的ｎ次方根是零
，
次方根是一个负数
定义域 Ｒ
当ｎ是偶数时 正数的ｎ次
，
方根有两个 ， 这两个数互为 ± ｎａ （ ａ ＞０） 负数没有偶次方根 值域 ⑥ （ ０ ， ＋∞ ）
相反数
过定点 （ ， ）
⑦ ０ １
２．两个重要公式 当ｘ 时ｙ 当ｘ 时 ｙ
＞０ ，＞１； ＞０ ，０＜ ＜１；
{ ａ ｎ为奇数 性质 当ｘ 时 ｙ 当ｘ 时 ｙ
① ， ， ＜０ ，０＜ ＜１ ＜０ ， ＞１
ｎ ａｎ { ａ ａ
＝ ａ ② （ ≥０），ｎ为偶数 在 上是 在 上是
｜ ｜＝ ａ ａ ； （－∞，＋∞） （－∞，＋∞）
③ － （ ＜０）， 单调增函数 单调减函数
ｎ ａ ｎ ａ 注意ａ必须使ｎ ａ有意义 ． ⑧ ⑨
（ ） ＝④ （ ） ５．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数
３．有理指数幂
大小的关系如图所示 其中 ｃ ｄ ａ ｂ．
幂的有关概念 ， ０＜ ＜ ＜１＜ ＜
（１）
正数的正分数指数幂 ａ ｍ ｎ ｎ ａｍ ａ ｍ ｎ Ｎ∗ 且ｎ
（ｉ） ： ＝ （ ＞０， ， ∈ ， ＞１）；
正数的负分数指数幂 ａ－ ｍ ｎ １ １ ａ ｍ ｎ Ｎ∗
（ｉｉ） ： ＝ ａ ｍ ｎ ＝ ｎ ａｍ（ ＞０， ， ∈ ，
且ｎ
＞１）； 在ｙ轴右侧 图象从上到下相应的底数由大变小
， ；
在ｙ轴左侧 图象从下到上相应的底数由大变小
， ；
无论在ｙ轴的左侧还是右侧 底数按逆时针方向变大．
，
答案 Ｄ
３．设函数ｆ ｘ ｘ２－ ａ与ｇ ｘ ａｘ ａ 且ａ 在区间 上具有不
（ ）＝ （ ）＝ （ ＞１ ≠２） （０，＋∞）
( ) ．
考点 指数与指数函数 同的单调性 ， 则Ｍ ＝（ ａ －１） ０ ． ２与Ｎ ＝ ａ １ ０１ 的大小关系是 （ ）
ａ２ Ｍ Ｎ Ｍ Ｎ
１．设ａ 将 表示成分数指数幂的形式 其结果是 Ａ． ＝ Ｂ． ≤
＞０， ， （ ） Ｍ Ｎ Ｍ Ｎ
ａ ３ａ２ Ｃ． ＜ Ｄ． ＞
· 答案 Ｄ
Ａ．
ａ１
２ Ｂ．
ａ５
６ ４．若函数 ｆ ｘ ａ２ ａｘ 为指数函数 则ａ ．
ａ７
６
ａ３
２ 答案
（ ）＝（ －３）· ， ＝
Ｃ． Ｄ．
答案 Ｃ ５．若函数 ｙ ２ ａ２ ｘ 在 上为减函数 则实数ａ的取
２．函数ｙ
(
１
)ｘ２－２ ｘ
的值域为 值范围是
＝（ －１） （
．
－∞，＋∞） ，
＝ （ ）
２ 答案
[ ) ( ] ( ] （－ ２，－１）∪（１， ２）
１ １ １
Ａ． ，＋∞ Ｂ． －∞， Ｃ． ０， Ｄ．（０，２］
２ ２ ２
１２０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
[ )
答案 ３
，２
４
{ｘ ｘ
＋１，０≤ ＜１，
考点 指数与指数函数 解析 作出函数ｆ ｘ 的图象如图
（ ）＝ ｘ １ ｘ ，
２ － ， ≥１
１．（２０１９黑龙江牡丹江一模，８）设函数ｆ ｘ １ ａ 若ｆ ｘ ２
（ ）＝ ｘ ＋ ， （ ）
ｅ ＋１
为奇函数 则不等式ｆ ｘ １ 的解集为
， （ ）＞－ （ ）
４
Ａ．（０，ｌｎ２） Ｂ．（－∞，ｌｎ２）
Ｃ．（－∞，ｌｎ３） Ｄ．（０，ｌｎ３）
答案 Ｃ 函数ｆ ｘ １ ａ的定义域为Ｒ
（ ）＝ ｘ ＋ ，
ｅ ＋１
因为ｆ ｘ 为奇函数 所以有ｆ １ ａ 解得ａ １ 因为函数ｆ ｘ 在 和 上都是单调递增函数
（ ） ， （０）＝ ＋ ＝０， ＝－ ， （ ） ［０，１） ［１，＋∞） ，
２ ２ 所以若满足ａ ｂ ｆ ａ ｆ ｂ
＞ ≥０，（ ）＝ （ ），
则ｆ ｘ １ １ ．由ｙ ｘ 为增函数 得ｆ ｘ １ １ 在 则必有ｂ ａ ．
（ ）＝ ｘ － ＝ｅ ＋１ ， （ ）＝ ｘ － ∈［０，１）， ∈［１，＋∞）
ｅ ＋１ ２ ｅ ＋１ ２ [ )
由图可知 使ｆ ａ ｆ ｂ 成立的ｂ的取值范围为ｂ １
Ｒ上为减函数 且ｆ １ １ １ 则ｆ ｘ １ ， （ ）＝ （ ） ∈ ，１ ，
， （ｌｎ ３）＝ ｅ ｌｎ３ ＋１ － ２ ＝－ ４ ， （ ）＞－ ４ ⇒ [ ) ２
ｆ ｘ ｆ ｘ 即不等式的解集为 故选 故ｆ ａ ３ ．
（ ）＞（ｌｎ３）⇒ ＜ｌｎ３， （－∞，ｌｎ３）， Ｃ． （ ）∈ ，２
２
[ )
思路分析 根据题意 由奇函数的性质可得ｆ １ ａ
， （０）＝ ＋ ＝０， 所以ｂ ｆ ａ ３ ．
２ ·（ ）∈ ，２
解得ａ的值 ， 进而分析ｆ （ ｘ ） 的单调性以及ｆ （ｌｎ３） 的值 ， 据此可 ４．（２０１７江苏南通、徐 ４ 州联考，１６）已知函数ｆ ｘ ｘ λ － ｘ λ
（ ）＝３ ＋ ·３ （
得ｆ ｘ １ ｆ ｘ ｆ ｘ 即可得答案． Ｒ ．
（ ）＞－ ⇒（ ）＞（ｌｎ３）⇒ ＜ｌｎ３， ∈ ）
４ 当λ 时 试判断函数ｆ ｘ 的奇偶性 并证明你的结论
２．（２０１６ 青海西宁二模，１５）若不等式
(
１
)ｘ２－２ ａｘ
３ ｘ ＋ ａ２对一切
（１）
若不
＝
等
１
式ｆ
，
ｘ 在ｘ
（ ）
上恒成
，
立 求实数λ的取
；
值
＜２ （２） （ ）≤６ ∈［０，２］ ，
２ 范围．
ｘ Ｒ恒成立 则实数ａ的取值范围是 ．
∈ ， 解析 函数ｆ ｘ 为偶函数．
{ } （１） （ ）
答案 ａ ａ ３ 证明 函数ｆ ｘ 的定义域为Ｒ．
＞ ： （ ）
解析 原不等式 ４ 等价于 － ｘ２＋２ ａｘ ３ ｘ ＋ ａ２ 根据指数函数的单调 当λ ＝１ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝３ ｘ ＋３ － ｘ ， ｆ （－ ｘ ）＝３ － ｘ ＋３ ｘ ＝ ｆ （ ｘ ），
２ ＜２ ， 所以函数ｆ ｘ 为偶函数．
性可得 ａｘ ｘ２ ｘ ａ２ 即ｘ２ ａ ｘ ａ２ 对一切ｘ Ｒ恒 （ ）
２ － ＜３ ＋ ， ＋（３－２ ） ＋ ＞０ ∈ λ
由ｆ ｘ 得 ｘ λ － ｘ 即 ｘ
成立 则必须有 ａ ２ ａ２ 解得ａ ３ 故实数ａ的取值 （２） （ ）≤６ ３ ＋ ·３ ≤６， ３ ＋ ｘ≤６，
， （３－２ ） －４ ＜０， ＞ ， ３
４ λ
{ } 令ｔ ｘ ｔ 则原不等式等价于ｔ 在ｔ
范围为 ａ ａ ３ ． ＝３（ ∈［１，９］）， ＋ ｔ ≤６ ∈［１，９］
＞
４ 上恒成立
{ｘ ｘ ，
３．（２０１８泰州中学期中，９）已知函数ｆ ｘ
＋１，０≤ ＜１，
设ａ
即λ
≤－
ｔ２
＋６
ｔ在ｔ
∈［１，９］
上恒成立
，
（ ）＝
２
ｘ
－
１
，
ｘ
≥１，
＞ 令ｇ
（
ｔ
）＝－
ｔ２
＋６
ｔ
，
ｔ
∈［１，９］，
