2006年四川高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_四川

2006 年四川高考文科数学真题及答案 第Ⅰ卷 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式 P(AB)  P(A)P(B) S  4R2 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(AB)  P(A)P(B) 球的体积公式 4 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V  R3 3 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 P (k) CkPk(1P)nk n n 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分； （1）已知集合A  x x2 5x60  ，集合B  x 2x1 3  ，则集合A B      （A） x 2 x3 （B） x 2 x3     （C） x 2 x3 （D） x 1 x3 （2）函数 f xlnx1,x1的反函数是 （A） f 1xex 1xR （B） f 1x10x 1xR （C） f 1x10x 1x1 （D） f 1xex 1x1 （3）曲线y 4xx3在点1,3处的切线方程是 （A）y 7x4 （B）y 7x2 （C）y  x4 （D）y  x2 （4）如图，已知正六边形PPPPPP ，下列向量的数量积中最大的是 1 2 3 4 5 6     （A）PP PP （B）PP PP 1 2 1 3 1 2 1 4     （C）PP PP （D）PP PP 1 2 1 5 1 2 1 6 （5）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某 方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取 学生 第1页 | 共13页（A）30人，30人，30人 （B）30人，45人，15人 （C）20人，30人，10人 （D）30人，50人，10人 （6）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是     （A）y sin  x  （B）y sin  2x   6   6      （C）y cos  4x  （D）y cos  2x   3  6  (7) 已知二面角l的大小为600，m,n为异面直线，且m,n，则m,n所成 的角为 （A）300 （B）600 （C）900 （D）1200 (8) 已知两定点A2,0,B1,0，如果动点P满足 PA 2 PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于 （A）9 （B）8 （C）4 （D） (9) 如图，正四棱锥PABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一 16 个大圆上，点P在球面上，如果V  ，则球O的表面积是 PABCD 3 （A）4 （B）8 （C）12 （D）16 (10) 直线y  x3与抛物线y2 4x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线， 垂足分别为P,Q，则梯形APQB的面积为 （A）36 （B）48 （C）56 （D）64 （11）设a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，则a2 bbc是A2B的 （A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件 （12）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被 3整除的概率为 41 38 35 19 （A） （B） （C） （D） 60 54 54 54 第Ⅱ卷 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上。 （13）12x10 展开式中的x3系数为 （用数字作答） 第2页 | 共13页 x1   1 （14）设x,y满足约束条件： y x ，则z 2x y的最 2  2x y10  小值为 ; x2 y2 （15）如图，把椭圆  1的长轴 AB分成8等份，过每 25 16 个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P,P,P,P,P,P,P 七 1 2 3 4 5 6 7 个点，F 是椭圆的一个焦点，则 PF  PF  PF  PF  PF  PF  PF  ; 1 2 3 4 5 6 7 （16）m,n是空间两条不同直线，,是两个不同平面，下面有四个命题： ①m,n//,//mn ②mn,//,mn// ③mn,//,m//n ④m,m//n,//n 其中真命题的编号是 ;（写出所有真命题的编号） 三．解答题：本大题共6小题，共74分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本大题满分12分） 数列a 的前n项和记为S ,a 1,a 2S 1n1 n n 1 n1 n （Ⅰ）求a 的通项公式； n （Ⅱ）等差数列b 的各项为正，其前n项和为T ，且T 15，又a b,a b ,a b n n 3 1 1 2 2 3 3 成等比数列，求T n （18）（本大题满分12分）     已知 A,B,C是三角形ABC三内角，向量m 1, 3 ,ncosA,sinA，且   mn1 （Ⅰ）求角A； 1sin2B （Ⅱ）若 3，求tanB cos2 Bsin2 B 第3页 | 共13页（19）（本大题满分12分） 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”， 两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率 分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互 之间没有影响 （Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数） （20）（本大题满分12分） 如图，在长方体 ABCDABC D 中， E,P分别是 1 1 1 1 BC,AD 的 中 点 ， M,N 分 别 是 AE,CD 的 中 点 ， 1 1 1 AD AA a,AB2a 1 （Ⅰ）求证：MN //面ADD A ； 1 1 （Ⅱ）求二面角PAED的大小。 （21）（本大题满分12分） 已知函数 f x x3 3ax1,gx f xax5，其中 f 'x是的导函数 （Ⅰ）对满足1a1的一切a的值，都有gx0，求实数x的取值范围； （Ⅱ）设a m2，当实数m在什么范围内变化时，函数y  f x的图象与直线y 3 只有一个公共点 （22）（本大题满分14分）       已知两定点F  2,0 ,F 2,0 ，满足条件 PF  PF 2的点P的轨迹是曲 1 2 2 1 线E，直线y kx1与曲线E交于A,B两点 （Ⅰ）求k的取值范围；    （Ⅱ）如果 AB 6 3，且曲线E上存在点C，使OAOBmOC，求m的值和ABC 的面积S 2006年四川高考文科数学真题参考答案 第4页 | 共13页一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分； 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号 答 C A D A B D B C D B A C 案 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上。 （13）12x10 展开式中的x3系数为960（用数字作答）  x1   1 （14）设x,y满足约束条件： y x ，则z 2x y的最 2  2x y10  小值为6 ; x2 y2 （15）如图，把椭圆  1的长轴 AB分成8等份，过每 25 16 个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P,P,P,P,P,P,P 七个点，F 是椭圆的一个 1 2 3 4 5 6 7 焦点，则 PF  PF  PF  PF  PF  PF  PF  35 ; 1 2 3 4 5 6 7 （16）m,n是空间两条不同直线，,是两个不同平面，下面有四个命题： ①m,n//,//mn ②mn,//,mn// ③mn,//,m//n ④m,m//n,//n 其中真命题的编号是①，② ;（写出所有真命题的编号） 三．解答题：本大题共6小题，共74分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本大题满分12分） 数列a 的前n项和记为S ,a 1,a 2S 1n1 n n 1 n1 n （Ⅰ）求a 的通项公式； n （Ⅱ）等差数列b 的各项为正，其前n项和为T ，且T 15，又a b,a b ,a b n n 3 1 1 2 2 3 3 成等比数列，求T n 本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12 第5页 | 共13页分。 解：（Ⅰ）由a 2S 1可得a 2S 1n2，两式相减得 n1 n n n1 a a 2a ,a 3a n2 n1 n n n1 n 又a 2S 13 ∴a 3a 2 1 2 1 故a 是首项为1，公比为3得等比数列 n ∴a 3n1 n （Ⅱ）设b 的公比为d n 由T 15得，可得b b b 15，可得b 5 3 1 2 3 2 故可设b 5d,b 5d 1 3 又a 1,a 3,a 9 1 2 3 由题意可得5d 15d 9532 解得d 2,d 10 1 2 ∵等差数列b 的各项为正，∴d 0 n ∴d 2 nn1 ∴T 3n 2n2 2n n 2 （18）（本大题满分12分）     已知 A,B,C是三角形ABC三内角，向量m 1, 3 ,ncosA,sinA，且   mn1 （Ⅰ）求角A； 1sin2B （Ⅱ）若 3，求tanB cos2 Bsin2 B 本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公 式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12分。     解：（Ⅰ）∵mn1 ∴ 1, 3 cosA,sinA1 即 3sin AcosA1 第6页 | 共13页 3 1 2sinA cosA 1   2 2     1 sinA   6 2   5 ∵0 A,  A  6 6 6   ∴A  6 6  ∴A 3 12sinBcosB （Ⅱ）由题知 3，整理得 cos2 Bsin2 B sin2 BsinBcosB2cos2 B0 ∴cosB0 ∴tan2 BtanB20 ∴tanB2或tanB1 而tanB1使cos2 Bsin2 B0，舍去 ∴tanB2 （19）（本大题满分12分） 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”， 两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率 分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互 之间没有影响 （Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数） 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用 概率知识解决实际问题的能力。满分12分。 解：记“甲理论考核合格”为事件A，“乙理论考核合格”为事件A ，“丙理论考核合格” 1 2 为事件A ， 记A 为A的对立事件，i 1,2,3；记“甲实验考核合格”为事件B ，“乙实验 3 i i 1 考核合格”为事件B ，“丙实验考核合格”为事件B ， 2 3 （Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记C为C的对立事件 解法1：PC P  AA A  A A A  AA A  AA A  1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3  P  AA A  P  A A A  P  AA A  PAA A  1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.90.80.7 第7页 | 共13页0.902 解法2：PC1P  C    1P A A A  A A A  AA A  A A A 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1P  A A A  P  A A A  P  AA A  P  A A A   1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3  10.10.20.30.90.20.30.10.80.30.10.20.7 10.098 0.902 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902 （Ⅱ）记“三人该课程考核都合格” 为事件D PD PA B A B A B   1 1 2 2 3 3   PA B PA B PA B  1 1 2 2 3 3  PA PB PA PB PA PB  1 1 2 2 3 3 0.90.80.80.80.70.9 0.254016 0.254 所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254 （20）（本大题满分12分） 如图，在长方体 ABCDABC D 中， E,P分别是 1 1 1 1 BC,AD 的 中 点 ， M,N 分 别 是 AE,CD 的 中 点 ， 1 1 1 AD AA a,AB2a 1 （Ⅰ）求证：MN //面ADD A ； 1 1 （Ⅱ）求二面角PAED的大小。 