文档内容
4.2.1 指数函数的概念
4.2.2 指数函数的图象和性质
第 1 课时 指数函数的概念及其图象和性质
(教师独具内容)
课程标准：1.了解引入指数函数的背景，理解指数函数的概念和意义.2.能借
助计算器或计算机画出具体指数函数的图象.3.探索并理解指数函数的单调性、定
义域和值域及图象与参数的关系．
教学重点：1.理解指数函数的概念.2.借助指数函数的图象掌握指数函数的性
质，在“制图与识图”过程中体会数形结合思想.3.指数函数性质的一些简单应用．
教学难点：1.指数函数的图象与性质.2.底数a对函数的影响．
【知识导学】
知识点一 指数函数的定义
□函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是
R.
知识点二 指数增长模型
在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为
p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝□N(1＋p)x(x∈N)．形如y＝kax(k∈R，
且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的
函数模型．
知识点三 指数函数的图象和性质【新知拓展】
(1)由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)
的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指
数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象．
(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0b>1时，
①若x>0，则ax>bx>1；
②若x<0，则1>bx>ax>0.
当1>a>b>0时，
①若x>0，则1>ax>bx>0；
②若x<0，则bx>ax>1.
(3)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x轴上方．
(4)当 a>1 时，x→－∞，y→0；当 01时，对于任意x∈R总有ax>1.( )
(3)函数f(x)＝2－x在R上是增函数．( )
答案 (1)√ (2)× (3)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若f(x)＝(a2－3)ax是指数函数，则a＝________.
(2)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(2,9)，则f(x)＝________.
(3)函数y＝2的定义域为________，值域为________．
答案 (1)2 (2)3x (3)(－∞，0] [1,2)
题型一 指数函数的概念
例1 指出下列哪些是指数函数．
(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－4x；(4)y＝(－4)x；
(5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝xx；(8)y＝(2a－1)x.
[解] (2)是四次函数；(3)是－1与4x的乘积；(4)中底数－4＜0；(6)是二次函
数；(7)中底数x不是常数．它们都不符合指数函数的定义，故不是指数函数．
综上可知，(1)(5)(8)是指数函数．
金版点睛
判断一个函数是否为指数函数，只需判断其解析式是否符合 y＝axa＞0，且
a≠1这一形式即可.若符合，则函数为指数函数；否则就不是指数函数.
若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝________.
答案 2
解析 因为函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，
所以解得所以a＝2.
题型二 指数函数的图象问题
例2 (1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则
a，b，c，d与1的大小关系为( )A．a0，且a≠1)的图象过定点________．
[解析] (1)解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.
作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函
数的底数，则 10，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函
数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3,4)．
解法二：将原函数变形，得 y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指数函数，所
以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函数的图象过定点(3,4)．
[答案] (1)B (2)(3,4)
金版点睛
1．识别指数函数图象问题的注意点
(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或00，且a≠1)的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如y＝k·ax
＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令 x＝－c，得y＝k＋
b，函数图象过定点(－c，k＋b)．(1)二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝x的图象可能是( )
(2)函数y＝a2x＋1＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
答案 (1)A (2)
解析 (1)二次函数 y＝a2－，其图象的顶点坐标为，由指数函数的图象知
0<<1，所以－<－<0，再观察四个选项，只有A中的抛物线的顶点的横坐标在－
和0之间．
(2)令2x＋1＝0得x＝－，y＝2，
所以函数图象恒过点.
题型三 与指数函数有关的定义域和值域问题
例3 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；(2)y＝2；(3)y＝.
[解] (1)要使函数式有意义，则 1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在
R上是增函数，所以x≤0.故函数y＝的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1.
所以 ∈[0,1)，即函数y＝ 的值域为[0,1)．
(2)要使函数式有意义，则x－4≠0，解得x≠4.
所以函数y＝2的定义域为{x|x≠4}．
因为≠0，所以2≠1，即函数y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(3)要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0.
所以函数y＝的定义域为{x|x＝0}．
因为x＝0，所以＝0＝1，
即函数y＝的值域为{y|y＝1}．
金版点睛
求指数型函数的定义域和值域的一般方法
(1)求指数型函数的定义域时，先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型．
①由于指数函数y＝axa>0，且a≠1的定义域是R，所以函数y＝afx的定义
域与fx的定义域相同.②对于函数y＝faxa>0，且a≠1的定义域，关键是找出t＝ax的值域的哪些
部分在y＝ft的定义域中.
③求y＝)型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式组.
2求与指数函数有关的函数的值域时，要注意指数函数的值域为0，＋∞，
还需注意：在求形如 y＝afxa>0，且a≠1的函数值域时，先求得 fx的值域即
函数t＝fx中t的范围，再根据y＝at的单调性，列出指数不等式组，得出at的
范围，即y＝afx的值域.
求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝0.3；(2)y＝3；
(3)y＝x2－2x－3.
解 (1)由x－1≠0得x≠1，所以函数的定义域为{x|x≠1}．
由≠0得y≠1，
所以函数的值域为{y|y>0且y≠1}．
(2)由5x－1≥0得x≥，
所以函数的定义域为.
由≥0，得y≥1，
所以函数的值域为{y|y≥1}．
(3)定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴x2－2x－3≤－4＝16.
又∵x2－2x－3>0，
∴函数y＝x2－2x－3的值域为(0,16]．
1．若f(x)满足对任意的实数 a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝2，则＋＋
＋…＋＝( )
A．1010 B．2020 C．2019 D．1009
答案 B
解析 不妨设f(x)＝2x，则＝＝…＝＝2，所以原式＝1010×2＝2020.
2．若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为(
)
A. B．(－∞，0)C. D.
答案 B
解析 由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，所以底数
1－2a>1，解得a<0.
3．若函数y＝ 的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为( )
A．a>0 B．a<1
C．0n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )
答案 C
解析 由于00，且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
解 (1)因为函数图象经过点，
所以a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)得f(x)＝x－1(x≥0)，
由x≥0，得x－1≥－1，
于是0