２ 易知当ｔ 时 ｇ ｔ ｇ 所以λ ．
ｂ
≥０，
若ｆ
（
ａ
）＝
ｆ
（
ｂ
），
则ｂ
·
ｆ
（
ａ
）
的取值范围是 ． ＝９ ， （ ）ｍｉｎ＝ （９）＝－２７， ≤－２７
考法一 指数式的大小比较
例１ 下列各式比较大小正确的是 解析 Ａ 中， ∵ 函数ｙ ＝１ ． ７ ｘ 在Ｒ上是增函数， ２ ． ５＜３ ，
（ ）
． ２ ． ５ ． ３ ． －１ ． ２ ∴１ ． ７ ２ ． ５ ＜１ ． ７ ３．故 Ａ 错误． Ｂ 中， ∵ ｙ ＝０ ． ６ ｘ 在Ｒ上是减函数，
Ａ．１ ． ７ －０ ． １ ＞１７ ． ０ ． ２ Ｂ．０ ． ６ ０ ． ３ ＞０ ． ６ ３ ． １ －１＜２ ， ∴０ ． ６ －１ ＞０ ． ６ ２．故 Ｂ 正确．
Ｃ
解
．０
题
８
导引
＞１２５ Ｄ．１７ ＜０９
Ｃ
中，
∵
（
０
．
８
）－１
＝１
．
２５
，ｙ
＝１
．
２５
ｘ 在Ｒ上是增函数，
０
．
１＜０
．
２
，
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １２１
∴１
．
２５
０ ． １
＜１
．
２５
０ ． ２，即
０
．
８
－０ ． １
＜１
．
２５
０ ． ２．故
Ｃ
错误． 解析 由题意得ｆ（ｘ）
＝
（ａｘ）２
－
（
３
ａ２
＋１
）ａｘ，令ｔ
＝
ａｘ，ｔ
＞０
，
Ｄ 中
．
，
０
∵
． ３
函
．
数
０
ｙ ＝
，
１
又
． ７ ｘ
函
在
数
Ｒ
ｙ
上是
．
增
ｘ 在
函数
Ｒ
，
上
且
是
０ ．
减
３＞
函
０ ，
数，且 ． 为增
则
函数
ｆ（
，
ｔ）
此
＝
时
ｔ２ －
ｔ
（ ３ ａ２
，
＋
而
１ ）
对
ｔ（
于
ｔ ＞０
ｆ（
）
ｔ
．
）
当
而
ａ
言
＞１
，
时
ｆ（
，
ｔ）
ｔ ＝
图
ａ
象
ｘ 在
的
［
对
０ ，
称
＋∞
轴
）
ｔ
上
∴１７ ＞１７ ＝１ ＝０ ９ ３ １＞ ≥１ ＝
０
，
∴０＜０
．
９
３ ． １
＜０
．
９
０
＝１
．
∴１
．
７
０ ． ３
＞０
．
９
３ ． １．故
Ｄ
错误．
３
ａ２
＋１ ，故ｆ（ｘ）在［ ， ）上不可能为增函数；当 ａ 时，ｔ
答案 Ｂ ＞２ ０ ＋∞ ０＜ ＜１
２
ａｘ 在［ ， ）上为减函数，此时 ｔ ，要使ｆ（ｘ）在［ ， ）
方法总结 指数式值大小比较的常见类型 同底不同指数 ＝ ０ ＋∞ ０＜ ≤１ ０ ＋∞
： ，
ａ２
同指数不同底 底和指数均不相同．指数式值的大小比较的常用 上为增函数，则ｆ（ｔ）在（ ， ］上必为减函数，故３ ＋１ ． ａ
， ０ １ ≥１ ∴ ≥
方法 化为相同指数或相同底数后利用相应函数的单调性 ２
：（１） ， é ö
作差或作商法 利用中间量 或 等 比较． ３或ａ ３， ３ ａ ．故ａ的取值范围是êê ３， ÷．
（２） ，（３） （０ １ ） ≤－ ∴ ≤ ＜１ ë １ø
３ ３ ３ ３
考法二 指数（型）函数的图象和性质 方法总结 与指数函数有关的复合函数的单调区间的求解
( ) ｘ 步骤
｜ ＋２｜
例２ 已知函数ｙ １ ．
＝ 求复合函数的定义域
２ （１） ；
作出函数图象 弄清函数是由哪些基本函数复合而成的
（１） ； （２） ；
由图象指出其单调区间 分层逐一求解函数的单调区间
（２） ； （３） ；
由图象指出当ｘ取什么值时有最值． 求出复合函数的单调区间 注意 同增异减 ．
（３） （４） （ “ ”）
解题导引 例４ 函数ｆ ｘ ｘ ｘ 函数ｇ ｘ ｆ ｘ ２
（ ）＝３ ， ∈［－１，１］， （ ）＝［ （ ）］ －
ａｆ ｘ ．
２ （ ）＋３
当ａ 时 求函数ｇ ｘ 的值域
（１） ＝０ ， （ ） ；
若函数ｇ ｘ 的最小值为ｈ ａ 求ｈ ａ 的表达式
（２） （ ） （ ）， （ ） ；
是否存在实数ｍ ｎ同时满足下列条件 ｍ ｎ 当
（３） ， ：① ＞ ＞３；②
( ) ｜ ｘ ＋２｜
ｈ
（
ａ
）
的定义域为
［
ｎ
，
ｍ
］
时
，
值域为
［
ｎ２
，
ｍ２
］，
若存在
，
求出 ｍ
，
ｎ
解析 （ ） 由 函 数 解 析 式 可 得 ｙ １ 的值 若不存在 说明理由．
１ ＝ ＝ ； ，
２ [ ]
{( )ｘ ＋２ 解析 （ ）因为ｆ（ｘ） ｘ，ｘ ［ ， ］，所以 ｘ １ ， ，
１ ，ｘ ， １ ＝ ３ ∈ －１ １ ３ ∈ ３
≥－２ 其图象分成两部分： ３
２ [ ]
ｘ ＋２，ｘ ． 设ｔ ｘ，ｔ １ ， ，
２ ＜－２ ＝３ ∈ ３
( )ｘ ＋２ ３
一部分是ｙ
＝
１ （ｘ
≥－２
）的图象，由下列变换可得到：ｙ 则φ（ｔ）
＝
ｔ２
－２
ａｔ
＋３＝
（ｔ
－
ａ）２
＋３－
ａ２，图象的对称轴为ｔ
＝
ａ．
２ [ ] [ ]
(
１
)ｘ
的图象
向左平移
２
个单位
ｙ
(
１
)ｘ ＋２
的图象；
当ａ
＝０
时，φ（ｔ）
＝
ｔ２
＋３
，ｔ
∈
１ ，
３
，所以φ（ｔ）
∈
２８，
１２
．
＝ → ＝ ３ ９
２ ２ [ ]
另一部分是ｙ ｘ ＋２（ｘ ）的图象，由下列变换可得到：ｙ 故ｇ（ｘ）的值域为 ２８， ．
＝２ ＜－２ ＝ １２
向左平移 个单位 ９
ｘ 的图象 ２ ｙ ｘ ＋２的图象， （ ）由（ ）知函数φ（ｔ）的图象的对称轴为直线ｔ ａ，
２ → ＝２ ２ １ ＝
( ) ｜ ｘ ＋２｜ ( ) ａ
如图（实线）为函数ｙ １ 的图象． 当ａ １ 时，ｙ ｈ（ａ） φ １ ２８ ２ ；
＝ ＜ ｍｉｎ＝ ＝ ＝ －
２ ３ ３ ９ ３
当 １ ａ 时，ｙ ｈ（ａ） φ（ａ） ａ２；
≤ ≤３ ｍｉｎ＝ ＝ ＝３－
３
当ａ 时，ｙ ｈ（ａ） φ（ ） ａ．
＞３ ｍｉｎ＝ ＝ ３ ＝１２－６
ì ａ( )
ï２８ ２ ａ １ ，
ïï９ －
３
＜
３
综上，ｈ（ａ） í ( )
＝ï ａ２ １ ａ ，
３－ ≤ ≤３
ïï ３
（ ）由（ ）中图象观察知函数的单调增区间为（ ， ），单 î ａ（ａ ）．
２ １ －∞ －２ １２－６ ＞３
调减区间为［ ， ）． （ ）假设满足题意的ｍ，ｎ存在，
－２ ＋∞ ３
( ) ｜ ｘ ＋２｜ 因为ｍ ｎ ，所以ｈ（ａ） ａ，
（ ）由（ ）中图象观察知，ｘ 时，函数ｙ １ 取最 ＞ ＞３ ＝１２－６
３ １ ＝－２ ＝ 所以函数ｈ（ａ）在（ ， ）上是减函数，
２ ３ ＋∞
大值，最大值为
１
，没有最小值． 又因为ｈ（ａ）的定义域为［ｎ，ｍ］，值域为［ｎ２，ｍ２］，
方法总结 指数型复合函数的图象 { ｍ ｎ２，
（１） 所以 １２－６ ＝ 两式相减得 （ｍ ｎ） （ｍ ｎ）（ｍ ｎ），