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及 空间想象能力和推理能力。满分12分 解法一： （Ⅰ）证明：取CD的中点K，连结MK,NK ∵M,N,K 分别为AK,CD,CD的中点 1 ∵MK // AD,NK //DD 1 ∴MK //面ADD A ，NK //面ADD A 1 1 1 1 第8页 | 共13页∴面MNK //面ADD A 1 1 ∴MN //面ADD A 1 1 （Ⅱ）设F 为AD的中点 ∵P为AD 的中点 ∴PF//DD 1 1 1 ∴PF 面ABCD 作FH  AE，交AE于H ，连结PH ，则由三垂线定理得AE  PH 从而PHF为二面角PAED的平面角。 a 17 在RtAEF 中，AF  ,EF 2a,AE  a，从而 2 2 a 2a AFEF 2 2a FH    AE 17 17 a 2 PF DD 17 在RtPFH 中，tanPFH   1  FH FH 2 17 故：二面角PAED的大小为arctan 2 方法二：以D为原点，DA,DC,DD 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标 1 系，则 Aa,0,0,Ba,2a,0,C0,2a,0,A a,0,a,D 0,0,a 1 1 ∵E,P,M,N分别是BC,AD,AE,CD 的中点 1 1 1 a  a  3a   a ∴E ,2a,0 ,P ,0,a ,M ,a,0 ,N 0,a, ,         2  2   4   2   3 a （Ⅰ）MN    a,0,   4 2       取n0,1,0，显然n面ADD A MNn0，∴MN n 1 1 又MN 面ADD A ∴MN //面ADD A 1 1 1 1 a  ∴过P作PH  AE，交AE于H ，取AD的中点F ，则F  ,0,0  2  设Hx,y,0，则  H  P     a x,y,a  ,  H  F     a x,y,0   2  2    a  又AE   ,2a,0    2  第9页 | 共13页 a2 a   由APAE 0，及H 在直线AE上，可得:   x2ay0  4 2   4x y4a 33 2 解得x a,y  a 34 17   8a 2a    8a 2a  ∴HP , ,a  ,HP , ,0   17 17   17 17      ∴HFAE 0 即HF  AE   ∴HP与HF所夹的角等于二面角PAED的大小     HPHF 2 cos HP,HF     HP  HF 21 2 21 故：二面角PAED的大小为arccos 21 （21）（本大题满分12分） 已知函数 f x x3 3ax1,gx f xax5，其中 f 'x是的导函数 （Ⅰ）对满足1a1的一切a的值，都有gx0，求实数x的取值范围； （Ⅱ）设a m2，当实数m在什么范围内变化时，函数y  f x的图象与直线y 3 只有一个公共点 本小题主要考察函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识，以及推理能力、 运输能力和综合应用数学知识的能力。满分12分。 解：（Ⅰ）由题意gx3x2 ax3a5 令x3xa3x2 5，1a1 对1a1，恒有gx0，即a0 10 3x2 x20 2 ∴ 即 解得  x1  10 3x2 x80 3  2  故x   ,1 时，对满足1a1的一切a的值，都有gx0  3  （Ⅱ） f 'x3x2 3m2 ①当m0时， f x x31的图象与直线y 3只有一个公共点 第10页 | 共13页②当m0时，列表：       x , m  m  m , m m m , f 'x  0  0  f x 极大 极小    ∴ f x  f  x  2m2 m 11 极小 又∵ f x的值域是R，且在  m ,  上单调递增 ∴当x m 时函数y  f x的图象与直线y 3只有一个公共点。 当x m 时，恒有 f x f   m    由题意得 f  m 3 即2m2 m 12 m 3 13     解得m 3 2,0 0,3 2    综上，m的取值范围是 3 2,3 2 （22）（本大题满分14分）       已知两定点F  2,0 ,F 2,0 ，满足条件 PF  PF 2的点P的轨迹是曲 1 2 2 1 线E，直线y kx1与曲线E交于A,B两点 （Ⅰ）求k的取值范围；    （Ⅱ）如果 AB 6 3，且曲线E上存在点C，使OAOBmOC，求m的值和ABC 的面积S 本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识 及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分14分。     解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E是以F  2,0 ,F 2,0 为焦点的双曲线的左 1 2 支，且c 2,a1，易知b1 故曲线E的方程为x2  y2 1x0  y kx1 设Ax ,y ,Bx ,y ，由题意建立方程组 1 1 2 2 x2  y2 1 消去 y，得  1k2 x2 2kx20 又已知直线与双曲线左支交于两点A,B，有 第11页 | 共13页 1k2 0  2k2 8  1k2 0  解得 2 k 1 2k  x x  0  1 2 1k2  2  xx  0  1 2 1k2 （Ⅱ）∵ AB  1k2  x x  1k2  x x 4x x 1 2 1 2 1 2  2k  2 2  1k2    4 1k2  1k2  1k2 2k2 2  1k22  1k2 2k2 依题意得 2 6 3  1k22 整理后得28k4 55k2 250 5 5 ∴k2  或k2  7 4 5 但 2 k 1 ∴k  2 5 故直线AB的方程为 x y10 2    设Cx ,y ，由已知OAOBmOC，得x ,y x ,y mx ,my  0 0 1 1 2 2 0 0  x x y  y  ∴x ,y  1 2 , 1 2 ，m0   0 0  m m  2 2k2 2 又x x  4 5，y  y kx x 2 2 8 1 2 k2 1 1 2 1 2 k2 1 k2 1 4 5 8  ∴点 C ,    m m   80 64 将点C的坐标代入曲线E的方程，得  1得m4， m2 m2 但当m4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意   ∴m4，点C的坐标为  5,2 第12页 | 共13页5   C到AB的距离为   5 21 2 1  2 3  5   12 2   1 1 ∴ABC的面积S  6 3  3 2 3 第13页 | 共13页