对于指数型复合函数的图象问题 一般从最基本的指数函 ｎ ｍ２． ６ － ＝ － ＋
， １２－６ ＝
数的图象入手 通过平移 伸缩 对称变换而得到．需特别注意底 因为ｍ ｎ ，所以ｍ ｎ ，所以ｍ ｎ ，与ｍ ｎ 矛盾，
， 、 、 ＞ ＞３ － ≠０ ＋ ＝６ ＞ ＞３
数ａ 与 ａ 两种不同情况． 所以满足题意的ｍ，ｎ不存在．
＞１ ０＜ ＜１
对于指数型复合函数图象问题 先求出定义域 对函数 方法总结 与指数函数有关的复合函数的定义域 值域的
（２） ， ， 、
式进行化简变形 转化成分段函数 画其图象． 求法
， ，
例３ 如果函数ｆ （ ｘ ）＝ ａｘ （ ａｘ －３ ａ２ －１）（ ａ ＞０， 且ａ ≠１） 在区 （１） 函数ｙ ＝ ａｆ （ ｘ ） （ ａ ＞０， 且ａ ≠１） 的定义域与ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的定义
间 上是增函数．求实数ａ的取值范围． 域相同
［０，＋∞） ；
１２２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
先确定ｆ ｘ 的值域 再根据指数函数的单调性确定ｙ ａｆ （ ｘ ） ａ 且ａ 的值域．
（２） （ ） ， ＝ （ ＞０， ≠１）
Ａ．（－∞，＋∞） Ｂ．［－３，３］ Ｃ．（－∞，３］ Ｄ．［３，＋∞）
答案 Ｄ
５．（２０１９山东潍坊模拟，７）已知函数ｆ ｘ ｘ ９ ｘ 当ｘ
考法一 指数式的大小比较 （ ）＝ －４＋ｘ ， ∈（０，４），
＋１
１．（２０２０ 湖南炎陵一中仿真考试（文））已知 ａ ｂ ａ时 ｆ ｘ 取得最小值ｂ 则函数ｇ ｘ ａ｜ ｘ ＋ ｂ ｜的图象为
＝ｌｏｇ２３， ＝ ＝ ， （ ） ， （ ）＝ （ ）
( ) ．
０２
１ ｃ 则
， ＝ｌｏｇ４７， （ ）
３
ｂ ｃ ａ ａ ｃ ｂ ｃ ａ ｂ ｂ ａ ｃ
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜
答案 Ａ
２．（２０２０山东济宁一中一轮复习质量检测）若ａ ｂ 则
＞ ， （ ）
ａ ｂ ａ ｂ
Ａ．ｌｎ（ － ）＞０ Ｂ．３ ＜３
ａ３ ｂ３ ａ ｂ
Ｃ． － ＞０ Ｄ．｜ ｜＞｜ ｜
答案 Ｃ
３．（２０２０福建泉州线上测试）已知ａ １ ３ ｂ ２ １ ６ ｃ
＝π ， ＝（ｅ ） ， ＝ｌｏｇπｅ，ｅ
为自然对数的底数 则ａ ｂ ｃ的大小关系为 ．
， ， ，
答案 ａ ｂ ｃ
＞ ＞
考法二 指数（型）函数的图象和性质
( )ｘ２－６ ｘ
＋５
４．（２０２０广东揭阳三中第一次月考，６）函数ｆ ｘ １ 的 答案 Ａ
（ ）＝
３
单调递减区间为
（ ）
知ｆ ｘ ｆ ｘ 即ｆ ｂｘ ｆ ｃｘ ．
（３）＞（２）， （ ）＜（ ）
综上知 ｆ ｂｘ ｆ ｃｘ ．
： （ ）≤（ ）
３．（２０１８浙江浙东北联盟期中，８）已知ｘ ｙ Ｒ 且 ｘ － ｙ ｙ － ｘ 则
考法一 指数式的大小比较 ， ∈ ， ５ ＋７ ≤５ ＋７ ，
（ ）
１．（２０１７浙江高考模拟训练冲刺卷一，４）已知函数ｆ
（
ｘ
）
是奇函
Ａ．ｓｉｎ
ｘ
≤ｓｉｎ
ｙ
Ｂ．
ｘ２
≤
ｙ２
数 的 ， 值 当 为 ｘ ＞０ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ ａｘ （ ａ ＞０ 且ａ ≠１）， 且ｆ （ｌｏｇ１ ２４）＝－３， 则ａ Ｃ．５ ｘ ≤５ ｙ Ｄ．ｌｏｇ１ ７ ｘ ≤ｌｏｇ１ ７ ｙ
（ ） 答案 Ｃ ｆ ｘ ｘ － ｘ在Ｒ上单调递增 ｘ － ｙ ｙ － ｘ可
∵ （ ）＝５ －７ ，∴５ ＋７ ≤５ ＋７
３ 化为ｆ ｘ ｘ － ｘ ｙ － ｙ ｆ ｙ ｘ ｙ 由指数函数的性质 可得
Ａ． ３ Ｂ．３ Ｃ．９ Ｄ． （ ）＝５ －７ ≤５ －７ ＝ （ ），∴ ≤ ， ，
２ ｘ ｙ 故选 ．
答案 Ａ 由ｆ 得ｆ 又ｆ ｘ 是奇函 ５≤５， Ｃ
（ｌｏｇ１ ２４）＝ －３， （－２）＝ －３， （ ）
数 则有ｆ 即ａ２ 又ａ 故ａ ． 考法二 指数（型）函数的图象和性质
， （２）＝３， ＝３， ＞０， ＝ ３
２．已 ｆ 知定 ． 义在 ｃ Ｒ ｆ 上 ． 的函 则 数 ａ ｆ ｂ （ ｘ ｃ ） 的 ＝ 大 ２ 小 ｜ ｘ ｜ ， 关 记 系 ａ 为 ＝ ｆ （ｌｏｇ０ ． ５２ ． ２）， ｂ ＝ １．无论ａ为何值 ， 函数ｙ ＝（ ａ －１）２ ｘ － ａ 过定点 ， 则这个定点的坐标是
（ｌｏｇ２０５）， ＝ （０５）， ， ， （ ） ２
ａ ｂ ｃ ｃ ａ ｂ ａ ｃ ｂ ｃ ｂ ａ
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜ （ ）
答案 Ｄ ∵ 定义在Ｒ上的函数ｆ （ ｘ ）＝ ２ ｜ ｘ ｜ ，∴ ａ ＝ ｆ （ｌｏｇ０ ． ５２ ．
．
(
１
)
．
(
１
)
２）＝２ ｌｏｇ２２ ． ２ ＝２ ． ２， ｂ ＝ ｆ （ｌｏｇ２０ ． ５）＝２ ｌｏｇ２ １ ２ ＝２， ｃ ＝ ｆ （０ ． ５）＝２ ０ ． ５ ＝ ２ ． Ａ １，－ ２ Ｂ １， ２
ａ ｂ ｃ的大小关系为ｃ ｂ ａ 故选 ． ( ) ( )
∴ ， ， ＜ ＜ ， Ｄ ． １ ． １
３．函数ｆ ｘ ｘ２ ｂｘ ｃ满足ｆ ｘ ｆ ｘ 且ｆ 则ｆ ｂｘ 与 Ｃ －１，－ Ｄ －１，
（ ）＝ － ＋ （ ＋１）＝ （１－ ）， （０）＝３， （ ） ２ ２
ｆ ｃｘ 的大小关系是 ． ａ ( )
（ ） 答案 Ｃ ｙ ａ ｘ ａ ｘ １ ｘ 令 ｘ １ 则
答案 ｆ ｂｘ ｆ ｃｘ ＝（ －１）２ － ＝ ２ － －２， ２ － ＝０，
（ ）≤（ ） ２ ２ ２
解析 由ｆ ｘ ｆ ｘ 知 函数ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ 对 ａ ( )
（ ＋１）＝ （１－ ） ： （ ） ＝１ ｘ 故函数ｙ ａ ｘ 过定点 １ 故选 ．
称 ｂ 由ｆ 知 ｃ ． ＝－１， ＝（ －１）２ － －１，－ ， Ｃ
，∴ ＝２； （０）＝３ ： ＝３ ２ ２
ｆ ｂｘ ｆ ｘ ｆ ｃｘ ｆ ｘ ． ２．已知函数ｆ ｘ ｘ ａ ｂ ｃ 且ｆ ａ ｆ ｃ ｆ ｂ 则下列结论中
∴ （ ）＝ （２）， （ ）＝ （３） （ ）＝｜２ －１｜， ＜ ＜ ， （ ）＞（ ）＞（ ）， ，
当ｘ 时 ｘ ｘ 结合函数ｆ ｘ 在 上单调递增 一定成立的是
＞０ ，３ ＞２ ＞１， （ ） ［１，＋∞） ， （ ）
知ｆ ｘ ｆ ｘ 即ｆ ｂｘ ｆ ｃｘ ａ ｂ ｃ ａ ｂ ｃ
（３）＞（２）， （ ）＜（ ）； Ａ． ＜０， ＜０， ＜０ Ｂ． ＜０， ≥０， ＞０
当ｘ 时 ｘ ｘ － ａ ｃ ａ ｃ
＝０ ，３ ＝２ ＝１， Ｃ．２ ＜２ Ｄ．２ ＋２＜２
ｆ ｘ ｆ ｘ 即ｆ ｂｘ ｆ ｃｘ 答案 Ｄ 作出函数ｆ ｘ ｘ 的图象 如图中实线所示 由
∴ （３）＝ （２）， （ ）＝ （ ）； （ ）＝｜２ －１｜ （ ），
当ｘ 时 ｘ ｘ 结合函数ｆ ｘ 在 上单调递减 ａ ｂ ｃ 且ｆ ａ ｆ ｃ ｆ ｂ 结合图象知ｆ ａ ａ ｆ ｃ ｃ
＜０ ，３ ＜２ ＜１， （ ） （－∞，１） ， ＜ ＜ ， （ ）＞（ ）＞（ ）， （ ）＜１， ＜０，（ ）＜１， ＞０，
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １２３
ａ ｃ 数根 因此只需ｆ ｘ ａ有两个不同于 的实根 利用图象可
∴０＜２ ＜１，１＜２＜２， －１， （ ）＝ －１ ，
得实数ａ的取值范围是 ．
［１，＋∞）
４．已知函数ｆ ｘ ｜２ ｘ － ｍ ｜ ｍ为常数 若ｆ ｘ 在区间 上是增
（ ）＝２ （ ）， （ ） ［２，＋∞）
函数 则实数ｍ的取值范围是 ．
，
答案
（－∞，４］
[ ｍ )
解析 令ｔ ｘ ｍ 则ｔ ｘ ｍ 在区间 上单调递
ｆ ａ ａ ａ ｆ ｃ ｃ ｃ ． ＝｜２ － ｜， ＝｜２ － ｜ ，＋∞
∴ （ ）＝｜２ －１｜＝１－２ ，（ ）＝｜２－１｜＝２－１ ２
又ｆ （ ａ ）＞ ｆ （ ｃ ）， 即 １－２ ａ ＞２ ｃ －１，∴２ ａ ＋２ ｃ ＜２， 故选 Ｄ ． 增 在区间 ( ｍ] 上单调递减 而ｙ ｔ 为Ｒ上的增函数 所以
３．（２０１７ 浙江温州十校 期 末 联 考，７） 设 函 数 ｆ （ ｘ ） ＝ ， －∞， ２ ， ＝２ ，
{ ｌｏｇ２（－ ｘ ）， ｘ ＜０，若关于ｘ的方程ｆ２ ｘ ａｆ ｘ 恰有三个不同的 要使函数ｆ （ ｘ ）＝２ ｜２ ｘ － ｍ ｜在 ［２，＋∞） 上单调递增 ， 则有 ｍ ≤２， 即ｍ ≤
ｘ ｘ （ ）－ （ ）＝０ ２
２， ≥０， 所以ｍ的取值范围是 ．
实数根 则实数ａ的取值范围是 ４， （－∞，４］
， （ ） ５．若关于ｘ的方程 ２ ｘ ｘａ ａ 有两个不同的正实根 则实数ａ
２ －２ ＋ ＋１＝０ ，
Ａ．［０，＋∞） Ｂ．（０，＋∞） 的取值范围为 ．
Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．［１，＋∞） 答案
答案 Ｄ 作出函数ｙ ｆ ｘ 的图象 如图． （２＋２ ２，＋∞）
＝ （ ） ， 解析 设ｔ ｘ 则原方程可变为ｔ２ ａｔ ａ 因为原方程有
＝２， － ＋ ＋１＝０①，
两个不同的正实根 所以方程 有两个大于 的实根．
， ① １
设方程 的两个大于 的实根为ｔ ｔ
① １ １，２，
{Δ ａ ２ ａ
＝（－ ） －４（ ＋１）＞０，
则 ｔ ｔ ｔ ｔ ａ
（ １－１）＋（ ２－１）＝（ １＋２）－２＝ －２＞０，
ｔ ｔ ｔ ｔ ｔ ｔ ａ ａ
（ １－１）（ ２－１）＝ １ ２－（ １＋２）＋１＝（ ＋１）－ ＋１＞０，
解得ａ ．
由ｆ ２ ｘ ａｆ ｘ 得ｆ ｘ 或ｆ ｘ ａ．显然ｆ ｘ 有一个实 ＞２＋２ ２
（ ）－ （ ）＝０， （ ）＝０ （ ）＝ （ ）＝０
考点 指数与指数函数 答案 Ａ
１．（２
ａ
０１
ｂ
９
ｃ
课标Ⅰ，３，５分
ａ
）
ｃ
已
ｂ
知ａ ＝ｌｏｇ２０
ｃ
． ２
ａ
， ｂ ＝
ｂ
２ ０ ． ２ ， ｃ ＝０ ． ２ ０
ｂ
． ３ ，
ｃ
则
ａ
（ ） ４．（
ｆ
２
ｘ
０１９ 课
ａｘ
标
．若
Ⅱ
ｆ
，１４，５ 分）
则
已
ａ
知 ｆ （ ｘ ） 是奇
．
函数 ， 且当 ｘ ＜０ 时 ，
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜ （ ）＝－ｅ （ｌｎ２）＝８， ＝
答案 Ｂ 答案
－３
２．（２０１７课标Ⅰ，１１，５分）设ｘ ｙ ｚ为正数 且 ｘ ｙ ｚ 则 ｘ
， ， ， ２ ＝３ ＝５， （ ） ５．（２０１８上海，１１，５分）已知常数ａ 函数ｆ ｘ ２ 的图象
ｘ ｙ ｚ ｚ ｘ ｙ ｙ ｚ ｘ ｙ ｘ ｚ ＞０， （ ）＝ ｘ ａｘ
Ａ．２ ＜３ ＜５ Ｂ．５ ＜２ ＜３ Ｃ．３ ＜５ ＜２ Ｄ．３ ＜２ ＜５ ( ) ( ) ２ ＋
答案 Ｄ 经过点Ｐ ｐ ６ Ｑ ｑ １ ．若 ｐ ＋ ｑ ｐｑ 则ａ ．
， 、 ，－ ２ ＝３６ ， ＝
３．（２０１６课标Ⅲ，６，５分）已知ａ ４ ３ ｂ ２ ５ ｃ １ ３ 则 ５ ５
＝２ ， ＝４ ， ＝２５ ， （ ） 答案
ｂ ａ ｃ ａ ｂ ｃ ６
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜
ｂ ｃ ａ ｃ ａ ｂ
Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜
考点 指数与指数函数 ｆ ｘ 有解 则ａ ｆ ｘ 又 ｙ ｆ ｘ 在 上递增 所以
（ ） ， ＞ （ ）ｍｉｎ， ＝ （ ） （０，＋∞） ，
１．（２０１５天津文，７，５分）已知定义在Ｒ上的函数ｆ （ ｘ ）＝２ ｜ ｘ － ｍ ｜ － ｆ （ ｘ ）＞ ｆ （０）＝－１， 所以ａ ＞－１， 选 Ｄ ．
ｍ 为实数 为偶函数．记 ａ ｆ ｂ ｆ ｃ 评析 本题考查了函数的值域与最值的求法，考查了分离参变
ｆ
１（
ｍ 则ａ ｂ
）
ｃ的大小关系为
＝ （ｌｏｇ０ ． ５３）， ＝ （ｌｏｇ２５）， ＝
量的 方法，熟悉基本初等函数的单调性是解题关键．
（２ ）， ， ， （ ）
ａ ｂ ｃ ｃ ａ ｂ ａ ｃ ｂ ｃ ｂ ａ ３．（２０１６四川文，１４，５分）若函数ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的周期为
Ａ． 答 ＜ 案 ＜ Ｂ 因 Ｂ 为 ． ｆ ＜ （ ｘ ＜ ） 是偶函数 Ｃ． ， 所 ＜ 以 ＜ ｍ ＝０， 所 Ｄ． 以 ＜ ｆ （ ＜ ｘ ）＝２ ｜ ｘ ｜ － 的奇函数 当 ｘ 时 ｆ ｘ （ ） ｘ 则 ｆ ( ５ ) ｆ
ｆ
１， 且ｆ （ ｘ ） 在
ｆ
［０，＋∞）
因
上
为
为增函数 ， 由题意得
所
ａ
以
＝ ｆ （
ｆ
ｌｏｇ０ ． ５３）＝ ２
．
， ０＜ ＜１ ， （ ）＝ ４ ， － ２ ＋ （２）＝
（－ｌｏｇ２３）＝ （ｌｏｇ２３）， ｌｏｇ２５＞ｌｏｇ２３＞０， （ｌｏｇ２５）＞ 答案
ｆ ｆ 即ｂ ａ ｃ 故选 ． －２
２．（ （ ２ ｌ ０ ｏｇ １ ２ ３ ３） 课 ＞ 标 （０ Ⅱ ）， 文，１２ ＞ ，５ ＞ 分 ， ）若存 Ｂ 在正数ｘ使 ｘ ｘ ａ 成立 解析 ∵ ｆ （ ｘ ） 是定义在Ｒ上的奇函数 ，
２（ － ）＜１ ， ｆ
则ａ的取值范围是 ∴ （０）＝０，
（ ） 又 ｆ ｘ 的周期为
∵ （ ） ２，
Ａ．（－∞，＋∞） Ｂ．（－２，＋∞）
ｆ
∴ （２）＝０，
Ｃ．（０，＋∞） Ｄ．（－１，＋∞） ( ) ( ) ( )
答案 Ｄ 由 ｘ ｘ ａ 得ａ ｘ １ 令ｆ ｘ ｘ １ 即ａ 又 ∵ ｆ － ５ ＝ ｆ － １ ＝－ ｆ １ ＝－４ １ ２ ＝－２，
２（ － ）＜１ ＞ － ｘ， （ ）＝ － ｘ， ＞ ２ ２ ２
２ ２
１２４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
( ) {ａ－１ ｂ
ｆ ５ ｆ ． 当 ａ 时 ｆ ｘ 在 上单调递减 则 ＋ ＝０，解
∴ －
２
＋（２）＝－２ ② ０＜ ＜１ ， （ ） ［－１，０］ ， ａ０
＋
ｂ
＝－１，
评析 本题考查了函数的奇偶性及周期性，属中档题． {
ａ １
４．（２０１５山东理，１４，５分）已知函数ｆ ｘ ａｘ ｂ ａ ａ 的 得 ＝ ， ａ ｂ ３ ．
（ ）＝ ＋ （ ＞０， ≠１） ２ ∴ ＋ ＝－
定义域和值域都是 则ａ ｂ ． ｂ ２
［－１，０］， ＋ ＝ ＝－２，
评析 本题主要考查指数函数的性质及分类讨论的思想．
答案 ３
－
２
解析 当 ａ 时 ｆ ｘ 在 上单调递增 则
① ＞１ ， （ ） ［－１，０］ ，
{ａ－１ ｂ
＋ ＝－１，无解．
ａ０ ｂ
＋ ＝０，
时间： 分钟 分值： 分
４０ ６０
一、单项选择题 每题 分 共 分 答案 Ｃ
（ ５ ， ３５ ）
１．（２０１９四川绵阳高中高三第一次诊断性考试，１０）若 ａ ７．（２０２１届山东枣庄第三中学第一次月考（９ 月））已知函数
＝
４ ３ ５ ｂ ３ ２ ３ ｃ －２ 则 ｆ （ ｘ ）＝ｅ ｘ －ｅ － ｘ ， ａ ＝ ｆ （２ ０ ． ３ ）， ｂ ＝ ｆ （０ ． ３ ０ ． ２ ）， ｃ ＝ ｆ （ｌｏｇ０ ． ３２）， 则ａ ， ｂ ， ｃ的
ｅ ， ＝ ｅ ， ＝５ｅ ， （ ） 大小关系为
３ ２ （ ）
ａ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ ｃ ａ ｂ ｂ ａ ｃ
Ａ． ＞ ＞ Ｂ． ＞ ＞ Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜
ｂ ｃ ａ ｂ ａ ｃ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ ａ
Ｃ． ＞ ＞ Ｄ． ＞ ＞ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜
答案 Ｄ 答案 Ｄ
２．（２０２０陕西咸阳三原南郊中学第一次月考，１０）高斯是德国著
二、多项选择题 每题 分 共 分
名的数学家 近代数学奠基者之一 享有 数学王子 的称号 （ ５ ， １０ ）
， ， “ ” ， ８．（２０２１届福建厦门科技中学１０月月考，１２）若函数ｆ ｘ 对任
用其名字命名的 高斯函数 为 设ｘ Ｒ 且 ｘ 表示不超过ｘ （ ）
“ ” ： ∈ ， ［ ］ 意ａ ｂ Ｒ同时满足 当ａ ｂ 时 有ｆ ａ ｆ ｂ 当ａ
的最大整数 则 ｙ ｘ 称为高斯函数．例如 ． ， ∈ ：① ＋ ＝０ ， （ ）＋（ ）＝０；②
， ＝［ ］ ： ［－２ １］ ＝ ｂ 时 有ｆ ａ ｆ ｂ 则称ｆ ｘ 为Ω函数．下列函数中是
ｘ ＋１ ＋ ＞０ ， （ ）＋（ ）＞０， （ ）
． 已知函数ｆ ｘ ２ １ 则函数ｙ ｆ ｘ 的 Ω函数的有
－３，［３１］＝３， （ ）＝ ｘ－ ， ＝［ （ ）］ （ ）
１＋２ ３ ｆ ｘ ｘ － ｘ ｆ ｘ ｘ － ｘ
值域是 Ａ． （ ）＝ｅ ＋ｅ Ｂ． （ ）＝ｅ －ｅ
（ ） { ｘ
０， ＝０，
Ａ．｛０，１｝ Ｂ．｛－１，１｝ Ｃ．｛－１，０｝ Ｄ．｛－１，０，１｝ ｆ ｘ ｘ ｘ ｆ ｘ
答案 Ｄ Ｃ． （ ）＝ －ｓｉｎ Ｄ． （ ）＝ １ ｘ
－ ｘ ， ≠０
３．（２０１９湖北、山东部分重点中学高三第一次联考，７）已知函数
答案 ＢＣ
ｙ ｘ ｘ 若其值域为 则ｘ可能的取值范围是
＝４ －３·２ ＋３， ［１，７］， ９．（２０２１届山东枣庄第三中学１０月检测，１０）已知函数ｆ ｘ
（ ）＝
（ ） ｘ － ｘ ｘ － ｘ
ｅ －ｅ ｇ ｘ ｅ ＋ｅ 则ｆ ｘ 和ｇ ｘ 满足
Ａ．［２，４］ Ｂ．（－∞，０］ ， （ ）＝ ， （ ） （ ） （ ）
２ ２
Ｃ．（０，１］∪［２，４］ Ｄ．（－∞，０］∪［１，２］ ｆ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ ｇ ｘ
答案 Ｄ Ａ． （－ ）＝－（ ）， （－ ）＝ （ ）
ｆ ｆ ｇ ｇ
４．（２０２０黑龙江大庆第一中学第一次月考，１１）设函数 ｆ ｘ Ｂ． （－２）＜（３）， （－２）＜ （３）
（ ）＝ ｆ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ
{ ｘ ｘ Ｃ． （２ ）＝２（ ）· （ ）
｜２ －１｜， ≤２，若互不相等的实数 ａ ｂ ｃ 满足 ｆ ａ ｆ ｂ ｆ ｘ ２ ｇ ｘ ２
ｘ ｘ ， ， （ ）＝ （ ）＝ Ｄ．［ （ ）］ －［ （ ）］ ＝１
－ ＋５， ＞２， 答案 ＡＢＣ
ｆ ｃ 则 ａ ｂ ｃ 的取值范围是
（ ）， ２ ＋２ ＋２ （ ） 三、填空题 共 分
（ ５ ）
Ａ．（１６，３２） Ｂ．（１８，３４） Ｃ．（１７，３５） Ｄ．（６，７）
答案 Ｂ １０．（２０２０ 福建泉州 ３ 月适应性测试，１４）已知 ａ １ ３ ｂ
＝π ， ＝
５．（
且
２０
ａ
２０陕
的
西
图
咸
象
阳
经
三
过
原
第
南
二
郊中
三
学
四
第
象
一
限
次月
则
考
ａｂ
，８
的
）
取
函
值
数
范
ｙ ＝
围
ａ
是
ｘ － ｂ （ ａ ＞０， （
为
ｅ ２ ） １ ６ ， ｃ ＝ｌｏ
．
ｇπｅ，ｅ 为自然对数的底数 ， 则 ａ ， ｂ ， ｃ的大小关系
≠１） 、 、 ， （ ）
无法确定 答案 ａ ｂ ｃ
Ａ．（１，＋∞） Ｂ．（０，＋∞） Ｃ．（０，１） Ｄ． ＞ ＞
答案 Ｃ
四、解答题 共 分
６．（２０１９安徽定远重点中学上学期第一次月考，１０）已知函数ｙ （ １０ ）
１１．（２０１９ 山西太原高三阶段性考试，１９）已知函数 ｆ ｘ
ｆ ｘ 与ｙ Ｆ ｘ 的图象关于ｙ轴对称 当函数ｙ ｆ ｘ 和ｙ （ ）＝
＝ （ ） ＝ （ ） ， ＝ （ ） ＝ æ ö
Ｆ ｘ 在区间 ａ ｂ 同时递增或同时递减时 把区间 ａ ｂ 叫做 ｘç １ １ ÷ 其中ａ 且ａ ．
（ ） ［ ， ］ ， ［ ， ］ èａｘ － ø， ＞０， ≠１
函数ｙ ｆ ｘ 的 不动区间 ．若区间 为函数 ｆ ｘ ＋１ ２
＝ （ ） “ ” ［１，２］ （ ）＝ 判断ｆ ｘ 的奇偶性 并证明你的结论
ｘ ｔ 的 不动区间 则实数ｔ的取值范围是 （１） （ ） ， ；
｜２ － ｜ “ ”， （ ）
[ ) 若关于ｘ的不等式ｆ ｘ １ ｘ 在 上恒成立 求
１ （２） （ ）≤ ｜ ｜ ［－１，１］ ，
Ａ．（０，２］ Ｂ． ，＋∞ ６
２ 实数ａ的取值范围．
[ ] [ ]
１ １
Ｃ． ，２ Ｄ． ，２ ∪［４，＋∞）
２ ２
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １２５
１．（２０１８海南华侨中学期中，８）已知 ａ ． ０ ． ３ ｂ ． ０ ． ４ ｃ 等式的性质可得所求的范围．
＝０ ４ ， ＝０ ３ ， ＝
． －０ ． ２ 则 ５．（２０１７广东茂名二模，９）已知函数ｆ ｘ ｘ ａ ｘ ｂ 其中
０３ ， （ ） （ ）＝（ － ）（ － ）（
ｂ ａ ｃ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ ａ ａ ｂ ｃ ａ ｂ 的图象如图所示 则函数ｇ ｘ ａｘ ｂ的图象是
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜ ＞ ） ， （ ）＝ ＋ （ ）
答案 Ａ ａ ． ０ ． ３ ． ０ ． ３ ｂ ． ０ ． ４ ｃ ． －０ ． ２ ｂ ａ
∵１＞ ＝０４ ＞０３ ＞ ＝０３ ， ＝０３ ＞１，∴ ＜
ｃ 故选 ．
＜ ， Ａ
２．（２０１８ 浙江镇海中学阶段性测试， ６） 函数 ｆ ｘ
（ ）＝
{ － ｘ ｘ
３－２ ， ≥０，则该函数为
ｘ ｘ （ ）
２ －３， ＜０，
单调递增函数 奇函数
Ａ． ，
单调递增函数 偶函数
Ｂ． ，
单调递减函数 奇函数
Ｃ． ，
单调递减函数 偶函数
Ｄ． ，
答案 Ａ 显然函数ｆ ｘ 在区间 和 上都是
增 明 函 函 数 数 ， 图 又 象 ｘ 是 ＝ 连 ０ 时 续 ， 不 代 断 入 的 （ 函 ） 数 故 的 函 两 数 段 ｆ （ 解 － ｘ ∞ 析 是 ， 式 ０ 单 ） 中 调 ， ［ 递 其 ０， 增 值 ＋ 函 ∞ 均 数 ） 为 ． 零 ， 说 ａｘ 答 ＋ ｂ 案 为 增 Ｃ 函 数 由 ， 函 当 数 ｘ ＝ ｆ （ ０ ｘ 时 ） 的 ， ｇ 图 （０ 象 ）＝ 可 １ 知 ＋ ｂ ， ＞ － ０ １ ， ＜ 故 ｂ ＜ 选 ０， Ｃ ａ ． ＞１， 则ｇ （ ｘ ）＝
{ ， ｘ ｘ （ ） { ｘ ｘ ６．（２０１８重庆万州二模，１１）设平行于ｘ轴的直线ｌ分别与函数
又 ｆ （ － ｘ ） ＝ ３ － － ｘ ２ ，－ ｘ ≥０， ＝ －（２ －３ － ｘ ）， ｘ ≤０， ＝ ｙ ＝２ ｘ和ｙ ＝２ ｘ ＋１的图象相交于点Ａ ， Ｂ ， 若函数ｙ ＝２ ｘ的图象上存
{ － ｘ ｘ {
２ －
－ ｘ
３，－
ｘ
＜０ －（３－２ ）， ＞０ 在点Ｃ
，
使得
△
ＡＢＣ为等边三角形
，
则这样的直线ｌ
（ ）
－（３－２ ）， ＞０， －（３－２ ）， ≥０， ｆ ｘ 所以函数 ｆ ｘ 不存在 有且只有一条
ｘ ｘ ＝ ｘ ｘ ＝－ （ ）， （ ） Ａ． Ｂ．
－（２ －３）， ≤０ －（２ －３）， ＜０ 至少有两条 有无数条
是奇函数 故选 ． Ｃ． Ｄ．
， Ａ 答案 Ｂ 根据题意 设直线ｌ的方程为ｙ ｍ 则Ａ ｍ
３．（２０１８北京丰台二模，６）设下列函数的定义域为 则 ， ＝ ， （ｌｏｇ２ ，
（０，＋∞）， ｍ Ｂ ｍ ｍ ＡＢ 设Ｃ ｘ ｘ ＡＢＣ是等边三角
值域为
（０，＋∞）
的函数是
（ ）
）， （ｌｏｇ２ －１， ）， ＝１， （ ，２ ），∵ △
Ａ． ｙ ＝ｅ ｘ － ｘ Ｂ． ｙ ＝ｅ ｘ ＋ｌｎ ｘ 形 ，∴ 点Ｃ到直线ＡＢ的距离为 ３ ，∴ ｍ －２ ｘ ＝ ３ ，
ｙ ｘ ｘ ｙ ｘ ２ ２
Ｃ． ＝ － Ｄ． ＝ｌｎ（ ＋１） æ ö
答案 Ｄ 项 函数ｙ ｘ ｘ ｙ′ ｘ 令 ｘ 可知函数 ｘ çｍ ３÷ 又ｘ １ ｍ ｍ ｍ １
Ａ ， ＝ｅ － ， ＝ｅ －１， ｅ －１＞０ ∴ ＝ｌｏｇ２è － ø， ＝ （ｌｏｇ２ ＋ｌｏｇ２ －１）＝ｌｏｇ２ － ，
在 上单调递增 所以值域为 故排除 ． ２ ２ ２
Ｂ
－∞
项 （０
，
， ，
可
函 ＋
排
∞ 数
除
） ｙ ＝
Ｂ
ｅ
；
ｘ ＋ｌｎ ｘ ， 当 ， ｘ →０ 时 ，ｌｎ ｘ （ → １， － ＋ ∞ ∞ ， ） 而 ， ｅ ｘ →１， Ａ 所以ｙ → ∴ ｌｏｇ２ æ è çｍ －
２
３ ö ø ÷ ＝ｌｏｇ２ ｍ －
２
１ ＝ｌｏｇ２ ｍ
２
，∴ ｍ －
２
３ ＝ ｍ
２
，
Ｃ 项 ， 函数ｙ ＝ ｘ － [ ｘ可看作 ) 关于 ｘ的二次函数 ， 即 ｙ ＝（ ｘ ） ２ － 解得ｍ ＝ ２ ３＋ ６ ， 故符合条件的直线ｌ只有 １ 条．故选 Ｂ．
２
ｘ 易得值域为 １ 可排除 故选 ．
， － ，＋∞ ， Ｃ， Ｄ
４
解题关键 熟练掌握指数函数与对数函数的图象和性质是解
本题的关键．
{ ｘ ｘ
４．（２０１８广东第一次模拟，１２）函数ｆ ｘ ｜２ －１｜， ≤２，若互
（ ）＝ ｘ ｘ ．
－ ＋５， ＞２
不相等的实数ａ ｂ ｃ满足ｆ ａ ｆ ｂ ｆ ｃ 则 ａ ｂ ｃ 的取
， ， （ ）＝ （ ）＝ （ ）， ２ ＋２ ＋２
值范围是
（ ） 思路分析 设ＡＢ方程为ｙ ｍ 根据 ＡＢＣ是等边三角形计算
＝ ， △
Ａ．（１６，３２） Ｂ．（１８，３４） ｍ的值 得出结论．
，
Ｃ．（１７，３５） Ｄ．（６，７） ７．（２０１８湖南郴州第二次教学质量检测，１１）已知函数ｆ ｘ ｘ
答案 Ｂ 画出函数ｆ ｘ 的图象如图所示． （ ）＝ｅ
（ ）
１ 其中 是自然对数的底数 则关于ｘ的不等式ｆ ｘ
－ ｘ， ｅ ， （２ －１）＋
ｅ
ｆ ｘ 的解集为
（－ －１）＞０ （ ）
( )
４
Ａ． －∞，－ ∪（２，＋∞） Ｂ．（２，＋∞）
３
( )
不妨令ａ ｂ ｃ 则 ａ ｂ 则 ａ ｂ ． Ｃ． －∞， ４ ∪（２，＋∞） Ｄ．（－∞，２）
＜ ＜ ， １－２ ＝２ －１， ２ ＋２ ＝２ ３
结合图象可得 ｃ 故 ｃ
４＜ ＜５， １６＜２ ＜３２， 答案 Ｂ 函数ｆ ｘ ｘ １ 的定义域为Ｒ
ａ ｂ ｃ ．故选 （ ）＝ｅ － ｘ ，
∴１８＜２ ＋２ ＋２ ＜３４ Ｂ． ｅ
解题关键 利用函数图象进行求解 使得解题过程变得直观
， ｆ ｘ － ｘ １ １ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 是奇函数 那么不等
形象．解题中有两个关键 一是结合图象得到 ａ ｂ 二是根 ∵ （－ ）＝ｅ － － ｘ＝ ｘ－ｅ ＝－ （ ），∴ （ ） ，
： ２ ＋２ ＝２； ｅ ｅ
据图象判断出ｃ的取值范围 进而得到 ｃ 然后根据不 式ｆ ｘ ｆ ｘ 等价于ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ
， １６＜２ ＜３２， （２ －１）＋（－ －１）＞０ （２ －１）＞－（－ －１）＝ （１＋ ），
１２６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
易证ｆ ｘ 是Ｒ上的递增函数 ｘ ｘ 解得ｘ 不等 ｆ ｂ ｂ 此时ｆ ａ ｂ ｆ ａ ｆ ｂ 成立
（ ） ，∴ ２ －１＞ ＋１， ＞２，∴ （ ）＝ｅ ， （ ＋ ）≤（ ） （ ） ；
式ｆ ｘ ｆ ｘ 的解集为 故选 当ａ ｂ 时 ｆ ａ ｂ ａ ＋ ｂ ｆ ａ ａ ｆ ｂ
（２ －１）＋（－ －１）＞０ （２，＋∞）， Ｂ． ≥１，０＜ ＜１ ， （ ＋ ）＝ ｅ ， （ ）＝ ｅ ， （ ）＝ ｅ，
８．若函数ｆ ｘ ａｘ ａ 且ａ 在 上单调递增 ｆ ａ ｆ ｂ ａ ＋１ ａ ＋ ｂ ｆ ａ ｂ 此时ｆ ａ ｂ ｆ ａ ｆ ｂ 成立
（ ）＝ｌｏｇａ（ －３）（ ＞０ ≠１） ［１，３］ ， （ ） （ ）＝ｅ ＞ｅ ＝ （ ＋ ）， （ ＋ ）≤（ ） （ ） ；
则ａ的取值范围是 { ａ ｂ
（ ） 当 ａ ｂ 时 ｆ ａ ｂ ｅ，０＜ ＋ ＜１， ｆ ａ ｆ ｂ
０＜ ＜１，０＜ ＜１ ， （ ＋ ）＝ ａ ＋ ｂ ａ ｂ （ ） （ ）＝
Ａ．（１，＋∞） Ｂ．（０，１） ｅ ，１≤ ＋ ＜２，
( ) ２ 此时ｆ ａ ｂ ｆ ａ ｆ ｂ 成立
１ ｅ ， （ ＋ ）≤（ ） （ ） ；
Ｃ． ０， Ｄ．（３，＋∞） 当 ａ ｂ 时 ｆ ａ ｂ ａ ＋ ｂ ｆ ａ ｆ ｂ ｂ
３ ０＜ ＜１， ≥１ ， （ ＋ ）＝ ｅ ， （ ）＝ ｅ， （ ）＝ ｅ ，
答案 Ｄ 令ｕ ａｘ ａ 且ａ ｕ ａｘ 为增函数 ｆ ａ ｆ ｂ ｂ ＋１ ａ ＋ ｂ ｆ ａ ｂ 此时ｆ ａ ｂ ｆ ａ ｆ ｂ 成立．
＝ －３，∵ ＞０ ≠１，∴ ＝ －３ ， （ ） （ ）＝ｅ ＞ｅ ＝ （ ＋ ）， （ ＋ ）≤（ ） （ ）
若函数ｆ ｘ 为增函数 则ｆ ｘ ｕ必为增函数 因此ａ 综上可知 正确．
∴ （ ） ， （ ）＝ｌｏｇａ ， ＞ ①
．又ｕ ａｘ 在 上恒为正 ａ 即ａ 故选Ｄ． 对于 当ａ ｂ 时 若 ａ ｂ 则 ａ ｂ 则ａ
１ ＝ －３ ［１，３］ ，∴ －３＞０， ＞３， ②， ≥１＞ ＞０ ， ０＜ － ＜１， １≤ ＜ ＋１＜２， －１
易错警示 本题既要考虑复合函数单调性法则 还要考虑不 ｆ ａ ａ ｆ ａ
， ．此时ｆ ａ ｂ （ ） ｅ ａ －１ ｆ ａ ｂ （ ）成立
等式ａｘ 在ｘ 上恒成立． ＜１ （ － ）＝ｅ，ｆ ｂ ＝ ＝ｅ ＜ｅ，∴ （ － ）≥ｆ ｂ ；
－３＞０ ∈［１，３］ （ ） ｅ （ ）
ｘ ｆ ａ ａ
９．（２０１７浙江金华十校调研，１３）已知函数 ｆ ｘ ２ｅ 在 若ａ ｂ 则ａ ｂ ａ 此时ｆ ａ ｂ ａ － ｂ （ ） ｅ ａ －１
（ ）＝ ｘ ， － ≥１， － ＞ －１， （ － ）＝ｅ ，ｆ ｂ ＝ ＝ｅ ＜
ｅ ＋１ （ ） ｅ
Ｆ （ ｘ ）＝ ｆ （ ｘ ）＋１ 和 Ｇ （ ｘ ）＝ ｆ （ ｘ ）－１ 中 ， 为奇函数 ； 若 ａ － ｂ ｆ ａ ｂ ｆ （ ａ ）成立．
ｅ ，∴ （ － ）≥ｆ ｂ
ｆ （ ｂ ）＝ ２ ３ ， 则ｆ （－ ｂ ）＝ ． 当ａ ｂ 时 若 （ ） ａ ｂ 则ｆ ａ ｂ ｆ （ ａ ） ｅ ａ ａ － ｂ
＞ ≥１ ， ０＜ － ＜１， （ － ）＝ｅ，ｆ ｂ ＝ ｂ ＝ｅ ＜ｅ，
答案 Ｇ （ ｘ ）； １ ２ ｆ ａ ｂ ｆ （ ａ ）成立 若ａ ｂ 则ｆ ａ ｂ （ ） ａ － ｂ ｅ ｆ （ ａ ） ｅ ａ
ｘ ｘ ∴ （ － ）≥ｆ ｂ ； － ≥１， （ － ）＝ｅ ，ｆ ｂ ＝ ｂ
解析 由题可知 Ｇ ｘ ｆ ｘ ｅ －１ 显然Ｇ ｘ ｅ － －１ （ ） （ ） ｅ
， （ ）＝ （ ）－１＝ ｅ ｘ ＋１ ， （－ ）＝ ｅ － ｘ ＋１ ａ － ｂ ｆ ａ ｂ ｆ ａ ｂ ｆ （ ａ ）成立．
ｘ ＝ｅ ＝ （ － ），∴ （ － ）≥ｆ ｂ
１－ｅ Ｇ ｘ 因此函数 Ｇ ｘ 为奇函数 所以 Ｇ ｂ （ ）
＝ ｘ ＝－ （ ）， （ ） ， （ ）＋ ｆ ａ
ｅ ＋１ 当 ０＜ ｂ ＜ ａ ＜１ 时 ，０＜ ａ － ｂ ＜１， 此时ｆ （ ａ － ｂ ）＝ｅ，ｆ （ ｂ ） ＝ ｅ ＝１＜ｅ，
（ ） ｅ
Ｇ （－ ｂ ）＝０， 即ｆ （ ｂ ）－１＋ ｆ （－ ｂ ）－１＝０， 所以ｆ （－ ｂ ）＝２－ ｆ （ ｂ ）＝ １ ． ｆ ａ ｂ ｆ （ ａ ）成立．
ｘ ２ ∴ （ － ）≥ｆ ｂ
（ ）
１０．（２０１８湖南益阳４月调研，１３）已知函数ｆ
（
ｘ
）＝ ａ
２
ｘ（
ａ
∈
综上可知
②
正确．
１＋ ·２
Ｒ 的图象关于点 ( １ ) 对称 则ａ ． 对于 ③， 当ａ ＝ １ ， ｂ ＝２ 时 ， ｆ （ ａｂ ）＝ｅ，［ ｆ （ ａ ）］ ｂ ＝ｅ ２ ，
） ０， ， ＝ ３
２ 此时ｆ ａｂ ｆ ａ ｂ 故 是错误的．
答案 （ ）＜［ （ ）］ ， ③
解析 １ 由已知 得 ｆ ｘ ｆ ｘ 即 ２ ｘ ２ － ｘ 对于 ④， 当ａ ＞ ｂ ≥１ 时 ， ｆ ( ａ ｂ ) ＝ｅ ａ ｂ ，［ ｆ （ ａ ）］ １ｂ ＝（ｅ ａ ） １ｂ ＝ｅ ａ ｂ ，
， （ ）＋ （－ ）＝ １， ａ ｘ＋ ａ － ｘ
１＋ ·２ １＋ ·２ ( ａ )
ｆ ｆ ａ １ｂ成立
＝１， ∴ ｂ ≤［ （ ）］ ；
整 时 理得 等 （ 式 ａ － 成 １） 立 ［ ． ２ ２ ｘ ＋（ ａ －１）·２ ｘ ＋１］＝０， 所以当ａ －１＝０， 即ａ ＝ 当ａ ｂ 时 ｆ ( ａ ) ａ ｂ ｆ ａ １ｂ ａ １ｂ ａ ｂ
１ ， ≥１＞ ＞０ ， ｂ ＝ｅ ，［ （ ）］ ＝（ｅ ） ＝ｅ ，
１１．（２０１９届江苏锡山高级中学检测）若偶函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ
（ ） （ ）＝ ( ａ )
ｘ ｘ 则不等式ｆ ｘ 的解集为 ． ｆ ｆ ａ １ｂ成立
２ －４（ ≥０）， （ －２）＞０ ∴ ｂ ≤［ （ ）］ ；
解 答 析 案 因 ｛ ｘ 为 ｜ ｘ ＞ ｆ ４ ｘ 或 为 ｘ ＜ 偶 ０ 函 ｝ 数 当ｘ 时 ｆ ｘ ｆ ｘ － ｘ 当 ０＜ ｂ ＜ ａ ＜１ 时 ， ｆ ( ａ ｂ ) ＝ｅ ａ ｂ ，［ ｆ （ ａ ）］ １ｂ ＝ｅ １ｂ ＞ｅ ａ ｂ ，
（ ） ， ＜０ ， （ ）＝ （－ ）＝ ２ －
{ ｘ ｘ ( ａ )
所以ｆ ｘ ２ －４， ≥０， ｆ ｆ ａ １ｂ成立．
４， （ ）＝ － ｘ ｘ ． ∴ ｂ ≤［ （ ）］
２ －４， ＜０
{ｘ {ｘ 综上可知 正确．故填 ．
当ｆ ｘ 时 有 －２≥０，或 －２＜０， ④ ①②④
（ －２）＞０ ， ｘ －２ － ｘ ＋２ １３．（２０１８江苏如东中学期中，１６）已知函数ｆ ｘ ａｘ２ ａｘ ｂ
２ －４＞０ ２ －４＞０， （ ）＝ －２ ＋２＋
解得ｘ 或ｘ ．所以不等式的解集为 ｘ ｘ 或ｘ ． ａ 在区间 上有最大值 最小值 ．
＞４ ＜０ ｛ ｜ ＞４ ＜０｝ （ ≠０） ［２，３］ ５， ２
１２．（２０１８浙江高考模拟训练冲刺卷一，１７）已知函数 ｆ ｘ 求ａ ｂ的值
（ ）＝ （１） ， ；
{ ｘ 若ｂ ｇ ｘ ｆ ｘ ｍｘ在 上是单调函数 求实数
ｅ，０＜ ＜１，现有四个命题 （２） ＜１， （ ）＝ （ ）－２ ［２，４］ ，
ｘ ｘ ． ： ｍ的取值范围．
ｅ ， ≥１
若ａ ｂ 则ｆ ａ ｂ ｆ ａ ｆ ｂ 解析 ｆ ｘ ａ ｘ ２ ｂ ａ．
① ＞０， ＞０， （ ＋ ）≤（ ） （ ）； （１） （ ）＝ （ －１） ＋２＋ －
ｆ ａ 当ａ 时 ｆ ｘ 在 上为增函数
若ａ ｂ 则ｆ ａ ｂ （ ） ① ＞０ ， （ ） ［２，３］ ，
② ＞ ＞０， （ － ）≥ｆ ｂ ； {ｆ { ａ ａ ｂ {ａ
（ ） 故 （３）＝５，所以 ９ －６ ＋２＋ ＝５，解得 ＝１，
若ａ ｂ 则ｆ ａｂ ｆ ａ ｂ ｆ ａ ａ ｂ ｂ ．
③ ＞０， ＞０， （ ）≥［ （ ）］ ； （２）＝２， ４ －４ ＋２＋ ＝２， ＝０
( ａ ) 当ａ 时 ｆ ｘ 在 上为减函数
若ａ ｂ 则ｆ ｆ ａ １ｂ． ② ＜０ ， （ ） ［２，３］ ，
④ ＞ ＞０， ｂ ≤［ （ ）］ {ｆ { ａ ａ ｂ {ａ
故 （３）＝２，所以 ９ －６ ＋２＋ ＝２，解得 ＝－１，
其中真命题为 ． 写出所有真命题的序号 ｆ ａ ａ ｂ ｂ ．
（ ） （２）＝５， ４ －４ ＋２＋ ＝５， ＝３
答案 {ａ {ａ
①②④ 故 ＝１，或 ＝－１，
解析 对于 当ａ ｂ 时 ｆ ａ ｂ ａ ＋ ｂ ｆ ａ ａ ｂ ｂ ．
①， ≥１， ≥１ ， （ ＋ ）＝ｅ ， （ ）＝ｅ ， ＝０ ＝３
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １２７
因为ｂ 所以ａ ｂ 所以ｈ ｔ ＝ｔ２－２λｔ＋２ 对称轴为直线ｔ＝λ． ５分
（２） ＜１， ＝１， ＝０， （ ） ， （ ）
即ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｇ ｘ ｘ２ ｘ ｍｘ ｘ２ ｍ ｘ ． ①当λ ０时 ｈ ｔ ｈ ０ ＋∞ 所求值域为 ２ ＋∞
（ ）＝ －２ ＋２， （ ）＝ －２ ＋２－２ ＝ －（２＋２ ） ＋２ ≤ ， （ ）∈［ （ ）， ）， ［ ， ）；
若ｇ ｘ 在 上单调 ７分
（ ） ［２，４］ ， （ ）
ｍ ｍ ②当λ＞０时 ｈ ｔ ｈ λ ＋∞ 所求值域为 ２－λ２ ＋∞ ．
则２＋２ 或２ ＋２ ． ， （ ）∈［ （ ）， ）， ［ ， ）
≤２ ≥４ ９分
２ ２ （ ）
所以 ｍ 或 ｍ １
２ ≤２ ２ ≥６， ３ ｇ ｘ 的定义域为Ｒ．因为ｆ ｘ ＝ ｘ－ 为奇函数
即ｍ 或ｍ ． （ ） （ ） （ ） ｅ ｘ ，
≤１ ≥ｌｏｇ２６ ｅ
故实数ｍ的取值范围是 ． 所以ｇ －ｘ ＝ｆ －ｘ －２ －ｘ ＝－ｆ ｘ ＋２ｘ＝－ｇ ｘ
（－∞，１］∪［ｌｏｇ２６，＋∞） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ），
ａ 所以ｇ ｘ ＝ｆ ｘ －２ｘ为奇函数
１４．（２０１９苏州期中，１８）已知ｆ ｘ ＝ ｘ－ 是奇函数． （ ） （ ） ，
（ ） ｅ ｘ 所以ｇ ｘ３＋１ ＋ｇ １－３ｘ２ ＜０等价于ｇ ｘ３＋１ ＜ｇ ３ｘ２－１ ．
ｅ （ ） （ ） （ ） （ ）
１ 求实数ａ的值 １０分
（ ） ； （ ）
２ 求函数ｙ＝ ２ｘ＋ －２ｘ－２λｆ ｘ 在ｘ ０ ＋∞ 上的值域 １
（ ） ｅ ｅ （ ） ∈［ ， ） ； 又ｇ′ ｘ ＝ｆ ′ ｘ －２＝ ｘ＋ －２ ２－２＝０ 当且仅当ｘ＝０时
３ 令ｇ ｘ ＝ｆ ｘ －２ｘ 求不等式ｇ ｘ３＋１ ＋ｇ １－３ｘ２ ＜０的 （ ） （ ） ｅ ｘ ≥ ， ，
（ ） （ ） （ ） ， （ ） （ ） ｅ
解集． 等号成立
，
解析 １ 函数的定义域为Ｒ 因为ｆ ｘ 为奇函数 所以ｇ ｘ ＝ｆ ｘ －２ｘ在Ｒ上单调递增
（ ） ， （ ） ， （ ） （ ） ，
所以ｆ ０ ＝０ 所以１－ａ＝０ 所以ａ＝１． ３分 所以ｘ３＋１＜３ｘ２－１ 即ｘ３－３ｘ２＋２＜０ １３分
（ ） ， ， （ ） ， ， （ ）
１ １ 即 ｘ－１ ｘ２－２ｘ－２ ＜０
当ａ＝１时 ｆ －ｘ ＝ －ｘ－ ＝－ ｘ＋ ＝－ｆ ｘ （ ）（ ） ，
， （ ） ｅ －ｘ ｅ ｘ （ ），
ｅ ｅ
所以ｘ＜１－ ３或１＜ｘ＜１＋ ３． １４分
此时ｆ ｘ 为奇函数． ４分 （ ）
（ ） （ ） 所以不等式的解集是 －∞ １－ ３ １ １＋ ３ ． １５分
１ １ （ ， ）∪（ ， ） （ ）
２ 令 ｘ－ ＝ｔ ｔ ０ 所以 ２ｘ＋ ＝ｔ２＋２
（ ） ｅ ｘ （ ≥ ）， ｅ ２ｘ ，
ｅ ｅ
